Advanced Programme Maths P1 Memo 2018 Afr hlayiso.com

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN NOVEMBER 2018 GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I MODULE 1: CALCULUS EN ALGEBRA NASIENRIGLYNE Tyd: 2 uur 200 punte Hierdie nasienriglyne is opgestel vir gebruik deur eksaminators en hulp- eksaminators van wie verwag word om almal 'n standaardiseringsvergadering by te woon om te verseker dat die riglyne konsekwent vertolk en toegepas word by die nasien van kandidate se skrifte. Die IEB sal geen bespreking of korrespondensie oor enige nasienriglyne voer nie. Ons erken dat daar verskillende standpunte oor sommige aangeleenthede van beklemtoning of detail in die riglyne kan wees. Ons erken ook dat daar sonder die voordeel van die bywoning van 'n standaardiseringsvergadering verskillende vertolkings van die toepassing van die nasienriglyne kan wees. IEB Copyright © 2018 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 2 van 10 VRAAG 1 1.1 (a) x2 + x =−2 x − 2 ∴ x2 + x = −2 x − 2 of − x 2 − x = −2 x − 2 ∴ x 2 + 3x + = 2 0 of x 2 − x − = 2 0 ∴ x =−1 of − 2 of x =−1 of 2 Maar kontrolering toon x − = 1 of − 2 (b) ln x 3 + 2ln x 2 7 = ∴ ln x + ln x 3 4 =7 ∴ ln x 7 7 = ( kan van hier af reguit na die antwoord gaan ) ∴ 7ln x 7 = ∴ ln x 1 = ∴x = e 1.2 (a) y = y 0e − kt y ∴ e − kt = y0 y ∴ −kt = ln y0 y ln y ∴k = 0 −t 0,5 y 0 ln m y0 (b) k= ≈ 1,216 × 10 −4 −5700 (c) 0,9 y 0 = y 0e − kt ∴ −kt = ln0,9 ln0,9 ∴t = −k ∴ t ≈ 866 jaar IEB Copyright © 2018 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 3 van 10 VRAAG 2 2.1 Indien 3 + 2i ' n wortel s, dan is 3 − 2i ook Dus is ons vergelyking : ( x + 3 ) ( x − ( 3 + 2i ) ) ( x − ( 3 − 2i ) ) = 0 ∴ ( x + 3 ) ( ( x − 3 ) − 2i ) ( ( x − 3 ) + 2i ) = 0 ( ∴ ( x + 3 ) ( x − 3 ) − 4i 2 = 2 0 ) ( ∴ ( x + 3 ) x 2 − 6 x + 13 = 0 ) ∴ x 3 − 3 x 2 − 5 x + 39 = 0 2.2 'n Derdegraadsvergelyking sal drie wortels hê. Komplekse wortels van polinome met reële koëffisiënte kom voor in toegevoegde pare, dus moet daar minstens een reële wortel wees. a + bi −b − ai 2.3 × −b + ai −b − ai −ab − a 2i − b 2i − abi 2 = b2 − a2i 2 ab − ab − i ( a 2 + b 2 ) = b2 + a2 −i ( a 2 + b 2 ) = b2 + a2 = −i IEB Copyright © 2018 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 4 van 10 VRAAG 3 = Indien = n 1, het ons 23 − 3 5 wat duidelik deelbaar is deur 5. Neem aan waar vir n = k , naamlik dat 23 k − = 3k 5 p waar p ∈  (*) Indien n= k + 1, het ons : 2( 3 k +1) − 3k +1 = 23 k +3 − 3k +1 = 23 k × 23 − 3 × 3k = 8 × 23 k − 3 × 3k Uit ( * ) het ons 23 k 5 p + 3 = k , dus indien n k + 1 = het ons ( ) = 8 ( 5 p ) + 8 3k − 3 × 3k = 5 (8p ) + 5 (3 ) k = 5 (8p + 3 ) k wat duidelik deelbaar is deur 5 Deur die beginsel van volledige induksie het ons dus die resultaat bewys vir n ∈  VRAAG 4 4.1 (a) (b) x =0 IEB Copyright © 2018 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 5 van 10 4.2 Indien f differensieerbaar is by x = 2 moet dit kontinu wees by x = 2 dus lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) x →2 x →2 dus 2a − b − 1= 4b − 2a + 5 of 4a − 5b= 6 (1) maar ook lim− f ' ( x ) = lim+ f ' ( x ) x →2 x →2 =− a 4 2b ( 2 ) b a of a = Los (1) en ( 2 ) gelyktydig op : = 8b − 5b 6 = dus b 2 = en a 4 VRAAG 5 5.1 = sektor − ∆ segment ∴ 308 = 1 2 ( ) 1 182 θ − 182 sinθ 2 ( ) ∴162θ − 162sinθ − 308 0 = 5.2 f (θ ) = 162θ − 162sinθ − 308 162θ − 162sinθ − 308 ∴θ n +1 =θ n − 162 − 162cos θ θ = 2,49984 VRAAG 6 1  1 6.1 f ( 0 ) = , dus y - afsnit  0; 2  2   2x − 3 x − 2 2 =0 x−4 ∴ 2x 2 − 3 x − 2 =0 ∴ ( 2 x + 1)( x − 2 ) = 0  1  ∴ x - afsnitte  - 2 ;0  en ( 2;0 )   6.2 Vertikale asimptoot : x = 4 2 x 2 − 3 x − 2 = ( x − 4 )( 2 x + 5 ) + R = 2x + 5 Dus is skuins asimptoot y IEB Copyright © 2018 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 6 van 10 2x 2 − 3 x − 2 6.3 f (x) = x−4 =∴f '(x) ( 4 x − 3 )( x − 4 ) − 1 2x 2 − 3 x − 2 = (0 ) ( x − 4) 2 ∴ 4 x 2 − 19 x + 12 − 2 x 2 + 3 x + 2 =0 ∴ 2 x 2 − 16 x + 14 = 0 ∴ x 2 − 8x + 7 =0 ∴ ( x − 1)( x − 7 ) = 0 ∴x = 1 of 7 ∴ (1;1) en ( 7;25 ) is stasionêre punte 6.4 f '' (1) < 0 dus is (1;1) ' n lokale maksimum f '' ( 7 ) > 0 dus is ( 7;25 ) ' n lokale min imum VRAAG 7 7.1 x 2 + xy + y 2 1 = dy dy ∴ 2x + y + x + 2y = 0 dx dx dy ∴ ( x + 2y ) = −2 x − y dx dy −2 x − y ∴ = dx x + 2y 7.2 By A : y = 0 ∴ x =1 dy −2 Dus by A : = = −2 dx 1 ∴ y =−2 ( x − 1) ∴ y =−2 x + 2 IEB Copyright © 2018 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 7 van 10 VRAAG 8 FC 8.1 cos θ = CD 0,4 cos θ ∴ FC = ∴A D=CDF + DBEG + BCFG 1  ∴A =2  × 0,4 × 0,4 cos θ sinθ  + 0,4 × 0,4 cos θ ( DCDF =DBEG ) 2  =∴ A 0,16 sinθ cos θ + 0,16 cos θ =∴ A 0,08 sin 2θ + 0,16 cos θ =∴V 20 ( 0,08 sin 2θ + 0,16 cos θ ) =∴V 1,6 sin2θ + 3,2cos θ = 8.2 V 1,6 sin2θ + 3,2cos θ dV ∴= 3,2cos 2θ − 3,2 sin=θ 0 dθ ∴ cos 2θ sin = θ π  ∴ cos 2θ = cos  − θ  2  π ∴ 2θ = −θ 2 π ∴ 3θ = 2 π ∴θ = 6 VRAAG 9 9.1 (a) sin= 3 θ sinθ × sin2 θ = sinθ (1 − cos2 θ ) = sinθ − sinθ cos2 θ soos gevra ∫ sin θ = dθ ∫ sinθ dθ − ∫ sinθ cos θ dθ 3 2 (b) cos3 θ = − cos θ + +c 3 IEB Copyright © 2018 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 8 van 10 9.2 METODE 1 x ∫ 2 + x dx Laat u 2 + = x dan x u− = 2 en = du dx u−2 ∴ ∫ 1 du u2 1 1 − = ∫ u 2 − 2u 2 du 2 32 1 = u − 4u + c2 3 3 1 2 = (2 + x )2 − 4 (2 + x )2 + c 3 ALTERNATIEF 1 x ∫ 2 + x dx 1 ∫ x ( 2 + x ) 2 dx − = 1 (2 + x ) 2 − Parsieel f= x en g=' 1 g 2 (2 + x )2 =' 1 en = Dus f 1 1 = 2 x ( 2 + x ) 2 − ∫ 2 ( 2 + x ) 2 dx 3 1 4 (2 + x )2 = 2x ( 2 + x ) − 2 +c 3 IEB Copyright © 2018 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 9 van 10 VRAAG 10 10 3 1 10.1 Oppervlakte = + + 3 2 ( 4 ) 6 42( ) 119 = 32 10.2 Dit sal 'n oorbenadering wees. Namate n groter word, word die antwoord kleiner.  10 3 1  10.3 = lim  Oppervlakte + + 2  m vir n wat na oneindigheid neig n →∞  3 2n 6n  10 = eenhede 2 3 10 10.4 eenhede 2 aangesien dit bloot 'n refleksie van die gearseerde gebied 3 in die y-as is. IEB Copyright © 2018 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com GRAAD 12-EKSAMEN: GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 10 van 10 VRAAG 11 7 = Oppervlakte ∫ g ( x ) − f ( x ) dx 1 7 = ∫ f ( x ) + kx + 1 − f ( x ) dx 1 7 = ∫ kx + 1 dx 1 7  kx 2  =  + x  2 1 49k k dus + 7 − −1= 54 2 2 dus 49k + 14 − k − 2 = 108 dus 48k = 96 dus k = 2 VRAAG 12 b vol = π ∫ f ( x )  dx 2 a b ∴175 = π ∫ − x 2 + 6 x + 4 dx a h  x3  ∴175 = π  − + 3x 2 + 4x   3 0  h3  ∴175 = π  − + 3h 2 + 4h   3  525 ∴ −h3 + 9h 2 + 12h − =0 π ∴x =5,28 cm Totaal: 200 punte IEB Copyright © 2018