Advanced Programme Maths P1 Memo 2019 Afr hlayiso.com

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN NOVEMBER 2019 GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I MODULE 1: CALCULUS EN ALGEBRA NASIENRIGLYNE Tyd: 2 uur 200 punte Hierdie nasienriglyne is opgestel vir gebruik deur eksaminators en hulp- eksaminators van wie verwag word om almal 'n standaardiseringsvergadering by te woon om te verseker dat die riglyne konsekwent vertolk en toegepas word by die nasien van kandidate se skrifte. Die IEB sal geen bespreking of korrespondensie oor enige nasienriglyne voer nie. Ons erken dat daar verskillende standpunte oor sommige aangeleenthede van beklemtoning of detail in die riglyne kan wees. Ons erken ook dat daar sonder die voordeel van die bywoning van 'n standaardiseringsvergadering verskillende vertolkings van die toepassing van die nasienriglyne kan wees. IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 2 van 15 VRAAG 1 1.1 Los op vir x ∈  sonder om 'n sakrekenaar te gebruik en toon alle berekeninge: (a) x 2 − 12 = x ∴ x 2 − 12 = x of x 2 − 12 = −x ∴ x 2 − x −= 12 0 of x 2 + x −= 12 0 ∴ ( x − 4 )( x + = 3 ) 0 of ( x + 4 )( x − = 3) 0 ∴= x 4 of − 3 of − 4 of 3 Kontrolering toon x = 4 of 3 (b) e x + 12e − x 8 = ∴ e 2 x − 8e x + 12 = 0 ( ∴ ex − 2 ex − 6 = 0 )( ) ∴e = x = 2 of e x 6 = ∴ x ln 2 of = x ln 6 ∴x =0,693 of 1,792 1.2 As z= a + bi en z= 2 23 − 6z , vind dan alle moontlike waardes van a en b. ( a + bi ) =23 − 6 ( a + bi ) 2 ∴ a 2 + 2abi + b 2i 2 = 23 − 6a − 6bi ( ) ∴ a 2 − b 2 + ( 2ab ) i = ( 23 − 6a ) − ( 6b ) i ∴ 2ab − = 6b ∴ a =−3 of b =0 ( en a 2 − b 2 =23 − 6a ) so, as a = −3 dan is 9 − b 2 = 42 ∴ b2 =−32 (nie moontlik nie want b is 'n reële getal) ∴b = 0 ∴ a 2 = 23 − 6a ∴ a =−3 + 4 2 = ∴ a 2,66 of − 8,66 en = b 0 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 3 van 15 1.3 Los f ( x ) = x 4 + x 3 − 2 x 2 + 2 x + 4 = 0 in  op indien gegee is dat f (1 − i ) = 0. indien 1 − i 'n wortel is, dan is 1 + i ook een dus is ( x − (1 − i ) ) ( x − (1 + i ) ) 'n faktor dus is ( x − 1) − i 2 'n faktor 2 ( ) dus is x 2 − 2 x + 2 'n faktor deur inspeksie: x 4 + x 3 − 2x 2 + 2x + 4 = ( x − 2x + 2)( x + 3 x + 2) = ( x − 2x + 2) ( x + 1)( x + 2) 2 2 2 ∴x 1 = − i of 1 + i of − 1 of − 2 VRAAG 2 Gebruik volledige induksie om te bewys dat: n ∑2 = 2 i =1 i n +1 −2 ons wil bewys dat : 2 + 22 + ..... + 2n = 2n +1 − 2 kom ons beskou eers n = 1 LK = 2 en RK = 22 − 2 = 2 dus is dit waar vir n = 1 neem aan dit is waar vir n = k ∴ 2 + 22 + ..... + 2k= 2k +1 − 2 ( * ) bytelling van die volgende term aan elke kant gee: 2 + 22 + ..... + 2k + 2k +1= 2k +1 − 2 + 2k +1 2 2k +1 − 2 =× = 2k + 2 − 2 = 2( ) − 2 k +1 +1 maar dit is net met n= k + 1 dus het ons bewys dit is waar vir n= k + 1 ∴ volgens die beginsel van volledige induksie is die resultaat waar vir n ∈  IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 4 van 15 VRAAG 3 Bepaal f ' ( x ) uit eerste beginsels indien f ( x=) x + 3. x +3+h − x +3 f ' ( x ) = lim h →0 h x +3+h − x +3 x +3+h + x +3 lim × h →0 h x +3+h + x +3 h = lim h →0 h ( x + 3 + h + x + 3) 1 = lim h →0 x +3+h + x +3 1 = 2 x +3 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 5 van 15 VRAAG 4 x 2 + bx − 6 4.1 Beskou die funksie: f ( x ) = 2x − a Bepaal die waardes van a en b indien die funksie 'n vertikale asimptoot by 1 x = 4 en 'n skuins asimptoot van= y x + 4 het. 2 Vir 'n vertikale asimptoot by x = 4 moet die noemer nul wees wanneer x = 4 dus a = 8 Nou: ( 2x − 8 )   1 f (x) = x + 4  + res ( waar res 'n konstante is ) 2  ∴ f ( x ) = x 2 + 4 x − 32 + res dus b = 4 x 2 + ax + b 4.2 Bepaal die waardes van a en b indien die funksie f ( x ) = 'n 2x − 3 stasionêre punt by (1; 2 ) het. = ons weet dat f (1) 2 en = f ' (1) 0 x 2 + ax + b 1 + a + b dus = =2 of a + b =−3 2x − 3 −1 ( 2x + a )( 2x − 3 ) − 2 ( x 2 + ax + b ) ∴f '(x) = ( 2x − 3 ) 2 nou f ' (1) = ( 2 + a )( −1) − 2 (1 + a + b ) = 0 vervanging van die waarde van a + b gee: −2 − a − 2 (1 − 3 ) =0 ∴ a =−2 − 2 ( −2 ) =2 en b =−5 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 6 van 15 VRAAG 5 Beskou die funksie f wat soos volg gedefinieer word:  0.5 x + 4 x < −4  3 −4 ≤ x < −2  f (x) =  2 x = −2 0.5 x 2 + 1 −2 < x < 2   g ( x ) x≥2 Beantwoord die volgende vrae en gee noukeurig aandag aan die notasie wat jy gebruik: 5.1 Bepaal lim f ( x ) indien dit bestaan. Indien nie, verduidelik waarom nie. x →−4 =lim − f ( x ) 2 maar = lim+ f ( x ) 3 x →−4 x →−4 ∴ lim f ( x ) bestaan nie want hulle is ongelyk x →−4 5.2 Waarom is f diskontinu by x = −2 ? = lim f x →−2 ( x ) 3 maar f = ( −2 ) 2 ∴diskontinu want hulle is ongelyk 5.3 Watter tipe diskontinuïteit kom voor by x = −2 ? Verwyderbaar 5.4 Bepaal g ( x ) indien g ( x ) 'n lineêre funksie is en f differensieerbaar moet wees by x = 2 . = ons benodig g ( 2 ) lim− f = (x) 3 x →2 maar ons benodig ook lim+ g ' ( = x ) lim− f ' ( = x ) lim = − x 2 x →2 x →2 x →2 dus g ( x= ) 2x + c maar g ( 2= ) 2 ( 2 ) + c= 3 dus c = −1 ∴g (x) =2x − 1 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 7 van 15 VRAAG 6 Beskou die diagram hieronder. Dit verteenwoordig die deursnee van 'n halfsirkelvormige geut met O die middelpunt van die halfsirkel. Daar is slik onder in die geut. Die oppervlak van die slik, CD, is parallel aan die oppervlak van die water, AB. Belangrike hoeke, in radiale, word in die diagram getoon. Indien die radius van die geut 12 cm is en die geut 2 m lank is, bereken die volume water in die geut tot die naaste liter. Onthou: 1 cm3 = 1 ml en 1 liter = 1 000 ml. slik Oppervlakte van water = kleinsegment AB − kleinsegment CD Nou kleinsegment AB = sektor AOB − ∆AOB 1 2p 1 2 2p = 122 − 12 sin 2 3 2 3 72 3 = 48p − 2 en kleinsegment CD = sektor OCD − ∆OCD 1 p 1 p = 122 − 122 sin 2 3 2 3 72p 72 3 = − 3 2 72 3  72p 72 3  Dus oppervlakte van water = 48p − − −  2  3 2   = 24p cm2 Dus volume = 200 × 24p cm3 = 15079,6 cm3 = 15 liter tot die naaste liter IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 8 van 15 VRAAG 7 Hieronder is die grafiek van die implisiet gedefinieerde verwantskap: y − xy =y + x . 3 2 Bepaal die vergelyking van die raaklyn (met 'n stippellyn aangedui) indien dit bekend is dat die x-koördinaat van die raakpunt 1 is. y 3 − xy =y + x 2 Wanneer x = 1, y 3 − y = y + 1 ∴ y 3 − 2y − 1 =0 ∴ y =−1 dus is die raakpunt (1; −1) dy  dy  dy ∴ 3y 2 −y + x = + 2x dx  dx  dx dy dy dy ∴ 3y 2 −y −x = + 2x dx dx dx ∴ dy dx ( ) 3y 2 − x − 1 = y + 2x dy y + 2x ∴ =2 dx 3 y − x − 1 dy −1 + 2 ∴= = 1 dx 3 − 1 − 1 ∴ y − ( −1)= 1( x − 1) ∴y = x − 2 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 9 van 15 VRAAG 8 8.1 Beskou die funksies f ( x ) = x + a + b en g ( x ) =− x + 2 + 1. f (x) = x + a + b g (x) =− x + 2 +1 (a) Bepaal die waardes van a en b. a = 3 en b = −4 (b) Los vervolgens of andersins op: x + 3 + x + 2 ≤ 5. x +3 + x +2 ≤5 ∴ x +2 ≤5− x +3 ∴ − x + 2 ≥ −5 + x + 3 ∴− x + 2 +1≥ x + 3 − 4 ∴ −5 ≤ x ≤ 0 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 10 van 15 8.2 Die grafiek van y = f ( x ) word gegee. Teken op jou eie assestelsel in jou antwoordboek 'n ruwe skets van y = f ( x ) . 8.3 Beskou die funksie f wat hieronder geteken is. 2 6 Gegee: ∫ f ( x ) dx −38,7 = en ∫ f ( x ) dx 74,7 = Bepaal: 0 2 6 (a) ∫ f ( x ) dx − 0 = 38,7 + 74,7 = 36 6 (b) ∫ f ( x ) dx = 38,7 + 74,7 = 113,4 0 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 11 van 15 VRAAG 9 Beskou die funksie f ( x )= x ln ( x ) − x 2 + 4, x > 0 . 9.1 Indien gegee word dat f kontinu is by elke waarde in sy definisiegebied, regverdig waarom f minstens een wortel op die interval x ∈ [1; 5] het. f (1) = - 5 f ( 5 ) = 2,6 aangesien f (1) < 0 en f ( 5 ) > 0 en f kontinu is op [1; 5 ] moet f die x -as minstens een keer kruis op [1; 5] dus is daar minstens een wortel op [1; 5] 9.2 Gebruik Newton-Raphson-iterasie om hierdie wortel te bepaal. Jy moet die volgende doen: • Gebruik 'n aanvanklike raaiskoot van x = 1. • Toon die iteratiewe formule wat jy gebruik. • Toon jou eerste twee benaderings. • Gee jou antwoord tot 5 desimale plekke. f ( x= ) x ln ( x ) − x 2 + 4  1 1 2 1 ( ) − ∴ f ' ( x ) = ln ( x ) + x   − x + 4 ( 2 x ) 2 x 2 1 ( ) − ∴f '(x = ) ln ( x ) + 1 − x x + 4 2 2 f ( xn ) xn += xn − f ' ( xn ) 1 xn ln ( xn ) − xn 2 + 4 = xn − 1 ( ) − ln ( xn ) + 1 − xn xn 2 + 4 2 x0 = 1 x1 = 5,045085... x2 = 3,423819... x ≈ 3,23903 ( tot 5 d.p.) IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 12 van 15 VRAAG 10 Beskou die diagram hieronder waar 'n reghoek in die eerste kwadrant gevorm word. Die onderste linkerhoek word op die oorsprong geplaas, terwyl die boonste regterhoek op die kromme y = e − x geplaas word. Bereken tot 3 desimale plekke die maksimum oppervlakte van die reghoek wat behaal kan word deur dit op hierdie manier te plaas. A = xe − x dA ∴ = e − x − xe − x = 0 dx ∴ e − x (1 − x ) = 0 ∴x = 1 ∴ Ama ks =e −1 =0,368 eenhede 2 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 13 van 15 VRAAG 11 11.1 Robyn gebruik reghoeke om die gearseerde oppervlakte te beraam. Bereken haar foutpersentasie tot een desimale plek. f ( x= ) x2 + 1 Robyn se beraming is (1× 5 ) + (1× 10 ) + (1× 17 ) + (1× 26 ) = 58 eenhede 2 5 136 1 presiese antwoord = ∫ x 2 + 1 dx = of 45 eenhede 2 1 3 3 58 foutpersentasie is × 100 = 27,9% 1 45 3 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 14 van 15 3 x 2 + 11x − 5 11.2 (a) Ontbind in parsieelbreuke. x3 + 3x 2 − 4 3 x 2 + 11x − 5 3 x 2 + 11x − 5 = ( x 3 + 3 x 2 − 4 ( x − 1) x 2 + 4 x + 4 ) 3 x 2 + 11x − 5 = ( x − 1)( x + 2 ) 2 A B C = + + x − 1 x + 2 ( x + 2 )2 A = 1 volgens oordekkingsmetode ( ) dus 1 x 2 + 4 x + 4 + B ( x − 1)( x + 2 ) + C ( x − 1)= 3 x 2 + 11x − 5 x 2 + 4 x + 4 + Bx 2 + Bx − 2B + Cx − C = 3 x 2 + 11x − 5 = (1 + B ) x 2 + ( 4 + B + C ) x + ( 4 − 2B − C ) = dus = B 2 en C 5 1 2 5 = + + x − 1 x + 2 ( x + 2 )2 3 x 2 + 11x − 5 (b) Bepaal vervolgens, of andersins, ∫ dx . x3 + 3x 2 − 4 3 x 2 + 11x − 5 ∫ x 3 + 3 x 2 − 4 dx 1 2 5 = ∫ + + dx x − 1 x + 2 ( x + 2 )2 5 = ln x − 1 + 2ln x + 2 − +c ( x + 2) 11.3 Bepaal ∫ xe 2x dx . = laat f ( x ) x dan = f '(x) 1 1 2x = laat g ' ( x ) e 2 x dan = g (x) e 2 1 2x 1 2x dan ∫ xe= 2x dx xe − ∫ e dx 2 2 1 2x 1 2x = xe − e + c 2 4 11.4 Bepaal ∫ cosec 2 x cot 2 x dx . cot 3 x = +c − 3 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 15 van 15 VRAAG 12 Beskou die diagram hieronder. f ( x ) = ax 2 b Die oppervlakte begrens deur die funksie f, die x-as, die lyne x = 0 en x = b is 160 eenhede 2 . Wanneer hierdie oppervlakte om die x-as geroteer word, is die 3 resulterende volume 1 280π eenhede 3 . Bepaal die waardes van a en b. b 160 ∫ ax dx = 3 2 0 b  ax 3  160 ∴  =  3 0 3 ab3 160 ∴ −0 = 3 3 ∴ ab = 3 160 (1) b ∫ ( ax ) 2 ππ dx = 1280 2 0 b  a2 x 5  ∴ =  1280  5 0 a 2b5 ∴ = 1280 5 6400 ( 2 ) ∴ a 2b5 = kwadrering van albei kante van vergelyking (1) gee a 2b 6 = 25600 ( 3 ) deling van vergelyking ( 3 ) deur vergelyking ( 2 ) gee b = 4 5 vervanging van hierdie waarde in (1) gee a = 2 Totaal: 200 punte IEB Copyright © 2019