Gr12 Wiskunde Studiegids LR

Via Afrika Graad 12 Onderwysersgids Wiskunde Vir my gaan onderwys oor die toepassing van myself in die lewens van die leerders en om hulle vlug te inspireer – hulle te inspireer om hulle volle potensiaal Graad 12 Studiegids te bereik. M. Malan, L.J. Schalekamp, E.C. Brown, L. Bruce, G. du Toit, — Brynn Taylor, Onderwyser C.R. Smith, L.M. Botsane, J. Bouman, M. Pillay Via Afrika verstaan en waardeer jou bydrae as onderwyser en wil jou graag ondersteun. Jy het die belangrikste taak in die Via Afrika Wiskunde onderwys, en ons besef dat jou verantwoordelikhede veel meer as bloot die onderrig van leerinhoude behels. Ons het ons bes gedoen om jou tyd te bespaar en jou lewe te vergemaklik. Ons is trots dat ons jou kan help om hierdie vak suksesvol aan te bied. Hier volg ’n paar kenmerke van hierdie nuwe reeks: 1. Die reeks is volgens die Nasionale Kurrikulum- en Assesseringsbeleidsverklaring (“CAPS”) geskryf. Kyk op bladsy 5 hoe ons aan die vereistes van CAPS voldoen. 2. ‘n Moontlike werkskedule is ingesluit. Kyk op bladsy 6 tot 9 hoeveel tyd dit jou kan bespaar. 3. Elke onderwerp begin met ‘n oorsig van wat onderrig word en die hulpbronne wat jy benodig. Kyk op bladsy 31 hoe dit jou met jou beplanning sal help. 4. Daar is advies oor die voorgestelde pas wat jou sal help om die hele jaar se werk betyds af te handel. Bladsy 31 wys jou hoe dit gedoen word. 5. Ons gee by elke onderwerp raad oor hoe om konsepte bekend te stel en hoe om leerders met steierwerk voor te berei en te ondersteun. Kyk op bladsy 31 vir ‘n voorbeeld. 6. Al die antwoorde word gegee; jy bespaar dus tyd omdat jy nie die oefeninge self hoef uit te werk nie. Kyk op bladsy 32 vir ‘n voorbeeld. 7. ‘n CD propvol hulpbronne is ook ingesluit om jou met onderrig en assessering te help. Sien die binnekant van die voorblad. Die bypassende Leerderboek bevat die volledige inhoud wat jou leerders moet bemeester. Dit is in toeganklike taal geskryf wat dit vir leerders maklik maak om te leer. Die opwindende ontwerp en uitleg van die Leerderboek sal leerders se belangstelling aanwakker, hulle inspireer om te leer en die onderrigtaak vir jou aangenaam maak. Ons wil graag hoor hoe dit met jou onderrig gaan. Stuur jou terugvoer per epos aan ons by wiskunde@viaafrika.com of besoek ons onderwysersforum by www.viaafrika.com. Language: Afrikaans www.viaafrika.com

M. Malan Stud ieg ids Via Afrika Wiskunde Graad 12 ISBN: 978-1-41546-346-8

Exponents and Surds Inhoud Inleiding ................................................................................................................................. 3 Hoofstuk 1 Getalpatrone, rye en reekse ........................................................... 4 OORSIG ..................................................................................................................................... 4 Eenheid 1 Rekenkundige rye en reekse Eenheid 2 Meetkundige rye en reekse Eenheid 3 Die som tot n terme (Sn): Sigma-notasie Eenheid 4 Konvergensie en som tot oneindigheid Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 7 Hoofstuk 2 Funksies ........................................................................................ 10 OORSIG ..................................................................................................................................... 10 Eenheid 1 Die definisie van 'n funksie Eenheid 2 Die inverse van 'n funksie Eenheid 3 Die inverse van y = ax + q Eenheid 4 Die inverse van die kwadratiese funksie y = ax2 Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 22 Hoofstuk 3 Logaritmes .................................................................................... 25 OORSIG ..................................................................................................................................... 25 Eenheid 1 Die definisie van 'n logaritme Eenheid 2 Los eksponensiaalvergelykings met logaritmes op Eenheid 3 Die grafiek van y = logbx waar b > 1 en 0 < b < 1 Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 29 Hoofstuk 4 Finansies, groei en verval ............................................................... 30 OORSIG ..................................................................................................................................... 30 Eenheid 1 Toekomstige waarde-annuïteite Eenheid 2 Huidige waarde- annuïteite Eenheid 3 Berekening van die tydperk Eenheid 4 Ontleding van beleggings en lenings Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 36 Hoofstuk 5 Saamgestelde hoeke ...................................................................... 38 OORSIG ..................................................................................................................................... 38 Eenheid 1 Lei die formule vir cos(𝛼 − 𝛽) af Eenheid 2 Formules vir cos(𝛼 + 𝛽) en 𝑠𝑖𝑛(𝛼 ± 𝛽) Eenheid 3 Dubbelhoeke Eenheid 4 Identiteite Eenheid 5 Vergelykings Eenheid 6 Trigonometriese grafieke en saamgestelde hoeke Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 47 Hoofstuk 6 Oplossing van probleme in drie dimensies ...................................... 49 OORSIG ..................................................................................................................................... 49 Eenheid 1 Probleme in drie dimensies Eenheid 2 Saamgestelde hoek-formules in drie dimensies Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 52 © Via Afrika ›› Wiskunde Graad 12 1

Exponents and Surds Hoofstuk 7 Polinome ....................................................................................... 54 OORSIG ..................................................................................................................................... 54 Eenheid 1 Die resstelling Eenheid 2 Die faktorstelling Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 58 Hoofstuk 8 Differensiaalrekene ........................................................................ 59 OORSIG ..................................................................................................................................... 59 Eenheid 1 Limiete Eenheid 2 Die gradiënt van ’n grafiek by ’n punt Eenheid 3 Die afgeleide van ’n funksie Eenheid 4 Die vergelyking van ’n raaklyn aan ’n grafiek Eenheid 5 Die grafiek van ’n derdegraadse funksie Eenheid 6 Die tweede afgeleide (konkawiteit) Eenheid 7 Toepassings van differensiaalrekene Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 71 Hoofstuk 9 Analitiese meetkunde..................................................................... 73 OORSIG ..................................................................................................................................... 73 Eenheid 1 Vergelyking van ’n sirkel met middelpunt by die oorsprong Eenheid 2 Vergelyking van ’n sirkel weg van die oorsprong gesentreer Eenheid 3 Die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 78 Hoofstuk 10 Euklidiese meetkunde ................................................................... 82 OORSIG ..................................................................................................................................... 82 Eenheid 1 Eweredigheid in driehoeke Eenheid 2 Gelykvormigheid in driehoeke Eenheid 3 Stelling van Pythagoras Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 95 Hoofstuk 11 Statistiek: regressie en korrelasie.................................................. 98 OORSIG ..................................................................................................................................... 98 Eenheid 1 Simmetriese en skewe data Eenheid 1 Spreidingsdiagramme en korrelasie Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 107 Hoofstuk 12 Waarskynlikheid........................................................................... 110 OORSIG ..................................................................................................................................... 110 Eenheid 1 Oplossing van waarskynlikheidsprobleme Eenheid 2 Die telbeginsel Eenheid 3 Die telbeginsel en waarskynlikheid Gemengde oefeninge ............................................................................................................... 114 ANTWOORDE VIR GEMENGDE OEFENINGE ............................................................................................... 115 © Via Afrika ›› Wiskunde Graad 12 2

Exponents and Surds Inleiding tot Via Afrika Wiskunde Graad 12 Studiegids Woohoo! Jy het dit gehaal! As jy lees wat hier staan, beteken dit dat jy Graad 11 deurgekom het, en nou in Graad 12 is. Maar hoekom vir jou iets vertel wat jy reeds weet … Dit beteken ook dat jou onderwyser briljant genoeg was om die Via Afika Wiskunde Graad 12 Leerderboek te kies. Hierdie studiegids bevat opsommings van elke hoofstuk, en moet saam met die Leerderboek gebruik word. Dit bevat ook baie ekstra vrae om jou te help om die leermateriaal te bemeester. Wiskunde – nie vir toeskouers nie Jy sal niks leer as jy nie aktief betrokke raak by die leermateriaal nie. Doen die wiskunde, voel die wiskunde, en verstaan en gebruik dan die wiskunde. Verstaan die beginsels • Luister in klastyd Hierdie studiegids is uitstekend, maar dit is nie genoeg nie. Luister na jou onderwyser in die klas omdat jy 'n unieke of maklike manier om iets te doen, kan leer. • Bestudeer die notasie, grondig. Vir die verkeerde gebruik van notasie sal in toetse en eksamens punte afgetrek word. Gee aandag aan notasie in ons uitgewerkte voorbeelde. • Oefen, Oefen, Oefen, en Oefen nog eens. Jy moet soveel moontlik oefen. Hoe meer jy oefen, hoe beter voorbereid en meer selfversekerd sal jy vir die eksamens voel. Hierdie gids bevat baie ekstra oefengeleenthede. • Volhard. Ons kan nie almal Einsteins wees nie, en selfs oom Albert het gesukkel om sommige van die uiters gevorderde wiskunde te leer wat hy nodig gehad het om sy teorieë te formuleer. As jy dit nie dadelik verstaan nie, werk daaraan en oefen met soveel probleme in hierdie studiegids moontlik. Jy sal vind dat onderwerpe wat jou aanvanklik dronkgeslaan het, skielik vir jou verstaanbaar word. • Toon die regte ingesteldheid. Jy kan dit doen! Die VMI van Wiskunde VERMOë behels wat jy in staat is om te doen. MOTIVERING bepaal wat jy doen. INGESTELDHEID bepaal hoe goed jy dit doen. “Suiwer Wiskunde is, op sy eie manier, die poësie van logiese idees.” Albert Einstein © Via Afrika ›› Wiskunde Graad 12 3

1 Hoofstuk Getalpatrone, Rye en Reekse Oorsig Eenheid 1 Bladsy 10 Rekenkundige rye en reekse • Formule vir ’n rekenkundige ry Eenheid 2 Bladsy 14 Meetkundige rye en reekse • Formule vir die nde term van ’n ry Hoofstuk 1 Bladsy 8 Getalpatrone, Eenheid 3 Bladsy 18 Rye en Die som tot 𝑖 terme (𝑆𝑛 ): • Die som tot 𝑖 terme in ’n Reekse Sigma-notasie rekenkundige ry • Die som tot 𝑖 terme in ’n meetkundige ry Eenheid 4 Bladsy 28 Konvergensie en som tot • Konvergensie oneindigheid ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. 4 Doen die gemengde oefeninge aan die einde van hierdie hoofstuk in die studiegids. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 4

1 Hoofstuk Getalpatrone, Rye en Reekse TABEL 1: OPSOMMING VAN RYE EN REEKSE SOORT ALGEMENE TERM: 𝑇𝑛 SOM VAN TERME: 𝑆𝑛 VOORBEELDE A) 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; ... Rekenkundige ry (RR) 𝑇𝑛 = 𝑎 + (𝑖 − 1)𝑑 𝑆𝑛 𝑖 (word ook lineêre ry = [2𝑎 + (𝑖 − 1)𝑑] 𝑑= +3 +3 +3 𝑎 = 𝑐𝑐𝑟𝑠𝑡𝑐 𝑡𝑐𝑟𝑚 𝑇1 2 genoem) of 𝑖 𝑇𝑛 = 2 + (𝑖 − 1)(3) 𝑑 = 𝑘𝑜𝑖𝑠𝑡𝑎𝑖𝑡𝑐 𝑣𝑐𝑟𝑠𝑘𝑖𝑙 𝑆𝑛 = [𝑎 + 𝑙] = 2 + 3𝑖 − 3 Konstante 2 ste 𝑑 = 𝑇2 − 𝑇1 = 3𝑖 − 1 1 verskil waar 𝑜𝑓 𝑇3 − 𝑇2 , ens. 𝑙 = die laaste term B) 1 ; -4 ; -9 ; ... van die ry 𝑑 = -5 -5 𝑇𝑛 = 1 + (𝑖 − 1)(−5) = 1 − 5𝑖 + 5 = −5𝑖 + 6 𝑎(𝑟 𝑛 − 1) A) 2 ; -4 ; 8 ; -16 ; ... 𝑆𝑛 = Meetkundige ry (MR) 𝑇𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1 𝑟−1 (word ook eksponensiaalry 𝑟 = x-2 x-2 x-2 𝑎 = 𝑐𝑐𝑟𝑠𝑡𝑐 𝑡𝑐𝑟𝑚 𝑇1 Of genoem) 𝑎(1 − 𝑟 𝑛 ) 𝑆𝑛 = 𝑇𝑛 = 2(−2)𝑛−1 𝑟 = 𝑘𝑜𝑖𝑠𝑡𝑎𝑖𝑡𝑐 1−𝑟 KONVERGEER NIE as 𝑟 < −1 𝑣𝑐𝑟ℎ𝑜𝑢𝑑𝑖𝑖𝑔 1 nie Of 𝑆∞ = Konstante 1−𝑟 𝑇2 𝑇3 verhoudin 𝑟= 𝑜𝑓 Waar −1 < 𝑟 < 1 3 3 3 𝑇1 𝑇2 B) 3 ; ; ; ; ... g (konvergerende 2 4 8 reekse) 1 1 1 𝑟= x x x 2 2 2 1 𝑛−1 𝑇𝑛 = 3 � � 2 KONVERGEER as −1 < 𝑟 < 1 𝑇𝑛 = 𝑎𝑖2 + 𝑏𝑖 + 𝑐 3 ; 8 ; 16 ; 27 ; ... Kwadratiese ry (KR) 𝑓= 1ste verskil 𝑓: 5 8 11 𝑠= 2de verskil 𝑠: 3 3 Konstante Bepaal 𝑎, 𝑏 en 𝑐 de 2 verskil deur gelyktydige Stel drie vergelykings op deur vergelykings te die eerste drie terme te gebruik (sien gebruik: voorbeeld). 𝑇1 = 3: 3=𝑎+𝑏+𝑐 …(1) Alternatiewelik: 𝑇2 = 8: 𝑎 =𝑠÷2 8 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 …(2) 𝑏 = 𝑓1 − 3𝑎 𝑇3 = 16: 𝑐 = 𝑇1 − 𝑎 − 𝑏 16 = 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 …(3) waar ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 5

1 Hoofstuk Getalpatrone, Rye en Reekse 𝑓1 = eerste term van Gelyktydige oplossing lei tot: eerste verskil 𝑇𝑛 = 32𝑖2 + 12𝑖 + 1 SOORT VRAE WAT JY KAN STRATEGIE OM HIERDIE SOORT VOORBEELD(E) VAN HIERDIE VERWAG VRAAG TE BEANTWOORD SOORT VRAAG Identifiseer enige van die Bepaal of ry die volgende het: Sien Tabel 1 hierbo. volgende drie soorte rye: • konstante 1ste verskil (RR) rekenkundige ry (RR), • konstante verhouding (MR) meetkundige ry (MR) en • konstante 2de verskil (KR) kwadratiese ry (KR). Bepaal die formule vir die Jy moet die volgende bepaal: Sien Tabel 1 hierbo. algemene term, 𝑇𝑛 , van RR, • 𝑎 en 𝑑 vir ŉ RR MR en KR (uit Graad 11). • 𝑎 en 𝑟 vir ŉ MR • 𝑎, 𝑏 en 𝑐 vir ŉ KR. Bepaal enige spesifieke term Vervang die waarde van 𝑖 in 𝑇𝑛 . Sien Handboek: vir ’n ry, bv. 𝑇30 . Voorbeeld 1, nr. 1 d en 2 d, bl. 8 (RR) Voorbeeld 1, nr. 1 b, 3 b, bl. 11 (RR) Voorbeeld 1, nr. 1, bl. 15 (MR) Bepaal die aantal terme in ’n Vervang alle bekende veranderlikes Sien Handboek: ry, 𝑖, vir ’n RR, MR en KR, of in die algemene term om ’n Voorbeeld 1, nr.1 c, bl. 8 die posisie, 𝑖, van ’n vergelyking met 𝒔 as die enigste Voorbeeld 1, nr.1 c, bl. 11 spesifieke gegewe term of onbekende te kry. Los op vir 𝑖. Voorbeeld 1, nr. 3, bl. 15 wanneer die som van die OF reekse gegee word. Vervang alle bekende veranderlikes in die 𝑆𝑛 -formule om ’n vergelyking met 𝒔 as die enigste onbekende te kry. Los op vir 𝑖. Voorbeeld 2, nr. 3, bl. 20 Voorbeeld 3, nr. 2, bl. 24 Onthou: 𝑖 moet ’n natuurlike getal wees (nie negatief nie, nie ŉ breuk nie) Wanneer twee stelle inligting Vir elke stel inligting wat gegee Sien Handboek: gegee word, gebruik jy word, vervang jy die waardes van 𝑖 Voorbeeld 1, nr. 3, bl. 11 (RR) gelyktydige vergelykings om en 𝑇𝑛 of 𝑖 en 𝑆𝑛 . Voorbeeld 1, nr.2, bl. 15 (RR) op te los: Voorbeeld 3, nr.3, bl. 24 (MR) 𝒂 en 𝒅 (vir ’n RR) Jy het dan 2 vergelykings wat jy 𝒂 en 𝒓 (vir ’n MR). gelyktydig kan oplos (deur vervanging). Bepaal die waarde van ’n Vir RR gebruik jy ’n konstante Die eerste drie terme van ’n veranderlike (𝑥) wanneer ’n ry verskil: RR word gegee deur in terme van 𝑥 gegee word. 𝑇3 − 𝑇2 = 𝑇2 − 𝑇1 2𝑥 − 4; 𝑥 − 3; 8 − 2𝑥 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 6

1 Hoofstuk Getalpatrone, Rye en Reekse Bepaal 𝑥: Vir MR gebruik jy ’n konstante 8 − 2𝑥 − (𝑥 − 3) = 𝑥 − 3 − (2𝑥 − 4) verhouding: ∴𝑥=5 𝑇2 𝑇3 = 𝑇1 𝑇2 Vir ’n reeks gegee in sigma- Onthou: ∑𝑛𝑘=1 𝑇𝑘 het 𝑖 terme notasie: Die “teller” dui die aantal terme in (teller 𝑘 loop van 1 tot 𝑖) • Bepaal die aantal terme. die reeks aan. ∑𝑛𝑘=0 𝑇𝑘 het (𝑖 + 1) terme (teller loop van 0 tot 𝑖; dus een term ekstra) ∑𝑛𝑘=5 𝑇𝑘 het (𝑖 − 4) terme • Bepaal die waarde van die Onthou, die uitdrukking langs die ∑- (vier terme nie getel nie) reeks, met ander woorde, teken is die algemene term, 𝑇𝑛 . Dit 𝑆𝑛 . sal jou help om 𝑎 en 𝑑 of 𝑟 te Sien Handboek: bepaal. Voorbeeld 1, bl. 19 Skryf ’n gegewe reeks in Bepaal die algemene term, 𝑇𝑘 en Voorbeeld 1, bl. 19 sigma-notasie. aantal terme, 𝑖 en vervang in ∑𝑛𝑘=1 𝑇𝑘 . Bepaal die som, 𝑺𝒔 , van ’n RR In sommige gevalle moet jy eers Sien Handboek: en ’n MR (wanneer die aantal 𝑇𝑛 gebruik om die aantal terme, 𝑖, terme gegee word of nie te bepaal. Voorbeeld 2, nr. 1 & 2, bl. 20 gegee word nie). Vervang die waarde van 𝑎, 𝑖 en 𝑑/𝑟 Voorbeeld 3, nr. 1, bl. 24 in die formule vir 𝑆𝑛 . Bepaal of ’n MR konvergeer of Konvergeer as −1 < 𝑟 < 1 nie. Bepaal 𝑆∞ vir ’n Vervang die waarde van 𝑎 en 𝑟 Sien Handboek: konvergerende MR. in die formule vir 𝑆∞ . Voorbeeld 1, nr. 1, bl. 29 Bepaal die waarde van ’n Bepaal 𝑟 in terme van 𝑥 Sien Handboek: veranderlike (𝑥) waarvoor ’n en gebruik −1 < 𝑟 < 1. Voorbeeld 1, nr. 3, bl. 29 reeks sal konvergeer, bv. (2𝑥 + 1) + (2𝑥 + 1)2 +… Pas jou kennis van rye en Skep ŉ ry terme uit die gegewe Sien Handboek: reekse op ’n toegepaste inligting. Identifiseer die soort ry. Oefening 5, nr. 6, bl. 30 voorbeeld toe (wat dikwels diagram(me) behels). Gemengde oefening oor Rye en Reekse 1 Bestudeer die volgende ry: 5; 9; 13; 17; 21; … a Bepaal die algemene term. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 7

1 Hoofstuk Getalpatrone, Rye en Reekse b Watter term is gelyk aan 217? 2 a T5 van ’n meetkundige ry is 9 en T9 is 729. Bepaal die konstante verhouding. b Bepaal T10. 3 Die volgende is ’n rekenkundige ry: 2 x − 4 ; 5 x ; 7 x − 4 a Bepaal die waarde van x . b Bepaal die eerste 3 terme. 4 Bestudeer die volgende ry: 2 ; 7 ; 15 ; 26 ; 40 ; … a Bepaal die algemene term. b Watter term is gelyk aan 260? 5 Hoeveel terme is daar in die volgende ry? 17 ; 14 ; 11 ; 8 ; … ; -2785 6 Tom verbind balle met stawe in rangskikkings soos hieronder getoon: Rangskikking 1 Rangskikking 2 Rangskikking 3 Rangskikking 4 1 bal, 4 stawe 4 balle, 12 stawe 9 balle, 24 stawe 16 balle, 40 stawe a Bepaal die aantal balle in die nde rangskikking. b Bepaal die aantal stawe in die nde rangskikking. 7 Bepaal die volgende: 30 10 1 a ∑ (8 − 5k) k =1 b ∑ 4 (2)𝑘−1 k =2 8 Skryf die volgende in sigma-notasie: 1+5+9+…+21 9 Die 5de term van ’n rekenkundige ry is nul en die 13de term is gelyk aan 12. Bepaal: a die konstante verskil en die eerste term b die som van die eerste 21 terme. 10 Die eerste twee terme van ’n meetkundige ry is: (𝑥 + 3) en (𝑥 2 − 9). a Vir watter waarde van 𝑥 is dit ’n konvergerende ry? b Bereken die waarde van 𝑥 as die som van die reeks tot oneindigheid 13 is. 99+97+95+⋯+1 11 Bereken die waarde van: 299+297+295+⋯+201 12 𝑆𝑛 = 3𝑖2 − 2𝑖. Bepaal 𝑇9 . ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 8

1 Hoofstuk Getalpatrone, Rye en Reekse 13 Die eerste vier terme van ’n meetkundige ry is 7; 𝑥 ; 𝑦 ; 189. a Bepaal die waardes van 𝑥 en 𝑦. b As die konstante verhouding 3 is, maak gebruik van ’n gepaste formule om die aantal terme in die ry te bepaal wat ’n som van 206 668 sal gee. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 9

Hoofstuk 2 Funksies Oorsig Eenheid 1 Bladsy 40 Die definisie van ’n funksie • Relasies en funksies • Soorte relasies • Watter relasies is funksies? • Definisie van ŉ funksie • Funksienotasie Eenheid 2 Bladsy 44 Die inverse van ’n funksie • Die begrip inverses deur Hoofstuk 2 Bladsy 36 stelle geordende Funksies getallepare te bestudeer Eenheid 3 Bladsy 46 Die inverse van 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑞 • Grafieke van 𝑓 en 𝑓 −1 op dieselfde assestelsel Eenheid 4 Bladsy 48 Die inverse van die kwadratiese • Beperking van die funksie 𝑦 = 𝑎𝑥 2 definisieversameling van die parabool ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. 4 Doen die gemengde oefeninge aan die einde van hierdie hoofstuk in die studiegids. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 10

Hoofstuk 2 Funksies SOORTE RELASIES TUSSEN TWEE VERANDERLIKES SOORT BESKRYWING EIENSKAPPE TIPIESE VOORBEELDE NIE-FUNKSIES Een-tot-baie • Een 𝑥-waarde in die • Inverse van ’n definisieversameling het MEER parabool AS EEN 𝑦-waarde (Sien Eenheid 4) • Slaag NIE die vertikale lyn-toets NIE FUNKSIES Een-tot-een • Elke 𝑥-waarde het ’n unieke 𝑦- • Reguitlyngrafiek en sy waarde inverse • Geen 𝑥- of 𝑦-waarde verskyn • Hiperbool en sy meer as een keer in die inverse definisieversameling of • Eksponensiaal- waardeversameling nie grafiek en sy inverse, • Slaag die vertikale lyn-toets die logaritmiese funksie Baie-tot-een • Geen 𝑥-waarde verskyn meer as • Parabool een keer in die • Grafiek van die definisieversameling nie kubieke funksie • Meer as een 𝑥-waarde beeld op • Trigonometriese dieselfde 𝑦-waarde af grafieke • Slaag die vertikale lyn-toets ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 11

Hoofstuk2 Funksies HERSIENING VAN DIE REGUITLYNGRAFIEK Standaardvorm: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄 𝒎 𝒄 • Gradiënt van lyn • 𝑦-afsnit • Dui “steilheid” en rigting • Waar 𝑥 = 0 van lyn aan: 𝑚 > 0 (+) 𝑚 < 0(−) EWEWYDIGE LYNE EN LOODLYNE 𝑚=0 𝑦 −𝑦 • 𝑚 = 𝑥2 −𝑥1 Laat 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑐1 en 2 1 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑐2 twee lyne wees. As die lyne EWEWYDIG is, dan is: 𝑚1 = 𝑚2 . As die lyne LOODLYNE is, dan is: 𝑚1 × 𝑚2 = −1. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 12

Hoofstuk 2 Funksies HOE OM DIE VERGELYKING VAN ’N REGUITLYN TE BEPAAL GEGEE VOORBEELDE 1 1. Gradiënt en ’n punt ’n Lyn het ’n gradiënt van en gaan deur die punt (4;1): 2 1 𝑚= 2 1 Vervang punt (4;1) in 𝑦 = 𝑥 + 𝑐 2 1 1 = (4) + 𝑐 2 𝑐 = −1 1 𝑦 = 𝑥−1 2 2. 𝒚-afsnit en ’n punt ’n Lyn het ’n 𝑦-afsnit 3 en gaan deur die punt (-2;1): 𝑐=3 Vervang punt (-2;1) in 𝑦 = 𝑚𝑥 + 3 1 = 𝑚(−2) + 3 𝑚=1 𝑦 =𝑥+3 3. Twee punte op die lyn ’n Lyn gaan deur die punte (4;-3) en (2;1). 𝑦 −𝑦 1−(−3) 𝑚 = 𝑥2 −𝑥1 = 4−(2) = 2 2 1 Vervang enige een van die twee punte in 𝑦 = 2𝑥 + 𝑐 1=2(2)+c 𝑐 = −3 𝑦 = 2𝑥 − 3 4. ’n Punt of 𝒚-afsnit plus a) ’n Lyn is ewewydig aan die lyn 𝑦 = −𝑥 + 3 en gaan inligting oor verwantskap met deur die punt (5;-2). ’n ander lyn Ewewydige lyne het dieselfde gradiënt; dus 𝑚 = −1 Vervang (5;-2) in 𝑦 = −𝑥 + 𝑐 −2 = −(5) + 𝑐 𝑐=3 b) ’n Lyn is loodreg op die lyn 𝑦 = 2𝑥 − 1 en het ’n 𝑦- afsnit van 4. Loodlyne het ’n gradiënt met ’n produk van −𝟏. 1 𝑚 × 2 = −1 ∴𝑚=− 2 −1 𝑦= 𝑥+4 2 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 13

Hoofstuk2 Funksies HERSIENING VAN DIE PARABOOL VERGELYKING IN STANDAARDVORM 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 (𝒂 ≠ 𝟎) 𝒄 𝒂 • 𝑦-afsnit Dui vorm van parabool aan • Waar 𝑥 = 0 𝒂 > 0 (+) Konkaaf op  Onthou: Positief (+) ŉ mens glimlag! 𝒃 𝒂 < 0(−) Konkaaf af • Affekteer die simmetrie-as en draaipunt (DP)  𝑏 • Vergelyking van simmetrie-as: 𝑥 = − 2𝑎 𝑏 4𝑎𝑎−𝑏2 • Koördinate van DP �− 2𝑎 ; 4𝑎 � Onthou: Negatief ( − ) ŉ mens is hartseer! 𝒙-afsnitte • Word ook wortels/nulle genoem ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 14

Hoofstuk2 Funksies VERGELYKING IN DRAAIPUNTVORM 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒑)𝟐 + 𝒒 (𝒂 ≠ 𝟎) 𝒂 Dui vorm van parabool aan 𝒑 en 𝒒 𝒂 > 0 (+) Konkaaf op  • Vergelyking van simmetrie-as 𝒙 = 𝒑 Onthou: • Koördinate van draaipunt (𝒑; 𝒒) Positief (+) ŉ mens glimlag! 𝒂 < 0(−) Konkaaf af Afsnitte • 𝑥-afsnitte (maak 𝑦 = 0)  • 𝑦-afsnit (maak 𝑥 = 0) Onthou: Negatief (−) ŉ mens is h ! DEFINISIEVERSAMELING: 𝑥 ∈ 𝑅 WAARDEVERSAMELING: 𝑦 ∈ (−∞; 𝑞) 𝑦 ∈ (𝑞; ∞) ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 15

Hoofstuk2 Funksies BEPAAL DIE VERGELYKING VAN ’N PARABOOL GEGEE: 2 WORTELS (𝒙-AFSNITTE) PLUS 1 PUNT GEGEE: DRAAIPUNT PLUS 1 PUNT VORM VAN VERGELYKING: VORM VAN VERGELYKING: 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 𝒙𝟏 en 𝒙𝟐 is die wortels (𝑝; 𝑞) is die draaipunt van die parabool VOORBEELD: VOORBEELD: y y 5 (2;6) x (−1;2) −1 3 x 𝒙𝟏 = −𝟏 𝒙𝟐 = 𝟏 (𝑝; 𝑞) = (−1; 2) 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝)2 + 𝑞 𝒚 = 𝒂(𝒙 − (−𝟏))(𝒙 − 𝟏) 2 𝑦 = 𝑎�𝑥 − (−1)� + 2 𝒚 = 𝒂(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) 𝑦 = 𝑎(𝑥 + 1)2 + 2 Vervang nou die ander punt (𝟐; 𝟔): Vervang nou die punt (0;5): 𝟔 = 𝒂(𝟐 + 𝟏)(𝟐 − 𝟏) 5 = 𝑎(0 + 1)2 + 2 𝟔 = 𝒂(𝟏)(−𝟏) 5=𝑎+2 𝟔 = −𝟏𝒂 3=𝑎 −𝟐 = 𝒂 𝑦 = 3(𝑥 + 1)2 + 2 𝒚 = −𝟐(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) 𝑦 = 3(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + 2 𝒚 = −𝟐�𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏� 𝑦 = 3𝑥 2 + 6𝑥 + 3 + 2 𝒚 = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟔 (standaardvorm) 𝑦 = 3𝑥 2 + 6𝑥 + 5 (standaardvorm) ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 16

Hoofstuk2 Funksies HERSIENING VAN DIE HIPERBOOL Standaardvorm: 𝒂 𝒚 = 𝒙−𝒑 + 𝒒 𝒒 𝒂 Horisontale asimptoot Dui vorm van hiperbool aan 𝒚=𝒒 (na aanleiding van asimptote) 𝒂 > 0 (+) 𝒑 Vertikale asimptoot Afsnitte 𝒙=𝒑 • 𝑥-afsnit (maak 𝑦 = 0) 𝒂 < 0(−) • 𝑦-afsnit (maak 𝑥 = 0) Definisieversameling: 𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≠ 𝑝 Waardeversameling: 2 VOORBEELD: 𝑦 = 𝑥−1 − 2 𝑦-afsnit: Simmetrie-asse: 2 𝑦= − 2 = −4 −1 Vervang (1; −2) in Simmetrie-asse (SA) 𝑥- afsnit: 0 = 2 − 𝑦 = 𝑥 + 𝑘1 𝑐𝑖 𝑦 = −𝑥 + 𝑘2 𝑥−1 2 ;𝑥 = 2 • Twee simmetrie-asse −2 = 1 + 𝑘1 𝑐𝑖 − 2 = −1 + 𝑘2 • SA gaan deur die afsnit van Asimptote: 𝑘1 = −3 𝑐𝑖 𝑘2 = −1 𝑥 = 1 𝑐𝑖 𝑦 = −2 𝑦 = 𝑥 − 3 𝑐𝑖 𝑦 = −𝑥 − 1 die asimptote (𝑝; 𝑞) y • Vergelykings: 𝑦 = 𝑥 + 𝑘1 en 𝑦 = −𝑥 + 𝑘2 x 1 2 • Vervang die punt (𝑝; 𝑞) om −2 𝑘1 en 𝑘2 te bereken −4 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 17

Hoofstuk2 Funksies HERSIENING VAN DIE EKSPONENSIAALGRAFIEK 𝒚 = 𝒂𝒙−𝒑 + 𝒒 𝒂 Dui vorm van hiperbool aan 𝒂>𝟏 𝒒 • Horisontale asimptoot: 𝑦 = 𝑝 𝟎<𝒂<1 • Dui aan dat die grafiek 𝑦 = 𝑎 𝑥 vertikaal boontoe/ondertoe getransleer is (geskuif het) 𝒒 > 0: het boontoe geskuif 𝒑 VOORBEELD: 𝑦 = 2𝑥+1 − 1 𝑥 Dui aan dat die grafiek 𝑦 = 𝑎 horisontaal Asimptoot: 𝑦 = −1 na links/regs getransleer is (geskuif het) 𝑥-afsnit (𝑦 = 0): 2𝑥+1 − 1 = 0 ∴ 𝑥 = −1 0+1 𝒑 > 0: het na links geskuif 𝑦-afsnit: (𝑥 = 0): 𝑦 = 2 −1=1 𝒑 < 0: het na regs geskuif y Afsnitte 1 • 𝑥-afsnit (maak 𝑦 = 0) x • 𝑦-afsnit (maak 𝑥 = 0) −1 −1 Definisieversameling: 𝑥 ∈ 𝑅 Waardeversameling: 𝑦 ∈ (𝑞; ∞) ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 18

Hoofstuk2 Funksies VOORBEELDE VAN SIMMETRIESE EKSPONENSIAALGRAFIEKE SIMMETRIES IN DIE 𝑦-AS y 𝑥 1 𝑦 = 3𝑥 𝑦 = � � = 3−𝑥 3 x SIMMETRIES IN DIE 𝑥-AS y 𝑦 = 3𝑥 x 𝑦 = −3𝑥 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 19

Hoofstuk2 Funksies SNYDING VAN TWEE GRAFIEKE Gebruik GELYKTYDIGE VERGELYKINGS om die koördinate van die SNYPUNT van twee grafieke te bepaal. VOORBEELD Bepaal die koördinate van die snypunte van 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6 en 𝑔(𝑥) = −2𝑥 2 + 3𝑥 + 14 Stel die twee vergelykings gelyk en los op vir 𝒙: 3𝑥 + 6 = −2𝑥 2 + 3𝑥 + 14 2𝑥 2 − 8 = 0 𝑥2 − 4 = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0 𝑥 = 2 of 𝑥 = −2 Vervang 𝒙-waardes terug in een van die vergelykings (kies die maklikste een). As 𝑥 = 2, dan 𝑦 = 3(2) + 6 = 12 Dus is een snypunt (2; 12). As 𝑥 = −2, dan 𝑦 = 3(−2) + 6 = 0 Die ander snypunt is (−2; 0), wat ook die 𝑥- afsnit van albei grafieke is. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 20

Hoofstuk2 Funksies DIE INVERSE VAN ’N FUNKSIE • Die inverse van ŉ funksie, 𝑓, word aangedui deur 𝑓 −1 . • 𝑓 −1 is ŉ refleksievan 𝑓in die lyn 𝑦 = 𝑥. • Om die vergelyking van 𝑓 −1 te bepaal, ruil jy 𝑥 en 𝑦 in die vergelyking van 𝑓 om. • Die 𝑥-afsnit van 𝑓 is die 𝑦-afsnit van 𝑓 −1 . • Die 𝑦-afsnit van 𝑓 is die 𝑥-afsnit van 𝑓 −1 . FUNKSIE 𝒇 INVERSE VAN VOORBEELDE DIAGRAM FUNKSIE, 𝒇−𝟏 Reguitlyn Reguitlyn 𝑓: 𝑦 = 2𝑥 + 3 y f 𝒇: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄 Inverse: 2𝑦 + 3 = 𝑥 x −1 1 3 𝑓 : 𝑦 = 2𝑥−2 Eksponensiaal- Logaritmiese 𝑓: 𝑦 = 3𝑥 y f grafiek funksie Inverse: 𝒙 −1 𝒇: 𝒚 = 𝒂 𝑓 : 𝑦 = log 𝑎 𝑥 𝑓 −1 : 𝑦 = log 3 𝑥 x ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 21

Hoofstuk2 Funksies Parabool Die inverse van ’n 𝑓: 𝑦 = 2𝑥 2 parabool is NIE ’N y 𝒇: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 FUNKSIE NIE. Inverse: 𝑥 = 2𝑦 2 NB: Die DEFINISIE- 1 VERSAMELING van 𝑦2 = 𝑥 2 die parabool moet 1 x tot 𝑓 −1 : ±� 𝑥 2 𝑥 ≥ 0 of 𝑥 ≤ 0 BEPERK word sodat 𝑓 −1 ook ’n funksie is. Gemengde oefening oor Funksies 1 Bepaal die koördinate van die afsnit van die volgende twee lyne: 2𝑥 − 3𝑦 = 17 3𝑥 − 𝑦 = 15 4 y f 2 a Bepaal die vergelyking van lyn 𝑓. 3 b Bepaal die vergelyking van lyn 𝑔. P 1 c Bepaal die koördinate van punt P, x waar die twee lyne sny. −4 −3 4 d Is hierdie twee lyne loodlyne? (2;-1) Gee ’n rede vir jou antwoord. e Gee die vergelyking van die lyn g wat ewewydig aan lyn 𝑔 is met ’n 𝑦-afsnit −4 van -2. 2 3 Die diagram toon die grafieke van y = x − 2 x − 3 y en y = mx + c . a Bepaal die lengte van OA, OB en OC. b Bepaal die koördinate van die draaipunt D. A B x c Bepaal 𝑚 en 𝑐 van die reguitlyn. d Gebruik die grafiek om te bepaal vir watter waardes C van k die vergelyking x 2 − 2 x + k = 0 D net een reële wortel sal hê. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 22

Hoofstuk2 Funksies C 4 Die diagram toon die grafiek van f ( x) = −2( x + 1)2 + 8 . C is die draaipunt. E D E is die spieëlbeeld van die y-afsnit van 𝑓. Bepaal: a die lengte van AB. b die koördinate van C. A B x c die lengte van DE. 1 𝑥 5 Bestudeer die funksie 𝑔(𝑥) = � � − 2. 2 a Maak ’n tekening van 𝑔. Dui die asimptoot en afsnitte met die asse duidelik aan. b Bepaal die definisieversameling van 𝑔. c Vir watter waardes van 𝑥 sal 𝑔(𝑥) ≥ 0 wees? y 𝑎 6 Die grafiek van 𝑓(𝑥) = ; 𝑥 ≠ 0 verskyn regs. 𝑥 𝐴(−2; 2) is ’n punt op die grafiek waar dit die lyn 𝑦 = −𝑥 sny. a Bepaal die waarde van 𝑎. A(−2;2) x b Skryf die koördinate van B neer. f B c Grafiek 𝑓 word 2 eenhede boontoe en 1 eenheid na regs getransleer. Skryf die vergelyking van die nuwe grafiek neer. 7 Die grafieke van die volgende verskyn regs: 1 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 2𝑥 + 8 en 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 2 Bepaal: a die koördinate van A E y b die koördinate van B en C F A c die lengte van CD R d die lengte van DE wat ewewydig aan die 𝑦-as is f e die lengte van AF wat ewewydig aan die 𝑥-as is f die lengte van GH wat ewewydig aan die 𝑦-as is H x B D C g die 𝑥-waarde waarvoor RS ’n maksimum lengte sal hê h die maksimum lengte van RS G S g i die 𝑥-waardes waarvoor 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) > 0. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 23

Hoofstuk2 Funksies 8 Die diagram regs toon die grafieke van die funksies van y (2 ;5 ) 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑎𝑖𝑑 𝑔(𝑥) = +𝑞 f 𝑥+𝑝 a Skryf die vergelyking van die asimptoot van 𝑓 neer. b Bepaal die vergelyking van 𝑓. B(−6 ;0 ) −2 x c Skryf die vergelykings van die asimptote van 𝑔 neer. −1 d Bepaal die vergelyking van 𝑔. g e Gee die vergelykings van die simmetrie-asse van 𝑔. A(0 ;−3 ) f Vir watter waardes van 𝑥 is 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥)? −4 9 Die grafiek van 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 word gegee. y −1 a Bepaal die vergelyking van 𝑓 in die vorm 𝑓 −1 : 𝑦 = ⋯ b Hoe kan ’n mens die definisieversameling van 𝑓 beperk sodat 𝑓 −1 ’n funksie sal wees? f(x)=2x² x 10 Die grafiek van 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 word gegee. 3 y Die punt A (-1; 3) lê op die grafiek. 2 1 a Bepaal die vergelyking van 𝑓. x −3 −2 −1 1 2 3 b Bepaal die vergelyking van 𝑓 −1 in die vorm 𝑓 −1 : 𝑦 = ⋯ −1 c Maak ŉ netjiesetekening van die grafiek van 𝑓 −1. −2 d Bepaal die definisieversameling van 𝑓 −1 . −3 11 ’n Reguitlyngrafiek het ’n 𝑥-afsnit van -2 en ’n 𝑦-afsnit van 3. Skryf die koördinate van die 𝑥- en 𝑦-afsnit van 𝑓 −1 neer. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 24

Hoofstuk3 Logaritmes Oorsig Eenheid 1 Bladsy 60 Die definisie van ’n logaritme • Verandering van eksponente na die logaritmiese vorm • Bewyse van die logaritmewette Eenheid 2 Bladsy 64 Hoofstuk 3 Bladsy 58 Los op vir 𝑥: 𝑏 𝑥 = 𝑎𝑚 , • Die gebruik van Logaritmes waar 𝑏 ≠ 𝑎 logaritmes Eenheid 3 Bladsy 66 Die grafiek van 𝑦 = 𝑏 𝑥 , waar • Inverse van 𝑏 > 1 en 0 < 𝑏 < 1 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 • Inverse van die funksie 1 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) = � � 2 ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. 4 Doen die gemengde oefeninge aan die einde van hierdie hoofstuk in die studiegids. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 25

Hoofstuk3 Logaritmes Definisie van logaritme As log 𝒃 𝒙 = 𝒚, dan 𝒃𝒚 = 𝒙. VOORBEELDE: Herleiding van een vorm na ’n ander Logaritmiese vorm Eksponensiaalvorm log 𝟏 𝟐𝟒𝟏 = 𝟓 𝟏𝟓 = 𝟐𝟒𝟏 log 𝟎,𝟓 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏 𝟎, 𝟓𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 log 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟏 𝟏𝟎𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟏 𝟏𝟐 = √𝟏 log 𝟏 √𝟏 = 𝟐 LOGARITMEWET VOORBEELDE • log 𝑘 𝑎𝑏𝑐 = log 𝑘 𝑎 + log 𝑘 𝑏 + log 𝑘 𝑐 Wet 1: 𝐥𝐥𝐥 𝒎 𝑨. 𝑩 = 𝐥𝐥𝐥 𝒎 𝑨 + 𝐥𝐥𝐥 𝒎 𝑩 • log 5 25.5 = log 5 25 + log 5 5 = 2 + 1 = 3 𝑦 • log 𝑚 𝑧 = log 𝑚 𝑦 − log 𝑚 𝑧 𝑨 Wet 2: 𝐥𝐥𝐥 𝒎 𝑩 = 𝐥𝐥𝐥 𝒎 𝑨 − 𝐥𝐥𝐥 𝒎 𝑩 0,2 • log 5 = log 5 0,2 − log 5 25 25 = log 5 5−1 − log 5 25 = −1 − 2 = −3 • log 𝑦 𝑎3 = 3 log 𝑦 𝑎 Wet 3: 𝐥𝐥𝐥 𝒙 𝑷𝒚 = 𝒚 𝐥𝐥𝐥 𝒙 𝑷 • log 5 0,04 = log 5 5−2 = −2 log 5 5 = −2 log 𝑎 • log 𝑏 𝑎 = log 𝑏 𝐥𝐥𝐥 𝒂 Wet 4: 𝐥𝐥𝐥 𝒃 𝒂 = 𝐥𝐥𝐥 𝒃 log 5 • log 2 5 = log 2 = 2,32 Let Wel: • log 𝑎 𝑎 = 1 (𝑎 ≠ 0) • log 𝑎 1 = 0 • log 𝑎 = log 𝟏𝟎 𝑎 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 26

Hoofstuk3 Logaritmes DIE GEBRUIK VAN LOGARITMES OM VERGELYKINGS OP TE LOS Ons weet vergelykings met eksponente kan met behulp van eksponentwette opgelos word: 𝟐𝒙 = 𝟏𝟏𝟏 𝟐𝒙 = 𝟐𝟕 (priem faktoriseer) ∴𝒙=𝟕 Maar, wat as ons nie priem faktore kan gebruik nie? 𝟐𝒙 = 𝟏𝟏 𝐥𝐥𝐥 𝟐𝒙 = 𝐥𝐥𝐥 𝟏𝟏 𝒙𝐥𝐥𝐥 𝟐 = 𝐥𝐥𝐥 𝟏𝟏 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 27

Hoofstuk3 Logaritmes DIE INVERSE VAN DIE EKSPONENSIAALGRAFIEK Die inverse van die eksponensiaalgrafiek 𝑓: 𝑦 = 𝑎 𝑥 is die logaritmiese funksie 𝑓 −1 : 𝑦 = log 𝑎 𝑥 ; 𝑥 > 0. VOORBEELDE −1 𝑓(ROOI GRAFIEK) 𝑓 (BLOU GRAFIEK) DIAGRAM y 1 𝒙 𝒚=𝟒 𝒚 = 𝐥𝐥𝐥 𝟒 𝒙 x 1 y 𝟏𝒙 𝒚 = 𝐥𝐥𝐥 𝟏 𝒙 𝒚= 1 𝟒 𝟒 x 1 y 𝒚 = −𝟒𝒙 −1 𝒚 = 𝐥𝐥𝐥 𝟒 (−𝒙) x −1 y 𝟏𝒙 𝒚 = 𝐥𝐥𝐥 𝟏 (−𝒙) −1 x 𝒚=− 𝟒 𝟒 −1 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 28

Hoofstuk3 Logaritmes Gemengde oefening oor Logaritmes 1 Maak gebruik van die definisie van die logaritme om vir 𝑥 op te los: a log 3 𝑥 = 2 b log 1 𝑥 = 2 3 c − log 4 𝑥 = 2 d log 5 𝑥 = −2 e log 𝑥 3 = 6 f log 3 81 = 𝑥 1 g log 3 = 𝑥 9 9 2 Die grafiek van 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 gaan deur die punt �2; �. 4 a Bepaal die waarde van 𝑎. b Bepaal die vergelyking van 𝑓 −1. c Bepaal die vergelyking van 𝑔 as 𝑓 en 𝑔 simmetries in die 𝑦-as is. d Bepaal die vergelyking van ℎ, die refleksie van 𝑓 −1 in die 𝑥-as. 3 Die funksie 𝑓 word deur die grafiek 𝑓(𝑥) = log 2 𝑥 gegee. a Bepaal die vergelykings van die volgende grafieke: i 𝑔, die refleksie van 𝑓 in die 𝑥-as ii 𝑝, die refleksie van 𝑓 in die 𝑦-as iii 𝑞, die refleksie van 𝑔 in die 𝑦-as iv 𝑓 −1 , die inverse van 𝑓 v 𝑔−1 , die inverse van 𝑔 vi ℎ, die translasie van 𝑓 twee eenhede na links. b Skets die grafieke van 𝑓, 𝑓 −1 , 𝑔 en 𝑔−1 op dieselfde assestelsel. c Bepaal die definisieversameling en waardeversameling van 𝑓 −1 en 𝑔−1 . y 4 Die grafiek van 𝑦 = log 𝑏 𝑥 verskyn regs. a Bepaal die koördinate van punt A. B b Hoe weet ons dat 𝑏 > 1? 3 c Bepaal 𝑏 as B die punt �8; � is. x 2 A d Bepaal die vergelyking van 𝑔, die inverse van die grafiek. e Bepaal die waarde van 𝑎 as C die punt (𝑎; −2) is. C ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 29

4 Hoofstuk Finansies, Groei en Verval Oorsig Eenheid 1 Bladsy 78 Toekomstige waarde-annuïteite • Lei die toekomstige waarde-formule af Eenheid 2 Bladsy 82 Huidige waarde-annuïteite • Afleiding van die huidige waarde-formule Hoofstuk 4 Bladsy 76 Finansies, Groei Eenheid 3 Bladsy 86 en Verval Berekening van die tydperk • Bepaal die waarde van 𝑖 Eenheid 4 Bladsy 88 Ontleding van beleggings en • Uitstaande balanse op ’n lenings lening • Delgingsfonds • Piramideskemas ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 30

4 Hoofstuk Finansies, Groei en Verval HUURKOOPOOREENKOMSTE 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖𝑖) Voorbeeld: Kelvin koop rekenaartoerusting op huurkoop vir R20 000. Let Wel: Hy moet ’n deposito van 10% betaal en betaal die bedrag maandeliks oor 3 Enkelvoudige rente jaar af. Die rentekoers is 15% p.j. Deposito = 10% van R20 000 = R2 000. Hy moet altesaam 𝐴 = 18 000(1 + 0,15 × 𝟏) = 𝑅26 100 terugbetaal. 36 maandelikse paaiemente van R26 100÷ 36 = R725 elk. INFLASIE / VERHOGING IN PRYS OF WAARDE 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 Let Wel: Saamgestelde 𝑖= aantal jaar rente WAARDEVERMINDERING Kies die korrekte formule. Reglynige metode Afnemende balans-metode 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑖𝑖) 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑖)𝑛 𝑖= aantal jaar ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 31

4 Hoofstuk Finansies, Groei en Verval NOMINALE EN EFFEKTIEWE RENTEKOERS Let Wel: 𝒎 = die aantal keer per jaar wat rente bygetel word 𝑖𝑛𝑜𝑚 𝒎 �1 + 𝑖𝑒𝑓𝑓 � = �1 + � Daagliks: 𝑚 = 365 𝒎 Maandeliks: 𝑚 = 12 Kwartaalliks: 𝑚=4 VOORBEELD: Wat is die effektiewe koers as die nominale koers 18% p.j., kwartaalliks saamgestel, is? Met ander woorde: Watter koers, jaarliks saamgestel, sal dieselfde opbrengs gee as 18%, kwartaalliks saamgestel? 0,18 4 𝑖𝑒𝑓𝑓 = �1 + � −1 4 =0,1925186... Effektiewe koers = 19,25% TOEKOMSTIGE WAARDE-ANNUÏTEITE Die kies van die 𝑥[(1+𝑖)𝑛 −1] waarde van 𝒔 is 𝐹= KERNWOORDE: 𝑖 baie belangrik! • Gereelde beleggings (maandeliks/kwartaalliks , ens.) Voorbeeld 1 • Delgingsfondse • Annuïteit/pensioen Eerste paaiement oor een maand. Laaste paaiement oor een jaar. Nou 𝑖 = 12 Eerste paaiement Laaste paaiement ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 32

Hoofstuk4 Finansies, Groei en Verval Voorbeeld 2 Eerste paaiement onmiddellik. Laaste paaiement oor een jaar. Nou 𝑖 = 13 Eerste paaiement Laaste paaiement Voorbeeld 3 Aanvaar ’n belegging se uitkeerdatum is oor een jaar, maar die eerste paaiement is 2 maande gelede betaal en die laaste paaiement word oor een jaar betaal. Nou 𝑖 = 11 Eerste paaiement Laaste paaiement Voorbeeld 4 (Kyk mooi!) Die eerste paaiement word onmiddellik betaal, maar die laaste paaiement oor 9 maande. Nou 𝑖 = 10 Eerste paaiement Laaste paaiement 𝒙[(𝟏+𝒔)𝟏𝟎 −𝟏] 𝑭= (𝟏 + 𝒔)𝟏 MAAR die belegging verdien 𝒔 nog 3 maande rente voor dit uitbetaal word. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 33

4 Hoofstuk Finansies, Groei en Verval TOEKOMSTIGE WAARDE-ANNUÏTEITE 𝑥[1−(1+𝑖)−𝑛 ] 𝑃= 𝑖 KERNWOORDE Let Wel: Daar moet altyd EEN GAPING tussen die • Gereelde paaiemente P-waarde en die eerste (maandeliks/kwartaalliks, ens.) paaiement wees! • Lening (NIE HUURKOOP NIE) • Verband (huisverband) • Afbetaling van skuld • Hoe lank sal geld genoeg wees om Voorbeeld 1 gereelde inkomste te verskaf? Afbetaling begin een maand na die toekenning van die lening; die laaste paaiement oor een jaar. GAPING Nou 𝑖 = 12 Eerste paaiement Laaste paaiement 𝑥[1−(1+𝑖)−12 ] Toekenning van lening 𝑃= 𝑖 Voorbeeld 2 Afbetaling begin oor 3 maande. Die laaste paaiement word oor een jaar betaal. GAPING Nou 𝑖 = 12 − 2 = 10 Eerste paaiement Laaste paaiement Toekenning van lening 𝑥�1−(1+𝑖)−10 � Let Wel: Leningbedrag verdien rente vir 2 maande: 𝑃(𝟏 + 𝒔)𝟐 = 𝑖 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 34

4 Hoofstuk Finansies, Groei en Verval UITSTAANDE BALANS VAN LENING Opsie 2 Opsie 1 Gebruik A- en F-formule Gebruik P-formule 𝒔 = aantal paaiemente 𝒔 = aantal paaiemente oor reeds betaal Voorbeeld ’n Lening word oor 20 jaar in maandelikse paaiemente van R6 000 afbetaal. Die rentekoers is 15% p.j., maandeliks saamgestel. Wat is die uitstaande balans na 12½ jaar? Opsie 1 Uitstaande tydperk = 7½ jaar = 90 maande 0,15 −𝟗𝟎 6 000�1−�1+ � � 12 𝐵𝑎𝑙𝑎𝑖𝑠 = 0,15 12 Opsie 2 1 Paaiemente reeds betaal = 12 x 12 = 150 paaiemente reeds betaal 2 Uitstaande balans = 𝐴 − 𝐹 0,15 𝟏𝟓𝟎 0,15 𝟏𝟓𝟎 6 000��1+ � −1� 12 Balans = 𝑃 �1 + � − 0,15 waar P die oorspronklike leningbedrag is 12 12 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 35

4 Hoofstuk Finansies, Groei en Verval Gemengde oefening oor Finansies, Groei en Verval 1 Bepaal deur berekening watter van die volgende beleggings die beste is as R15 000 vir 5 jaar belê word teen: a 10,6% p.j. enkelvoudige rente b 9,6% rente p.j., kwartaalliks saamgestel. 2 ’n Bedrag geld word nou belê teen 8,5% p.j., maandeliks saamgestel, om oor 5 jaar tot R95 000 te groei. a Word 8,5% die effektiewe of die nominale rentekoers genoem? b Bereken die bedrag wat nou belê moet word. c Bereken die rente wat op hierdie belegging verdien word. 3 Shirley wil ’n platskerm-TV koop. Die TV wat sy wil hê, kos nou R8 000. a Die TV se prys sal met die inflasiekoers, wat 6% per jaar is, styg. Hoeveel sal die TV oor twee jaar kos? b Shirley deponeer vir twee jaar R2 000 in haar spaarrekening aan die begin van elke tydperk van ses maande (wat onmiddellik begin). Rente op haar spaargeld word teen 7% per jaar, sesmaandeliks saamgestel, betaal. Sal sy oor twee jaar genoeg geld hê om die TV te koop? Toon al jou berekeninge. 4 Bereken: a die effektiewe rentekoers tot 2 desimale plekke as die nominale rentekoers 7,85% p.j., maandeliks saamgestel, is b die nominale rentekoers as rente op ’n belegging kwartaalliks volgens ’n effektiewe rentekoers van 9,25% p.j. saamgestel word. 5 Die waarde van toerusting wat oorspronklik R350 000 werd was, het na 3 jaar volgens die afnemende balans-metode tot R179 200 verminder. Bepaal die jaarlikse koers van waardevermindering. 6 R20 000 word teen 9,75% p.j., kwartaalliks saamgestel, in ’n nuwe spaarrekening gedeponeer. Na 18 maande word nog R10 000 gedeponeer. Na ’n verdere 3 maande verander die rentekoers na 9,95% p.j., maandeliks saamgestel. Bepaal die balans in die rekening 3 jaar na die rekening oopgemaak is. 7 ’n Maatskappy koop nuwe toerusting ter waarde van R900 000, en die toerusting moet oor 5 jaar vervang word. Die waarde van die toerusting verminder teen 15% per jaar volgens die afnemende balans-metode. Na 5 jaar kan die toerusting tweedehands teen die verminderde waarde verkoop word. Die inflasiekoers op die prys van die toerusting is 18% per jaar. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 36

4 Hoofstuk Finansies, Groei en Verval a Die maatskappy wil ’n delgingsfonds begin om die toerusting oor 5 jaar te vervang. Bereken wat die waarde van die delgingsfonds moet wees om die toerusting dan te kan vervang. b Bereken die kwartaallikse bedrag wat die maatskappy in die delgingsfonds moet betaal om die toerusting oor 5 jaar te kan vervang. Die maatskappy maak die eerste betaling onmiddellik en die laaste betaling aan die einde van die tydperk van 5 jaar. Die rentekoers vir die delgingsfonds is 8% per jaar, kwartaalliks saamgestel. 8 Goedere ter waarde van R1 500 word op huurkoop gekoop en in 24 maandelikse paaiemente van R85 afbetaal. Bereken die jaarlikse rentekoers wat vir die huurkoopooreenkoms geld. 9 Pieter kry ’n verband om ’n huis te koop. Hy betaal die verband oor ’n tydperk van 20 jaar in maandelikse paaiemente van R6 500 af. Pieter kwalifiseer vir ’n rentekoers van 12% per jaar, maandeliks saamgestel. Hy betaal sy eerste paaiement een maand na die verband toegestaan is. a Bereken die bedrag wat Pieter geleen het. b Bereken die bedrag wat Pieter nog op sy huis skuld nadat hy die verband 8 jaar lank afbetaal het. 10 Megan se pa wil voorsiening vir haar studie maak. Hy begin op haar 12de verjaardag maandeliks R1 000 in ’n belegging betaal. Hy maak die laaste betaling op haar 18de verjaardag. Sy het die geld 5 maande na haar 18de verjaardag nodig. Die rentekoers op die belegging is 10% per jaar, maandeliks saamgestel. Bereken die bedrag wat Megan vir haar studie beskikbaar het. 11 Stefan begin om maandeliks R300 in ’n belegging te belê, en hy begin een maand van nou af. Hy verdien rente van 9% per jaar, maandeliks saamgestel. Vir hoe lank moet hy hierdie maandelikse beleggings maak sodat die totale waarde van sy belegging R48 000 kan wees? Gee jou antwoord soos volg: ____ jaar en ____ maande. 12 Carl koop klanktoerusting ter waarde van R15 000 op huurkoop. Die handelaar vereis dat hy ’n deposito van 10% betaal. Die rentekoers is 12% per jaar en hy moet die geld maandeliks oor 4 jaar terugbetaal. Dit is verpligtend vir hom om die toerusting teen ’n premie van R30 per maand deur die handelaar te verseker. Bereken die totale bedrag wat Carl maandeliks vir die handelaar moet betaal. 13 Tony leen geld ter waarde van R400 000. Hy moet die geld in 16 kwartaallikse paaiemente terugbetaal, maar moet sy eerste paaiement een jaar van nou betaal. Die rentekoers is 8% per jaar, kwartaalliks saamgestel. Bereken die kwartaallikse paaiement wat Tony moet betaal. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 37

5 Hoofstuk Saamgestelde hoeke Oorsig Eenheid 1 Bladsy 104 Afleiding van ’n formule vir • Hoe om ’n formule vir 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) af te lei Eenheid 2 Bladsy 108 Formules vir cos(𝛼 + 𝛽) en • Formule vir cos(𝛼 + 𝛽) sin(𝛼 ± 𝛽) • Formule vir sin(𝛼 + 𝛽) • Formule vir sin(𝛼 − 𝛽) Eenheid 3 Bladsy 112 Dubbelhoeke • Formule vir sin2𝛼 • Formule vir 𝑐𝑜𝑠2𝛼 Hoofstuk 5 Bladsy 104 Saamgestelde hoeke Eenheid 4 Bladsy 116 Identiteite • Bewys van identiteite • Bepaling van die waarde(s) waarvoor die identiteit nie gedefinieer is nie Eenheid 4 Bladsy 120 Vergelykings • Vergelykings met saamgestelde hoeke en dubbelhoeke Eenheid 4 Bladsy 124 Trigonometriese grafieke en • Teken en werk met grafieke saamgestelde hoeke van saamgestelde hoeke ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. 4 Doen die gemengde oefeninge aan die einde van hierdie hoofstuk in die studiegids. ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 38

5 Hoofstuk Saamgestelde hoeke HERSIENING VAN TRIGONOMETRIE BASIESE TRIGONOMETRIESE VERHOUDINGS Verhouding Inverse 𝑜 ℎ 𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝒉 ℎ 𝑜 𝒄 𝑎 ℎ 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝜽 Γ̅ ℎ 𝑎 𝑜 𝑎 𝒂 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑎 𝑜 Verhouding Inverse 𝑜 ℎ 𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = ℎ 𝑜 𝑎 ℎ 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑠𝑠𝑠𝑠 = ℎ 𝑎 𝒓 𝑜 𝑎 𝒚 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑎 𝑜 𝜽 Γ̅ 𝒙 JY MOET WEET IN WATTER KWADRANT ’N HOEK LÊ EN WATTER VERHOUDING (EN SY INVERSE) POSITIEF DAAR IS: 𝒚 2de kwadrant 1ste kwadrant (𝟏𝟏𝟎° − 𝜽) 𝜽 (−𝟏𝟏𝟎° − 𝜽) (𝟏𝟔𝟎° + 𝜽) 𝑥 (𝟏𝟏𝟎° + 𝜽) (𝟏𝟔𝟎° − 𝜽) (𝜽 − 𝟏𝟏𝟎°) (−𝜽) 3de kwadrant 4de kwadrant ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 39

5 Hoofstuk Saamgestelde hoeke REDUKSIEFORMULES 𝑦 𝑠𝑖𝑖(180° − 𝑠) 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑠(180° − 𝑠) −𝑐𝑜𝑠𝑠 𝑡𝑎𝑖(180° − 𝑠) −𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑖(180° + 𝑠) −𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑠𝑖𝑖(360° − 𝑠) −𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑠(180° + 𝑠) −𝑐𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠(360° − 𝑠) 𝑐𝑜𝑠𝑠 𝑡𝑎𝑖(180° + 𝑠) 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑡𝑎𝑖(360° − 𝑠) −𝑡𝑎𝑖𝑠 KO-VERHOUDINGS/KO-FUNKSIES Verhouding Ko-verhouding 𝑠𝑠𝑠(90° − 𝜃) 𝑐𝑐𝑐𝑐 (90° − 𝑠) is in 1ste kwadrant 𝑐𝑐𝑐(90° − 𝜃) 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑡(90° − 𝜃) 𝑐𝑐𝑐𝑐 Verhouding Ko-verhouding 𝑠𝑠𝑠(90° + 𝜃) 𝑐𝑐𝑐𝑐 (90° + 𝑠) is in 2de kwadrant 𝑐𝑐𝑐(90° + 𝜃) −𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑡(90° + 𝜃) −𝑐𝑐𝑐𝑐 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 40

Hoofstuk5 Saamgestelde hoeke KEN JOU SPESIALE DRIEHOEKE! √𝟐 𝟏 𝟒𝟓° Γ̅ 𝟏𝟎° 𝟐 √𝟏 𝟔𝟎° Γ̅ 𝟏 IDENTITEITE 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒕𝒕𝒕𝒕 = en 𝒄𝒄𝒄𝒄 = = 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒔𝒔𝒔𝒔 VIERKANT-IDENTITEITE: 𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜽 + 𝒄𝒄𝒄𝟐 𝜽 = 𝟏 Hieruit volg dat: ∴ 𝒄𝒄𝒄𝟐 𝜽 = 𝟏 − 𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜽 ∴ 𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏 − 𝒄𝒄𝒄𝟐 𝜽 Let op dat die twee identiteite hierbo albei as verskille van twee vierkante GEFAKTORISEER kan word: 𝒄𝒄𝒄𝟐 𝜽 = 𝟏 − 𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜽 = (𝟏 − 𝒔𝒔𝒔𝒔)(𝟏 + 𝒔𝒔𝒔𝒔) 𝟐 𝟐 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 41

5 Hoofstuk Saamgestelde hoeke SAAMGESTELDE HOEK-IDENTITEITE 𝒄𝒄𝒄(𝜶 − 𝜷) = 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒄𝒄𝒄(𝜶 + 𝜷) = 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 − 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒔(𝜶 + 𝜷) = 𝒔𝒊𝒊𝒊 𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒔(𝜶 − 𝜷) = 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒄𝒄𝒄𝒄 − 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒔𝒔𝒔𝒔 DUBBELHOEK-IDENTITEITE 𝒔𝒔𝒔 𝟐𝟐 = 𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒄𝒄𝒄 𝜶 𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐 = 𝒄𝒄𝒄𝟐 𝜶 − 𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜶 = 𝟏 − 𝟐 𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜶 = 𝟐𝒄𝒄𝒄𝟐 𝜶 − 𝟏 𝟐 𝒕𝒕𝒕 𝜶 𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐 = 𝟏 − 𝒕𝒕𝒕𝟐 𝜶 WENKE VIR DIE BEWYS VAN IDENTITEITE • Werk afsonderlik met die LK en RK. • Skryf DUBBELhoeke as ENKELhoeke. • Kyk uit vir VIERKANT-IDENTITEITE. • Skryf alles in terme van 𝒔𝒔𝒔 en 𝒄𝒄𝒄. • Sit ALLES oor die KGV wanneer jy met breuke werk. • Wees op die uitkyk vir geleenthede om te FAKTORISEER, bv.  𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏)  𝒄𝒄𝒄𝟐 𝜶 − 𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜶 = (𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒔𝒔𝒔𝒔)(𝒄𝒄𝒄𝒄 − 𝒔𝒔𝒔𝒔)  𝟐𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜶 + 𝒔𝒔𝒔𝒔 − 𝟏 = (𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏)(𝒔𝒔𝒔𝒔 + 𝟏). • Dit is soms nodig om 𝟏 met 𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜶 + 𝒄𝒄𝒄𝟐 𝜶 te vervang, bv. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 + 𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜶 + 𝒄𝒄𝒄𝟐 𝜶 = (𝒔𝒔𝒔𝒔 + 𝒄𝒄𝒄𝒄)𝟐 . ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 42

5 Hoofstuk Saamgestelde hoeke BEPALING VAN DIE ALGEMENE OPLOSSING VAN ’N TRIGONOMETRIESE VERGELYKING STAP VOORBEELDE VAN HOE OM DIE STAP TOE TE PAS Kry trigonometriese verhouding (sin/cos/tan) A 2 sin 3𝑥 = 0,4 alleen aan LK 𝑠𝑖𝑖3𝑥 = 0,2 1 B 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −0,2 Een waarde alleen aan RK 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −0,6 C 2 tan(𝑥 − 10°) + 3 = 0 3 tan(𝑥 − 10°) = − 2 Gebruik nou RK bestaande uit ŉ: A 𝑠𝑖𝑖3𝑥 = +0,2 Die + dui die 1ste en 2de kwadrant aan, waar TEKEN (+ of -) en ŉ WAARDE sin positief is. Verwysings ∠= 𝑠𝑖𝑖−1 (0,2) = 11,54° B 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −0,6 Dui Kry verwysingshoek Die – dui die 2de en 3de kwadrant aan, waar kwadrant aan deur die volgende te gebruik: cos negatief is. 𝒔𝒔𝒔−𝟏 (+𝒘𝒂𝒂𝒓𝒅𝒆) Verwysings ∠= 𝑐𝑜𝑠 −1 (0,6) = 53,13° 𝒄𝒄𝒔−𝟏 (+𝒘𝒂𝒂𝒓𝒅𝒆) 3 C tan(𝑥 − 10°) = − Of 𝒕𝒂𝒔−𝟏 (+𝒘𝒂𝒂𝒓𝒅𝒆) 2 Die − dui die 2de en 4de kwadrant aan, waar tan negatief is. 3 Verwysings ∠= 𝑡𝑎𝑖−1 �2� = 56,31° A 2 sin 3𝑥 = 0,4 Die hoek in die trigonometriese vergelykings sal 𝑠𝑖𝑖3𝑥 = 0,2 met die volgende in die onderskeidelike 1ste : 3𝑥 = 11,54° + 𝑘360° ; 𝑘 ∈ 𝑍 kwadrante vergelyk word: 𝑥 = 3,85° + 𝑘120° OF 2de : 3𝑥 = 180° − 11,54° + 𝑘360° 1ste = Verwysings ∠ 𝑥 = 56,15° + 𝑘120° +𝑘360°; 𝑘 ∈ 𝑍 vir 2de = 𝟏𝟏𝟎° − Verwysings ∠ sin/cos 1 3de = 𝟏𝟏𝟎° + Verwysings ∠ B 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −0,2 4de = 𝟏𝟔𝟎° − Verwysings ∠ of 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −0,6 +𝑘180°; 𝑘 ∈ 𝑍 vir 2de : 𝑥 = 180° − 53,13° + 𝑘360°; 𝑘 ∈ 𝑍 Los dan op vir 𝒙. tan 𝑥 = 126,87° + 𝑘360° OF 3de : 𝑥 = 180° + 53,13° + 𝑘360° 𝑥 = 233,13° + 𝑘360° C 2 tan(𝑥 − 10°) + 3 = 0 3 tan(𝑥 − 10°) = − 2 2de : 𝑥 − 10° = 180° − 56,31° + 𝑘180°; 𝑘∈𝑍 𝑥 = 133,69° + 𝑘180° ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 43

5 Hoofstuk Saamgestelde hoeke VERGELYKINGS WAT TWEE TRIGONOMETRIESE FUNKSIES BEHELS VOORBEELDE KOMMENTAAR 1 𝒔𝒔𝒔𝒙 = 𝒄𝒄𝒔𝒙 ÷ deur 𝑐𝑜𝑠𝑥 aan albei kante 𝒔𝒔𝒔𝒙 𝒄𝒄𝒔𝒙 = 𝒄𝒄𝒔𝒙 𝒄𝒄𝒔𝒙 𝒕𝒂𝒔𝒙 = 𝟏 𝒙 = 𝟒𝟓° + 𝒌. 𝟏𝟏𝟎° ; 𝒌𝝐𝒁 2 𝒔𝒔𝒔𝒙 = 𝒄𝒄𝒔𝟏𝒙 Mag NIE albei kante deur 𝑐𝑜𝑠𝑥 deel nie 𝒄𝒄𝒔(𝟗𝟎° − 𝒙) = 𝒄𝒄𝒔𝟏𝒙 Trigonometriese funksie moet aan albei kante dieselfde wees 𝟗𝟎° − 𝒙 = 𝟏𝒙 + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° ; 𝒌𝝐𝒁 −𝟒𝒙 = −𝟗𝟎° + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° Hoeke aan LK en RK moet óf dieselfde wees óf 𝒙 = 𝟐𝟐, 𝟓° − 𝒌. 𝟗𝟎° of 𝟗𝟎° − 𝒙 = −𝟏𝒙 + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° ; 𝒌𝝐𝒁 in twee verskillende kwadrante wees waar 𝟐𝒙 = −𝟗𝟎° + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° 𝑐𝑜𝑠 dieselfde teken het (1ste en 4de kwadrant) 𝒙 = −𝟒𝟓° + 𝒌. 𝟏𝟏𝟎° 3 𝐬𝐢𝐧(𝒙 + 𝟐𝟎°) = 𝐜𝐥𝐬(𝟐𝒙 − 𝟏𝟎°) Alternatief: sin aan albei kante 𝒄𝒄𝒔[𝟗𝟎° − (𝒙 + 𝟐𝟎°)] = 𝒄𝒄𝒔(𝟐𝒙 − 𝟏𝟎°) 𝑠𝑖𝑖(𝑥 + 20°) = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 30°) 𝒄𝒄𝒔(𝟕𝟎° − 𝒙) = 𝒄𝒄𝒔(𝟐𝒙 − 𝟏𝟎°) 𝑠𝑖𝑖(𝑥 + 20°) = sin[90° − (2𝑥 − 30°)] 𝟕𝟎° − 𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎° + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° 𝑠𝑖𝑖(𝑥 + 20°) = 𝑠𝑖𝑖(120° − 2𝑥) −𝟏𝒙 = −𝟏𝟎𝟎° + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° 𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏° − 𝒌. 𝟏𝟐𝟎° ; 𝒌 ∈ 𝒁 𝑥 + 20° = 120° − 2𝑥 + 𝑘. 360° of 3𝑥 = 100° + 𝑘. 360° 𝟕𝟎° − 𝒙 = −(𝟐𝒙 − 𝟏𝟎°) + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° 𝑥 = 33,33° − 𝑘. 120° ; 𝑘 ∈ 𝑍 𝒙 = −𝟒𝟎° + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° of 𝑥 + 20° = 180° − (120° − 2𝑥) + 𝑘. 360° −𝑥 = 40° + 𝑘. 360° 𝑥 = −40° − 𝑘. 360° ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 44

5 Hoofstuk Saamgestelde hoeke VOORBEELDE VAN VERGELYKINGS WAT DUBBELHOEKE BEHELS 𝒄𝒄𝒔𝜽. 𝒄𝒄𝒔𝟏𝟒° + 𝒔𝒔𝒔𝜽. 𝒔𝒔𝒔𝟏𝟒° = 𝟎, 𝟕𝟏𝟓 𝒄𝒄𝒔(𝜽 − 𝟏𝟒°) = 𝟎, 𝟕𝟏𝟓 Verwysings ∠= 𝟒𝟒, 𝟏𝟔° 1ste kwadrant: 𝜽 − 𝟏𝟒° = 𝟒𝟒, 𝟏𝟔° + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° 𝜽 = 𝟓𝟏, 𝟏𝟔° + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° ; 𝒌 ∈ 𝒁 4de kwadrant: 𝜽 − 𝟏𝟒° = −𝟒𝟒, 𝟏𝟔° + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° 𝜽 = −𝟏𝟎, 𝟏𝟔° + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° ; 𝒌 ∈ 𝒁 𝒔𝒔𝒔𝟐𝜽 + 𝟐𝒔𝒔𝒔𝜽 = 𝟎 𝟐𝒔𝒔𝒔𝜽𝒄𝒄𝒔𝜽 + 𝟐𝒔𝒔𝒔𝜽 = 𝟎 𝟐𝒔𝒔𝒔𝜽(𝒄𝒄𝒔𝜽 + 𝟏) = 𝟎 𝒔𝒔𝒔𝜽 = 𝟎 of 𝒄𝒄𝒔𝜽 = −𝟏 𝜽 = 𝒌. 𝟏𝟏𝟎° ; 𝒌 ∈ 𝒁 of 𝜽 = 𝟏𝟏𝟎° + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° 𝟐𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜽 + 𝒔𝒔𝒔𝜽 = 𝟏 𝟐𝒔𝒔𝒔𝟐 𝜽 + 𝒔𝒔𝒔𝜽 − 𝟏 = 𝟎 ∴ (𝟐𝒔𝒔𝒔𝜽 + 𝟏)(𝒔𝒔𝒔𝜽 − 𝟏) = 𝟎 𝟐𝒔𝒔𝒔𝜽 + 𝟏 = 𝟎 of 𝒔𝒔𝒔𝜽 + 𝟏 = 𝟎 𝟏 𝒔𝒔𝒔𝜽 = − of 𝒔𝒔𝒔𝜽 = −𝟏 𝟐 Geen oplossing nie 𝜽 = 𝟐𝟕𝟎° + 𝒌. 𝟏𝟔𝟎° ; 𝒌 ∈ 𝒁 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 45

5 Hoofstuk Saamgestelde hoeke PROBLEME MET SAAMGESTELDE HOEKE WAT SONDER ’N SAKREKENAAR GEDOEN MOET WORD • Skryf gegewe inligting in ŉ vorm waar die trigonometriese funksie ALLEEN aan die LK is. • Kies die KWADRANT en teken die DRIEHOEK in die regte kwadrant (2 sye van die driehoek sal bekend wees). • Gebruik die stelling van PYTHAGORAS om die 3de sy te bepaal. • Werk nou met die uitdrukking waarvan jy die waarde moet kry: skryf alle saamgestelde hoeke of dubbelhoeke in terme van ENKELHOEKE. • VERVANG nou die WAARDES van die diagram(me) en VEREENVOUDIG. Voorbeeld: 𝟓 As 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 = 𝟎 en 𝜶 ∈ [𝟗𝟗°; 𝟐𝟐𝟐°] en 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 ; 𝜷 > 90°, bepaal die waarde van die volgende sonder om ŉ sakrekenaar te gebruik: a 𝒔𝒔𝒔(𝜶 − 𝜷) b 𝒄𝒄𝒄(𝜶 + 𝜷) c 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 d 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 Oplossing: 𝟏𝟏 𝟓 𝒔𝒔𝒔𝒔 = − 𝟏𝟏 𝒄𝒐𝒐𝒐 = 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒔 negatief in 3de en 4de kwadrant 𝒄𝒄𝒄 positief in 1ste en 4de kwadrant Maar 𝜶 ∈ [𝟗𝟗°; 𝟐𝟐𝟐°], dus 3de kwadrant Maar 𝜷 > 90°, dus 4de kwadrant 𝛼 𝛽 5 −12 13 13 𝒙 = −𝟓 𝒚 = −𝟏𝟏 −𝟏𝟏 𝟓 −𝟓 −𝟏𝟏 −120 a 𝒔𝒔𝒔(𝜶 − 𝜷) = 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒔𝒔 − 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 = � 𝟏𝟏 � �𝟏𝟏� − � 𝟏𝟏 � � 𝟏𝟏 � = 169 −𝟓 𝟓 −𝟏𝟏 −𝟏𝟏 b 𝒄𝒄𝒄(𝜶 + 𝜷) = 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 − 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒔𝒔 = � 𝟏𝟏 � �𝟏𝟏� − � 𝟏𝟏 � � 𝟏𝟏 � = −1 −𝟏𝟏 −𝟓 120 c 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟐 � 𝟏𝟏 � � 𝟏𝟏 � = 169 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 46

5 Hoofstuk Saamgestelde hoeke Gemengde oefening oor Saamgestelde hoeke 1 Los die volgende vergelykings vir 𝑥 op. Gee die algemene oplossing tensy anders gevra. Antwoorde moet korrek tot 2 desimale plekke gegee word waar presiese antwoorde nie moontlik is nie. a 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 1 = 0 b 𝑠𝑖𝑖 x = 3 cos x vir 𝑥 ∈ [90°; 360°] c 𝑠𝑖𝑖𝑥 = cos 3𝑥 d 6 − 10𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3𝑠𝑖𝑖2 𝑥; 𝑥 ∈ [−360°; 360°] e 2 − 𝑠𝑖𝑖𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0 f 3𝑠𝑖𝑖2 𝑥 − 8𝑠𝑖𝑖𝑥 + 16𝑠𝑖𝑖𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 6𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0 2 Bewys die volgende identiteite en noem enige waardes van 𝑥 of 𝑠 waarvoor die identiteit nie geldig is nie. 1 a cos x + tan x sin x = cos x sin θ cosθ 1 b − = 1 − cosθ sin θ sin θ 1 − cos 2 x c = tan x sin x cos x sin 3 x + sin x cos 2 x d = tan x cos x 1 + tan x 1 + 2 sin x cos x e = 1 − tan x cos 2 x − sin 2 x 1 f sin(45° + 𝑥) . sin(45° − 𝑥) = 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 sin 2𝜃−cos 𝜃 cos 𝜃 g = sin 𝜃−cos 2𝜃 1+sin 𝜃 ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 47

5 Hoofstuk Saamgestelde hoeke cos 𝑥−cos 2𝑥+2 1+cos 𝑥 h = 3 sin 𝑥−sin 2𝑥 sin 𝑥 3 Vereenvoudig: a ( ) sin 180 0 − x tan (− x ) ( ) ( tan 180 0 + x cos x − 90 0 ) b ( ) ( sin 180 0 + x tan x − 360 0 ) (sonder om ’n sakrekenaar te gebruik) ( ) tan 360 0 − x cos 240 0 tan 225 0 4 Gegee dat 𝑠𝑖𝑖17° = 𝑘, druk die volgende in terme van 𝑘 uit. a cos 73° b 𝑐𝑜𝑠(−163°) c 𝑡𝑎𝑖197° d 𝑐𝑜𝑠326° 5 Gegee dat 5𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4 = 0, bereken die volgende waarde(s) sonder om ’n sakrekenaar te gebruik. a 5𝑠𝑖𝑖𝑥 + 3𝑡𝑎𝑖𝑥 b tan 2𝑥 3 6 As 3𝑠𝑖𝑖𝑥 = −1 ; 𝑥 ∈ [90°; 270°] en 𝑡𝑎𝑖𝑦 = ; 𝑦 ∈ [90°; 360°]. Bepaal die volgende waardes 4 sonder om ’n sakrekenaar te gebruik. a cos(𝑥 − 𝑦) b 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑦 7 Vereenvoudig sonder om ’n sakrekenaar te gebruik. a 𝑐𝑜𝑠 2 22,5° − 𝑠𝑖𝑖2 22,5° b 𝑠𝑖𝑖22,5° 𝑐𝑜𝑠22,5° c 2𝑠𝑖𝑖15°𝑐𝑜𝑠15° ______________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 48

6 Hoofstuk Oplossing van probleme in drie dimensies Oorsig Eenheid 1 Bladsy 142 Probleme in drie dimensies • Trigonometrie in die werklikheid Hoofstuk 6 Bladsy 138 Oplossing van probleme Eenheid 2 Bladsy 146 in drie dimensies Saamgestelde hoek-formules in • Gebruik van drie dimensies saamgestelde hoek- formules in drie dimensies ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. 4 Doen die gemengde oefeninge aan die einde van hierdie hoofstuk in die studiegids. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 49

6 Hoofstuk Oplossing van probleme in drie dimensies HERSIENING VAN DIE GEBRUIK VAN DIE 𝒄𝒔𝒔𝒖𝒄 −, 𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒖𝒄 − en 𝒄𝒑𝒑𝒆𝒓𝒗𝒍𝒂𝒌𝒕𝒆 −FORMULES INLIGTING GEGEE ONBEKEND FORMULE OM TE VORM VAN FORMULE GEBRUIK 𝒂 𝑏 2 hoeke en 1 sy s 𝑠𝑖𝑛-reël = sin 𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐴 (∠∠s) 𝒂 is onbekend 𝑠𝑖𝑛-reël 2 sye en Oppas vir 𝑠𝑖𝑛𝑨 𝑠𝑖𝑛𝐵 ∠ = 𝑎 𝑏 ’n nie-ingeslote ∠ dubbelsinnige (ss∠) geval! 𝑨 is onbekend ∠ kan skerp of stomp wees 2 sye en ’n ingeslote ∠ s 𝑐𝑜𝑠-reël 𝒂2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴 (s∠s) 𝒂 is onbekend 3 sye 𝑐𝑜𝑠-reël 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎2 ∠ 𝑐𝑜𝑠𝐴 = (sss) 2𝑏𝑐 𝑨 is onbekend 2 sye en Oppervlakte Oppervlaktereël Oppervlakte van ∆= 1 ’n ingeslote ∠ 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶 2 Oppervlakte is onbekend Oppervlakte, sy en ∠ s Oppervlaktereël 2 × 𝑂𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒 𝒃= 𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶 𝒃 is onbekend _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 50

6 Hoofstuk Oplossing van probleme in drie dimensies WENKE VIR DIE OPLOSSING VAN PROBLEME IN DRIE DIMENSIES • Waar daar 3 driehoeke is, begin jy met die ∆ met die meeste inligting en werk via die 2de ∆ na die 3de ∆ , wat die onbekende wat bereken moet word, bevat. • Dui alle regte hoeke aan. Onthou, hulle lyk nie altyd soos 𝟗𝟗°-hoeke nie. • Kleur die horisontale vlak in die diagram in (bv. vloer, grond). • Wees op die uitkyk vir reduksies soos 𝒄𝒄𝒄(𝟗𝟗° − 𝜶) = 𝒔𝒔𝒔𝒔 en 𝒔𝒔𝒔(𝟏𝟏𝟏° − 𝜶) = 𝒔𝒔𝒔𝒔 om uitdrukkings te vereenvoudig. • Gebruik saamgestelde en dubbelhoekformules om na enkelhoeke te herlei. • Dui altyd aan in watter ∆ jy werk wanneer jy die oplossing uitskryf. Voorbeeld P, Q en R is op dieselfde horisontale vlak. TP is ŉ vertikale toring wat 5,9 m hoog is. Die hoogtehoek van T vanaf Q is 65°. 𝑃𝑄� 𝑅 = 𝑃𝑅� 𝑄. a Bereken die lengte van PQ tot die naaste meter. b Toon vervolgens aan dat 𝑅𝑄 = 5,5 𝑐𝑜𝑠𝑥. c As dit verder gegee word dat 𝑥 = 42°, bereken die oppervlakte van ∆𝑃𝑄𝑅. Oplossing: 5,9 a = 𝑡𝑎𝑛65° 𝑃𝑄 5,9 ∴ 𝑃𝑄 = = 2,75 𝑚 𝑡𝑎𝑛65° b 𝑄𝑃�𝑅 = 180° − 2 𝑅𝑄 𝑃𝑄 = 𝑠𝑖𝑛𝑃 𝑠𝑖𝑛𝑅 𝑅𝑄 2,75 = sin(180°−2𝑥) 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑅𝑄 2,75 = sin 2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑅𝑄 2,75 = 2sin 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∴ 𝑅𝑄 = 2 × 2,75𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑅𝑄 = 5,5 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 c Oppervlakte van ∆𝑃𝑄𝑅 = × 𝑃𝑄 × 𝑄𝑅 × 𝑠𝑖𝑛𝑄 2 1 = × 2,75 × (5,5𝑐𝑜𝑠42°) × 𝑠𝑖𝑛42° 2 = 3,76 vierkante eenhede _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 51

6 Hoofstuk Oplossing van probleme in drie dimensies Gemengde oefening oor Probleme in drie dimensies 1 In die diagram regs is B, D en E op dieselfde horisontale vlak. 𝐵𝐸� 𝐷 = 120°. AB en CD is twee vertikale torings. AB = 2CD = 2ℎ meter Die hoogtehoek vanaf E na A is 𝛼. Die hoogtehoek vanaf E na C is (90° − 𝛼). a Bepaal die lengte BE in terme van ℎ en 𝛼. b Toon aan dat die afstand tussen die twee torings gegee kan word as: ℎ√𝑡𝑎𝑛4 𝛼+2𝑡𝑎𝑛2 𝛼+4 𝐵𝐷 = . 𝑡𝑎𝑛𝛼 c Bepaal vervolgens die hoogte van die toring CD, afgerond tot die naaste meter, as 𝛼 = 42° en BD = 400 m. 2 B, C en D is drie punte op dieselfde horisontale vlak en AB is ŉ vertikale paal met lengte 𝑝 meter. Die hoogtehoek van A vanaf C is 𝜃 en 𝐵𝐶̂ 𝐷 = 𝜃. Verder, 𝐶𝐵�𝐷 = 30° en 𝐵𝐷 = 8 m. a � 𝐵 in terme van 𝜃 uit. Druk 𝐶𝐷 8sin(30°+𝜃) b Toon vervolgens aan dat 𝑝 = . 𝑐𝑜𝑠𝜃 3 In die diagram regs is AB ŉ vertikale vlagpaal van 5 meter hoog. AC en AD is twee ankertoue. B, C en D is op dieselfde horisontale vlak. 𝐵𝐷 = 12 m, 𝐴𝐶̂ 𝐷 = 𝛼 en 𝐴𝐷 � 𝐶 = 𝛽. 13sin(𝛼+𝛽) Toon aan dat 𝐶𝐷 = . 𝑠𝑖𝑛𝛼 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 52

6 Hoofstuk Oplossing van probleme in drie dimensies 4 � 𝐶 = 𝜃. In ∆𝐴𝐵𝐶 AD = 𝑚; DB = 𝑛; CD = 𝑝 en 𝐵𝐷 a Voltooi in terme van 𝑚, 𝑝 en 𝜃: Oppervlakte ∆𝐴𝐷𝐶 = ⋯ 1 b Toon aan dat die oppervlakte van ∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑝(𝑚 + 𝑛) sin 𝜃. 2 c As die oppervlakte van ∆𝐴𝐵𝐶 = 12,6 𝑐𝑚2 ; 𝐴𝐵 = 5,9 𝑐𝑚 en 𝐷𝐶 = 8,1 𝑐𝑚, bereken die waarde(s) van 𝜃. 5 � = 90°, 𝐵𝐶̂ 𝐷 = 𝜃, In die diagram is 𝐷 𝐴𝐶̂ 𝐵 = 𝛼; AB = BC en 𝐵𝐷 = 𝑝 eenhede. a Druk BC in terme van 𝑝 en 𝜃 uit. b Bepaal, sonder om redes te gee, die grootte van 𝐵�1 in terme van 𝛼. 𝑝.sin 2𝛼 c Bewys vervolgens dat AC = . sin 𝜃.sin 𝛼 6 In die diagram is PQ ’n vertikale gebou. Q, R en S is punte op dieselfde horisontale vlak. Die hoogtehoek van P, die bopunt van die gebou, gemeet vanaf R, is 𝛼. 𝑅𝑄� 𝑆 = 30° 𝑄𝑆𝑅 = 150° − 𝛼 𝑄𝑆 = 12 m 6(𝑐𝑜𝑠𝛼+√3𝑠𝑖𝑛𝛼) a Toon aan dat 𝑄𝑅 = . 𝑠𝑖𝑛𝛼 b Toon vervolgens aan dat die hoogte PQ van die gebou gegee word deur 𝑃𝑄 = 6 + 6√3𝑡𝑎𝑛𝛼. c Bereken vervolgens die waarde van 𝛼 as PQ = 23 m. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 53

Hoofstuk 7 Polinome Oorsig Eenheid 1 Bladsy 154 Die Resstelling • Die Resstelling Hoofstuk 7 Bladsy 152 Polinome Eenheid 2 Bladsy 156 Die Faktorstelling • Die Faktorstelling ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. 4 Doen die gemengde oefeninge aan die einde van hierdie hoofstuk in die studiegids. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 54

7 Hoofstuk Polinome DIE RESSTELLING 𝑓(𝑥) = (𝑎𝑎 + 𝑏). 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) deler kwosiënt res Die resstelling kan gebruik word om die res te bereken wanneer ŉ polinoom 𝑓(𝑥) gedeel word deur (𝑎𝑎 + 𝑏) 𝑏 ∴ 𝑓 �− 𝑎� = 𝑟(𝑥). Dit is baie belangrik om die korrekte waarde te kies om te vervang: As jy 𝒇 deur 𝒈(𝒙)𝐝𝐝𝐝𝐝 = Waarde om in 𝒇(𝒙) te vervang (𝒙 − 𝟐) 𝑓(2) =? 1 (𝟐𝟐 − 𝟏) 𝑓 � � =? 2 (𝒙 + 𝟑) 𝑓(−3) =? 2 (𝟑𝟑 + 𝟐) 𝑓 �− � =? 3 DIE FAKTORSTELLING 𝑏 As 𝑓 �− 𝑎� = 0, dan is: • (𝑎𝑎 + 𝑏) ŉ FAKTOR van 𝑓(𝑥) en • 𝑓(𝑥) deelbaar deur (𝑎𝑎 + 𝑏). Wanneer jy 𝑥 −waardes probeer wat 0 gee, probeer hulle in die volgende orde: 1; −1; 2; −2; 3; −3, ens. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 55

Hoofstuk7 Polinome VERSKILLENDE METODES OM ’N KUBIESE POLINOOM (3DE GRAAD) TE FAKTORISEER METODE EN BESKRYWING VAN STAPPE VOORBEELDE SOM EN VERSKIL VAN DERDE MAGTE A) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 27 = (𝑥 + 3)(𝑥 2 − 3𝑥 + 9) Kan nie verder faktoriseer nie B)𝑓(𝑥) = 8𝑥 3 − 1 = (2𝑥 − 1)(4𝑥 2 + 2𝑥 + 1) Kan nie verder faktoriseer nie FAKTORISEER DEUR GROEPERING 𝑓(𝑥) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝑥 2 (𝒙 + 𝟑) − 4(𝒙 + 𝟑) • Groepeer terme in twee pare. = (𝒙 + 𝟑)(𝒙𝟐 − 𝟒) • Haal gemene faktor uit elke paar. = (𝑥 + 3)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟐) • Twee stelle hakies word nou die gemene faktor. • Faktoriseer die hakie verder, indien moontlik. FAKTORISEER DEUR INSPEKSIE 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝟐𝒙𝟐 − 10𝑥 − 6 𝑓(−1) = 2(−1)3 − 2(−1)2 − 10(−1) • Bepaal een lineêre faktor met behulp van die −6=0 faktorstelling. ∴ (𝑥 + 1) is ’n faktor • Bepaal die ander faktor (kwadratiese uitdrukking) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝒂𝑥 2 + 𝒃𝑥 + 𝒄) deur inspeksie. Bepaal nou hierdie koëffisiënte Begin met 𝒂 en 𝒄: 1×𝑎 = 2 ∴𝑎 =2 1 × 𝑐 = −6 ∴ 𝑐 = 6 Jy moet nou 𝒃 bepaal: Vermenigvuldig die twee hakies; die twee 𝑥 2 -terme moet jou −𝟐𝒙𝟐 gee: 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝟐𝑥 2 + 𝒃𝑥 + 𝟔) 𝑏𝑥 2 + 2𝑥 2 = −𝟐𝒙𝟐 ∴ 𝑏 = −4 2 ∴ 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(2𝑥 − 4𝑥 + 6) = (𝑥 + 1)(2𝑥 + 2)(𝑥 − 3) SINTETIESE OF LANGDELING 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 𝟐𝒙𝟐 − 10𝑥 − 6 𝑓(−1) = 2(−1)3 − 2(−1)2 − 10(−1) • Bepaal een lineêre faktor met behulp van die −6=0 faktorstelling. ∴ (𝑥 + 1) is ’n faktor • Bepaal die ander faktor (kwadratiese uitdrukking) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝒂𝑥 2 + 𝒃𝑥 + 𝒄) deur langdeling of sintetiese deling Bepaal 𝑎, 𝑏, 𝑐 deur sintetiese (SIEN VOLGENDE BLADSY). deling te gebruik. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 56

7 Hoofstuk Polinome SINTETIESE DELING 𝑓(−1) = 0 , dus is (𝑥 + 1) ’n faktor 𝑓(−1) = 0 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 3 − 2𝑥 2 − 10𝑥 − 6 −𝟏 𝟐 −𝟐 −𝟏𝟗 −𝟔 −𝟐 𝟒 𝟔 𝟐 −𝟒 −𝟔 𝟗 Hierdie metode word SINTETIESE deling genoem omdat ons nie regtig deel nie. Ons vermenigvuldig eintlik en tel op. Let op die volgende: • Die 𝑥-waarde van −1 wat vir ons die faktor (𝑥 + 1) gegee het, word aan die LK geskryf. • Die koëffisiënte van die derdegraadse polinoom word in die boonste ry geskryf. • Die eerste koëffisiënt, 2, word af na die laaste ry oorgedra. • Begin nou aan die linkerkant. VERMENIGVULDIG al langs die stippelpyltjie herhaal en skryf die OPLOSSING in die blokkie een ry op en een kolom na regs stappe • TEL nou NA ONDER OP in die kolom (die twee waardes onder mekaar). • Jy MOET 0 in die laaste blokkie kry. • Die 3 waardes in die onderste ry is die koëffisiënte van die kwadratiese faktor. Dus, 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(2𝑥 2 − 4𝑥 − 6) Jy kan nou die faktorisering voltooi: 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(2𝑥 + 2)(𝑥 − 3) _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 57

7 Hoofstuk Polinome Gemengde oefening oor Polinome 1 Faktoriseer die volgende uitdrukkings volledig: a 27𝑥 3 − 8 b 5𝑥 3 + 40 c 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 + 6 d 4𝑥 3 − 𝑥 2 − 16𝑥 + 4 e 4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 10𝑥 − 5 f 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 1 g 𝑥 3 − 𝑥 2 − 22𝑥 + 40 h 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5𝑥 − 6 i 3𝑥 3 − 7𝑥 2 + 4 j 𝑥 3 − 19𝑥 + 30 k 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 2 2 Los op vir 𝑥: a 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 4𝑥 = 0 b 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥 + 6 = 0 c 2𝑥 3 − 12𝑥 2 − 𝑥 + 6 = 0 d 2𝑥 3 − 𝑥 2 − 8𝑥 + 4 = 0 e 𝑥3 + 𝑥2 − 2 = 0 f 𝑥 3 = 16 + 12𝑥 g 𝑥 3 + 3𝑥 2 = 20𝑥 + 60 3 Toon dat 𝑥 − 3 ’n faktor van 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 5𝑥 − 3 is en los dan 𝑓(𝑥) = 0 op. 4 Toon dat 2𝑥 − 1 ’n faktor van 𝑔(𝑥) = 4𝑥 3 − 8𝑥 2 − 𝑥 + 2 is en los dan 𝑔(𝑥) = 0 op. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 58

Hoofstuk 8 Differensiaalrekene Oorsig Eenheid 1 Bladsy 166 Limiete • Ondersoek limiete Eenheid 2 Bladsy 168 Die gradiënt van ’n grafiek • Funksienotasie en die by ’n punt gemiddelde gradiënt • Die gradiënt van ’n grafiek by ’n punt Eenheid 3 Bladsy 172 Die afgeleide van ’n funksie • Eerste beginsels • Differensiasiereëls Hoofstuk 8 Bladsy 162 • Die afgeleide by ’n punt Differensiaal- Eenheid 4 Bladsy 178 rekene Die vergelyking van ’n • Berekening van die vergelyking raaklyn aan ’n grafiek van ’n raaklyn aan ’n grafiek Eenheid 5 Bladsy 180 Die grafiek van die • Stip van ’n derdegraadse derdegraadse funksie funksie Eenheid 6 Bladsy 184 Die tweede afgeleide • Verandering in konkawiteit (konkawiteit) Eenheid 7 Bladsy 186 Toepassings van • Uitbeelding van lewensegte differensiaalrekene probleme ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. 4 Doen die gemengde oefeninge aan die einde van hierdie hoofstuk in die studiegids. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 59

Hoofstuk8 Differensiaalrekene DIE BEGRIP VAN ’N LIMIET Notasie: 𝐥𝐥𝐥𝒙→𝟒 𝒇(𝒙) Ons sê: “Die limiet van 𝒇 wanneer 𝒙 na 𝟒 𝐧𝐧𝐧𝐧.” Wat beteken dit? Die limiet is die 𝒚-waarde (onthou 𝒚 = 𝒇(𝒙)) neig na (kom nader aan) die funksie as die 𝒙-waarde na ŉ sekere waarde van links of regs neig. Voorbeelde: a Laat 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒 𝐥𝐥𝐥𝒙→𝟏 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐥𝐥𝒙→𝟒 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟐(𝟏)𝟐 + 𝟒 = 𝟔 b 𝐥𝐥𝐥𝒉→𝟎 𝟑(𝒉 + 𝟐) = 𝟑(𝟎 + 𝟐) = 𝟔 Voor jy die limiet bereken, is dit soms nodig om eers te faktoriseer en te VEREENVOUDIG: ’n Voorbeeld hiervan is: 𝑥 2 −9 lim𝑥→3 Vervanging van 𝑥 = 3 sal nou tot deling deur 0 lei. 𝑥−3 (𝑥−3)(𝑥+3) = lim𝑥→3 Faktoriseer eers die teller en kanselleer uit. 𝑥−3 = lim (𝑥 + 3) 𝑥→3 = (3 + 3) Let op dat “lim” wegval in die stap waar jy =6 vervang. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 60

8 Hoofstuk Differensiaalrekene GEMIDDELDE GRADIËNT TUSSEN 2 PUNTE Uit vorige grade weet jy dat jy die gradiënt tussen twee punte (𝑥1 ; 𝑦1 ) en (𝑥2 ; 𝑦2 ) 𝑦2 −𝑦1 kan bereken deur die formule 𝑚 = te gebruik. 𝑥2 −𝑥1 In die diagram hieronder word die punte A(𝑥; 𝑓(𝑥)) en B(𝑥 + ℎ; 𝑓(𝑥 + ℎ)) aangedui. 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) Die GEMIDDELDE GRADIËNT tussen A en B word deur 𝑚𝐴𝐴 = gegee. ℎ DIE GRADIËNT VAN ’N GRAFIEK BY ’N PUNT Deur ℎ na 0 te laat neig, word die afstand tussen punt A en B kleiner en kleiner. A en B sal amper “een punt” word. Die gemiddelde gradiënt word dan die 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) GRADIËNT VAN DIE GRAFIEK BY ’N PUNT = limℎ→0 ℎ NOTASIE: Dit word voorgestel deur 𝒇′ (𝒙). Dit word ook die AFGELEIDE genoem. Ë _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 61

Hoofstuk8 Differensiaalrekene 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) Die formule 𝑓 ′ (𝑥) = limℎ→0 kan gebruik word om enige van die ℎ volgende uit EERSTE BEGINSELS te bepaal: Wees op die uitkyk vir die woorde • die afgeleide van 𝑓 by enige punt EERSTE BEGINSELS • die gradiënt van die raaklyn aan ŉ grafiek 𝑓 by enige punt • die gradiënt van die funksie 𝑓 by enige punt • die koers van verandering van 𝑓 by enige punt. 𝒇′ (𝒙) kan ook bepaal word deur DIFFERENSIASIEREËLS te gebruik Funksie 𝒇 Afgeleide 𝑓 ′ (𝑥) Voorbeelde • 𝑓(𝑥) = −5 𝒇(𝒙) = 𝒌 𝑓 ′ (𝑥) = 0 waar 𝒌 ’n konstante 𝑓′(𝑥) = 0 • 𝑦=4 is 𝑑𝑦 =0 𝑑𝑥 • 𝐷𝑥 [𝑥 6 ] = 6𝑥 5 1 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒔 ; 𝒙𝝐𝑹 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1 • 𝑓(𝑥) = 3 = 𝑥 −3 𝑥 ′ (𝑥) −3 𝑓 = −3𝑥 −4 = 𝑥4 4 • 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 2 × 4𝑥 4−1 𝒇(𝒙) = 𝒌𝒙𝒎 ; 𝒎 ∈ 𝑹 = 8𝑥 3 waar 𝒌 ŉ konstante is 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘 × 𝑚𝑥 𝑚−1 1 5 1 5 5 −1 • 𝐷𝑥 � 𝑥 � = × 𝑥 2 2 2 2 2 5 3 = 𝑥2 4 Wanneer funksies opgetel/afgetrek word, pas 2 • 𝐷𝑥 [5𝑥 − 4𝑥 + 6] jy die reël afsonderlik op elke funksie toe: = 5 × 2𝑥 − 4 + 0 = 10𝑥 − 4 𝑫𝒙 [𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] = 𝑫𝒙 [𝒇(𝒙)] ± 𝑫𝒙 [𝒈(𝒙)] _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 62

8 Hoofstuk Differensiaalrekene VOOR JY DIE DIFFERENSIASIEREËLS TOEPAS, MOET JY SEKER MAAK DAAR IS: • Geen hakies nie: a 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) = 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 + 1 • Geen 𝑥 onder ŉ breukstreep nie: 3𝑥 2 −2 3𝑥 2 2 b 𝑓(𝑥) = 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 3𝑥 − 2𝑥 −1 2 𝑓 ′ (𝑥) = 3 − 2(−1)𝑥 −2 = 3 + 𝑥 2 𝑥 2 −𝑥−6 (𝑥−3)(𝑥+2) c 𝑓(𝑥) = 𝑥+2 = =𝑥−3 𝑥+2 𝑓 ′ (𝑥) = 1 • Geen 𝑥 onder ŉ wortelteken nie: 1 d 𝑓(𝑥) = 3√𝑥 − 4𝑥 = 3𝑥 2 − 4𝑥 1 1 1 3 𝑓 ′ (𝑥) = 3 × 2 𝑥 2−1 − 4 = 2 𝑥 −2 − 4 Let Wel: LET OP DIE VERSKIL TUSSEN DIE VOLGENDE: 𝑓(4) is die 𝒚-WAARDE van die funksie by 𝑥 = 4 𝑓 ′ (4) is die GRADIËNT van die funksie by 𝑥 = 4 en ook die gradient van die RAAKLYN by 𝑥 = 4 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 63

Hoofstuk8 Differensiaalrekene DIE DERDEGRAADSE GRAFIEK 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 𝒂 dui DIE VORM aan STASIONÊRE PUNTE 𝒂 > 0 (+) DRAAIPUNTE BUIGPUNTE of Waar 𝑓 ′ (𝑥) = 0 Waar 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 𝑎 Lokale maksimum 𝒂 < 0(−) of Lokale minimum Hoe bepaal ek of dit ŉ LOKALE MAKSIMUM of ŉ LOKALE MINIMUM is? 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 Wat sê 𝒇′ en 𝒇′′ vir my? Negatief (< 0) =0 Positief (> 0) 𝒇′ 𝑓 neem af 𝑓 draai 𝑓 neem toe 𝒇′′ Lokale maksimum Buigpunt Lokale minimum Konkaaf ondertoe Konkaaf boontoe _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 64

8 Hoofstuk Differensiaalrekene 𝒙 −AFSNITTE/WORTELS EN VORM • Vir 𝑥 −afsnitte: los op vir 𝑓(𝑥) = 0 • ŉ Derdegraadse grafiek kan een, twee of drie 𝑥 −afsnitte hê. VOORBEELDE: a 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 11𝑥 − 30 𝑓(3) = (3)3 + 4(3) − 11(3) − 30 = 0 -5 -2 3 ∴ (𝑥 − 3) is ’n faktor 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥 2 + 7𝑥 + 10) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 + 5) Die wortels is −5; −2 en 3. b 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 𝑓(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 ∴ (𝑥 − 1) is ’n faktor 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 − 2) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = (𝑥 − 1)2 (𝑥 + 2) As TWEE FAKTORE dieselfde is, dan is die 𝑥 −AFSNIT ook ŉ DRAAIPUNT. Die grafiek BONS by 𝑥 = 1. -2 1 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 65

Hoofstuk 8 Differensiaalrekene VERGELYKING VAN ’N RAAKLYN AAN ’N GRAFIEK BY ’N SPESIFIEKE PUNT • Vervang die 𝑥 −waarde in 𝒇(𝒙) om die koördinate van die RAAKPUNT te bepaal. • Bepaal 𝑓 ′ (𝑥) met behulp van differensiasiereëls. • Vervang 𝑥 −waarde in 𝒇′ (𝒙) om die GRADIËNT van die RAAKLYN 𝒎 te bepaal. • Vervang die gradiënt in 𝑦 = 𝒎𝑥 + 𝑐. • Vervang die draaipunt in 𝑦 = 𝒎𝑥 + 𝑐 om die waarde van 𝑐 te bepaal. VOORBEELD Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 4𝑥 + 3 by 𝑥 = 1. Vervang 𝑥 = 1: 𝑓(1) = 2(1)3 − 5(1)2 − 4(1) + 3 = −4 ∴ Draaipunt is (1; −4) 𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥 2 − 10𝑥 − 4 𝑓 ′ (1) = 6(1)2 − 10(1) − 4 = −8 ∴ Gradiënt van raaklyn by 𝑥 = 1 is −8 ; dus 𝑦 = −8𝑥 + 𝑐 Vervang (1; −4) in 𝑦 = −8𝑥 + 𝑐: −4 = −8(1) + 𝑐 ∴𝑐=4 Vergelyking van raaklyn is 𝑦 = −8𝑥 + 4 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 66

Hoofstuk8 Differensiaalrekene SKETS VAN DIE DERDEGRAADSE GRAFIEK VOORBEELD: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝒙 + 𝟏𝟐 BESKRYWING VAN STAP STAP OP HIERDIE VOORBEELD TOEGEPAS Bepaal vorm (met behulp van 𝒂) 𝑎 = 1 (positief) Bepaal 𝒚 −afsnit 𝑦 = (0)3 − (0)2 − 8(0) + 12 = 12 Maak 𝒙 = 𝟗 Bepaal 𝒙 −afsnitte 𝑓(2) = 0 Los op 𝒇(𝒙) = 𝟗 ∴ (𝑥 − 2) is ’n faktor 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 𝑥 − 6) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) Wortels is −3 en 2. 𝑥 = 2 is ook ’n draaipunt waar die grafiek bons Bepaal draaipunte en hul 𝒚 −waardes 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0 (3𝑥 + 4)(𝑥 − 2) = 0 Los op 𝒇′(𝒙) = 𝟗 4 𝑥 = − 3 of 𝑥 = 2 Vervang 𝒙 −waardes in 𝒇(𝒙) Ons weet reeds uit die vorige stap dat (2; 0) een draaipunt (lokale minimum) is. Laat ons nou die ander draaipunte se 𝑦 −koördinate bepaal −4 3 −4 2 −4 𝑓(𝑥) = � � − � � − 8 � � + 12 = 18,52 3 3 3 Lokale maksimum by (−1,33 ; 18,52) Maak ’n netjiese tekening y f (−1,33 ; 18,52) 12 x −3 2 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 67

Hoofstuk 8 Differensiaalrekene BEPALING VAN DIE VERGELYKING VAN ’N DERDEGRAADSE GRAFIEK IN DIE VORM 𝒚 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 INLIGTING GEGEE (KAN OP ’N GRAFIEK STAPPE GETOON WORD OF NIE) Vanuit die 𝑦 −afsnit weet ons reeds dat 𝑑 = −8. Maar ons gaan die drie wortels gebruik: 𝑦 = 𝑎(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)(𝑥 − 4) Vervang die punt (0; −8): 𝒚 −afsnit: 𝒚 = −𝟏 −8 = 𝑎(0 + 2)(0 + 1)(0 − 4) en 𝒙 −afsnitte: 𝒙 = −𝟐; −𝟏 en 𝟒 −8 = −8𝑎 𝑎=1 ∴ 𝑦 = 1(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)(𝑥 − 4) Verwydering van die hakies gee: 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 10𝑥 − 8 Ons is twee wortels (waarvan een ook ’n draaipunt is) en die ander draaipunt gegee. y Let Wel: Die grafiek BONS by 𝑥 = 1. Hierdie faktor moet dus gekwadreer word. 1 x 4 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)2 (𝑥 − 4) Vervang die ander draaipunt (3; −4): ( 3;−4) −4 = 𝑎(3 − 1)2 (3 − 4) −4 = −4𝑎 𝑎=1 ∴ 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)2 (𝑥 − 4) Verwydering van die hakies gee: 𝑦 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 9𝑥 − 4 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 68

8 Hoofstuk Differensiaalrekene SPESIALE TOEPASSINGS VAN AFGELEIDES TEMPO VAN VERANDERING • Afstand/Verplasing 𝑠(𝑡) • Spoed/Snelheid 𝑠 ′ (𝑡) • Versnelling 𝑠 ′′ (𝑡) VOORBEELD Die verplasing van ŉ bewegende voorwerp word beskryf deur die vergelyking 𝑠(𝑡) = 10𝑡 − 𝑡 2 , waar 𝑠 verplasing in meter en 𝑡 tyd in sekondes voorstel. a Bepaal die verplasing na 2 sekondes. b Hoe lank sal dit die voorwerp neem om ŉ maksimum verplasing te bereik? c Bepaal die snelheid van die voorwerp na 3 sekondes. d Bepaal die versnelling van die voorwerp. Beweeg dit vinniger of stadiger? OPLOSSINGS a 𝑠(2) = 10(2) − (2)2 = 16 m b 𝑠 ′ (𝑡) = 10 − 2𝑡 = 0 ∴ 10 − 2𝑡 = 0 ∴𝑡 =5𝑠 c 𝑠 ′ (3) = 10 − 2(3) = 4 m. s −1 d 𝑠 ′′ (𝑡) = −2 m. s −2 Die voorwerp beweeg stadiger omdat die versnelling negatief is. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 69

Hoofstuk 8 Differensiaalrekene GEBRUIK VAN DIE EERSTE AFGELEIDE OM MINIMUM OF MAKSIMUM TE BEPAAL • Vir oppervlakte, 𝐴(𝑥), om ŉ minimum/maksimum te wees, los 𝐴′ (𝑥) = 0 op • Vir volume, 𝑉(𝑥), om ŉ minimum/maksimum te wees, los 𝑉 ′ 4(𝑥) = 0 op • Vir koste, 𝐶(𝑥), om ŉ minimum te wees, los 𝐶 ′ (𝑥) = 0 op • Vir wins, 𝑃(𝑥), om ŉ maksimum te wees, los 𝑃′(𝑥) = 0 op VOORBEELD Die volume water in ŉ reservoir word gegee deur 𝑉(𝑡) = 60 + 8𝑡 − 3𝑡 2 , waar 𝑉(𝑡) die volume in duisende liter is en 𝑡 die aantal dae is wat water in die reservoir gepomp word. a Bepaal die tempo van verandering van die volume water na 3 dae. b Wanneer sal die volume water in die reservoir ŉ maksimum wees? c Wat sal die maksimum watervlak in die reservoir wees? OPLOSSINGS a 𝑉 ′ (𝑡) = 8 − 6𝑡 ∴ 𝑉 ′ (3) = 8 − 6(3) = −10 duisend liter/dag b 𝑉 ′ (𝑡) = 8 − 6𝑡 = 0 ∴ 8 − 6𝑡 = 0 4 𝑡 = 3 = 1,3 dae 4 4 4 2 c 𝑉 �3� = 60 + 8 �3� − 3 �3� = 58,67 duisend liter _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 70

Hoofstuk 8 Differensiaalrekene Gemengde oefening oor Differensiaalrekene 1 Bepaal 𝑓′ uit eerste beginsels as: a 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 2 b 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 2 Bepaal: 𝑑𝑦 1 a 𝑑𝑥 as 𝑦 = √𝑥 − 2𝑥 2 2𝑥 2 −𝑥−15 b 𝐷𝑥 � 𝑥−3 � 3 Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die kromme 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 32𝑥 + 15 by die punt 𝑥 = −2. 4 Skets die grafiek met die volgende eienskappe en dui al die kernpunte op die grafiek aan: 𝑓 ′ (𝑥) < 0 wanneer 1 < 𝑥 < 5 𝑓 ′ (𝑥) > 0 wanneer 𝑥 < 1 en 𝑥 > 5 𝑓 ′ (5) = 0 en 𝑓 ′ (1) = 0 𝑓(0) = −6 en 𝑓(3) = 0 𝑓 ′′ (3) = 0 5 (2; 9) is ’n draaipunt van die grafiek 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 5𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑏. Bepaal die waardes van 𝑎 en 𝑏 in die vergelyking van 𝑓. 6 Die diagram hieronder stel die grafiek van 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥), die afgeleide van 𝑓, Voor. 4 y x a Skryf die 𝑥-waardes van die draaipunt van 𝑓 neer. −2 2 4 6 8 b Skryf die 𝑥-waarde van die buigpunt van 𝑓 neer. −4 c Vir watter waardes van 𝑥 sal 𝑓(𝑥) afneem? −8 −12 y=f '(x) −16 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 71

8 Hoofstuk Differensiaalrekene 7 Die grafiek van 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 verskyn hieronder. Die kromme het draaipunte by B en (1; 0). Die punte (−1; 0) en (1; 0) is 𝑥-afsnitte. y a Toon aan dat 𝑎 = −1; 𝑏 = −1 en 𝑐 = 1. B b Bepaal die koördinate van B. x (−1;0) (1;0) 8 Die afstand in meter gedek deur ’n voorwerp word as 𝑠(𝑡) = 𝑡 3 − 2𝑡 2 + 3𝑡 + 5 gegee. Bepaal: a ’n uitdrukking vir die spoed van die voorwerp op enige tyd 𝑡 b die tyd wat die spoed van die voorwerp ’n minimum is c die tyd wat die versnelling van die voorwerp 8 𝑚. 𝑠 −2 sal wees. 9 Die skets hieronder toon ’n reghoekige boks met basis ABCD. AB = 2𝑥 meter en BC = 𝑥 meter. Die volume van die boks is 24 kubieke meter. Materiaal om die boonste deel (PQRS) van die boks, x, oor te trek, kos R25 per vierkante meter. Materiaal om die basis ABCD en die vier sye oor te trek, kos R20 per vierkante meter. a Toon dat die hoogte (ℎ) van die boks gegee word deur ℎ = 12𝑥 −2 . b Toon dat die totale koste (C) in rand gegee word deur 𝐶(𝑥) = 90𝑥 2 + 1440𝑥 −1 . c Bepaal die waarde van 𝑥 waarvoor die koste ŉ minimum sal wees. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 72

9 Hoofstuk Analitiese meetkunde Oorsig Eenheid 1 Bladsy 196 Vergelyking van ’n sirkel met • Bepaling van die middelpunt by die oorsprong vergelyking van ’n sirkel • Simmetriese punte op ’n sirkel Eenheid 2 Bladsy 200 Vergelyking van ’n sirkel weg • Bepaling van die Hoofstuk 9 Bladsy 194 van die oorsprong gesentreer vergelyking van ’n sirkel Analitiese meetkunde met enige gegewe middelpunt • Algemene vorm Eenheid 3 Bladsy 206 Die vergelyking van die raaklyn • Lyne op sirkels aan die sirkel • Vergelyking van ’n raaklyn ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. 4 Doen die gemengde oefeninge aan die einde van hierdie hoofstuk in die studiegids. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 73

9 Hoofstuk Analitiese meetkunde HERSIENING VAN BEGRIPPE UIT VORIGE GRADE BEGRIP FORMULE / METODE Afstand tussen twee punte 𝑨(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏 ) en 𝑑 = �(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 𝑩(𝒙𝟐 ; 𝒚𝟐 ) 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 Koördinate van middelpunt � ; � 2 2 𝑦2 − 𝑦1 Gemiddelde gradiënt tussen twee punte 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 𝑨(𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏 ) en 𝑩(𝒙𝟐 ; 𝒚𝟐 ) Of wanneer die hellingshoek, 𝜃, gegee word, Gradiënt van ’n reguitlyn deur 𝑨 en 𝑩 gebruik 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 Vergelyking van ’n reguitlyn 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 Of 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Hellingshoek, 𝜽 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 Let Wel: Hoek tussen lyn en POSITIEWE As 𝑚 > 0(+), dan 𝜃 is 𝒙 −as ’n skerphoek (kleiner as 90°) As 𝑚 < 0(−), dan 𝜃 is ’n stomphoek (groter as 90°) Om te bewys dat punte 𝑨, 𝑩 en 𝑪 kollineêr is Bewys dat 𝑚𝐴𝐴 = 𝑚𝐴𝐶 (d.w.s. in ’n reguitlyn gerangskik) Of 𝑚𝐴𝐴 = 𝑚𝐴𝐶 Of 𝑚𝐴𝐶 = 𝑚𝐴𝐶 Ewewydige lyne Twee lyne 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑐1 en 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑐2 is ewewydig as 𝑚1 = 𝑚2 Loodlyne Twee lyne 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑐1 en 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑐2 is loodreg as 𝑚1 × 𝑚2 = −1 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 74

9 Hoofstuk Analitiese meetkunde ANDER DEFINISIES/BEGRIPPE WAT JY MOET KEN DEFINISIE VOORBEELDE A (1;4) C(3;-2) K B(-3;4) Hoogtelyn van ’n driehoek = Om die vergelyking van hoogtelyn AK te die lyn van een hoekpunt loodreg op die bepaal: teenoorstaande sy • Bepaal die gradiënt van BC. • Bepaal die gradiënt van AK. • Bepaal die vergelyking van AK (vervang A). −2 − 4 𝑚𝐴𝐶 = = −1 3 − (−3) Maar BC⏊AK, dus 𝑚𝐴𝐾 = 1 Vervang punt A(1;4): 𝑦 − 4 = −1(𝑥 − 1) Vergelyking van AK: 𝑦 = −𝑥 + 5 K(1;6) M(4;2) Swaartelyn (mediaan) = die lyn wat die A hoekpunt van die driehoek met die L(-4;-4) middelpunt van die teenoorstaande sy Om die vergelyking van swaartelyn KA te verbind bepaal: • Bepaal die koördinate van middelpunt A. • Bepaal die gradiënt van KA. • Bepaal die vergelyking van KA. −4 + 4 −4 + 2 𝐴� ; � 2 2 𝐴(0; −1) _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 75

9 Hoofstuk Analitiese meetkunde 6 − (−1) 𝑚𝐾𝐴 = =7 1−0 𝑦 − 6 = 7(𝑥 − 1) 𝑦 = 7𝑥 − 1 C(4;6) B(-2;4) Om die vergelyking van middelloodlyn van Middelloodlyn = die lyn deur BC te bepaal: die middelpunt van ŉ lyn en • Bepaal die gradiënt van BC. loodreg op daardie lyn • Bepaal die gradiënt van die halveerlyn. • Bepaal vergelyking van halveerlyn. 6−4 1 𝑚𝐴𝐶 = = 4 − (−2) 3 Produk van gradiënte moet −1 wees: 𝑚𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑙𝑜𝑜𝑑𝑙𝑦𝑛 = −3 𝑦 − 6 = −3(𝑥 − 4) 𝑦 = −3𝑥 + 18 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 76

9 Hoofstuk Analitiese meetkunde DIE SIRKEL : (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 (middelpunt-radius-vorm) SAMEVATTING VAN SIRKELS Vergelyking van sirkel met radius 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝒓 en middelpunt by die oorsprong Vergelyking van sirkel met radius 𝒓 (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 en middelpunt (𝒂; 𝒃) Voorbeeld A: Bepaal die radius en middelpunt van die sirkel met vergelyking (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 16 Om radius en (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 3)2 = 16 kan geskryf word as middelpunt van sirkel te bepaal (𝑥 − (−1))2 + (𝑦 − (3))2 = 16 wanneer vergelyking gegee word Middelpunt: (−1; 3) Radius = √16 = 4 Voorbeeld B: Bepaal die radius en middelpunt van die sirkel met vergelyking 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 6𝑦 − 10 = 0 Ons gaan VOLTOOIING VAN DIE VIERKANT gebruik • Konstante term na RK; groepeer 𝑥- en 𝑦-terme 𝑥 2 + 4𝑥 + ⋯ + 𝑦 2 + 6𝑦 + ⋯ = 10 1 2 • Voltooi vierkant vir 𝑥 en 𝑦 -- tel �2 × 𝑘𝑜ë𝑓𝑓𝑖𝑠𝑖ë𝑛𝑡� by 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝟒 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 𝟗 = 10 + 𝟒 + 𝟗 • Skryf in middelpunt-radius-vorm (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 23 Middelpunt: (−2; −3) Radius = √23 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 77

9 Hoofstuk Analitiese meetkunde Let Wel: Radius is loodreg op raaklyn Vergelyking van raaklyn aan sirkel by ’n gegewe punt Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟔 deur die punt (𝟐; 𝟓). Die stappe is: • Bepaal middelpunt van sirkel. • Bepaal gradiënt van RADIUS. • Bepaal gradiënt van RAAKLYN: Onthou: 𝒎𝒓𝒂𝒅𝒔𝒖𝒄 × 𝒎𝒓𝒂𝒂𝒌𝒍𝒚𝒔 = −𝟏 • Bepaal vergelyking van raaklyn deur raakpunt te vervang. Die middelpunt van sirkel (𝒙 + 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟔 is (−𝟐; 𝟑). Radius verbind met middelpunt (−𝟏; 𝟑) met raakpunt (𝟐; 𝟓). 𝟓−𝟑 𝟐 𝟏 𝒎𝒓𝒂𝒅𝒔𝒖𝒄 = = = 𝟐 − (−𝟐) 𝟒 𝟐 ∴ 𝒎𝒓𝒂𝒂𝒌𝒍𝒚𝒔 = −𝟐 Vergelyking van raaklyn: 𝒚 − 𝟓 = −𝟐(𝒙 − 𝟐) 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟗 Gemengde oefening oor Analitiese meetkunde 1 A (−2; 1), B(𝑝; −4), C(5; 0) en D (3; 2) is die hoekpunte van trapesium ABCD in ’n Cartesiese vlak met 𝐴𝐵ǁ𝐶𝐷. a Toon aan dat 𝑝 = 3. b Bereken AB:CD in die eenvoudigste vorm. c As N (𝑥; 𝑦) op AB is en NBCD is ŉ parallelogram, bepaal die koördinate van N. d Bepaal die vergelyking van die lyn wat deur B en D gaan. e Wat is die hellingshoek van lyn BD? _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 78

Hoofstuk9 Analitiese meetkunde f Bereken die oppervlakte van parallelogram NBCD. g R (−1; 𝑞), A en C is kollineêr. Bereken die waarde van 𝑞. 2 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑦 2 + 2𝑦 – 8 = 0 is die vergelyking van ’n sirkel met middelpunt M in ’n Cartesiese vlak. a Bewys dat die sirkel deur die punt N(1; −3) gaan. b Bepaal die vergelyking van PN, die raaklyn aan die sirkel by N. c Bereken 𝜃, die hellingshoek van die raaklyn, afgerond tot een desimale plek. d Bepaal die koördinate van die punt waar die raaklyn in 2b die 𝑥-as sny. e Bereken die koördinate van die punt(e) waar die sirkel met middelpunt M die 𝑦-as sny. 3 In die diagram is P, R en S hoekpunte van ∆PRS . P is ’n punt op die y-as. Die koördinate van R is (-6; -12). Die vergelyking van PR is 3𝑥 – 𝑦 + 6 = 0. Die swaartelyn SM en die hoogtelyn RN sny by die oorsprong O. a Bereken die gradiënt van RO. b Bereken die gradiënt van PS. c Bepaal die vergelyking van PS. d Bereken die helling van PS afgerond tot een desimale plek. e ( ) As die koördinate van N 2n; 3 53 + n is, bepaal die waarde van 𝑛. f Bereken die koördinate van S. 4 Die vergelyking van ’n sirkel is 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 – 2𝑦 – 4 = 0. a Bepaal die koördinate van M, die middelpunt van die sirkel, asook die lengte van die radius. b Bereken die waarde van p as N(𝑝; 1) met 𝑝 > 0 ’n punt op die sirkel is. c Skryf die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by N neer. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 79

9 Hoofstuk Analitiese meetkunde 5 A (-3; 3), B(2; 3), C(6; -1) en D(𝑥; 𝑦) is die hoekpunte van vierhoek ABCD in ŉ Cartesiese vlak. a Bepaal die vergelyking AD. b Bewys dat die koördinate van D ( ) is as D ewe ver van B en C is. 3 3 ;− 2 2 c Bepaal die vergelyking van BD. d Bepaal die grootte van θ , die hoek tussen BD en BC, afgerond tot een desimale plek. e Bereken die oppervlakte van ∆BDC afgerond tot die naaste vierkante eenheid. 6 In die diagram is punte A(2; 3), B(𝑝; 0) en C(5; -3) die hoekpunte van ∆ABC in ’n Cartesiese vlak. AC sny die 𝑥-as by D. a Bereken die koördinate van D. b Bereken die waarde van p as BC = AC en 𝑝 < 0. c Bepaal die hellingshoek van reguitlyn AC, afgerond tot een desimale syfer. d As 𝑝 = −1, bereken die grootte van Â , afgerond tot een desimale syfer. 7 In die Cartesiese vlak word die vergelyking van ’n sirkel met middelpunt M gegee deur: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑦 – 7 = 0 Bepaal, deur berekening, of die reguitlyn 𝑦 = 𝑥 + 1 ’n raaklyn aan die sirkel is of nie. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 80

9 Hoofstuk Analitiese meetkunde 8 In die diagram lê middelpunt C van die sirkel op die reguitlyn 3𝑥 + 4𝑦 + 7 = 0. Die reguitlyn sny die sirkel by D en E(−1; −1). Die sirkel raak aan die y-as by P(0; 2). a Bepaal die vergelyking van die sirkel in die vorm: (𝑥 – 𝑛)2 + (𝑦 – 𝑞)2 = 𝑟 2 . b Bepaal die lengte van middellyn DE. c Bepaal die vergelyking van die middelloodlyn van PE. d Toon aan dat die middelloodlyn van PE en reguitlyn DE by C sny. 9 In die diagram is P, R(4; −4), S en T (0; 4) die hoekpunte van ’n reghoek. P en S lê op die 𝑥 – as. Die hoeklyne sny by W. a Toon aan dat die koördinate van S (2 + 2√5; 0) is. b Bepaal die gradiënt van TS afgerond tot twee desimale plekke. c Bereken 𝑅𝑇�𝑆 afgerond tot twee desimale plekke. 10 a Toon aan dat die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel 𝑥 2 + 𝑦 2 – 4𝑥 + 6𝑦 + 3 = 0 by die punt (5; -2) 𝑦 = −3𝑥 + 13 is. b As T(𝑥; 𝑦) ’n punt op die raaklyn in 10.a is sodat sy afstand van die middelpunt van die sirkel 20 eenhede is, bepaal die waardes van 𝑥 en 𝑦. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 81

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde Oorsig Eenheid 1 Bladsy 232 Eweredigheid in driehoeke • Verhouding • Stelling 1 Hoofstuk 10 Bladsy 224 Eenheid 2 Bladsy 238 Euklidiese Gelykvormigheid in driehoeke • Stelling 2 meetkunde • Stelling 3 Eenheid 3 Bladsy 244 Stelling van Pythagoras • Bewys van Stelling van Pythagoras ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. 4 Doen die gemengde oefeninge aan die einde van hierdie hoofstuk in die studiegids. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 82

Hoofstuk10 Euklidiese meetkunde HERSIENING van meetkunde uit vorige jare KONGRUENSIE SSS HHS SHS (ingeslote hoek) RHS GELYKVORMIGHEID HHH SSS _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 83

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde EIENSKAPPE VAN SPESIALE VIERHOEKE PARALLELOGRAM • Albei paar teenoorstaande sye is ewewydig. • Albei paar teenoorstaande sy is gelyk. • Albei paar teenoorstaande hoeke is gelyk. • Hoeklyne halveer mekaar. REGHOEK Alle eienskappe van ŉ parallelogram. Plus: • Albei hoeklyne is ewe lank. • Alle binnehoeke is gelyk aan 90°. RUIT Alle eienskappe van ŉ parallelogram. Plus: • Alle sye is gelyk. • Hoeklyne halveer mekaar loodreg. • Hoeklyne halveer binnehoeke. VIERKANT Alle eienskappe van ŉ ruit. Plus: • Alle binnehoeke is 90°. • Hoeklyne is ewe lank. VLIEËR • Twee paar aangrensende sye is gelyk. • Hoeklyn tussen gelyke sye halveer ander hoeklyn. • Een paar teenoorstaande hoeke is gelyk (ongelyke sye). • Hoeklyn tussen gelyke sye halveer binnehoeke (is simmetrie-as). • Hoeklyne sny loodreg. TRAPESIUM • Een paar teenoorstaande sye is ewewydig. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 84

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde HOE OM TE BEWYS DAT ’N VIERHOEK ’N PARALLELOGRAM IS Bewys enige EEN van die volgende (meestal deur kongruensie): • Bewys dat albei paar teenoorstaande sye ewewydig is. • Bewys dat albei paar teenoorstaande sye gelyk is. • Bewys dat albei paar teenoorstaande hoeke gelyk is. • Bewys dat die hoeklyne mekaar halveer. • Bewys dat EEN paar sye gelyk en ewewydig is. HOE OM TE BEWYS DAT ’N PARALLLELOGRAM ’N RUIT IS Bewys EEN van die volgende: • Bewys dat die hoeklyne mekaar loodreg halveer. • Bewys dat enige twee aangrensende sye ewe lank is. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 85

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde MIDDELPUNTSTELLING Die lynsegment wat die middelpunte van twee sye van ŉ driehoek verbind, is ewewydig aan die 3de sy van die driehoek en die helfte van die lengte van daardie sy. 1 As AD = DB en AE = EC, dan DE ǁ BC en DE = 2BC OMGEKEERDE VAN MIDDELPUNTSTELLING As ŉ lyn vanaf die middelpunt van een sy van ’n driehoek ewewydig aan ŉ ander sy getrek word, sal daardie lyn die 3de sy halveer en die helfte wees van die lengte van die sy waaraan dit ewewydig is. 1 As AD = DB en DE ǁ BC, dan AE = EC en DE = 2BC. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 86

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde HERSIENING VAN SIRKELMEETKUNDE (UIT GRAAD 11) Stelling 1 Omgekeerde van Stelling 1 As AC = CB in sirkel O, dan OC ⏊ AB. As OC ⏊ koord AB, dan AC = BC. Stelling 2 ŉ Hoek by die middelpunt van ŉ sirkel is dubbel die grootte van die hoek op die omtrek van die sirkel wat deur dieselfde koord of boog onderspan word. AO � B = 2 × AC� B Stelling 3 Omgekeerde van Stelling 3 Die hoek op ’n sirkel wat deur die middellyn As 𝐴̂ = 90°, dan is AB die middellyn van die onderspan word, is ’n regte hoek. (Die hoek in ’n sirkel. halfsirkel is 90°.) Stelling 4 Omgekeerde van Stelling 4 Die hoeke op die omtrek van ’n sirkel wat deur As ’n lynsegment gelyke hoeke by twee ander dieselfde boog of koord onderspan word, is punte onderspan, lê hierdie vier punte op die gelyk. omtrek van ’n sirkel. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 87

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde Gevolgtrekkings uit Stelling 4 Gelyke koorde van gelyke sirkels Gelyke koorde onderspan gelyke Gelyke koorde onderspan gelyke onderspan gelyke hoeke op die hoeke op die omtrek hoeke by die middelpunt van ŉ omtrek van ŉ sirkel van ŉ sirkel. sirkel. Stelling 5 Omgekeerde van Stelling 5 Die teenoorstaande hoeke van ŉ koordevierhoek is As die teenoorstaande hoeke van ŉ vierhoek supplementêr. supplementêr is, is dit ŉ koordevierhoek. 𝐴̂ + 𝐴̂ = 180° 𝐴� + 𝐷� = 180° Stelling 6 Omgekeerde van Stelling 6 Die buitehoek van ŉ koordevierhoek is gelyk aan die As die buitehoek van ŉ vierhoek gelyk aan die teenoorstaande binnehoek. teenoorstaande binnehoek is, is dit ŉ koordevierhoek. Stelling 7 Omgekeerde van Stelling 7 Die raaklyn aan ŉ sirkel is loodreg op die radius by As ŉ lyn loodreg op die radius getrek word deur die die raakpunt met die sirkel. punt waar die radius die sirkel ontmoet, is hierdie lyn ŉ raaklyn aan die sirkel. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 88

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde Stelling 8 Twee raaklyne wat vanaf dieselfde punt buite ŉ sirkel getrek word, is ewe lank. Stelling 9 (Raaklyn-koord-stelling) Omgekeerde van Stelling 9 Die hoek tussen die raaklyn aan ŉ sirkel en ŉ koord As ŉ lyn deur die eindpunt van ŉ koord getrek word wat vanaf die raakpunt getrek word, is gelyk aan die en ŉ hoek vorm wat gelyk aan die hoek in die hoek in die teenoorstaande sirkelsegment. teenoorstaande segment is, is daardie lyn ŉ raaklyn. Skerphoek Stomphoek DRIE MANIERE OM TE BEWYS DAT ’N VIERHOEK ’N KOORDEVIERHOEK IS Bewys dat: • een paar teenoorstaande hoeke supplementêr is • die buitehoek gelyk aan die teenoorstaande binnehoek is • twee hoeke wat by twee ander hoekpunte van die vierhoek deur ŉ lynsegment onderspan word, gelyk is. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 89

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde Voorbeeld 1 In die diagram regs is O die middelpunt van sirkel DABMC. BC en DM is middellyne. AC en DM sny by T. OT = 3DT ABǁDM a Bewys dat T die middelpunt van AC is. b Bepaal die lengte van MC in terme van DT. c � in terme van 𝑂�2 uit. Druk 𝐷 Oplossing: a 𝐴̂1 = 90° ∠ in half⊙ 𝑇�1 = 90° binne∠’e supplementêr _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 90

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde HERSIENING VAN DIE BEGRIP EWEREDIGHEID A 6 cm B 4 cm C D 9 cm E 6 cm F AB : BC = 6 : 4 = 3 : 2 DE : EF = 9 : 6 = 3 : 2 Al is AB : BC = DE : EF, beteken dit NIE dat AB = DE, AC = DF of BC = EF nie. GRAAD 12-MEETKUNDE Stelling 1 Omgekeerde van Stelling 1 ŉ Lyn wat ewewydig aan een sy van ŉ As ŉ lyn twee sye van ŉ driehoek driehoek is en die ander twee sye sny, sal eweredig verdeel, is die lyn ewewydig die ander twee sye eweredig verdeel. aan die derde sy van die driehoek. 𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐴𝐴 As DE ǁ BC, dan = As = , dan DE ǁ BC. 𝐷𝐷 𝐸𝐸 𝐷𝐷 𝐸𝐸 of AD : DB = AE : EC _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 91

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde Stelling 2 (Middelpuntstelling) Omgekeerde van Stelling 2 (Spesiale geval van Stelling 1) Die lynsegment wat die middelpunte van As ŉ lyn vanaf die middelpunt van een twee sye van ŉ driehoek verbind, is ewewydig sy van ŉ driehoek en ewewydig aan ŉ aan die 3de sy van die driehoek en die helfte ŉ ander sy getrek word, sal daardie lyn van die lengte van daardie sy. die 3de sy halveer en die helfte wees van die lengte van die sy waaraan dit ewewydig is. 1 As AD = DB en AE = EC, dan DE ǁ BC en DE = BC. As AD = DB en DE ǁ BC, dan AE = EC 2 1 en DE = BC. 2 Stelling 3 Omgekeerde van Stelling 3 Die ooreenkomstige sye van twee As die sye van twee driehoeke eweredig is, gelykhoekige driehoeke is eweredig. dan is die driehoeke gelykhoekig. 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐴𝐴 As ∆𝐴𝐴𝐴 ||| ∆𝐷𝐷𝐷, dan = = As = = , dan ∆𝐴𝐴𝐴 |||∆𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷 𝐸𝐸 𝐷𝐷 𝐷𝐷 𝐸𝐸 𝐷𝐷 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 92

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde Stelling 4 Die loodlyn wat vanaf die hoekpunt van die regte hoek van ŉ reghoekige driehoek getrek word, verdeel die driehoek in twee driehoeke wat gelykvormig aan mekaar en gelykvormig aan die oorspronklike driehoek is. Gevolgtrekkings uit Stelling 4 ∆𝐴𝐴𝐴|||∆𝐷𝐷𝐷 ∆𝐴𝐴𝐴|||∆𝐷𝐷𝐷 ∆𝐷𝐷𝐷|||∆𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝐷𝐷 𝐵𝐵 𝐷𝐷 ∴ = = ∴ = = ∴ = = 𝐷𝐷 𝐵𝐵 𝐷𝐷 𝐷𝐷 𝐴𝐴 𝐷𝐷 𝐷𝐷 𝐴𝐴 𝐷𝐷 ∴ 𝐴𝐴2 = 𝐵𝐵. 𝐵𝐵 ∴ 𝐴𝐴 2 = 𝐶𝐶. 𝐶𝐶 ∴ 𝐴𝐴 2 = 𝐵𝐵. 𝐷𝐷 Stelling 5 (Die Stelling van Pythagoras) Using die gevolgtrekkings uit Stelling 4, dit kan be proven dat: 𝐵𝐵 2 = 𝐴𝐴2 + 𝐴𝐴 2 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 93

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde Voorbeeld 4 Gegee: 𝐴𝐷: 𝐷𝐴 = 2: 3 en 𝐴𝐷 = 3 𝐷𝐴. Instruksie: Bepaal die verhouding van 𝐴𝑃: 𝑃𝐷. Oplossing: 𝐷𝐴 5 5 In ∆𝐴𝐴𝐷 𝐾𝐴 =2 ∴ 𝐴𝐷 = 2 𝐾𝐷 4 Maar dit is gegee dat 𝐴𝐷 = 3 𝐷𝐴 4 5 ∴ 3 𝐷𝐴 = 2 𝐾𝐷 𝐴𝐸 5 4 15 𝐾𝐴 =2÷3 = 8 𝐸𝑃 𝐸𝐴 15 In ∆𝐴𝐷𝐾 𝑃𝐴 = 𝐴𝐾 = 8 ∴ 𝐴𝑃: 𝑃𝐷 = 15: 8 WENKE OM ’N MEETKUNDEPROBLEEM OP TE LOS • LEES, LEES, LEES die inligting langs die diagram aandagtig. • DRA alle gegewe inligting op die DIAGRAM OOR. • Soek SLEUTELWOORDE, bv. RAAKLYN: Wat sê die stellings oor raaklyne? KOORDEVIERHOEK: Wat is die eienskappe van ŉ koordevierhoek? • Stel vir jouself “SEKONDÊRE” DOELWITTE, bv. - As jy wil bewys dat twee sye van driehoek gelyk is (primêre doel), bewys eers dat daar twee gelyke hoeke is (sekondêre doel) - As jy wil bewys dat ŉ lyn ŉ raaklyn is, kan die sekondêre doel wees om te bewys dat die lyn loodreg op ŉ radius is. • Vir vrae soos: Bewys dat 𝐴̂1 = 𝐴̂2 . Begin met EEN DEEL. Beweeg stap vir stap na die ANDER DEEL en gee redes. � 𝟏 = 𝐴̂2 ; 𝐴̂2 = 𝐴̂1 ; 𝐴̂1 = 𝑪 Bv. 𝑨 �𝟐 ; ∴ 𝑨 �𝟐 �𝟏 = 𝑪 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 94

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde Gemengde oefening oor Euklidiese Meetkunde 1 In die diagram is TBD by B ’n raaklyn aan sirkels BAPC en BNKM. AKC is ’n koord van die groter sirkel en is ook ’n raaklyn aan die kleiner sirkel by K. Koorde MN en BK sny by F. PA word na D verleng. BMC, BNA en BFKP is reguitlyne. Bewys dat: a MN ǁ CA b ∆𝐾𝑀𝑁 is gelykbenig 𝐷𝐾 𝐷𝑀 c 𝐾𝑃 = 𝑀𝐸 d DA is ’n raaklyn aan die sirkel en gaan deur punte A, B en K. 2 In die diagram hieronder word koord BA en raaklyn TC van sirkel ABC verleng om by R te ontmoet. BC word na P verleng met RC = RP. AP is nie ’n raaklyn nie. Bewys dat: a ACPR ’n koordevierhoek is b ∆𝐴𝐴𝐴|||∆𝑅𝑃𝐴 𝐸𝐷.𝑅𝐴 c 𝑅𝐴 = 𝐴𝐸 d 𝑅𝐴. 𝐴𝐴 = 𝑅𝐴. 𝐴𝐴 e Bewys vervolgens dat 𝑅𝐴 2 = 𝑅𝐴. 𝑅𝐴. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 95

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde 3 In die diagram regs sny sirkels ACBN en AMBD by A en B. CB is ’n raaklyn aan die groter sirkel by B. M is die middelpunt van die kleiner sirkel. CAD en BND is reguitlyne. Laat 𝐴̂3 = 𝑥. a � in terme van 𝑥. Bepaal die grootte van 𝐷 b Bewys dat: i CB ǁ AN ii AB ’n raaklyn aan sirkel ADN is. 4 In die diagram hieronder is O die middelpunt van sirkel ABCD. DC word verleng om sirkel BODE by punt E te ontmoet. OE sny BC by F. Laat 𝐷�1 = 𝑥. a Bepaal 𝐴̂ in terme van 𝑥. b Bewys dat: i BE=EC ii BE NIE ’n raaklyn aan sirkel ABCD is nie. . _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 96

10 Hoofstuk Euklidiese meetkunde 5 In die diagram regs sny swaartelyne AM en CN van ∆𝐴𝐴𝐴 by O. BO word verleng om AC by P te ontmoet. MP en CN sny in D. ORǁMP met R op AC. 𝑁𝐴 a Bereken, met redes, die numeriese waarde van 𝑁𝐸 . 𝑅𝑃 b Gebruik 𝐴𝑂: 𝐴𝑀 = 2: 3 om die numeriese waarde van 𝑃𝐸 te bereken. 6 In die diagram is AD die middellyn van sirkel ABCD. AD word verleng om raaklyn NCP in P te ontmoet. Reguitlyn NB word na Q verleng en sny AC in M met Q op reguitlyn ADP. AC⏊NQ by M. a Bewys dat NQǁCD. b Bewys dat ANCQ ’n koordevierhoek is. c i Bewys dat ∆𝑃𝐴𝐷|||∆𝑃𝐴𝐴. ii Voltooi vervolgens: 𝑃𝐴 2 = ⋯ d Bewys dat 𝐴𝐴 2 = 𝐴𝐷. 𝑁𝐴 e As dit verder gegee word dat PC=MC, bewys dat 𝐷𝑀2 𝐴𝑃.𝐴𝑃 1 − 𝐷𝐸 2 = 𝐸𝐴.𝑁𝐷 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 97

11 Hoofstuk Statistiek: regressie en korrelasie Oorsig Eenheid 1 Bladsy 254 Simmetriese en skewe data • Simmetriese data • Skewe data Eenheid 2 Bladsy 258 Spreidingsdiagramme en • Tweeveranderlike data korrelasie • Korrelasie • Voorbeelde van Hoofstuk 11 Bladsy 250 spreidingsdiagramme Statistiek: regressie en en korrelasie korrelasie • Teken van spreidingsdiagramme • Die kleinste-kwadrate- metode • Die korrelasiekoëffisiënt • Gebruik ’n sakrekenaar om die regressielyn te bepaal ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. 4 Doen die gemengde oefeninge aan die einde van hierdie hoofstuk in die studiegids. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 98

11 Hoofstuk Statistiek: regressie en korrelasie ONGEGROEPEERDE DATA GEGROEPEERDE DATA Modus = getal met die hoogste frekwensie Modale klas = interval met hoogste frekwensie ∑ 𝑥𝑖 ×𝑓𝑖 Geskatte gemiddelde = ∑ 𝑓𝑖 𝑆𝑜𝑚 𝑣𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑒 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒𝑠 Gemiddelde = 𝐴𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒𝑠 waar 𝑥𝑖 = middelpunt van klas 𝑖 Sentrale waardes en 𝑓𝑖 = frekwensie van klas 𝑖 Let Wel: Data moet in stygende orde gerangskik word. 𝑄2 , Mediaan = Middelwaarde Mediaanklasinterval = klas/interval waarin (vir ŉ onewe getal waardes) middelwaarde lê (𝑛+1) Posisie van 𝑄2 = 2 𝑆𝑜𝑚 𝑣𝑎𝑛 𝑡𝑤𝑒𝑒 𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒𝑠 Of 2 (vir ŉ ewe getal waardes) Persentiele (verdeel data in 100 gelyke dele) 30 Bv. die posisie van 𝑃30 = (𝑛 + 1) Maatstawwe van dispersie (toon 100 𝑄1 , laer kwartiel = middelwaarde van al die (𝑛+1) Posisie van 𝑄1 = 4 waardes onder die mediaan (uitsluitend mediaan) 𝑄3 , hoër kwartiel = middelwaarde van al die Posisie van 𝑄3 = 3(𝑛+1) 4 waardes bo die mediaan (uitsluitend mediaan) Variasiewydte = maksimum – minimum spreiding van data) Interkwartielvariasiewydte (IQR) = 𝑄3 − 𝑄1 𝑄3 −𝑄1 Semi-interkwartielvariasiewydte = 2 Vyfgetal-opsomming (word gebruik om mond-en- snor-diagram te teken): Min, 𝑄1 , Mediaan, 𝑄3 , Maks VERSPREIDING VAN DATA SIMMETRIESE VERSPREIDING ASIMMETRIESE VERSPREIDINGS NORMALE VERSPREIDING NEGATIEF SKEEF POSITIEF SKEEF 𝒈𝒆𝒎𝒊𝒅𝒅𝒆𝒍𝒅𝒆 = 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒂𝒏 𝑔𝑒𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑑𝑒 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑎𝑛 < 0 𝑔𝑒𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑑𝑒 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑎𝑛 > 0 = 𝒎𝒐𝒅𝒖𝒔 Gemiddelde Modus Modus Mediaan Modus Mediaan Mediaan Gemiddelde Gemiddelde Simmetries Skeef na links Skeef na regs _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 99

11 Hoofstuk Statistiek: regressie en korrelasie OGIEF Ogief = kumulatiewe frekwensiegrafiek 70 60 Let Wel: Wanneer jy die ogief teken: 50 • stip die (hoër klaslimiet : kumulatiewe frekwensie) 40 • moet die grafiek aan die horisontale as raak 30 20 • moet die vorm van die grafiek egalig wees 10 eerder as dat dit uit “kolletjies wat verbind is”, bestaan. Q1 Q3 5 10 15 20 25 DIE OGIEF KAN GEBRUIK WORD OM DIE MEDIAAN EN KWARTIELE TE BEPAAL. MAATSTAWWE VAN DISPERSIE OM DIE GEMIDDELDE VARIANSIE 𝜎 2 Variansie, 𝜎 2 , is ’n aanduiding van hoe ver elke waarde in die datastel van die gemiddelde, 𝑥̅ , is. ∑(𝑥𝑖 −𝑥̅ )2 𝜎2 = (vir populasie) 𝑛 STANDAARDAFWYKING 𝜎 Standaardafwyking (SD), 𝜎: SD = √𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒 Hoe groter die standaardafwyking, hoe groter sal die afwyking van die gemiddelde wees. ’n Normale verspreiding word hier getoon: _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 100

11 Hoofstuk Statistiek: regressie en korrelasie GEBRUIK ’N TABEL OM VARIANSIE EN STANDAARDAFWYKING TE BEREKEN ONGEGROEPEERDE DATA Bereken eers die gemiddelde,𝑥̅ , dan die volgende kolomme. DATAWAARDES, 𝑥 (𝑥 − 𝑥̅ ) (𝑥 − 𝑥̅ )2 Bereken die totaal van hierdie kolom,∑(𝑥 − 𝑥̅ )2 ∑(𝑥−𝑥̅ )2 Variansie = 𝑛 Standaardvariansie = √𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒 GEGROEPEERDE DATA ∑ 𝑓×𝑚 Bereken eers die geskatte gemiddelde, 𝑥̅ = ∑𝑓 Klas- Frekwensie Middelpunt 𝑓×𝑚 𝑚 − 𝑥̅ (𝑚 − 𝑥̅ )2 𝑓 × (𝑚 − 𝑥̅ )2 interval 𝑓 𝑚 Bereken die totaal van hierdie kolom ∑ 𝑓(𝑥−𝑥̅ )2 Variansie = 𝑛 Standardvariansie = √𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠𝑖𝑒 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 101

Hoofstuk11 Statistiek: regressie en korrelasie GEBRUIK ’n SAKREKENAAR OM STANDAARDAFWYKING TE BEREKEN MODE 2 : STAT Om die frekwensiekolom aan te skakel 1 : 1 – VAR wanneer jy die standaardafwyking vir ŉ frekwensietabel bereken, doen eers die Voer die datapunte in: Druk = na elke datapunt volgende: AC Shift Setup; Af-pyltjie (op groot REPLAY- SHIFT STAT (bokant die 1-sleutel) sleutel); 3: STAT; 2: ON 4 : VAR 3: 𝜎𝑥𝑛 Om skerm skoon te maak: MODE 1: COMP BEPALING VAN UITSKIETERS Interkwartielvariasiewydte, IKV = 𝑄3 − 𝑄1 ’n Uitskieter word geïdentifiseer as dit: • kleiner as 𝑄1 − 𝐼𝐾𝑉 × 1,5 of • groter as 𝑄3 + 𝐼𝐾𝑉 × 1,5 is. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 102

Hoofstuk11 Statistiek: regressie en korrelasie SPREIDINGSDIAGRAMME () VIR TWEEVERANDERLIKE DATA Spreidingsdiagramme word gebruik om grafies te bepaal of daar ’n verband tussen twee veranderlikes is. ’n Mens kan deur ondersoek bepaal watter van die volgende krommes (regressiefunksies) die beste by die diagram pas: Lineêr (reguitlyn) Kwadraties (parabool) Eksponensiaalfunksie GEBRUIK VAN ’N SAKREKENAAR OM DIE VERGELYKING VAN DIE REGRESSIELYN (KLEINSTE-KWADRATE-REGRESSIELYN) TE BEPAAL Die standaardvorm van ’n reguitlynvergelyking is: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐, waar 𝑚 die gradiënt en 𝑐 die 𝑦-afsnit is. Let Wel: Op die sakrekenaar word die regressielyn in die vorm 𝒚 = 𝑨 + 𝑩𝒙 bepaal. (In hierdie vorm 𝐴 = die gradiënt van die lyn en 𝐴 = die 𝑦-afsnit.) _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 103

11 Hoofstuk Statistiek: regressie en korrelasie Druk die volgende op die sakrekenaar: MODE 2 2: A+Bx Voer die datapunte in (kolom X en Y): Druk = na elke datapunt Druk AC.SHIFT STAT 5: REG 1: A = (om die 𝑦-afsnit van die lyn te bepaal) SHIFT STAT 5: REG 2: B = (om die gradiënt van die lyn te bepaal) SHIFT STAT 5: REG 3: 𝑟 = (om korrelasiekoëffisiënt te bepaal) VOORBEELD 𝑥 5 10 15 20 25 30 35 40 𝑦 20 223 25 35 30 40 50 55 Met behulp van die sakrekenaar kan die vergelyking vir die lyn van beste passing (of regressielyn) bepaal word, en gee dan: 𝑦 = 1𝑥 + 12,25 100 y 95 90 85 80 75 70 65 60 LW: Die lyn van beste passing 55 gaan ALTYD deur die punt 50 45 (𝑥̅ ; 𝑦�). 40 35 30 In hierdie geval gaan dit deur 25 20 die punt (23 ; 35). 15 10 5 x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 104

11 Hoofstuk Statistiek: regressie en korrelasie KORRELASIE Die sterkte van die verwantskap tussen die twee veranderlikes wat in ’n spreidingsdiagram voorgestel word, hang af van hoe naby die punte aan die lyn van beste passing lê. Hoe nader die punte aan hierdie lyn lê, hoe die sterker is die verwantskap of korrelasie. Korrelasie (die neiging van die grafiek) kan soos volg in terme van die algemene verspreiding van datapunte beskryf word: Sterk positief Redelik sterk positief Volkome positief Geen korrelasie nie Korrelasie Sterk negatief Redelik sterk negatief Volkome negatief _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 105

Hoofstuk 11 Statistiek: regressie en korrelasie KORRELASIEKOËFFISËNT Die korrelasie tussen twee veranderlikes kan ook in terme van ŉ getal bekend as die korrelasiekoëffisiënt beskryf word. Die korrelasiekoëffisiënt, 𝑟, dui die sterkte en die rigting van die korrelasie tussen twee veranderlikes aan. Hierdie getal kan enigiets tussen −1 en 1 wees. 𝒓 Interpretasie 𝟏 Volkome positiewe verwantskap 𝟎, 𝟗 Sterk positiewe verwantskap 𝟎, 𝟓 Redelik sterk positiewe verwantskap 𝟎, 𝟐 Swak positiewe verwantskap 𝟎 Geen verwantskap nie −𝟎, 𝟐 Swak negatiewe verwantskap −𝟎, 𝟓 Redelik swak negatiewe verwantskap −𝟎, 𝟗 Sterk negatiewe verwantskap −𝟏 Volkome negatiewe verwantskap Voorbeeld Verwys weer na die vorige voorbeeld. Vir die gegewe datastel 𝑟 = 0,958, wat beteken dat daar ŉ sterk positiewe verwantskap tussen die twee veranderlikes is. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 106

11 Hoofstuk Statistiek: regressie en korrelasie Gemengde oefening oor Statistiek 1 ’n Nasionale sokkerspan het die afgelope 14 jaar in ’n kompetisie teen spanne van ander lande deelgeneem. Hul uitslae was soos volg: JAAR WEDSTRYDE GEWEN GELYKOP VERLOOR DOELE DOELE GESPEEL VIR TEEN 1999 5 3 2 0 11 3 2000 3 1 1 1 2 22 2001 5 3 1 1 10 4 2002 4 2 0 2 8 6 2003 7 2 3 2 5 4 2004 7 6 1 0 14 5 2005 5 2 0 3 8 7 2006 7 5 1 1 15 4 2007 6 1 2 3 9 11 2008 4 2 1 1 4 2 2009 3 1 1 1 2 3 2010 3 1 0 2 5 10 2011 1 0 0 1 2 3 2012 5 4 0 1 18 9 a Bepaal die kwartiele vir: i die wedstryde gespeel ii die wedstryde wat hulle gewen het iii die doele wat teen die sokkerspan aangeteken is. b Teken ’n mond-en-snor-diagram vir die doele wat teen die sokkerspan aangeteken is en lewer kommentaar op die verspreiding van die data. c Bereken die gemiddelde van die aantal wedstryde wat gespeel is. d Bereken die standaardafwyking van die aantal wedstryde wat gespeel is. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 107

11 Hoofstuk Statistiek: regressie en korrelasie 2 Vyftig mense is gevra watter persentasie van hul Desember-vakansie-uitgawes aan vervoer bestee is. Die resultate was soos volg: PERSENTASIE FREKWENSIE (f) 10 < 𝑥 ≤ 20 6 20 < 𝑥 ≤ 30 14 30 < 𝑥 ≤ 40 16 40 < 𝑥 ≤ 50 11 50 < 𝑥 ≤ 60 3 a Teken ’n ogief om die bostaande data voor te stel. b Gebruik jou ogief en bepaal die mediaanpersentasie van die vakansie-uitgawes wat aan vervoer bestee is. b Bereken die geskatte gemiddelde. c Bereken die standaardafwyking van die data. 3 ’n Atleet se vermoë om suurstof in te neem en te gebruik word sy of haar VO2- maksimum genoem. Die volgende tabel toon elf atlete se VO2-maksimum en die afstand wat hulle in ’n uur gehardloop het. VO2-maks 20 55 30 25 40 30 50 40 35 30 50 Afstand (km) 8 18 13 10 11 12 16 14 13 9 15 a Stel die data op ’n spreidingsdiagram voor. b Bepaal die vergelyking van die lyn van beste passing. c Teken die lyn van beste passing op die spreidingsdiagram. d Gebruik jou lyn van beste passing om die VO2-maksimum te bepaal van ’n atleet wat 19 km hardloop. e Bepaal die korrelasiekoëffisiënt van die data en lewer kommentaar op die korrelasie. 4 Vyf getalle, 4; 8; 10; 𝑥 en 𝑦, het ’n gemiddelde van 10 en ’n standaardafwyking van 4. Bepaal 𝑥 en 𝑦. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 108

11 Hoofstuk Statistiek: regressie en korrelasie 5 Die standaardafwyking van vyf getale is 7,5. Elke getal vermeerder met 2. Wat sal die standaardafwyking van die nuwe versameling getalle wees? Verduidelik jou antwoord. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 109

12 Hoofstuk Waarskynlikheid Oorsig Eenheid 1 Bladsy 270 Oplossing van • Venn-diagramme waarskynlikheidsprobleme • Boomdiagramme • Tweerigting- gebeurlikheidstabelle Eenheid 2 Bladsy 276 Hoofstuk 12 Bladsy 268 Die telbeginsel • Die fundamentele Waarskynlikheid telbeginsel Eenheid 3 Bladsy 280 Die telbeginsel en • Gebruik van die waarskynlikheid telbeginsel om waarskynlikheid te bereken ONTHOU, JOU STUDIEBENADERING MOET WEES: 1 Werk deur al die voorbeelde in hierdie hoofstuk van jou handboek. 2 Werk deur die aantekeninge in hierdie hoofstuk van die studiegids. 3 Doen die oefeninge aan die einde van die hoofstuk in die handboek. 4 Doen die gemengde oefeninge aan die einde van hierdie hoofstuk in die studiegids. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 110

12 Hoofstuk Waarskynlikheid OPSOMMING VAN TEORIE OOR WAARSKYNLIKHEID BEGRIP/DEFINISIE WISKUNDIGE NOTASIE/REËL VOORBEELD Waarskynlikheid = die kans dat ’n 𝑃 Waardes van waarskynlikheid kan van gebeurtenis sal voorkom 0 tot 1 wissel • vir ’n gebeurtenis, K, wat beslis NIE gaan gebeur nie, 𝑃(𝐾) = 0 • vir ’n gebeurtenis, K wat BESLIS gaan gebeur, 𝑃(𝐾) = 1. Steekproefruimte = die 𝑆 versameling van alle moontlike uitkomste Die aantal elemente in die 𝑛(𝑆) As 𝑆 = {2; 4; 6}, dan 𝑛(𝑆) = 3 steekproefruimte Algemene reël vir A en B binne die 𝑃(𝐴 𝑜𝑓 𝐴) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 𝑒𝑛 𝐴) steekproefruimte S Interseksie 𝐴 𝑒𝑛 𝐴 of 𝐴 ∩ 𝐴 Vereniging 𝐴 𝑜𝑓 𝐴 of 𝐴 ∪ 𝐴 Insluitende gebeurtenisse het 𝑃(𝐴 ∩ 𝐴) ≠ 0 A B elemente gemeen Onderling uitsluitend/disjunkte 𝑃(𝐴 ∩ 𝐴) = 0 gebeurtenisse het GEEN ∴ 𝑃(𝐴 𝑜𝑓 𝐴) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴) INTERSEKSIE NIE, en het dus GEEN elemente gemeen nie Alomvattende gebeurtenisse = ∴ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐴) = 1 saam bevat hulle ALLE elemente van S Komplement van A = alle elemente Komplement van A = A’ wat NIE in A is nie Komplementêre gebeurtenisse = 𝑃(𝑛𝑖𝑒 𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐴′ ) = 1 − 𝑃(𝐴) onderling uitsluitend en Of alomvattend 𝑃(𝐴′ ) + 𝑃(𝐴) = 1 (alles wat NIE in A is nie, is in B) Onafhanklike gebeurtenisse = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐴) Skiet ’n muntstuk op en rol ’n uitkoms van die 1ste gebeurtenis dobbelsteentjie. beïnvloed NIE die uitkoms van die 2de gebeurtenis nie Afhanklike gebeurtenisse = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐴) ≠ 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐴) Kies ’n bal uit ’n sak, sit dit nie terug uitkoms van die 1ste gebeurtenis nie en kies dan ’n 2de bal. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 111

12 Hoofstuk Waarskynlikheid beïnvloed WEL die uitkoms van die 2de gebeurtenis FAKTORIAALNOTASIE Die produk 5 × 4 × 3 × 2 × 1 kan as 5 geskryf word! ∴ 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × 3 × 2 × 1 Die Fundamentele Telbeginsel REËL VOORBEELD REËL 1 a) Jy het 3 langbroeke en 4 hemde. Waar daar 𝒎 maniere is om een ding te doen en 𝒏 Dit beteken jy het 3 × 4 = 12 maniere om ’n ander ding te doen, is daar 𝒎 × 𝒏 verskillende kledingstukke. maniere om albei te doen. REËL 2 b) 5 kinders moet sitplekke op 5 stoele in Waar 𝒏 verskillende dinge in 𝒏 posisies geplaas die voorste ry van ’n klas gegee word. moet word, is die aantal rangskikkings 𝒏!. Die aantal maniere waarop hulle kan sit, is 5! = 120 REËL 3 c) 8 studente het aan ’n 100 m-wedloop Waar 𝒏 verskillende dinge in 𝒓 posisies geplaas deelgeneem. Die eerste drie posisies kan 𝒏! moet word, is die aantal rangskikkings (𝒏−𝒓)!. op 8! 8! (8−3)! = 5! = 8 × 7 × 6 = 336 maniere saamgestel word. REËL 4 d) 3 meisies en 4 seuns moet sitplekke Wanneer 𝒔 seuns en 𝒎 meisies sitplekke in ŉ ry op 7 stoele gegee word, met meisies moet kry, is die aantal rangskikkings: bymekaar en seuns bymekaar. • Seuns en meisies in enige orde: (𝒔 + 𝒎)! Aantal maniere = 2 × 3! × 4! = 288 maniere e) 5 wiskundeboeke en 2 • Seuns bymekaar en meisies bymekaar: wetenskapboeke moet op ’n rak gesit 𝟐 × 𝒃! × 𝒈! maniere word, maar die wiskundeboeke moet • Net meisies bymekaar: (𝒔 + 𝟏)! × 𝒎! bymekaar gesit word. rangskikkings Aantal maniere = (2 + 1)! × 5! = 360 • Net seuns bymekaar: (𝒎 + 𝟏)! × 𝒔! rangskikkings _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 112

Hoofstuk12 Waarskynlikheid LETTERRANGSKIKKINGS Wanneer jy nuwe woorde van die letters in ’n gegewe woord maak, moet jy tussen die volgende onderskei: As letters as VERSKILLENDE As herhaalde letters as IDENTIES beskou letters beskou word, is die word, is die volgende reël van toepassing: normale telbeginsel (Reël 2) Vir 𝑛 letters waarvan 𝑚1 identies is, 𝑚2 identies van toepassing. is, … en 𝑚𝑛 identies is, word die aantal rangskikkings gegee deur: 𝑛! 𝑚1 ! × 𝑚2 ! × … × 𝑚𝑛 ! Voorbeelde: 1 Hoeveel verskillende rangskikkings kan met die letters van die woord ONMIDDELLIK gevorm word as herhaalde letters as verskillende letters beskou word? Die letters word as 11 verskillende letters beskou. Aantal rangskikkings 11! 2 Hoeveel verskillende rangskikkings kan met die letters van die woord ONMIDDELLIK gevorm word as herhaalde letters as identies beskou word? Die letters word as 11 verskillende letters beskou. 11! Aantal rangskikkings = 2!×2!×2! = 6 652 800 (Die I, D en L word herhaal.) _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 113

12 Hoofstuk Waarskynlikheid Gemengde oefening oor Waarskynlikheid 1 Hoeveel verskillende 074-selfoonnommers is moontlik as die syfers nie herhaal mag word nie? 2 Hoeveel verskillende 082-selfoonnommers is moontlik as die syfers net heelgetalle mag wees? 3 Wat is die waarskynlikheid dat jy ’n koningin van ruitens uit ’n stel kaarte sal trek? 4 Hoeveel verskillende rangskikkings kan met die letters van die woord TSITSIKAMMA gemaak word as: a herhaalde letters as verskillende letters beskou word b herhaalde letters as identies beskou word? 5 Vier verskillende Engelse boeke, drie verskillende Duitse boeke en twee verskillende Afrikaanse boeke word willekeurig op ’n rak gerangskik. Bereken die aantal rangskikkings as: a die Engelse boeke bymekaar gehou moet word b alle boeke van dieselfde taal bymekaar gehou moet word c die orde van die boeke nie saak maak nie. 6 Op hoeveel verskillende maniere kan ’n voorsitter en ’n visevoorsitter uit ’n komitee van 12 mense gekies word? 7 Die letters van die woord ONMIDDELLIK moet herrangskik word. Bereken die waarskynlikheid dat die “woord” wat gevorm word nie met dieselfde letters sal begin en eindig nie. 8 Op hoeveel verskillende maniere kan die letters van die woord DIGKUNDIGES herrangskik word sodat a die K en die U bymekaar bly b die U sy posisie behou? _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 114

Antwoorde vir gemengde oefeninge Hoofstuk 1: Getalpatrone, rye en Reekse 1a 𝑇𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑎=5; 𝑑 =4 𝑇𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 + 1 b 217 = 4𝑛 + 1 4𝑛 = 216 ∴ 𝑛 = 54 2a 9 = 𝑎𝑟 4 729 = 𝑎𝑟 8 729 𝑎𝑟 8 9 = 𝑎𝑟 4 𝑟 4 = 81 𝑟 = ±3 b 𝑇10 = 𝑟 × 𝑇9 𝑇10 = ±2187 3a 𝑇2 − 𝑇1 = 𝑇3 − 𝑇2 �5𝑥 − (2𝑥 − 4)� = �(7𝑥 − 4) − 5𝑥� 5𝑥 − 2𝑥 − 7𝑥 + 5𝑥 = −4 − 4 𝑥 = −8 b −20 ; −40 ; −60 4a 𝑇𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐 3 𝑎=2 3 1 𝑏 = 5 − 3 �2� = 2 3 1 𝑐 =2−2−2=0 3 1 𝑇𝑛 = �2� 𝑛2 + �2� 𝑛 LW: Alternatiewe metodes kan gebruik word. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 115

Antwoorde vir gemengde oefeninge 3 1 b 260 = �2� 𝑛2 + �2� 𝑛 3𝑛2 + 𝑛 − 520 = 0 (3𝑛 + 40)(𝑛 − 13) = 0 𝑛 = 13 13𝑑𝑒 term is gelyk aan 260. 5 𝑇𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑎 = 17 ; 𝑑 = −3 −2785 = 17 + (𝑛 − 1)(−3) −2802 = (𝑛 − 1)(−3) 934 = (𝑛 − 1) 𝑛 = 935 Die ry het 935 terme. 6a 𝑇𝑛 = 𝑛2 b 𝑇𝑛 = 𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛 + 𝑐 𝑎 =4÷2=2 𝑏 = 8 − 3(2) = 2 𝑐 =4−2−2 =0 ∴ 𝑇𝑛 = 2𝑛2 + 2𝑛 7a 𝑇1 = 3 ; 𝑇2 = −2 ; 𝑇3 = −7 𝑛 𝑆𝑛 = [2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑] 2 𝑎 = 3 ; 𝑑 = −5 30 𝑆30 = 2 [2(3) + (30 − 1)(−5)] 𝑆30 = −2085 1 b 𝑇1 = 2 ; 𝑇2 = 1 ; 𝑇3 = 2 1 �29 −1� 𝑆9 = 2 2−1 𝑆9 = 255,5 8 𝑛=6 𝑇𝑛 = 1 + (𝑛 − 1)4 = 4𝑛 − 3 1 + 5 + 9 + ⋯ + 21 = ∑6𝑘=1 4𝑘 − 3 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 116

Antwoorde vir gemengde oefeninge 9a 𝑇5 = 0 ; 𝑇13 = 12 0 = 𝑎 + 4𝑑 …(1) 12 = 𝑎 + 12𝑑 …(2) (2)-(1): 12 = 8𝑑 3 𝑑=2 3 𝑎 = −4 �2� = −6 21 3 9b 𝑆21 = 2 �2(−6) + (21 − 1) �2�� 𝑆21 = 189 10 a Om ŉ konvergerende ry te wees: −1 < 𝑟 < 1. 𝑇 �𝑥 2 −9� 𝑟 = 𝑇2 = 𝑥+3 1 (𝑥+3)(𝑥−3) 𝑟= 𝑥+3 𝑟 =𝑥−3 ∴ −1 < 𝑥 − 3 < 1 2<𝑥<4 𝑎 b 𝑆∞ = 1−𝑟 (𝑥+3) 13 = 1−(𝑥−3) (𝑥+3) 13 = (−𝑥+4) 13(−𝑥 + 4) = (𝑥 + 3) −13𝑥 + 52 = 𝑥 + 3 −13𝑥 − 𝑥 = 3 − 52 −14𝑥 = −49 7 𝑥=2 11 Vir die reeks in die teller: 99 = 1 + (𝑛 − 1)2 𝑛 = 50 terme 50 𝑆50 = 2 [2(1) + (50 − 1)2] = 2 500 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 117

Antwoorde vir gemengde oefeninge Vir die reeks in die noemer: 299 = 201 + (𝑛 − 1)2 𝑛 = 50 terme 50 𝑆50 = 2 [2(201) + (50 − 1)2] = 12 500 2 500 1 Waarde = 12 500 = 5 12 𝑇9 = 𝑆9 − 𝑆8 𝑆9 = 3(9)2 − 2(9) = 225 𝑆8 = 3(8)2 − 2(8) = 176 ∴ 𝑇9 = 225 − 176 = 49 13 a Laat 𝑟 = konstante verhouding 7𝑟 3 = 189 𝑟 3 = 27 𝑟=3 𝑥 = 7 × 3 = 21 𝑦 = 21 × 3 = 63 7(3𝑛 −1) b 206 668 = 3−1 7(3𝑛 −1) 206 668 = 2 𝑛 413 336 = 7(3 − 1) 59 048 = 3𝑛 − 1 3𝑛 = 59 049 3𝑛 = 310 ∴ 𝑛 = 10 Hoofstuk 2: Funksies 1 2𝑥 − 3𝑦 = 17 … (1) 3𝑥 − 𝑦 = 15 … (2) (2) × 3: 9𝑥 − 3𝑦 = 45 … (3) (1) − (3) : − 7𝑥 = −28 𝑥=4 Vervang in (1): _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 118

Antwoorde vir gemengde oefeninge 2(4) − 3𝑦 = 17 𝑦 = −3 Afsnit is (4; −3) 2a 𝑦 = 𝑚𝑥 + 3 Vervang (−3; 0) 0 = 𝑚(−3) + 3 𝑚=1 ∴ 𝑦 =𝑥+3 b 𝑦 = 𝑚𝑥 + 1 Vervang (2; −1): −1 = 𝑚(2) + 1 𝑚 = −1 𝑔: 𝑦 = −𝑥 + 1 c 𝑥 + 3 = −𝑥 + 1 2𝑥 = −2 𝑥 = −1 Vervang 𝑥 = −1: 𝑦 = −1 + 3 = 2 ∴ 𝑃(−1; 2) d Ja, omdat die produkte van hul gradiënte −1 is. (−1 × 1 = −1) e 𝑦 = −𝑥 − 2 3a Laat 𝑦 = 0: 0 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 0 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) ∴ 𝑥 = 3 𝑜𝑓 𝑥 = −1 𝐴(−1; 0) en 𝐵(3; 0) _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 119

Antwoorde vir gemengde oefeninge Laat 𝑥 = 0: 𝑦 = (0)2 − 2(0) − 3 𝑦 = −3 ∴ 𝐶(0; −3) 𝑂𝐴 = 1 eenheid 𝑂𝐵 = 3 eenhede 𝑂𝐶 = 3 eenhede −𝑏 2 b 𝑥 = 2𝑎 = 2(1) = 1 Vervang 𝑥 = 1: 𝑦 = (1)2 − 2(1) − 3 = −4 𝐷(1; −4) c 𝑐 = −3 −3−0 𝑚 = 0−3 𝑚=1 d Vir die grafiek om net een reële wortel te hê, moet dit 4 eenhede boontoe skuif. 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 + 4 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 ∴𝑘=1 4a Laat 𝑦 = 0: 0 = −2(𝑥 + 1)2 + 8 0 = −2𝑥 2 − 4𝑥 + 6 0 = (−2𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 𝑥 = 1 𝑜𝑓 𝑥 = −3 𝐴(−3; 0) en 𝐵(1; 0) 𝐴𝐵 = 4 eenhede b 𝐶(−1; 8) c 𝑥 = 0, 𝑦 = 6 𝐷(0 ; 6) 𝐸(−2; 6) ∴ 𝐷𝐸 = 2 eenhede _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 120

Antwoorde vir gemengde oefeninge y 5a x −1 −1 −2 b 𝑥∈𝑅 c 𝑥 ≤ −1 𝑎 6a Vervang die punt A in die vergelyking 𝑦 = 𝑥 𝑎 2 = −2 𝑎 = −4 b 𝐵(2; −2) −4 c 𝑦 = 𝑥−1 + 2 7a 𝑦 = −(0)2 − 2(0) + 8 = 8 𝐴(0; 8) b 0 = −𝑥 2 − 2𝑥 + 8 0 = (−𝑥 + 2)(𝑥 + 4) 𝑥 = 2 𝑜𝑓 𝑥 = −4 𝐵(−4; 0) en 𝐶(2; 0) c 𝐷(−1; 0) 𝐶𝐷 = 3 eenhede d 𝑥 = −1 𝑦 = −(−1)2 − 2(−1) + 8 𝑦 = −1 + 2 + 8 = 9 𝐸(−1; 9) 𝐷𝐸 = 9 eenhede _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 121

Antwoorde vir gemengde oefeninge e 𝐴(0; 8) 𝐹(−2; 8) 𝐴𝐹 = 2 eenhede 1 f −𝑥 2 − 2𝑥 + 8 = 2 𝑥 − 1 −2𝑥 2 − 4𝑥 + 16 = 𝑥 − 2 −2𝑥 2 − 5𝑥 + 18 = 0 (2𝑥 + 9)(−𝑥 + 2) = 0 −9 𝑥 = 2 𝑜𝑓 𝑥 = 2 −9 𝑥 = 2 by H −9 1 Vervang 𝑥 = 2 in die vergelyking 𝑦 = 2 𝑥 − 1 1 −9 𝑦 = 2� 2 �− 1 13 𝑦=−4 −9 −13 ∴ 𝐺�2 ; 4 � 𝐺𝐻 = 3,25 eenhede 1 g 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 − 2𝑥 + 8 − �2 𝑥 − 1� 5 = −𝑥 2 − 2 𝑥 + 9 Minimum by draaipunt: 5 5 𝑥 = −2 = − 4 2 5 2 5 −5 169 h 𝑅𝑆𝑚𝑎𝑘𝑠 = − �− 4� − 2 � 4 � + 9 = 16 i 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) > 0 ∴ 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 9 −2 < 𝑥 < 2 8a 𝑦 = −4 b 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐 = −4 𝑦 = 𝑏𝑥 − 4 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 122

Antwoorde vir gemengde oefeninge Vervang die punt (2; 5) in die vergelyking: 5 = 𝑏2 − 4 𝑏2 = 9 𝑏=3 𝑦 = 3𝑥 − 4 c 𝑦 = −1 ; 𝑥 = −2 𝑎 d 𝑦 = 𝑥+2 − 1 Vervang die punt 𝐴(0; −3): 𝑎 −3 = 0+2 − 1 𝑎 −3 = 2 − 1 𝑎 2 = −2 𝑎 = −4 −4 𝑦 = 𝑥+2 − 1 e Vervang (−2; −1) in 𝑦 = 𝑥 + 𝑘1 en 𝑦 = −𝑥 + 𝑘2 −1 = −2 + 𝑘1 −1 = 2 + 𝑘2 𝑘1 = 1 𝑘2 = −3 𝑦 =𝑥+1 𝑦 = −𝑥 − 3 f 𝑥 > −2; 𝑥 ≠ 0 9a 𝑦 = 2𝑥 2 𝑥 = 2𝑦 2 𝑥 𝑦2 = 2 𝑥 𝑦 = ±�2 b 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑓 𝑥 ≥ 0 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 123

Antwoorde vir gemengde oefeninge 𝑦 = 𝑎𝑥 y 10 a c f y=x Vervang punt 𝐴: 3 = 𝑎−1 1 𝑎=3 x 1 𝑥 𝑦 = �3� b 𝑓 −1 : 𝑦 = log �1� 𝑥 d 𝑥>0 3 11 𝑥 − afsnit: (3; 0) 𝑦 −afsnit: (0; −2) Hoofstuk 3: Logaritmes 1a 𝑥 = 32 = 9 1 2 1 b 𝑥 = �3� = 9 c log 4 𝑥 = −2 1 1 𝑥 = (4)−2 = (4)2 = 16 1 1 d 𝑥 = (5)−2 = (5)2 = 25 e 𝑥 3 = 106 𝑥 = 102 𝑥 = 100 f 81 = 3𝑥 3𝑥 = 34 𝑥=4 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 124

Antwoorde vir gemengde oefeninge 1 g 9 = 3𝑥 3𝑥 = 3−2 𝑥 = −2 9 9 2a Vervang �2; 4�: 4 = 𝑎2 3 𝑎=2 b 𝑓 −1 : 𝑦 = log �3� 𝑥 2 3 −𝑥 c 𝑔(𝑥) = �2� d ℎ(𝑥) = − log �3� 𝑥 2 3a i) 𝑔(𝑥) = − log 2 𝑥 b ii) 𝑝(𝑥) = log 2 (−𝑥) iii) 𝑞(𝑥) = − log 2 (−𝑥) iv) 𝑓 −1 : 𝑦 = 2𝑥 v) 𝑔−1 : 𝑦 = 2−𝑥 vi) ℎ(𝑥) = log 2 (𝑥 + 2) c Vir 𝑓 −1 𝑒𝑛 𝑔−1 : Definisieversameling 𝑥 ∈ 𝑅 ; Waardeversameling 𝑦 > 0 4a 𝑦 − koördinaat = 0 0 = log 𝑏 𝑥 𝑥 = 𝑏0 = 1 𝐴(1; 0) b Die grafiek neem toe soos wat 𝑥 toeneem. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 125

Antwoorde vir gemengde oefeninge 3 c Vervang 𝐵: 2 = log 𝑏 8 3 8=𝑏 2 2 2 3 3 (8) = �𝑏 � 3 2 2 2 𝑏 = (8)3 = (23 )3 = 22 = 4 d 𝑔(𝑥) = 4𝑥 e Vervang 𝑦 = −2: −2 = log 4 𝑥 1 𝑥 = 4−2 = 16 Hoofstuk 4: Finansies, groei en verval 1a 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖. 𝑛) 𝐴 = 15 000�1 + (0,106)(5)� 𝐴 = 𝑅22 950 b 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 20 𝐴 = 15 000�1 + (0,024)� 𝐴 = 𝑅24 104,07 Dit is beter om dit teen 9,6% p.j., rente kwartaalliks saamgestel, te belê. 2 a Nominale rentekoers b 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 0,085 60 95 000 = 𝑃 �1 + 12 � 95 000 𝑃= 0,085 60 �1+ � 12 𝑃 = 𝑅62 202,48 c 𝑅95 000 − 𝑅62 202,48 = 𝑅32 797,52 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 126

Antwoorde vir gemengde oefeninge 3a 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 𝐴 = 8 000(1 + 0.06)2 𝐴 = 𝑅8 988,80 𝑥[(1+𝑖)𝑛 −1] b 𝐹= [1 + 𝑖] 𝑖 0,07 4 2 000�� −1� 0,07 2 𝐹= �1 + 2 � 0.035 𝐹 = 𝑅8 724,93 Sy sal nie oor twee jaar genoeg geld hê om die TV te koop nie. 𝑖 𝑚 4a 1 + 𝑖𝑒𝑓𝑓 = �1 + 𝑛𝑜𝑚 � 𝑚 0.0785 12 1 + 𝑖𝑒𝑓𝑓 = �1 + 12 � 𝑖𝑒𝑓𝑓 = 0.08138 … 𝐸𝑓𝑓. 𝑘𝑜𝑒𝑟𝑠 = 8.14% 𝑖 𝑚 b 1 + 𝑖𝑒𝑓 = �1 + 𝑛𝑜𝑚 � 𝑚 𝑖 4 1 + 0,0925 = �1 + 𝑛𝑜𝑚 � 4 4 𝑖 �1,0925 = �1 + 𝑛𝑜𝑚 � 4 𝑖𝑛𝑜𝑚 1.022 − 1 = 4 𝑖𝑛𝑜𝑚 = 0.0894 … Nom. koers= 8,95% p.j., kwartaalliks saamgestel 5 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 179 200 = 350 000(1 − 𝑖)3 0,512 = (1 − 𝑖)3 3 1 − 𝑖 = �0,512 𝑖 = 0.2 Koers van waardevermindering= 20% 0.0975 7 0.0975 0.0995 15 6 𝐴 = �20 000 �1 + 4 � + 10 000 �1 + 4 �� 1 + 12 � 𝐴 = �23 672.43 + 10 243.75�(1.13185 … ) 𝐴 = R38 388,36 OF _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 127

Antwoorde vir gemengde oefeninge 0.0975 6 0.0975 0.0995 15 𝐴 = �20 000 �1 + 4 � + 10 000� �1 + 4 � �1 + 12 � 𝐴 = �23 109.142 + 10 000�(1.024375)(1.13 … ) 𝐴 = R38 388,36 7 a 𝐴 = 900 000(1 − 0.15)5 𝐴 = 𝑅399 334,78 𝐴 = 900 000(1 + 0.18)5 𝐴 = R2 058 981,98 R2 058 981,98 − R399 334,78 = R1 659 647,20 𝑥�(1+0.02)61 −1� b 1 659 647,20 = 0,02 0,02×1659647,20 𝑥 = [(1+0,02)61 −1] 𝑥 = R14 144,81 8 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖. 𝑛) 2 jaar = 24 maande (24 × 85) = 1 500(1 + 𝑖. 2) 𝑖 = 0.18 koers= 18% 𝑥[1−(1+𝑖)−𝑛 ] 9a 𝑃= 𝑖 �6 500��1−(1+0,01)−240 � 𝑃= 0,01 𝑃 = R590 326,21 �6 500��1−(1+0,01)−96 � b 𝑃= 0,01 𝑃 = R399 930,07 0,01 73 1 000��1+ � −1� 12 10 𝐹= 0,01 12 𝐹 = R99 915,81 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 128

Antwoorde vir gemengde oefeninge 0,01 5 𝐴 = 99 915,81 �1 + 12 � 𝐴 = R104 147,21 𝑥[(1+𝑖)𝑛 −1] 11 𝐹= 𝑖 0,09 𝑛 300��1+ � −1� 12 48 000 = 0,09 12 2,2 = (1,0075)𝑛 𝑛 = log1,0075 2,2 𝑛 = 106 8 jaar en 10 maande 12 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖. 𝑛) 𝐴 = 13 500�1 + (0.12)(4)� 𝐴 = R19 980 Maandelikse paaiement = 𝑅19 980 ÷ 48 = 𝑅416,25 Insluitend versekering = 𝑅416,25 + 𝑅30 = 𝑅446,25 13 𝐴 = 400 000(1 + 0,02)4 𝐴 = R432 972,86 (bedrag verskuldig na 1 jaar) 𝑥[1−(1+𝑖)−𝑛 ] 𝑃= 𝑖 𝑥�1−(1+0,02)−16 � 432 972,86 = 0,02 𝑥 = R31 888,51 Hoofstuk 5: Saamgestelde hoeke 1a 2 cos 2 x = −1 1 ∴ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = − 2 2𝑥 = ±120° + 𝑘. 360°; 𝑘 ∈ 𝑍 ∴ 𝑥 = ±60° + 𝑘. 180°; 𝑘 ∈ 𝑍 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 129

Antwoorde vir gemengde oefeninge b 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 =3 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 3 ∴ 𝑥 = 71,47° + 𝑘. 180°; 𝑘 ∈ 𝑍 c 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 ∴ cos(90° − 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 90° − 𝑥 = ±3𝑥 + 𝑘. 360° 4𝑥 = 90° + 𝑘. 360° of 2𝑥 = −90° + 𝑘. 360° 𝑥 = 22,5° + 𝑘. 90° 𝑥 = −45° + 𝑘. 180°; 𝑘 ∈ 𝑍 d 6 − 10𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3(1 − 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥) = 0 ∴ 3𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 10𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3 = 0 ∴ (3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1)(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3) = 0 1 ∴ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = of 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3 (geen oplossing nie) 3 ∴ 𝑥 = ±70,53° + 𝑘. 360°; 𝑘𝜖𝑍 Vir 𝑥 ∈ [−360°; 360°] 𝑥 ∈ {−289,47°; −70,53°; 289,47°} e 2(𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) − 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0 (2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) = 0 1 𝑡𝑎𝑛𝑥 = − of 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 1 2 𝑥 = −26,57° + 𝑘. 180° of 𝑥 = 45° + 𝑘. 180°; 𝑘 ∈ 𝑍 f 3(𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) − 8𝑠𝑖𝑛𝑥 + 16𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 6𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ∴ 3 − 6𝑐𝑜𝑠𝑥 − 8𝑠𝑖𝑛𝑥 + 16𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 3(1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥) − 8𝑠𝑖𝑛𝑥(1 − 2𝑥𝑜𝑠𝑥) = 0 (1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥)(3 − 8𝑠𝑖𝑛𝑥) = 0 1 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 = of 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2 8 ∴ 𝑥 = ±60° + 𝑘. 360° of 𝑥 = 22,02° + 𝑘. 360° of 𝑥 = 157,98° + 𝑘. 360°; 𝑘 ∈ 𝑍 sin x 2a LK = cos x + × sin x cos x cos 2 x + sin 2 x = cos x 1 = cos x _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 130

Antwoorde vir gemengde oefeninge =RK Nie geldig vir x = 90 0 + k .180 0 nie; k ∈ Z nie sin 2 θ − cos θ (1 − cos θ ) sin 2 θ + cos 2 θ − cos θ 1 − cos θ 1 b LK = = = = (1 − cos θ )sin θ (1 − cos θ )sin θ (1 − cos θ )sin θ sin θ =RK Ongeldig vir θ = k .180 0 ; k ∈ Z 1 − cos 2 x sin 2 x sin x c LK = = = . sin x = tan x. sin x = RK cos x cos x cos x Ongeldig vir x = 90 0 + k .180 0 ; k ∈ Z d LK = ( ) sin x sin 2 x + cos 2 x = sin x = tan x =RK cos x cos x Ongeldig vir x = 90 0 + k .180 0 ; k ∈ Z sin x 1+ LK = cos x = cos x + sin x × cos x × cos x + sin x sin x cos x cos x − sin x cos x + sin x 1− e cos x cos 2 x + 2 sin x cos x + sin 2 x 1 + 2 sin x cos x = = = RHS cos 2 x − sin 2 x cos 2 x − sin 2 x Ongeldig vir x = ±45 0 + k .180 0 ; k ∈ Z f 𝐿𝐾 = sin(45° + 𝑥). sin(45° − 𝑥) = (sin 45°. cos 𝑥 + sin 𝑥. 𝑐𝑜𝑠45°) × (sin 45°. cos 𝑥 − sin 𝑥 . cos 45°) √2 √2 √2 √2 =� cos 𝑥 + sin 𝑥� � cos 𝑥 − sin 𝑥� 2 2 2 2 2 2 √2 √2 = � cos 𝑥� − � sin 𝑥� 2 2 1 1 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 2 2 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 131

Antwoorde vir gemengde oefeninge 1 = (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥) 2 1 = cos 2𝑥 2 = 𝑅𝐾 sin 2𝜃−cos 𝜃 g 𝐿𝐾 = sin 𝜃−cos 2𝜃 2 sin 𝜃. cos 𝜃 − cos 𝜃 = sin 𝜃 − (1 − 2𝑠𝑖𝑛 2 𝜃) cos 𝜃(2 sin 𝜃 − 1) = 2𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + sin 𝜃 − 1 cos 𝜃(2 sin 𝜃 − 1) = (2 sin 𝜃 − 1)(sin 𝜃 + 1) cos 𝜃 = sin 𝜃 + 1 = 𝑅𝐾 cos 𝑥−cos 2𝑥+2 h 𝐿𝐾 = 3 sin 𝑥−sin 2𝑥 cos 𝑥 − (2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1) + 2 = 3 sin 𝑥 − 2 sin 𝑥. cos 𝑥 −2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + cos 𝑥 + 3 = 3 sin 𝑥 − 2 sin 𝑥. cos 𝑥 (−2 cos 𝑥 + 3)(cos 𝑥 + 1) = sin 𝑥 (3 − 2 cos 𝑥) cos 𝑥 + 1 = sin 𝑥 = 𝑅𝐾 3a ( ) sin 180 0 − x tan (− x ) = sin x(− tan x ) = −1 ( 0 ) ( tan 180 + x cos x − 90 0 ) tan x(sin x ) b ( ) ( sin 180 0 + x tan x − 360 0 = ) sin x. tan x = 2 sin x ( 0 )( 0 tan 360 − x − cos 60 tan 45 )( 0 ) − tan x(− 0,5)(1) _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 132

Antwoorde vir gemengde oefeninge 4a ( ) cos 730 = cos 90 0 − 17 0 = sin 17 0 = k b cos(−163°) = 𝑐𝑜𝑠163° = −𝑐𝑜𝑠17° = −√1 − 𝑘 2 𝑘 c 𝑡𝑎𝑛197° = 𝑡𝑎𝑛17° = √1−𝑘 2 d 𝑐𝑜𝑠326° = 𝑐𝑜𝑠34° = 𝑐𝑜𝑠2(17°) = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 17° = 1 − 2𝑘 2 4 5 a 𝑐𝑜𝑠𝑥 = − 5 3  3   − 3  − 3 5 sin x + 3 tan x = 5  + 3  of = 5  + 3  5  − 4  5  −4 9 3 9 3 = 3− = of = −5 + =− 4 4 4 4 2 tan x b tan 2 x = 1 − tan 2 x  3  2   −4 3 16 24 3 16 24 ∴ tan 2 x = 2 =− × =− of tan 2 x = × =  3  2 6 7 2 7 7 1−   −4 6a _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 133

Antwoorde vir gemengde oefeninge cos(𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥. cos 𝑦 + sin 𝑥. sin 𝑦 −2√2 −4 −1 −3 = × + × 3 5 3 5 8√2 1 = 15 + 5 8√2+3 = 15 b cos 2𝑥 − cos 2𝑦 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − (1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑦) = 2𝑠𝑖𝑛2 𝑦 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 −3 2 −1 2 = 2� � − 2� � 5 3 18 2 112 = − = 25 9 225 1 7a cos 2(22,5°) = cos 45° = √2 1 1 b × 2 sin 22,5°. cos 22,5° = × sin 2(22,5°) 2 2 1 √2 = sin 45° = 2 4 1 c sin 2(15°) = sin 30° = 2 Hoofstuk 6: Oplossing van probleme in drie dimensies 2ℎ 2ℎ 1a 𝐼𝑛 ∆𝐴𝐵𝐸 ∶ tan 𝛼 = 𝐵𝐸 ∴ 𝐵𝐸 = tan 𝛼 ℎ b 𝐼𝑛 ∆𝐶𝐸𝐷: tan(90° − 𝛼) = 𝐷𝐸 ∴ 𝐷𝐸 = ℎ tan 𝛼 𝐼𝑛 ∆𝐵𝐷𝐸: 𝐵𝐷2 = 𝐵𝐸 2 + 𝐸𝐷2 − 2(𝐵𝐸)(𝐸𝐷). cos 𝐸 = (2ℎ. cot 𝛼)2 + (ℎ. tan 𝛼)2 − 2(2ℎ. cot 𝛼)(ℎ. tan 𝛼) cos 120° 1 = 4ℎ2 . 𝑐𝑜𝑡 2 𝛼 + ℎ2 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 − 4ℎ2 (cot 𝛼 . tan 𝛼) �− 2� _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 134

Antwoorde vir gemengde oefeninge = ℎ2 (4𝑐𝑜𝑡 2 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 + 2) 4 = ℎ2 �𝑡𝑎𝑛2 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 + 2� ℎ2 �𝑡𝑎𝑛4 𝛼+2𝑡𝑎𝑛2 𝛼+4� = 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 ℎ√𝑡𝑎𝑛4 𝛼+2𝑡𝑎𝑛2 𝛼+4 𝐵𝐷 = tan 𝛼 𝐵𝐷 tan 𝛼 c ℎ = √𝑡𝑎𝑛4 𝛼+2𝑡𝑎𝑛2 𝛼+4 509.tan 42° = √𝑡𝑎𝑛4 42°+2𝑡𝑎𝑛2 42°+4 𝐶𝐷 = 182,90 m 2a � 𝐵 = 180° − 𝜃 − 30° = 150° − 𝜃 𝐶𝐷 𝑝 b tan 𝜃 = 𝐶𝐵 ∴ 𝑝 = 𝐶𝐵. tan 𝜃 𝐶𝐵 8 sin(150°−𝜃) = sin 𝜃 8.sin(150°−𝜃) 𝐶𝐵 = sin 𝜃 8.sin�180°−(150°−𝜃)� = sin 𝜃 8.sin(30°+𝜃) = sin 𝜃 8.sin(30°+𝜃) 8.sin(30°+𝜃) 𝑝=� � tan 𝜃 = sin 𝜃 cos 𝜃 3 𝐴𝐷 = 13 (𝑃𝑦𝑡ℎ𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠) 𝐴̂ = 180° − (𝛼 + 𝛽) 𝐶𝐷 13 ∴ sin[180°−(𝛼+𝛽)] = sin 𝛼 𝐶𝐷 13 ∴ sin(𝛼+𝛽) = sin 𝛼 13 sin(𝛼+𝛽) ∴ 𝐶𝐷 = sin 𝛼 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 135

Antwoorde vir gemengde oefeninge 1 4a 𝑂𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒 ∆𝐴𝐷𝐶 = 2 𝑚. 𝑝 sin(180° − 𝜃) 1 b 𝑂𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒 ∆𝐵𝐷𝐶 = 2 𝑛. 𝑝 sin 𝜃 𝑂𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒 ∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑂𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒 ∆𝐴𝐷𝐶 + 𝑂𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒 ∆𝐵𝐷𝐶 1 1 = 2 𝑚𝑝 sin(180° − 𝜃) + 2 𝑛𝑝 sin 𝜃 1 1 = 2 𝑚𝑝. sin 𝜃 + 2 𝑛𝑝 . sin 𝜃 1 = 2 𝑝(𝑚 + 𝑛) sin 𝜃 1 c 12,6 = 2 (8,1)(5,9) sin 𝜃 sin 𝜃 = 0,527306968 … 𝜃 = 31,82° 𝑂𝐹 𝜃 = 180° − 31,82° = 148,18° 𝑝 5a sin 𝜃 = 𝐵𝐶 𝑝 ∴ 𝐵𝐶 = sin 𝜃 b 𝐵�1 = 180° − 2𝛼 𝐴𝐶 𝐵𝐶 c sin 𝐵�1 = sin 𝐴 𝑝 𝐴𝐶 sin(180°−2𝛼) = sin 𝛼 sin 𝜃 𝑝 sin(180°−2𝛼) 𝑝.sin 2𝛼 𝐴𝐶 = = sin 𝜃.sin 𝛼 sin 𝜃.sin 𝛼 6a 𝑅� = 180° − 30° − (150° − 𝛼) = 𝛼 12 𝑄𝑅 sin 𝑅� = sin(150°−𝛼) 12 𝑄𝑅 sin 𝛼 = sin(30°+𝛼) 12 sin(30°+𝛼) 𝑄𝑅 = sin 𝛼 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 136

Antwoorde vir gemengde oefeninge 12(sin 30°.cos 𝛼+cos 30°.sin 𝛼) = sin 𝛼 1 √3 12� .cos 𝛼+ sin 𝛼� 2 2 = sin 𝛼 6�cos 𝛼+√3 sin 𝛼� = sin 𝛼 b 𝑃� = 180° − 90° − 𝛼 = 90° − 𝛼 𝑄𝑅 𝑃𝑄 sin 𝑃� = sin 𝛼 6�cos 𝛼+√3 sin 𝛼� 𝑃𝑄 sin 𝛼 = sin 𝛼 sin(90°−𝛼) sin 𝛼.6�cos 𝛼+√3 sin 𝛼� 𝑃𝑄 sin(90° − 𝛼) = sin 𝛼 6 cos 𝛼 6√3 sin 𝛼 𝑃𝑄 = cos 𝛼 + cos 𝛼 𝑃𝑄 = 6 + 6√3 tan 𝛼 c 23 = 6 + 6√3 tan 𝛼 17 = 6√3 tan 𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 1,64 𝛼 = 58,56° Hoofstuk 7: Polinome 1a 27𝑥 3 − 8 = (3𝑥 − 2)(9𝑥 2 + 6𝑥 + 4) b 5𝑥 3 + 40 = 5(𝑥 3 + 8) = 5(𝑥 + 2)(𝑥 2 − 2𝑥 + 4) _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 137

Antwoorde vir gemengde oefeninge c 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 + 6 = 𝑥 2 (𝑥 + 3) + 2(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)(𝑥 2 + 2) d 4𝑥 3 − 𝑥 2 − 16𝑥 + 4 = 𝑥 2 (4𝑥 − 1) − 4(4𝑥 − 1) = (4𝑥 − 1)(𝑥 2 − 4) = (4𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) e 4𝑥 3 − 2𝑥 2 + 10𝑥 − 5 = 2𝑥 2 (2𝑥 − 1) + 5(2𝑥 − 1) = (2𝑥 − 1)(2𝑥 2 + 5) f 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 3 + 1) + (2𝑥 2 + 2𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1) + 2𝑥(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) g 𝑥 3 − 𝑥 2 − 22𝑥 + 40 = (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 𝑥 − 20) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 5)(𝑥 − 4) h 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5𝑥 − 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 4𝑥 + 3) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)(𝑥 + 1) i 3𝑥 3 − 7𝑥 2 + 4 = (𝑥 − 1)(3𝑥 2 − 4𝑥 − 4) = (𝑥 − 1)(3𝑥 + 2)(𝑥 − 2) _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 138

Antwoorde vir gemengde oefeninge j 𝑥 3 − 19𝑥 + 30 = (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 − 15) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 5)(𝑥 − 3) k 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) 2a 𝑥(𝑥 2 + 2𝑥 − 4) = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑓 𝑥 = −1 ± √5 b (𝑥 − 2)(𝑥 2 − 𝑥 − 3) = 0 1±√3 𝑥 = 2 𝑜𝑓 𝑥 = 2 c (2𝑥 3 − 12𝑥 2 ) − (𝑥 − 6) = 0 2𝑥 2 (𝑥 − 6) − (𝑥 − 6) = 0 (𝑥 − 6)(2𝑥 2 − 1) = 0 1 𝑥 = 6 𝑜𝑓 𝑥 = ±�2 d (2𝑥 3 − 𝑥 2 ) − (8𝑥 − 4) = 0 𝑥 2 (2𝑥 − 1) − 4(2𝑥 − 1) = 0 (𝑥 2 − 4)(2𝑥 − 1) = 0 1 𝑥 = 2 𝑜𝑓 𝑥 = −2 𝑜𝑓 𝑥 = 2 e (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 2𝑥 + 2) = 0 𝑥=1 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 139

Antwoorde vir gemengde oefeninge f (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 2𝑥 − 8) = 0 (𝑥 + 2)(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) = 0 𝑥 = −2 𝑜𝑓 𝑥 = 4 g (𝑥 3 − 20𝑥) + (3𝑥 2 − 60) = 0 𝑥(𝑥 2 − 20) + 3(𝑥 2 − 20) = 0 (𝑥 2 − 20)(𝑥 + 3) = 0 𝑥 = ±2√5 𝑜𝑓 𝑥 = −3 3 𝑓(3) = 33 − 32 − 5(3) − 3 = 27 − 9 − 15 − 3 = 0 (𝑥 − 3) is ŉ faktor (𝑥 − 3)(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) = 0 (𝑥 − 3)(𝑥 + 1)2 = 0 𝑥 = 3 𝑜𝑓 𝑥 = −1 1 1 3 1 2 1 4 𝑔 �2� = 4 �2� − 8 �2� − 2 + 2 1 1 = −2− +2=0 2 2 (2𝑥 − 1)(2𝑥 2 − 3𝑥 − 2) = 0 (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0 1 1 𝑥 = 2 𝑜𝑓 𝑥 = − 2 𝑜𝑓 𝑥 = 2 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 140

Antwoorde vir gemengde oefeninge Hoofstuk 8: Differensiaalrekene 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) 1a 𝑓 ′ (𝑥) = limℎ→0 ℎ 1−(𝑥+ℎ)2 −�1−𝑥2 � = limℎ→0 ℎ 1−�𝑥 2 +2𝑥ℎ+ℎ2 �−�1−𝑥2 � = limℎ→0 ℎ −2𝑥ℎ−ℎ2 = limℎ→0 ℎ ℎ(−2𝑥−ℎ) = limℎ→0 ℎ = lim (−2𝑥 − ℎ) ℎ→0 = −2𝑥 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) b 𝑓 ′ (𝑥) = limℎ→0 ℎ −3(𝑥+ℎ)2 −�−3𝑥2 � = limℎ→0 ℎ −3�𝑥 2 +2𝑥ℎ+ℎ2 �−�−3𝑥2 � = limℎ→0 ℎ −6𝑥ℎ−3ℎ2 = limℎ→0 ℎ ℎ(−6𝑥−3ℎ) = limℎ→0 ℎ = lim (−6𝑥 − 3ℎ) ℎ→0 = −6𝑥 1 1 1 2a 𝑦 = √𝑥 − 2𝑥 2 = 𝑥 2 − 2 𝑥 −2 1 𝑑𝑦 1 1 𝑑𝑥 = 2 𝑥 −2 − 2 × −2𝑥 −3 1 1 = 2 𝑥 −2 + 𝑥 −3 1 1 = 2 𝑥 + 𝑥3 √ _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 141

Antwoorde vir gemengde oefeninge 2𝑥 2 −𝑥−15 2b 𝐷𝑥 � 𝑥−3 � (2𝑥+5)(𝑥−3) = 𝐷𝑥 � 𝑥−3 � = 𝐷𝑥 [2𝑥 + 5] = 2 3 𝑓(𝑥) = −2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 32𝑥 + 15 𝑓(−2) = −2(−2)3 + 3(−2)2 + 32(−2) + 15 = −21 𝑓 ′ (𝑥) = −6𝑥 2 + 6𝑥 + 32 𝑓 ′ (−2) = −6(−2)2 + 6(−2) + 32 = −4 Vervang (−2; −21) in 𝑦 = −4𝑥 + 𝑐 −21 = −4(−2) + 𝑐 𝑐 = −29 𝑦 = −4𝑥 − 29 4 Buigpunt 5 (2; 9) is ŉ punt op die grafiek en ŉ draaipunt ∴ 𝑓(2) = 9 en 𝑓 ′ (2) = 0 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑎𝑥 2 + 10𝑥 + 4 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 142

Antwoorde vir gemengde oefeninge 0 = 3𝑎(2)2 + 10(2) + 4 ∴ 𝑎 = −2 9 = (−2)(2)3 + 5(2)2 + 4(2) + 𝑏 ∴ 𝑏 = −3 6a Draaipunt waar 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ∴ 𝑥 = −2 en 𝑥 = 5 b Buigpunt is waar 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 , dus waar grafiek van 𝑓′ draai c 𝑓 sal afneem waar sy gradiënt 𝑓 ′ negatief is (𝑓 ′ < 0) −2 < 𝑥 < 5 7a Die grafiek bons by 𝑥 = 1 en het ŉ 𝑥-afsnit by 𝑥 = −1 ∴ 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)2 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 1 ∴ 𝑎 = −1; 𝑏 = −1; 𝑐 = 1 b B is ŉ draaipunt waar 𝑓 ′ (𝑥) = 0 3𝑥 2 − 2𝑥 − 1 = 0 (3𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0) 1 By B 𝑥 = − 3 1 1 3 1 2 1 32 𝑓 �− 3� = �− 3� − �− 3� − �− 3� + 1 = 27 1 32 𝐵 �− 3 ; 27� 8a As 𝑠(𝑡) afstand is, dan is 𝑠 ′ (𝑡) spoed. 𝑠 ′ (𝑡) = 3𝑡 2 − 4𝑡 + 3 b Spoed is ŉ minimum waar 𝑠 ′′ (𝑡) = 6𝑡 − 4 = 0 2 𝑡=3 c 6𝑡 − 4 = 8 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 143

Antwoorde vir gemengde oefeninge 𝑡 = 2𝑠 9a Volume = 2𝑥 2 ℎ = 24 12 ℎ = 𝑥 2 = 12𝑥 −2 b 𝐶(𝑥) = 2𝑥 2 × 25 + 2𝑥 2 × 20 + 2 × 𝑥ℎ × 20 + 2 × 2𝑥ℎ × 20 = 90𝑥 2 + 120𝑥ℎ = 90𝑥 2 + 120𝑥(12𝑥 −2 ) = 90𝑥 2 + 1440𝑥 −1 9c 𝐶 ′ (𝑥) = 180𝑥 − 1440𝑥 −2 = 0 1440 180𝑥 − 𝑥 2 = 0 180𝑥 3 − 1440 = 0 𝑥3 = 8 𝑥=2 Hoofstuk 9: Analitiese meetkunde 1a 𝑚𝐴𝐵 = 𝑚𝐶𝐷 1−(−4) 0−2 = 5−3 −2−𝑝 5 −2 −2−𝑝 = 2 = −1 2+𝑝=5 𝑝=3 b 𝐴𝐵 = �(3 − (−2))2 + (−4 − 1)2 = 5√2 𝐶𝐷 = �(5 − 3)2 + (0 − 2)2 = 2√2 𝐴𝐵: 𝐶𝐷 = 5√2: 2√2 = 5: 2 c 𝑚𝑁𝐵 = 𝑚𝐶𝐷 𝑦+4 𝑥−3 = −1 ∴ 𝑦 = −𝑥 − 1 … (1) 𝑚𝑁𝐷 = 𝑚𝐵𝐶 𝑦−2 𝑥−3 =2 ∴ 𝑦 = 2𝑥 − 4 … (2) _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 144

Antwoorde vir gemengde oefeninge (1)-(2): 0 = 3𝑥 − 3 𝑥 = 1 𝑦 = −2 𝑁(1; −2) d B en D het dieselfde 𝑥-koördinaat; dus is dit ŉ vertikale lyn met vergelyking 𝑥 = 3. e Hellingshoek van ŉ vertikale lyn is 90°. f Oppervlakte van parallelogram = basis x loodregte hoogte 𝑂𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑛 𝑁𝐵𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 × 𝑙𝑜𝑜𝑑𝑟𝑒𝑔𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑜𝑔𝑡𝑒 = 2√2 × 6 = 12√2 g 𝑚𝐴𝑅 = 𝑚𝐴𝐶 𝑞−1 1−0 −2+1 = −2−5 𝑞−1 1 −1 = −7 8 ∴𝑞=7 2a Vervang 𝑥 = 1 en 𝑦 = −3 in LK. As LK = 0, dan lê die punt 𝑁(1; −3) op die sirkel. 𝐿𝐾 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑦 2 + 2𝑦 – 8 = (1)2 + 4(1) + (−3)2 + 2(−3)– 8 = 0 ∴ 𝑁 lê op die sirkel b Bepaal eers die middelpunt van die sirkel: 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 8 + 4 + 1 (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 13 Middelpunt van sirkel is 𝑀(−2; −1) −1+3 2 𝑚𝑀𝑁 = −2−1 = − 3 MN⏊PN (radius⏊raaklyn) 3 ∴ 𝑚𝑃𝑁 = 2 3 Vervang 𝑁(1; −3): 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑐 3 9 −3 = 2 (1) + 𝑐 ∴ 𝑐 = −2 3 9 𝑦 = 2𝑥 − 2 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 145

Antwoorde vir gemengde oefeninge 3 c 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 �2� = 56,3° d 𝑥 −afsnit waar 𝑦 = 0: 3 9 0 = 2𝑥 − 2 ∴𝑥=3 e 𝑦 −afsnitte is waar 𝑥 = 0: (0)2 + 4(0) + 𝑦 2 + 2𝑦 – 8 = 0 ∴ 𝑦 2 + 2𝑦 – 8 = 0 (𝑦 + 4)(𝑦 − 2) = 0 Die punte is (0; −4) en (0; 2). −12 3a 𝑚𝑅𝑂 = −6 = 2 b PS⏊RN (RN is hoogtelyn van ∆) 𝑚𝑃𝑆 × 𝑚𝑅𝑁 = −1 1 ∴ 𝑚𝑃𝑆 = − 2 c 𝑃(0; 6) (𝑦 −afsnit van PR) 1 ∴ 𝑦 = −2𝑥 + 6 1 d 𝑡𝑎𝑛−1 �2� = 26,57° Helling van PS = 180° − 26,57° = 153,43° 3 e Vervang 𝑁(2𝑛; 3 5 + 𝑛) in vergelyking van PS 3 1 3 5 + 𝑛 = − 2 (2𝑛) + 6 3 3 5 + 𝑛 = −𝑛 + 6 2 12 2𝑛 = 2 5 = 5 6 𝑛=5 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 146

Antwoorde vir gemengde oefeninge f Bepaal vergelyking van SM. SM is die mediaan; dus is M die middelpunt van PR. −6+0 −12+6 𝑀� 2 ; 2 � = (−3; −3) 𝑚𝑀𝑆 = 1 , dus vergelyking van SM: 𝑦 = Los vergelykings van SM en PS gelyktydig op om koördinate van S te bereken 1 𝑥 = −2𝑥 + 6 ∴ 𝑥 = 4; 𝑦 = 4 𝑆(4; 4) 4a 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑦 2 – 2𝑦 = 4 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 – 2𝑦 + 1 = 4 + 4 + 1 (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 9 Middelpunt 𝑀(−2; 1) radius= 3 b Vervang 𝑁(𝑝; 1) in vergelyking van sirkel. 𝑝 2 + 12 + 4(𝑝) – 2(1) – 4 = 0 𝑝2 + 4𝑝 − 5 = 0 (𝑝 + 5)(𝑝 − 1) = 0 ∴ 𝑝 = 1 omdat 𝑝 > 0 4c Radius deur N is horisontaal. Dus sal die raaklyn vertikaal wees. Vergelyking van raaklyn: 𝑥 = 1 3−0 5a 𝑚𝐴𝐷 = −3−0 = −1 AD gaan deur oorsprong: Dus, vergelyking is 𝑦 = −𝑥 b 𝐵𝐷2 = 𝐷𝐶 2 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = (𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 1)2 Vervang 𝑦 = −𝑥 (𝑥 − 2)2 + (−𝑥 − 3)2 = (𝑥 − 6)2 + (−𝑥 + 1)2 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 − 12𝑥 + 36 + 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 16𝑥 = 24 3 3 𝑥=2 ∴ 𝑦 = −2 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 147

Antwoorde vir gemengde oefeninge 3 3−(− ) c 𝑚𝐵𝐷 = 3 2 =9 2− 2 Vervang 𝐵(2; 3) in 𝑦 = 9𝑥 + 𝑐 3 = 9(2) + 𝑐 ∴ 𝑐 = −15 𝑦 = 9𝑥 − 15 d Helling van BD= 𝑡𝑎𝑛−1 (9) = 83,7° 3−(−1) 𝑚𝐵𝐶 = = −1 2−6 Helling van BC= 135° ∴ 𝜃 = 135° − 83,7° = 51,3° 3 2 3 2 √82 e 𝐵𝐷 = ��2 − 2� + �3 + 2� = 2 𝐵𝐶 = �(3 + 1)2 + (2 − 6)2 = 4√2 1 𝑂𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑛 ∆𝐵𝐷𝐶 = 2 𝐵𝐷 × 𝐵𝐶 × 𝑠𝑖𝑛𝜃 1 √82 = 2 × 2 × 4√2 × 𝑠𝑖𝑛51,3° = 10 𝑣𝑖𝑒𝑟𝑘𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑒𝑛ℎ𝑒𝑑𝑒 6a Bepaal eers vergelyking van AC 3−(−3) 𝑚𝐴𝐶 = = −2 2−5 Vervang (2; 3): 3 = −2(2) + 𝑐 ∴ 𝑦 = −2𝑥 + 7 7 𝑥 − 𝑎𝑓𝑠𝑛𝑖𝑡(𝑦 = 0): 𝑥 = 2 7 𝐷 �2 ; 0� b 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐶 2 (𝑝 − 5)2 + (0 + 3)2 = (5 − 2)2 + (−3 − 3)2 𝑝2 − 10𝑝 + 25 = 9 + 36 𝑝2 − 10𝑝 − 20 = 0 10±√180 𝑝= = 5 ± 3√5 2 𝑝 = 5 − 3√5 c 𝑚𝐴𝐶 = −2 𝐻𝑒𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑣𝑎𝑛 𝐴𝐶 = 180° − 𝑡𝑎𝑛−1 (2) = 116,6° _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 148

Antwoorde vir gemengde oefeninge d 𝐵(−1; 0) 3−0 𝑚𝐴𝐵 = 2+1 = 1 Helling van 𝐴𝐵 = 45° 𝐴̂ = ℎ𝑒𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑣𝑎𝑛 𝐴𝐶 − ℎ𝑒𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑣𝑎𝑛 𝐴𝐵 = 116,6° − 45° = 71,6° 7 Die lyn sal ŉ raaklyn wees as dit die sirkel in net een punt sny. Vervang 𝑦 = 𝑥 + 1 in vergelyking van sirkel en los op vir 𝑥. Daar behoort net een oplossing te wees. 𝑥 2 + (𝑥 + 1)2 + 6(𝑥 + 1) − 7 = 0 𝑥 2 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 6𝑥 + 6 − 7 = 0 2𝑥 2 + 8𝑥 = 0 𝑥 = 0 of 𝑥 = −4 Die lyn is NIE ŉ raaklyn nie. 8a 𝑦 = 2 by C. Vervang in 3𝑥 + 4𝑦 + 7 = 0 3𝑥 + 4(2) + 7 = 0 3𝑥 = −15 𝑥 = −15 ∴ 𝐶(−5; 2) en die radius is 5 (𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 25 b Lengte van 𝐷𝐸 = 10 2+1 c 𝑚𝑃𝐸 = 0+1 = 3 1 𝑚𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑙𝑜𝑜𝑑𝑙𝑦𝑛 = − 3 0−1 2−1 1 1 Middelpunt van PE= � 2 ; 2 � = �− 2 ; 2� 1 Vervang middelpunt in 𝑦 = − 3 𝑥 + 𝑐 1 1 1 2 = − 3 �− 2� + 𝑐 1 𝑐=3 1 1 𝑦 = −3𝑥 + 3 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 149

Antwoorde vir gemengde oefeninge 1 1 d 3𝑥 + 4 �− 3 𝑥 + 3� + 7 = 0 4 4 3𝑥 − 3 𝑥 + 3 + 7 = 0 5 25 3 𝑥=− 3 𝑥 = −5 1 1 𝑦 = − 3 (−5) + 3 = 2 Die lyne sny by (−5; 2). 9a Laat die koördinate van S (𝑥; 0) wees. ST⏊SR 4 4 𝑚𝑆𝑇 × 𝑚𝑆𝑅 = −𝑥 × 𝑥−4 = −1 𝑥(𝑥 − 4) = 16 𝑥 2 − 4𝑥 − 16 = 0 4±�(−4)2 −4(−16) 𝑥= = 2 ± 2√5 2 Maar S is op positiewe 𝑥 −as; dus 𝑆�2 + 2√5; 0� 4−0 b 𝑚𝑆𝑇 = 0−�2+2√5� = −0,62 c Helling van TS= 180° − 𝑡𝑎𝑛−1 (0,62) = 148,20° 4+4 𝑚 𝑇𝑅 = 0−4 = −2 Helling van TR = 180° − 𝑡𝑎𝑛−1 (2) = 116,57° 𝑅𝑇�𝑆 = 148,20° − 116,57° = 31,63° _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 150

Antwoorde vir gemengde oefeninge 10 a 𝑥 2 + 𝑦 2 – 4𝑥 + 6𝑦 + 3 = 0 𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑦 2 + 6𝑦 = −3 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 9 = −3 + 4 + 9 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 10 Middelpunt is (2; −3) −2+3 1 𝑚𝑟𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠 = 5−2 = 3 𝑚𝑟𝑎𝑎𝑘𝑙𝑦𝑛 = −3 Vervang (5; −2) in 𝑦 = −3𝑥 + 𝑐 −2 = −3(5) + 𝑐 𝑐 = 13 ∴ 𝑦 = −3𝑥 + 13 b �(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = √20 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 20 Vervang 𝑦 = −3𝑥 + 13 in vergelyking hierbo: (𝑥 − 2)2 + (−3𝑥 + 13 + 3)2 = 20 (𝑥 − 2)2 + (−3𝑥 + 16)2 = 20 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 9𝑥 2 − 96𝑥 + 256 = 20 10𝑥 2 − 100𝑥 + 240 = 0 𝑥 2 − 10𝑥 + 24 = 0 (𝑥 − 6)(𝑥 − 4) = 0 𝑥 = 6 of 𝑥 = 4 𝑦 = −3(6) + 13 = −5 of 𝑦 = −3(4) + 13 = 1 𝑇(6; −5) of 𝑇(4; 1) Hoofstuk 10: Euklidiese meetkunde 1a 𝐵�1 = 𝑀�1 raaklyn koord 𝐵�1 = 𝐶̂ ∴𝑀 �1 = 𝐶̂ ∴ 𝑀𝑁||𝐶𝐴 ooreenkomstige ∠e b �1 = 𝑀 𝐾 �2 verwisselende ∠e �1 = 𝑁 𝐾 �2 raaklyn koord ∴ ∆𝐾𝑀𝑁 is gelykbenig _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 151

Antwoorde vir gemengde oefeninge c �2 �4 = 𝑁 𝐾 verwisselende ∠e �2 = 𝐵�3 𝑁 ∠e in dieselfde segment 𝐴̂3 = 𝐵�3 ∠e in dieselfde segment ∴𝐾 �4 = 𝐴̂3 ∴ 𝑁𝐾||𝐴𝑃 verwisselende ∠e = 𝐵𝑁 𝐵𝐾 ∴ 𝑁𝐴 = 𝐾𝑃 lyn || aan een sy van ∆ 𝐵𝑁 𝐵𝑀 Maar 𝑁𝐴 = 𝑀𝐶 lyn || aan een sy van ∆ 𝐵𝐾 𝐵𝑀 ∴ 𝐾𝑃 = 𝑀𝐶 d 𝐴̂3 = 𝐵�3 ∠e in dieselfde segment 𝐵�3 = 𝐵�2 gelyke koorde onderspan gelyke ∠e ∴ 𝐴̂3 = 𝐵�2 ∴ 𝐷𝐴 is ŉ raaklyn aan die sirkel deur A, B en K 2a 𝐶̂3 = 𝐶𝑃�𝑅 ∠e teenoor gelyke sye 𝐶̂3 + 𝐶̂2 = 𝐴̂1 + 𝐵� buite∠ van ∆ 𝐶̂2 = 𝐵� raaklyn koord ∴ 𝐶̂3 = 𝐴̂1 ∴ 𝐴̂1 = 𝐶𝑃�𝑅 albei = 𝐶̂3 ACPR is ŉ koordevierhoek (buite∠ van vierhoek) b In ∆𝐶𝐵𝐴 en ∆𝑅𝑃𝐴: 𝑃�2 = 𝐶̂2 ∠e in dieselfde segment = 𝐵� bewys in 2 a ∴ 𝐵� = 𝑃�2 𝐶̂1 = 𝐴𝑅� 𝑃 buite∠ van koordevierhoek 𝐴̂1 = 𝐴̂3 3de ∠ van ∆ ∴ ∆𝐶𝐵𝐴|||∆𝑅𝑃𝐴 ∠∠∠ 𝑅𝑃 𝑅𝐴 c 𝐶𝐵 = 𝐶𝐴 van 2 b _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 152

Antwoorde vir gemengde oefeninge 𝐶𝐵.𝑅𝐴 𝑅𝑃 = 𝐶𝐴 , maar 𝑅𝑃 = 𝑅𝐶 𝐶𝐵.𝑅𝐴 ∴ 𝑅𝐶 = 𝐶𝐴 d In ∆𝑅𝐴𝐶 en ∆𝑅𝐶𝐵: 𝐶̂2 = 𝐵� raaklyn koord 𝑅�1 is gemeen 𝑅𝐶̂ 𝐵 = 𝑅𝐴̂𝐶 3de hoek ∴ ∆𝑅𝐴𝐶|||∆𝑅𝐶𝐵 ∠∠∠ 𝐴𝐶 𝑅𝐶 𝐶𝐵 = 𝑅𝐵 ∠e ||| 𝑅𝐵. 𝐴𝐶 = 𝑅𝐶. 𝐶𝐵 𝐶𝐵 𝐶𝐴 e 𝑅𝑃 = 𝑅𝐴 van 2 b 𝐶𝐵 𝐶𝐴 𝑅𝐶 = 𝑅𝐴 RC=RP 𝐶𝐵.𝑅𝐴 𝐴𝐶 = 𝑅𝐶 …(i) 𝑅𝐶.𝐶𝐵 Van 2 d 𝐴𝐶 = 𝑅𝐵 𝐶𝐵.𝑅𝐴 𝑅𝐶.𝐶𝐵 ∴ 𝑅𝐶 = 𝑅𝐵 ∴ 𝑅𝐶 2 = 𝑅𝐴. 𝑅𝐵 3a 𝐵�2 = 𝐴̂3 = 𝑥 ∠e teenoor gelyke sye �1 = 180° − 2𝑥 𝑀 som ∠e van ∆ ∴𝐷� = 2𝑥 𝑀 � bi 𝐶̂ = 21 ∠ by middelpunt =2x∠sirkel = 90° − 𝑥 𝐶𝐵� 𝐷 = 180° − (90° − 𝑥 + 2𝑥) som ∠e van ∆ = 90° − 𝑥 �1 = 𝐶̂ = 90° − 𝑥 𝑁 buite∠ van koordevierhoek ∴ 𝐶𝐵� 𝐷 = 𝑁 �1 ∴ 𝐶𝐵||𝐴𝑁 ooreenkomstige ∠e _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 153

Antwoorde vir gemengde oefeninge b ii 𝐶𝐵� 𝐴 = 𝐷 � = 2𝑥 raaklyn koord 𝐶𝐵� 𝐴 = 𝐴̂2 verwisselende ∠e 𝐴̂2 = 𝐷 � ∴AB is ŉ raaklyn (∠ tussen lyn & koord = ∠ onderspan koord) 4a 𝐵�3 = 𝐸�1 = 𝑥 ∠e in dieselfde segment 𝐵�3 = 𝐷 �2 = 𝑥 ∠e teenoor = sye 𝐵𝑂�𝐷 = 180° − 2𝑥 som ∠e van ∆ 𝐴̂ = 90° − 𝑥 ∠ by middelpunt = 2 x ∠ sirkel bi 𝐶̂1 = 90° − 𝑥 buite∠ van koordevierhoek 𝐹�2 = 180° − (𝑥 + 90° − 𝑥) som ∠e van ∆ = 90° In ∆𝐵𝐸𝐹 en ∆𝐶𝐸𝐹: 𝐹�1 = 𝐹�2 = 90° aangrensende ∠e reguitlyn BF = FC FE is gemeen ∆𝐵𝐸𝐹 ≡ ∆𝐶𝐸𝐹 s∠s BE = EC (≡) b ii 𝐵�1 = 90° − 𝑥 som ∠e van ∆ ∴ 𝐵�1 = 𝐴̂ ∴ BE is nie ŉ raaklyn nie �𝐵�1 + 𝐵�2 ≠ 𝐴̂� 5a P is middelpunt van AC mediane saamlopend AB||PM middelpuntstelling In ∆𝐵𝑁𝐶: 𝑁𝐷 𝐵𝑀 𝐴𝑃 𝑁𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 lyn || 1 sy van ∆ 𝐵𝑀 1 = 2𝐵𝑀 = 2 b In ∆𝐴𝑀𝑃: 𝐴𝑂 2𝑂𝑀 𝑂𝑀 = 𝑂𝑀 𝑅𝑃 𝑅𝑃 𝑃𝐶 = 𝐴𝑃 BP is ŉ mediaan _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 154

Antwoorde vir gemengde oefeninge 𝑂𝑀 = 𝐴𝑀 lyn || 1 sy van ∆ 𝑂𝑀 = 3𝑂𝑀 1 =3 6a 𝐶̂2 = 90° ∠ in half ⊙ �2 = 90° 𝑀 AM⏊NM ∴ 𝑁𝑄||𝐶𝐷 ooreenkomstige ∠e = b 𝐶̂1 = 𝑁 � || lyne, ooreenkomstige ∠e 𝐴̂2 = 𝐶̂1 raaklyn koord =𝑁� ∴ ANCQ is ŉ koordevierhoek ∠e onderspan deur dieselfde lynsegment ci In ∆𝑃𝐶𝐷 en ∆𝑃𝐴𝐶: 𝐶̂1 = 𝐴̂2 raaklyn koord 𝑃� is gemeen �1 = 𝐴𝐶̂ 𝑃 𝐷 3de ∠ ∴ ∆𝑃𝐶𝐷 ||| ∆𝑃𝐴𝐶 ∠∠∠ c ii 𝑃𝐶 2 = 𝐴𝑃. 𝐷𝑃 d In ∆𝑁𝐵𝐶 en ∆𝐵𝐶𝐷: � = 𝐴̂2 𝑁 ∠e in dieselfde segment = 𝐵�2 ∠e in dieselfde segment 𝐶̂4 = 𝐴̂1 tan koord �2 =𝐷 ∠e in dieselfde segment 𝐵�1 = 𝐵𝐶̂ 𝐷 3de ∠ ∴ ∆𝑁𝐵𝐶 ≡ ∆𝐵𝐶𝐷 ∠∠∠ 𝐵𝐶 𝐶𝐷 ∴ 𝑁𝐵 = 𝑁𝐵 𝐵𝐶 2 = 𝐶𝐷. 𝑁𝐵 𝐵𝑀2 𝐵𝐶 2 −𝐵𝑀2 e 1 − 𝐵𝐶 2 = 𝐵𝐶 2 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 155

Antwoorde vir gemengde oefeninge 𝑀𝐶 2 = 𝐵𝐶 2 Pyth. 𝑃𝐶 2 = 𝐵𝐶 2 𝐴𝑃.𝐷𝑃 = 𝐶𝐷.𝑁𝐵 Hoofstuk 11: Statistiek: regressie en korrelasie 1a Laer Q Mediaan Hoër Q Wedstryde gespeel 3 5 6 Wedstryde gewen 1 7 3 Doele teen 3 4,5 9 b Positief skeef (skeef na regs) 65 c 14 = 4,64 d Standaardafwyking = 1,72 2a % vervoerkoste 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 156

Antwoorde vir gemengde oefeninge b Mediaan = ±32% c Klasmiddelpunt Frekwensie Frekwensie x Middelpunt 15 6 90 25 14 350 35 16 560 45 11 495 55 3 165 TOTAAL 50 1 660 1 660 Geskatte gemiddelde 𝑥̅ = 50 = 33,2% d Klasmiddelpunt 𝑥𝑖 Frekwensie 𝑥̅ − 𝑥𝑖 (𝑥̅ − 𝑥𝑖 )2 𝑓(𝑥̅ − 𝑥𝑖 )2 𝑓 15 6 -18,2 331,24 1 987,44 25 14 -8,2 67,24 941,36 35 16 1,8 3,24 51,84 45 11 11,8 139,24 1 531,64 55 3 21,8 475,24 1 425,72 TOTAAL 50 5 938 5938 Standaardafwyking= � 50 = 10,90 3a&c 20 Di sta nce 15 10 5 VO2 10 20 30 40 50 60 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 157

Antwoorde vir gemengde oefeninge b 𝑦 = 0,2432𝑥 + 3,6834 d Vervang 𝑦 = 19, dan is 𝑥 = 62,98 (VO2) e 𝑟 = 0,8985 … Sterk positiewe korrelasie 4 𝐺𝑒𝑡𝑎𝑙 (𝐺𝑒𝑡𝑎𝑙 − 𝑔𝑒𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑑𝑒)2 4 36 8 4 10 0 𝑥 (𝑥 − 10)2 𝑦 (𝑦 − 10)2 Gemiddelde= 10 4+8+10+𝑥+𝑦 ∴ 5 = 10 wat vereenvoudig tot: 𝑥 + 𝑦 = 28 … . (1) Standaardafwyking = 4 36+4+0+(𝑥−10)2 +(𝑦−10)2 ∴� =4 5 wat vereenvoudig tot: (𝑥 − 10)2 + (𝑦 − 10)2 = 40 … (2) Vervang 𝑦 = 28 − 𝑥 van (1) in (2): 𝑥 2 − 28𝑥 + 192 = 0 (𝑥 − 12)(𝑥 − 16) = 0 𝑥 = 12 of 𝑥 = 16 𝑦 = 16 of 𝑦 = 12 5 Die standaardafwyking sal 7,5 bly. As al die getalle 2 groter is, sal die gemiddelde ook 2 groter wees. _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 158

Antwoorde vir gemengde oefeninge Die verskil tussen elke getal en die gemiddelde sal dus dieselfde bly en die standaardafwyking onveranderd laat. Hoofstuk 12: Waarskynlikheid 1 7 plekke wat met 7 syfers gevul moet word sonder herhaling (as 0, 7 en 4 nie weer gebruik word nie) ∴ 7! = 5040 2 7 plekke moet gevul word – 10 syfers is beskikbaar vir elke plek ∴ 107 = 10 000 000 1 3 P(koningin van ruitens)= 52 4a 11! 11! b 2!2!2!2!2! = 1 247 400 (5 letters word herhaal) 5a Beskou die 4 Engelse boeke as ŉ eenheid. Die aantal rangskikkings vir die Engelse boeke is 4!=24 Totale aantal rangskikkings= 4! × 6! = 17 280 b 4! × 3! × 2! × 3! = 1 728 c 9! = 362 880 6 12 × 11 = 132 11! 7 Bereken eers die totale aantal woorde: 2!2!2! = 4 989 600 Bereken nou hoeveel van hierdie woorde met dieselfde letter sal begin en eindig. Dit kan met D, I of G begin en eindig. 9! ∴ 2!2! = 90720 90 720 54 P(begin en eindig nie met dieselfde letter nie)= 1 − 4 989 600 = 55 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 159

Antwoorde vir gemengde oefeninge 10!×2 10! 8a 2!2!2! = 907 200 b 2!2!2! = 453 600 _____________________________________________________________________________________ ©Via Afrika >> Wiskunde Graad 12 160

Gr12 Wiskunde Studiegids LR

Study this subject

Recommended for this subject

Mathematics Functions and Finance

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape Mock 2025 Addendum (Afr)

Mathematics Grade 12 Paper 2 Eastern Cape Mock 2025 Memo

Mathematics Grade 12 Paper 2 Gauteng Mock 2025 Question Paper

Mathematics Grade 12 P2 Limpopo Mock 2025 Question Paper (Afr)

Mathematics Grade 12 P2 Northern Cape Mock 2025 Memo (English)

Mathematics Grade 12 P2 Northern Cape Mock 2025 QP (Eng)

Mathematics Grade 12 P2 Eastern Cape June 2024 Addendum (English)

Mathematics Grade 12 P2 Eastern Cape June 2024 Memo (English)

Mathematics Grade 12 P2 Eastern Cape June 2024 QP (Eng)

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape Prelim 2024 Memo (Afrikaans)

Mathematics Grade 12 P2 Eastern Cape Prelim 2024 QP (Afr)

More from Grade 12 Mathematics

Mathematics Grade 12 P2 Eastern Cape Prelim 2024 QP (Sesotho)

Mathematics Grade 12 P1 Free State Prelim 2024 Question Paper

Mathematics Grade 12 P2 Free State Prelim 2024 Question Paper

Mathematics Grade 12 Paper 1 Gauteng June 2024 Memo (Afrikaans)

Mathematics Grade 12 P1 Gauteng June 2024 Question Paper (Afr)

Mathematics Grade 12 KZN March Test 2024 Paper & Memo