Gr 12 EC Maths V2 Sep 2020_hlayiso.com_.pdf

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 12 SEPTEMBER 2020 WISKUNDE V2 PUNTE: 150 TYD: 3 uur Hierdie vraestel bestaan uit 15 bladsye, insluitend 1 inligtingsblad, en ’n antwoordeboek van 25 bladsye.

Downloaded from hlayiso.com 2 WISKUNDE V2 (EC/SEPTEMBER 2020) INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies aandagtig deur voordat die vrae beantwoord word. 1. Hierdie vraestel bestaan uit 10 vrae. 2. Beantwoord AL die vrae in die SPESIALE ANTWOORDEBOEK wat verskaf word. 3. Dui ALLE berekeninge, diagramme, grafieke, ensovoorts wat jy gebruik in die beantwoording van die vrae, duidelik aan. 4. Slegs antwoorde sal NIE noodwendig volpunte verdien NIE. 5. Jy kan ’n goedgekeurde wetenskaplike sakrekenaar gebruik (nieprogrammeerbaar en niegrafies), tensy anders vermeld. 6. Indien nodig, rond antwoorde tot TWEE desimale plekke af, tensy anders gemeld. 7. Diagramme is NIE noodwendig volgens skaal geteken NIE. 8. ’n Inligtingsblad met formules is aan die einde van die vraestel ingesluit. 9. Skryf netjies en leesbaar. Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/SEPTEMBER 2020) WISKUNDE V2 3 VRAAG 1 Die volgende tabel toon ’n vergelyking van ’n skool se graad 12 finale punte van 2019 en die leerlinge se Skoolgebaseerde Assesserings (SBA) punte vir die jaar. LEERDERS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 SBA PUNT 99 93 77 74 63 62 63 63 47 37 FINALE PUNT 94 81 73 65 59 58 55 49 43 31 1.1 Bepaal die vergelyking van die kleinste-kwadrate regressielyn vir die data. (Gee antwoord korrek tot 4 desimale plekke.) (3) 1.2 Bepaal die korrelasie-koëffisiënt tussen die SBA-punt en die finale punt. (1) 1.3 Lewer kommentaar op die korrelasie tussen die SBA-punt en die finale punt. (1) 1.4 Leerder 11 het 51% vir SBA behaal. Voorspel die finale punt wat hy behoort te kry, korrek tot die naaste eenheid. (2) 1.5 Gegee dat die gemiddelde vir die finale punt 60,8 is, bereken hoeveel leerders binne een standaardafwyking vanaf die gemiddelde was. (3) [10] VRAAG 2 Die spoed, in kilometer per uur, van fietsryers wat verby ’n punt op die roete van die Ystermanwedloop verby gegaan het wat afgeneem is en in die tabel hieronder opgesom is: Spoed ( km/h) Frekwensie (f) Kumulatiewe Frekwensie 0 < 𝑥 ≤ 10 10 10 10 < 𝑥 ≤ 20 30 20 < 𝑥 ≤ 30 45 30 < 𝑥 ≤ 40 72 40 < 𝑥 ≤ 50 170 2.1 Voltooi die bostaande tabel in die ANTWOORDEBOEK wat verskaf is. (2) 2.2 Maak gebruik van die assestelsel wat in die ANTWOORDEBOEK verskaf is om ’n kumulatiewe-frekwensie-kurwe vir die bostaande data te teken. (3) 2.3 Toon duidelik op jou grafiek aan waar die beramings/skattings vir die onderkwartiel (𝑄1 ) en die mediaan (𝑀) spoed afgelees kan word. Skryf ook hierdie beramings neer. (2) 2.4 Teken ’n mond-en-snor diagram vir die data. Gebruik die getallelyn in die ANTWOORDEBOEK. (2) 2.5 Gebruik jou grafiek om die hoeveelheid fietsryers wat by die punt met ’n spoed van meer as 35 km/h verby gegaan het, te beraam. (1) [10] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 4 WISKUNDE V2 (EC/SEPTEMBER 2020) VRAAG 3 In die diagram is P, Q (0 ; −2) en R (6 ; −4) die hoekpunte van driehoek PQR. Die vergelyking van PQ is 3𝑥 − 𝑦 − 2 = 0. Die vergelyking van PR is 𝑦 = −𝑥 + 2. RS is die ̂R = 𝜃. loodlyn vanaf R tot op die y-as. QP y P 𝜃 M N O x Q(0 ; −2) S R(6 ;−4) 3.1 Bereken die gradiënt van QR. (2) 3.2 ̂ 𝑅 = 90°. Bewys dat PQ (2) 3.3 Bereken die koördinate van P. (3) 3.4 Bereken die lengte van QR. Laat jou antwoord in wortelvorm. (2) 3.5 Bepaal die vergelyking van die sirkel deur Q, P en R. Gee die antwoord in die vorm: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 . (5) 3.6 Bereken die grootte van hoek 𝜃. (5) 3.7 Bereken die oppervlakte van 𝛥PQR. (3) [22] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/SEPTEMBER 2020) WISKUNDE V2 5 VRAAG 4 In die diagram hieronder is C die middelpunt van die sirkel gedefinieer deur 𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 9 = 0. T (−1 ; y) is ’n punt buite die sirkel. Twee raaklyne word vanaf T aan die sirkel geteken. STB is ’n raaklyn aan die sirkel by B en het vergelyking 𝑦 = −2𝑥 + 𝑘. TA is ’n raaklyn aan die sirkel by A en is ewewydig aan die x-as. BV is ’n middellyn van die sirkel. y S A T(−1 ; y) V C B x O 𝑦 = −2𝑥 + 𝑘 4.1 Bepaal die koördinate van C. (4) 4.2 Bepaal die vergelyking van BV. (3) 4.3 Bepaal die vergelyking van lyn TA. (1) 4.4 Bereken die lengte van TB. Gee rede(s). (4) 4.5 Bepaal die waarde van k. (2) 4.6 ̂ B. Gee rede(s). Bereken die grootte van AC (4) [18] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 6 WISKUNDE V2 (EC/SEPTEMBER 2020) VRAAG 5 5.1 As cos 2 2° = p; bepaal die volgende in terme van p: 5.1.1 cos 158 (2) 5.1.2 sin 112 (2) 5.1.3 sin 38 (4) 5.2 Bepaal al die waardes van P in die interval [0°; 360°] wat die vergelyking bevredig: sin P = sin 2P (4) 5.3 As 𝛥ABC ’n ongelyksydige driehoek is, toon aan dat: cos ( A + B) = - cos C . (2) 5.4 Bewys die volgende identiteit: cos2 x − cos x − sin2 x 1 1 = − (5) 2 sin x . cos x + sin x tan x sin x 5.5 Bepaal die algemene oplossing van: 4 + 7 cos θ + cos 2 θ = 0 . (6) [25] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/SEPTEMBER 2020) WISKUNDE V2 7 VRAAG 6 In die diagram hieronder is die grafieke van 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑏 𝑥 en 𝑔(x)= cos(x − 30°) op dieselfde assestelsel vir −180° ≤ 𝑥 ≤ 180° geteken. Die punte P(90°;1) en Q lê op f en g onderskeidelik. Gebruik die diagram om die volgende vrae te beantwoord. 6.1 Bepaal die waarde van b. (1) 6.2 Skryf die koördinate van A, die draaipunt van g neer. (2) 6.3 As PQ ewewydig aan die y-as is, bepaal die koördinate van Q. (2) 6.4 Skryf neer die vergelykings van die asimptoot(e) van y  tan b( x  20) vir 𝑥 ∈ [-180°;180°]. (1) 6.5 Bepaal die waardeversameling/terrein van h as h( x)  2 g ( x)  1. (2) [8] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 8 WISKUNDE V2 (EC/SEPTEMBER 2020) VRAAG 7 Punte L, M en N is in dieselfde horisontale vlak. KL is ’n vertikale toring. Die hoogtehoek van K vanaf M is 𝑞°. NL ̂M = 𝑝°; NL  NM  d and KL  h. K N p d L q M 7.1 ̂ M in terme van p. Bepaal die grootte van LN (2) d sin 2 p 7.2 Bewys dat LM = (2) sin p 7.3 Toon, vervolgens dat: h  2d cos p tan q . (3) [7] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/SEPTEMBER 2020) WISKUNDE V2 9 VRAAG 8 8.1 Voltooi die volgende stelling: Die lynstuk geteken vanaf die middelpunt van die sirkel loodreg op die koord ... (1) 8.2 In die diagram hieronder is sirkel ABC met middelpunt O gegee. OB = 8 eenhede en AB = BC = 10 eenhede. E is die middelpunt van AC. Laat OE = y en AE = x. Bereken, met redes, die lengte van OE. (5) 8.3 Voltooi die volgende stelling: Die hoek wat deur ’n boog by die middelpunt van die sirkel onderspan word, is ... van die sirkel, op dieselfde kant van die koord as die middelpunt. (1) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 10 WISKUNDE V2 (EC/SEPTEMBER 2020) 8.4 In die diagram is O die middelpunt van ’n sirkel ABCD. AOD is die middellyn en OC is ’n radius. AB, BC, CD, AC en BD is reguitlyne. B C 2 1 1 3 2 2 2 1 1 1 2 D A O Skryf neer, met redes, ’n vergelyking wat die verwantskap tussen elk van die gegewe groep hoeke uitdruk. HOEKE VERGELYKING / REDE VERWANTSKAP bv. ̂3 ; 𝑃̂ 𝑀 ̂3 = 2 × 𝑃̂ 𝑀 middelpunts ∠ = 2 × omtrekshoek∠ 8.4.1 𝑂̂2 ; 𝐵̂2 8.4.2 ̂1 ; 𝐶̂3 ; 𝐷 𝐷 ̂2 8.4.3 𝐵̂1 ; 𝐵̂2 ; 𝐷 ̂1 ; 𝐷 ̂2 8.4.4 ̂1 ; 𝐶̂1 𝐷 (8) [15] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/SEPTEMBER 2020) WISKUNDE V2 11 VRAAG 9 9.1 Gegee dat PC ’n raaklyn aan die sirkel ACB is; BAP en BCQ is reguitlyne. PC = PQ en CP̂ Q = 20°. P 20 A B C Q Bewys, met melding van redes, dat BC NIE ’n middellyn is NIE. (5) 9.2 In die diagram hieronder is O die middelpunt van sirkel ABC. Die raaklyn PA aan die sirkel en die middellyn AB ontmoet by A. OCQ en BCP is reguitlyne. PQ∥AB. Q P 1 1 4 C 2 3 B 2 1 O A Bewys, met melding van redes, dat PQ = QC. (6) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 12 WISKUNDE V2 (EC/SEPTEMBER 2020) 9.3 In die diagram hieronder is koorde AB en FE van sirkel met middelpunt O verleng na punte C en D op die omtrek van sirkel met middelpunt P. BE∥CD. Bewys dat ACDF ’n koordevierhoek is. (5) [16] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/SEPTEMBER 2020) WISKUNDE V2 13 VRAAG 10 10.1 In die diagram is ΔMON geteken. S is ’n punt op MO en T is ’n punt op MN sodat ST∥ON is. SN en OT is getrek. M S T O N Gebruik die diagram om die stelling wat meld dat ’n lyn ewewydig aan een sy van ’n driehoek verdeel die ander twee sye eweredig te bewys. Met ander woorde, MS MT bewys dat:  SO TN (5) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com 14 WISKUNDE V2 (EC/SEPTEMBER 2020) 10.2 In die diagram is O die middelpunt van die sirkel. PQRS is ’n koordevierhoek. Die raaklyn deur P sny RS verleng by A. OB ⊥ PR en PA ⊥ AS. Q 1 1 P 2 4 3 O A B 1 2 1 2 S 3 1 2 R Bewys dat: 10.2.1 ΔAPS |||ΔBRS (3) 10.2.2 AP . RS = BR . PS (1) 10.2.3 ̂4 = R P ̂2 (4) 10.2.4 BR . RQ = RS . RP (6) [19] TOTAAL: 150 Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com (EC/SEPTEMBER 2020) WISKUNDE V2 15 INLIGTINGSBLAD: WISKUNDE −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑛𝑖) 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑛𝑖) 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑖)𝑛 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 n n n(n  1) 𝑛 1  n i 1 i  i 1 2 𝑇𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑆𝑛 = (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑) 2 𝒂(𝒓𝒏 −𝟏) 𝑎 𝑇𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1 𝑆𝑛 = ; 𝑟≠1 𝑆∞ = ; −1 < 𝑟 < 1 𝒓−𝟏 1−𝑟 𝒙[(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏] 𝑥[1−(1+𝑖)−𝑛 ] 𝑭= 𝑃= 𝒊 𝑖 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ 𝑥 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 M( 1 ; ) 2 2 𝑦 −𝑦1 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝒄 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑚= 2 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛 𝜃 𝑥2 −𝑥1 (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 𝑎 𝑏 𝑐 1 In ABC: = = 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝐴 𝑎𝑟𝑒𝑎𝛥𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝐶 2 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 . 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 . 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑠𝑖𝑛(𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 . 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 . 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 . 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 . 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 . 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 . 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = {1 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝛼 . 𝑐𝑜𝑠 𝛼 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1 2 ∑𝑥 ∑𝑛 𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥̄ ) 𝑥̄ = 𝜎2 = 𝑛 𝑛 𝑛(𝐴) 𝑃(𝐴) = P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B) 𝑛(𝑆) ∑(𝑥−𝑥̄ )(𝑦−𝑦̄ ) 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑏= ∑(𝑥−𝑥̄ )2 Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief