AP Maths P1 MG 2017 Afr hlayiso.com

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN NOVEMBER 2017 GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I MODULE 1: CALCULUS EN ALGEBRA NASIENRIGLYNE Tyd: 2 uur 200 punte Hierdie nasienriglyne word voorberei vir gebruik deur eksaminatore en hulpeksaminatore. Daar word van alle nasieners vereis om 'n standaardiserings- vergadering by te woon om te verseker dat die nasienriglyne konsekwent vertolk en toegepas word tydens die nasien van kandidate se skrifte. Die IEB sal geen gesprek aanknoop of korrespondensie voer oor enige nasienriglyne nie. Daar word toegegee dat verskillende menings rondom sake van beklemtoning of detail in sodanige riglyne mag voorkom. Dit is ook voor die hand liggend dat, sonder die voordeel van bywoning van 'n standaardiserings- vergadering, daar verskillende vertolkings mag wees oor die toepassing van die nasienriglyne. IEB Copyright © 2017 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 2 van 9 VRAAG 1 (ln x ) + 2ln x − 3 = 2 1.1 (a) 0 k = ln x ( k + 3 )( k − 1) = 0 ln x = −3 ln x = 1 −3 x= e = 0,0498 x= e= 2,718 (b) x+p = ln q x ≥ −p : x+p= ln q = x ln q − p x ≤ −p : −x − p = ln q x= − ln q − p 1.2 (a) (0; 3) (b) 0 = x 2 + 2x − 3 x 2 ≠ − 2x − 3 Aangesien LK en RK nie beide gelyktydig zero kan wees nie 3 9 (c)  2; 4  (Kritiese punt is by zero van abs waarde term)   (d) y = x 2 − 2 x + 3 (neem kennis dat ander tak nie tp bevat nie) y=' 2 x − 2 ∴ x= 1; y= 2 VRAAG 2 2.1 889 = Ae15 k 596 = Ae5 k 889 ∴ e10 k = 596 ∴k = 0,04 ∴A = 488 2.2 6000 = 488e0,04t ∴ t =62,72 ∴ jaar 2033 (of aanvaar 2033) IEB Copyright © 2017 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 3 van 9 VRAAG 3 − p ± p2 − 4 p 3.1 x= 2p p( p − 4) < 0 0 4 p=2 3.2 x = −2i is ook 'n oplossing ∴ x 2 + 4 is 'n faktor ( x 2 + 4 )( x 2 − 2x + 5 ) = x 4 − 2x 3 + px 2 − 8 x + 20 ∴ x =1 ± 2i en p=9 3.3 Let daarop dat i + i 2 + i 3 + i 4 =0. Dus: i + i + i + i + ..... + i 2 3 4 2016 =0 Dus antwoord = i VRAAG 4 Bewys waar vir n = 2: 1 3 2 +1 3 LK = 1 − = RK = = 4 4 2(2) 4 Neem aan waar vir n = k:  1  1  1  k +1  1 − 4   1 − 9  ...........  1 − k 2  =      2k Bewys waar vir n = k + 1  1  1   1  1   1 − 4   1 − 9  ...........  1 − k 2   1 −        ( k + 1)  2  k + 1  1  =  1−  volgens aanname  2k   ( k + 1)  2  k + 1   ( k + 1) − 1  2 =    2k   ( k + 1)  2 k ( k + 2) = 2k ( k + 1) k +2 = 2(k + 1) Maar dit is die formule met n = k + 1. Dus het ons deur die beginsel van volledige induksie bewys dat die resultaat waar is vir alle natuurlike waardes van n. IEB Copyright © 2017 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 4 van 9 VRAAG 5 5.1 (a) = lim f ( = x ) lim 4 4 x →1− x →1 4 = lim+ f ( = 4 x ) lim x →1 x →1 x f (1) = 4 Dus kontinu by x = 1. Nie differensieerbaar nie vanweë skielike verandering van gradiënt. (b) lim f '( x ) = lim+ f '( x ) x → 2− x →2 −4 =a x2 ∴ a =−1 4 =− x + b x ∴b = 4 5.2 (a) 6x 2 − x − 1 = ( 3 x − 2 )( 2x + 1) + k p=3 f (x) = ( 3 x + 1)( 2x − 1) (b) (i) 2 ( 2 x − 1) Verwyderbare diskontinuïteit by x = 0,5. Faktor kanselleer uit. 3 1 1 (ii) ∴ y= x+ ; x≠ 2 2 2 ( 3 x − 2 )(12x − 1) − ( 6 x 2 − x − 1) ( 3 ) (c) f '( x ) = (3x − 2) 2 ∴= 0 18 x 2 − 24 x + 5 d.w.s. ∆ > 0 IEB Copyright © 2017 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 5 van 9 VRAAG 6 6.1 Deur die kosinusreël te gebruik: 102 = 102 + 82 − 2 (10 )( 8 ) cosOˆ ∴ Oˆ =1,159 radiale 1 (10 ) (1,159 ) = 57,96 units 2 2 2 6.2 Oppervlakte van sektor = eenhede 2 1 Oppervlakte van driehoek = ( 8 )(10 ) sin1,159 = 36,656 2 Gearseerde gebied = 21,3 eenhede2 IEB Copyright © 2017 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 6 van 9 VRAAG 7 − ( 4x + 3) 2 −1 7.1 y= 3 dy 1 ( 4 x + 3 ) 2 (4) − ∴ = dx 2 2 = ( 4x + 3)2 3 = = m 2 en n 3 2 dy 7.2 (a) cos y − sin x 0 = dx dy sin x ∴ = dx cos y π 1 = (b) x : = sin y+ 1 3 2 1 sin y = 2 π y= 6 π sin dy 6= 1 ∴ = dx cos π 3 tan x + x 2 + 1 7.3 (a) xr += 1 xr − 1 + 2x cos2 x x0 = −1 x1 = −1,31047803... x 2 = −1,227348576... x 3 = −1,181802226... x 4 = −1,172412988... (b) x 5 = −1,172093968... x 6 = −1,172093617... x 7 = −1,1720936... IEB Copyright © 2017 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 7 van 9 VRAAG 8 8.1 4x3 + 3x 2 0 = ∴ x ( 4x + 3) = 2 0 = g ''( x ) 12 x 2 + 6 x = 0 6 x (2 x + 1) 1 x = 0 of x = − 2 Dus is x = 0 stasionêr (neem kennis dat teken van die gradiënt nie verander 1 nie) en x = − is niestasionêr. 2 8.2 = ∫ 4 x + 3 x dx 3 2 y y = x4 + x3 + C 4 = 1+ 1+ C y = x4 + x3 + 2 8.3 Vir kubies is f ''(x) lineêr en gevolglik het f ''(x) = 0 altyd 'n oplossing. Vir vierdegraads is f ''(x) kwadraties en gevolglik is dit moontlik dat f ''(x) = 0 nie reële oplossings het nie. IEB Copyright © 2017 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 8 van 9 VRAAG 9 9.1 = (a) RK RHS sec 2 θ ( tan2 θ + 1) ( = sec 2 θ sec 2 θ ) = sec θ 4 ∫ sec θ .tan θ + sec θ dθ 2 2 2 (b) tan3 θ = + tanθ + C 3 ∫ sin x + cos x + 2 sin x cos x dx 2 2 9.2 (a) = ∫ 1 + sin 2x dx cos 2 x = x − +C 2 1 ( ) ( ) 1 6∫ − 2 − + 2 (b) 6 x 2 3 x 12 x 5 dx 1 ( 3 x 2 − 12 x + 5 ) + C 3 = 2 9 IEB Copyright © 2017 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 9 van 9 VRAAG 10 10.1 Die draaipunt van die grafiek is (2; 4). By die draaipunt verander die reghoeke van onderbenadering na oorbenadering, dus kanselleer die fout in 'n mate uit. 10.2 (a) 2×2=4 (b) h( − x ) =3 2 h( x ) 3 2 ×2+ 2 =5 eenhede (c) 2–2=0 ( )+ 2 10.3 (a) y = a x − 2p 1 p = ( ) 0 a p4 + p1 2 4 a= − p3 p 4 ( ) 1 2 (b) Oppervlakte = ∫ − 3 x − 2p + dx 0 p p ( x − 2p ) p  3  − 4 1  = + x  p3 3 p   0 2 = 3 Totaal: 200 punte IEB Copyright © 2017