TECH MATH P2 QP GR11 NOV 2023_Afrikaans_hlayiso.com_.pdf

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIORSERTIFIKAAT GRAAD 11 NOVEMBER 2023 TEGNIESE WISKUNDE V2 PUNTE: 150 TYD: 3 uur Hierdie vraestel bestaan uit 17 bladsye, insluitend ʼn 2-bladsye inligtingsblad.

Downloaded from hlayiso.com 2 TEGNIESE WISKUNDE P2 (ECNOVEMBER 2023) INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies aandagtig deur voordat jy die vrae beantwoord. 1. Hierdie vraestel bestaan uit TIEN vrae. 2. Beantwoord AL die vrae wat in die SPESIALE ANTWOORDEBOEK verskaf word. 3. Toon duidelik ALLE berekeninge, diagramme, grafieke, ensovoorts aan wat jy gebruik het om die antwoorde te bepaal. 4. Slegs antwoorde sal NIE noodwendig volpunte toegeken word NIE. 5. Jy mag ʼn goedgekeurde wetenskaplike sakrekenaar (nieprogrammeerbaar en nie-grafies) gebruik, tensy anders vermeld. 6. Indien nodig, rond jou antwoorde af tot TWEE desimale plekke, tensy anders vermeld. 7. Diagramme word NIE noodwendig volgens skaal geteken nie. 8. ʼn Inligtingsblad met formules word aan die einde van die vraestel voorsien. 9. Skryf netjies en leesbaar. Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/NOVEMBER 2023) TEGNIESE WISKUNDE P2 3 VRAAG 1 In die diagram hieronder, ∆PQR het ʼn regte hoek by P. Die koördinate van die hoekpunte is P(2 ; 6); Q(−1 ; 2)en R(6 ; 𝑘).  is die inklinasiehoek van lyn PR. y P(2 ; 6) R(6 ; 𝑘) Q(−1 ; 2) O 𝜃 x 1.1 Voltooi die stelling: “Wanneer twee lyne loodreg is, is die ... van die gradiënte gelyk aan -1.” (1) Bepaal: 1.2 Die gradiënt van PQ (3) 1.3 Toon aan dat die waarde van 𝑘 = 3 (3) 1.4 Die koördinate van die middelpunt van QR (3) 1.5 Die koördinate van S, sodat QPRS ʼn reghoek is (4) 1.6 Die vergelyking van PR (4) 1.7 θ, die inklinasiehoek van lyn PR (3) 1.8 As die lengte van PQ = 5 eenhede, bereken die grootte van ̂ Q (5) [26] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 4 TEGNIESE WISKUNDE P2 (ECNOVEMBER 2023) VRAAG 2 2.1 Gegee: 𝑥 = 30,5˚ en 𝑦 = 130,5˚ Bepaal die volgende: 2.1.1 tan(𝑥 + 𝑦) (2) 2.1.2 cosec(𝑦 − 𝑥) (3) 2.2 As sin 36° = 𝑘, druk die volgende uit in terme van 𝑘. 2.2.1 cos 36° (4) 2.2.2 sin 216° (2) 2.3 Los op vir θ, θ ∈ [0°; 360°] afgerond tot EEN desimale syfer: tanθ = 2 sin 38,1° (4) [15] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/NOVEMBER 2023) TEGNIESE WISKUNDE P2 5 VRAAG 3 3.1 Vereenvoudig: 1 cos(360° − 𝜃). . tan (360° + 𝜃) cot(180° + 𝜃) cos(180° + 𝜃). tan(180° − 𝜃) (6) 3.2 Bewys dat: 1 2 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝑡𝑎𝑛𝑥 + ) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 (4) [10] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 6 TEGNIESE WISKUNDE P2 (ECNOVEMBER 2023) VRAAG 4 Gegee 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 en 𝑔(𝑥) = sin 𝑥 + 1; 𝑥 ∈ (0°; 360°) 4.1 Op dieselfde asse, gegee in jou SPESIALE ANTWOORDEBOEK, teken die grafieke van 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 en 𝑔(𝑥) = sin 𝑥 + 1. Toon duidelik die afsnitte met die asse, draaipunte en eindpunte. (7) 4.2 Skryf die waardeversameling van 𝑔 neer. (2) 4.3 Skryf die periode van 𝑓 neer. (1) 4.4 Gebruik jou grafieke om te bepaal vir watter waardes van 𝑥, is 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) ≤ 0. (2) [12] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/NOVEMBER 2023) TEGNIESE WISKUNDE P2 7 VRAAG 5 ʼn Plaas het die vorm wat in die figuur hieronder getoon word met ʼn heining wat dit in twee driehoeke verdeel. Die lengtes van twee aangrensende sye van die plaas is 1 600 m en 2 400 m en maak ʼn hoek van 90° met mekaar by A. BÂ C = 40° en CB̂ A = 120°. C B 120° 1 600 m 40° A D 2 400 m 5.1 ̂ A, meld ʼn rede. Bepaal die grootte van BC (2) 5.2 Bepaal die lengte van AC, tot die naaste heelgetal. (3) 5.3 Bepaal die totale oppervlakte van die plaas, ABCD. (6) [11] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 8 TEGNIESE WISKUNDE P2 (ECNOVEMBER 2023) VRAAG 6 6.1 Voltooi die volgende stelling: “Die hoek wat deur ʼn boog in die middel van ʼn sirkel onderspan word, is ... die grootte van die hoek wat deur dieselfde boog by die omtrek van die sirkel onderspan word.” (1) 6.2 In die diagram is O die middelpunt van die sirkel wat deur A, B en C gaan. CÂ B = 48°, CO ̂ B = 𝑥 , en Ĉ2 = y A 48° O 𝑥 1 2 𝑦 1 C 2 B Bepaal, met redes, die groottes van die volgende: 6.2.1 𝑥 (2) 6.2.2 𝑦 (2) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/NOVEMBER 2023) TEGNIESE WISKUNDE P2 9 6.3 Voltooi die volgende stelling: “Die buitehoek van ʼn koordevierhoek is ... aan die teenoorstaande binnehoek.” (1) 6.4 O is die middelpunt van die sirkel, met PS as die middellyn. TP̂ S = 120°. S 𝑧 𝑥 R O 120° 1 𝑦 T Q P Bepaal, met redes, die groottes van die volgende: 6.4.1 𝑥 (2) 6.4.2 𝑦 (2) 6.4.3 𝑧 (2) [12] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 10 TEGNIESE WISKUNDE P2 (ECNOVEMBER 2023) VRAAG 7 7.1 Voltooi die volgende stelling: “Die hoek tussen die raaklyn aan ʼn sirkel en die koord wat vanaf die kontakpunt getrek word, is ... aan die hoek in die teenoorstaande segment.” (1) 7.2 In die gegewe diagram is O die middelpunt van die sirkel en raaklyn FC raak die sirkel by C. Middellyn BD verleng ontmoet raaklyn FC in E. AB̂ O = 42° en OB̂ C = 25° Bepaal, met redes, die groottes van die volgende: 7.2.1 Ĉ4 (2) 7.2.2 Ĉ3 (2) ̂1 7.2.3 D (4) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/NOVEMBER 2023) TEGNIESE WISKUNDE P2 11 7.3 Voltooi die volgende stelling: Twee raaklyne wat vanaf dieselfde punt ... ʼn sirkel getrek word is ewe lank aan die sirkel. (1) 7.4 PS en PR is raaklyne. O is die middelpunt van die sirkel. POT is ʼn reguitlyn. 𝑂̂1 = 100° en 𝑅̂2 = 10°. S P K 1 4 2 3 3 2 M 1 4 O T 2 100° 1 3 R 10° Bepaal, met redes, die groottes van die volgende: 7.4.1 𝑆̂2 (4) 7.4.2 𝑆̂4 (2) 7.4.3 𝑃̂ (4) [20] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 12 TEGNIESE WISKUNDE P2 (ECNOVEMBER 2023) VRAAG 8 8.1 Voltooi die volgende stelling: “Die lyn wat van die middelpunt van ʼn sirkel na die middelpunt van ʼn koord getrek word, is ... op die koord.” (1) 8.2 In die gegewe diagram, AB is ʼn koord van ʼn sirkel met middelpunt O. OE halveer AB. AD = 12 cm, ED = 8 cm en OD = x. B E 8 D 𝑥 12 O A 8.2.1 Bepaal die lengte van OE, in terme van 𝑥 . (1) 8.2.2 Voltooi, met rede, die bewering: OA2 = 122 + … en bepaal die lengte van OA, in terme van 𝑥 . (3) 8.2.3 Bepaal die lengte van 𝑥 . (4) 8.2.4 Vervolgens, bepaal die lengte van die radius. (1) [10] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/NOVEMBER 2023) TEGNIESE WISKUNDE P2 13 VRAAG 9 9.1 ʼn Wiel roteer teen 12 omwentelinge per sekonde. Bepaal die hoeksnelheid van die wiel. (3) 9.2 Die radius van ʼn sirkelvormige draaiende speelding is 40 mm. Dit roteer teen 20 omwentelinge per minuut. Bepaal die omtreksnelheid van die speelding. (4) 9.3 In die diagram hieronder het die sirkel met middelpunt O, ʼn koord, DE, lengte van 500 mm en die middellyn, AC, is 56,6 cm. Die koord, DE, verdeel die sirkel in twee segmente. A D E B h C Bereken die hoogte van die klein segment, h (BC), in cm. (6) 9.4 ʼn Metaalplaat word in die vorm van ʼn sektor van ʼn sirkel gesny. Die radius van die sirkel is 2 m en die booglengte is 2,5 m. 2m 𝜃 2,5 m 9.4.1 Bepaal die sentrale hoek van die sektor in radiale. (3) 9.4.2 Bepaal die area van die sektor. (3) 9.4.3 Die sektor is in ʼn keël gebuig. Bepaal die loodregte hoogte van die keël. (5) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 14 TEGNIESE WISKUNDE P2 (ECNOVEMBER 2023) 9.5 ʼn Speelgoedmaker wil ʼn speelding in die vorm van ʼn hol sfeer maak. Die hol sfeer het ʼn interne radius van 3,5 cm en ʼn eksterne radius van 5,5 cm. Een kubieke sentimeter metaal weeg 30 gram. 4 𝑉 = 3 𝜋𝑟 3 3,5 cm Bepaal die massa van die speelding. (5) [29] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/NOVEMBER 2023) TEGNIESE WISKUNDE P2 15 VRAAG 10 Die onreëlmatige vorm hieronder het ʼn oppervlakte van 329 cm2. Die horisontale kant is 25 cm lank en verdeel in vyf gelyke dele. Die ordinate is 12 cm, x cm, 13 cm, 11 cm, 11,8 cm en 18 cm. 12 cm 𝑥 cm 13 cm 11 cm 11,8 cm 18 cm 25 cm Bepaal, met behulp van die middelordinaatreël, die waarde van 𝑥 . (5) [5] TOTAAL: 150 Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 16 TEGNIESE WISKUNDE P2 (ECNOVEMBER 2023) INLIGTINGSBLAD −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑏 4𝑎𝑐 − 𝑏 2 𝑥= 𝑥=− 𝑦= 2𝑎 2𝑎 4𝑎 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑥 = log 𝑎 𝑏 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 en 𝑏 > 0 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑛𝑖) 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑛𝑖) 𝑛 𝑛 𝑖𝑚 𝑚 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖) 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑖) 𝑖𝑒𝑓𝑓 = (1 + ) − 1 𝑚 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 𝑀( ; ) 2 2 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 𝑥2 𝑦2 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 + =1 𝑎2 𝑏 2 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim ℎ→0 ℎ 𝑛 𝑘𝑥 𝑛+1 ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = + 𝐶 , 𝑛, 𝑘 ∈ ℝ met 𝑛 ≠ −1 en 𝑘 ≠ 0 𝑛+1 𝑘 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑘 ln(𝑥) + 𝐶, 𝑥 > 0 en 𝑘 ∈ ℝ; 𝑘 ≠ 0 𝑥 𝑘𝑎𝑛𝑥 ∫ 𝑘𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 = + 𝐶, 𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1 en 𝑘, 𝑎 ∈ ℝ; 𝑘 ≠ 0 𝑛𝑙𝑛𝑎 𝜋𝑟𝑎𝑑 = 180° Hoeksnelheid = 𝜔 = 2𝜋𝑛 = 360°𝑛 waar 𝑛 = rotasie frekwensie Omtreksnelheid = 𝑣 = 𝜋𝐷𝑛 waar 𝐷 = middellyn en 𝑛 = rotasie frekwensie Omtreksnelheid = 𝑣 = 𝜔𝑟 waar 𝜔 = hoeksnelheid en 𝑟 = radius Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/NOVEMBER 2023) TEGNIESE WISKUNDE P2 17 Booglengte = 𝑠 = 𝑟𝜃 waar 𝑟 = radius en 𝜃 = sentrale hoek in radiale 4ℎ2 − 4𝑑ℎ + 𝑥 2 = 0 waar ℎ = hoogte van segment, 𝑑 = middellyn van sirkel en 𝑥 = lengte van koord 𝑟𝑠 𝑟2𝜃 Oppervlakte van ʼn sektor = 2 = 2 waar 𝑟 = radius, 𝑠 = booglengte en 𝜃 = sentrale hoek in radiale In ∆ABC: 𝑎 𝑏 𝑐 1 = = 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑐𝑜𝑡 2 𝜃 + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑂1 + 𝑂𝑛 waar 𝑎 = wydte van gelyke dele, 𝑂𝑖 = 𝑖 𝑑𝑒 ordinaat en 𝐴𝑇 = 𝑎 ( + 𝑂2 + 𝑂3 + 𝑂4 +. . . +𝑂𝑛−1 ) 2 𝑛 = aantal ordinate 𝑂𝑖 +𝑂𝑖+1 OF waar 𝑎 = wydte van gelyke dele, 𝑚𝑖 = en 2 𝐴𝑇 = 𝑎(𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 +. . . +𝑚𝑛−1 ) 𝑛 = aantal ordinate; i = 1;2;3; …;n-1 Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief