MATHSCLINIC SMARTPREP GR12 AFR 2023 V2.1 1

sa] \ N , > ‘ . © Videolesse vir elke afdeling van hierdie SmartPrep opsommings beskikbaar,op www.scienceclinic.co.za ?

Baie welkom by Science Clinic! DIE KERNKONSEPTE: Alles wat jy moet weet oor hierdie boekie en die aanvullende videolesse. GRATIS OOR ONS SMARTPREP BOEKIES VIDEOLESSE! Ons SmartPrep boekies skep ‘n holistiese geheelbeeld van die belangrikste kernkonsepte in Graad 8-12 Wiskunde en Graad 10-12 Ons het gratis videolesse vir elke Fisiese Wetenskap. Die boekies is in Engels en Afrikaans beskikbaar. onderwerp in hierdie boek! Volg hierdie stappe vir toegang tot KOPIEREG KENNISGEWING hierdie kragtige hulpbron! Die inhoud van hierdie SmartPrep Boekie is die oorspronklike werk van Science Clinic (Pty) Ltd. Die materiaal mag versprei word, mits die LAAI ‘N BOEKIE AF volgende vereistes nagekom word: Besoek ons webtuiste om ‘n As die boekie elektronies of in gedrukte vorm gekopieer of versprei 1 SmartPrep boekie af te laai. Jy word, moet hierdie kopieregkennisgewing behoue bly. As die opsommings en/of vrae in die boek gebruik word, moet die sal ‘n e-pos met aflaai-skakels ontvang. bron erken word. Hierdie Smart Prep Boekie is geskep ter voordeel van die VIDEOS WEBBLAD gemeenskap en mag nie deur enige ander persoon of entiteit gebruik of versprei word vir kommersiële doeleindes nie. Gaan dan na ons “Videos” Die teorie-opsommings in hierdie boekie mag nie aangepas word 2 webblad. Vir toegang, gebruik en onder ‘n nuwe lisensie versprei word nie. dieselfde e-pos wat jy vir die Volg hierdie skakel vir volledige gebruiksterme vir die materiaal: boekie se aflaai gebruik het. https://www.scienceclinic.co.za/terms-book-usage/ KIES ‘N HOOFSTUK DIE SKRYWERS EN DIE SPAN Kliek op jou voorkeur- taal, 3 graad en onderwerp. 'n Snitlys Duisend dankies aan die ongelooflike span wie betrokke was by die met videolesse sal op YouTube produksie, moderasie en vertaling van hierdie boek: S Bouwer, E Britz, oopmaak. G Kyle, D Kotze, Q Meades, S Sapsford, S Stevens, G Swanepoel, GM van Onselen, L Vosloo Besoek ons webtuiste om gratis SmartPrep boekies af te laai, vir toegang tot gratis videoles opnames, en om by interaktiewe Zoom kursusse aan te sluit! www.scienceclinic.co.za @science.clinic www.facebook.com/scienceclinicsa

INHOUDSOPGAWE OPSOMMINGS VAN KERNKONSEPTE Vraestel 1 Aard van Wortels 2 Kwadratiese Vergelykings 5 Eksponente en Wortels 6 Rye en Reekse 10 Finansies 15 Funksies, Grafieke en Inverses 20 Differensiaalberekeninge 29 Waarskynlikheid 34 Vraestel 2 Euklidiese Meetkunde 39 Trigonometrie 49 Analitiese Meetkunde 57 Statistiek 62 www

Wiskunde/V1 DBE/2021 SS/NSS INLIGTINGSBLAD -b+\b? —4ace +. 2a A=P(+ni) A= P(i-ni) A=P(l-i)" A=P(1+i)" T, =a+(n-Nd 8, = Sba+(n—nd] n n T, =ar"" S alr” -1) gr ¥l S, =—% s-l<r<l 1 pasa L voy = ten LEFM=LO) f'@)= fim, i = h _———— d= \(, -x) +(y, -y)y y=mxt+e («= a) +(y-a =r? ab c In AABC: sind sinB sinC a? =b> +c? —2be.cos A 1 : area AABC = absinC sin(a + f)=sina.cosf+cosa.sing cos(a+ Bp) =cosa@.cos §—sina.sinB cos’ a—sin’ a cos2a =41—2sin? a 2cos’ a—-1 poatbx Kopiereg voorbehou Y-Y, =M(x-%) pattt+y"| MAM MF Vo 3 ee") v2 ma72 eb Xy ~ m=tand sin(«—£) =sin@.cos 8—cosa.sinf cos(a—f) =cosa@.cos §+sina.sinf sin 2a = 2sina.cosa Yi, n 2 o P(A of B) = P(A) + P(B) — P(A cn B) p= FYI) De-x)

Mathematics 12 DBE/2021 Examination Guidelines 4.2 ACCEPTABLE REASONS: EUCLIDEAN GEOMETRY (AFRIKAANS) STELLING AANVAARBARE REDE LYNE Aangrensende hoeke op 'n reguitlyn is supplementêr. e op reguit lyn As aangrensende hoeke supplementêr is, lê die buitenste bene van die aangr. e suppl. hoeke in 'n reguitlyn. Die som van die aangrensende hoeke om 'n punt is 360 . e om 'n punt OF e in 'n omw Regoorstaande hoeke is gelyk. regoorst. e As AB || CD, dan is die verwissellende hoeke gelyk verw. e ; AB || CD As AB || CD, dan is die ooreenkomstige hoeke gelyk. ooreenk. e ; AB || CD As AB || CD, dan is die ko-binnehoeke supplementêr. ko-binne e ; AB || CD As die verwissellende hoeke tussen twee lyne gelyk is, dan is die lyne verw. e = ewewydig. As die ooreenkomstige hoeke tussen twee lyne gelyk is, dan is die lyne ooreenk. e = ewewydig. As die ko-binnehoeke tussen twee lyne supplementêr is, dan is die lyne ko-binne e suppl. ewewydig. DRIEHOEKE Die binnehoeke van 'n driehoek is supplementêr. som van ' OF som van e in ' OF binne e Die buitehoek van 'n driehoek is gelyk aan die som van die twee buite van teenoorstaande binnehoeke. Die hoeke teenoor die gelyke sye van 'n gelykbenige driehoek, is e teenoor gelyke sye gelyk. Die sye teenoor die gelyke sye van 'n gelykbenige driehoek, is gelyk. sye teenoor gelyke e In 'n reghoekige driehoek is die vierkant op die skuinssy gelyk aan die Pythagoras OF Stelling van som van die vierkante op die ander twee sye. Pythagoras As die vierkant op een sy van 'n driehoek gelyk is aan die som van die Omgekeerde Pythagoras vierkante op die ander twee sye, dan is die driehoek reghoekig. OF Omgekeerde stelling: Pythagoras As drie sye van een driehoek onderskeidelik gelyk is aan drie sye van SSS 'n ander driehoek, dan is die driehoeke kongruent. As twee sye en 'n ingeslote hoek van een driehoek onderskeidelik SHS OF SS gelyk is aan twee sye en 'n ingeslote hoek van 'n ander driehoek, dan is die twee driehoeke kongruent. As twee hoeke en 'n sy van een driehoek onderskeidelik gelyk is aan HHS OF S twee hoeke en 'n ooreenstemmende sy van 'n ander driehoek, dan is die twee driehoeke kongruent. As die skuinssy en 'n reghoeksy van 'n reghoekige driehoek RHS OF 90°HS onderskeidelik gelyk is aan die skuinssy en 'n reghoeksy van 'n ander reghoekige driehoek, dan is die twee driehoeke kongruent. Die lynstuk wat die middelpunte van twee sye van 'n driehoek verbind, Midpt.-stelling is ewewydig aan en gelyk aan die helfte van die derde sy. Die lynstuk wat van die middelpunt van een sy van 'n driehoek lyn deur midpt || 2de sy ewewydig aan die tweede sy getrek word, halveer die derde sy. Die lyn ewewydig aan een sy van 'n driehoek verdeel die ander twee lyn || een sy van OF sye in eweredige dele. eweredige stelling; noem || lyne Copyright reserved Please turn over

Mathematics 13 DBE/2021 Examination Guidelines STELLING AANVAARBARE REDE As 'n lyn twee sye van 'n driehoek in eweredige dele verdeel, is die lyn lyn verdeel twee sye van ewewydig aan die derde sy. eweredig As twee driehoeke gelykhoekig is, is hulle ooreenstemmende sye ||| 'e OF gelykhoekige 'e eweredig (en is driehoeke dus gelykvormig). e As die ooreenstemmende sye van twee driehoeke eweredig is, is die Sye van eweredig driehoeke gelykhoekig (en is driehoeke dus gelykvormig). Driehoeke (of parallelogramme) op dieselfde basis en tussen dieselfde dieselfde basis ; dieselfde hoogte ewewydige lyne is gelyk in oppervlakte. OF gelyke basis ; gelyke hoogte SIRKELS 'n Raaklyn aan 'n sirkel is loodreg op die radius/middellyn van die raaklyn A radius sirkel by die raakpunt. raaklyn A middellyn As 'n lyn loodreg getrek word na die radius/middellyn by die punt Lyn A Radius OF waar die radius/middellyn die sirkel ontmoet, dan is die lyn 'n raaklyn omgekeerde raaklyn A radius OF aan die sirkel. omgekeerde raaklyn A middellyn Die lynstuk wat die middelpunt van 'n sirkel met die middelpunt van 'n lyn vanuit midpt na midpt van koord verbind, is loodreg op die koord. koord Die loodlyn uit die middelpunt van 'n sirkel na 'n koord, halveer die lyn vanuit midpt A op koord koord. Die middelloodlyn van 'n koord gaan deur die middelpunt van die middelloodlyn van koord sirkel. Die hoek wat 'n koord by die middelpunt van 'n sirkel onderspan, is Midpts = 2 x Omtreks dubbel die hoek wat dit by enige punt op die omtrek onderspan (aan dieselfde kant van die koord as die midpt). Die omtrekshoek wat deur die middellyn onderspan word, is 90°. in halwe sirkel OF middellyn onderspan regte hoek OF in ~ As 'n koord van 'n sirkel 'n regte hoek by die omtrek onderspan, dan is Koord onderspan 90q OF die koord 'n middellyn. omgekeerde in halwe sirkel Hoeke onderspan deur 'n koord van 'n sirkel, aan dieselfde kant van die e in dieselfde segment koord, is gelyk. As 'n lynstuk wat twee punte verbind, gelyke hoeke by twee ander Lynstuk onderspan gelyke e OF punte aan dieselfde kant van die lynstuk onderspan, dan is die vier omgekeerde e in dieselfde punte konsiklies (d.w.s. hulle lê op die omtrek van 'n sirkel). segment Gelyke koorde onderspan gelyke omtrekshoeke. gelyke koorde; gelyke e Gelyke koorde onderspan gelyke middelpuntshoeke. gelyke koorde; gelyke e Gelyke koorde in gelyke sirkels onderspan gelyke omtrekshoeke. gelyke sirkels; gelyke koorde ; gelyke e Gelyke koorde in gelyke sirkels onderspan gelyke middelpuntshoeke. gelyke sirkels; gelyke koorde ; gelyke e Die teenoorstaande hoeke van 'n koordvierhoek is supplementêr. teenoorst. e van kvh As die teenoorstaande hoeke van 'n vierhoek supplementêr is, dan is teenoorst. e van vierhoek is supp die vierhoek 'n koordevierhoek. OF omgekeerde teenoorst e koordevierhoek Die buitehoek van 'n koordevierhoek is gelyk aan die teenoorstaande buite van kvh binnehoek. Copyright reserved Please turn over

Mathematics 14 DBE/2021 Examination Guidelines STELLING AANVAARBARE REDE As die buitehoek van 'n vierhoek gelyk is aan die teenoorstaande buite van vierhoek = teenoorst. binnehoek, dan is die vierhoek 'n koordevierhoek. binne OF omgekeerde buite koordevierhoek Twee raaklyn wat vanaf dieselfde punt buite 'n sirkel na 'n sirkel Raaklyne vanuit gemeensk. Punt getrek word, is ewe lank. OF raaklyne vanaf dieselfde punt Die hoek wat gevorm word tussen 'n raaklyn aan 'n sirkel en 'n koord raaklyn koord stelling wat vanuit die raakpunt getrek word, is gelyk aan die hoek in die oorstaande segment. As 'n lyn deur die eindpunt van 'n koord 'n hoek met die koord vorm tussen lyn en koord OF wat gelyk is aan die hoek in die oorstaande segment, dan is die lyn 'n omgekeerde raaklyn koord stelling raaklyn aan die sirkel. VIERHOEKE Die som van die binnehoeke van 'n vierhoek is 360q. som van e in vierhoek Die teenoorstaande sye van 'n parallelogram is ewewydig. teenoorst. sye van ||m As die teenoorstaande sye van 'n vierhoek ewewydig is, dan is die teenoorst sye van vierh is || vierhoek 'n parallelogram. Die teenoorstaande sye van 'n parallelogram is gelyk in lengte. teenoorst. sye van ||m As die teenoorstaande sye van 'n vierhoek gelyk is, dan is die vierhoek teenoorst sye van vierh = OF 'n parallelogram. omgekeerde teenoorst sye van ||m Die teenoorstaande hoeke van 'n parallelogram is gelyk. teenoorst. e van ||m As die teenoorstaande hoeke van 'n vierhoek gelyk is, dan is die teenoorst. e van vierh = OF vierhoek 'n parallelogram. omgekeerde teenoorst. e van ||m Die hoeklyne van 'n parallelogram halveer mekaar. hoeklyne van ||m As die hoeklyne van 'n vierhoek mekaar halveer, dan is die vierhoek 'n hoeklyne van vierh halveer mekaar parallelogram. OF omgekeerde hoeklyne van ||m As een paar teenoorstaande sye van 'n vierhoek gelyk en ewewydig is, teenoorst. sye = en || dan is die vierhoek 'n parallelogram. Die hoeklyne van 'n parallelogram halveer die oppervlakte van die hoeklyn van ||m halveer opp parallelogram. Die hoeklyne van 'n ruit halveer mekaar reghoekig. hoeklyne van ruit Die hoeklyne van 'n ruit halveer die teenoorstaande binnehoeke. hoeklyne van ruit Al vier sye van 'n ruit is gelyk. sye van ruit Al vier sye van 'n vierkant is gelyk. sye van vierkant Die hoeklyne van 'n reghoek is ewe lank. hoeklyne van reghoek Die hoeklyne van 'n vlieër sny mekaar reghoekig. hoeklyne van vlieër Die een hoeklyn van 'n vlieër halveer die ander hoeklyn. hoeklyne van vlieër Een hoeklyn van 'n vlieër halveer die teenoorstaande binnehoeke hoeklyne van vlieër Copyright reserved Please turn over

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Aard van Wortels SCIENCE CLINIC 2022 © GETALLE AARD: Verwys na die tipe getalle wat die wortels is. Nie-reëel (R’) (word somtyds na verwys as denkbeeldige getalle) WORTELS: Die x-afsnitte/oplossings/nulpunte van die kwadratiese vergelyking. Reëel (R) Twee reële wortels Een reële wortel Geen reële wortels Rasionaal (Q) Irrasionaal (Q’) y y y Heelgetalle en breuke VOORBEELD: Heelgetalle (Z) Positiewe en negatiewe heelgetalle π 2 Heelgetalle (N0) x 0+N Alle desimale getalle x x wat nie as ‘n breuk Natuurlike getalle (N) geskryf kan word nie. 1, 2, 3... OF OF OF y y y x x x KWADRATIESE FORMULE DIE DISKRIMINANT −b ± b 2 − 4ac x= −b ± b 2 − 4ac 2a x= 2a a = die koëffisient van x2 BEPALING VAN DIE AARD VAN WORTELS b = die koëffisient van x aangedui deur Δ . c = die konstante term Die DISKRIMINANT word gebruik om die aard van wortels te bepaal. 2 ∴ Δ = b − 4ac Dit word gebruik om kwadratiese vergelykings Δ op te los. VOORBEELD: VOORBEELD: Δ<0 Δ≥0 Nie-reële Reële 3x 2 + 2x − 4 = 0 3x 2 + 2x − 4 = 0 wortels wortels a = 3 a = 3 b = 2 b = 2 c = −4 c = −4 Δ>0 Δ=0 2 ongelyke 2 gelyke, wortels reële wortels −b ± b 2 − 4ac Δ = b 2 − 4a c x = 2a Δ = (2)2 − 4(3)(−4) −(2) ± (2) 2 − 4(3)(− 4) Bepaal die waarde van Δ Δ = volkome vierkant Δ ≠ volkome vierkant x = rasionale wortels irrasionale wortels 2(3) Los op vir x Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 2

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Aard van Wortels SCIENCE CLINIC 2022 © DISKRIMINANT b2 - 4 a c VOORBEELDE AARD VAN WORTELS AANTAL REËLE WORTELS (∆ = b2 - 4ac) a>0 a<0 y y x2 + x + 1 = 0 Δ = b2 – 4ac x = (1)2 – 4(1)(1) =1–4 Nie-reëel 0 = –3 a b c Δ<0 x y y x2 – 6x + 9 = 0 Δ = b2 – 4ac x Reëel (Δ = +) = (–6)2 – 4(1)(9) Rasionaal (Δ = volkome = 36 – 36 1 (2 van dieselfde) vierkant) =0 Gelyk (Δ = 0) a b c Δ=0 x x2 – 5x – 6 = 0 Δ = b2 – 4ac Reëel (Δ = +) = (–5)2 – 4(1)(–6) Rasionaal (Δ = volkome y y = 25 + 24 2 vierkant) = 49 Ongelyk (Δ ≠ 0) a b c Δ > 0 (volkome vierkant) x x Δ = b2 – 4ac 2x2 + 3x – 7 = 0 = (3)2 – 4(2)(–7) Reëel (Δ = +) = 9 + 56 Irrasionaal (Δ ≠ 2 = 65 volkome vierkant) Δ > 0 (nie volkome Ongelyk (Δ ≠ 0) a b c vierkant) Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 3

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Aard van Wortels SCIENCE CLINIC 2022 © BEPALING VAN DIE AARD VAN VIR WATTER WAARDES VAN k SAL BEWYS DIE AARD VAN DIE WORTELS DIE WORTELS SONDER OM DIE VERGELYKING GELYKE Die aard van die wortels sal gegee word en die diskriminant kan gebruik word om die aard, met óf een óf geen DIE VERGELYKING OP TE LOS WORTELS HÊ? onbekende waardes te bewys, Die aard van die wortels van ‘n Die diskriminant (Δ) kan gebruik word om die vergelyking kan bepaal word deur die onbekende waarde van k te bepaal. (bv vra Stappe om die aard van die wortels Stappe om die aard van die wortels te bewys waarde van die diskriminant (Δ) te jouself, vir watter waardes van k sal die (GEEN onbekende) te bewys. (EEN onbekende): bereken. diskriminant nul wees?) 1. Skryf die vergelyking in standaardvorm 1. Skryf die vergelyking in standard vorm Stappe om die aard van die wortels 2. Vervang die korrekte waardes en bereken die waarde 2. Vervang die korekte waardes en bereken die waarde Stappe om die waardes van k te bepaal te bepaal deur die diskriminant te van die diskriminant van die diskriminant deur die diskriminant te gebruik: gebruik: 3. Bepaal die wortels en toets of dit is wat gegee is 3. Bepaal die wortels en toets of dit is wat gegee is 1. Skryf die vergelyking in die standaardvorm 1. Skryf die vergelyking in die standaard- 2. Vervang die korrekte waardes en bereken VOORBEELD: VOORBEELD: vorm die diskriminant Bewys dat die vergelyking twee ongelyke, irrasionale Bewys dat die wortels van die vergelyking 2. Vervang die korrekte waardes en 3. Stel die diskriminant gelyk aan 0 en los k op wortels het: x2 = 2x + 9 x(6x – 7m) = 5m2, reëel, rasionaal en ongelyk is as bereken die diskriminant (kwadratiese vergelyking). m>0 3. Bepaal die aard van die wortels van die vergelyking VOORBEELD: 1. Standaardvorm 1. Standaardvorm 2 x – 2x – 9 = 0 6x2 – 7mx – 5m2 = 0 VOORBEELD: Vir watter waardes van k sal die vergelyking (x2 + 2kx = –4x – 9k) gelyke wortels hê? a b c a b c Bepaal die aard van die wortels vir x2 = 2x + 1 sonder om die vergelyking ONTHOU: Δ = 0 vir gelyke wortels 2. Bereken die diskriminant 2. Bereken die diskriminant op te los. 2 Δ = b – 4ac Δ = b2 – 4ac 1. Standaardvorm Δ = (–2)2 – 4(1)(–9) Δ = (–7m)2 – 4(6)(– 5m2) 1. Standaardvorm x2 + 2kx = –4x – 9k Δ = 4 + 36 Δ = 49m2 + 120m2 x2 = 2x +1 Δ = 40 Δ = 169m2 x2 + 2kx + 4x + 9k = 0 x2 – 2x – 1 = 0 a b c a b c 3. Bepaal die aard van die wortels 3. Bepaal die aard van die wortels Die wortels is: Die wortels is: 2. Bereken die diskriminant Reëel (Δ > 0) Reëel (Δ > 0) 2. Bereken die diskriminant Δ = b2 – 4ac Ongelyk (Δ ≠ 0) Ongelyk (Δ ≠ 0) Δ = b2 – 4ac Irrasionaal (Δ ≠ volkome vierkant) Rasionaal (Δ = volkome vierkant) Δ = (2k + 4)2 – 4(1)(9k) Δ = (–2)2 – 4(1)(–1) Δ = 4k2 +16k +16 – 36k Δ=4+4 Δ = 4k2 – 20k + 16 Δ=8 3. Stel gelyk aan nul (0) en los k op. 3. Bepaal die aard van die wortels 0 = 4k2 – 20k + 16 (÷ 4) Die wortels is: 0 = k2 – 5k + 4 Reëel (Δ > 0) 0 = (k – 1)(k – 4) Ongelyk (Δ ≠ 0) dus k = 1 of k = 4 Irrasionaal (Δ ≠ volkome vierkant) k moet 1 of 4 wees om te verseker dat die diskriminant van die vergelyking nul (0) sal wees (die diskriminant moet nul wees om gelyke wortels te verseker). Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 4

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Kwadratiese Vergelykings SCIENCE CLINIC 2022 © Kwadratiese vergelykings is vergelykings van die tweede graad (d.w.s. die hoogste eksponent van die veranderlike is 2). Die graad van die vergelyking bepaal die maksimum aantal reële wortels/oplossings/ nulpunte. Die standaardvorm van ‘n kwadratiese vergelyking is: a x 2 + bx + c = 0 wa ar a ≠ 0 OPLOS VAN KWADRATIESE VERGELYKINGS VERSKIL VAN VOLKOME FAKTORISERING KWADRATIESE FORMULE VOLTOOI DIE VIERKANT EEN WORTEL TWEE WORTELS BREUKE EN BEPERKINGE VIERKANTE Vervang in die kwadratiese 1. Bepaal KGV en die beperkings 1. Skryf in formule: 1. Skryf in standaardvorm 1. Vervang die standaardvorm 2. Skuif c na die oorkant onbekende wortel 1. Vervang die wortels in die 2. Los op vir x −b ± b 2 − 4a c 2. Pas die nul-produk x = 3. Deel beide kante deur a 2. Los die veranderlike vergelyking 3. Toets jou antwoorde t.o.v. beperkings wet toe 2a 4. Plus (½ x b)2 aan beide op 2. Gebruik “EBBL” vir die ONTHOU: 3. Lys die moontlike waar a = koëffisiënt van x2, kante 3. Vervang die waarde en kwadratiese vergelyking 0 x oplossings b = koëffisiënt van x, 5. Faktoriseer en los op los die wortel op = 0 MAAR = ongedefinieerd c = konstante term x 0 Bv. x2 = –2x + 63 Bv. –3x2 = –12 + 7x Enige metode kan gebruik word. Bv. x2 + 2x = 1 Bv. x2 + mx – 15 = 0, Bv. –9 en 7 is die wortels Bv. x x2 + 2x – 63 = 0 –3x2 – 7x + 12 = 0 2 Bv. x = 25 (½ . 2)2 = (1) waar 5 ‘n wortel is. van ‘n kwadratiese vergelyking x−2 = x −1 3 − 2 −2 x a = –3; b = –7; c = 12 x2 – 25 = 0 (5)2 + (5)m – 15 = 0 x2 = ± 25 x Bepaal faktore van 63 −(−7) ± (−7) 2 − 4(−3)(12) (x – 5)(x + 5) = 0 25 + 5m – 15 = 0 x = –9 of x=7 x−2 = x −1 3 + x −2 2 x = ±5 5m = –10 x+9=0 x–7=0 sodat F1 x F2 = –63 x = x = 5 of x = –5 x 2 + 2x + 1 = 1 + 1 2(−3) m = –2 KGV: (x − 2)(x − 3) en F1 + F2 = 2 7± 49 + 144 (x + 1)2 = ± 2 Beperkings: x − 2 ≠ 0; x − 3 ≠ 0 x = Dus x = ±5 (x + 9)(x – 7) = 0 −6 x2 – 2x – 15 = 0 x(x − 2)(x − 3) 1(x − 2)(x − 3) 2(x − 2)(x − 3) (x + 9)(x – 7) = 0 x + 1= ± 2 (x – 5)(x + 3) = 0 x2 – 7x + 9x – 63 = 0 = + 7± 193 x2 + 2x – 63 = 0 (x − 2) (x − 3) (x − 2) x + 9 = 0 of x – 7 = 0 x = x + 1= − 2 of x + 1= 2 x=5 of x = –3 −6 (gegee) x(x – 3) = 1(x – 2) + 2(x – 3) x = –9 x=7 x = −1− 2 x = −1+ 2 7+ 193 7− 193 x2 – 3x = x – 2 + 2x – 6 x = of x = x2 – 3x – x – 2x + 2 + 6 = 0 −6 −6 x2 – 6x + 8 = 0 (x – 4)(x – 2) = 0 Antwoord in wortelvorm of kan x–4=0 of x–2=0 bereken word/afgerond tot 2 x=4 x=2 desimale plekke Toets geldigheid: x ≠ 2, x ≠ 3 x = –3,48 OF x = 1,15 Dus, x = 4 is die enigste oplossing. Onthou: ALGEMENE STAPPE OM KWADRATIESE VERGELYKINGS OP TE LOS: * LK = Linkerkant * RK = Regterkant Kan nie * Breuke en hulle beperkinge Som faktoriseer nie Kry faktore: 2 volkome vierkante * Faktor 1 + Faktor 2 = b * Faktor 1 x Faktor 2 = c Tweeterm 2. Faktoriseer die Verskil Nul-produk wet: 1. Standaardvorm grootste algemene As A x B = 0 dan is A, B of beide = 0 faktore uit Voorbeeld: Drieterm Faktoriseer x.y=0 Faktoriseer Kwadratiese formule x = 0 of y=0 of (x + 1)(x – 3) = 0 x+1=0 of x–3=0 Voltooi die vierkant Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 5

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Eksponente en Wortels SCIENCE CLINIC 2022 © WAT IS: EKSPONENTWETTE Eksponente: Eksponente onstaan wanneer ‘n uitdrukking/basis/veranderlike Eksponentwette is slegs van toepassing op vermenigvuldiging, deling, hakies en wortels. NOOIT van toepassing vir optel of aftrek vermenigvuldig of gedeel word deur ‘n soortgelyke uitdrukking/basis/ nie. veranderlike Algebraïese Notasie Eksponensiële Notasie Toepassing van Eksponent Wette Wortels: ‘n Wortel is die wiskundige term vir irrasionale wortels, wanneer hulle in ‘n wortel vorm gelos word, in plaas van desimale vorm ge- 1 16 = 2 × 2 × 2 × 2 16 = 24 Wanneer ons VERMENIGVULDIG met dieslefde grondtal word die skryf word. eksponente OPGETEL. NUTTIGE WENKE F 2 64 26 Wanneer ons DEEL met dieselfde grondtal word die eksponente AFGETREK 1. Vir eksponensiële vergelykings, moet getalle as priemgetalle in eksponensiële = 4 = 22 16 24 (altyd die boonste een minus die onderste een). vorm geskryf word. 2. Haal die gemeenskaplike faktor uit, waar nie-soortgelyke terme deur ‘n +/- geskei word. 3 43 = 64 (22 )3 = 26 Wanneer ons eksponente buite die HAKIES het word die INGEMAAL. 3. Maak seker dat wortels altyd in die eenvoudigste vorm uitgedruk word. 4. Skryf wortels in eksponensiële vorm wanneer ‘n uitdrukking vereenvouding moet 4 64 26 Enige grondtal met MAG 0 is gelyk aan een. (Uitsondering 00 is = 1 = 20 = 1 word. 64 26 ongedefineerd). 5. Neem kennis van die volgende: 5 3 3 ’n Algemene fout wat voorkom, met oplos van vergelykings waar die eksponent 64 = 4 26 = 22 Die MAG in die wortel word GEDEEL deur die grootte van die wortel. ‘n breuk is, is deur beide kante se eksponente te vermenigvuldig met die on- bekende eksponente se inverse (sodat die eksponent gelyk gestel word aan 1). Wanneer jy egter die breuk eksponente in wortelvorm moet uitdruk, sal jy die 6 4 × 9 = 36 22 × 32 = 62 Wanneer ons nie-identiese grondtalle het, maar identiese eksponente, hou volgende opmerk: ons die eksponent en vermenigvuldig die grondtal. (Dieselfde reël geld vir a. ‘n Ewe mag sal altyd ‘n positiewe en negatiewe oplossing hê: 1 1 1 4 7 2× 3= 6 2 2 × 32 = 6 2 deling). x3 = 3 3 x4 = 3 8 1 1 Enige vierkantswortel gemaal met homself is gelyk aan die term/getal 2× 2= 4= 2 2 2 × 2 2 = 21 onder die wortel. x 4 = 27 x = ± 4 27 OMSKAKELING VAN BEWERKING MET WORTELS b. ‘n Negatiewe getal onder ‘n ewe wortel kan nooit ‘n reële oplossing lewer WORTELS NA Stappe vir vereenvoudiging van wortels: nie: EKSPONENSIËLE VORM 1. Druk die terme in die eenvoudigste wortelvorm uit 1 (−2) 2 = x (EN VICE VERSA) 2. Identifiseer soortgelyke terme vir optel/aftrek, gebruik Eksponent Wette vir maal/deel. −2 = x ∴ Geen reële oplossing Die mag onder die wortel word ONTHOU: Dui veranderinge aan waneer ‘n sakrekenaar gebruik word: c. ‘n Onbekende onder ‘n ewe wortel het geen reële oplossing vir ‘n negatiewe die teller en die grootte van die m.a.w. 50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2 antwoord nie: wortel word die noemer 3 VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 x4 = −2 VOORBEELD 3 N D N x = x D Vereenvoudig: Vereenvoudig: 3. ‘n Reghoek het ‘n lengte 31 van 7 + 1 en ‘n breedte OPTEL EN AFTREK VAN SOORTGELYKE TERME 5 81 × 4 27 3 20 VOORBEELD = van 7 − 1. Bereken die Soortgelyke terme is terme in uitdrukkings wat identiese veranderlikes 50 + 3 18 − 98 5 9× 3 9 lengte van die hoeklyn. 3 10 en eksponente het. Vir optel/aftrek, gaan jy doodeenvoudig die koëffisient 1. 5 x 2 = 5 2+ 9 2−7 2 5 34 × 4 33 13 optel/aftrek. Eksponente verander nooit wanneer die ons +/- met die grond- 2 = = 3 20 tal nie = x5 = 7 2 5 ( 7 + 1)2 + ( 7 − 1)2 = r 2 32 × 3 VOORBEELD 4 3 7 + 2 7 + 1 + 7 − 2 7 + 1 = r2 35 × 34 1. 3x 2 y 4 − 5x 3 y + 2x 2 y 4 + x 3y = 5x 2 y 4 − 4x 3 y 3 = = 20 313 2. x4 2 1 16 = r 2 35 × 32 = 4 x3 4= r 2. 3 2 + 5 3 − 8 2 + 3 = −5 2+ 6 3 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 6

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Eksponente en Wortels SCIENCE CLINIC 2022 © RASIONALISERING VAN DIE NOEMER Die proses om ‘n ekwivalente breuk te vind wat uitgedruk kan word sonder ‘n wortel in die noemer. Stappe vir rasionalisering van eenterm noemers: Stappe vir rasionalisering van tweeterm noemers: 1. Vermenigvuldiging die teller en die noemer met 1. Vermenigvuldig die teller en die noemer met die die noemer wat jy wil rasionaliseer. tweegetal in die noemer (tweeterm), maar met ‘n 2. Onthou om sovêr moontlik te vereenvoudig. teenoorgestelde teken voor die tweede getal. 2. Vereenvoudig VOORBEELD 1 Hoekom? Om ‘n irrasionele drieterm te vermy, gaan ons met Druk die volgende met ‘n rasionale noemer uit: dieselfde tweeterm vermenigvuldig, maar die te- 3 6+ 3 2 ken in die tweede hakie verander. Dit lei tot ‘n ver- 1. 2. skil van die vierkante, wat geen middelterm na 7 2 3 vermedigvuldiging het nie. 3 7 6+ 3 2 3 = × = × VOORBEELD 1 7 7 2 3 3 Druk die volgende breuke met ‘n rasionale noemer 3 7 6 3+ 3 6 uit: = = 7 2×3 3 7 1. 2. 6 3+ 3 6 1 5− 7 x− = x 6 3 5+ 7 1 2 3+ 6 = × x+ = 5− 7 5+ 7 7 x 2 = × 15 + 3 7 x− 1 x+ 1 x x = 25 − 7 7 VOORBEELD 2 7 x+ 15 + 3 7 x x2 + 2 = = 1 As x = 3 + 2, vereenvoudig: en druk jou 18 x−x x −2 antwoord uit met ‘n rasionale noemer: 5+ 7 7x + 7 = x2 + 2 6 x 1. = x2 − 1 x −2 x ( 3 + 2)2 + 2 7x + 7 x2 − 1 = = ÷ ( 3 + 2) − 2 x x 3+ 4 3+ 4+ 2 7(x + 1) x = = × 3 x (x + 1)(x − 1) 9+ 4 3 3 7x x = × = × 3 3 x (x − 1) x 9 3+ 4⋅3 7x x = = 3 x (x − 1) = 3 3+ 4 7 x = (x − 1) Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 7

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Eksponente en Wortels SCIENCE CLINIC 2022 © FAKTORISERING Faktorisering is die teenoorgestelde van distrubisie, dit beteken dat jy die eksponente aftrek wanneer jy die faktore “uithaal”. Daar is ses tipes faktorisering. 1. Algemene faktorisering 2. Verskil van volkome vierkante (VVVV): 3. Som of verskil van twee derdemagte: Verwyder die grootste gemene faktor vanuit die koëffisiënte en alge- Gebruik wanneer terme, wat albei volkome vierkante is, van mekaar Gebruik wanneer twee terme wat albei volkome derdemagte is, by mene veranderlikes. afgetrek word. Die vierkantswortel van beide terme sal in beide mekaar opgetel of afgetrek word. Die antwoord word geskryf, as ‘n hakies verkyn, met teenoorgestelde + en - tekens. tweeterm in een hakie en ‘n drieterm in die ander. VOORBEELDE ‘n Volkome vierkant se eksponent kan deur twee gedeel word, en het ‘n ‘n Volkome derdemag se eksponent kan deur drie gedeel word, rasionale vierkantswortel. en het ‘n rasionale derdemagswortel. Faktoriseer die volgende: VOORBEELDE VOORBEELDE 4x 5 8x 3 16x 2 1. 3x 5 y 4 + 9x 3y 5 − 12x 2 y 4 2. 3 − + Faktoriseer die volgende: Faktoriseer die volgende: 9y 27y 2 3y 2 4 3 = 3x y (x + 3x y − 4) 3y ( 3y 2 9y ) 4x 2 x 3 2x 1. 9x 2 − 4y 6 2. x 4 − 16 = + + 4 1. x 3 − 8 = (3x + 2y 3)(3x − 2y 3) = (x 2 + 4)(x 2 − 4) = (x − 2)(x 2 + 2x + 4) 2 4. Eksponesiële faktorisering: x −7 = (x 2 + 4)(x + 2)(x − 2) 3. 2. 27x 6 + 64y 9 Soortgelyk aan algemene faktorisering. Verwyder die grootste ge- x+ 7 mene faktor, wat in hierdie geval ‘n grondtal met ‘n eksponent is. = (3x 2 + 4y 3)(9x 4 − 12x 2 y 3 + 16y 6 ) Eksponente word van die selfde grondtalle afgetrek. (x + 7)(x − 7) 4. a 2 + 2a b + b 2 − x 2 = 6. Drieterm: x+ 7 = (a + b)2 − x 2 Nota: Die verhouding van die eerste term se eksponent tot die mid- VOORBEELDE = x− 7 delterm moet 2:1 wees. ‘n Kombinasie van die faktore van die eerste Faktoriseer die volgende: = (a + b + x)(a + b − x) en laaste term moet die middelterm gee. VOORBEELDE 5. Groepering: 9 x+ 2 − 32 x Faktoriseer die volgende: (V2 - V6 is konseptueel dieselfde) 1. 2x+ 3 − 2x+ 1 2. x 3 Tegnies algemene faktorisering, maar ‘n algemene polinoom (ge- 3 ⋅ 2 × 3x ⋅ 5 woonlik ‘n tweeterm) word verwyder. = 2x (23 − 2) (32 ) x+ 2 − 32 x = VOORBEELDE 1. 3x 2 − 5x − 2 2. x 2 + 3x − 10 = 2x ⋅ 6 32 x ⋅ 8 ⋅ 5 Faktoriseer die volgende: = (3x + 1)(x − 2) = (x + 5)(x − 2) 32 x+ 4 − 32 x = 32 x ⋅ 40 1. x (y − 4) + 3(y − 4) 2. a 2 + 2a b + b 2 − 3a − 3b 5x − 5x−2 2 1 3. 2x 3 (3 − 1)4 3. x 4 + 3x 2 − 10 4. x 3 + 3x 3 − 10 2 ⋅ 5x − 5x = = (y − 4)(x + 3) 2 = (a + b) − 3(a + b) 32 x ⋅ 40 1 1 5x (1 − 5−2 ) = (a + b)(a + b − 3) = (x 2 + 5)(x 2 − 2) = (x 3 + 5)(x 3 − 2) = 80 5x (2 − 1) = 40 3. 5x − 15y + 9a y − 3a x 1 1 − 25 5. 52 x + 3 ⋅ 5x − 10 6. 32 x + 3x+ 1 − 10 = = 2 = 5(x − 3y) + 3a(3y − x) 1 = 5(x − 3y) − 3a(x − 3y) = (5x + 5)(5x − 2) = 32 x + 3 ⋅ 3x − 10 24 = 25 = (x − 3y)(5 − 3a) = (3x + 5)(3x − 2) Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 8

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Eksponente en Wortels SCIENCE CLINIC 2022 © VERGELYKINGS 1. Lineêre vergelykings: 3. Gelyktydige vergelykings: 5. Eksponensiële vergelykings: Skuif al die veranderlikes na een kant en al die konstantes na die Twee onbekendes in twee vergelykings word opgelos dmv die vervang- Kry een term met dieselfde basis aan altwee kante van die verge- ander kant. Lineêre vergelykings het slegs een oplossing. ingsmetode. Onthou om altwee onbekendes op te los - vervang eerste lyking. Verwyder dan die basis aan elke kant en stel die ekspo- onbekende se oplossing in die oorsponklike vergelyking. nente gelyk aan mekaar. VOORBEELDE VOORBEELDE Los op: Wenke: Los op: • Moet NOOIT die grondtalle weglaat terwyl die terme met + 1. 3(x − 2) + 10 = 5 − (x + 9) 2. (x − 2)2 − 1 = (x + 3)(x − 3) of − geskei word nie! Gebruik eers algemene faktorisering 1. Vergelyking 1: 2x + 3y = 18 2. Vergelyking 1: y + 3x = 2 3x − 6 + 10 = 5 − x − 9 x 2 − 4x + 4 − 1 = x 2 − 9 om die vergelyking in die eenvoudigste vorm te skryf. Vergelyking 2: − 3x + 5y = 11 Vergelyking 2: y 2 − 9x 2 = 16 • Skakel altyd desimale getalle na breuke om, en dan na ‘n 3x + 4 = − x − 4 −4x + 3 = − 9 Van 1: 2x + 3y = 18 grondtal met ‘n negatiewe eksponent. Van 1: y + 3x = 2 4x = − 8 −4x = − 12 2x = − 3y + 18 y = − 3x + 2....1a x = −2 x = 3 −3y + 18 x = ....1a Vervang 2 met 1a: y 2 − 9x 2 = 16 VOORBEELDE 2 (−3x + 2)2 − 9x 2 = 16 1. 4x = 8 2. 0,0625x = 64 2. Kwadratiese vergelykings (Metoode - Nulproduk): Vervang 2 met 1a: −3x + 5y = 11 1 x ( 16 ) 9x 2 − 12x + 4 − 9x 2 = 16 22 x = 23 ( ) Stel die vergelykings gelyk aan nul. Die een kant sal ‘n twee- of −3y + 18 = 26 −3 + 5y = 11 drieterm wees wat kan faktoriseer. Dus sal daar twee oplossings 2 −12x = 12 2x = 3 1 x ( 24 ) wees. 9y − 54 3 + 5y = 11 x = − 1....3 x = = 26 VOORBEELDE 2 2 Vervang 1 met 3: y + 3(−1) = 2 Los op: 9y − 54 + 10y = 22 2−4x = 26 y = 5 1. x 2 + 5 = 6x 2. (3x − 4)(5x + 2) = 0 19y = 76 3. 2 ⋅ 3x+ 1 + 5 ⋅ 3x = 33 −4x = 6 (−1; 5) −3 x 2 − 6x + 5= 0 3x = 4 of 5x = − 2 y = 4....3 3x (2 ⋅ 3 + 5) = 33 x = 2 (x − 5)(x − 1) = 0 4 −2 Vervang 1 met 3: 2x + 3(4) = 18 3x (11) = 33 x = of x = x = 5 of x = 1 3 5 2x = 6 3x = 31 9 x = 3 x = 1 5. 0,5x ⋅ 1+ = 10 16 2 1 (3; 4) 3. x 4 + 3x 2 − 10 = 0 1 x (2) 4. x 3 + 3x 3 − 10 = 0 25 1 1 4. 273x+ 1 = 812 x+ 5 ⋅ = 10 4. Vergelykings met Wortels: 16 (x 2 + 5)(x 2 − 2) = 0 (x 3 + 5)(x 3 − 2) = 0 Kry die wortel aan die een kant van die vergelyking deur toepassing (33)3x+ 1 = (34 )2 x+ 5 5 1 1 2−x ⋅ = 10 x2 = − 5 of x 2 = 2 x3 = − 5 of x 3 = 2 van inverse bewerkings. Kwadreer elke kant van die vergelyking om 39x+ 3 = 38x+ 20 4 N/A of x = ± 2 x = − 125 of x = 8 van die wortel ontslae te raak. NB: Kontroleer altyd jou oplossing. 2−x = 8 9x + 3 = 8x + 20 VOORBEELDE x = 17 2−x = 23 5. x + 3 x − 10 = 0 6. 22 x − 6 ⋅ 2 x − 16 = 0 Los op: −x = 3 1 1. x −2 = 3 2. x + 5−x = 3 x = −3 x+ 3x 2 − 10 = 0 (2 x + 2)(2 x − 8) = 0 Bewys: 1 1 x −2 = 9 x+ 5= x+ 3 LK = (−1) + 5 − (−1) (x 2 + 5)(x 2 − 2) = 0 2x = − 2 of 2 x = 8 LK = 3 RK = 3 1 1 x = 9+ 2 x+ 5= x2 + 6x + 9 ∴ x = −1 x 2 = − 5 of x 2 = 2 N/A of 2 x = 23 x = 11 0 = x 2 + 5x + 4 LK = (−4) + 5 − (−4) x = − 5 of x = 2 x = 3 LK = 5 RK = 3 0 = (x + 1)(x + 4) ∴ x ≠ −4 N/A of x = 4 x = − 1 of x ≠ − 4 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 9

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Rye en Reekse SCIENCE CLINIC 2022 © Patrone/Rye: geordende stel nommers ONTHOU: Lineêre: Kwadratiese: F Konstante eerste verskil tussen opeenvolgende terme. Konstante tweede verskil tussen opeenvolgende terme. 1. Opeenvolgende: getalle volg direk op Tn = Algemene Term Tn = Algemene Term mekaar Tn = d n+ c Tn = a n2 + bn+ c d = Konstante Verskil n = term no. 2. Gemene/konstante verskil: verskil tussen twee opeenvolgende terme in ‘n die formule is soortgelyk aan die lineêre funksie y = m x + c die formule is soortgelyk aan die kwadratiese uitdrukking en die formule vir ‘n parabool patroon (d) Stappe om die nde term te bepaal: Stappe om die nde term te bepaal: d = T2 − T1 1. Bepaal die konstante verskil 1. Bepaal die konstante tweede verskil 3. Algemene formule Tn: 2. Vervang die konstante verskil (d), ‘n term waarde saam met ‘n term nom- 2. Gebruik die waarde van die tweede verskil om “a” te bepaal staan ook bekend as die nde term. mer 3. Gebruik die waarde van “a” en die eerste verskil om “b” te bepaal • Algemene formule vir ‘n lineêre pa- 3. Vervang die c- en d- waardes om die nde term te bepaal. 4. Gebruik “a” en “b” om “c” te kry. troon: Tn = d n + c VOORBEELD VOORBEELD • Algemene formule vir ‘n kwadratiese 1. Bepaal die nde term deur na die volgende ry te verwys Bepaal die nde term deur na die volgende ry te verwys: patroon: T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T4 Tn = a n2 + b n + c Term 1 2; 7; 12; 17 6; 17; 34; 57 (a + b + c) 7−2 12 − 7 17 − 12 17 − 6 34 − 17 57 − 34 4. T1; T2; . . . . T100: Term word verteenwoor- dig deur T en die nommer van die term Eerste verskil 5 5 5 11 17 23 (3a + b) as ‘n onderskrif 7−2 12 − 7 Tweede verskil 5. Die Doel: Gebruik die 3de term waar T3 = 12 6 6 (2a) a. Bepaal die waarde van die Tn = 5n + c veranderlikes 12 = 5(3) + c Tweede verskil = 2a b. Gebruik waardes om ‘n algemene 12 = 15 + c 6 = 2a term te bepaal c. Gebruik die algemene term om 12 − 15 = c 3= a spesifieke waardes van terme te −3 = c bepaal Eerste verskil = 3a + b d. Gebruik ‘n gegewe waarde om die 11 = 3a + b term te bepaal ∴ Tn = 5n− 3 11 = 3(3) + b 2= b 2. Bepaal die 100ste term T100 = 5(100) − 3 Term 1 = a + b + c = 500 − 3 6 = (3) + (2) + c = 497 6−3−2 = c 1= c ∴ T100 = 497 ∴ Tn = 3n2 + 2n + 1 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 10

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Rye en Reekse – Rekenkundige Rye SCIENCE CLINIC 2022 © REKENKUNDIGE RY VOORBEELD 2 VOORBEELD 3 ‘n Ry gevorm deur ‘n konstante verskil (d) by die vorige term by te tel m ; 2m + 2 en 5m + 3 is drie opeenvolgende terme in ‘n rekenkundige ry. Bepaal die rekenkundige ry as die 6de term 10 is en die 14ste term 58 is. ∴ d = T2 − T1 = T3 − T2 a) Bepaal die waarde van m. Tn = algemene term Vir n = 6; b) Bepaal die ry. Tn = a + (n− 1)d n = termnommer Tn = a + (n− 1)d 10 = a + 5d . . . . . . . . . . . vg l 1 a = T1 Stappe om die nde term te bepaal: a) Rekenkundige ry, dus: d = eerste verskil T2 − T1 = T3 − T2 1. Bepaal die konstante verskil (d) (2m + 2) − m = (5m + 3) − (2m + 2) Vir n = 14; 2. Gebruik T1 as “a” m+ 2 = 3m + 1 Tn = a + (n− 1)d −2m = −1 58 = a + 13d . . . . . . . . . . . vg l 2 1 m = 2 VOORBEELD 1 vlg 2 − vlg 1 : b) Gegee: –6; –2; 2; 6; 10; ...; 110. bepaal: d = T2 − T1 a + 13d = 58 = (2m + 2) − m −a + 5d = 10 a) die algemene term. 8d = 48 b) watter term in die ry groter as 84 is. = 2( 1 ) + 2 − 1 ∴d = 6 2 2 5 c) die waarde van die 14de term. = 2 d) Hoeveel terme daar in die gegewe ry is.. b vervang in vlg 1 : Tn = a + (n− 1)d 10 = a + 5d 28 = a + (12 − 1)( 5 ) 10 = a + 5(6) 2 –6; –2; 2; 6; 10; ...; 110 a = −20 (2) –2–(–6) 2–(–2) 6–2 10–6 55 28 = a+ 1 4 4 4 4 Eerste verskil(d) a = NOTA: Wanneer daar gevra word vir die 2 ry, beteken dit die waarde van die eerste (2) 1 5 3 terme a) Tn = a + (n− 1)d ∴ Tn = + (n− 1) 2 Tn = − 6 + (n− 1)4 Tn = 4n− 10 Tn = a + (n− 1)d NOTA: Wanneer daar gevra word vir die ry, beteken dit die waarde van die eerste 3 terme T1 = −20 + (1 − 1)(6) b) 4n− 10 > 84 T1 = −20 4n > 94 T1 = m n > 23,5 T1 = 1 2 Tn = a + (n− 1)d ∴ 24th term T2 = −20 + (2 − 1)(6) T2 = 2m + 2 T1 = −14 c) Tn = 4n− 10 2( ) + 2 1 T14 = 4(14) − 10 T2 = 2 T14 = 46 T2 = 3 Tn = a + (n− 1)d T1 = −20 + (3 − 1)(6) T3 = 5m + 3 d) Tn = 4n− 10 T1 = −8 110 = 4n− 10 = 5( 1 ) + 3 2 4n = 120 11 = ∴ − 20; − 14; − 8 n = 30 2 1 11 ∴ ; 3; 2 2 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 11

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Rye en Reekse – Meetkundige Rye SCIENCE CLINIC 2022 © MEETKUNDIGE RY VOORBEELD 2 VOORBEELD 3 ‘n Ry wat gevorm word deur die vorige term deur ‘n 4g–2 ; g+1 ; g–3 is die eerste drie terme in ‘n meetkundige ry. Die 6de term van ‘n meetkundige ry is 3, en die 11de term is 27. konstante verhouding (r) te maal. a) Bepaal die waarde van g, indien g ‘n heelgetal is en bewys Bepaal die ry. dan dat die eerste drie terme 18; 6; 2 is. Tn = algemene term T2 T b) Kry die nde term van die ry. Vir n = 6; ∴r = = 3 n = termnommer T1 T2 Tn = a ⋅ r n−1 a = T1 3 = a ⋅ r 5 . . . . . . . . . . . vg l 1 Tn = a ⋅ r n−1 r = konstante verhouding a) T2 T3 r = = Vir n = 11; T1 T2 Stappe om die n de term te bepaal: g + 1 = g −3 Tn = a ⋅ r n−1 4g − 2 g + 1 1. Bepaal die konstante verhouding 27 = a ⋅ r 10 . . . . . . . . . . . vg l 2 (g + 1)(g + 1) = (g − 3)(4g − 2) 2. Gebruik T1 vir “a” g 2 + 2g + 1 = 4g 2 − 14g + 6 3g 2 − 16g + 5 = 0 vlg2 ÷ vlg1; VOORBEELD 1 (3g − 1)(g − 5) = 0 ar 10 27 = 6; 18; 54; ....; 118 098. is ‘n gegewe ry. Bepaal: ar 5 3 1 a) die volgende twee terme ∴g ≠ (nie 'n heelgetal) of g = 5 33 3 r5 = 1 b) Die nde term 32 T1 = 4g − 2 3− 1 c) hoeveel terme daar in die ry is. = 4(5) − 2 r5 = 3 2 5 = 18 r5 = 32 1 6; 18 18; 54 54; ....; 118 098 T2 = g + 1 r = 32 = 3 6 18 = (5) + 1 = 6 3 3 r vervang in vlg1; a) r = 3 T3 = g −3 3 = a ⋅ r5 = (5) − 3 5 Tn = a ⋅ r n−1 Tn = a ⋅ r n−1 = 2 3 = a ⋅ ( 3) T4 = 6 ⋅ 34−1 T5 = 6 ⋅ 35−1 1 ∴ 18; 6; 2 a = ( 3) T4 = 162 T5 = 486 4 b) T2 1 b) r = a = 9 Tn = a ⋅ r n−1 T1 6 = 6 ⋅ 3n−1 = 18 Tn = a ⋅ r n−1 Tn = a ⋅ r n−1 Tn = a ⋅ r n−1 = 2 × 3 ⋅ 3n−1 1 = 1−1 2−1 3−1 ( 9 )( 3 ) ( 9 )( 3 ) ( 9 )( 3 ) 1 1 1 = 2 ⋅ 3n 3 T1 = T2 = T3 = 1 1 c) Tn = 2 ⋅ 3n Tn = a ⋅ r n−1 T1 = 9 T2 = 3 T3 = 3 9 118 098 = 2 ⋅ 3n 1 n−1 = 18 ⋅ ( ) 59 049 = 3n 3 310 = 3n of n = log3 59 049 = 2 × 32 × 3−n+ 1 1 3 1 ∴n = 10 ∴n = 10 ∴ ; ; = 2 ⋅ 33−n 9 9 3 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 12

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Rye en Reekse - Reekse SCIENCE CLINIC 2022 © ‘n Reeks is die som van ‘n aantal terme in ‘n ry en word verteenwoordig deur Sn. Algemene Term vir ‘n rekenkundige ry: REKENKUNDIGE REEKS Tn = a + (n− 1)d BEWYS: Som van die rekenkundige reeks: n Sn = a + [a + d ] + [a + 2d ] + ... + [a + (n− 3)d ] + [a + (n− 2)d ] + [a + (n− 1)d ] Sn = [2a + (n− 1)d ] 2 + Sn = [a + (n− 1)d ] + [a + (n− 2)d ] + [a + (n− 3)d ] + ... + [a + 2d ] + [a + d ] + a Laaste term: 2Sn = [2a + (n− 1)d ] + [2a + (n− 1)d ] + [2a + (n− 1)d ] + [2a + (n− 1)d ] + [2a + (n− 1)d ] + [2a + (n− 1)d ] + [2a + (n− 1)d ] l = a + (n− 1)d ∴ 2Sn = n[2a + (n− 1)d ] n n ∴ Sn = [2a + (n− 1)d ] ∴ Sn = [a + l ] 2 2 VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 Bepaal die som van die volgende Die sesde term van ‘n rekenkundige reeks is 23 en die som van die eerste 6 terme is 78. Bepaal die som van die eerste een-en-twintig terme. a) Die eerste 25 terme van 18 + 13 + 8 b) Die reeks 5 + 8 + 11 + ... + 35 n + ... 1. Tn = a + (n− 1)d 3. q2 − q1 : 5. Sn = 2 [2a + (n− 1)d ] a = 5; d = 3; l = 35 23 = a + (6 − 1)d 23 = a + 5d 21 − 26 = 2a + 5d S21 = [2(3) + (21 − 1)(4)] d = −5 23 = a + 5d . . . . . . . . . . . . . . . . . eq1 2 Bepaal n : 3 = a = 903 n Sn = [2a + (n− 1)d ] n 2 35 = 5 + (n− 1)(3) Sn = n [a + l ] 2. Sn = 2 [2a + (n− 1)d ] 4. vervang a in vlg1 : 25 2 S25 = [2(18) + (25 − 1)(−5)] 30 = 3(n− 1) 6 23 = a + 5d 2 S11 = 11 [5 + 35] 78 = [2a + (6 − 1)d ] 2 2 23 − (3) = 5d = −1050 10 = n− 1 = 220 26 = 2a + 5d . . . . . . . . . . . . . . . . . eq 2 d = 4 ∴n = 11 MEETKUNDIGE REEKS BEWYS: Algemene Term vir ‘n meetkundige ry: Sn = a + ar + ar2 + a r3 + ... + a r n−2 + a r n−1 Tn = a ⋅ r n−1 r Sn = ar + ar2 + a r3 + ... + a r n−2 + a r n−1 + arn Som van die meetkundige reeks: Sn − r Sn = a − arn a (1 − r n) a (r n − 1) Sn(1 − r) = a (1 − r n) Sn = as r < 1 OF Sn = as r > 1 (1 − r) (r − 1) a(1 − r n) ∴ Sn = (1 − r) VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 Die reeks –2 +6 –18 +54 +.... is gegee. Bepaal: 3 1533 Die som van die meetkundige reeks 6 + ⋯ + is gelyk aan . a) Die som van 9 terme b) Die waarde van n indien die som gelyk is aan –797 162 128 128 Bereken die konstante verhouding en die aantal terme in die reeks T2 6 a(1 − r n) a(1 − r n) r = = = −3 Sn = Tn = a r n−1 Sn = rn = r T1 −2 (1 − r) (1 − r) 256 3 −2(1 − (−3) n) = 6r n−1 ( 256 ) 1 1 n (2) 128 a(1 − r n) −797 162 = 6 1− r = 2 Sn = (1 − (−3)) 1 (1 − r) = r n−1 1533 = 256 ( ) 256 −3 188 648 = −2 1 − (−3) n 128 1−r 1 n (2) 1 −2(1 − (−3)9 ) 1 = S9 = 1 594 324 = 1 − (−3) n r n ⋅ r −1 = 256 15339(1 − r) = 768(1 − r ) 512 (1 − (−3)) 256 (−3) n = −1 594 323 r n⋅ r 1 = 1 2−n = 2−9 = −9 842 1533 − 1533r = 768 − 3r 256 ∴n = 9 (−3) n= (−3)13 r 1530r = 765 rn = 1 ∴n = 13 256 r = 2 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 13

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Rye en Reekse - Reekse SCIENCE CLINIC 2022 © SOM TOT ONEINDIGHEID (S∞) SIGMA-NOTASIE Oorweeg die volgende waardes van Sn , as n →∞, in die volgende reeks Sigma-notasie word aangedui deur Σ, wat ‘som van’ beteken. 1. 2+ 4+ 6+ 8+ ⋯= ∞ (Rekenkundig en d = 2) end van einde termterm VOORBEELD 7 Eerste term : 3 2. 2+ 0−2−4−6+ ⋯= ∞ (Rekenkundig en d = − 2) Σ Formule vanthe Formula for dieseries reeks(T (T) ) nn ∑ 2n Laaste erm : 7 Formule van reeks: Tn=2n 3. 2 + 4 + 8 + 16 + ⋯ = ∞ (Meetkundig en r = 2) start van begin termterm n= 3 4. 2 − 4 + 8 − 16 + 32 + ⋯ = ∞ (Meetkundig en r = − 2) r ∑7n= 3 2n = 2(3) + 2(4) + 2(5) + 2(6) + 2(7) ∑ 1 1 (Tn) (Meetkundig en r = 2 ) 5. 8+ 4+ 2+ 1+ + ⋯= ∞ n= p = 6 + 8 + 10 + 12 + 14 2 = 50 Nota vir 5: T1 = a n Sn = [a + l ] a=6 2 n= r −p + 1 8(1 − ( 1 ) 20 ) 8(1 − ( 1 )30 ) 8(1 − ( 1 )40 ) 8(1 − ( 1 )80 ) = 5 [6 + 14] d=2 2 2 2 2 S20 = S30 = S40 = S80 = 3 1− 1 1− 1 1− 1 1− 1 Bepaal die eerste 3 terme om sodoende te = 50 n=r–p+1 2 2 2 2 = 15,9999 = 15,9999 = 16 = 16 bepaal of die reeks meetkundig of rekenkun- =7–3+1 dig is. Gebruik die formule vir Sn. ∴ S∞ = 16 VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 Dus sal slegs ‘n meetkundige ry met −1 < r < 1, r ≠ 0, , ‘n som tot oneindigheid hê Skryf die volgende in sigma- Bepaal die volgende: soos dit nader aan ‘n bepaalde waarde neig. Dit word ‘n konvergerende reeks genoem of notasie: ∞ 18 ons sê die reeks konvergeer 10 2−n ∑ ∑ a) b) 2 − 5n 2 + 10 + 50 + ⋯ + 781 250 1 1 n= 1 n= 4 As r = , p ∈ N, dan is lim = 0, daarom 1 − r ∞ = 1 − 0 = 1, en daarom; p p→∞ p a Kry eers, die eerste 3 terme om te bepaal of die reeks rekenkundig of r = 5; a = 2 S∞ = meetkundig 1−r ∴ Tn = 2 ⋅ 5n−1 10 + 1 + 0,1 + ⋯ −18 − 23 − 28 VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 Vir watter waarde(s) van k sal die reeks Gebruik die som tot oneindigheid om ∴ n = 0,1 ∴ d = −5 4(k − 2) + 8(k − 2)2 + 16(k − 2)3 + ⋯ konver- 0.4 as ‘n egte breuk te skryf. Tn = 2 ⋅ 5n−1 geer? a n = r −p + 1 781 250 = 2 ⋅ 5n−1 S∞ = 1−r · 390 625 = 5n−1 10 = 18 − 4 + 1 0,4 = 0,4 + 0,04 + 0,004 + 0,0004 + ⋯ S∞ = = 15 T2 58 = 5n−1 1 − 0,1 r = S∞ = 11,11 T1 ∴n = 9 n 8(k − 2) 2 T2 Sn = [2a + (n− 1)d ] r = r = 2 4(k − 2) T1 15 0,04 9 = [2(−18) + (15 − 1)(−5)] r = 2(k − 2) 2 r = 2 ⋅ 5n−1 ∑ 0,4 ∴ = −795 n= 1 r = 0,1 −1 < r < 1 , r ≠ 0 −1 < 2(k − 2) < 1 , 2(k − 2) ≠ 0 a 1 1 S∞ = − < k −2 < , k −2 ≠ 0 1−r 2 2 0,4 1 1 = 1 < k < 2 , k ≠ 2 1 − 0,1 2 2 4 = 9 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 14

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Finansies - Saamgestelde en Enkelvoudige Rente SCIENCE CLINIC 2022 © ONTHOU: ENKELVOUDIGE RENTE A = Toekomstige waarde SAAMGESTELDE RENTE VOORBEELD P = Oorspronklike waarde A = P(1 + i )n Bereken die toekomstige waarde van ‘n belegging A = P(1 + in) 1.Inflasie: n = aantal tydperke van R15 000 na 3 jaar, teen ‘n rente koers van 15% Die koers waarteen pryse oor ‘n OF OF per jaar as dit as volg saamgestel is: r = rente koers in % vorm gegewe tydperk styg r r n A = P (1 + 100 ) A = P(1 + 100 ) r a) Jaarliks n i = rente koers 2.Verbruikersprysindeks (CPI): 100 A = P (1 + i ) n Die gemiddelde prys vir ‘n basiese = 15 000(1 + (0,15))3 mandjie en dienste VOORBEELD = R 22 813,13 3.Wisselkoers: Bepaal die verskil in die geakkumuleerde/toekomstige waardes; wanneer spaargeld ter waarde van R15000 b) Halfjaarliks Die waarde van een soort geldeen- vir 4 jaar belê word by twee verskillende banke, beide bied ‘n rentekoers van 6.5%, maar een bank bied A = P (1 + i ) n heid, vergelyk met ‘n ander een- enkelvoudige rente en die ander saamgestelde rente. 6 15 000(1 + ( 2 )) 0,15 heid; om sodoende geld te wissel ENKELVOUDIGE RENTE = A = P (1 + i n) = R 23 149,52 4.Bevolkinngsgroei: Die verandering van ‘n bevolkings A = 15 000(1 + (0,065)(4)) c) Kwartaalliks BEDRAG grootte oor ‘n gegewe tyd A = R18 900 en te A = P (1 + i ) n ld eR 12 15 000(1 + ( 4 )) 5.Huurkoop: ste = 0,15 SAAMGESTELDE RENTE ge Kort termyn lening, deposito word S aam Rente A = P (1 + i ) n oudige = R 23 331,81 vereis. Gebruik enkelvoudige Enkelv rente vir berekening. A = 15 000(1 + (0,065))4 d) Maandeliks A = R19 296,99 TYD A = P (1 + i ) n 6.Verminderde rente lening: 36 15 000(1 + ( 12 )) 0,15 Rente word betaal op ‘n ver- = minderde balans, die hoeveelheid HUURKOOP BEVOLKINGSGROEI = R 23 495,16 rente verminder soos die balans Jy koop ‘n wasmasjien ter waarde van R4000 verminder. deur ‘n huurkoop kontrak vir 2 jaar te teken. Ptoekms = Ph ed e(1 + i ) n Jy betaal ‘n deposito van R800. Bereken die 7.Nominale rentekoers: LET OP: Soos die aantal saamgestelde tydperke a) die totale waarde wat jy sal betaal indien Ptoekoms = toekomstige bevolkings grootte Die saamgestelde tydperk en die meer word, so doen die opgehoopte waarde ook. die rente koers 12% is. Phede = Huidige bevolkings grootte gekwoteerde tydperk is verskil- b) jou maandelikse paaiemente. i = gemiddelde bevolkings (%) VOORBEELD lend. vb. 15% per jaar maandeliks saamgestel. n= aantal jare As R13 865 ontvang word na beleggings periode van 6 jaar teen ‘n koers van 16% jaarliks saamgestel, 8.Effektiewe rentekoers: a) Deposito : R800 Die bevolking leeus in 2015 is 2567. Indien die bepaal die oorspronklike bedrag. Die saamgestelde tydperk en die P = 4 000 − 800 groeikoers 1.34% is, bereken die aantal leeus in A = P (1 + i )n gekwoteerde tydperk is dieselfde. = 3 200 vb. 0.75% per maand, maandeliks 2020. 13 865 = P (1 + 0,16)6 A = P (1 + i n) saamgestel. 13 865 = 2,44P = 3 200(1 + (0,12)(2)) 13 865 SAAMGESTELDE TYDPERKE = R 3 968 = P 2020 − 2015 = 5 2,44 Jaarliks: 1 per jaar P = 5 690,78 b) A = R 3 968 ∴R 5 690,78 is die bedrag wat oorspronklik belê was. Halfjaarliks: 2 per jaar Ptoekoms = Ph ede(1 + i)n 2 jaar = 24 gelyke betalings OF gebruik die volgende formules: Kwartaalliks: 4 per jaar = 2567(1 + 0,0134)5 3 968 = 2743 A = P (1 + i )n om A te bepaal = R165,33 Maandeliks: 12 per jaar 24 (die hoeveelheid leeus sal ′n heelgetal wees) P = A(1 + i )−n om P te bepaal Daagliks: 365 per jaar* *(uitsluitend skrikkeljaar) Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 15

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Finansies SCIENCE CLINIC 2022 © NOMINALE teenoor EFFEKTIEWE VERANDERDE RENTE KOERSE WAARDEVERMINDERING (DEPRESSIASIE) RENTEKOERSE Indien die rentekoers verander na ‘n vasgestelde tydperk: Waardevermindering is die verlies of afname van ‘n waarde teen ‘n vasgestelde koers oor ‘n tydperk. (SAAMGESTELDE RENTE) 1. Bepaal die opgehoopte waarde vir die eerste tydperk. Waardevermindering: Afname in ‘n waarde oor tyd A = Boek/sloop waarde 2. Gebruik die opgehoopte waarde as die aanvanklike waarde Boekwaarde: Waarde van bates op ‘n gegewe tyd, na P = Huidige waarde Jaarlikse effektiewe rentekoers is gelykstaande aan die vir die tweede tydperk. waardevermindering in berekening gebring is i = waardeverminderings nominale rentekoers wat jaarliks saamgestel word, omdat 3. Bepaal die opgehoopte waarde vir die tweede tydperk. Sloopwaarde: die waarde van ‘n bate aan die einde koers dit dieselfde toekomstige waarde lewer. VOORBEELD van sy nuttige lewensduur. n = tydperk i 1 + ieﬀ = (1 + Nom ) n R100 000 word belê vir 6 jaar teen ‘n koers van 16% per LINEÊRE SAAMGESTELDE n jaar, kwartaalliks saamgestel. Daarna word die toekom- WAARDEVERMINDERING WAARDEVERMINDERING ieff = effektiewe koers (jaarliks) stige waarde herbelê vir 5 jaar teen ‘n koers van 14% iNom = nominale koers halfjaarliks saamgestel. Bereken die waarde van die beleg- Ook bekend as enkelvoudige waardever- Ook bekend as verminderende saldo n = aantal saamgestelde tydperke per jaar ging teen die einde van die tydperk. mindering of reguitlyn waardevermindering waardevermindering A = P(1 − in) A = P(1 − i)n VOORBEELD A = P (1 + i ) n Reguitlyn 24 periodes: Verminderende Saldo Verander ‘n nominale koers van 18 % per jaar, maande- 0,16 24 100 000(1 + 4 ) A = Waardevermindering Waardevermindering 4 periodes (kwartaalliks) Waarde van Bate (R) liks saamgestel na ‘n jaarlikse effektiewe koers. Waarde van Bate (R) A = R 256 330,4165 per jaar oor 6 jaar 0,18 12 1 + ieﬀ = (1 + 12 ) A = P (1 + i ) n 0,14 10 10 periodes : 256 330,4165(1 + 2 ) 0,18 12 (1 + 12 ) − 1 A = ieﬀ = 2 periodes (halfjaarliks) A = R 504 240,73 per jaar oor 6 jaar ieﬀ = 0,196 per jaar/jaarliks ∴ reﬀ = 19,6 % per jaar Aantal Periodes Aantal Periodes VOORBEELD VOORBEELD VOORBEELD R30 000 was aan jou nagelaat in ‘n spaarrekening. Die My nuwe motor, ter waarde van R200 000 depresieer teen ‘n koers van 9% per jaar. Wat sal Jy belê ‘n bedrag van R25000 met ‘n rentekoers van die waarde van my motor wees na ‘n tydperk van 6 jaar? Vergelyk deur middel van lineêre - rentekoers vir die eerste 4 jaar is 12% per jaar, halfjaar- 14% per jaar, maandeliks saamgestel vir ‘n tydperk en verminderende saldo waardevermindering. liks saamgestel. Daarna verander die koers na 18% per VERMINDERENDE SALDO van 12 maande. Gebruik die jaarlikse effektiewe rente- jaar, maandeliks saamgestel. Jy besluit om die geld vir ‘n LINEÊRE WAARDEVERMINDERING WAARDEVERMINDERING koers om te wys dat dieselfde waarde gekry word A = P (1 − i n) verdere 3 jaar te belê. Bepaal die toekomstige waarde A = P (1 − i ) n wanneer die nominale koers gebruik word. = 200 000(1 − (0,09)(6)) nadat die spaarperiode verby is. = 200 000(1 − 0,09)6 0,14 12 (1 + 12 ) = R 92 000 = R113 573,85 1 + ieﬀ = A = P (1 + i )n 0,12 8 8 periodes : 30 000(1 + 2 ) 0,14 12 VOORBEELD (1 + 12 ) − 1 ieﬀ = Die eksponensiële A = 2 periodes (halfjaarliks) Die waarde van ‘n stuk toerusting depresieer b) Vermindere saldo metode waarde (12) word A = R47 815,44224 per jaar oor 4 jaar ieﬀ = 0,1493 van R15 000 tot R 5000 in vier jaar. Wat is bepaal deur op te die waardeverminderings koers wat A = P (1 − i ) n ∴ reﬀ = 14,93 % p.j merk dat daar 12 A = P (1 + i ) n bereken word deur middel van: 5 000 = 15 000(1 − i )4 P (1 + i ) n 0,18 36 36 periodes: 47 815,44224(1 + 12 ) A = saamgestelde 1 A = a) Reguitlyn metode = (1 − i )4 12 periodes (halfjaarliks) 3 12 25 000(1 + ( 12 )) 0,14 periodes is; een A = P (1 − i n) = A = R 81 723,26 per jaar oor 3 jaar 4 1 −1 keer ‘n maand vir 5 000 = 15 000((1 − (x)4) = −x 3 = R 28 733,55 12 maande. 5 000 = 15 000 − 60 000x −0,2401... = −i Alternatiewelik: A = P (1 + i ) n × (1 + i ) n −10 000 = −60 000x x = 0,1667 i = 0,2401... × 100 A = P (1 + i )n 0,12 8 0,18 36 30 000(1 + 2 ) × (1 + 12 ) = r = 16,67 % r = 24 % = 25 000(1 + 0,1493)1 = R 28 733,55 = R 81 723,26 Depresiasiekoers = 16,67% Depresiasiekoers = 24% Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 16

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Finansies SCIENCE CLINIC 2022 © BEREKEN DIE TYDPERK VAN ADDISIONELE BETALINGS OF ONTREKKINGS ‘N LENING OF BELEGGING Tydlyne help om van verskillende koerse en betalings rekord te hou en te visualiseer. Wanneer saamgestelde rente gebruik Stel elke gedeelte op met al die inligting oor die aantal terme , saamgestelde tydperke en rentekoerse. word vir ‘n lening of belegging en daar VOORBEELD VOORBEELD word verwag dat jy die tydperk moet Jy deponeer R5000 in ‘n spaarrekening. 4 jaar later, deponeer jy nog R4 500. Die Jy neem ‘n lening uit om ‘n nuwe iPad te koop. Jy betaal ‘n addisionele R5000 af, 4 bepaal, sal jy Logs moet gebruik: rentekoers vir die eerste 3 jaar was 11% kwartaalliks saamgestel, dan verander jaar nadat jy die lening uitgeneem het. Twee jaar later betaal jy die finale bedrag dit na 12,5% maandeliks saamgestel. Bereken die opgehoopte spaargeld teen die y = b x (Eksponensiële vorm) einde van 6 jaar. van R6000. Gedurende die eerste 4 jaar van die lenings tydperk is die rentekoers 14% per jaar, halfjaarliks saamgestel. Vir die laaste twee jaar het die rentekoers verander na 11% per jaar, kwartaalliks saamgestel. Hoeveel het jy aanvanklik n = 3 year jaar × 4 n = 1 jaar year × 12 n = 2 jaar year × 12 geleen? x = log b y (Logaritmiese vorm) = 12 = 12 = 24 n = 4 jaar year × 2 n = 2 jaar year × 4 =8 =8 VOORBEELD 0,11 0,125 0,125 Jou motor, waarde van R250000, Y T0 != Y T3 != Y T4 != Y T6 0,14 0,11 4 12 12 moet ingeruil word wanneer die Y T0 != Y T4 != Y T6 5000 2 4 waarde verminder het tot R90 000. Hoe lank sal jy die mo- tor ry indien die verminderende saldo waardeverminderings koers +4500 7. 5% per jaar is? +5000 +6000 Eerste 3 jaar: Deur terug te werk, bepaal ons die waarde van die lening teen Jaar4: A = P (1 − i ) n A = P (1 + i ) n 90 000 = 250 000(1 − 0,075) n 0,11 12 P = A(1 + i )−n 5000(1 + 4 ) = 0,36 = 0,925n 0,11 −8 A = P (1 + i )n om A te bepaal 6000(1 + 4 ) = R 6923,92 P = n = log0,925 0,36 P = R4 829,438122 P = A(1 + i )−n om P te bepaal n = 13,1 Vierde jaar: A = P (1 + i ) n + 4500 Onthou: Jy kan die motor vir 13 jaar ry 0,125 12 Moenie afrond nie! 6923,92(1 + 12 ) voor dit depresieer/ = + 4500 waardeverminder tot tot R90 000. = R12 340,76 Dit beteken dat die waarde van lening, teen die einde van jaar 4, voor die betaling van R5000 gemaak is was R9 829,44. Alternatiewe Metode: Laaste 2 jaar: Deur terug te werk, bepaal ons die aanvanklike waarde van die lening T0. A = P (1 − i ) n A = P (1 + i ) n Wanneer onttrekkings 90 000 = 250 000(1 − 0,075) n 0,125 24 gemaak word vanuit ‘n A(1 + i )−n 12 340,76(1 + 12 ) = P = 0,36 = 0,925n spaarrekening trek ons 0,14 −8 9829,44(1 + 2 ) log 0,36 = nlog 0,925 = R15 825,37 P = eerder af n = log 0,36 P = R 5 720,82 log 0,925 n = 13,1 OF voeg stappe saam in een berekening 6000[(1 + 5000][(1 + 2 ) ] OF 0,11 −8 0,14 −8 4 ) P = + [5000[(1 + 4 ) ][(1 + 12 ) ] 4500][(1 + 12 ) ] A = 0,11 12 0,125 12 + 0,125 24 = R 5 720,82 = R15 825,37 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 17

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Finansies SCIENCE CLINIC 2022 © TOEKOMSTIGE WAARDE ANNUÏTEITE HUIDIGE WAARDE ANNUÏTEITE Gelyke beleggings betalings gemaak op ‘n gereelde basis, onderhewig aan ‘n spesifieke rentekoers oor ‘n Verminderende waarde lening, ‘n geld som is geleen en word met rente terugbetaal deur middel van gegewe tydperk. Vb. Annuïteit, pensioenfonds, ‘n spaarrekening. gereelde betalings in gelyke periodes. F = totale opgehoopte waarde teen die einde van ‘n tydperk P = Huidige waarde x = maandelikse paaiemente x[1 − (1 + i )−n] x = maandelikse paaiemente x[(1 + i )n − 1] P= i = rentekoers per jaar i i = rentekoers per jaar F= i n = aantal paaiemente/betalings n = aantal paaiemente/betalings VOORBEELD VOORBEELD R2000 word onmiddelik gedeponeer in ‘n bankrekening. Een maand later word ‘n verdere R2000 Jy leen geld vir ‘n jaar teen ‘n rente koers van 18% per jaar, kwartaalliks saamgestel. Die maande- gedeponeer en nog R2000 die maand daarna. Die rentekoers is 7% per jaar, maandeliks saamges- likse paaiemente sal R 1367.20 wees. Die terugbetalings sal eers na een maand van die aanvangs tel. Hoeveel geld sal teen die einde van 2 maande gespaar wees? van die lening begin. Saamgesteld Rente formule: A = P (1 + i ) n Saamgestelde Rente Formule: P = A(1 + i )−n Aan die einde van elke maand word, a) rente bepaal op die opgehoopte waarde en b) ‘n verdere Die paaiemente aan die einde van die elke maand kan gebruik word om die huidige waarde van die bedrag word gedeponeer: paaiement by M0 te kry: 0,18 −1 T1 : P = 1367,20(1 + 4 ) T0 : 2000 Die geld wat aan die begin van 0,07 1 die tydperk geleen is, is die T1 : 2000(1 + 12 ) + 2000 Die bedrag wat aan die 0,18 −2 huidige waarde van die annuïteit T2 : P = 1367,20(1 + 4 ) einde gespaar is, is die 0,07 2 0,07 1 toekomstige waarde T2 : 2000(1 + 12 ) + 2000(1 + 12 ) + 2000 = R 6 035,07 van die belegging Huidige waarde van al die paaiemente (lening) by M0: 0,18 −1 0,18 −2 0,18 −12 P = 1367,20(1 + ) + 1367,20(1 + ) + ⋯1367,20(1 + 4 ) = R12 466,92 4 4 Die waarde kan ook as ‘n meekundige reeks uitgedruk word: 0,07 2 0,07 1 0,07 0 Die waarde kan ook as ‘n meetkundige reeks uitgedruk word: T2 : 2000(1 + ) + 2000(1 + ) + 2000(1 + 12 ) 0,18 −1 T12 : 1367,20(1 + 0,18 −2 0,18 −12 4 ) + 1367,20(1 + 4 ) + ⋯1367,20(1 + 4 ) 12 12 0,07 Hierdie is meetkunde ry waar a = 2000 , r = (1 + 12 ) , n = 3 (3 paaiemente) 0,18 −1 0,18 −1 Hierdie is meetkunde ry waar a = 1367,20(1 + 4 ) , r = (1 + 4 ) , n = 12 (12 paaiemente) a (r n − 1) Sn = a (r n − 1) r −1 Sn = 0,07 3 r −1 2000[(1 + ) − 1] 12 0,18 −1 0,18 −12 F3 = 1367,20(1 + ) [(1 + ) − 1] 0,07 4 4 (1 + )−1 P = 12 0,18 −1 (1 + ) −1 4 F3 = 6035,07 P = 12 466,92 Toekomstige waarde annuïteit formule: Huidige waarde annuïteit formule: x [(1 + i ) n − 1] x [1 − (1 + i )−n] F = Die formule werk slegs wanneer P = Formule werk slegs wanneer daar ‘n gaping i die betaling eers na een periode i tussen die aanvang van die lening en die eerste 0,07 3 van die huidige gemaak word en 0,18 −12 paaiement is. bv. Die eerste paaiement begin 2000[(1 + ) − 1] 1367,20[1 − (1 + ) ] 12 eindig na n periodes slegs 1 maand nadat die lening ontvang is = = 4 0,07 0,18 12 4 = R 6 035,07 = R12 466,92 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 18

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Finansies SCIENCE CLINIC 2022 © BEREKEN DIE MAANDELIKSE PAAIEMENT ANALISE VAN BELEGGINGS EN LENING OPSIES Maandelikse paaiemente word bereken deur die huidige waarde annuïteit formule te gebruik en Wanneer ons beleggings en lening opsies analiseer, moet ons beide die waarde verskuldig en die totale dan vir x op te los. Daarna bepaal ons die bedrag wat terugbetaal moet word. hoeveelheid bedrae wat reeds gemaak is, in ag neem. NB: Indien betalings, een maand na die ontvangs van die lening, begin Beleggings met ‘n groter toekomstige waarde word verkies. a) Bereken die groei van die lening gedurende die 1ste maand om sodoende die nuwe huidige- Lenings met ‘n kleniner huidige waarde word verkies. waarde te bepaal b) Trek een maand af van die totale waarde wat betaalbaar is. BEREKEN UITSTAANDE WAARDE VOORBEELD Die uitstaande waarde word bepaal deur die huidige waarde annuïteit formule. Die huidige Jy moet ‘n huislening ter waarde van R800 000 uit neem. Daar is twee moontlike opsies om te oorweeg. waarde, na die paaiement, is die uitstaande bedrag. Staan ook bekend as die vereffenings bedrag. A- ‘n Lening van 20 jaar teen ‘n rentekoers van 17% per jaar, maandeliks saamgestel. B- ‘n Lening van 30 jaar teen ‘n rentekoers van 17% per jaar, maandeliks saamgestel. VOORBEELD John neem ‘n lening uit ter waarde van R25 000, om sodoende ‘n motor te koop. Die bank Maandelikse Paaimente: hef ‘n rentekoers van 11% per jaar maandeliks saamgestel. Die terugbetalings paaiemente begin eers ‘n maand nadat hy die geld van die bank ontvang het. x [1 − (1 + i )−n] A. P = Bereken: i x[1 − (1 + ] 0,17 −240 a) Sy maandelikse paaiemente, indien hy die lening oor 5 jaar afbetaal. 12 ) 800 000 = b) Die uitstaande balans van die lening, na twee jaar, onmiddellik na die 24ste paaiement. 0,17 12 0,17 0,17 −240 800 000 × = x[1 − (1 + ) ] 12 12 a) Aantal paaiemente: (5 × 12) = 60 11 333,33 = 0,9658x x = R11 734,40 x [1 − (1 + i )−n] P = i x [1 − (1 + i )−n] B. P = x[1 − (1 + ] 0,11 −60 12 ) i x[1 − (1 + ] 25 000 = 0,17 −360 0,11 12 ) 12 800 000 = 0,17 12 0,17 0,17 −360 x = R 543,56 800 000 × = x[1 − (1 + ) ] 12 12 11 333,33 = 0,99368x x = R11 405,40 b) n = 60 − 24 = 36 x [1 − (1 + i )−n] Totale terugbetalings: Pna 2 jare = i A : R11 734,40 × 240 = R 2 816 256 B : R11 405,40 × 360 = R4 105 944 543,56[1 − (1 + ] 0,11 −36 12 ) = 0,11 Opsie B het ‘n kleiner maandelikse paaiement, maar ‘n totale bedrag wat amper dubbel die waarde van 12 Opsie A is. Daarom is A ‘n beter opsie. = R16 602,97 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 19

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Funksies en Grafieke Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © Graad 11 Funksies: Kwadratiese Funksies Draaipuntvorm Stappe vir die skets van y = a x 2 + b x + c Bepaal die vergelyking in die vorm y = a (x − p)2 + q Bepaal die vergelyking in die vorm y = a x 2 + b x + c y = a(x − p)2 + q 1. Bepaal die vorm (‘a’) Wanneer die draaipunt en ander punt gegee is Wanneer die x-afsnitte en ander punt gegee is 2. Bereken die x- en y-afsnitte 1. Vervang die draaipunt in y = a (x − p)2 + q 1. Vervang die x-afsnit in y = a (x − x1)(x − x 2 ) Vorm: Horisontale skuif: Vertikale skuif: −b 2. Vervang die ander punt in die vergelyking om 2. Vervang die ander punt in die vergelyking om 3. Bepaal die draaipunt ( ) • a>0 • x-waarde van • y-waarde van 2a ‘a’ te bepaal ‘a’ te bepaal draaipunt draaipunt 4. Plot die punte en skets die grafiek 3. Bepaal die vergelyking van die grafiek 3. Skryf/vereenvoudig jou finale antwoord • a<0 • Simmetrie-as VOORBEELD 2: VOORBEELD 1: VOORBEELD 2: Skets f (x) = x 2 − 4x + 3 Bepaal die vergelyking van die grafiek: Bepaal die vergelyking van die grafiek: Stappe vir die skets van y = a (x − p)2 + q y 1. Bepaal die vorm van (‘a’) • Vorm: a > 0 ∴ y 2. Bereken die x- en y-afsnitte • x-afsnit (y = 0) 3. Bepaal die draaipunt Opsie 1: 0 = x 2 − 4x + 3 (0;3) 4. Plot die punte en skets die grafiek 0 = (x − 3)(x − 1) (-1;0) x VOORBEELD 1: x = 3 OF x = 1 (1;0) (3;0) x Skets f (x) = (x + 1)2 − 9 −b ± b 2 − 4a c (1;0) Opsie 2: x = 2a (1;-9) • Vorm: a > 0 ∴ y −(−4) ± (−4)2 − 4(1)(3) • x-afsnit (y = 0) x = 2(1) • x-afsnitte 0 = (x + 1)2 − 9 4± 2 x = 1 OF x = 3 (-4;0) (2;0) x = • Draaipunt (p;q) 9 = (x + 1)2 2 Formule: y = a (x − x1)(x − x 2 ) x p = 1 en q = − 9 ± 9= x+ 1 x = 3 OF x = 1 y = a (x − 1)2 − 9 y = a (x − 1)(x − 3) + 3 = x + 1 OF − 3 = x + 1 • y-afsnit (x = 0) y = 3 • Ander punt • Ander punt 2 = x OF − 4 = x (−1; 0) (0; 3) (0;8) (0;–8) • Draaipunt (p;q) • y-afsnit (x = 0) −b −(−4) 1) x-waarde van DP = = 0= a (−1 − 1)2 − 9 3 = a (−1)(−3) (-1;-9) 2a 2(1) y = (0 + 1)2 − 9 9 = 4a 1= a x = 2 y = −8 2) Vervang x in oorsp. vgl: 9 a = • Vergelyking • Draaipunt (p;q) y = (2)2 − 4(2) + 3 4 Onthou: y = 1(x − 1)(x − 3) y = −1 (−1; − 9) (x − (−1))2 − 9 y • Vergelyking DP (2; − 1) y = x 2 − 4x + 3 (x − p)2 + q 9 • Simmetrie-as • Simmetrie-as y = (x − 1)2 − 9 4 NOTA: x = −1 x = 2 (0;3) Indien jy die vergelyking in die vorm van NOTA: • Definisieversameling y = a (x − p)2 + q moet skryf, voltooi die • Definisieversameling f (x) = x 2 x ∈R (3;0) vierkant x ∈R → skuif 1 eenheid links → skuif 9 eenhede afwaarts • Waardeversameling (1;0) y = x 2 − 4x + 4 + 3 − 4 • Waardeversameling y ≥ −1 (2;-1) y = (x − 2)2 + 3 − 4 y ≥ −9 y = (x − 2)2 − 1 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 20

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Funksies en Grafieke Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © Eksponensiële Grafiek Hiperbool a Bepaal die vergelying in die vorm van y = a b x−p + q Bepaal die vergelyking in die vorm y = + q x−p a x −p y = ab + q y= + q x −p Wanneer die asimptote en ander punt gegee is Wanneer die asimptoot en ander punt gegee is Vertikale skyf: 1. Vervang die asimptoot in die vergelyking Vorm: Horisontale skuif: Vertikale skuif: 1. Vervang die asimptote in die vergelyking Vorm: y y • asimptoot 2. Vervang die ander punt x • asimptoot • asimptoot 2. Vervang die ander punt in die vergelyking en • a>0 x • b>1 y [y = q] y [x = p] [y = q] los ‘a’ op • 0<b<1 3. Skryf/vereenvoudig jou finale vergelyking • a<0 x x 3. Skryf/Vereenvoudig jou finale vergelyking VOORBEELD 2: Bepaal die vergelyking van die gegewe grafiek: a VOORBEELD 2: Stappe vir die skets van y = a b x−p + q Stappe vir die skets van y = + q y = b x+ 1 + q : x −p Bepaal die vergelyking van die grafiek: y 1. Bepaal die asimptoot (y = q) 1. Bepaal die asimptote (y = ‘q’ en x = ‘p’) y 2. Bepaal die vorm (‘a’) 2. Bepaal die vorm (‘a’) 3. Kry die x- en y- afsnitte 3. Kry die x- en y- afsnitte y=1 4. Plot punte (minstens 2 ander) en skets die grafiek 4. Plot punte (minstens 2 ander) en skets die grafiek (2;0) x (-3;2) VOORBEELD 1: VOORBEELD 1: Skets f (x) = 2x+ 1 + 1 −1 x Skets f (x) = −1 y = -2 x −2 x = -1 • Asimptoot • Asimptote • Asimptote y = 1 y y = 1 en x = − 1 x = 2 a • Vorm: a > 0 ∴ x f (x) = + 1 • Asimptoot y = −1 x − (−1) • x-afsnit (y = 0) y q = −2 a • Vorm: a < 0 ∴ f (x) = + 1 0= 2 x+ 1 + 1 x x+ 1 y = b x+ 1 − 2 • x-afsnit (y = 0) −1 = 2 x+ 1 • Ander punt • Ander punt −1 Nie moontlik om vir x op te los nie 0= −1 (2; 0) x −2 (−3; 2) a ∴ geen x-afsnit −1 0= + 1 2 = b −3+ 1 − 2 1= 2+ 1 x −2 • y-afsnit (x = 0) a 4 = b −2 x −2 = −1 −1 = y = 20+ 1 + 1 3 1 x = 1 y = 3 4= −3 = a y b2 y 1 • y-afsnit (x = 0) • Vergelyking • Definisieversameling b2 = −1 4 y = −1 −3 x ∈R f (x) = + 1 (1;5) 1 1 −2 x+ 1 • Waardeversameling b = ± b ≠− 1 (0;3) 2 2 y = − (1;0) (-1;2) 2 x y> 1 y=1 1 y = -1 Simmetrie-asse: b = + (0;-½) 2 • Definisieversameling (3;-2) Gebruik die snypunt van die asimptote. (-1;1) x • Vergelyking x ∈R; x ≠ 2 y = x+ c (−1; 1) y = −x + c (−1; 1) 1 1= −1+ c 1= 1+ c y = ( ) x+ 1 − 2 • Waardeversameling x=2 2 2= c 0= c y ∈R; y ≠ − 1 y = x+ 2 y = −x Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 21

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Funksies en Grafieke Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © Interpretasie Van Grafieke AFSTAND NOTASIE VOORBEELD 1: A f (x) = a x 2 + bx + c en g (x) = k x is geskets. D is die draaipunt van f(x) met die simmetrie-as by x=2. Stappe om VERTIKALE AFSTAND te bepaal • f (x) > 0 AB = 6 eenhede. 1. Bepaal die vertikale afstand B (bokant die lyn y = 0) y Vertikale afstand = boonste grafiek – (onderste y y grafiek) 2. Vervang die gegewe x-waarde om jou antwoord (-2;9) af te lei x x D F Stappe om HORISONTALE AFSTAND te bepaal (m.a.w. waar y positief is) A B x E 1. Kry die x−waardes wat van toepassing is. • f (x) < 0 A B (onder die lyn y = 0) 2. A B = xB − xA (grootste − kleinste) y y Stappe om MAKSIMUM AFSTAND te bepaal 1. Bepaal die vertikale afstand x x Vertikale afstand = boonste grafiek – onderste Vrae: Antwoorde: grafiek a. (−2; 9) 1 2 4 (m.a.w. waar y negatief is) a. Bepaal die waarde van k. d. y = − (2) + (2) + 1 2. Voltooi die vierkant A 9 = k −2 5 5 y = a (x − p)2 + q b. Bepaal die x-waardes van A en B. 1 9 9 B 9= y = ∴ D = (2; ) 3. Skryf die maksimum afstand neer • f (x) ⋅ g (x) ≤ 0 −1 4 k2 5 5 y = a (x − p)2 + (q) → q is die maksimum afstand c. Wys dat a = en b = . 1 5 5 k = ± (een grafiek lê bo y = 0 en 3 d. Bepaal die koordinate van D. 1 LET OP: een grafiek lê onder y = 0) k = 9 3 e. eenhede (y-waarde van • Afstand is altyd positief e. Bepaal die maksimum afstand van DE. 5 • Afstand, op ‘n grafiek, word gemeet in eenhede • f (x) ≥ g (x) koordinate D is ook die DP) bo onder f. Bepaal die waarde ban p vir: −1 2 4 b. E = (2; 0) en A B = 6 eenhede (m.a.w. f(x) lê bo g(x)) x + x+ p< 0 SNYPUNTE VAN GRAFIEKE 5 5 A = (−1; 0) x = − 1 • f (x) = g (x) 1 4 Stappe om SNYPUNTE te bepaal g. Bepaal vir watter waardes van x: B = (5; 0) x = 5 f. − x 2 + x+ p< 0 (snypunt) 5 5 1. Stel die twee vergelykings gelyk 4 WORTELS EN PARABOLE i. f (x) ≥ 0 p< − f (x) = g (x) 5 2. Los op vir x (kyk na oplossings wat toepaslik is vir f (x) c. y = a (x − x1)(x − x 2 ) • Gelyke en reële wortels ii. > 0 𝑥 : A of B) g (x) (−1; 0) en (5; 0) NOTA: y y y = a (x + 1)(x − 5) g.• Interpreteer vraag as: 3. Vervang die toepaslike x-waarde in enige van die iii. f (x) is stygend Gebruik F (0; 1) Hoeveel eenhede moet die twee vergelykings en kry sodoende ‘y’. x x h. 1 = a (+ 1)(−5) grafiek beweeg vir die mak- f(x) 1 i. simum waarde < 0 te wees g(x) − = a A • Nie-reële/Geen ware wortels 5 y y 1 B y = − (x + 1)(x − 5) g. 5 1 2 i. x ∈[−1; 5] x x y = − (x − 4x − 5) STYGEND/DALEND 5 1 4 ii. x ∈(−1; 5) y = − x2 + x+ 1 • Reële, ongelyke wortels 5 5 iii. x ∈(−∞; 2) y y 4 Sty Sty end b = end gen gen Dal 5 Dal d d x x Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 22

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Funksies en Grafieke Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © Interpretasie van grafieke VOORBEELD 2: Antwoorde: f (x) = m x + c en g (x) = a(x − p)2 + q is onder geskets. T is die draaipunt van g(x). a. y = a (x + 2)2 + 8 (0; 0) g. −2x 2 − 8x = − 2x − 8 −8 = 4a 0 = 2x 2 + 6x − 8 −2 = a en p = − 2 en q = 8 0 = 2(x − 1)(x + 4) y ∴ g (x) = − 2(x + 2)2 + 8 x = 1 of x = − 4 (NA) D (−4; 0) y = − 2(1) − 8 8 (-2;8) T ∴ m = = − 2 en c = − 8 y = − 10 −4 ∴ FP = 10 eenhede B b. OD = 4 eenhede G A P h. Maks lengte word gegee deur DP van parabool J O x c. TR = 8 eenhede D R (L (x)) gegee deur L (x) = g (x) − f (x). Vind die TP deur die vierkant te voltooi. M -8 F ∴ Max BM = g (x) − f (x) d. TR: x = − 2 = − 2x 2 − 8x − (−2x − 8) H f = − 2x 2 − 6x + 8 g e. g (x) = − 2(x + 2)2 + 8 = − 2(x 2 + 3x − 4) 3 9 = − 2(x 2 + 4x + 4) + 8 = − 2[(x + )2 − 4 − ] 2 4 = − 2x − 8x − 8 + 8 3 25 = − 2[(x + )2 − ] 2 4 = 2x 2 − 8x 3 25 = − 2(x + )2 + Vrae: BM = g (x) − f (x) 2 2 25 Bepaal: BM = − 2x 2 − 8x − (−2x − 8) ∴ Maks van BM = eenhede 2 a. Die waarde van a , p, q, m en c. = − 2x 2 − 6x + 8) BM = − 2(−1)2 − 6(−1) + 8 b. Die lengte van OD. BM = 12 eenhede i. k = -8 c. Die lengte van TR. d. Die vergelyking van TR. f. 28 = − 2x − 8 − (−2x 2 − 8x) j. x ∈(−∞; 0); x ≠ − 4 e. BM as OA = 1 eenheid. 28 = − 2x − 8 + x 2 + 8x f. OJ as GH = 28 eenhede. 0 = 2x 2 + 6x − 36 g. Die lengte van FP. 0 = 2(x 2 + 3x − 18) 0 = 2(x + 6)(x − 3) h. Die maksimum lengte van BM. x = −6 of x = 3 (N.V.T) i. Die waarde van k waarvoor −2x 2 − 8x + k twee gelyke wortels het. ∴ OJ = 6 eenhede f (x) j. Vir watter waarde(s) van x sal < 0? g (x) Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 23

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Funksies en Inverses SCIENCE CLINIC 2022 © Relasie: versameling geordende getalle pare INVERSE VAN ‘N FUNKSIE SKETS VAN INVERSE FUNKSIES Funksie: ‘n Relasie waar elke waarde van die definisieversameling (x-waardes), geassosieer word met slegs Metode 1: Tabel Metode EEN waarde van die waardeversameling (y-waardes) Die simmetrie van ‘n grafiek is die spieël- beeld van ‘n kurwe rondom ‘n gegewe lyn. 1. Gebruik die oorspronklike grafiek, skep ‘n tabel Die inverse van ‘n grafiek is die refleksie 2. Skets die grafiek van die inverse, deur die waardes Hoe om te bepaal of ‘n grafiek ‘n funksie is: van elke punt om te ruil. Gebruik die Vertikale Lyn Toets. Die liniaal sny/raak die grafiek: van die grafiek rondom die simmetrie-as * Een keer, dit IS ‘n funksie * Meer as een keer, NIE ‘n funksie y = x. VOORBEELD VOORBEELD Hoe om die inverse van ‘n funksie te bepaal: Oorspronklike funksie: Bepaal of elkeen van die volgende grafieke ‘n funksie is 1. Skryf in standaardvorm x -1 0 1 1. 2. 3 2. Ruil die x en y waardes y -2 0 -2 3. Maak y die onderwerp v.d. vergelyking Inverse: NOTA: x -2 0 -2 Vir Meer-eenduidige Funksies (Parabole): Die definisieversameling moet beperk y -1 0 1 word vir die inverse om ‘n funksie te wees VOORBEELD Metode 2: Gebruik oorspronklike Funksie Is NIE ‘n funksie nie IS ‘n funksie Is NIE ‘n funksie nie 1. Bepaal die kritiese punte/eienskappe v.d. oor- Kry die inverse vergelykings van elk van spronklike funksie (m.a.w. x- en y-afsnit, EEN-EEN-DUIDIGE FUNKSIE MEER-EENDUIDIGE FUNKSIE NIE-FUNKSIE die volgende funksies. Skryf hul in die draaipunte, assimptote, definisie-en waardeversa- ‘n Funksie waar elke element v.d. ‘n Funksie waar twee of meer elemente Een element van die de- form van f −1(x) = . . . meling) definisieversameling ‘n unieke v.d. definisieversameling verband hou finisieversameling hou 2. Skets die grafiek v.d. inverse deur die x en y waarde in die waardeversameling met dieselfde waarde in die waardever- verband met twee of waardes vir elke kritiese punt om te ruil. het. As jy die Horisontale Lyn Toets sameling. As jy die Horisontale Lyn meer waardes van die 1. f (x) = 4x − 5 toepas, sal die lyn die grafiek EEN Toets toepas, sal die lyn die grafiek waardeversameling x = 4y − 5 VOORBEELD keer sny. MEER as EEN KEER sny. Oorspronklike funksie x + 5 = 4y x-afsnit - 0 = 2x − 4 –1 –2 –3 9 –3 9 1 5 x = 2 0 0 0 2 0 2 y = x+ 3 10 4 4 y-afsnit - y = 2(0) − 4 2 4 3 10 1 5 y = −4 3 6 4 −1 ∴ f (x) = x+ y y y 4 4 Inverse: (0;2) x-afsnit - x = − 4 (−4; 0) y-afsnit - y = 2 (0; 2) (0;1) (2;0) 2. f (x) = (x − 8)2 + 1 x x x Metode 3: Gebruik die inverse vergelyking x = (y − 8)2 + 1 1. Bepaal die vergelyking van die inverse x − 1 = (y − 8)2 2. Bereken die kritiese punte (m.a.w. x- en y-afsnit, draaipunte, assimptote, definisie-en waardeversa- ± x −1 = y −8 meling) y y y 8± x −1 = y 3. Skets die inverse v.d. grafiek ∴ f −1(x) = 8± x −1 VOORBEELD (2;0) Oorspronklike funksie: y = − 2x 2 x x x x = − 2y 2 −x = y2 2 −x (0; –2) Inverse: y = ± (nie ‘n funksie) 2 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 24

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Funksies en Inverses SCIENCE CLINIC 2022 © INVERSE VAN ‘N LINIÊRE FUNKSIE INVERSE VAN ‘N PARABOOL VOORBEELD Gegee h (x) = − x 2 met definisieversameling Reguit lyn: : f (x) = a x + q Parabool: f (x) = a x 2 x −q x ≤ 0, skets die grafiek h (x) en sy inverse op Inverse: f −1(x) = x dieselfde assestelsel. Dui die simmetrie-as aan. a Inverse: f −1(x) = ± a 1 2 is gegee f (x) = − 3x − 2, die inverse is f −1(x) = − x− is gegee f (x) = x 2, die inverse is f −1(x) = ± x 3 3 h (x) = − x 2 y Algemene eienskappe van die Algemene eienskappe van die inverse: Vir h −1(x), ruil x en y f (x) y=x inverse: Definisieversameling: x ≥ 0 as a > 0 x = − y2 Definisieversameling:: x ∈R x ≤ 0 as a < 0 y2 = − x (–2;0) Waardeversameling: y ∈R y Waardeversameling: y ∈R f (x) y=x y = ± −x x Vorm: stygend as a > 0 Vorm: as a > 0 ∴ h −1(x) = ± −x dalend a < 0 f –1(x) as a < 0 (0;–2) f –1(x) 1 Maar die definisieversameling vir h (x) is gegee Gemiddelde helling: m = Stygende interval (dus ‘n positiewe a as x ≤ 0 dus, h −1(x) = − −x gemiddelde helling): x as a > 0; x ∈[0; ∞) y as a < 0; x ∈(−∞; 0] NOTA: y=x Dalende interval (dus ‘n negatiewe Die inverse van y = k ( waar k ‘n konstante is) sal loodreg op die x -as wees gemiddelde helling) Die inverse van x = k (waar k ‘n konstante is) sal loodreg op die y -as wees if a > 0; x ∈[0; ∞) VOORBEELD if a < 0; x ∈(−∞; 0] x g (x) = x − 3 is gegee, skets die grafiek van g (x) en sy inverse op dieselfde h –1(x) assestelsel. Die inverse van ‘n parabool is nie ‘n funksie nie, omdat daar twee elemente v.d. waardeversameling vir elke element in die definisieversameling is. MAAR as ons die definisieversameling van die oorspronklike funksie beperk, kry ons ‘n y g –1(x) h (x) g (x) = x − 3 inverse wat ‘n funksie is en sal soos volg lyk: y=x vir g −1(x), ruil die x en y (0;3) g(x) x Bepaal die volgende deur te verwys na die in- gegee g (x) = 3x 2 met definisieversameling x ≥ 0, die inverse is g −1(x) = + . verse: x = y −3 3 (–3;0) Beide die beperkte parabool en die inverse verskyn op grafiek hieronder. 1. Definisieversameling: x ≤ 0 y = x+ 3 x (3;0) y g (x) 2. Waardeversameling: y ≤ 0 ∴ g −1(x) = x + 3 y=x (0;–3) 3. x-afsnit: x = 0 or (0; 0) 4. y-afsnit: y = 0 or (0; 0) g –1(x) 5. Stygende interval: x ∈(−∞; 0] Bepaal die volgende deur te verwys na die inverse: x 1. Definisieversameling: x ∈R 2. Waardeversameling: y ∈R 3. x-afsnit: x = 3 of (3; 0) 4. y-afsnit: y = − 3 of (0; − 3) 0 − (−3) Daarom moet die definisieversameling van ‘n parabool beperk word tot, x ≥ 0 5. Gemiddelde helling: m = = 1 3−0 of x ≤ 0 , om sodoende ‘n inverse te skep wat wel ‘n funksie is. Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 25

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Funksies en Inverses SCIENCE CLINIC 2022 © WERK MET LOGARITMES LOG WETTE EKSPONENSIËLE EN LOG FUNKSIES 1. ‘Som van’ na produk wet: ‘n Logaritme (of ‘log’) is ‘n wiskundige notasie wat gedefinieer is om ons toe te loga x + loga y = loga x y Vir eksponensiële funksies: laat om ‘n eksponent die onderwerp van ‘n formule te maak. ‘n Logaritmiese funk- sie is die inverse van ‘n eksponensiële funksie , daarom as y = a x (a > 0, a ≠ 1) as a > 1 as 0 < a < 1 2. ‘Verskil van’ na kwosiënt wet: y y dan is die inverse x = a y. Wanneer dit in standaard funksie vorm geskryf word, is x loga x − loga y = loga x = a y se inverse y = loga x. y NOTA: loga a = 1 3. Magsverheffings wet: x = ay dan y = loga x loga x m = m loga x loga1 = 0 loga x = log10 a x x Eksponent//(log) : y Log(Eksponent): y 4. Verander-van-basis wet: Nommer : x Nommer : x logb x Basis : a Basis : a loga x = logb a VOORBEELDE stygende funksie dalende funksie 1. Skryf die volgende in log vorm: Vir log funksies: 1 x (5 ) a. y = b. 31 = 3 c. x = 4 y VOORBEELDE as a > 1 as 0 < a < 1 Vereenvoudig die volgende: x = log 1 y 1 = log33 y = log 4 x 5 y 81 1. log3 3. (logx16 − logx 4) ÷ logx 8 2. Skryf die volgende in eksponensiële vorm: 729 16 a. y = log 1 x b. log61 = 0 c. x = logy 5 = log381 − log3729 = logx ÷ logx 8 4 x x 2 y (2 ) 1 = 4log33 − 6log33 = logx 4 ÷ logx 8 x = 1 = 60 5 = yx = 4(1) − 6(1) 2logx 2 = = −2 3logx 2 2 stygende funksie dalende funksie 3. Los die volgende vergelykings op: = 3 (4) m x a. log 4 = 3 b. log3(5x − 3) = 3 c. log = −3 3 1 m x 2. log3 + log51 + log 48 = 43 5x − 3 = 33 = 10−3 9 3 4 27 + 3 4 log28 m = 64 × 3 = 192 x = = 6 x = = − 2log33 + log51 + 5 1000 log2 4 3log2 2 = − 2(1) + 0 + 2log2 2 4. Bepaal die waarde van die volgende: 3 3 ( 729 ) 1 = −2+ a. log2 256 b. log 1 c. log 10 2 1 = − ( ) 1 2 x = log2 256 x = log 1 x = log 10 3 729 1 x (3) 1 256 = 2 x = 10 x = 10 729 1 x = 8 x = 6 x = 2 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 26

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Funksies en Inverses SCIENCE CLINIC 2022 © INVERSE VAN ‘n EKSPONENSIËLE FUNKSIE GEMENGDE VOORBEELD 1 Vrae: Eksponensiële: f (x) = a x; a > 0 en a ≠ 1 Vrae: 2. Die groei van ‘n virus is gegee deur g (t ) = 1,95t, waar t die tyd in minute verteenwoordig Inverse: f −1(x) = loga x ; a > 0 en a ≠ 1 1. Gegee f (x) = log 1 x 2 a. Bepaal die hoeveelheid virus selle na 8,5 minute gegee f (x) = 3x, die inverse is f −1(x) = log3 x a. As f (x) = − 3, bepaal x. b. Na hoeveel minute sal daar 2164 virus selle in die liggaam b. Teken die grafiek van f (x). wees? Algemene eienskappe van die inverse: y f (x) c. Vir watter waarde van x is f (x) < − 3? Definisieversameling: x > 0 y=x Waardeversameling: y ∈R d. Bepaal f −1(x) en teken dan die grafiek op dieselfde assestelsel as f. Vorm: as a > 0 f –1(x) as a < 0 Asimptoot: x = 0 Oplossings: Oplossings: x a. log 1 x = − 3 a. g (8,5) − 1,958,5 2 As daar geen vertikale of horisontale 1 −3 (2 ) Aantal virus selle ≈ 292 skuiwe is nie (m.a.w. geen x = p - of q -waardes) sal die log grafiek die x = 8 b. 1,95t = 2164 x -as sny by 1. log1,95t = log2164 VOORBEELD b. t log1,95 = log2164 x log2164 (3 ) 1 t = Gegee h (x) = skets die grafiek van h (x) en sy inverse op dieselfde log1,95 assestelsel. Dui die simmetrie-as aan f –1(x) y t ≈ 11,5 minute x (3 ) 1 h (x) = y=x Alternatiewe oplossing (b): vir h −1(x), ruil x en y 1,95t = 2164 1 y (3 ) x = (0;1) t = log1,952164 x t ≈ 11,5 minute y = log 1 x (1;0) 3 ∴ h −1(x) = log 1 x 3 f (x) h (x) y y=x (–1;3) c. x ∈(8; ∞) OF x > 8; x ∈R x 1 x (2 ) h –1(x) d. f −1(x) = (3;–1) = 2−x Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 27

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Funksies en Inverses SCIENCE CLINIC 2022 © GEMENGDE VOORBEELD 2 GEMENGDE VOORBEELD 3 GEMENGDE VOORBEELD 4 GEMENGDE VOORBEELD 5 Vrae: Vrae: Vrae: Vrae: Is gegee g −1(x) = − x Is gegee f (x) = 3x a. As h (x) = 2x 2, bepaal die vergelyking van die Die skets verteenwoordig die grafiek van inverse van h (x) g (x) = a x en h (x), refleksie van g (x) in die y-as. a. Bepaal die definisieversameling en waardever- a. Maak ‘n sketsgrafiek van f en gee die sameling van g −1(x) = − x definisieversameling en waardeversameling. b. Is die inverse ‘n funksie? As dit nie ‘n funksie is h (x) y g (x) nie, hoe kan ons die oorspronklike funksie b. Bepaal g (x). b. Bepaal f −1(x) = .... beperk so dat dit ‘n funksie is? A c. Teken die skets van die grafiek van g en g −1 c. Skets die grafiek van f −1 op dieselfde c. Skets die grafiek h (x) en sy inverse soos be- op dieselfde assestelsel assestelsel en gee definisieversameling en paal in (b). waardeversameling d. Gee die vergelyking van die lyn wat simmetries x is aan f −1 rondom die x-as Oplossings: 1 Oplossings: a. Bereken die waarde van a as A(2; 2 ) is ‘n punt a. Definisieversameling: x ∈[0; ∞) 4 a. x = y 2 op g (x). Waardeversameling: y ∈(−∞; 0] Oplossings: y = ± x b. Bepaal die vergelyking van h (x). a. y f (x) b. Die inverse is nie ‘n funksie nie, omdat een x- b. x = − y waarde, twee verskillende y-waardes het. Dus, c. Bepaal die vergelyking van g −1(x) in die vorm moet ons die definisieversameling van h (x) y = ... (x)2 = (− y)2 beperk. Daar is twee metodes i) x ≤ 0 of d. Gee die definisieversameling en x2 = y (0;1) f –1(x) ii) x ≥ 0 waardeversameling van g (x), h (x) en g −1(x) ∴ g (x) = x 2; x ∈(−∞; 0] (1;0) x c. i) h (x) y Oplossings: 1 c. g –1(x) y a. 2 = a 2 4 9 = a2 4 x 3 Definisieversameling: x ∈R ∴a = Waardeversameling: y ∈(0; ∞) 2 x h –1(x) 3 −x (2 ) b. y = log3 x b. h (x) = g (x) ii) 2 x (3 ) y h (x) h (x) = c. Definisieversameling: x ∈(0; ∞) Waardeversameling: y ∈R c. g −1(x) = log 3 x 2 d. y = − log3 x h –1(x) x d. g : x ∈R en y ∈(0; ∞) h : x ∈R en y ∈(0; ∞) g −1 : x ∈(0; ∞) en y ∈R Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 28

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Differensiaal Rekene SCIENCE CLINIC 2022 © GEMIDDELDE GRADIËNT: BEPAAL DIE AFGELEIDE VAN ‘N FUNK- VERSKILLENDE NOTA- DIFFERENSIASIEREËLS Gradiënt tussen twee punte op ‘n kurwe SIE DEUR DIE DEFINISIE TE GEBRUIK SIES WAT GEBRUIK NB: Gebruik die reëls tensy daar spesifiek gevra word om (VANUIT GRONDBEGINSELS) WORD VIR AFGELEIDES “GRONDBEGINSELS” te gebruik. y2 − y1 Die afgeleide van ‘n kurwe is die gradiënt van die Die afgeleide van y = f (x) kan as gem m = kurwe. f ′(x) is die afgeleide van f (x). x2 − x1 volg geskryf word: 1. Die afgeleide van ‘n konstante is NUL f (x + h ) − f (x) dy a. (−4) = 0 VOORBEELD f ′(x) = lim • f ′(x) dx h →0 h Bepaal die gemiddelde gradiënt van b. as f (x) = 3 dan is f ′(x) = 0 f (x) = x 2 + 2 tussen x = 2 en x = 4. VOORBEELD d f (x) • dx Bepaal die afgeleide van f (x) vanuit grondbeginsels 2. Die afgeleide van x n is nx n−1 (wanneer n ‘n konstante is) y2 − y1 Gem m = x 2 − x1 1. f (x) = x2 + 4 dy d a. As y = x 2 dan is = 2x 2−1 = 2x • d x [ f (x)] f (4) − f (2) ∴ f (x + h ) = (x + h )2 + 4 dx = −3 4−2 = x 2 + 2x h + h 2 + 4 b. Dx[x −3] = − 3x −3−1 = − 3x −4 = x4 [(4)2 + 2] − [(2)2 + 2] f (x + h ) − f (x) = f ′(x) = lim • y′ 4−2 h →0 h = 6 [x 2 + 2x h + h 2 + 4] − [x 2 + 4] 3. Die afgeleide van ‘n konstante k gemaal deur f (x) is k . f ′(x) = lim dy d h ( − 2x ) = − 2(3x ) = − 6x h →0 a. 3 3−1 2 Nota: Verander eers al • dx dx GRADIËNT BY ‘N ENKELE PUNT 2x h + h 2 die eenterm noemers na [ x6 ] Die gradiënt van f (x) by die punt waar x = a = lim 3 −18 ‘n negatiewe eksponent h →0 h b. Dx = Dx[3x −6 ] = − 18x −7 = gegee word deur: x7 toe = lim h (2x + h ) • Dx[ f (x)] f (a + h ) − f (a) h →0 h 1 x −2 1 1 c. y = = dan is y ′ = ( − 2x −2−1) = − x −3 = − lim = 2x + 0 2x 2 2 2 x3 h →0 h dy = 2x • d t beskryf die afgeleide van VOORBEELD die funksie van y met 4. Die afgeleide van ‘n som is gelyk aan die som van die afgeleides Bepaal die gradiënt van f (x) = 2x 2 − 1 by betrekking tot die veranderlike t d x(2 ) d x(2 ) 1 d 1 3 1 d 1 3 die punt waar x = 1. 2. f (x) = x + −π = x + x −1 − π x x 1 • Dk[ f (k)] beskryf die afgeleide = 3 2 1 x − f (a + h ) − f (a) ∴ f (x + h ) = lim x+ h van f (k)met betrekking tot die 2 x2 h →0 h veranderlike k f (x + h ) − f (x) a. as s = (t + 1)(t − 4) = t 2 − 3t − 4 f (1 + h ) − f (1) f ′(x) = lim = lim h →0 h ds h →0 h 1 dan = 2t − 3 − 1x dt [2(1 + h )2 − 1] − [2(1)2 − 1] = lim x+ h = lim h →0 h x 2 − 5x − 6 (x − 6)(x + 1) h →0 h b. as f (x) = = = x+ 1 h →0 [ (x + h )x ] x − (x + h ) x −6 (x − 6) 4h + 2h 2 Nota: MOET NIE = lim ÷h = lim dan f ′(x) = 1 h →0 h 0 vervang totdat h (4 + 2h ) h nie meer in die −h 1 x3 − 3 x3 3 = lim = lim × c. as y = = − = x − 3x −2 h →0 h noemer is nie. h →0 x (x + h ) h x 2 x2 x2 (0 = 4 + 2(0) A −1 dy 6 is = dan = 1 + 6x −3 = 1 + x (x + 0) dx x3 = 4 ) ongedefinieerd −1 = x2 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 29

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Differensiaal Rekene SCIENCE CLINIC 2022 © RAAKLYN AAN ‘N KURWE BY ‘N PUNT KUBIESE KURWES SKETS VAN KUBIESE GRAFIEKE Die gradient van ‘n raaklyn aan y = f (x) by die punt waar x = c is gegee deur Standaard vorm: Stappe vir die skets van ‘n kubiese grafiek; m tan = f ′(c). y = a x3 + b x2 + c x + d y-as afsnitte 1. Bepaal die stasionêre punte (SP) en hul aard Stappe: VOORBEELD 2 2. Bepaal die x- en y-afsnitte 1. Bepaal die kontakpunt (KTP) Bepaal die vergelyking van die raaklyn(e) a>0 of OF a<0 of 3. Skets die grafiek 2. Bepaal f ′(x) by die punt KTP aan f (x) = x 3 − 1 wat loodreg aan (m.a.w. f ′(c)) 1 DIE EERSTE AFGELEIDE TOETS y = − x + 8 is. 3 Stasionêre punte word bepaal wanneer f ′(x) = 0 3. m tan = f ′(c) 4. Vind y = m x + c en vervang in m tan 1. ⊥ lyne: m1 × m 2 = − 1 • f (c) is ‘n lokale maks as: • f (c) is ‘n lokale min as : • As f (c), f ′(x) het met en die KTP. 1 f ′(x) > 0 links van c f ′(x) < 0 links van c dieselfde teken aan beide − × m⊥ = − 1 f ′(x) > 0 regs van c kante van c, is f (c) dan 3 f ′(x) < 0 regs van c VOORBEELD 1 f l (x) = 0 nie ‘n lokale na links of ∴ m⊥ = 3 Bepaal die vergelyking van die raaklyn f l (x) SP f l (x) regs nie. f l (x) SP f l (x) aan die kurwe y = 2x 2 + 1 by die punt MAAR m tan = f ′(x) f l (x) f l (x) = 0 f l (x) l waar x = 2 3 = 3x 2 VOORBEELD 1 f (x) = 0 • KTP: x = 2 x2 = 1 Skets f (x) = (x − 2)3 + 8 y = 2(2)2 + 1 = 9 ∴ x = ± 1 f l (x) (2; 9) • Standaard vorm:: f l (x) f l (x) = 0 Dus is daar 2 raaklyne aan f (x) wat ‘n f (x) = (x − 2)(x 2 − 4x + 4) + 8 • f ′(x) gradient van 3 het = x 3 − 6x 2 + 12x VOORBEELD 2 Laat y = f (x) Raaklyn 1: Raaklyn 2: • Stationêre punte (SPs by f ′(x) = 0): ∴ f ′(x) = 4x Skets f (x) = 6x − 2x 3 y x = 2: y = (1)3 − 1 = 0 y = (−1)3 − 1 = − 2 3x 2 − 12x + 12 = 0 f ′(2) = 4(2) = 8 x 2 − 4x + 4 = 0 • Stationêre punte (SPs by f ′(x) = 0): KTP (1; 0) KTP (−1; − 2) 6 − 6x 2 = 0 • ∴ m tan = 8 (x − 2)2 = 0 y = 3x + c y = 3x + c x2 = 1 ∴ x = 2 • y = mx + c x = ± 1 0 = 3(1) + c −2 = 3(−1) + c f (2) = 8 y = 8x + c (vervang (2; 9)) ∴ (1; 4) of (−1; − 4) 9 = 8(2) + c c = −3 c = 1 ∴ (2; 8) c = −7 ∴ y = 3x − 3 ∴ y = 3x + 1 Aard van SPs → eerste afgeleide toets Aard van SPs → eerste afegeleide toets ∴ y = 8x − 7 is die raaklyn aan x SP (-1) SP (1) y = 2x 2 + 1 by x = 2 x SP 2 f ′(x) 0 0 VOORBEELD 3 f ′(x) 0 f (x) Bepaal die normaal aan die raaklyn van die kurwe f (x) = 2x 2 + 4 by die punt waar y • y-afsnit (x = 0) y x = 0 • y-afsnit (x = 0) f (0) = 0 NOTA: DIE NORMAAL IS DIE LYN ⊥ AAN DIE RAAKLYN BY DIE KTP f (0) = 0 f (x) (1;4) • KTP x = 0 • x-afsnit (y = 0) • x-afsnit (y = 0) (2;8) y = 2(0)2 + 4 • mrklyn = 0 f (x) = 0 f (x) = 0 (0;–√3) = 4 x 6x − 2x 3 = 0 Dus, die raaklyn is ‘n horisontale lyny = 4 (x − 2)3 + 8 = 0 x (0; 4) 2x (3 − x 2 ) = 0 (0;√3) • Raaklyn ⊥ normaal (x − 2)3 = − 8 • f ′(x) x = 0 of x 2 = 3 ∴ die normaal sal ‘n vertikale lyn deur die KTP x − 2 = 3 −8 (–1; –4) f ′(x) = 4x x = ± 3 wees x −2 = −2 by x = 0: f ′(0) = 0 ∴ x = 0 ∴ x = 0 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 30

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Differensiaal Rekene SCIENCE CLINIC 2022 © KONKAWITEIT FAKTORISERING VAN MEER KOMPLEKSE DERDEGRAADSE POLINOME Konkawiteit verduidelik hoe die gradiënt van die raaklyne aan ‘n Die faktorstelling sê dat as f (c) = 0 dan is (x − c) ‘n faktor. kurwe verander van links na regs VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 ‘n Deel van die kurwe is konkaaf op as die gradiënt van die raaklyne Faktoriseer x 3 − 5x 2 − 2x + 24 deur middel van inspeksie Faktoriseer x 3 − 7x 2 + 14x − 8 deur middel van sintetiese deling toeneem van links na regs f (−2) = 0 ∴ (x + 2) Is ‘n faktor f (1) = 0 ∴ (x − 1) is ‘n faktor → 0 → m m x 3 − 5x 2 − 2x + 24 1 1 − 7 + 14 − 8 ← koëffisiënte van die polinoom toenemende gradiënte x3 24 ↓+ 1−6+ 8 ∴ konkaaf op = (x + 2)(x 2 − 7x + 12) 1−6+ 8 ⋅ m=0 2x 2 = (x − 1)(x 2 − 6x + 8) • ‘n Deel van ‘n kurwe is konkaaf af as die gradiënt van die raak- −7x 2 lyne afneem van links na regs = (x + 2)(x − 4)(x − 3) = (x − 1)(x − 2)(x − 4) m=0 → 0 → MEER SKETSE (DEUR DIE TWEEDE AFGELEIDE GEBRUIK) VOORBEELD 2 m m afnemende gradiënte VOORBEELD 1 ∴ konkaaf af Skets f (x) = x 3 − x 2 − 5x − 3 Skets f (x) = x 3 − 5x 2 + 8x − 4 • Stasionêre punte (SPs by f ′(x) = 0): TOETS VIR KONKAWITIET • Stasionêre punte (SPs by f ′(x) = 0): 3x 2 − 2x − 5 = 0 Verwyder die grootste gemene faktor vanuit die koëffisiënt en ge- 3x 2 − 10x + 8 = 0 (3x − 5)(x + 1) = 0 (3x − 4)(x − 2) = 0 5 meenskaplike veranderlikes. x = of x = − 1 4 3 x = of x = 2 5 −256 f ′′(x) → tweede afgeleide 3 ( ; ) (−1; 0) 4 4 3 27 ( ; ) (2; 0) 3 27 Aard van stasionêre punte → 2de afgeleide toets OF 1ste afgeleide toets As: * f ′′(x) > 0 konkaaf op * f ′′(x) < 0 konkaaf af Aard van stasionêre punte → tweede afgeleide toets f ′′(x) = 6x − 2 x SP (-1) SP (5/3) (3 ) f ′′(x) = 6x − 10 5 * f ′′(x) = 0 geen afleiding oor konkawiteit f ′′ = 8 en 8 > 0 f ′(x) (3 ) 4 0 0 f ′′ = − 2 en −2 < 0 f ′′(2) = 2 en 2 > 0 INFLEKSIEPUNT (IP) ∴ lokale min lokale lokale min ∴ lokale maks ∴ lokale min f ′′(−1) = − 8 en −8 < 0 Gebeur waar konkawiteit verander (m.a.w. waar f ′′(x) = 0) maks f (x) ∴ lokale maks Konkaaf op • y-afsnit (x = 0) y f ′′(x) > 0 f (0) = − 4 • y-afsnit (x = 0) Konkaaf af f (0) = − 3 y f ′′(x) < 0 IP • x-afsnit (y = 0) (⅔; 4⅔27) 4 f (x) Konkaaf op IP f (x) = 0 (1; 0) • x-afsnit (y = 0) Konkaaf af (–1;0) f ′′(x) > 0 x 3 − 5x 2 + 8x − 4 = 0 x f (x) = − 3 f ′′(x) < 0 (2;0) (3;0) x f (1) = 0 ∴ (x − 1) is ‘n faktor x 3 − 5x 2 + 8x − 4 = 0 Tweede Afgeleide Toets: 1 1−5+ 8−4 f (−1) = 0 ∴ (x + 1) is ‘n faktor Ander manier om die aard van die stasionêre punte te kry.: ↓+ 1−4+ 4 x 3 − x 2 − 5x − 3 = 0 (0;–3) 1−4+ 4 ⋅ (0;–4) x3 −3 As: * f ′′(x) > 0 by die stasionêre punt, is LOKALE MIN = (x + 1)(x 2 − 2x − 3) (x − 1)(x 2 − 4x +4) = 0 * f ′′(x) < 0 by die stasionêre punt, is LOKALE MAKS x2 (⅔; 4 ⅔27) 5 -256 (x − 1)(x − 2)2 = 0 −2x 2 * f ′′(x) = 0 by die stasionêre punt, is INFLEKSIEPUNT x = 1 of x = 2 = (x + 1)(x + 1)(x − 3) = 0 ((x = 2) is ‘n dubbelle x sny punt, ∴ ook ‘n SP) x = − 1 or x = 3 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 31

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Differensiaal Rekene SCIENCE CLINIC 2022 © VOORBEELD 2: ADDISIONELE VRAE BEPAAL DIE VERGELYKING VAN ‘N KUBIESE KURWE Vrae: 1. Bepaal die x-waarde van die infleksiepunt en dui dit aan op jou x-afsnit is gegee Stasionêre Punte is gegee Afgeleide grafiek is gegee skets f (x). 2. Bepaal vir watter waardes van x sal: y = a (x − x1)(x − x 2 )(x − x 3) Onthou: f ′(x) = 0 Hierdie is die skets gegee deur f ′(x), die afgeleide a. f (x) ≥ 0 (bo/op die x-as) y van f (x) = a x 3 + b x 2 + c x + 8 [x1; x 2; x 3 : x-afsnitte] (2;2) b. f ′(x) > 0 (gradiënt positief en toenemend) y f (x) f ′(x) se grafiek is ‘n parabool met x-afsnitte watge- c. f ′′(x) < 0 (konkaaf af) f (x) gee is (0;2) y d. f (x) ⋅ f ′(x) > 0 (positiewe produk) x y = p (x − x1)(x − x 2 ) f l (x) e. f ′′(x) ⋅ f ′(x) ≤ 0 (negatiewe produk) (–1;0) y = p (x + 2)(x − 6) (2;0) (0;2) x (0;–2) x Vervang (0; − 4) (–2;0) (6;0) Oplossings: As f (x) = − x 3 + b x 2 + c x + d −4 = p (0 + 2)(0 − 6) y (0;–4) 1. y = a (x − x1)(x − x 2 )(x − x 3) dan f ′(x) = − 3x 2 + 2b x + c 1 f (x) p= by x = 0 en x = 2 3 y = a (x + 1)(x − 2)(x − 2) (–1;0) (⅔;0) 1 2 = a (0 + 1)(0 − 2)2 1 (3;0) x (0; 2) ∴ y = (x + 2)(x − 6) 3 2 = a (0 + 1)(0 − 2)2 −3(0)2 + 2b (0) + c = 0 1 2 4 y = x − x −4 (0;–3) 4a = 2 c = 0 3 3 1 2 4 1 −3(2)2 + 2b (2) = 0 ∴ f ′(x) = x − x −4 a = 3 3 2 b = 3 maar f ′(x) = 3a x 2 + 2b x + c (⅔; -2564⅔27) 5 1 ∴ y = (x + 1)(x − 2)2 ∴ y = − x 3 + 3x 2 + d (verv. (0; − 2) of (2; 2) 1 4 2. 2 ∴ 3a = 2b = − c = −4 3 3 1 −2 = − (0)3 + 3(0)2 + d 1 2 a. x = − 1 of x ∈[3; ∞) = (x + 1)(x 2 − 4x + 4) 2 a = b = − (3 ) 5 ∴ d = −2 9 3 b. x ∈(−∞; − 1) ∪ ;∞ 1 3 3 2 1 3 2 2 = x − x + 2 ∴ y = − x 3 + 3x 2 − 2 f (x) = x − x − 4x + 8 2 2 9 3 ( 3) 1 c. x ∈ − ∞; ONTLEDING VAN AFGELEIDE d. f (x) f ′(x) GRAFIEKE Vir watter waardes van x sal f (x) die volgende eienskappe hê? onder x-as bo x-as f ′(x) grafiek → f (x) grafiek y • Afnemend (f ′(x) < 0) • konkaaf op (grad toenemend L→R) ( 2) x ∈(−∞; − 4) ∪ (1; ∞) 3 x ∈ − ∞; − ( 3) 5 Negatief (m.a.w f ′(x) < 0 ) Helling neem af x ∈ − 1; ∪ (3; ∞) • toenemend (f ′(x) > 0) Positief(m.a.w f ′(x) > 0) Helling neem toe (1;0) • Konkaaf af grad afnemend L→R) x ∈(−4; 1) ( 2 ) e. f ′′(x) f ′(x) (–4;0) x 3 • SPe (m.a.w. f ′(x) = 0) x ∈ − ;∞ konkaaf af Nul/x-afsnitte Stasionêre punte f l (x) (m.a.w f ′(x) = 0 ) (SPe) x = − 4 of x = 1 • Dus, die algemene vorm van f (x) is: konkaaf op • IP (m.a.w. f ′(x) − DP) x=1 Draaipunt [3 3 ] 1 5 Infleksiepunt (IP) −4 + 1 −3 POI x ∈(−∞; − 1] ∪ ; (m.a.w f ′′(x) = 0 ) x = = x = –½ 3 2 2 x = –4 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 32

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Toepassing van Differensiaal Rekene SCIENCE CLINIC 2022 © MINIMA EN MAKSIMA TEMPO VAN VERANDERING DIFFERENSIAALBEREKENING EN BEWEGING Minima/ maksima word gevind wanneer die eerste afgeleide gelyk is As y ‘n funksie van x, dan is die oombliklike tempo van verandering dy aan 0. (m.a.w. f ′(x) = 0) . Verplasing s m dx VOORBEELD ds VOORBEELD v= Snelheid v m/s dt Die volume van ‘n water tenk op ‘n gegewe oomblik (t in minute) is gegee deur v = 10 + 8t − 2t 2 m3 dv d 2s Versnelling a m/s 2 a= or a = dt d t2 60 – 2x Vrae: VOORBEELD x 1. Wat is die tempo waarteen die volume verander na 1 minuut? Die verplasing van ‘n projektiel is gegee deur s = 5t 2 − 20t waar 2x 2. Hoe lank sal dit neem vir die water om ‘n maksimum volume s in metres en t in sekondes gemeet word. te bereik? n Reghoekige boks het die volgende afmetings 3. Wanneer sal die tenk leeg wees? Vrae: x × 2x × (60 − 2x) cm. 1. Hoe lank sal dit neem vir die projektiel om ‘n maksimum Oplossings: waarde te bereik? Vrae: 1. v = 10 + 8t − 2t 2 m3 2. Wat is die snelheid van die projektiel na 5 sekondes?? 1. Bepaal ‘n uitdrukking wat die volume van die boks in terme dv 3. Wat is die versnelling van die projektiel? van x beskryf. Tempo van verandering: = 8 − 4t dt 2. Bepaal die afmetings van die boks wat die maksimum volume by t = 1: 8 − 4(1) sal gee. Oplossings: = 4m3/minute ds 3. Wat is die maksimum volume? 1. = v= 0 dv dt 2. Maks wanneer = 0 dt 10t − 20 = 0 Oplossings: ∴ 8 − 4t = 0 ∴ t = 2 sekondes 1. v = ℓ bh = x (2x)(60 − 2x) t = 2 minute 2. v = 10t − 20 = 120x 2 − 4x 3 cm3 3. v = 0 = 10(5) − 20 2. v′ = 0 by die maksimum volume 10 + 8t − 2t 2 = 0 30 m/s 240x − 12x 2 = 0 t 2 − 4t − 5 = 0 3. v = 10t − 20 12x (20 − x) = 0 (t − 5)(t + 1) = 0 dv x ≠ 0 of x = 20 a= = 10 m/s 2 t = 5 of t ≠ − 1 dt Afmetings: x × 2x × (60 − 2x) cm ∴ t = 5 minute = 20 × 40 × 20 cm 3. Metode 1: Metode 2: v = 120x 2 − 4x 3 v = ℓ bh = 120(20)2 − 4(20)3 = (20)(40)(20) = 16 000 cm3 = 16 000 cm3 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 33

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Waarskynlikheid SCIENCE CLINIC 2022 © Teoretiese Waarskynlikheid vir ‘n gebeurtenis: Relatiewe Frekwensie of Teoretiese waarskynlikheid van ‘n gebeurtenis: Eksperimentele waarskynlikheid: aantal gunstige uitkomste S = {steekproef} P(E ) = aantal kere wat ′n gebeurtenis plaasvind totale moontlike uitkomste P(E ) = A = {gebeurtenis A} n(E ) aantal proefnemings B = {gebeurtenis B} = n(S) A ∪ B = {A vereniging B} = in stelle A of B A ∩ B = {A interseksie B} = in stelle A en B E = Gebeurtenis S = Steekproefruimte Somreël: Onderling Uitsluitend: Alomvattende Gebeurtenisse: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) A ∩ B = {} Gebeurtenisse is alomvattend wanneer hulle alle elemente van die steekproef bevat. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) S A en B is onderling uitsluitend omdat gebeurtenisse geen ele- mente deel nie. A en B is inklusiewe gebeurtenisse omdat hulle elemente deel. A B S S A ∩ B = {2; 6} 1 2 5 NOTA: 3 4 6 A B A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} A B n(A ∪ B ) = n(A) + n(B ) n(A) = 5 1 5 1 2 5 6 n(A ∩ B ) = 0 4 2 7 n(B ) = 5 3 4 6 3 8 P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) n(A ∩ B ) = 2 9 9 n(A ∪ B ) = 8 Komplimentêre Gebeurtenisse: Onafhanklike gebeurtenisse: Afhanklike Gebeurtenisse: Gebeurtenisse A en B is komplimentêre gebeurtenisse as hulle Onafhanklike gebeurtenisse is twee gebeurtenisse wat nie Afhanklike gebeurtenisse is wanneer die eerste gebeurtenis (A) die beide onderling uitsluitend en alomvattend is. mekaar se uitkomste beïnvloed nie. V.b. wanneer twee gekleurde uitkoms van die tweede gebeurtenis (B) beïnvloed. V.b. Wanneer albasters uit ‘n sak te kies, en die albaster terug plaas. Die eerste twee munte uit ‘n beursie gekies word, sonder dat die eerste munt keuse beïnvloed nie die uitkomste van die tweede keuse nie. terug geplaas word. Die eerste keuse beïnvloed die uitkomste van die tweede keuse. n(nie in A) = n(A′) = 1 − n(A) Daarom gebruik ons die produk reël P(A′) = 1 − P(A) = P(B) P(A en B) = P(A ∩ B) = P(A) × P(B) Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 34

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Waarskynlikheid SCIENCE CLINIC 2022 © BOOMDIAGRAMME TWEERIGTING-GEBEURLIKHEIDSTABEL VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 VOORBEELD 1 Vrae: Vrae: Vrae: In ‘n groep van 26 leerders, dra daar 10 bril, 8 leerders is links en 6 leerders is beide Die dogters se hokkiespan het ‘n wedstryd hier- ‘n Sak bevat 4 rooi metaalballe, 5 blou metaalballe en 3 groen links en dra bril. die Saterdag. Daar is ‘n moontlikheid van 85% metaalballe. ‘n Bal word ewekansig gekies en word nie terug gesit 1. Voltooi die tabel deur die ontbrekende inligting in te vul dat Makayla doelwagter sal wees. Indien sy is, is nie. Daar word dan nog ‘n bal, ewekansig, gekies. Teken ‘n boom- daar ‘n 70% kans dat die span sal wen, maar as diagram om al die verskillende uitkomstes te lys.Gebruik die boomdia- Links Regs TOTAAL sy nie speel nie is daar ‘n 45% kans dat hulle die gram om die waarskynlikheid van die volgende te bepaal: a b c Bril wedstryd sal wen. Teken ‘n boomdiagram om te help om die volgende vrae te antwoord: 1. ’n Blou metaalbal in die eerste trek Sonder Bril d e f 2. ’n Rooi metaalbal gevolg deur ‘n groen metaal bal word getrek TOTAAL g h i 1. Wat is die waarskynlikheid dat Makayla doel- 3. Twee metaalballe van dieselfde kleur word getrek wagter speel en dat die span wen? 2. Indien jy ewekansig, uit die 26 leerders een leerder kies, bereken: Oplossings: 2. Wat is die waarskynlikheid dat die span sal a. Regs is verloor hierdie Saterdag? 0,27 b. Regs en sonder bril Rooi (R;R) Oplossings: 0,33 0,45 Oplossings: Rooi Blou (R;B) 1. a = 6; b = 4; c = 10; d = 2; e = 14; f = 16; g = 8; h = 18; i = 26 0,7 Wen 0,27 18 Mikayla Groen (R;G) 2. P(R) = = 0,69 0,85 doelwagter 26 (MD) 0,3 0,36 14 Verloor 3. P(R en SB) = = 0,54 Rooi (B;R) 26 0,45 Wen 0,42 0,36 0,15 Mikayla nie Blou Blou (B;B) VOORBEELD 2 doelwagter Vrae: (MND) 0,55 0,27 ‘n Opname was gedoen waar leerders gevra is met watter hand hul skryf en watter Verloor Groen (B;G) kleur ink hul verkies. Die resultate word onder saamgevat: 1. P(MD en wen) = 0,85 × 0,7 0,36 Hand waarmee geskryf word Rooi (G;R) Links (L) Regs (R) Totaal = 0,6 0,25 0,45 Blou (Bl) a b 24 Groen Blue (G;B) Kleur ink 2. P(MD en verloor) + P(MND en verloor) Swart (Sw) c d 56 0,18 Totaal 50 30 80 = 0,85 × 0,3 + 0,15 × 0,55 Groen (G;G) = 0,34 Die opname bereik ‘n slotsom dat die hand waarmee geskryf word en ink kleur is 1. P(B en enige) = 0,42 × 0,36 + 0,42 × 0,36 + 0,42 × 0,27 onafhanklik van mekaar. Bereken die waardes van a, b en c. = 0,42 Oplossings: P(L en Bl) = P(L) × P(Bl) 2. P(R dan G) = 0,33 × 0,27 a 50 24 = × 80 = 0,09 80 80 a = 15 3. P(RR of BB of GG) = 0,33 × 0,27 + 0,42 × 0,36 + 0,25 × 0,18 ∴ b = 24 − 15 = 9 = 0,29 c = 50 − 15 = 35 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 35

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Waarskynlikheid - Venn-Diagram SCIENCE CLINIC 2022 © VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 V ∪M (V ∪ M )′ of V′ ∩ M′ Vrae: Vrae: V M V M In die Venn-diagram vir ‘n graad 6 groep ,word die 120 Graad 12 leerders van Girls High was gevra oor hul deelname aantal ewekansige gebeurtenisse (Lees(L); Sport(S) aan die skool se kulturele aktiwiteite: en (kuns(K)) ingevul. • 61 meisies doen drama (D) • 29 meisies redenaars (R) Gr 6 • 48 meisies sing in die koor (K) • 8 meisies doen alles S S • 11 meisies doen drama en redenaars L S • 13 meisies doen redenaars en koor 10 • 13 meisies doen geen kulturele aktiwiteite M V 20 97 1. Teken ‘n Venn-diagram om die informasie te verteenwoordig V M V M 5 2. Hoeveel meisies neem deel aan slegs drama en slegs koor? 25 8 3. Bepaal die waarskynlikheid dat ‘n graad 12 leerder wat ewe- 3 kansig gekies word, deelneem aan: 2 a. Slegs die koor S S b. Doen nie redenaars nie K c. minstens twee van die aktiwiteite V∩M (V ∩ M )′ of V′ ∪ M′ Bereken: Oplossings: n(S) = 120 V M V M 1. P(K⋂L⋂S) 1. n(D) = 61 n(R) = 29 2. P(L en K en nie S) 3. P(K of L) 4. P(S of L en nie K) 3 13 50–x S S 8 x 5 Oplossings: 5 1 35–x V′ ∩ M V ∪ M′ 1. P(K ∩ L ∩ S) = = 170 34 13 V M V M n(K) = 48 25 5 2. P(L en K en nie S) = = 2. (50 − x) + 3 + 13 + x + 8 + 5 + (35 − x) + 13 = 120 170 34 127 − x = 120 70 7 3. P(K of L) = = ∴x = 7 170 17 S S ∴ 50 − x = 43 en 35 − x = 28 127 4. P((S of L) en nie K) = 170 3. M′ 35 − 7 28 a. P(slegs K) = = = 0,23 120 120 V M 120 − 29 91 b. P(R′) = = = 0,76 120 120 3+ 7+ 8+ 5 23 c. P(minstens 2) = = = 0,19 120 120 S Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 36

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Waarskynlikheid - Fundamentele Telbeginsel SCIENCE CLINIC 2022 © Verskillende keuses, n.l. c, d en e, is gegee Die rangskikkingsorde is belangrik: Rangskikkings en Vaste Posisies: n! n(s) = c × d × e n(s) = or n(s) = nP r n(s) = aantal posisies × aantal rankskikkings in elke posisie (n− r)! VOORBEELD waar; VOORBEELD Hoeveel verkillende uitrustings kan jy bymekaar r = aantal spesifieke keuses Op hoeveel maniere kan 5 verskillende Wiskunde boeke, 2 verskillende Afrikaanse boeke en 3 plaas met 4 hemde, 6 rompe en 2 pare skoene? verskillende Engelse boeke gerangskik word, wanneer hulle in vak gegroepeer word? n(s) = 4 × 6 × 2 Aantal posisies = 3 VOORBEELD Aantal rangskikkings vir Wiskunde boeke = 5! = 48 uitrustings Aantal rangskikkings vir Afrikaanse boeke = 2! Daar is 7 spelers in ‘n netbal span wat hoop om of doel of doel aanvaller te wees. Hoeveel opsies is Aantal rangskikkings vir Engelse boeke = 3! daar? Rangskikkings met repetisie: 7! n(s) = 3! × 5! × 2! × 3! n(s) = k x n(s) = (7 − 2)! Waar; = 8 640 k = aantal keuses = 42 x = aantal kere wat jy kan kies VOORBEELD VOORBEELD VOORBEELD of Vrae: Vrae: ‘n Kode van 4 syfers kan van ‘n kombinasie van ‘n Wagwoord bestaan uit 8 karakters. Die eerste Hoeveel maniere kan die letters ‘ERIN’ rangskik nommers (1-9) en vokale gemaak word. twee karakters moet konsonante wees en mag word wanneer herhaling toegelaat word? n(s) = 7P 2 1. Hoeveel moontlike kodes kan gemaak word nie herhaal nie. Die derde letter is ‘n vokaal. Die n(s) = 44 as herhaling toegelaat word? volgende 4 karakters word gevorm deur vier = 42 2. Hoeveel moontlike kodes kan gemaak word syfers wat nie op 0 mag begin nie, maar mag = 256 as vokale nie herhaal mag word nie? herhaal. Die laaste karakter is ‘n vokaal wat Gebruik [nPr] knoppies op sakrekenaar: 3. Wat is die waarskynlikheid dat ‘n kode moet verskil van die eerste vokaal. VOORBEELD [7][ nPr][2] [=] geskep kan word sonder dat nommers Voorbeeld: HG E 2558 A herhaal? Hoeveel 3 letter kodes kan gevorm word deur 1. Hoeveel verkillende wagwoorde is moontlik? letters d, g, h, m, r en t wanneer letters Identiese Items (repetisie) in ‘n rangskikking: Oplossings: 2. Wat is die waarskynlikheid dat die kode herhaal kan word? n! 1. n(S) = n(nr . kodes) + n(vokaal kodes) bestaan uit ewe getalle tussen die letters n(s) = n(s) = 63 m! × p! = 9 4 + 54 en eindig met ‘n A? = 7 186 Oplossing: = 216 waar; 1. 26 letters - 5 vokale = 21 konsonante 2. n(E) = n(nr . kodes) + n(vokaal kodes) m en p: aantal kere wat verskillende items herhaal = 9 4 + 5P4 0;1;2;...9 is 10 nommers Rangskikkings sonder repetisie: word. = 6 681 n(s) = p! (faktoriaalnotasie) n(S) = 21 × 20 × 5 × 9 × 10 3 × 4 = p × ( p − 1) × ( p − 2) × ( p − 3) × . . . VOORBEELD 3. n(E 2 ) = n(nr . kodes) + n(vokaal kodes) = 75 600 000 = 9P4 + 54 VOORBEELD Hoeveel keer kan die letter in die naam ‘VANESSA’ 2. n(E ) = 21 × 20 × 4 × 9 × 10 2 × 5 × 1 rangskik word? = 3 649 = 7 560 000 Hoeveel maniere kan die letters ERIN rangskik n(E2 ) word sonder herhaling? ∴ P (E2 ) = n(S) n(S) Daar is 2 A’s en 2 S’e: ∴ P (E ) = n(s) = 4! 3649 n(E ) 7! = 7 560 000 = 4×3×2×1 n(s) = 7186 = 2! × 2! 75 600 000 = 0,51 = 24 = 1260 = 0,1 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 37

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Waarskynlikheid SCIENCE CLINIC 2022 © VOORBEELD VOORBEELD VOORBEELD Vrae: Vrae: Vrae: Oorweeg die woord “Matric Vacation” 1. Gebeurtenisse A en B is onderling uitsluitend. Dit word gegee James het vier R10, ses R20, twee R100 en drie R200 note in sy 1. Op hoeveel verskillende maniere kan die letters rangskik word? dat: beursie. Hanteer die letters asof elkeen verskillend is. • 3P(B) = P(A), en 1. Op hoeveel maniere kan die note rangskik word? 2. Wat is die waarskynlikheid dat M en V altyd langs mekaar sal • P(A of B) = 0,64; 2. Wat is die waarskynlikheid dat al die R200 note langs mekaar wees. Hanteer die letters asof elkeen verskillend is. sal wees? 3. Wat is die waarskynlikheid dat die ‘woord’ nooit op cc sal begin Bereken P(A). nie? Hanteer die letters asof elkeen verskillend is. Oplossings: 4. As die letters nie verskillend is nie , op hoeveel verskillende 2. A en B is onafhanklike gebeurtenisse so dat P (A ∩ B ) = 0,27 15! 1. n(S) = maniere kan die letters rangskik word? en P (B ) = 0,36. 4! × 6! × 2! × 3! = 6 306 300 Oplossings: Vind P(A). 1. n(s) = 14! = 87 178 291 200 Oplossings: 13! 1. Vir onderling uitsluitende gebeurtenisse; 2. n(R200 langs mekaar) = 4! × 6! × 2! 2. MV of VM gee 2!; MV kan hanteer word as een letter groep, P(A) + P(B) = P(A of B) = 180 180 dus 13 letters. 3P (B ) = P (A) n(E1) = 2! × 13! P (A) = 12 454 041 600 ∴ P (B ) = 180 180 3 P (R200 langs mekaar) = 6 306 300 12 454 041 600 ∴ P (E1) = 1 87 178 291 200 P (A) = = 0,03 P (A) + = 0,64 1 3 35 = = 0,143 7 3P (A) + P (A) = 1,92 ∴ P (A) = 0,48 3. P (c c) = 2! cc moet ‘n groep wees en eerste, daarom is 12 opsies beskik- baar na cc 2. Vir onafhanklike gebeurtenisse; P(A) × P(B) = P(A ∩ B) P(nie met cc begin nie) = 1 − P(begin met cc) 2! × 12! P (A) × P (B ) = P (A ∩ B ) = 1− 14! P (A) × 0,36 = 0,27 90 P (A) = 0,75 = = 0,989 91 4. Merk op dat daar 3 A’s , 2 T’s, I’s en C’s is 14! n(S) = 3! × 2! × 2! × 2! = 1 816 214 400 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 38

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Euklidiese Meetkunde Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © Terugflits: Teorie van SIRKELMEETKUNDE vorige grade Stelling 1: Omgekeerde v. Stelling 1: Omgekeerde (2) v. Stelling 1: (Lyn vanuit midpt ⟂ koord) (lyn vanaf midpt na koord) (middelloodlyn van koord) A Die lynstuk wat die middelpunt van ‘n sirkel met die Die middelloodlyn van ‘n koord gaan deur die middel- ‘n Loodlyn uit die middelpunt van ‘n sirkel na ‘n middelpunt van ‘n koord vebind, is loodreg op die punt van die sirkel: koord, halveer die koord. koord. K L J 1 2 N M P B C As JK = K L, dan OK ⊥ J L O B̂ = Ĉ1 (∠ 'e teenoor = sye) Â + B̂ + Ĉ1 = 180∘ (Binne ∠ 'e van Δ) O C2̂ = Â + B̂ (Buite ∠ 's van Δ) VOORBEELD: GEGEE: R T = R P en M R ⊥ T P Gegee: Sirkel M met deursnee van 20 cm en koord GEGEE: Sirkel met midpt O en koord N P ⊥ MO . DF van 12 cm. D OTB: M R gaan deur middelpunt v.d. sirkel. F OTB: N M = M P x BEWYS: 2 1 2 1 K Kies enige punt, by M, op A D. M 3 BEWYS: Verbind M T en M P Verbind ON en OP x–3 E In ΔM R P en ΔM R T G In ΔMON en ΔMOP PR = R T (gegee) K2̂ = M̂1 (ooreenk ∠ 'e DE//GF) N ̂ MO = P ̂ MO (OM⟂PN, gegee) M R = M R (gemeenskaplik) ON = OP (radiusse) M R̂ P = M R̂ T = 90∘ (∠‘e op ‘n reguit lyn) K2̂ = M̂3 (verw ∠ 'e DE//GF) OM = OM (gemeenskaplik) Bepaal die lengte van koord AC. K2̂ + M̂2 = 180∘ (ko-binne ∠ 'e DE//GF) ΔM R T ≡ ΔM R P (S∠S) ∴ ΔMON = ΔMOP (90°Sk S) ∴ M T = MP M̂1 = M̂3 (regoorstaande ∠ 'e) NM = MP Verbind MF ∴ Alle punte op A D is ewe ver van P en T en die mid- K ̂2 + K ̂1 = 180∘ (∠ 'e op 'n reguit lyn) DE = E F = 6 cm (Lyn vanaf midpt ⟂ koord) delpunt is ewe ver van P en T. MF = 10 cm (radius) ∴ Die middelpunt lê op A D. x 2 = 10 2 − 62 (Stelling van Pythagoras) x 2 = 64 P x = 8 cm ∴ M B = 8 − 3 = 5 cm (gegee) T Verbind M A R M A ⊥ AC (Lyn vanaf midpt ⟂ koord) P T 2 = PR 2 + R T 2 (Stelling v. Pythagoras) M A = 10 cm (radius) A B 2 = 10 2 − 52 (Stelling van Pythagoras) A B 2 = 75 A B = 8,66 cm ∴ AC = 17,32 cm Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 39

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Euklidiese Meetkunde Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © SIRKELMEETKUNDE Stelling 2: VOORBEELD 1: STELLING 3: Omgekeerde v. Stelling 3: (middelpunts ∠ = 2 x omtreks ∠) (∠ in halwe sirkel/∠ in 1/2 ʘ) (koord onderspan 90°) Bepaal die waarde van x: Die hoek by die middelpunt van ‘n sirkel, Die omtrekshoek wat deur die middellyn on- As ‘n koord van ‘n sirkel ‘n regtenhoek by die omtrek onderspan deur ‘n boog, is dubbel die hoek derspan word, is ‘n regte hoek onderspan, dan is die koord ‘n middellyn. wat deur dieselfde boog by enige punt op die omtrek onderspan word. As A MC die middellyn is dan B̂ = 90∘. As B̂ = 90∘ dan is A MC die middellyn. x = 54∘ ÷ 2 (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠) ∴ x = 27∘ ALTERNATIEWE DIAGRAMME: VOORBEELD: In sirkel O met middellyn AC, D C = A D VOORBEELD 2: en B2̂ = 56∘. Bepaal die grootte van D Â B Bepaal die waarde(s) van x en y: D B x GEGEE: Sirkel met midpt M, met boog A B wat A M̂ B by die midpt onderspan word en 2 A Ĉ B op die omtrek. E y O1 3 88° OTB: A M̂ B = 2 × A Ĉ B CO = OB (radiusse) BEWYS: A C C2̂ = B2̂ = 56∘ (∠ ‘e teenoor = sye) A M = B M = C M (radiusse) x = 44∘ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠) O1̂ = 68∘ (som ∠ ‘e van Δ) Â = C2̂ (∠ ‘e teenoor = sye) OB = OC (radiusse) A2̂ = 34∘ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠) B̂ = C1̂ (∠ ‘e teenoor = sye) Ĉ = 44∘ (∠ ‘e teenoor = sye) D̂ = 90∘ (∠ in halwe sirkel/∠ in 1/2 ʘ ) O3̂ = 92∘ (∠ ‘e van ‘n Δ) A1̂ = C1̂ (∠‘e teenoor = sye, DC = AD) M̂1 = Â + C2̂ (buite ∠’e van Δ) O2̂ = 88∘ (teenoors. ∠ ‘e) A1̂ = 45∘ (som ∠ ‘e van Δ) ∴ M̂1 = 2C2̂ ∴ D Â B = 34∘ + 45∘ = 79∘ 88∘ + 92∘ + 88∘ M̂2 = B̂ + C1̂ (buite ∠’e van Δ) y = 2 ∴ M̂2 = 2C1̂ y = 134∘ (midpts ∠ = 2 x ∠) ∴ M̂1 + M̂2 = 2(C1̂ + C2̂ ) ∴ A M̂ B = 2 × A Ĉ B Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 40

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Euklidiese Meetkunde Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © SIRKELMEETKUNDE STELLING 4: AFLEIDINGS: Omgekeerde v. Stelling 4: (∠ in die sirkel segment) (lynstuk onderspan = ∠’e) a) Gelyke koorde (of boë) onderspan gelyke As ∠’e by die omtrek van ‘n sirkel onderspan As ’n lynstuk wat twee punte verbind, gelyke hoeke by twee ander punte aan dieselfde kant daarvan hoeke by die omtrek. word deur ’n koord (boog), en vorm aan die- onderspan, dan is die vier punte konsiklies (d.w.s. hulle lê op die omtrek van ‘n sirkel) selfde kant van die koord (boog), is hul gelyk. K L = ST dan P̂ = M̂ (= gelyke koorde, As Ŵ = U,̂ dan is W U Z Y ’n koordevierhoek. gelyke ∠’e) GEGEE: Sirkel met midpt N waar R T en R P̂ T b) Gelyke koorde onderspan gelyke hoeke by deur boog R M̂ T onderspan word in dieselfde VOORBEELD 1: VOORBEELD 2: die middelpunt van ’n sirkel. segment. GEGEE: Sirkel met midpt O en Ĉ = 36∘ Gegee sirkel A BC D met A B | | E F. OTB: R P̂ T = R M̂ T BEWYS: Verbind N R en N T om N1̂ te vorm. 1 M̂ = × N1̂ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠) 2 1 As A B = C D dan O1̂ = O2̂ (= koorde, = ∠’e) P̂ = × N1̂ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠) 2 ∴ R M̂ T = R P̂ T c) Gelyke koorde in gelyke sirkels onderspan Bereken die waardes van die hoeke: a) Bewys dat C DE F is ’n koordevierhoek. gelyke omtrekshoeke. O1̂ , Â en B.̂ b) As D2̂ = 38∘, bereken E2̂ OPLOSSING: a) B1̂ = C1̂ (∠‘e in dies ʘ seg.) O1̂ = 2 × 36∘ = 72∘ (midpts ∠= 2 x omtreks ∠) B1̂ = F1̂ (oorenk ∠ ‘e, AB||EF) ∴ C1̂ = F1̂ Â = B̂ = Ĉ = 36∘ (∠‘e in dies ʘ seg.) ∴ C DE F koordevierhoek (lynstuk onderspan = ∠‘e) b) D2̂ = E2̂ = 38∘ (∠‘e in dies ʘ seg. Vierhoek As HF = PQ dan Ĝ = R̂ (= koorde, = ∠’e) CDEF) Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 41

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Euklidiese Meetkunde Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © SIRKELMEETKUNDE Stelling 5: Omgekeerde v. Stelling 5: Stelling 6: (teenoorst. ∠‘e van vierhoek is suppl.) VOORBEELD 1: (teenoorst. ∠‘e van kvh) (buite ∠ van kvh) As die teenoorgestaande hoeke van ‘n vierhoek GFE is ‘n dubbele koord en H1̂ = 75∘ Die teenoorstaande hoeke van ‘n koordevierhoek Die buitehoek van ‘n koordevierhoek is gelyk aan is supplementêr. supplementêr is, dan is die vierhoek ‘n koordevierhoek die teenoorstaande binnehoeke. As Q̂ + Y ̂ = 180∘ of Ĉ + L̂ = 180∘ GEGEE: Sirkel midpt C en vierhoek QUA D. L Q̂ D = Â (buite ∠ v. kvh) Dan QC Y L Bepaal die waarde van D.̂ OTB: Q̂ + Â = 180∘ ’n koordevierhoek Omgekeerde v. Stelling 6: (buite ∠ v. vierhoek = teenoorst. binne ∠) H1̂ = F1̂ = 75∘ (buite ∠ van kvh) As die buitehoek van ‘n vierhoek gelyk is aan F1̂ = D̂ = 75∘ (buite ∠ van kvh) BEWYS: Verbind UC en D C die teenoorstaande binnehoek van ‘n vierhoek, C1̂ = 2 Â (∠ midpts = 2 x omtreks ∠) VOORBEELD 2: dan is dit ‘n koordevierhoek. C2̂ = 2Q̂ (∠ midpts = 2 x omtreks ∠) VOORBEELD 2: Sirkel GH JK met GM ⊥ H J en GL ⊥ L J. G3̂ = 24∘ A BC D is ‘n parallelogram en B Â D = F1̂ . C1̂ + C2̂ = 360∘ (∠‘e om ‘n punt) Bewys dat CE F G ‘n koordevierhoek is. ∴ 2 Â + 2Q̂ = 360∘ ∴ Â + Q̂ = 180∘ VOORBEELD 1: Bereken die waarde van α. a) Is vierhoek GL J M ‘n koordevierhoek? As L Q̂ D = Â dan is QUA D ‘n koordevierhoek b) Is vierhoek GL J H ‘n koordevierhoek? a) M̂2 = 90∘ (Gegee GM ⊥ H J) L̂ = 90∘ (Gegee GL ⊥ L J) B Â D = C1̂ (teenoorst. ∠‘e van parm) ∴ GL J M kvh (teenoorst. ∠‘e van vierhoek suppl) B Â D = F1̂ (gegee) 55∘ − α + 41∘ + 3α = 180∘ (teenoorst. ∠‘e van kvh) ∴ C1̂ = F1̂ b) Ĥ = 180∘ − 24∘ − 90∘ (∠‘e van Δ) 2α = 180∘ − 96∘ ∴ CE F G is n kvh (buite. ∠ v. vierhoek= Ĥ = 66∘ 2α = 84∘ teenoorst, binne ∠) GL J H nie kvh (teenoorst ∠ = 156° nie 180°) ∴ α = 42∘ Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 42

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Euklidiese Meetkunde Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © SIRKELMEETKUNDE Stelling 7: Stelling 8: Stelling 9: Omgekeerde v. Stelling 9: VOORBEELD 1: (raaklyn vanuit dies. pt.) (∠ tussen raaklyn en koord) (∠ tussen lyn en koord = in (raaklyn ⟂ radius) Gegee sirkel O met raaklyn Z Y U As twee raaklyne vanuit dieselfde punt aan ‘n sirkel teenorst. ʘ seg) ‘n Raaklyn aan ‘n sirkel is en M N = F G. As Ĥ = 18∘ is, bepaal die Die hoek wat gevorm word tussen ‘n raak- getrek word, dan is die afstande vanaf die punt na As ‘n lyn deur die eindpunt van ‘n loodreg op die radius by die grootte van Y2̂ . lyn aan ‘n sirkel en ‘n koord wat vanuit die die raakpunte gelyk. koord ‘n hoek met die koord vorm wat raakpunt. raakpunt getrek word, is gelyk aan die hoek gelyk is aan die hoek in die teenoor- in die oorstaande segment. staande segment, dan is die lyn ‘n raaklyn aan die sirkel. GEGEE: Raaklyne T PK en SR K tot sirkel O. OTB: PK = R K BEWYS: As TA N ‘n raaklyn is aan Y1̂ = Ĥ = 18∘ (= koorde, = ∠‘e) GEGEE: Raaklyn TA N aan sirkel O, en As Â = Ĉ of A2̂ = B,̂ Konstrueer radiusse OR en OP en verbind OK. koord AC onderspan B.̂ sirkel P, dan PA ⊥ TA N Y1̂ + Y2̂ = 90∘ (raaklyn ⟂ radius) In ΔOPK en ΔOR K TA N ’n raaklyn OTB: A1̂ = C2̂ ∴ Y2̂ = 90∘ − 18∘ = 72∘ OP = OR (radiusse) Omgekeerde v. Stelling 7: BEWYS: OK = OK (gemeenskaplik) Konstrueer die middellyn AOD en verbind (lyn ⟂ radius) ̂ = O R̂ K = 90∘ (raaklyn ⟂ radius) O PK VOORBEELD 2: D C. ‘n Lyn deur enige punt op ‘n ∴ ΔOPK ≡ ΔOR K (RHS) Bewys dat T PK ’n raaklyn aan sirkel O is, met A1̂ + A2̂ = 90∘ (raaklyn ⟂ radius) sirkel loodreg op die radius, is ∴ PK = R K ’n radius van 8 cm, indien OK = 17 cm en C1̂ + C2̂ = 90∘ (∠ in 1/2 ʘ) ‘n raaklyn. PK = 15 cm is. A2̂ = C1̂ (∠’e in dies ʘ seg) VOORBEELD: ∴ A1̂ = C2̂ PK en K N is raaklyne aan sirkel M. As N1̂ = 24∘, bepaal die groote van P K̂ N. VOORBEELD 1: T R N raak aan die sirkel by R en SR = RQ. As R1̂ = x, bepaal watter vyf hoeke is gelyk aan x. R1̂ = P1̂ = x (∠ tussen raaklyn en koord) Q2̂ = x (∠ tussen raaklyn of ∠’e in die ʘ segm.) OK 2 = 172 = 289 Q2̂ = S2̂ = x (∠‘e teenoor = sye) OP 2 + PK 2 = 82 + 152 S2̂ = P ̂2 = x (∠‘e dies. ʘ segm.) = 289 As PA ⊥ TA N, dan is TA N ’n P2̂ = R 4̂ = x (∠ tussen raaklyn en koord) M N̂ K = 90∘ (raaklyn ⟂ radius) raaklyn aan sirkel P. ∴ OK 2 = OP 2 + PK 2 ∴ N2̂ = 66∘ ∴ OP ⊥ T PK (Omgekeerde Stelling v. Py- PK = N K (raaklyn vanuit die. pt.) thagoras) N2̂ = N PK ̂ = 66∘ (∠ ‘e teenoor = sye) ∴ T PK is n raaklyn aan sirkel O (lyn ⟂ radius) ∴ P K̂ N = 48∘ (∠‘e van Δ) Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 43

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Euklidiese Meetkunde Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © SIRKELMEETKUNDE VOORBEELD 2: In die figuur, is A D en A E raaklyne aan sirkel DE F. Die reguit lyn gete- ken deur A, is parallel met F D, ontmoet E D verleng by C en E F verleng B . Die raaklyn A D sny E B by G. Wenke vir die antwoord van Meetkunde Vrae • Lees deeglik en dui op die skets aan indien dit nie reeds gedoen is nie. • Moet nooit aannames maak nie. As dit nie gegee of aangedui is op die skets nie, is dit nie waar tot dit bewys is nie. • As jy waardes vir hoeke bepaal het of bewys het dat hulle gelyk is, dui dit op die skets aan en skryf dadelik die stelling en rede neer. a) Gegee E2̂ = x. Bewys dat A BDE ’n koordevierhoek is. • Maak seker dat jy al die informasie wat gegee is gebruik het, teen die b) As dit verder gegee word dat E F = DF, bewys dan dat A BC ’n raak- einde van die vraag. lyn aan die sirkel is, wat deur die punte B, F en D gaan. • Wanneer daar gevra word dat jy iets moet bewys, kan jy aanneem dat dit waar is. a) E2̂ = D2̂ = x (∠ tussen raaklyn en koord) • Byvoorbeeld: indien hul vereis dat jy moet bewys dat ABCD ‘n koordevier- D2̂ = A2̂ = x (verw ∠’e AB||FD) hoek is, is dit so. As jy sukkel met die bewys kan jy dit dus gebruik as’n ∴ A BDE is ′n koordevierhoek (lynstuk onderspan = ∠’e) bewys in een van die volgende gedeeltes van die vraag. b) E2̂ = D3̂ = x (∠‘e teenoor = sye) F1̂ = E2̂ + D3̂ = 2x (buite ∠’e van Δ) A E = A D (raaklyn vanuit dies. punt) E1̂ + E2̂ = D2̂ + D3̂ = 2x (∠‘e teenoor = sye) ∴ B3̂ = 2x (buite ∠ van kvh) B3̂ = F1̂ ∴ A BC raaklyn aan sirkel (∠ tussen raaklyn en koord) ALTERNATIEF F1̂ = B1̂ (verw ∠’e AB||FD) B1̂ = D2̂ + D3̂ (∠‘e dies. ʘ segm.) D1̂ = E1̂ (∠‘e dies. ʘ segm.) E1̂ = D3̂ (∠ tussen raaklyn en koord) ∴ B1̂ = D2̂ + D1̂ ∴ A BC raaklyn aan sirkel (∠ tussen raaklyn en koord) Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 44

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Euklidiese Meetkunde SCIENCE CLINIC 2022 © Stelling 1: Omgekeerde Stelling 1: VOORBEELD 2 (Eweredigheid Stelling) MR In sirkel O, RQ ⊥ PM, OQ = Q N en x = . ‘n Lyn ewewydig (parallel) aan een sy van ‘n driehoek, As ‘n lyn twee sye van ‘n driehoek eweredig verdeel, dan is MP verdeel die ander twee sye in eweredige dele. (Ewere- die lyn parallel aan die derde sy. (lyn deel 2 sye △ ewer. of Bereken x. P Maar MO = ON = r (radiusse) digheids stelling, of sy 1 ∥ sy 2 of lyn ∥ een sy △ ) omgekeerde Ewer. stelling.) N 1 R2 OQ = Q N = r (gegee) D 1 2 D Q r + 1r MQ 2 O ∴ = MN r+ r 3 r ⊥h H M = 2 K ⊥k 2r P Q 3 1 = × Q P̂ = 90∘ (∠ in halwe sirkel) 2 2 P 3 ∴ P̂ = R̂1 = 90∘ (gegee RQ ⊥ PM) = F ∴ RQ ∥ PN (ooreenk. ∠ ’e gelyk) 4 E MR MQ 3 ∴ = (lyn ∥ een sy △) ∴ x = E F MP MN 4 DP DQ Gegee = , daarom is PQ ∥ E F. PE QF GEGEE: △ DE F, met P op DE en Q op DF en PQ ∥ E F VOORBEELD 3 In die bygaande skets A D ∥ E F ∥ BC, bewys dat A F ⋅ BD = AC ⋅ DF. DP DQ RTP: = A PE QF VOORBEELD 1 E AB BD B In △ A BD : = (Ewer. stelling. A D ∥ E F) Bepaal x AE DF I AB AC BEWYS: In △ A BC : = (Ewer. stelling. ST ∥ RV) AE AF Konstrueer PF en EQ en teken dan hoogtelyne (loodregte 5cm BD AC AB hoogtes) K F ∴ = (beide = ) D DF AF AE Q K ( ⊥ k) en PH ( ⊥ h) ∴ BD ⋅ A F = AC ⋅ DF 1 x+1 J Area van ‘n driehoek: = × basis × ⊥ h 2 x 1 H L Area △ DPQ = × DQ × ⊥ h 6cm 2 C 1 Area △ FPQ = × FQ × ⊥ h 2 VOORBEELD 4 1 K L ∥ I J (gegee) Area △ DPQ × DQ × ⊥ h DQ HK HL ST U R is ‘n parallelogram met SU X, T U W en RU V reguit lyne. Bewys dat R T ∥ V W. ∴ = 2 = ∴ = (ewer. stelling, K L ∥ I J of lyn ∥ een sy Δ) Area △ FPQ 1 FQ × FQ × ⊥ h KI LJ 2 T 1 ST ∥ RU en SR ∥ T U (teenoorst. sye van parm) Area △ DPQ × DP × ⊥ k DP x+ 1 6 S SU RW 2 Ooreenkomstig: = = ∴ = In △ SR X : = (Ewer. stelling. SR ∥ T W) Area △ EQ P 1 PE 5 x UX WX × PE × ⊥ k 2 SU TV x (x + 1) = 30 V In △ ST X : = (Ewer. stelling.. ST ∥ RV) Maar Area △ FPQ = Area △ EQ P UX VX x 2 + x − 30 = 0 (Dieselfde basis PQ en tussen dieselfde ∥ lyne) U RW TV SU (x + 6)(x − 5) = 0 ∴ = (beide = ) R W X WX VX UX ∴ x ≠ − 6 of x = 5 DQ DP ∴ R T ∥ V W (lyn deel twee sye △ ewer.) ∴ = FQ PE Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 45

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Euklidiese Meetkunde SCIENCE CLINIC 2022 © Middelpunt -Stelling Omgekeerde: Stelling 2: Omgekeerde Stelling VOORBEELD 1 (Midpt. Stelling) (omgekeerde Midpt.-stelling) Gelykvormigheidstelling (sye van Δ eweredig) Gegee QU = 24 cm, QC = 16 cm, D A = 6 cm Die lynstuk wat die middelpunte Die lynstuk wat van die een middel- (HHH) As die ooreenkomstige sye van twee driehoeke en C D = x. van twee sye van ‘n driehoek aan punt van een sy van ‘n driehoek, Wanneer ooreenstemmende hoeke, in twee eweredig is dan is die ooreenkomstige hoeke mekaar verbind, is ewewydig aan ewewydig aan die tweede sy getrek driehoeke, gelyk is; dan is ooreen- gelyk (sye ewer.) Vrae: die derde sy en gelyk aan die word, halveer die derde sy. Die lyn stemmende sye eweredig (HHH) 1. Bewys △ QUC | | | △ D AC G J helfte van sy derde sy. is ook helfte van die grootte van die 2. Bereken die waarde van x G J sy waaraan dit ewewydig is. S S M NK M NK L U 1 L 2 H I Q P Q P H I Q 2 1 GEGEE: △ GH I en △ JK L, Ĝ = J;̂ Ĥ = K̂ GEGEE: ∴ GH = GI = H I C O R O R JK JL KL 2 3 en I ̂ = L̂ 1 4 Daarom is SQ = QO en SP = PR Daarom is SQ = QO en PQ ∥ OR 1 1 GH GI HI OTB: Ĝ = J;̂ Ĥ = K̂ en I ̂ = L̂ dan is PQ ∥ OR en Q P = OR dan is SP = PR en Q P = OR OTB: = = 1 2 2 2 JK JL KL 2 1 D A (Midpt. Stelling) (omgekeerde Midpt. Stelling) BEWYS: BEWYS: Konstrueer M op GH so dat GM = J K en Konstrueer M op GH so dat GM = J K en N op GI so dat GN = J L Oplossings: VOORBEELD N op GI so dat GN = J L Verbind M N GH GI 1. In △ QUC en △ D AC In △ ACE, A B = BC, GE = 15 cm en A F = FE = E D. Verbind M N = (gegee) Ĉ2 = Ĉ4 (teenoorst. ∠ ’e) Bepaal die lengte van CE. In △ GM N en △ JK L JK JL GH GI Q̂ 2 = D̂ 2 (∠ ’e in dies ʘ segm.) Ĝ = J ̂ (gegee) ∴ = (konstruksie GM = J K en GM GN Û 1 = A1̂ (∠ ’e van △ of ∠ ’e in dies ʘ segm.) GM = J K (konstruksie) In △ ACE ∴ △ CQU | | | △ C D A (HHH) GN = J L (konstruksie) GN = J L) A B = BC en A F = FE (gegee) CQ QU CU ∴ △ GM N ≡ △ J K L (SHS) ∴ M N ∥ H I (lyn verdeel twee sye △ ewer.) ∴ = = ( | | | △ ’e) 1 CD DA CA ∴ BF ∥ CE en BF = CE (Midpt. -Stelling) ∴ G M̂ N = K̂ en G N̂ M = L̂ ( ≡ △ ’e) 2 ∴ Ĥ = G M̂ N en I ̂ = G N̂ M In △ DF B MAAR Ĥ = K̂ en I ̂ = L̂ (ooreenk. ∠ ’e M N ∥ H I) FE = E D (gegee) CQ QU 2. = BF ∥ GE (bewys) ∴ Ĥ = G M̂ N en I ̂ = G N̂ M CD DA 1 ∴ △ GH I | | | △ GM N (HHH) 16 24 ∴ M N ∥ H I (ooreenk. ∠ ’e gelyk) = ∴ BG = GD en GE = BF HI GH 2 GH GI ∴ = x 6 ∴ = (Ewer. Stelling., M N ∥ H I) MN GM GM GN GH 96 = 24x GH GI = (konstruksie) ∴ x = 4 cm ∴ = JK JK JL HI = (gegee) KL (omgekeerde Midpt. – stelling) GH HI ∴ MN = K L ∴ BF = 2GE Ooreenkomstig, ∴ = (deur kon- JK KL ∴ △ GM N ≡ △ J K L (SSS) ∴ BF = 2(15) = 30 cm struksie van P op H I sodat H P = K L) ∴ Ĝ = J;̂ M̂ = K̂ en N̂ = L̂ CE = 2BF (gewys) GH GI HI ∴ = = ∴ Ĝ = J;̂ Ĥ = K̂ en I ̂ = L̂ ∴ CE = 2(30) = 60 cm JK JL KL Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 46

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Euklidiese Meetkunde SCIENCE CLINIC 2022 © VOORBEELD 2 VOORBEELD 3 Stelling 3: Gelykvormige Reghoekige Driehoeke DM is die middellyn van sirkel A. R T D ⊥ RC, A, B, C en D is punte op die omtrek van ‘n sirkel , so dat A B = BC. (loodlyn vanuit reghoekige hoekpunt) R T = 3 cm, RC = 4 cm, MC = 6 cm en A F is ‘n raaklyn, aan die sirkel deur A BC D, by A. Die loodlyn wat vanaf die hoekpunt van die regte hoek van ŉ reghoekige DM = 2x. driehoek getrek word, verdeel die driehoek in twee driehoeke wat gelykvor- Vrae: mig aan mekaar en gelykvormig aan die oorspronklike driehoek is. (loodlyn Vrae: Bewys: vanuit reghoekige hoekpunt) 1. Bewys △ C R T | | | △ D C M 1. △ BC D | | | △ BEC 3. △ BC D | | | △ B A F T 1 R 2. Bereken x 2. B Ĉ D = B FA ̂ 4. BD ⋅ A F = BC ⋅ C D 2 D R T 1 D 1 2 1 2 2 U 1 2 P 1 A GEGEE: △ PR T met R̂ = 90∘ en RU ⊥ T P. 2 3 A OTB: △ PR T | | | △ PU R | | | △ RU T 2 12 E 14 3 BEWYS: 3 T ̂ + R̂1 = 90∘ (∠ ’e van △) C 2 F R̂1 + R̂2 = 90∘ (gegee) NOTA: M 1 3 ∴ T ̂ = R̂2 G 1 2 ∴ P̂ = R̂1 (∠ ’e van △) Oplossings: C B In △ PU R en △ RU T J H J 2 = JG ⋅ J I 1. Ĉ3 = 90∘ (∠ in halwe sirkel) Û 2 = Û 1 = 90∘ In △ C R T en △ C DM R̂2 = T ̂ (bewys) R̂2 = Ĉ3 = 90∘ (gegee en bewys) Oplossings: P̂ = R̂1 (bewys) 3. In △ BC D en △ BFA I T1̂ = M̂ (buite ∠ van kvh) 1. In △ BC D en △ BEC ∴ △ PU R | | | △ RU T (HHH) H Ĉ1 = D̂ 2 (∠ ‘e van △) i. B̂1 = B̂1 (gemene sy) i. B Ĉ D = B FÂ (bewys) In △ PR T en △ PU R G ∴ △ R T C | | | △ C M D (HHH) ii. D̂ = A2̂ (∠ ’e in dies ʘ segm.) ii. A3̂ = Ĉ2 (tussen raaklyn P R̂ T = Û 2 = 90∘ H I 2 = I J ⋅ IG J RT TC RC maar A2̂ = Ĉ2 (∠ ’e teenoor gelyke sye) en koord) P̂ = P̂ (gemeenskaplik) ∴ = = ( | | | △ ’e) CM MD CD ∴ D̂ = Ĉ2 maar D̂ = Ĉ2 (bewys) T ̂ = R̂2 (bewys) iii. B Ĉ D = E4̂ (∠ ’e van △) ∴ D̂ = A3̂ ∴ △ PR T | | | △ PU R (HHH) ∴ △ BC D | | | △ BEC (HHH) iii. B̂1 = B̂3 (∠ ’e van △) ∴ △ PR T | | | △ PU R | | | △ RU T I 2. T C 2 = 32 + 42 (Pythag.) ∴ △ C DB | | | △ FA B (HHH) H ∴ T C = 5 cm 2. F̂ = E4̂ (buite ∠ ’e van kvh) PR PT G RT TC ∴ = ∴ PR 2 = P T ⋅ PU CD DB CB PU PR = B Ĉ D = E4̂ (bewys) 4. = = ( | | | △ ’e) HG 2 = GJ ⋅ GI CM MD FA AB FB UR PU J 3 5 ∴ B Ĉ D = B FA ̂ ∴ = ∴ U R 2 = PU ⋅ U T = CD DB UT UR ∴ = RT PT 6 2x FA AB ∴ = ∴ RT2 = PT ⋅ U T 6x = 30 maar A B = BC (gegee) UT RT ∴ x = 5 cm ∴ C D ⋅ BC = DB ⋅ FA H I Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 47

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Euklidiese Meetkunde SCIENCE CLINIC 2022 © Stelling 4: Stelling van Pythagoras VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 (Pythagoras) O is die middelpunt van ‘n sirkel met raaklyne K I en I T. OE I is ‘n O is die middelpunt van ‘n sirkel met raaklyn B A en snylyn BCE. In ‘n reghoekige driehoek is die vierkant van die skuinssy reguit lyn. OD = DE = D C en AOE is ‘n reguit lyn. gelyk aan die som van die ander twee vierkante. Vrae: Vrae: E T R 1 As E I 15 cm is, en I T 17 cm is, bereken: Bewys: 2 1. E T 1. OD ∥ AC 2. OE 2. A1̂ = A2̂ 3. T O K 3. C B = 2E D O 1 1 1 D 2 4. A E = 2 2OD 2 2 U P 1 1 GEGEE: △ PR T met R̂ = 90∘. E A 2 2 C O I OTB: T P 2 = PR 2 + T R 2 Oplossings: BEWYS: 1. D1̂ = 90∘ (Midpt ʘ; Midpt.koord) Konstrueer RU ⊥ T P B T C1̂ = 90∘ (∠ in halwe sirkel) △ PR T | | | △ PU R (loodlyn vanuit reghoekige hoekpunt) ∴ D1̂ = C1̂ PR PT ∴ = ∴ PR 2 = P T ⋅ PU ∴ OD ∥ AC (ooreenk. ∠ ’e =) PU PR Oplossings: △ PR T | | | △ T U R (loodlyn vanuit reghoekige hoekpunt) 1. K I = I T (raaklyn vanuit dies. punt) 2. A1̂ = Ô 1 (ooreenk.. ∠ ’s, OD ∥ AC) RT PT OK = O T (radiusse) O1̂ = Ê (∠ ’e teenoor = sye, OD = DE) ∴ = ∴ RT2 = PT ⋅ U T UT RT ∴ K I T O is ‘n vlieër (beide pare aanliggende. sye =) A2̂ = Ê (∠ tussen raaklyn en koord) ∴ PR 2 + R T 2 = P T ⋅ PU + P T ⋅ U T ∴ O Ê T = 90∘ (hoeklyne van vlieër) ∴ A1̂ = A2̂ = P T (PU + U T ) ∴ E T 2 = 172 − 152 (Pythagoras) = P T (P T ) ∴ E T = 8 cm 3. In △ ACE : DE = D C (gegee) ∴ T P2 = PR 2 + T R2 OA = OE (radiusse) 2. O T ̂ I = 90∘ (raaklyn⊥ radius) ∴ AC = 2OD (Midpt. -stelling.) ∴ △ T OE | | | △ I T E (loodlyn vanuit reghoekige hoekpunt) △ A BE | | | △ C A E | | | △ C B A (loodlyn vanuit reghoekige hoekpunt) ∴ E T 2 = EO ⋅ E I ∴ AC 2 = CE ⋅ C B 82 = OE ⋅ 15 ∴ (2OD 2 ) = CE ⋅ C B ∴ OE = 4,27 cm 4OD 2 = (2OD) ⋅ C B (OD = DE = D C ) 2OD = C B 3. △ T OE | | | △ IO T (loodlyn vanuit reghoekige hoekpunt) ∴ 2DE = C B T O 2 = OE ⋅ OI T O 2 = 4,27 ⋅ (4,27 + 15) 4. A E 2 = AC 2 + CE 2 (Pythagoras) ∴ T O = 9,07 cm ∴ A E 2 = (2OD)2 + (2OD)2 ∴ A E 2 = 8OD 2 ∴ A E 2 = 2 2OD Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 48

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Trigonometrie Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © BASIESE DEFINISIES BASIESE CAST DIAGRAM FUNDAMENTELE TRIG HERLEIDINGSFORMULES Wys in watter kwadrante elke trig funksie + is IDENTITEITE Verminder alle hoeke na skerphoeke ( < 90∘). 90⁰ Memoriseer: 180° – θ S A 360° + θ Teenoorstaande θ Teenoorgestaande Opposite e sin θ = t sin A suys s = tan A T C nesn S A cos A 180° + θ 360° – θ ouit a cos θ = sin + all + Spk s Hy t II I VOORBEELDE: tan θ = a 180⁰ 0⁰ III IV 360⁰ Verminder na ‘n skerphoek en vereenvoudig indien moont- sin2 B + cos2 B = 1 lik (sonder ‘n sakrekenaar). T C kan geskryf word as sin 125o cos 260 o θ 1. 2. tan + cos + sin2 B = 1 − cos2 B = sin(180 o − 55o) = cos(180 o + 80 o) Adjacent Aanliggende Aangrensende cos2 B = 1 − sin2 B = sin 55o = − cos 80 o Hierdie is ons basiese trig verhoudings. 270⁰ (KII want sin is +) (KIII want cos is −) VOORBEELDE: tan 660 o 3. = tan(360 o + 300 o) Op die Cartesiese Vlak 1. In watter kwadrant sal θ lê as tanθ < 0 en Spesiale Hoeke cosθ > 0 is? = tan 300 o (KI want tan is +) Onthou: y = tan(360 o − 60 o) r = 2 (x; y) 60 o is 'n = − tan 60 o (KIV want tan is -) spesiale hoek tanθ - cosθ + y 3 sin θ = cosθ + = − 1 r r (0; 2) y x tanθ - cos θ = r (1; 3) = − 3 y Kwadrant IV tan θ = ( 2; 2) tan(180 o − β)cos(180 o + β)cos2 (360 o − β) θ x x 90o 4. + sin2(180 o + β ) x 60o sin(360 + β) 2. In watter kwadrant sal θ lê as sinθ < 0 en ( 3; 1) (−tan β)(−cos β)(cos β) 2 cosθ < 0 is? 45o = sin β + (−sin β )2 30o cos3 β cosθ - = tan β . sin β + sin2 β Onthou: sinθ - sinθ - sin β cos3 β • x2 + y2 = r2 (Pythagoras) cosθ - = . sin β + sin2 β (2; 0) cos β 0o Onthou: • Hoeke word opwaarts gemeet vanaf die posi- = cos2 β + sin2 β tiewe (+) x-as (anti-kloksgewys) tot en met die Identiteite Kwadrant III = 1 skuinssy. VOORBEELD: 1 Probleme met Pythagoras 2 cos θ + tan θ 1 Stappe: As 3sinθ – 2 = 0 en tanθ < 0, bepaal 2 cos θ + met behulp van diagram en sonder die gebruik van ’n sakrekenaar. − 5 1 tan θ = 2( )+ Onthou: 1. Isoleer die trig verhouding 2 2 2 3 2 x 3 sin θ − 2 = 0 x + y = r ( ) cos θ = r 2. Bepaal die kwadrant 1. 2. 3. 4. − 5 2 y tanθ - x 2 + (2)2 = (3)2 en 3. Teken ’n skets en gebruik sin θ = 3 = r sinθ + sinθ + r=3 −2 5 5 = − 2 y Pythagoras x2 = 5 tan θ = tanθ - y=2 3 x 4. Antwoord die vraag θ x = ± 5 −4 5 − 3 5 = 6 ∴ K w a d r a nt I I ∴x = − 5 −7 5 = 6 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 49

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Trigonometrie Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © NEGATIEWE HOEKE KO-FUNKSIES VOLLEDIGE CAST DIAGRAM Hoeke word afwaarts gemeet (kloksgewys) vanaf die B sinA en cosB staan bekend as Memoriseer die volgende diagram: positiewe x-as, dit word ook gesien as Kwadrant IV. ko-funksies, indien A + B = 90∘. 90° 90° + θ 90° 90° – θ sinA = sin(90⁰ – B) 90° + θ 90°θ– θ y A = cosB 180° – θ 360°θ + θ VOORBEELD: 180° – θ II I S A + θ 0° 360° 180° 1. sin 30 o 2. cos 25o T S III IV C A 360° 0° 180° x = sin(90 o − 60 o) = cos(90 o − 65o) 180°T + θ III IV 360° C – θ 360° –A = cos 60 o = sin 65o θ – 180° 180° +θ – θ– θ 360° NOTA: θ – 180° 270º –θ θ –– 90° θ Kyk altyd eers na die kwadrant, maak DAN 270° θ 270º – + 90°θ gebruik van die reduksieformules/ko-funksies * Reductions Ko-funksies Co-functions Reduksies 270° Metode 1: K IV Metode 2: Raak ontslae van die negatief 3. sin(90 o − α) K I, d u s sin + BEWYS VAN IDENTITEITE sin(–A) = –sinA Voeg 360° by om sodoende = cos α 90 o ∴ sin ↔ cos Stappe: cos(–A) = cos die hoek positief te maak. 1. Skei LK en RK tan(–A) = –tanA 2. Begin met die kant wat meer kompleks is. 4. cos(90 o + β ) K II, d u s cos − 3. Bewys die kante is gelyk. VOORBEELDE: = − sin β 90 o ∴ sin ↔ cos VOORBEELDE: Vereenvoudig sonder die gebruik van ’n sakrekenaar: cos x 1 1. cos2 x . tan2 x = sin2 x 3. tan x + = sin(–330°) 5. sin(θ − 90 o) K I V, so sin − 1 + sin x cos x NB: Negatiewe Hoeke = − cos θ 90 o ∴ sin ↔ cos LK = cos2 x . tan2 x cos x LK = tan x + 2 1 + sin x 6. Vereenvoudig tot 'n verhouding van 10°: sin x sin x cos x 1) sin(−330∘ ) 2) + 360∘ = cos2 x . = + = − sin(330∘ ) ∘ = sin(−330 ) a) cos 100 o K II, so cos − cos2 x cos x 1 + sin x = − sin(360∘ − 30∘ ) = sin(360∘ − 330∘ ) = cos(90 o + 10 o) 90 o ∴ sin ↔ cos = sin2 x = RK sin x (1 + sin x) + cos x (cos x) = − sin(−30∘ ) = sin 30∘ = − sin 10 o = 1 cos x (1 + sin x) = sin 30∘ = 2 b) tan 170 o K II, so tan − 1 sin x + sin2 x + cos2 x = = tan(180 o − 10 o) 180 o ∴ r ed u k si e 2. 1 − 2 sin x . cos x = (sin x − cos x)2 = 2 = − tan 10∘ cos x (1 + sin x) OPLOS VAN PROBLEME: RK = (sin x − cos x)2 sin x + 1 = As cos25° = p, druk die volgende uit in terme van p (d.w.s. kry al die hoeke gelyk aan 25°): cos x (1 + sin x) = sin2 x + cos2 x − 2 sin x . cos x 1. cos(−385 ) o negatiewe hoek, dus a) + 360° 3. sin(335 )o 1 o o o = 1 − 2 sin x . cos x = LK = = RK = cos(−25 ) OF b) K IV = sin(360 − 25 ) K IV, sin - cos x = cos 25o - 385 K I = − sin 25o = p ∴ + cos ONTHOU: 25° is die korrekte hoek, maar die verkeerde verhouding. 4. tan(155o) Metode 1: Verhouding Metode 2: Skets Dus teken die skets = tan(180 o − 25o) K II, tan - −y −sin 25o −y 2. sin(65o) Given cos25⁰ = p x Gegee Dus, − sin 25o = = − tan 25o = = = sin(90 o − 25o) K I, sin + 1 r r cos 25o x = cos(25o) 1 Dit kan opgelos word r= y = √1 –p2 − 1 − p2 op twee maniere: − 1 − p2 − 1 − p2 = p = = (Pythag) = = − 1 − p2 p p x=p 1 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 50

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Trig Vergelykings Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © BASIESE BEGINSELS KWADRATE KO-FUNKSIES FAKTORISERING Stappe: Wenke: Wenke: Stappe: • Isoleer die trig funksies • Gebruik al vier kwadrante (± beteken dat • sin en cos met verskillende hoeke • Los op soos jy ‘n kwadratiese vergelyking sal oplos die verhouding beide + en - moet wees.) • Verwysings hoek (moet nie (-) in die • Betrek die ko-funksie 90° - z VOORBEELDE: sakrekenaar in sit nie) VOORBEELD: • Die hoek wat verander kan word is die verwysings Los op vir x: • Kies Kwadrante Los op vir β: hoek ➡ sin of cos: 2 Kwadrante 4 sin2 β − 3 = 0 VOORBEELDE: 1. tan2 x − 2 tan x + 1 = 0 ➡ tan: 1 Kwadrante 3 Los op vir x: 2 sin β = (tan x − 1)(tan x − 1) = 0 • Algemene Oplossing 4 1. cos x = sin(x − 10 o) o o tan x = 1 ➡ sin θ of cos θ + k 360∘; k ∈ℤ cos x = cos(90 − (x − 10 )) 3 cos x = cos(100 o − x) Verwysings∠ : 45∘ ➡ tan θ + k180∘; k ∈ℤ sin β = ± 4 Verwysings∠ : 100∘ − x ONTHOU: Rond slegs af aan die einde Verwysings∠ : 60∘ KI: x = 45∘ + k180∘; k ∈ℤ KI: x = 100∘ − x + k 360∘; k ∈ℤ Algemene formules: KI: β = 60∘ + k 360∘; k ∈ℤ 2x = 100∘ + k 360∘ θ = sin−1 a + k 360∘ or KII: β = 180∘ − 60∘ + k 360∘ x = 50∘ + k180∘ 2. cos2 x + sin x . cos x = 0 θ = (180∘ − sin−1 a) + k 360∘ (k ∈ℤ) = 120∘ + k 360∘ KIV: x = 360∘ − (100∘ − x) + k 360∘ KIII: β = 180∘ + 60∘ + k 360∘ x − x = 260∘ + k 360∘ cos x (cos x + sin x) = 0 θ = ± cos−1 a + k 360∘ (k ∈ℤ) = 240∘ + k 360∘ 0 = 260∘ + k 360∘ cos x = 0 OF cos x = − sin x θ = tan−1 a + k180∘ (k ∈ℤ) KIV: β = 360∘ − 60∘ + k 360∘ Geen reële oplossing nie = 300∘ + k 360∘ cos x −sin x VOORBEELDE: o Gebruik die trig grafiek: = 2. sin(x + 30 ) = cos 2x cos x cos x Los op vir θ: SINθ EN COSθ sin(x + 30 o) = sin(90 o − 2x) tan x = − 1 1. 3 sin θ − 1 = 0 Verwysings∠ : 90∘ − 2x 90⁰ 270⁰ Stappe: 1 Verwysings∠ : 45∘ sin θ = • sin en cos met dieselfde hoek 3 KI: x + 30∘ = 90∘ − 2x + k 360∘; k ∈ℤ x = 90∘ + k180∘; k ∈ℤ KII: x = 135∘ + k180∘ • Deel deur cos om tan te kry 3x = 60∘ + k 360∘ sin + in KI en KII x = 20∘ + k120∘ Verwysings∠ : 19,47∘ VOORBEELD: KII: x + 30∘ = 180∘ − (90∘ − 2x) + k 360∘ x + 30∘ = 90∘ + 2x + k 360∘ 3. 2 cos2 x + 3 sin x = 0 Los op vir α: KI: θ = 19,47∘ + k 360∘; k ∈ℤ −x = 60∘ + k 360∘ 2(1 − sin2 x) + 3 sin x = 0 KII: θ = 180∘ − 19,47∘ + k 360∘; k ∈ℤ 2 sin 2α − cos 2α = 0 x = − 60∘ − k 360∘ 2 sin2 x − 3 sin x − 2 = 0 = 160,53∘ + k 360∘ 2 sin 2α = cos 2α NOTA: Spesifieke Oplossings 2 sin 2α cos 2α As hul vra vir x ∈[−360∘; 360∘ ], kies heelgetal (2 sin x + 1)(sin x − 2) = 0 = waardes vir k −1 cos 2α cos 2α sin x = OF sin x = 2 2. tan(3θ + 30 o) + 1 = 0 (...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3...) 2 tan(3θ + 30 o) = − 1 2 tan 2α = 1 so dat x in die gegewe intervalle val. 1 Verwysings∠ : 30∘ Geen reële oplossing nie tan 2α = 2 x = 30∘ + k120∘ tan − in KII x = − 330∘; − 210∘; − 90∘; 30∘; 150∘; 270∘ tan + in KI KIII: x = 180∘ + 30∘ + k 360∘; k ∈ℤ Verwysings∠ : 45∘ k = − 3; k = − 2; k = − 1; k = 0; k = 1; k = 2 Verwysings∠ : 26,57∘ OF x = 210∘ + k 360∘ KII: 3θ + 30∘ = 180∘ − 45∘ + k180∘; k ∈ℤ x = − 60∘ + k 360∘ KIV: x = 360∘ − 30∘ + k 360∘; k ∈ℤ 3θ = 105∘ + k180∘ KI: 2α = 26,57∘ + k180∘; k ∈ℤ x = − 60∘; 300∘ x = 330∘ + k 360∘ θ = 35∘ + k 60∘ α = 13,28∘ + k 90∘ k = 0; k = 1 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 51

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Trig Grafieke Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © BELANGRIK! VERTIKALE SKUIF Wanneer trig grafieke geskets word, moet jy die volgende Notas vir sin x en cos x : • y = sin x + q of y = cos x + q of y = tan x + q aandui: As q > 0 : opwaarts (bv: y = sin x + 1) ❖ Kern punte (afsnitte/draaipunte) elke 90° ! Beide Asse ! x- en y- afsnitte As q < 0 : afwaarts (bv: y = cos x − 2) ! Draaipunte ! eindpunte (indien nie op ’n as) ❖ Periode (1 volle grafiek): 360° VOORBEELDE y ! Asimptote (net vir tan grafiek) ❖ Amplitude (halfpad tussen min en maks): 1 y = cos x − 1 x ∈[0∘; 360∘ ] (soliede lyn) BASIESE BEGINSELS y = cos x (stippellyn – om te vergelyk) Notas vir tan x : • y = sin x vir x ∈[−360∘; 360∘ ] ❖ Kern punte elke 45° 360° 0° x y ❖ Periode (1 volle grafiek); 180° x (90°;-1) (270°;-1) ❖ Geen amplitude kan gevind word nie (-270°; 1) (90°; 1) ❖ Asimptote by x = 90o + k180o, k ∈ℤ (180°; -2) -360° -180° 180° 360° 0° x VERANDERING IN AMPLITUDE VERANDERING IN PERIODE (-90°; -1) (270°; -1) • y = a . sin x of y = a . cos x of y = a . tan x • y = sin b x of y = cos b x of y = tan b x As a > 1 : skets beweeg opwaarts Die waarde van b bepaal hoeveel volledige grafieke gewoonlik in die periode is 0 < a < 1 : krimp afwaarts (m.a.w. sin x /cos x : 360∘ en tan x : 180∘) a < 0 : Spieëlbeeld in x-as VOORBEELDE: • y = cos x vir x ∈[−360∘; 360∘ ] VOORBEELDE: y y 1. y = cos 3x x ∈[0∘; 360∘ ] (90°; 2) 1. y = 2 sin x (soliede lyn) * Normale periode: 360° (-360°; 1) (360°; 1) * Nuwe periode: 120° (3 grafieke in 360°) 1 y = sin x * Kritiese punte elke 90/3 = 30° -270° -90° 90° 270° (stippellyn – om 180° 360° 0° x y 0° x te vergelyk) (120°; 1) (240°; 1) (360°; 1) (-180°; -1) (180°; -1) * Amplitude = 2 30° 150° 270° (270°; -2) 0° 90° 210° 330° x (180°;3) (60°;-1) (180°;-1) (300°;-1) • y = tan x vir x ∈[−360∘; 360∘ ] y 2. y = − 3 cos x y y (soliede Lyn) y = cos x 1 (stippellyn – om 1 2. y = tan x x ∈[0∘; 360∘ ] 2 (90°; 1) (45°; 1) te vergelyk) 0° 90° 270° xx * Normale periode: 180° -360° -180° 0° 180° 360° x * Nuwe periode: 360° -360° 360° x * Waardeversameling: (180°; –1) (½ grafiek in 180°) y ∈[−3; 3] * Kritiese Punte: elke 45/0,5 = 90° -3 (360°; -3) x = -270° x = -90° x = 90° x = 270° x = -180° x = 180° Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 52

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Trig Grafieke Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © HORISONTALE SKUIF VOORBEELD Antwoorde: • y = sin(x − p) of y = cos(x − p) of y = tan(x − p) Gegee f (x) = cos(x + 60∘ ) en g (x) = sin 2x 1. cos(x + 60∘ ) = sin 2x As p > 0 : skuif na regs (bv: y = sin(x − 30∘ )) Vrae: cos(x + 60∘ ) = cos(90∘ − 2x) p < 0 : skuif na links (bv: y = cos(x + 45)) Verwysings ∠ : 90∘ − 2x 1. Bepaal algebraïes die snypunte van Hoe om ‘n horisontale skuif te plot: f (x) en g (x) vir x ∈[-90°;180°] KI: x + 60∘ = 90∘ − 2x + k 360∘; k ∈ℤ • Plot die oorspronklike grafiek 3x = 30∘ + k 360∘ • Skuif die kritiese punte na links/regs 2. Skets f (x) en g (x) vir x ∈[-90°;180°] x = 10∘ + k120∘ • Merk die x-afsnite en draaipunte 3. Gee die amplitude f (x) KIV: x + 60∘ = 360∘ − (90∘ − 2x) + k 360∘; k ∈ℤ • Bekereken en merk die eindpunte en y-afsnitte x + 60∘ = 270∘ + 2x + k 360∘ 4. Gee die periode van g (x) −x = 210∘ + k 360∘ VOORBEELDE 5. Gebruik die grafieke om die waardes te bepaal van x waarvoor: x = − 210∘ + k 360∘ 1. y = cos(x + 45∘ ) vir x ∈[−360∘; 360∘ ] (stippellyn) a. g (x) stygend en positief is maar x ∈[−90∘; 180∘ ] y = cos x (soliede lyn - om te vergelyk) b. f (x) stygend en positief is ∴ x = 10∘; 130∘; 150∘ y c. f (x) ≥ g (x) - m.a.w. f (x) is bo g (x) 2. g (x) = sin 2x (315°; 1) (-45°; 1) d. f (x) ⋅ g (x) ≥ 0 - m.a.w. produk is + of 0 y f (x) = cos(x + 60∘ ) (-360°; ½2 ) 2 2 2 (360°; 2 2) -315° -135° 225° 6. Verduidelik die transformasie wat plaasvind van y = sin x (-60°; 1) (45°; 1) 45° x na y = sin(2x − 60∘ ) 3 (-90°; ½)2 -90° ½ 30° 90° 180° (-225°; -1) (135°; -1) x 0° (180°; -½) Eindpunte: (-45°; -1) (120°; -1) (135°; -1) 2 2 cos(−360∘ + 45∘ ) = en cos(−360∘ + 45∘ ) = 2 2 y-afsnit: Vir f(x): 2 3 1 cos(0∘ + 45∘ ) = Eindpunte: cos(−90∘ + 60∘ ) = en cos(180∘ + 60∘ ) = − 2 2 2 1 y-afsnit: cos(0∘ + 60∘ ) = 2 2. y = sin(x − 30∘ ) vir x ∈[0∘; 360∘ ] (stippellyn) y = sin x (soliede lyn - om te vergelyk) 3. Amplitude = 1 y (120°; 1) 4. Periode = 180∘ 30° 210° x 5. a. x ∈(0∘; 45∘ ) (360°; -½) -½ b. x ∈[−90∘; − 60∘ ) (300°; -1) c. x ∈[−90∘; 10∘ ] ∪ [130∘; 150∘ ] d. x ∈[0∘; 30∘ ] ∪ [90∘; 180∘ ] of x = − 90∘ Eindpunte: 1 1 sin(0∘ + 45∘ ) = − en sin(360∘ − 30∘ ) = − 2 2 y-afsnit: 6. Herskyf y = sin(2x − 60∘ ) in die vorm y = sin b (x − p) = sin(2(x − 30∘ )) Die y-afsnit is een van die eindpunte Transformasie: b = 2 ∴ periode is gehalveer p = 30 ∴ skuif 30° na die regterkant Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 53

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Trig Grafieke Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © GEBRUIK TRIG GRAFIEK OM BEPERKINGS TEN OPSIGTE VAN IDENTITEITE TE KRY m.a.w. Beantwoord die vraag: “vir watter waardes van x sal die identitiet ongedefinieerd wees?” Identiteit is ongedefinieerd as: • die funksie ongedefinieerd is tan x het asimptote by x = 90∘ + k180∘; k ∈ℤ • Enige noemer is nul Terugflits: A is ongedefinieerd 0 VOORBEELDE: 1. Vir watter waardes van x sal cos2 x ⋅ tan2 x = sin2 x gedefinieerd wees? • t a nx is ongedifinieerd wanneer x = 90∘ + k180∘; k ∈ℤ ∴ sal gedefinieerd wees as x ∈ℝ en x ≠ 90∘ + k180∘; k ∈ℤ • Geen noemers wat kan 0 wees nie cos x 1 2. Vir watter waades van x sal tan x + = ongedefinieerd wees? 1 + sin x cos x • tan x is ongedifinieerd wanneer x = 90∘ + k180∘; k ∈ℤ • Breuke is ongedefinieerd wanneer die noemer = 0 ∴ As 1 + sin x = 0 of as cos x = 0 * 1 = sin x = 0 ∴ sin x = − 1 y y = sinx Gebruik trig grafieke vir 0; ± 1 x -1 (270°; -1) ∴ x = 270∘ + k 360∘; k ∈ℤ * cos x = 0 y y = cosx Gebruik trig grafieke vir 0; ± 1 90° 270° xx ∴ x = 90∘ + k180∘; k ∈ℤ x = 90∘ + k180∘; k ∈ℤ x = 270∘ + k 360∘; k ∈ℤ kan opgesom word as: x = 90∘ + k180∘; k ∈ℤ x = 90∘ + k180∘; k ∈ℤ Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 54

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Trigonometrie SCIENCE CLINIC 2022 © CAST DIAGRAM ALGEMENE OPLOSSINGS 90 ∘ • sin A = sin B → verwysingshoek ∘ 1. sin(180 − θ ) = sin θ ∘ 1. sin(θ + 360 ) = sin θ ‣ A = B + k.360∘ of A 180∘ − θ θ + 360∘ 2. cos(180∘ − θ ) = − cos θ 2. cos(θ + 360∘ ) = cos θ ‣ A = 180∘ − B + k.360∘; k ∈ℤ 3. tan(180∘ − θ ) = − tan θ 3. tan(θ + 360∘ ) = tan θ • cos A = cos B ‣ A = ± B + k.360∘; k ∈ℤ ∘ ∘ 90∘ + θ 1. sin(90 + θ ) = cos θ 90∘ − θ 1. sin(90 − θ ) = cos θ • tan A = tan B ∘ 2. cos(90 + θ ) = − sin θ 2. cos(90∘ − θ ) = sin θ ‣ A = B + k.180∘; k ∈ℤ • Ander/ko-funksie Dubbel 1. sin 2A = 2 sin A ⋅ cos A ‣ sin A = cos B ∴ sin A = sin (90∘ − B ) → verwysingshoek hoeke ‣ cos A = sin B ∴ cos A = cos (90∘ − B ) → verwysingshoek VOORBEELD 1 Saam- 1. sin(A + B ) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B gestelde Los op vir x as cos 2x = − sin x hoeke 2. sin(A − B ) = sin A ⋅ cos B − cos A ⋅ sin B 1 − 2 sin2 x = − sin x 0 = 2 sin2 x − sin x − 1 Sin + y + y All 0 = (sin x − 1)(2 sin x + 1) −x θ θ+ x 180∘ θ θ 0∘ 1 sin x = − Tan −y −y Cos sin x = 1 of 2 x = 90∘ + k .360∘ x = 330∘ + k .360∘ of 1. sin(180∘ + θ ) = − sin θ 1. cos(−θ ) = cos θ x = 210∘ + k .360∘; k ∈ℤ 180∘ + θ −θ 2. cos(180∘ + θ ) = − cos θ 2. sin(−θ ) = − sin θ VOORBEELD 2 ∘ 3. tan(−θ ) = − tan θ 3. tan(180 + θ ) = tan θ Los op vir x as cos(90∘ − x) ⋅ sin x − cos 2x = 0 1. sin(θ − 90∘ ) = − cos θ sin x ⋅ sin x − (1 − 2 sin2 x) = 0 θ − 90∘ sin2 x − 1 + 2 sin2 x = 0 2. cos(θ − 90∘ ) = sin θ 3 sin2 x = 1 1 Dubbel 1. cos 2A = cos2 A − sin2 A sin2 x = 3 hoeke 2. cos 2A = 2 cos2 A − 1 ± 3 sin x = 3. cos 2A = 1 − 2 sin2 A 3 x = 35,26∘ + k .360∘ of x = − 35,26∘ + k .360∘ Saam- 1. cos(A + B ) = cos A ⋅ cos B − sin A ⋅ sin B gestelde of of hoeke 2. cos(A − B ) = cos A ⋅ cos B + sin A ⋅ sin B x = 180∘ − 35,26∘ + k .360∘; k ∈ℤ x = 180∘ − (−35,26∘ ) + k .360∘ 270∘ x = 144,74∘ + k .360∘ x = 215,26∘ + k .360∘ Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 55

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Trigonometrie SCIENCE CLINIC 2022 © TRIG IDENTITEITE VOORBEELD 2 GEMENDGE VOORBEELD 1 sin x Bewys dat: sin 3x = 3 sin x − 4 sin x 3 Indien sin 54∘ = p, druk die volgende uit in terme van p: • tan x = cos x 1 cos x 1. cos 36∘ 2. sin 108∘ 3. sin 84∘ • tan x = sin x LK = sin(2x + x) Oplossings: 1 (h ) • sin 2x = 2 sin x ⋅ cos x p o = sin 2x ⋅ cos x + cos 2x ⋅ sin x sin 54∘ = 36° 1 • sin 3x = sin(2x + x) p = 2 sin x ⋅ cos x ⋅ cos x + (1 − 2 sin2 x) ⋅ sin x 3. sin 84∘ = sin(54∘ + 30∘ ) = sin 2x ⋅ cos x + cos 2x ⋅ sin x (moet verder uitgebrei word) 54° = 2 sin x ⋅ cos2 x + sin x − 2 sin3 x = sin 54∘ ⋅ cos 30∘ + cos 54∘ ⋅ sin 30∘ 1. cos 36∘ = p 1 – p2 • sin 4x = sin 2(2x) ( )( 2 ) 3 1 = 2 sin x (1 − sin2 x) + sin x − 2 sin3 x 2. sin 108∘ = sin 2(54∘ ) = p⋅ + 1 − p2 = 2 sin 2x ⋅ cos 2x 2 = 2 sin 54∘ ⋅ cos 54∘ = 4(sin x ⋅ cos x)(cos2 x − sin2 x) = 2 sin x − 2 sin3 x + sin x − 2 sin3 x 3p+ 1 − p2 = 4 sin x ⋅ cos3 x − 4 sin2 x ⋅ cos x (kan verder uitgebrei word) 3 = 2( p) ⋅ ( 1 − p 2 ) = = 3 sin x − 4 sin x 2 • cos 2x = cos2 x − sin2 x GEMENGDE VOORBEELD 2 = 1 − 2 sin2 x ∴ LK = RK Vind die waarde van k as: cos 75∘ ⋅ sin 25∘ − sin 75∘ ⋅ sin k = sin(−50∘ ) = 2 cos2 x − 1 WENKE VIR DIE BEWYS VAN IDENTITEITE VOORBEELD 3 cos 75∘ ⋅ sin 25∘ − sin 75∘ ⋅ sin k = sin(−50∘ ) sin 25∘ ⋅ cos 75∘ − cos(90∘ − k) ⋅ sin 75∘ = sin(25∘ − 75∘ ) 1 + sin x ( cos x ) 2 1. Begin aan die kant met die kleinste hoeveelheid terme en 1 − sin x 1 vereenvoudig indien moontlik Bewys dat: = − tan x sin 25∘ ⋅ cos 75∘ − cos(90∘ − k) ⋅ sin 75∘ = sin 25∘ ⋅ cos 75∘ − cos 25∘ ⋅ sin 75∘ 2. Gaan na die anderkant en vereenvoudig tot jy dieselfde antwoord kry. 90 − k = 25∘ 3. Kyk vir omgekeerdes en kwosiënt-identiteite met die “teenoor- ∴ k = 65∘ gestelde” teken (hierdeur kan jy ‘n verskil van vierkante in die 1 − sin x 1 − sin x noemer van jou breuk vorm) LK = × 1 + sin x 1 − sin x GEMENGDE VOORBEELD 3 4. Faktoriseer altyd indien dit moontlik is 2 1 − 2 sin x + sin x Druk die volgende uit in terme van p as cos 73∘ ⋅ cos 31∘ + sin 73∘ ⋅ sin 31∘ = p VOORBEELD 1 = 1 − sin2 x 1. cos2 21∘ − sin2 21∘ + 7 2. sin 42∘ sin 2x Bewys dat: = 2 tan x cos 2x + sin2 x Oplossings: ( cos x cos x ) 2 1 sin x cos 73∘ ⋅ cos 31∘ + sin 73∘ ⋅ sin 31∘ RK = − sin x = cos(73∘ − 31∘ ) RK = 2 ⋅ 48° 1 cos x 1 − 2 sin x + sin x2 = cos 42∘ = 1 – p2 1 (h ) 2 sin x ⋅ cos x cos2 x p a LK = ∴ cos 42∘ = 42° (2 cos2 x − 1) + (1 − cos2 x) 1 − 2 sin x + sin2 x p = 2 sin x ⋅ cos x 1 − sin2 x = cos2 x 1. cos 2(21∘ ) + 7 = cos 42∘ + 7 ∴ LK = RK 2 sin x = p+ 7 = cos x 2. sin 42∘ = 1 − p2 ∴ LK = RK Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 56

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Analitiese Meetkunde Graad 11 Hersiening SCIENCE CLINIC 2022 © Wat is Analitiese Meetkunde? VOORBEELD 3. Middelpunt Formule x + x1 y2 + y1 M(x ; y) = ( 2 2 ) Analitiese Meetkunde (Koördinaat Meetkunde): ; Gegee: A(−2; 3) en C( p; − 5) is punte op ‘n Cartesiese Vlak. Toepassing van reguit lyn funksies in samewerking met 2 Euklidiese meetkunde d.m.v punte op ‘n Kartesiese Vlak 1. Bepaal die waarde van p as AC = 10 eenhede. −2 + 4 3 + (−5) te gebruik. = ( ; ) 2 2 2. Bepaal die vergelyking van lyn AC as C(4; − 5). TERUGBLITS M(1; − 1) 3. Bepaal die koördinate van M, die middelpunt van AC. Reguit lyn ewewydig aan die x-as: m = 0 5 Reguit lyn ewewydig aan die y-as: m = ongedefinieerd 4. As B( − 1; ) bepaal A, B en C kolineêr. 4. Bewys die punte is kolineêr deur te bewys hulle het ‘n gemeenskaplik 3 gradiënt. Reguit Lyn Vergelyking: 5. Bepaal die vergelyking van die lyn loodreg op AC wat deur punt B Δy Δy gaan. m = m = y = mx + c Δx Δx 5 5 3− − (−5) 3 3 Gradiënt Formule: mAB = mBC = −2 − (−1) −1 − 4 Δy y − y1 Oplossing: m= = 2 4 mBC = − 4 Δx x 2 − x1 1. Skets ‘n rowwe diagram. C het twee potensiële x-koördinate vir p. mAB = − 3 3 d = (x 2 − x1)2 + (y2 − y1)2 Parallelle lyne: ∴ A, B en C is kolineer m1 = m 2 10 = ( p − (−2))2 + (−5 − 3)2 100 = ( p + 2)2 + 64 Loodregte lyne: 5. Vergelyking van lyn vereis dat m 2 en c opgelos moet word. 100 = p 2 + 4p + 4 + 64 m1 × m 2 = − 1 mAC × m 2 = − 1 0 = p 2 + 4p − 32 4 0 = ( p − 4)( p + 8) − × m2 = − 1 3 Afstand: p = 4 of p = − 8 3 d = (x 2 − x1)2 + (y2 − y1)2 m2 = 4 2. Vergelyking van lyn vereis dat m en c opgelos moet word. Kolineêre punte: y = mx + c mAB = mBC OF dAB + dBC = dAC Δy 5 3 ( 3 ) = 4 (−1) + c m = y = mx + c Kolineêre punte A, B en C lê op dieselfde lyn Δx 4 y − y1 (3) = − (−2) + c mAC = 2 3 c = 29 x 2 − x1 12 Middelpunt Formule: 1 c = 3 − (−5) 3 x + x1 y2 + y1 M(x ; y) = ( 2 2 ) = ; −2 − 4 2 4 29 4 ∴y = x+ = − 3 12 3 Middelpunt Stelling: Indien twee middelpunte op aan- grensende sye van ‘n driehoek verbind word deur ‘n reguit lyn, sal die lyn, parallel aan en helfte van die afstand 4 1 ∴y = − x+ wees van die derde sy van die driehoek. 3 3 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 57

Analitiese Meetkunde Graad 11 Hersiening Grade 11 Examples: Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2022 © Grade 11 Examples: Herlei gradiënt (m) na die inklinasie hoek (θ) Herlei ‘n positiewe gradiënt na ‘n hoek Example 1: VOORBEELD m> 0 Example 1: Δy Gegee: Reguit lyn met die vergelyking 3y Given: − 4x = − 5. Bepaal diewith the equation 3 mAB = y tan−1(m) = θ straight line Δx inklinasiehoek afgerond tot twee desimale plekke. Determine the Given: angle straight lineof inclination with the cor equation B en Die verwysingshoek is gelyk aan die inklinasiehoek. Determine𝑦the angle of inclination co 3𝑦 − 4 o Δy Gegee: A(−1; − 6) en B(3; 5) is twee punte op ‘n reguit lyn. 3y − 4x = − 5 𝑦 tan θ = = - kry in standaard vorm 3𝑦3𝑦=−4 a Δx Bepaal die inklinasie hoek. 3y = 4x − 5 3𝑦 4= 4 5 ! 𝑦= daarom; y = x− 𝑥 3 θ x m = tan θ - sien dat m>0 𝑦= 3 3 y2 − y1 𝑥 ∴ mAB = tan θ θ x 2 − x1 = tan θ 𝑚=𝑡 A m = tan θ 4𝑚 = 5 − (−6) ! - verw. m en los op vir θ = 𝑡𝑎 = tan θ 4 34 3 − (−1) = tan θ = Die inklinasie hoek (θ) word ‘n tussen die lyn en die horisontale vlak 3 3 −1 11 tan tan−1( 4) gevorm in ‘n antikloksgewys rigting. = θ 4 tan−1( ) = θ tan− 53,13° y 3 ∴θ = 70∘ 53,1 B ∴ θ = 53,13∘ - m>0; verw. ∠ = inklinasie hoek Positiewe gradiënt: Angle of Example 2: Inklinasie inclination hoek Example 2: m> 0 Herlei ‘n negatiewe gradiënt na ‘n hoek VOORBEELD Given: straight line with the equation 3 tan−1(m) = θ m< 0 θ tan−1(m) = verw ∠ Gegee: Reguit lyn met die vergelyking 3x + Given: Determinestraight the 5y = 7. Bepaal lineof angle die with the equation inclination cor x Determine the angle of inclination co Die verwysings hoek is gelyk inklinasiehoek afgerond tot twee desimale plekke. Inklinasiehoek: 𝑦 aan die inklinasiehoek. θ 𝑦 3𝑥 + 5 A θ + verw ∠ = 180∘ (∠e op reguit lyn) 𝐵(3; 5) 𝑦 5𝑦3𝑥=+− 3x + 5y = 7 5𝑦 = - kry in standaard vorm Gegee: C (−5; 3) en D (7; − 2) is twee punte op ‘n reguit lyn. 𝑦=− 5y = − 3x + 7 Bepaal die inklinasie hoek. 𝑦= 3 7 𝑦 y = − x− - sien dat m<0 A y 5 5 Negatiewe gradiënt: 𝑥 𝑚=𝑡 Inklinasie Angle of 11 ! 𝑥 3𝑚 = 𝐶(−5; 3) 𝑥 = 𝑡𝑎 m< 0 inclination hoek tan−1(m) = verw ∠ m = tan θ - verv. m as positiewe 53 = 3 5 5 ! − = tan θ waarde en los op vir ∠ tan−1 Inklinasiehoek: 𝑥 5 4 tan− θ + verw ∠ = 180∘ (∠‘e op reguit lyn) Ref ∠ θ verw 3 𝐴(−1; −6) 30,96° tan−1( ) = θ x 12 𝐷(7; −2) 30,9 5 𝜃= 18 Ref ∠ verw 𝜃 𝜃==14 Die inklinasiehoek moet bereken word B m = tan θ θ + verw . ∠ = 180∘ ∴ verw . ∠ = 30,96∘ vanuit die verwysings hoek. 𝜃= 5 θ = 180∘ − 22,6∘ − = tan θ 12 = 157,4∘ θ + verw . ∠ = 180∘ - m<0; verw. ∠ + θ = 180° 5 tan−1( ) = θ θ = 180∘ − 30,96∘ 12 ∴ verw . ∠ = 22,6∘ θ = 149,04∘ Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. 𝑦 Bl. 58 𝐹(4; 2) 𝑦

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Analitiese Meetkunde Graad 11 Hersiening 𝑦 SCIENCE CLINIC 2022 © Bepaal ‘n hoek wat nie ‘n verhouding Herlei ‘n hoek na ‘n gradiënt toe VOORBEELD 𝐶(−5; 3) met die horisontale vlak het Verv. die verw. ∠ in m = tan θ. Gegee: In die diagram: Reguitlyn met vergelyking 2y − x = 5, gaan deur punt A en B. Reguitlyn met Konstrueer ‘n horisontale vlak, parallel aan die Onthou5 om die – teken by negatiewe vergelyking y + 2x = 10, gaan deur punt B en C. M is die middelpunt van BC. A, B en C is die hoekpunte van 𝑥 x-as. Dit stel jou in staat om “som van aan- ̂ = θ. A en M lê op die x-as. antwoorde vir 12die gradiënt te voeg. Δ A BC. M AC y 𝐷(7; −2) grensende hoeke op ‘n reguit lyn” te gebruik om sodoende die waarde van die hoek te bereken. Vrae: Gegee: E en F (4; 2) is punte op ‘n reguitlyn y 1. Bepaal die volgende: B met ‘n inklinasiehoek van 36,9°. Bepaal die J(–4; 3) a. Die koördinate van A waarde van m, afgerond tot twee desimale A M θ x plekke. K(6;2) b. Die koördinate van M. 2y – x = 5 x c. Die koördinate van B. C 𝑦 2. Watter tipe driehoek is A BC? Gee ‘n rede vir jou antwoord. 𝐹(4; 2) y + 2x = 10 θ 3. As A(−5; 0) en B(3; 4), wys dat A B = BC (los jou antwoord in eenvoudigste 36,9° L(–2; –3) 𝑥 wortelvorm). y 4. As C(7; − 4), bepaal die koördinate van N, die middelpunt van AC. J(–4; 3) 5. Gebruik die waarde of enige ander metode om die lengte van MN te bepaal. 𝐸 K(6;2) 6. As A BCD ‘n vierkant is, bepaal die koördinate van D. x 7. Los op vir θ, rond af tot een desimale plek. m = tan θ Oplossing: m = tan(36,9∘ ) 3. dAB = (−5 − 3)2 + (0 − 4)2 dBC = (3 − 7)2 + (4 − (−4))2 α θ β a. 2y − x = 5 1 5 m = 0,75 x − afsnit : 0 = x+ L(–2; –3) 2 2 = 4 5 = 4 5 2y = x + 5 1 5 0= x+ 5 ∴ A B = BC NUTTIGE WENKE: y = x+ 6 5 2 2 −5 = x ( ) mJL = − = −3 mKL = −5 + 7 0 + (−4) 2 8 ∴ A(−5; 0) 4. N (x ; y) = ; 2 2 1. Maak ‘n vinnige rowwe skets indien m = tan α m = tan β b. y + 2x + 10 x − afsnit : 0 = − 2x + 10 N (1; − 2) daar koördinate, sonder ‘n skets, −3 = tan α 5 y = − 2x + 10 2x = 10 gegee is. = tan β 5. M N = 2 5 (Midpt.-stelling) 8 tan−1(3) = α x = 5 2. Maak altyd y die onderwerp wanneer (8) 5 71,6∘ = α tan−1 = β ∴ M(5; 0) 6. As A BC D ‘n vierkant is, dan is AC die hoeklyn, wat reguitlyn formules gegee word. 1 5 y = − 2(3) + 10 veroorsaak dat N die middelpunt is vir beide hoeklyne c. x+ = − 2x + 10 32∘ = β 2 2 ∴ D (−3; − 8) 3. Ken die tipes drie- en vierhoeke. Dit y = 4 x + 5 = − 4x + 20 kom algemeen voor dat jy hul of hul ∴ B(3; 4) Δy eienskappe moet bewys. 5x = 15 7. mAC = m = tan θ Δx θ = 180∘ − (α + β ) x = 3 0 − (−4) 1 4. Die inklinasiehoek is ALTYD in = − = tan θ = 180∘ − (71,6∘ + 32∘ ) 2. A BC is ‘n reghoekige driehoek: −5 − 7 3 verhouding met die horisontale vlak. ( 3) 1 1 = 76,4∘ (∠ ‘e van ‘n Δ) mAD × mBC = − 1 = − tan−1 − = θ 3 ∴ b = 90∘ θ = 18,4∘ Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 59

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Analitiese Meetkunde SCIENCE CLINIC 2022 © Wat is Analitiese Meetkunde? VERGELYKING VAN ‘N SIRKEL VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 Analitiese Meetkunde (ook bekend as Die vergelyking van ‘n sirkel word deur die volgende Bepaal die vergelyking van die sirkel met die Bepaal die vergelyking van die sirkel in die vorm van Koördinaat Meetkunde) is die studie en formule gegee. middelpunt deur die oorsprong en wat deur A x 2 + B x + C y 2 + D y + E = 0 wat ‘n middelpunt toepassing van reguitlyn funksies, punt (−5; 12) gaan. 𝑃(−3; 1) het en deur 𝑅(5; 7) gaan. (x − a)2 + (y − b)2 = r 2, trigonometrie en Euklidiese Meetkunde waar (a; b) die middelpunt van die sirkel is en c en y is r 2 = (x − a)2 + (y − b)2 deur punte op ‘n Cartesiese vlak te ge- koördinate van ‘n punt op die sirkel. PR = (x − a)2 + (y − b)2 bruik. In Graad 12 kombineer ons hierdie r = (0 − (−5))2 + (0 − 12)2 kennis en bepaal dan die vergelyking van y PR = (5 − (−3))2 + (7 − 1)2 ‘n sirkel. = 13 = 10 x (a;b) r (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 Voorafgaande Kennis: (x − 0)2 + (y − 0)2 = 132 (x + 3)2 + (y − 1)2 = 10 2 1. Alle analitiese formules (afstand, ∴ x2 + y2 = 169 x 2 + 6x + 9 + y 2 − 2y + 1 = 100 middelpunt, gradiënte en reguit lyn funksies) x 2 + 6x + y 2 − 2y − 90 = 0 Met die radius as die onderwerp: 2. Euklidiese Meetkunde (tipe driehoeke en vierhoeke, sirkel stellings) Gegee is twee sirkels met middelpunte A en B VOORBEELD 3 r = (x − a)2 + (y − b)2 onderskeidlik. Daar kan bepaal word of die sirkels: Twee sirkels is gegee: 3. Trigonometrie (algemene toepassing, sinus en kosinus , dubbel en a) Ekstern raak (een raakpunt) x 2 − 2x + y 2 + 6y − 6 = 0 met middelpunt A, en As die middelpunt van die sirkel by die oorsprong (0;0) saamgestelde hoek identiteite) is: (x + 4)2 + (y − 2)2 = 9 met middelpunt B. R r AB = R + r y A B a) Druk sirkel met middelpunt A uit in die standaard middelpunt-radius. b) Bepaal of die twee sirkels ekstern/intern raak of Woordelys: (0;0) b) Sny (twee raakpunte) sny of glad nie raak nie. x Konsentries r Twee of meer sirkels wat dieselfde R r AB < R + r a) x 2 − 2x + y 2 + 6y = 6 A B middelpunt het x 2 − 2x + 1 + y 2 + 6y + 9 = 6 + 1 + 9 Swaartelyn (x − 1)2 + (y + 3)2 = 16 Die lyn wat die hoekpunt van die driehoek (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 c) Glad nie raak nie met die middelpunt van die teenoor- (x − 0)2 + (y − 0)2 = r 2 staande sy verbind b) A(1;–3) en R = 4 ; B(–4;2) en r = 3 ∴ x2 + y2 = r 2 R r AB > R + r Swaartepunt A B Punt waar al die swaartelyne kruis. OF AB = (1 − (−4))2 + (−3 − 2)2 Hoogtelyn r = x2 + y2 d) Intern raak (een raakpunt) = 5 2 Die lyn van een hoekpunt loodreg op die teenoorstaande sy = 7,07 Die standaard middelpunt-radius-formule kan as volg uitgebrei word; AB = R − r Hoogtepunt A Punt waar al die hoogtelyne kruis R B r AB > R + r ∴ die sirkels raak nie A x 2 + Bx + C y 2 + D y + E = 0 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 60

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Analitiese Meetkunde SCIENCE CLINIC 2022 © VOORBEELD 4 VOORBEELD 5 In die diagram hieronder: Gegee: Sirkel met middelpunte M wat deur A, B en C(4; 4), PQ is ‘n raaklyn aan die sirkel by A. Sirkel met middelpunt P is geteken. Die lyn gegee deur vergelyking Q lê op die x-as. A lê op die y-as. AC is parallel aan die x-as. 3x − 2y − 44 = 0 gaan deur die middelpunt van die sirkel. Punte Q(4; −2) en A Ĉ M = x; B Ĉ M = 2x; B Â M = 30∘; C AQ ̂ = θ R(12; −18) is punte op die omtrek van die sirkel. Bepaal die koördinate van P. a) Bepaal die koördinate van A. b) Bewys dat 𝑥 = 20°. c) Bewys dat 𝜃 = 70°. Rond antwoorde af tot die naaste TWEE desimale plekke: d) Bepaal die vergelyking van die raaklyn PQ. e) Bepaal die vergelyking vir die radius AM. f) Bepaal die koördinate van M. g) Druk die vergelyking uit in die middelpunt-radius-vorm. 3x − 2y − 44 = 0 a) (0;4) e) mAM × mPQ = − 1 −2 = − 3x + 44 mAM = 0,36 y = 3 x − 22 b) M ̂ AC = x (∠’e teenoor = sye; AM=CM) 2 A ̂ MC = 180∘ − 2x (∠’e van Δ) y = 0,36x + 4 A ̂ BC = 90∘ − x (Midpts ∠ = 2 x Omtreks ∠) 3 ∴ P (x ; y) is P (x ; x − 22) f) M(x ; y) is M(x ; 0,36x + 4) 2 PQ 2 = PR 2 (radiusse) Â + B̂ + Ĉ = 180∘ (int ∠ of Δ) 3 2 3 2 30∘ + x + 3x + 90 − x = 180∘ A M2 = C M2 (x − 4)2 + ( x − 22 − (−2)) = (x − 12)2 + ( x − 22 − (−18)) (x − 0)2 + (0,36x + 4 − 4)2 = (x − 4)2 + (0,36x + 4 − 4)2 2 2 3x + 120∘ = 180∘ x 2 + 0,1296x 2 = x 2 − 8x + 16 + 0,1296x 2 3x − 40 2 3x − 8 2 ( 2 ) ( 2 ) x 2 − 8x + 16 + = x 2 − 24x + 144 + 3x = 60∘ 8x = 16 x = 20∘ x = 2 9x 2 − 240x + 1600 9x 2 − 48x + 64 x 2 − 8x + 16 + = x 2 − 24x + 144 + 4 4 c) M ̂ AQ = 90∘ (raaklyn ⟂ radius) ∴ m se x-waarde = 2 (⟂ loodlyn uit midpt. ʘ na koord) 4x 2 − 32x + 64 + 9x 2 − 240x + 1600 = 4x 2 − 96x + 576 + 9x 2 − 48x + 64 M ̂ AC = 20∘ (reeds bewys) −272x + 1664 = − 144x + 640 ∴ θ = 70∘ y = 0,36(2) + 4 = 4,72 1024 = 128x ∴ M(2; 4,72) 8= x ∘ d) tan 110 = mPQ 3 = − 2,75 g) MC = (x − 2)2 + (y − 4,72)2 y = x − 22 2 MC 2 = (4 − 2)2 + (4 − 4,72)2 3 = (8) − 22 y = − 2,75x + 4 ∴ MC 2 = 4,52 2 = − 10 (x − 2)2 + (y − 4,72)2 = 4,52 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 61

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Statistiek SCIENCE CLINIC 2022 © ONTHOU VERTEENWOORDIG DATA Ongegroepeerde data = diskreet Diskrete data: Data wat getel kan word,vb. die aan- Gegroepeerde data = deurlopend tal mense. Deurlopende data: kwantitatiewe data wat gemeet NB: Rangskik data altyd in toemende volgorde word, vb. temperatuur reeks. FREKWENSIETABEL STINGEL-EN-BLAAR DIAGRAM STAAFGRAFIEK HISTOGRAM Maatstawwe van sentrale neiging: ‘n Beskry- wende opsomming van ‘n datastel d.m.v. ‘n enkele waarde wat die verspreiding van data sal voorstel. Punte Telling Frekwensie Stingel Blaar 7 Maatstawwe van verspreiding: Die verspreiding 4 || 2 0 1, 1, 2, 2, 3, 4 6 van ‘n datastel is die hoeveelheid variasie wat mens 5 in die stel data sien. 5 || 2 1 0, 0, 0, 1, 1, 1 4 Kumulatiewe frekwensie: Die kumulatiewe frek- 6 |||| 4 2 5, 5, 7, 7, 8, 8 wensie word bereken van die frekwensietabel af deur 3 elke frekwensiewaarde by die totaal van die vooraf- 7 |||| 5 3 0, 1, 1, 1, 2, 2 gaande frekwensiewaardes in die datastel te tel. 2 8 |||| 4 4 0, 4, 8, 9 Variansie: is ’n aanduiding van hoe ver elke waarde 1 in die datastel van die gemiddelde waarde. ‘n Klein 9 || 2 5 2, 6, 7, 7, 8 0 variansie word gegee deur ‘n klein mate van ve- 0~10 10~20 20~30 30~40 10 | 1 6 3, 6 randering. Standaard afwyking: Die hoeveelheid waarmee ‘n data waarde of interval afwyk van die gemiddelde FREKWENSIEVEELHOEK OGIEWE AANWYSERS VAN POSISIE van die datastel. Kwartiele 8 100 Uitskieter: Enige data waarde wat meer as 1, 5 v.d. Die drie kwartiele verdeel die data in vier IKV na links van Q1 of na regs van Q3 is, m.a.w. kwarte. 80 Kumulatiewe frekwensie Uitskieter < Q1 – (1,5×IKV) of 6 Q1 = Onderste kwartiel of eerste kwartiel Uitskieter > Q3 + (1,5×IKV) Q2 = Tweede kwartiel of mediaan Frekwensie 60 Regressie: ‘n Maatstaf van die relasie tussen die Q3 = Boonste kwartiel of derde kwartiele 4 gemiddelde waarde van een veranderlike (vb. Uit- Persentiel koms) en ooreenstemmende waardes van ‘n ander 40 Dui die persentasie van data aan wat veranderlikes (vb. Tyd en koste). 2 onder ‘n sekere persentiel val. 20 Korrelasie: Interafhanklikheid van veranderlike Q1= 25th persentiel waardes. Q2= 50th persentiel 0 [0–3] [3–6] [6–9] [9–12] [12–15] 0 Veroorsaking: Die aksie wat iets veroorsaak Q3= 75th persentiel Punt 3 6 9 12 15 Eenveranderlike: Data met slegs een veranderlike Punt Alle ander persentiele kan verkry word Tweeveranderlike: Data met twee veranderlikes MAATSTAWWE VAN VERSPREIDING deur die formule: Interpolasie: Die voorspel van ‘n waarde tussen Variasiewydte Interkwartielvariasiewydte Semi-Interkwartielvariasiewydte p i= (n) twee bekende waardes van reeks van getalle. 1 100 variasiewydte = maks waarde − min waarde IKV = Q 3 − Q1 semi − IKV = (Q − Q1) Ekstrapolasie: Die voorspel van ‘n waarde deur die 2 3 waar; reeks van waarde te verleng of feite buite die Nota: Variasiewydte word baie Nota: sterk 50% van die datastel Nota: Goeie maatstaf van verspreiding i = die posisie van die persentiel p definitiewe waarde. beïnvloed deur uitskieters vir data wat asimmetries versprei is. p = die waarde van die posiesie i Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 62

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Statistiek SCIENCE CLINIC 2022 © MAATSTAWWE VIR SENTRALE NEIGING MAATSTAWWE VAN VERSPREIDING RONDOM DIE GEMIDDELDE VIR ONGEGROEPEERDE DATA Variansie Standaard afwyking Gemiddelde Variansie meet die veranderlikheid van die gemiddelde. som van al diewaardes Standaard afwyking is die hoeveelheid waarmee ‘n data waarde of inter- x̄ = val verskil van die gemiddelde van ‘n data stel. totale aantal waardes Die variansie van ‘n bevolking word bereken deur: Σx 1.Bereken die gemiddelde. x̄ = 2. Trek die gemiddelde af van elke datawaardes en dan word die resul- Σ f (x − x̄ )2 n σ = waar; taat gekwadreer. Die resultate word gekwadreer om negatiewe n x̄ = gemiddelde waardes positief te maak. Anders sal negatiewe waardes positiewe waar; Σx = som van al die waardes waardes, in die volgende stap, mekaar uitkanselleer. Dis die aftand n = aantal waardes n = aantal waardes vanaf die gemiddelde, positiewe of negatiewe waardes is irrelevant . x = middelpunt Modus 3. Bepaal die gemiddeld van die gekwadreerde verskille x̄ = geskatte gemiddelde Dies modus is die waarde, in ‘n datastel, wat die meeste voorkom. VOORBEELD: Bimodale: ‘n datastel met twee modusse Deurlopende data is gegroepeer in intervalle wat bestaan uit ‘n hoër klas grens (maksimum waarde)en laer klas grens (minimum waarde). Trimodal: ‘n datastel met drie modusse Middelpunt Mediaan Interval Frekwensie ( f × x) (x − x̄ )2 f (x − x̄ )2 boonste klas grens + onderste klas grens Die mediaan is die middelste nommer in ‘n stel data punte (f ) x = 2 1 posisie van die mediaan = (n+ 1) 0 ≤ x ≤ 10 3 10 + 0 = 5 3 × 5 = 15 (5 − 15,71)2 = 114,7 3(114,7) = 344,11 2 2 Waar; 20 + 10 10 ≤ x ≤ 20 7 = 15 7 × 15 = 105 (15 − 15,71)2 = 0,5 7(0,5) = 3,53 n = aantal waardes 15 As n = ewe getal, is die mediaan deel van die datastel 30 + 20 20 ≤ x ≤ 30 4 = 25 4 × 25 = 100 (25 − 15,71)2 = 88,3 4(88,3) = 354,22 As n = onewe getal, is die mediaan die gemiddeld tussen die 2 twee middelste nommers. totaal : 14 14 220 Σf(x − x)2 = 692, 86 VYF GETAL OPSOMMING 1. Minimum waarde Gemiddelde: 2. Onderste kwartiel Q1 som van al diewaardes gemiddelde(x ) = 3. Mediaan totale aantalwaardes 4. Boonste kwartiel Q3 220 SAKREKENAAR STAPPE: = 5. Maksimum waarde 14 Mode 2: STAT 1: VAR MOND EN SNOR DIAGRAM = 15,71 Shift: Setup screendown. 3: STAT ‘n Mond-en-snor diagram is ‘n visuele verteenwoordiging Frekwensie? 1: ON 2: OFF van vyf getal opsomings. Standaard afwyking: Gegroepeerde data te kw Σ f (x − x )2 ui ar tie kw ar te σ = Gee data (x = mid pt) ters l tie uiters n l te te n te te AC ders ders ed Bo Bo 692,86 ia a on on = Shift 4: VAR On On s s M 14 ’n Klein standaardafwyking dui aan dat die data waardes naby 2: x̄ (mean) = 7,03 aan die gemiddeld gegroepeer is, ’n groot standaardafwyking dui aan dat die data waardes ver van die gemiddeld is. 3: σ x (std deviation) 10 20 30 40 50 60 Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 63

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Statistiek SCIENCE CLINIC 2022 © MAATSTAWWE VIR SENTRALE NEIG- VOORBEELD: ING VIR ONGEGROEPEERDE DATA Stap 1: Bepaal die kumulatiewe frekwensie vanuit die frekwensietabel. Ons doen ‘n opname oor die ouderdomme van mense wat ‘n winkel besoek, 80 mense neem aan die opnamme deel. Geskatte gemiddelde som van al diefrekwensies × gemiddelde waarde Interval Frekwensie Kumulatiewe Frekwensie Interpretasie Grafiek Punte (x ) = totale frekwensie 0 ≤ x < 15 0 0 0 deelnemers is onder 15. (15;0) Σf ⋅ x x̄ = 15 ≤ x < 30 14 0 + 14 = 14 14 mense is jonger as 30. (30;14) n 30 ≤ x < 45 22 14 + 22 = 36 36 mense is jonger as 45. (45;36) waar; 45 ≤ x < 60 30 36 + 30 = 66 66 mense is jonger as 60. (60;66) x̄ = geskatte gemiddeld 60 ≤ x < 75 14 66+ 14 = 80 Alle deelnemers was jonger as 75. (75;80) n = aantal waardes Stap 2: Verteenwoordig die informasie op ‘n kumulatiewe frekwensie/ogief kurwe Modale interval 100 f Koördinate (x;y) Die modale interval is die interval wat die grootste Die grafiek is ‘n 90 Die x-koördinate verteenwoordig die boonste grens van die interval. S-vormig. hoeveelheid data punte. 80 y-koördinate verteenwoordig die kumulatiewe frekwensie. Mediaan interval 70 Interpretasie van die grafiek: Kum. Frek Die mediaan interval is die interval, in ‘n data stel, 60 Mediaan !# wat die middelste waarde bevat. 50 Daar is ‘n ewe getal data waardes in ons stel van (80). Dus, lê die mediaan tussen die twee mid- del waardes. Die mediaan lê halfpad tussen 40ste en 41ste waarde. Bepaal die waarde op die 40 M y-as en trek ‘n lyn van dié punt om sodoende die waarde te bepaal op die x-as. 30 Kwartiele 20 !" Gebruik dieselfde metode om die mediaan te bepaal, vir die bepaal van die boonste- en onder- 10 ste kwartiele. x 100 f Persentiele 100 f 15 30 45 60 75 100 f 90 Q1 = 34 Ouderdom 90Die mediaan en die kwartiele verdeel die datastel in 50% en 90 25% onderskeidelik, sou jy ‘n 80 ander persentiel moes bereken, kan jy dit van die grafiek af kees of uitwerk. M = 48 80Berekening van die 90ste persentiel: 0,9 × 80 = 72 80 70 Q3 = 58 70So 90% van die data is onder die 72ste waarde wat in die laaste 70 interval sal wes. 60 90ste persentiel = 66 60 60 50 SIMMETRIESE EN ASIMMETRIES DATA 50 50 Simmetries 40 40 Skeefgetrekte data 40 Simmetriese data het ‘n gebalanseerde 30 vorm, met ‘n gemiddelde, mediaan Asimmetriese data is data wat meer na die een, of die ander kant verspreid 30 30 is. en modus naby aan mekaargether. 20 20 20 10 10 10 gemiddelde = mediaam x x x 15 30 45 60 75 15 30 45 60 75 15 30 45 60 75 gemiddelde mediaan mediaan gemiddelde modus modus = modus Skeef na links: skeef na links as die stert langer aan die linkerkant is. Skeef na regs: skeef na regs as die stert langer aan die regterkart is. Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 64

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Statistiek SCIENCE CLINIC 2022 © BIVARIATE DATA KORRELASIEKOËFFISIËNT Bivariate data kan verteenwoordig VOORBEELD: Skets ‘n spreidiagram vir die volgende stel data en bereken die korrelasiekoëffisiënt, maak dan ‘n word deur ‘n spreidiagramme: Positiewe lineêre korrelasie nΣx y − (Σx)(Σy) gevolgtrekking oor die tipe korrelasie. Die hoeveelheid ure wat ‘n verkoopspersoon aan sy kliënt r = spandeer teenoor die waarde van die verkope aan daardie kliënt. nΣx 2 − (Σx)2 × nΣy 2 − (Σy)2 AANTAL URE 30 50 80 100 120 150 190 220 260 Waar r die sterkte van die korrelasie tussen die twee veranderliks WAARDE VAN VERKOPE 270 275 376 100 420 602 684 800 820 (x en y) verteenwoordig. (IN DUISEND RANDE) Eienskappe: Stap 1: Spreidiagram • Die korrelasiekoëffisiënt is ‘n waarde tussen –1 en 1 SPREIDIAGRAMME (–1 ≤ r ≤ 1) 900 Negatiewe korrelasie • As r naby 1 is, sterk negatiewe lineêre korrelasie. 800 700 • As r naby -1 is, sterk negatiewe lineêre korrelasie. 600 • Geen lineêre korrelasie of ‘n swak lineêre korrelasie, –0,3 < r < 500 0,3 400 300 Waarde van r Interpretasie 200 r=1 Volkome positiewe korrelasie 100 0,9 ≤ r < 1 Sterk positiewe lineêre korrelasie 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 Geen korrelasie Redelik sterk positiewe lineêre Aantal ure 0,7 ≤ r < 0,9 korrelasie Stap 2: Gebruik jou sakrekenaar om r te bepaal 0,3 ≤ r < 0,7 Swak positiewe lineêre korrelasie Sodra jy die redes vir die prosesse verstaan, kan jy jou sakrekenaar gebruik om die proses te versnel. –0,3 ≤ r < 0,3 Geen lineêre korrelasie r kan gekry word deur die volgende stappe op jou sakrekenaar te voltooi: –0,7 ≤ r < –0,3 Swak negatiewe lineêre korrelasie (stappe mag ietwat verskil van sakrekenaar tot sakrekenaar) • Druk [MODE] en [2:STAT] om die statistiek funksie te gebruik Redelik swak negatiewe lineêre • [2:a+bx] –0,9 ≤ r < –0,7 korrelasie • Lees die aantal ure in die x-kolom in en die waarde van verkope in die y-kolom • [AC], sal die skerm leeg maak, maar die data gestoor hou Nie-lineêre korrelasie –1 ≤ r < –0,9 Sterk negatiewe lineêre korrelasie • [SHIFT][1] om by die statistieke berekeningskerm te kom r = –1 Volkome negatiewe korrelasie • [5:REG] en dan [3:r] r = 0,893 ∴ ‘n Beduidende positiewe lineêre korrelasie Lineêre korrelasie bestaan tussen die aantal ure wat ‘n verkoopspersoon aan sy kliënte spandeer en die bedrag van die verkope, met die uitskieter as ‘n uitsondering Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 65

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Statistiek SCIENCE CLINIC 2022 © DIE KLEINSTE KWADRAAT REGRESSIELYN VOORBEELD: ‘n Lyn, kan getrek word deur die data punte, om te bepaal of daar ‘n sterk negatiewe Bepaal die vergelyking van die kleinste kwadraat regressielyn in die vorm van ŷ = a + bx of positiewe korrelasie in die spreidiagram is. Let wel; ‘n lyn wat die beste pas sal nie die data volkome pas nie, maar beskryf die algemene tendens. Die lyn wat die beste Stap 1: Voltooi die tabel soos aangedui deur die opskrifte v.d. kolomme: pas word ook die regressie lyn genoem. Die lyn sal altyd deur (x ; y ) gaan, waar x die gemiddelde van die x-waardes en y is die gemiddelde van die y-waardes. x y x −x y −y (x − x )2 (x − x )(y − y ) 1 2 –2 –2 4 4 2 4 –1 0 1 0 3 5 0 1 0 0 4 4 1 0 1 0 5 5 2 1 4 2 2 x=3 y=4 Σ(x − x ) =10 Σ(x − x )(y − y )=6 Stap 2: Bereken die helling/gradiënt b deur die totale van jou tabel te vervang soos benodig: Sodra jy die proses verstaan, kan hierdie waardes vinniger gekry Σ(x − x )(y − y ) word deur die volgende stappe op jou sakrekenaar te voltooi: b= Σ(x − x )2 (stappe mag ietwat verskil van sakrekenaar tot sakrekenaar) error • Druk [MODE] en [2:STAT] statisiek funksie te gebruik 6 b= • [2:a+bx] 10 • Lees die waardes, onderskeidelik, in die x-en y-kolomme in error • [AC], sal die skerm leeg maak, maar die data gestoor hou b = 0,6 • [SHIFT][1] om by die statistieke berekeningskerm te kom error • [5:REG] error Stap 3: Bereken die y-afsnit a deur die waardes • Kies [1:a] om a te kry OF [2:B] om die waarde van b te kry van die punt (x ; y ) in te vervang: a = y − bx error a = 4 − (0,6)(3) Die doel van die kleinste kwadraat regressielyn is om die totaal van die kwadraat a = 2,2 van die fout so klein moontlik te hou. Die reguit lyn minimeer die som van die gek- Stap 4: Bepaal die vergelyking van die lyn wadreerde foute. Wanneer ons elkeen van die foute kwadreer en die antwoorde by mekaar tel, is die totaal die kleinste moontlike waarde. ŷ = a + bx ŷ = 2,2 + 0,6x Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 66

Graad 12 Wiskunde Kernkonsepte Statistiek SCIENCE CLINIC 2022 © VOORBEELD: 2. ‘n Atleet hardloop die 100m wedloop in 11.7 sekondes, gebruik die formule en Die tabel hieronder tabelleer die tyd wat dit 12 atlere neem om ‘n 100 m wedloop te voorspel die afstand van die atleet se sprong. volooi en hul beste afstande vir verspring. TYD VIR DIE 100M WEDLOOP ŷ = 14,34 − 0,64x 10,1 10,2 10,5 10,9 11 11,1 11,2 11,5 12 12 12,2 12,5 (IN SEKONDES) ŷ = 14,34 − 0,64(11,7) AFSTAND VIR DIE BESTE VERSPRING ŷ = 6,852 m 8 7,7 7,6 7,3 7,6 7,2 6,8 7 6,6 6,3 6,8 6,4 SPRONG (IN METRES) 3. ‘n Ander atleet voltooi die 100m wedloop in 12.3 sekondes en sy beste sprong is SPREIDIAGRAM 7,6m. Indien hierdie waardes deel vorm van die datastel, sal die gradiënt van die 8,5 kleinste kwadraat regressielyn toeneem of afneem? Motiveer jou antwoord sonder om berekeninge te gebruik. Afstand vir die beste verspring sprong (in meters) Die gradiënt sal toeneem, die afstand punt sal baie hoër wees as die ander punte 8 rondom dieselfde tyd 4. Bereken die gemiddelde tyd en standaardafwyking vir die datastel. 7,5 Dit kan verkry word deur die volgende stappe op jou sakrekenaar te voltooi. (stappe mag ietwat verskil van sakrekenaar tot sakrekenaar) • Druk [MODE] en [2:STAT] statistiek funksie te gebruik 7 • [1:Var] • Lees die tyd waardes in die x-kolom in • [AC], sal die skerm leeg maak, maar die data gestoor hou 6.5 • [SHIFT][1] om by die statistieke berekeningskerm te kom • [4:Var] • [2:x] en = om die gemiddelde tyd te kry. Dit is 11,27 sekondes OF • [3:σ x] en = om die standaardafwyking vir die steekproef. Die standaardafwyking 6 10 10,5 11 11,5 12 12,5 van die gimiddelde tyd is 0,755 sekondes. Tyd vir 100m wedloop (in sekondes) 5. Bepaal die korrelasiekoëffsiënt 1. Bepaal die a en b waardes vir die kleinste kwadraat regressielyn. • Druk [MODE] en [2:STAT] om die statistiek funksie te gebruik Dit kan verkry word deur die volgende stappe op jou sakrekenaar te voltooi. • [2:a+bx] (stappe mag ietwat verskil van sakrekenaar tot sakrekenaar) • Lees die tyd in die x-kolom in en die afstand in die y-kolom • Druk [MODE] en [2:STAT] statistiek funksie te gebruik • [AC], sal die skerm leeg maak, maar die data gestoor hou • [2:a+bx] • [SHIFT][1] om by die statistieke berekeningskerm te kom • Lees die waardes, onderskeidelik, in die x-en y-kolomme in • [5:REG] en dan [3:r] • [AC], sal die skerm leeg maak, maar die data gestoor hou • [SHIFT][1] om by die statistieke berekeningskerm te kom r = –0.926 • [5:REG] • Kies [1:a] om a te kry OF [2:B] om die waarde van b te kom ∴Dit is ‘n sterk negatiewe lineêre korrelasie Volg ons op Instagram: @science.clinic Besoek www.scienceclinic.co.za om gratis SmartPrep opsommings af te laai, of om by interaktiewe aanlyn Wiskunde en Wetenskap klasse aan te sluit. Bl. 67

MATHSCLINIC SMARTPREP GR12 AFR 2023 V2.1 1

Study this subject

Recommended for this subject

MATHSCLINIC SMARTPREP GR12 ENG 2023 V2.1

SCIENCECLINIC SMARTPREP GR12 DBE AFR 2023 V4.1

SCIENCECLINIC SMARTPREP GR12 DBE ENG 2023 V4.1 (1)