Mathematics Grade 12 IEB Paper 1 2019 Question Paper (Afrikaans)

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT-EKSAMEN NOVEMBER 2019 WISKUNDE: VRAESTEL I NASIENRIGLYNE Tyd: 3 uur 150 punte Hierdie nasienriglyne word voorberei vir gebruik deur eksaminatore en sub- eksaminatore, almal van wie vereis word om 'n standardiseringsvergadering by te woon om te verseker dat die riglyne konsekwent geïnterpreteer en toegepas word in die nasien van kandidate se skrifte. Die IEB sal nie enige besprekings of korrespondensie rakende die nasienriglyne aangaan nie. Dit word erken dat daar verskillende sienings oor sekere sake van belang of detail in die nasienriglyne mag wees. Dit word ook erken dat, sonder die voordeel van die bywoning van 'n standardiseringsvergadering, daar verskillende interpretasies van die toepassing van die nasienriglyne mag wees. IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 2 van 17 LET WEL: • Indien 'n leerder 'n vraag meer as een keer beantwoord, sien slegs die EERSTE poging na. • Deurlopende akkuraatheid geld vir alle aspekte van die nasienmemorandum. AFDELING A VRAAG 1 (a)(1) 2( −2)2 + ( −2) + k =0 korrekte vervanging van –2 8−2+k = 0 k = −6 k = −6 (a)(2) ∴ 2 x 2 + x − 6 = 0 Faktore/korrek vervang in ( 2x − 3 )( x + 2 ) =0 formule 3 ∴ Ander wortel is 3 2 2 (b)(1) x − 2= 3 x + 2 Isoleer wortelvorm x 2 − 4x + 4 ( x − 2) = (3 x + 2 ) 2 2 9( x + 2) x 2 − 4 x + 4= 9( x + 2) x 2 − 13 x − 14 x 2 − 13 x − 14 = 0 faktore ( x − 14)( x + 1) = 0 antwoord met seleksie x = 14 of x = −1 Kontroleer: x = −1 is nie geldig nie (b)(2) x 2 − x − 6 ≤ 0 ( x − 3)( x + 2) ≤ 0 Faktore/kritieke waardes Kritieke waardes: 3; –2 Getallelyn/grafiek x ≥ −2 + - + -2 3 x≤3 Oplossing: −2 ≤ x ≤ 3 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 3 van 17 VRAAG 2 (a) = A P (1 + i )n Vervang P in korrekte 1 formule  0,123  = A 12 349  1 + 0,123  52  52 A = R12 378,21 n =1 (b) 1 − (1 + i )− n  P = x   i  0,123   0,123 −52n  52 1 −  1 +    52   Korrekte P en x in korrekte 12 349 = 94,75  0,123  formule  52    Skakel om na logaritmes 0,6917... = (1,00236...)−52 n log1,00236... 0,6917... = −52n antwoord n ≈ 3 jaar (c) =A P (1 − in ) P = 12349 =A 12 349 (1 − 0,2 × 2 ) 0,2 × 2 A = 7 409,40 antwoord (d) Saldo uitstaande = A – F  0,123 2×52  Gebruik korrekte formule 2×52 94,75  1 +  − 1  0,123     52   =12349  1 +  −  52  0,123 n = 104 in A–F-formule 52 = 15 788,54384 − 11 156,97628 94,75 = R4 631,57 123 koers Verminderde bedrag = R7 409,40 5200 Dus sal dit genoeg wees. Antwoord OF Gevolgtrekking x 1 − (1 + i )  −n P=   Korrekte Py-formule i 94,75 in P-formule   0,123  −52  94,75 1 −  1 +    52   n ≈ 52 in formule P= 0,123 123 52 koers 5200 P = R4 630,90 Antwoord Verminderde bedrag = R7 409,40 Gevolgtrekking Dus sal dit genoeg wees. IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 4 van 17 VRAAG 3 (a)(1) f ( x + h) − f ( x ) f '( x ) = lim h →0 h −5( x + h )2 + ( x + h ) −5( x + h )2 + ( x + h ) − ( −5 x 2 + x ) f '( x ) = lim h →0 h Kwadrering en verdeling −5( x + 2 xh + h 2 ) + x + h + 5 x 2 − x 2 f '( x ) = lim h →0 h Faktorisering −5 x − 10 xh − 5h 2 + x + h + 5 x 2 − x 2 f '( x ) = lim h →0 h h( −10 x − 5h + 1) f '( x ) = lim notasie h →0 h f '( x ) = lim ( −10 x − 5h + 1) h →0 Vervang met 0 om = −10 x + 1 –10x + 1 te kry OF f ( x + h) = −5( x + h )2 + ( x + h ) f ( x + h ) =−5( x 2 + 2 xh + h 2 ) + x + h f ( x + h ) =−5 x 2 − 10 xh − 5h 2 + x + h −5( x + h )2 + ( x + h ) f ( x + h) − f ( x ) = −5 x 2 − 10 xh − 5h 2 + x + h − ( −5 x 2 + x ) Kwadrering en verdeling f ( x + h) − f ( x ) =−10 xh − 5h 2 + h f ( x + h) − f ( x ) Faktorisering f '( x ) = lim h →0 h h( −10 x − 5h + 1) Notasie f '( x ) = lim h →0 h f '( x ) = lim ( −10 x − 5h + 1) Vervang met 0 om h →0 = −10 x + 1 –10x + 1 te kry (a)(2) By: x = 1, f '(1) − = 10(1) + 1 f '(1) = −9 f '(1) = −9 ∴ Vergelyking van raaklyn: y = −9 x + c Bereken y-koördinaat van Vervang: (1; –4) –4 −4 =−9(1) + c Antwoord c =5 ∴ y =−9 x + 5 OF By: x = 1, f '(1) − = 10(1) + 1 f '(1) = −9 f '(1) = −9 Vervang: (1; –4) Bereken y-koördinaat van y − ( −4) =−9( x − 1) –4 ∴ y =−9 x + 5 Antwoord IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 5 van 17 (b)(1) 3 x3 + x 2 y= x 3 x3 x 2 = y + x x 1 x2 = x +x y 2 2 1 dy 1 − 1 x2 = 2x + x 2 dx 2 2x dy 1 = 2x + 1 − 21 dx 2 x x 2 (b)(2)  (2 x − 3)(4 x 2 + 6 x + 9)  Dx   (2 x − 3)(4 x 2 + 6 x + 9)  (4 x 2 + 6 x + 9)  Dx ( 2 x − 3 ) Dx ( 2 x − 3 ) =2 =2 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 6 van 17 VRAAG 4 (4)(a) Tn =a + (n − 1)d Tn =5 + (n − 1)(4) d =4 T= 4n + 1 n T= n 4n + 1 = 4n + 1 100 Tn = 100 4n = 99 3 n = 24 Antwoord 4 24 pentagone (b)(1) T1 = 3 en Tn = 47 Sn = 300 n = S n (a + l ) Korrekte formule 2 n = 300 ( 3 + 47 ) = 300 n ( 3 + 47 ) 2 2 n = 12 Antwoord (b)(2) Tn =a + (n − 1)d Korrekte formule 47= 3 + 11d 47= 3 + 11d d =4 Antwoord (c) 1 1 1 Reeks: + + + ... 4 8 16 Ontwikkeling 1 r = , konvergerende reeks 1 2 r = 2 a =S∞ ; −1< r < 1 1− r Korrekte formule 1 S∞ = 4 1 1− 2 1 Antwoord S∞ = 2 (d) T5 T7 = Stel verhoudings gelyk T3 T5 4 1 = Korrekte vervanging 5p + 1 4 p=3 Antwoord IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 7 van 17 VRAAG 5 (a) 50 50 (b) 2a = −4 3a + b = 18 a+b+c =2 Bepaal verskille a = −2 3( −2) + b =18 ( −2) + 24 + c = 2 a = −2 b = 24 c = −20 b = 24 c = −20 Tn = −2n 2 + 24n − 20 OF 2a = −4 a = −2 Tn = −2n 2 + bn + c Bepaal verskille a = −2 T1 : − 2 + b + c = 2 ∴b + c = 4 … verg. 1 b = 24 c = −20 T2 : − 8 + 2b + c= 20 ∴ 2b + c= 28 … verg. 2 T2 − T1 : = b 24 Vervang in verg. 1: 24 + c =4 ∴ c =−20 Tn = −2n 2 + 24n − 20 OF (n − 1)(n − 2) Tn= T2 (n − 1) − T1(n − 2) + × (2de verskil) Bepaal verskille 2 (n − 1)(n − 2) a = −2 = Tn 20(n − 1) − 2(n − 2) + × ( −4) b = 24 2 c = −20 Tn = 20n − 20 − 2n + 4 − 2(n 2 − 3n + 2) Tn= 20n − 20 − 2n + 4 − 2n 2 + 6n − 4 Tn = −2n 2 + 24n − 20 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 8 van 17 (c) Tn = −2n 2 + 24n − 20 Bepaal n Tn − = 2(n 2 − 12n + 10) n=6 −2 ( n − 6 ) − 26  2 Tn =   Tn = −2(n − 6) + 52 2 Antwoord Maksimum passasiers is 52 OF Bepaal n Tn ' = −4n + 24 −4n + 24 = 0 n=6 n=6 Vervang n = 6 Tn − = 2(6)2 + 24(6) − 20 Antwoord T6 = 52 Maksimum passasiers is 52 (d) Laat n = 12 stoppe T12 − = 2(12)2 + 24(12) − 20 ∴T12 = −20 Vervanging Verduideliking Ongeldig vanweë negatiewe antwoord OF −2n 2 + 24n − 20 ≥ 0 Passasiers moet ≥ 0 wees Kritieke waardes: 6 ± 26 Vervanging Verduideliking Dus 0,9 ≤ n ≤ 11,09 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 9 van 17 AFDELING B VRAAG 6 (a) f ( x ) > g ( x ) vir 0 < x < 3 x >0 x<3 (b) g ( x ) = loga x vervang ( 3;1) Vervanging 1 = loga 3 Antwoord a=3 f ( x ) = kx vervang ( 3;1) Vervanging 1 = 3k (1) = ( 3k ) 2 2 1 k= Antwoord 3 (c) 1 f :y = x Verander x en y 3 1 f −1 : x = y 3 1 y x2 = 3 =y 3 x 2 vir x ≥ 0 y = 3x 2 Definisiegebied: x ≥ 0 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 10 van 17 VRAAG 7 (a) Vorm van f en g Snyding: (1; 9) Grafiek g: Horisontale asimptoot (0; 1) Grafiek f: Horisontale asimptoot (0; 3) (b) a 2 x = 3 x +1 a2 x =3 x 3x  a2  Isoleer x:    3  x  a2    =3 Omskakeling na  3  logaritmes Antwoord log3 1 2  = x  3a    OF x = loga2 3 3 OF log3 x= log a 2 − log3 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 11 van 17 VRAAG 8 ( 2x − 1) ≥ 0 2 (a)(1) Antwoord (a)(2) Vorm 1  Draaipunt  ;5  2  y -afsnit: ( 0;6 ) (a)(3) Skuif 5 eenhede af Antwoord (a)(4) ( 2 x − 1)2 k = 4 x 2 − 4 x + (1 − k ) = 0 Vervang in formule −( −4) ± ( −4) − 4(4)(1 − k ) 2 1± k x= x= 2(4) 2 4 ± 16k k ≥0 x= 8 4±4 k x= 8 1± k x= 2 Wortels is reëel vir k ≥ 0 OF Vervang in formule ( 2x − 1) k 2 = 4 x 2 − 4 x + (1 − k ) = 0 4 ± 16k x= −( −4) ± ( −4) − 4(4)(1 − k ) 2 8 x= 2(4) 16k ≥ 0 ∴ k ≥ 0 4 ± 16k x= 8 Wortels is reëel vir 16k ≥ 0 ∴ k ≥ 0 OF 2 x − 1 =± k ( 2x − 1) k 2 = 1± k 2 x − 1 =± k x= 2 1± k x= k ≥0 2 Wortels is reëel vir k ≥ 0 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 12 van 17 (a)(5) y= 4 x 2 − 4 x + (1 + k ) Vir reëel, ongelyk en rasionaal, ∆ > 0 en volkome vierkant ∆ = ( −4)2 − 4(4)(1 + k ) ∆ = −16k ∆ = −16k akkurate waarde van k 1 1 ∴ k =−1, k = − , k = − ens. akkurate waarde van k 4 16 akkurate waarde van k OF y= 4 x 2 − 4 x + (1 + k ) 0 deur probeer en tref: 4 x − 4 x + (1 + k ) = 2 Los op vir 4 x 2 − 4 x + (1 + k ) = 0 Wanneer k = −1: wortels is reëel, rasionaal en akkurate waarde van k ongelyk Wanneer k = −4 : wortels is reëel, rasionaal en akkurate waarde van k ongelyk, ens. akkurate waarde van k (b) px 2 + qx + r =0 −q ± q 2 − 4 pr x= 2p −q + q 2 − 4 pr ∴P = −q + q 2 − 4 pr 2p P= 2p −q ± q 2 − 4 pr x= 2 −q + q 2 − 4 pr ∴Q = −q + q 2 − 4 pr 2 Q= 2 Vir: P : Q 1  −q + q 2 − 4 pr   −q + q 2 − 4 pr    : 1  p  2   2  1 Verhouding: :1 p OF Antwoord Verhouding: 1: p IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 13 van 17 VRAAG 9 (a)(1) y =a( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) Formule  1 y =a( x + 3)( x + 3)  x −  Vervanging van afsnitte  2 Vervang: (0;9) Vervanging van (0;9) a = −2 a = −2  1 y= −2( x + 3)  x −  2  2  1 y= −2  x −  x 2 + 6 x + 9  2 ( )  1 1 Antwoord toon a, b, c en d y= −2  x 3 + 6 x 2 + 9 x − x 2 − 3 x − 4   2 2  1 1 y= −2  x 3 + 5 x 2 + 6 x − 4   2 2 y= −2 x − 11x − 12 x + 9 3 2 OF Formule y =a( x + 3)( x + 3) ( 2 x − 1) Vervanging van afsnitte Vervanging van (0;9) Vervang: (0;9) a = −1 a = −1 y= −1( x + 3)( x + 3) ( 2 x − 1) y= ( −1 x 2 + 6 x + 9 (2 x − 1) ) y=−1(2 x + 12 x + 18 x − x 2 − 6 x − 9) 3 2 y − = 1(2 x 3 + 11x 2 + 12 x − 9) Antwoord toon a, b, c en d y= −2 x − 11x − 12 x + 9 3 2 (a)(2) f (x) = −2 x 3 − 11x 2 − 12 x + 9 f '( x ) = −6 x 2 − 22 x − 12 f '( x ) = −6 x 2 − 22 x − 12 f ''( x ) − = 12 x − 22 f ''( x ) − = 12 x − 22 −12 x − 22 = 0 11 x= − 11 x= − 6 6 (b) f '( x ) = 8 f '( x ) = 8 −6 x − 22 x − 12 = 2 8 −6 x − 22 x − 20 = 2 0 x = −2 5 x= − of x = −2 y =5 3 E ( −2;5) IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 14 van 17 (c) 2 =y +q x+p p=3 2 y =+ q vervang ( −2;5) x +3 x +3 2 Vervanging =5 +q −2 + 3 q =3 q =3 2 ∴y= +3 x +3 (d) y= x + 6 y=x y= x + 6 OF Lyn gaan deur ( −3;3) ( −3;3) y x +c = ... vervang ( −3;3) y= x + 6 ∴y = x + 6 (e) ( −∞; −3 ) ∪ [ −2;0] ( −∞; −3 ) ( ) vanweë asimptoot [ −2;0] (f) h( x ) − k =−2 x 3 − 11x 2 − 12 x + 9 Vir h: y -afsnit (0;9) y -afsnit (0;9)  11   11  Vir g: y -afsnit  0;  y -afsnit  0;   3  3 16 16 k<− k<− 3 3 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 15 van 17 VRAAG 10 4 3 4 3 V π r 2h + = πr V π r 2h + = πr 3 3 4 = π r 2h + π r 3 1000 3 4 Maak h onderwerp van πr = 2 h 1000 − π r 3 formule 3 1  4  =h 2  1000 − π r 3  ….Verg. 1 1  4  πr  3  =h 2  1000 − π r 3  πr  3  Totale buiteopp (S) = Buiteopp silinder + Buiteopp sfeer S = 2π rh + 4π r 2 S = 2π rh + 4π r 2 …. Vervang verg. 1  1  4  S = 2π r  2  1000 − π r 3   + 4π r 2 π r  3  2 4  S=  1000 − π r 3  + 4π r 2 r 3  8 S = 2000r −1 − π r 2 + 4π r 2 3 4 2 4 2000r −1 + πr S = 2000r −1 + π r 2 3 3 dS 8 dS 8 = −2000r −2 + π r = − 2000r −2 + π r dr 3 dr 3 8π r 2000 − 2 = 0 3 r 8π r 3 − 6000 0= 6000 r3 = 8π Antwoord r ≈ 6,2 vir buiteoppervlakte om 'n minimum te wees IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 16 van 17 VRAAG 11 (a) 10! 10! 5!× 2!× 3! [ ] [ ] = 2 520 5!× 2!× 3! Antwoord (b)(1) = 0,3 × 0,65 P (nie gepluk nie) 0,3 en 0,65 = 0,195 Vermenigvuldiging v bg. Antwoord (b)(2) P (verwerk tot sap) Dui 0,6 of 60% aan = ( 0,7 × 0,6 ) + ( 0,3 × 0,35 × 0,6 ) ( 0,7 × 0,6 ) = 0,483 ( 0,3 × 0,35 × 0,6 ) ∴ Ongeveer 48,3% sal tot sap verwerk word 0,483 OF P (verwerk tot sap) Dui 0,6 of 60% aan = (1 − 0,195) × 0,6 (1 − 0,195) = 0,483 (1 − 0,195) × 0,6 ∴ Ongeveer 48,3% sal tot sap verwerk word 0,483 IEB Copyright © 2019 BLAAI ASSEBLIEF OM

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT: WISKUNDE: VRAESTEL I – NASIENRIGLYNE Bladsy 17 van 17 (b)(3) Getal lemoene uitgevoer = 120 × 172 = 20 640 20 640 P (uitgevoer) = ( 0,7 × 0,09 ) + ( 0,3 × 0,35 × 0,09 ) ( 0,7 × 0,09 ) = 0,07245 ( 0,3 × 0,35 × 0,09 ) ∴ 7,245% uitgevoer Laat getal lemoene = x 20 640 × 100 =7,245 x ∴x = 284 886 lemoene in totaal Antwoord OF Getal lemoene uitgevoer = 120 × 172 = 20 640 20 640 P (uitgevoer) (1 − 0,195) = (1 − 0,195) × 0,09 (1 − 0,195) × 0,09 = 0,07245 ∴ 7,245% uitgevoer Laat getal lemoene = x 20 640 × 100 =7,245 x ∴x = 284 886 lemoene in totaal Antwoord Totaal: 150 punte IEB Copyright © 2019