Mathematics Grade 12 GP March 2022 Paper & Memo

JN/2022 GAUTENG DEPARTMENT OF EDUCATION � , ♦ JOHANNESBURG NORT... .-.__....,TRICT 202 G co EST EMATICS ERM1 : 2 hours This questions paper consist of 14 pages Page 1 P.T.O

Mathe JN/2022 INSTRUCTIONS AND INFORMATION Read the following instructions carefully before answering the questions. 1. This question paper consists of 8 questions. 2. Answer ALL the questions. 3. Clearly show ALL calculations, diagrams, graphs, etc. which was used in detennining the answers. 4. Answers only will not necessarily be awarded full marks. 5. You may use an approved scientific calculator (non-programmable and non-graphi�nless stated otherwise. 6. Where necessary, answers should be rounded off to TWO decimal pla�less stated otherwise. 7. Diagrams are NOT necessarily drawn to scale. 8. Tear off page 11 till page 14. AND SUBMIT theses \th your answer scripts. � 9. An information sheet is on page IO of the questi&r. 10. Number the questions correctly according e'i?umbering used in the question paper. � 0 11. Write neatly and legibly. Page 2 P.T.O

JN/2022 QUESTION 1 1.1 Solve for x: 1.1.1 x2 - 7X + 10 = 0 (2) 1.1.2 3x2 + 2x + 6 = 10 (correct to two decimal places) (4) I I 1.1.3 x2 + 3x4-28 = 0 (4) 1.1.4 �=x-2 (5) 1.2 Given: 3x2 + kx -3x-k = 0. ♦ For which values of k will the equation have real roots? (4) 1.3 Solve for x and y: 3y + x = 5 and x 2 + y 2 = 100 + Sy (6) [2 5] QUESTION 2 2.1 Consider the seque 'c)��; 11; 22; 37; .... � 2.1.1 Calcul�� n th term. (4) 2.1.2 W�erm in the sequence has a value of 407? (4) 2.2 How many terms are there in the following arithmetic sequence. 40; 46; 52; 58; ...... 202 (3) [11] Page 3 P.T.O

Mathe JN/2022 QUESTION 3 3.1 The 4th term ofan arithmetic sequence is -3 and the 20th term is -35. Determine the common difference and the first term. (5) 20 3k-2 L 3.2 Evaluate: (4) k=l 3.3 The following sequence forms a convergent geometric sequence: 3 1 1 (x - 1) +--- +- +--- + ... (x - 1 )2 (x - l) 3 9 3.3.1 Determine the possible values of x. (3) 3.3.2 If x = 2, calculate S00 • (2) [14) QUESTION 4 4.1 Given sin24° = m and cos35 ° = n. Determine the following in terms ofm or n. 4.1.1 tan66 ° (3) 4.1.2 sin70° (3) cos2x 4.2 Prove that: sin(45 ° + x). sin(45 ° - x) = -- (5) 2 4.3 Given cos(x + 42° ) = sin2x. Solve for x if x E [-180°,180° ]. (6) [17] Page 4 P.T.O

JN/2022 QUESTION 5 A mountain climber wants to determine the height PQ of a mountain. The climber is standing atRon a flat ground.Rand Sare in the same horizontal plane as the foot of the mountain Q. FromR, he measures the following angles: • The angle of elevation of the top of the mountain P is w•. • PRSisx' He then walks z metres to point Sand measures R SP which is y· s zsiny. sinw 5.1 Show that PQ = ---­ (4) sin(x + y) 5.2 Determine PQ, if z = IO00m, w = 90° - x and x = y (4) [8] Page 5 P.T.O

Mathentaawmdanadad from Stanmorephysics.com JN/2022 Give reasons for your statements in Question 6, 7 and 8. Use the Annexure A provided to answer Question 6, 7 and 8 QUESTION 6 Given /A\ ABC with DE || BC as shown in the figure below: A AD AE Prove that: —— = [5] DB EC Page 6 P.T.O

Mathenlaamudanaded From Stanmorephysics.com QUESTION 7 In the diagram below, AC and CE are tangents to the circle with centre O. B, D, G and H are points on the circumference of the circle. HG is produced to F. BD = BH D, = Dy = x. 71 7.2 7.3 Find four other angles equal to x. Hence or otherwise prove that BD || HG. Show that G, = 180° — 2x. Page 7 (4) (2) (2) [8] JN/2022 P.T.O

Mathenaawmnadad From Stanmorephysics.com JN/2022 QUESTION 8 8.1 In the diagram below, AB lies on circle with centre O, and is produced to C which lies on circle with centre P. Similarly, FE is produced to D.. BE || CD. Prove that ACDF is a cyclic quadrilateral. (4) Page 8 P.T.O

Mathenaawmnadad From Stanmorephysics.com JN/2022 8.2 In the diagram below, AB is the diameter of circle with centre P, EP L AB. 8.2.1 Prove that /\ BPE/// \ BDA (4) PE?.BA.BD 8.2.2 Hence, prove that BE = ———————. (4) BP [12] TOTAL 100 Page 9 P.T.O

Mathenlaamudanaded From Stanmorephysics.com JN/2022 INFORMATION SHEET: MATHEMATICS —b + Vb? — 4ac x = ——__—_ 2a A= P(1+ni) A= P(1—ni) A=P(1-i)" A=P(i+i)" n n +1 n Yiten yiatety T, =at(n—Dd Sy =5 (2a + (n— 1d) i=1 i=1 a(r” — 1) Seo Ty = ar™-1 rn :r#l __4 ; -l<r<l 1-r 14+i"-1 1-(1+i)™ p awl +9 ] pail a+) ] i i vox FH) = fF) F') = mS = — x,)? —y,)? XatXe , Vato d= VG2- 1)? + 02-1) m2; 222) y27—V1 y=mxt+c y-Y. = m(x — x,) m= ——— m = tan@ Xy—Xy (xa)? + (y—b)? = 1? In AABC: a b c 1 = = 2 = b? +c*—2bc.cosA ==ab.si snd sin ainG a c ic .COS areaAABC 3 ab.sinC sin(a + B) =sina.cosB +cosa.sinp sin(a — B) = sina.cos B —cosa.sinB cos(a + 8) = cosa.cos 8 — sina.sinB cos(a — 8) = cosa.cosfB + sina.sinB cos* a — sin? a cos 2a = 41-—2sin?a@ sin2a = 2sina.cosa 2cos?a—-1 (x;y) > (xcos 6 — ysin@; ycos@ + xsin@) paix ot = D4 - 9? n i=1 n (A) = n(A) P(A or B) = P(A) + P(B) — P(A and B) n(S) a _Y@-HDO-y) J=atbx b= Ta-p Page 10 P.T.O

Mathenlaamudanaded From Stanmorephysics.com JN/2022 Name: Class: ANNEXTURE A QUESTION 6 A (5) Page 11 P.T.O

Mathenlaamudanaded From Stanmorephysics.com JN/2022 QUESTION 7 71 (4) 72 (2) 73 (2) Page 12 P.T.O

Mathentaamudnated From Stanmorephysics.com JN/2022 QUESTION 8 8.1 (4) Page 13 P.T.O

Mathenlaamudnated From Stanmorephysics.com JN/2022 8.2 A 8.2.1 (4) 8.2.2 (4) Page 14 P.T.O

Downloaded f rom St anmorephysics. com GAUTENG DEPARTMENT OF EDUCATION s.co m si c st JOHANNESBURG NORTH DISTRICT an mor 2022 GRADE 12 ep CONTROL TEST hy om fr oa MATHEMATICS de TERM1 d do wn l MARKING GUIDELINES MARKS : 100 TIME : 2 hours Page 1

– – ∴ –––– –– 9 – ∴ ∴ – – 9 9 ∴ –– – ∴ – –––– ∴ 9 – 9 ∴ 9– – 9 ∴ 9 Downloaded ∴ f –rom – St – anmorephysics. 9 com – ∴ –– –––– ∴ ∴ – ∴9 ∴ 9 9– 9 9 ∴ – –– 9 ∴ –– – 9 ∴ ∴ – ––––– ∴ –– ∴9 9 9 – 9 ∴ ∴ – – 9 9 ∴ ∴ – –– – QUESTION 9 1 ∴ ∴ ∴  – 9–––––– –– 9 9 ∴ 9– – ∴ 9 9 1.1.1 x 2 − 7x + 10 ∴ ∴ –– 9 – =0 – ∴ – 9 –– ∴ ∴  – – ––– –– ∴ 9 ∴ 9 – – 9 9 ∴ – ∴9 9 Factors –– form – 9 ∴  – –– ∴ 9 Standart (x − 5)(x − 2) = 0 ∴ ∴  – – –––––––– –– ∴∴ ∴9 9 9 –– 9 9 9 ∴ ∴ ∴ – ∴9 Ans – form 9 Standart – 9 ∴  – –– – ∴  –– 9–––––– ∴ 9 –– 9 9 ∴ – ∴ ∴ – – ∴ ∴9 9 – – 9 99 9 x = 5 or x =∴ ∴ 9 – 9 ∴2 –– – ∴ ∴ ∴ – ––– 9– 9 – – ∴99 9 9 – (2)  –9 9 1.1.2 3x 2 + 2x + 6 ∴ ∴ – ∴ ∴ 9––– – ∴∴ ∴9 9 – – 9 – form –Form 99 – – – 9 = 10– –– ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ –– ––––– 9 9 – 9–– ∴ ∴ 99 9 9–Standart 9 9 Standard – – 9 ∴ ∴ ∴  99 – – – –––– –– ∴∴9 9 Correct – 9 9 9 3x 2 + 2x − 4 ∴ = 0 – ∴ –– 9– ∴ ∴ ––– 9 ∴ 9–––––––– 9––– ∴9 999– –Standart –– form – Sub into 9 ∴ – ∴ ∴ ∴  9 9––––––– –– ∴9 9 – 9 – – – 9–– 99 ∴ 9 ∴ ∴ – – 9 – – – – – ∴∴ 9 formula 9 – 9 −(2) ± ∴ ∴ (2) − – 2  –– 4(3)(−4) – ∴ –––9 ∴  9 –––– 9– ∴99 9 9 9 ∴ – ∴  ––––9 ∴ 9––––––– penalise– –1 mark for ∴∴ 9 – – 9 99 x= ∴ ∴ ∴ –– 2(3) –9– – NOTE: ∴ ∴ ∴ ∴ 9 ∴ incorrect  – – – – – – 9–––––– 9 9 –– – – – 9– – rounding –– off s.co ∴∴9 99 9 9 9 x– 9–Standart 9 = – 0,87 – – –form 9 9 9 ∴  9 ––9––––––– ––– – – – – ∴ 9 9– 9 9 ∴  –––– –9 99 ∴ ∴ ∴ ∴ –9 9 – 9–– m ∴9 ∴ 9 9–– x= Standart –− 1,54– form 9 9 x = 0,87 or ∴ – ∴ 9 ∴  – – ––– – 9 999 ∴  ––9––––––––––– 9–––– • •99 ∴x = − 1,54 – ∴  – 9 ∴∴ 9 9 ∴ ∴ –– – 9– ∴ ∴∴9 – – ∴9 – 9 9 9 ∴ ∴  ––9 9– ∴  ––9 ∴ ∴ ––––9 9––––––– 9 si 9 –91 (4) 9 – 9––– c 9 9 •99  2• 9 ∴ ∴  9 – – ∴9 9 – ∴ – – – ∴ ∴ ∴   –– – 9 – –– – ∴9 9 –Factors 9 – 1 –form 9 – ––– 9––– –––––9––•–––––– 9 •∴∴9 9 1 1 1.1.3 x 2 + 3x 4 − 28∴ ∴ 9 9– 9 ∴= ∴  0 –9 9 – ∴ ∴ ∴ ∴     – st – 1– – – –9 ––– •∴9 ∴9 999 Standart 9 1 2– 9 9 9 9 ––––––9––2•–––––––– 9 – ∴ 9 – – 9 99 1 ∴ – 1 ∴ – ∴7) = –0 • 9– ∴ 9 – 99 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴   •–  9 – an– 9––1•–––––99–––– 9 – 1 – – – – 9––––– ∴ 99 99 9–Standart 9 x–49= . . .form 9 –– •– 9– 99 9 9 •99 9 9 (x − 4)(x +∴ 4 4 ∴  – 1 9 9 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ – 9 – ––––9––2––––– 9–– – mor – 9–––21–––––––– 9––– 99 •∴∴99 999 9 91•– both raising 9 Standart formside 9 9 •99  1∴∴ – – •– 3 – ∴ ∴   • – – –––––9–2•–––––– 9 ∴ 9  2  9  1 – x 4 = 4 or. x 4 ∴= − 7 219– 9 9 ∴ ∴ ∴ 9 ∴ –   ––– ––––––– 9 ep 9–––––– 99 •∴∴9 9to9 9– –91 9 9 reciprocal – – –– – 9 9  ∴ ∴  – 9––– 99 – ∴99 9 9 – ––2– 9 –99  99  ∴ –––– 2–– 3 ∴ 99 ∴  –– ––9 9–––1•–––––––––99 9–––– •∴∴∴9 9 9 9  x = 256 or x∴ ∴  𝑎= 2401 𝑏–9 9 –– – 3• – 3 39 9 –9 – 99 ∴ ∴ 9 ––––9––2––––– 9 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ • ––––9 9 – – hy –––11•––––––––99–––––– 99  9 9 ∴ 9 99 9 9 9 9 9–– 9•––– 9 9 9 x–-9 values– Standart – form 9 9 • 9 9 ∴ 3 ∴ ∴   – 9 ––2•–––––– 9––– ••∴∴9 ∴ 9 9 –– – 9–––91 – – – – –99 (4) 9 9 –––––– ∴ 9 𝑎 3– –1𝑏––93 9 ∴ 9–9  9 ∴ – 99 ∴ 9 9 9 •99 ––11––––– 9 9 9 – –2•– 9  – – 2 ∴ 9  𝑎 –𝑏𝑎–– ∴ 9 233 •– 3 3– 9 ∴ ∴ ∴  • ––––––9 om    9––9 99  9––  ∴99 99  OR ∴ ∴ ∴  –  –9 – 9 𝑏 9 – 2𝑎 5𝑏∴ ∴ 9 ∴   – – – – 9 – – – 9 – – – 2 •– – – – – 9 9– – – •∴∴∴∴9 9 9 9 –––91–– – 9 9 9 9 9 2 3 3––𝑏𝑏– 3  ∴ 𝑎 ––––––9 9 9   1 5𝑏 9 3 3 ∴9 ∴  ––211––––––––––99 9 ––9 9 99 99  ∴ y9 6 2or y 9 –––9 9 99  9 9  ∴ ∴ – 𝑎 23 5𝑏3 𝑏 9 2𝑎 5𝑏∴ ∴  fr – –––––9– – – – – – 9– –– 9––– –– • – – 9 9 – – •∴∴∴9 9 9 9 9 – –9OR –– – 9 9 9 ∴ 6 – ∴ 2𝑏 – –9 –– 99 99   ∴ 9 ∴ –– ––2121–––––––– 9 ∴9 9– 69•or– y 9 9y9  30𝑏  • –•–––––99 9––––––9 99 •∴∴∴∴9 • 9 1 1  2 –𝑏 • 5𝑏 – 3   – – 99 9 –– 9 ––– 9 9–––– –99  x 2 + 3x 4 − 28∴𝑎 ∴ = 𝑏 –2 ––– 3 9 3 – ––93 3 9– ∴ ∴  –– ––––9 9 9 99 9 9 oa ∴9 – •∴9 9 – 9 ∴ ∴ 6 ∴ 𝑎 𝑏3 𝑎  – 2𝑏 5–93 9 1 5𝑏 𝑏–– 3 9 9– 9 99 ∴ ∴ 9 ––––211––––– 9 ∴   – – 9 – 9 – 2 •– – – – –––9 99  999 – – 9 1 9 9 99 3  1 ∴ ∴ 𝑎 𝑏 𝑎 2–– –– –233 3 •1 3 3 de – –92𝑎 5𝑏 ∴ ∴   •–––––––––9 9––1•––––– 9 ––– y9––––– – 9 99  ••∴∴9 9 9 ––92•– – 9 9  • 9 9 9 2 Let k = x 2 ∴ ∴ or  k– 𝑎 3 –= –  x 𝑏 49 9  𝑏  ∴ ∴ ∴ y   – – – – –69 9 – – 2 2 • or– – 9 – ∴ 99 9 9 9 – 9– 9 Factors Standart1 form 9 –––𝑏 – 3 • 1 9  –12––––––– 9 ––12••  3 2 3 5 𝑎 ∴ 3 5𝑏– 3 d 3 ∴ ∴  –––––9  –9 9 ––––9 9 99 99  ∴∴9 9y9 9 92or 61 •– y  • 9 9  ∴ –𝑎 23– 3 𝑏 9 92𝑎 5𝑏 ∴ ∴9  ––––––69 – – 9 9 9 – –  9•99 –x 49 ∴ 9 9 9 9 –1= . –99 9  ∴ ∴ 6 39  – ; – 2𝑏 36 ; 9 33 –5𝑏   𝑏 3– 5𝑏 39; … ; 9 99 177   ∴ ∴ 9 ∴ y y  – – – ––69 9 – – – 1or • or– – y9 ––– y9–– ––99 •––––––9 9––––9 99  – ••∴∴9 9 – 69 9 Standart 9 . or– y 9 .form 9 9 9y9 2 –––––9 do 9 99 9  2 ∴ k + 3k − ∴ 2 y3= ∴ 𝑎 28 𝑏 177𝑏 2 ––09 –63 3–or• –39 y 9𝑛– 1 ∴ 3 ∴ ∴9   •––9 9––1121or  •––9 99 –– –  9••∴ 9 ∴ 9 9 9 9 2– 9 9 99 9 –––221••–––––––– y9 ∴ – – 99  ∴ 6 ∴ 𝑎 39;3 2𝑏wn– 3 𝑏–5𝑏 3 9 9 99 ∴ ∴ ∴3 y  – – – – –3 – – 6 9 – 1 9 9 –– –99 •∴∴9 ∴9 9 9 9 9 9 9 –Standart 9 multiplying 9 form–by the 9 99 𝑎 36 5 ; 133 ;3 … ; 177  ∴ ∴ –  1––– –  9–––––9 9 99  9 9 •– 9 99  •99 3 ∴ 𝑎 177 𝑏𝑎––––9 3– •–99y–3 3 3𝑛 3 ∴ 9–– • 9 ––––––9 9 – 2 • –   9•∴ ••∴∴∴9 99 9 – 9 9  ∴ y 6 or ∴  1 – 9 (k − 4)(k + 7)∴ 𝑏 177  2 l 3 3 –23 39𝑏 𝑛–92𝑎1 5𝑏 ∴3 –––3 – 2 1 1 • – – – ––9y9 9 – – 99 9 9 9 ∴ = 0 9  ∴ ∴ y – ––212•–––––– 9 – 6 – 2 2or 9 9––––9 ––99  9 9 9– 69 – reciprocal 9–––––––9 𝑎 219 3 𝑏 1 𝑏9 3𝑛 9y9 1 9  ∴ 35 𝑎 177 ––– 3 3 ∴ ∴ –121•–– 9  •∴∴∴9 9 9 or– y 9  3 2 ∴ ∴ –– 39 • 5𝑏 3𝑛 3 3 ∴  • 9 9 ––9 99 9••∴ 9 9 2– 9 99   ∴ ∴𝑛   𝑎 73 – 23 – –5𝑏 3 3 3𝑏 9 9 9 99 9 2𝑎 5𝑏∴ ∴ ∴9 y  – – y –––––––69 9 –– – – – 9 9 6 – 1 ––212••– 2 • or or – – – – – 9 y –– y99 9 – –––9 – – 99 99  ∴ ∴9 9 9 9 9 –x–-99  – –  9 99 6 ∴ 39 219 ; 2𝑏 – 36  ; 33  3𝑛 ; … ; 177   ∴  – – – 9 9 –99 99  99 •∴∴9 9 9y99 Standart 9–– 69 9or–– y 9 values 9 form ∴9 ∴ ––––––21112•–––––––9 9–––9 99  1 9••∴ k = 4 or. k 𝑎 2=y3−𝑏79 6𝑏 – 5𝑏 3 ∴  –  9  ∴ 𝑏𝑛  ∴ 177 2 – 73 – 3 3 3 or – 3 3 3 39y 9 𝑛–9 1 ∴ ∴3  9 – – – 3 – 9 • – 9 9 ––––– y 9 9 – – ––––9 –99 – 9 9 9 9 9 – 9– 9 – –99 (4)  𝑇 ;3 ∴ 6 39 𝑎 2𝑏 36 5  39  3 ; 2 33 𝑏 –5𝑏;3 … 39 45 ; 9 177 99319 3∴ ∴ ∴ y y   3 ––––9– – 9 – – – ––6 6 – 1 1 2 –2112•––– 9––9 –99 2 1 or • or – y9 9 – 99  ••∴∴∴9 99 9–––– 9 9 – 9 9 99 9  – – 9 ∴ 9   •∴∴9 9– 9 ––12122••– ∴ 9 3  1 x 4 = 4 or. x∴ ∴ 𝑎 𝑏 ∴ 𝑇 1177 𝑇4y 177–𝑏𝑎 2 ––9 6 –3 3 3 39 93•or–39y3 3 39 – 3𝑛 𝑏 45 9𝑛– 2𝑎 1 1 95𝑏 3 ∴ ∴ ∴3y  •–9 ––9 – – ––––9 3 – 9  – – –––––– 9  9 9 – 9––––9 –99  99  9 9••∴ 9 99 9 – – 9 9 – – 9 – – 99 ∴ ∴ = 219 –– − 7 3 3𝑛 9 9 ∴ 9y9–– 3 – –––69– 6 or –2112••– or –  y – y9– 9 –99 –  ∴9 9 ––9 9 9 9 𝑎 3 5 𝑏19 3  3 𝑏 95𝑏 3 99  ∴ ∴ –   – –     • ∴ 9 9 9  3  ∴ 2 𝑇 𝑎 ∴ ∴𝑛 177 𝑆 –𝑎 𝑏 –– 9 73 933– 39 3 33 3𝑛 3 9 3 ∴ ∴ ∴9 y   – – – – – – – – 9 9 9 6    – – – 2 1 1 • • or – – – – – ––  9  y 9 9 – – – – – 9 9 9 – 99 99 99    9••∴9 9 •∴ 9 ∴ 9y 9 9 –  – 9 –9 6 or y  9 9  ∴ 6 39 ∴ 219 ; 2𝑏 – 36 𝑎 2𝑎 – ;  3 33 –5𝑏3𝑛 ; 𝑑 …𝑏 9 ; 9 𝑎 2𝑎 177  2𝑑 95𝑏∴ ∴⋯ y  – – ––– – – 6 9 – – – 2 2 1 1 2 • or • – – – – –– – 9  y9 9– – – – – 9 9 – – 99 99  ••∴∴9 9 9y9 9 9 69 9–– 9 9 – 9 99 𝑎 3  9𝑏  3  9 ∴ – • 3 99 •or– y 9 • 1 ×4 1 ×4  x 4 = (4) ∴ 4 2𝑛 y3 or. x – 4 – … 736𝑏 –or – = 𝑎 – 5𝑏– 9 (−7) 3y 𝑛 4 3 – 2 𝑑 𝑎 ∴ ∴ ∴ y   𝑛 9 – – –––––6 – – – 9 1 – 2 1 ––1212•𝑑 or – – – – – –   9 y 9 9 – – 9 9 – ––9 ––99 99   9••∴9 9 9 9 9 9   𝑏 ∴ 𝑆 𝑇 𝑆 ∴ 177– 2 𝑎 𝑎 – 3 3 𝑎 39 3𝑎𝑛 939𝑑 3𝑏 91 45 𝑑 𝑛𝑎 2𝑎 1 1 2𝑑 5𝑏 3 𝑛 ∴ ∴ ∴ 3 ⋯ 9 y 2 𝑑9– 3 – 9 6 – 1 • or ⋯•– – – ––9  y9 9– – – –9 – – 99  •∴9 9 9 – 9 –91 9 9 – – 9 9 9 39 ∴ 6 𝑎 ; 36 2𝑏 5 – ; 3 33 9 –5𝑏; … 95𝑏2𝑑 9 ; 9 177 99 2 𝑎 9 𝑑 𝑎∴9 ∴ y  3 – 9𝑛–– – ––––9 6 – 2 1 2 1or ––21𝑑–––––– y9 3 – –9 – 99  9 9 9 9 9 3 ∴ 177 – – 39 3𝑛 𝑛 3 𝑑 3– 1– •–or  9 9 – – 99  9••∴9 9 9 – 692•or 9 • 9  … 𝑎 ∴ 𝑎  9 y9 – y 9 ––9 2 𝑇 ∴ 𝑎 y3 𝑏2 6 9–𝑏 93or 3𝑛 391–y 3 3 ∴9 y𝑛2 –𝑑––1––69 –  2 1 •  –––––9 y9––9 –99  9 9 99 9 9 ∴ 𝑏 ∴ 𝑇 177 – – 3 3 39 45 𝑛– 1 1 3 ∴3 3 9 – 2 1 • –  9•∴9 • 9 9 – –21112•• 9 x = 256 or x∴ 𝑆 2𝑆 =2192401 𝑎 2𝑎 𝑛 3𝑛 𝑑1 𝑑 𝑎 2𝑎9𝑛 y – – 6 𝑑 – 2⋯ or –  y ⋯9 – – 99  9 6 – 2𝑏  –… 𝑏39 – 9 5𝑏 9 9 ∴ 3 ––– – – –––––9 9 9 ––––9 9 9 1 9 9 9 9 9••9 𝑎 3 3 ∴ ––69  2 –  ∴ 9 𝑎 177 5 3 𝑎9 3𝑛 2𝑑  3 𝑎 3 𝑑 ∴ ∴ 𝑎y 9 3– –  • or –  y9 9 9 99  99 9 9 9 2• • 3 ∴ 𝑇 ∴𝑛 – … 73– 93 –2𝑎 33– 𝑛 1 𝑑 ∴  – – 9 – 1 • – ––9  – – 99 99  9••∴99 9 9  – – – – – 9 – – 9 9 99 𝑏 ∴ 𝑆 ∴ 2𝑆 219 2 𝑎 𝑎 3 2𝑎 3𝑎 𝑛 3𝑛𝑑𝑏 1 𝑑𝑎 2𝑎 2𝑑 3 2𝑎95𝑏∴ ∴ ∴⋯ y y 𝑛 – – – – 1 – 6 9 6 𝑑 – 1 2 2 1 • or or – –  y y ⋯9– – 9 9 – – 99 99  9•∴9 9 9 9 ∴ 39 𝑎 ; 36 – 573 𝑛 2𝑎 ; 3 33 9 9; …𝑛 ; 1 𝑑 177  ∴ 9 ∴ y y • – – – – 6 9 6 – 1 2 2 ––11212• 1 2 • or or– – – – – –  9 y 3 y ––9 y–9 9 – 9 9 – ––99  99 99 •••9 9 9 692or y 1  3 2 ∴𝑛 y3– … …6𝑏 • – or 𝑎 2𝑎5𝑏 3y 𝑛 3 𝑛1 𝑑 2 𝑑 1 𝑑3 3𝑎 ∴ y 𝑛 9 – –––6 91 or 𝑑 • • – – – 9 ––99  9 y99 9 9 9 9 𝑆 ∴ 𝑆 177𝑎𝑎𝑛 39 – 2𝑎  𝑎𝑛 39𝑛𝑑𝑛1 𝑑 𝑛𝑎𝑑 1𝑎91 𝑛3∴ 2𝑑 ∴⋯y 3 9 y  2– –𝑑– 3 ––66 9 – or or – –  9 9 9 y y9 – 9  9 9 9 9 99 𝑇 𝑆 ∴ 2𝑆 ∴ 6 ∴ 39  ; 2𝑏 – 36 –…2𝑎 2𝑎 ;931 33 –5𝑏 𝑎9;𝑛…2𝑑 9 45 𝑛; 9 1 177 2 3𝑑 𝑎∴ ∴ ∴ y y 3 𝑎y9𝑛–– – – – – 6 6 9   – 612–1221𝑑•– 1 2 2 1 2 1 ⋯• or or or – – – –– – –––   9 9 y y9 9 y9– 3 – – – 9 – – 99 99   9 9 • •••9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 𝑇 177 39 • 3 3 3𝑛 𝑑 3 𝑎3 ∴ ∴Page • 3 – – –  • • – 9 9  – 9 9 –99 99 –99   9 9 9 9• 99  •  ∴ 𝑆 𝑏 ∴ 𝑇 ∴ 𝑆 y 177 2 ––𝑎–63 3 39–2or𝑛 39y1– 45 𝑑 1 𝑛 𝑑 –9 1𝑎912𝑎93 𝑛 ∴3y ∴ ∴ y 2 9 –𝑑–1––6 – –––– 3 9 9 6  ––122•– or –1212⋯• or – – – – 9  9 9  y9 y9 – – 9 9 99   9 9 9•∴9 • 9 9 9 9 9  2𝑆 ∴ 39 219  ;3 36 2𝑎 ; 33 ; 𝑛 93𝑛… ; 1 𝑑 177 ∴ ∴ y 𝑛3 ––6  𝑑 – or • –––  ⋯ 9 y9 9 – –9 ––99 99   9•9 9 9 9 1 – 9 3 𝑎 ∴ 𝑇 ∑ ∴𝑛 177 y 5– – … … 736 3 1 931– • 39 or 𝑎 2𝑎 –9 33 3 y 2𝑑 3𝑛𝑘𝑛9 11𝑎 3𝑑 43 𝑑 ∴ ∴ ∴ 3 ∴ 𝑎y 9 • 9 3 – – – –– 6 9 –  – – 1 2 1 2or – – – – – 9   9 y9 – – – 9 9 – – 99 99 99 99   9 99 9 9 9  9 2   𝑆 ∴  𝑎 177𝑛2𝑎2𝑎 – 3 𝑎 39𝑑 3 𝑎9 𝑛99 2𝑑 1 ∴⋯ 3 y –– – 3 6 – 2 1or –  9 y9 9 9 –  9•∴9 9 9 9– – – 9 2𝑆  ∴∑219 –… 31 2𝑎 4𝑘 2 𝑛𝑛 3𝑛 5 1 1𝑑 𝑑 3 2𝑎9 ∴ ∴ ∴ y y𝑛 y9 6–2• y – –– – 1 – –6 6 9 6  𝑑 – – 2 1 1 2 • or or or – – ––  9  y ⋯ y 3 y9 – – – 9 – – 99 99  9••∴9 9 9 9 – 9–– 9  … 𝑎9 𝑛𝑛 2 3 𝑑 1 𝑑 𝑎 ∴  𝑛 – 1 𝑑 or9 y– – 9 9 9 –99  99  9 ∴99 9 9

– ∴ ∴ –– – 9 9 – ∴ –– ∴ – –––––– – 9 –– ∴ 9– 9 ∴ ∴ –– – 9 9 ∴ ––– – 9 – Downloaded f rom St anmorephysics. ∴ –– –––––– com ∴ –– ∴9 ∴ ∴ 9– –– 9 9 9 ∴ – – 9 ∴ – ––– – ∴ 9 1.1.4 2−x = x −2 ∴ –– –––––– ∴ –– ∴9 ∴ ∴ 9 9– –– 9 9 9 ∴ – 9 ∴ ∴ – ––– – ∴ 9 ∴  –– –––– – ∴ 9 ∴ 9– 9 9 ∴ –– – ∴ 9 – 9 2 ( 2 − x) = (x ∴ ∴ − 2) –– 2 – – ∴ – ––– 9 9– – ∴ ∴ ∴  – –– –– –– ∴ 9 ∴ 9 9 9 9 ∴ – – ∴ ∴ 9 – 9 Squaringform Standart ∴ – ––––– 9 ∴ 9 ∴ ––– ∴ 9 – 9 0 = x 2 − 3x + 2 ∴ ∴  – – ––––– ∴ 9 9 9 9 ∴ – ∴ ∴ 9 9 Standard Standart form form ∴ – ∴ ∴ ∴  – – 9––––––––––– ––– – ∴ 9 ∴ 9 9 9 – 9 9 99 0 = (x − 2)(x ∴−1) ∴ ∴ – – 9 9 ∴ –– 9––––––– 9–– ∴ ∴  99 9 Factors 9 9 Standart form ∴ ∴ – ∴ ∴ ∴   –9 9–––––– –– ∴ ∴ 9 9 – 9 9 99 ∴ – –– 9 ∴ – 9––––  ∴ – – 9– 9 x - values Standart form x = 2 or x = ∴ 1 – ∴  ––– 9–––––––– 9 ∴ ∴ 99 9 9 – 9 99 ∴ ∴ 9 ∴  99––––––– ∴ ––– 9 – 9  ∴ –––– –––––– 9 ∴ 9 – ∴99 9 9 9– Selection/ Standart Testing form 9 ∴ – ∴ ∴ – ∴  –– ∴ 9 ––– 9 – – – – –––– ∴9 ∴ 9 – 9 – 99 ∴ x∴≠ 1  9 ∴ ∴ ––––– –––––– 9 9 9 ∴999–– – (5) 9 9 – 9 –– 9 9 ∴ ∴ – ∴ ∴   – ––9––––––––– – ∴9 9 9 1.2 ∴ 3x 2 + k x − 3x∴ − k– = 09. 9 ∴ ∴ ∴ –– 9 – – – – – 9– –– ∴ ∴9 9 9 9– –– –– –– 9 9 – 9 ∴ 9– s. 999 ∴ –– ∴ ∴    – –– 9–––––––––– – 9 – – 9 ∴ ∴  9 –  9 9 ∴ ∴ ∴ 9 ∴  ––––– –––– 9––––– 9 – – co ∴ ∴99 9 9 9– – –– –– 9 9 3x + x (k − 3)∴ − k = 0–– – 2 ∴ 9 ∴ 9 –– –• • 9 ––9–––––––––––– ––––   – 9 9 ∴ ∴ ∴ – – ∴ – –9 ––9 9 9 – – ∴ ∴ ∴ 9 ∴ ∴   9 –– –9–––– 9–– – – m ∴9 ∴ 9 9 –91–– – 9 9 – 9 9 9 ∴ – – ∴ ∴  ––– 9–––––– 9–– si ∴ ∴99 9 –– –2•– –– 9 • 9 9 9 9 △≥0 – ∴ ∴  ––– – –––– ––– ∴ •∴9 9 ∴ ∴ –– –9 ––9 9 – ∴ ∴ 9  – – – 9–•–––– 9 9–– c ∴ 9 91 9 9 ∴ –– – ∴ ∴ ∴  –– 9––1–––99 – ∴ 9 999 – –2• 9 • 9 9 9 b 2 − 4a c ≥ 0 ∴ ∴ –– –9–9 9 – ∴ ∴ 9 ∴ ∴ ∴  – –––––9 – st • 9 9–––2–––––– 9 – – 9 9 –––– •∴9 9 9 9 9 9 9 9 – 2• 99 9 1 99 9 • 9 ∴ ∴ ∴ – • ∴ –– –1 9 9 – ∴ ∴  • –9 11–––––9 –– ∴  ––––––––9––22•–––––– 9 ∴ ∴ ∴  an – •∴9 ∴ 9 9 9 9 91 99 9 9 ∴ ∴ m 9––– 99 9 9 9 9 9 9 9  2•– 9 ∴ 9 • 9  2 (k − 3) − ∴ ∴ – ≥ • 3 9– ∴ ∴  •––––––––9––2•––––––99 9 – 1 1 – – – – –––– •∴9 9 99  9 ∴ –– 21 9  4(3)(−k) 0 –   ∴ ∴ ∴ ∴ ∴  ∴  •–– ––11––––––99 2 or – – 9 9 9 –– 99 99 ∴ 9 9 9 9 9 99 9 △ 9 1 ≥ – form Standart 0 9  – 2• – 3 ∴ 9  2– 99    k + 6k + 9 ≥∴0 2 ∴ 1 3 99 99 ∴ ∴ ∴  –––––9–22––––– 9–––– 99 ∴ ∴ ∴  – – – – – • ep – 9 9 – – •∴9 ∴ 9 9 9 9 9 9 9 9 – 9–– 9 9 99  9 9 – –Standart Subbing – correctly form 9 9  𝑎 ∴ 𝑏 ∴  – 2 – 3 9 3•– 33 99 ∴ ∴ ∴  •– ––––––––9 – ––11––––––99 – • hy – 9 9 –––––– 99  ••∴∴∴∴9 9 9 9 9 9 –Standart 9 99  𝑎 3 1𝑏 3 99 ∴ ∴ ∴  –– –22•– ––1–––––– 9 9 –– 99 9 9 9 9– – form –Factors 9 – 9 9  (k + 3)2 ≥ 0 ∴ 𝑎 𝑏𝑎–9 233 ∴ •–– 33 ∴ ∴  • –––––9 –   –  9 9 – ––9 99 99   ∴9 ∴9 9 9 –  –   9 •∴∴9 – 9form– 9 9 ∴ – – 1 – 9 99 1𝑏 3 𝑏 2𝑎 ∴  –– 2•–––– ––– – 5𝑏 ∴ – – 9 – 9 9 –Ans9 9or–– y 9    𝑎 ∴  3  𝑎 3 𝑏𝑎–9𝑏 233–– 3 2 5𝑏 33 3 99  ∴ ∴ ∴  ∴ –––––––––9 om  – ––211–––– • –– 9  9 9 9––––––9 99  –9 99  ••∴99 ∴ ∴ 9 9 9 9 9 y9––– 6 Standart 9 99 ∴ k ≥−3 ∴ ∴ 6  2𝑏 –5𝑏39𝑏 9 9 92𝑎 5𝑏 99 ∴ ∴ ∴9   – 9 ∴  –––––– –221––– 9–––9 –– – – 9 –– •–– – – – 9 – – – ∴9 9 –––9 9 9 9 – 9 – (4) –9 9 9 9 9  𝑎 2 3 𝑏3  𝑏 3   ∴ ∴ 9 9–– 6 or 9y9  𝑎 ∴ –9𝑏 –33 –– 5𝑏3 3 ∴9 –––––9 fr  11•–––––   9–––9 99 99   ••∴∴∴∴9 9 – y9 9  9 ––––9 – 9 – ∴  99 𝑏 ∴ ∴ 6 𝑎 𝑎2 2𝑏 3 3   𝑏 –5𝑏39𝑏 9 992𝑎  5𝑏 ∴ ∴ ∴  – 9 – ––– 9 –– – 2 •–– – – – – 9 – – – – – ∴999 9–– 69or – 9 – – 9 9 9 – 3 ––––––––9 1 – 9– 2 9 9y9  3  𝑎 2 ∴ 𝑎 3 𝑏5 ––9𝑏–3 3 5𝑏 3 oa 3 –  ∴ ∴ ∴   – –1211•–––––––   9––––9 99 9 99   ••∴∴9 ∴9 9 9 –9 9 9 – y 9 𝑏 ∴ ∴ 6 –𝑎2 2𝑏 3 𝑏  3 3–5𝑏 𝑏 3 9𝑏 9 2𝑎   ∴ 5𝑏 ∴ ∴9 y ––––––9 – – 9– –– 69 –– – 2 2or• – – – – – y9 – – – – – ∴9 9 9 9y9 – – 9 9– 69or9y – 9 9 9  3  𝑎 ∴ 𝑎 35 2 ∴ 𝑏 ∴ –𝑎 – –– 3 2 – 3 9 – 3 – 5𝑏 3 𝑏 de – 2𝑎 9 ∴ ∴ ∴ ∴ 5𝑏 ∴9    – –––9 – –212111••–––––– 9–––9 9 –––2• ––––9 y9 – 9 99 99  99  9••∴ • ∴ 9 9 9 9 9 9 9 ∴ 6 ∴ 39 ; 2𝑏 – 36  ; 9 –   33 – 9 5𝑏; …9;   9 d 177  ∴ ∴ ∴ y y –––––69–12212or9 6 – or • – –– y–– 9 –99 9 – – • ∴ ∴999 ––69or9y– 9 9 9  2 y3 – 6𝑏3 𝑎 5 9 ∴  –9 •––––––9 – 9–––9 99 – 99 ∴ y9 9 9 3 ∴∴93 –9 9•∴9 • 3 ∴ – 5𝑏 1 99 • –  ∴ 𝑏 177 ∴ 2 –2𝑏––3 do 3–or 39y– 9𝑛– 1 ∴ y –––––––6 3  –––1212or 9 9y 9– –99  9 99  9 9 –9 9 9 9 6 ∴ 39 𝑎 177; – 36 ––6  5  – ; 3 33 9 –5𝑏 9 ; … 9; 399 y–3𝑛 – 3 177 ∴ ∴ 9 ∴ ∴ y –– 69 – 2 1 2or 1• 1 •– ––– – – y – –9 99– – ••9 9 9 9 9 9 1 9 9 92• 9 3 ∴ 𝑏 177 ∴ y –2 wn –33–or– 𝑛 1 ∴ ∴ ∴ 99 –––––––69  9  –21212or • – 9 9 9 9 ––9 99  99   9•99 9 999 • 9  ∴ ∴ 39 219 ; – 36 – ; 33 9 39 3𝑛 ; … 9; 177 ∴ ∴3 y y  –– – 3– 6 –9 – 2 1or• •– – – y y – – – – – 99 99 ••9 9 91 9 9 92• – 63 9 9  –  9 ∴  – – 9 99  9 9 𝑎 5 9–– 1 99 3 ∴ 177 ∴ y l or– 399 y–3𝑛 3 ∴ ∴ ∴ 9 –––9 –    –21221––––  9 9 9–– 9    9 9 9 9 9 • 9   ∴𝑛177 – 733 3 39 𝑛 1 ∴ ∴3 y y  – – – 36 – 6 9 – 2 1or or• – – 9 9 y y 9 – – 99 99 9•99 9 91 99 ∴ 219 39 ;  – 36 – ; 33 9 3𝑛 ; … 9 399 y–3𝑛 3 ; 177 ∴ ∴  99 – – –––––– 9  – 1 2•– 2 – –– –  9 9 9–––9 9 – 9 9 – – 9 99 99   • 9 9 9 9 9 9 •  ∴ ∴𝑛177 y – 177 6 or 73  • 3 39 𝑛 1 ∴ ∴3 ∴ ∴ y  • ––––63  –21121• 9 or• –––– 9 9 9 y – – 99 99 99   9• 9 9 ••9 999 9 921• 99  𝑇 ∴ 219 39 9 3𝑛 39 ;36 ; 1339; … ; 177 45 19 3∴ ∴ ∴ y 3 9–– – – – – –– – 6   – – 1 2or•– – – – –– ––   y9 9 9 – – 9 9 9 – – 99    9 99 9 9 9 ∴ 177 y –73 𝑇𝑛177 6 93 39 y 3𝑛 3 • or 3 33 ∴ ∴ ∴  9• – – – – – 1 2 2 1 2 • – – – 9 9 – – 9 99  9•99 9 9 9 9 9 2 99    ∴ 𝑇 ∴ 219 3392 39 3𝑛 45 𝑛9 1 1 9 3∴ ∴3 y – – – 3 – – 6  – – – 1 1 2or• – – – –  9 y9 9 – – 9 9 – – – 99 99   9•99 9  9 ∴ ∴ y 3 – –– – –6 1 2or ––––  y9 –– 9 –   9 •∴99 9  𝑇𝑛177 73 – 1399 3𝑛 3 93• –3 33 ∴ ∴ ∴   9 • – – – – –  – – 1 2 2 1 1 • • – – – – 9 9 9 9 9 – – 99 99  9••∴9 9 9 9 9 9  9 –  9 99   ∴ 𝑆 𝑇  ∴  𝑎 39  … 1 𝑎 3 219 2 𝑎 3𝑛𝑑 459 9 𝑎 99 12𝑑 9 9 3∴ ∴ ∴ ⋯ y y y 3 – – –– – – – 6 6  – ––6 1212or 2 2or or• – – ––– y– 9 99  –  9 y y9 9 – – 9 9 – – 99   999 9 9 – – 9 – 9  𝑇 𝑎𝑛 𝑏 73 –9 93 3• –3 33 𝑛 2 𝑑 𝑎∴ ∴ ∴ y   𝑛 • – – – – – – 6 –1 – – – 1𝑑 or• • – – – – – 9 9 3 y9 9 – – 9 9 – – – 99 99 99  9•∴ 9 9 •∴99 9 9 9 –  9 9 – – 9  9  ∴ 𝑇  𝑎𝑎 39 𝑆 𝑆 ∴ 2𝑎𝑛 3 𝑑1 𝑑 9 45 𝑎9 1𝑎9 99 2𝑑 9 𝑛3∴ ∴ ∴ ⋯yy y2– 3 –𝑑–– – –6 6 6 –2112⋯ – 2or or or• – – ––– 9 9 yyy––– 9 9 ––99  ∴99 ••∴9 9 9 9 – – 9– – – 9  𝑎 𝑇 3… 93 1𝑏 𝑎 3 3 2𝑑𝑛 2𝑎 𝑑 𝑑 𝑎∴ ∴ ∴ 𝑎 𝑛– –3–––– 1– – 𝑑 • •or – – – – 9 93 9 9 9 9 ––99 99  9••∴ 9 9 ∴9 9 9 9 – 9– 9 9  9 9 𝑛3 𝑎 𝑏𝑎–𝑎939 3𝑎𝑛– 𝑑 ∴⋯y –𝑑–––1––6 9⋯yyyy9––– 9 ––99 9 9 9  2𝑆  𝑎 𝑆 𝑇 𝑆 ∴ 2𝑎23 3 45 𝑏1 𝑑19𝑑𝑎92𝑎 2𝑑2𝑎9 19 𝑛3∴y ∴ 5𝑏 y y𝑛23  6 6 6𝑑––21211⋯  or or or• ––––   999 9 – 9 – – 9 9 – 69 99 ∴ – 99 9 •∴9y9 ∴ –  𝑎 𝑇 2 𝑎 3 … …  𝑏 93 3 𝑏𝑎–9𝑏 3𝑎 – 5𝑏  𝑎 2𝑎332𝑑𝑛𝑛3 2 1𝑑 𝑎 𝑑 3 𝑑 𝑎∴ ∴ ∴ 𝑎y y  𝑛 – –3 – – –𝑑–––––6 –6   1 – – 2 1 𝑑 or or• – – – –––  9 9 9 3 y y 9 9–– 9 – 9 9 – –99    9 9 9•∴99 9 9 – – y or 9 9 9  𝑆 𝑆 ∴ 2𝑆 ∴ 6 𝑎 2𝑏 𝑎 𝑛2𝑎2𝑎 3𝑛 –5𝑏3 𝑛𝑑𝑏 𝑛1 𝑑9 1 9 1𝑑𝑎 𝑑 992𝑎𝑎2𝑑 3 2𝑎9𝑛 ∴ 5𝑏 ∴ ⋯ 9 y y𝑛 2 – – – 1 6 6 𝑑 – 2 1 ⋯ 2 1 or or• • – – – –   9 9⋯ y y9 9 9 –99 99   9 • 999 9 – – 9 9 9 – – 9 9 9  𝑎 2 3 𝑏𝑎… 𝑎 𝑆 3 … 9  𝑏 𝑏2𝑎3𝑎2𝑎𝑛 𝑎 3 5𝑏 32𝑑𝑛 2 𝑑 𝑎 𝑛1 𝑑 1 𝑑3 3 3 𝑑 𝑎∴ ∴ ∴ ∴ 𝑎y y y 𝑛 –3 ––––– – – –6 6 6 –1 – 2••or–––9 or 𝑑 or –1121or 2 – 9 9 3 y y y 9 – 9 –– 9 –99  – 9 9•∴ 9 •∴9 9 9 9 – 69or y9 – y 9  𝑏 𝑆 ∴ 2𝑆 𝑎 ∴ 2–𝑎𝑛2𝑎– 3 2𝑎 3𝑛 𝑛𝑏 –𝑎 𝑑𝑛1 𝑑19 1𝑑–𝑑2𝑎3 𝑎 2𝑑2𝑎𝑛5𝑏∴ ∴ ⋯ 9y𝑛2 𝑑– 6 –––1–69𝑑– ⋯ ––1221𝑑 •–––––9 ⋯9 y 9– 9 ––99 99  9 •∴ 99 9 9 9 9 6 𝑎 2𝑏 3 … 𝑏 5𝑏3  𝑑𝑑 𝑑 𝑎∴ ∴ 𝑎y y 𝑛– – –6 or or 93 y y  9 ∴ 9 – 9 9 9  𝑎 … 2 3 – 𝑏2𝑎 – 𝑛 ∴ 5 3 2𝑎 2𝑑𝑛𝑛 21𝑎 5𝑏 1 𝑑 3 3 3 ∴ y 3 – – –61 –69–211or 2 1or – – – 9 9 y9–– 9 ––99 9  9•∴9y9 9 9 9 69or y 3  𝑆 𝑏 ∴ 𝑆 2𝑆 𝑎2– 𝑎 𝑛2𝑎3 2𝑎– 3𝑛 𝑛 𝑏 𝑛1 𝑑1 1𝑑–𝑑2𝑎𝑎 3 2𝑎 𝑛 ∴ ∴ 5𝑏 ∴9 y y𝑛2 – 𝑑 – – 1 –––6 9 𝑑 ⋯ • • – –– – 9 9⋯ y9 – 9–  9 99 99 9 9 •∴9 999 9 ∴ 6 2𝑏 3  –5𝑏  9  𝑎 𝑑 ∴ y ––– Page 3––21221or 2 ––9 y 9y 9 y––– 9 ––99  9 9 9 69or9y 9 9  3 ∴ 𝑎 2 ∑ ∴ 𝑆 3 –– 5…… 3 𝑏2𝑎 1 –𝑎 2𝑎𝑛5𝑏2𝑑𝑘𝑛13 𝑑 11 𝑑343 ∴ 𝑎y ∴ ∴ 3 ∴ 3 – –6 69 9 – 1 or or• • 99 99  9•∴ y9 •99 𝑏 ∴ 2𝑆 ∴ 2– 𝑛2𝑎3 2𝑎– 𝑛 𝑛 – 9 1773∴ 1 1𝑑 𝑑 2𝑎 ∴ ∴9 ∴y 𝑛 – – – – ––––––6 1–  9 𝑑 – – – – 9⋯ 9 –9 y9–– 9 –99  9 –99 9 9 9 99 9 6 ∴ 39 𝑎 ∑; 5 2𝑏 3– 36 … 4𝑘 ;333 –5𝑏; … 2𝑎𝑛5 ;𝑘𝑛1 𝑑13 ∴ ∴ y y9 6–122211or 69 or or• –––9 y y 9 –99  9•99 9 9 9 9 3 ∑ ∴ 𝑆 ∴ y –– 6 2𝑎 –1 or– y – 1 3 𝑑4 3 ∴ 3 ∴ y – – – – –69   – – or• –  9 y – – 99 99   9 • 9 9 9 9  𝑏 2𝑆177𝑛3 ∴ 2 3 2𝑎 39𝑛 1𝑛𝑑 3 ∴ 1 ∴3y –––6 – 3 9 2 2or 2 1 1 ––9 y– 99 9  9 99

– Downloaded f rom St anmorephysics. com – 1.3 3y + x = 5 …………………..(1) ∴ ––– – 9 ∴ –– – 9 – ––––– ∴ –– 2 2 ∴9 ∴ –– – 9 9 x + y = 100∴+ 5y …………..(2) – –– – ∴ – –––––– ∴ 9 –– 9 ∴ 9– 9 ∴ ∴ –– – 9 9 ∴ ––– – 9 – x = 5 − 3y………………(3) ∴ –– –––––– ∴ –– ∴ ∴ ∴ 9 9 – –– 9 9 9 ∴ – – 9 ∴ – ––– – ∴ 9 ∴ –– ––––––– ∴ –– ∴ 9 9 ∴ 9– ∴ –– 9 9 9 Sub (3) into (2) ∴ – – 9 ∴ ∴ – ––– – ∴ –– 9––––– ∴ ∴ –– ∴ ∴ 9 9 9 – 9 9 2∴ ∴  ––– – ∴ ∴9 –– – 9 9 (5 − 3y) + y ∴= – 2 100 + –––5y – ∴ – 9 9 – – – ∴ 9 ∴ ∴  – – –––––– 9 9 – –– 9 ∴ –– ∴9 ∴ 9 9 ∴ ∴ – – – – ∴ ∴ 9 – 9 Equationform Standart (3) 2y 2 − 7y − 15 = 0 ∴ –– –––––– ∴ 9 ∴ 9 ––– ∴   – ––––– ∴ 9 9 – – 9 9 ∴ – – ∴ ∴ 9 – 9 9 Standart Subbing form correctly ∴ ∴ –– ––––––– – ∴ 9 9 ––– ∴ =0 – ∴   – 9––––– ∴ 9 9 – 9 99 ∴ ∴ ∴9 9 9 (y − 5)(2y + 3) ∴ – ∴ ∴ 9 – 9 –– –––––––––– 9––– 9 Standart ∴ 9 Standardform form ∴  99 ∴ 9 – ∴ – ∴ ∴  – 9 –––– – ∴ 9 9 9 99 ∴ ∴ 9 9 ∴ −3 ∴ ∴ ∴ ∴ ––– –––––––––– 9 9 9 –– 9  9 9–Standart 9 Factors form ––– ∴ – ∴   – 9 –––– – 9 ∴ 9 9 – 9 9 99 y = 5 or. `y = ∴ 2 ∴ ∴  99––––––– ∴9 9 ∴ – ∴ 9 ∴ –––– ––––––– 9 9–––– 9 ∴ Y-values – Standart form 9  ∴  – – 99 9 ∴ 9 9– – 9 ∴ – ∴ – 9 – 9 ∴ ∴ 9 ∴ ∴  9 –––9–––––––––––– –––– ∴ ∴ 9 Standart 9 X-values–form – 99 9  19 ∴ ∴ –– ∴  –– 9– – 9– – – – – 9 ∴ 9 9 9 9 9–– 9 ∴x = – ∴ ∴ ∴9 9 99 x = − 10 or. ∴ ∴ – 2 9 ∴ ∴ ∴  – 9 ––9––––––––––– – –– ∴ 9 – 9 9 9 – 9 ∴ 9– ∴ 9 ∴ – ––– –– 9– – – – – – 9– ∴ 9 99 9 9– – (6) 9 ∴ ∴  9–––––––––––– –––– ∴  9 ∴ 9 9 9 ∴ ∴ – – 9 ∴ ∴ ∴  – 9 –––– – ∴ 9 9 9 – – 9 9 ∴ – 9 9 25 ∴ ∴MARKS 9 ––– ––– 9 9– ∴ 9 9 9–– 9 ∴ – – ∴ ∴ ∴ ∴    –– 9–––––– 9–– 9 99 9 9 –– • – • 9 9 ∴ –– 9 ∴ ––9 –––– –––––– –––– ∴ ∴ 9 ∴ 9 9 9 9 ∴ ∴  –––– 9 9–– 9 99 9 92• 9– 1 9 ∴ – – – ∴ ∴    – – 9 ––––––– 9 9 9 • 9 9 ∴ – ∴ 9 9 9 9 ∴ ∴ ∴ ∴ 9  ––9 – – –– ––•–––––– 9 ––––– ∴9 ∴ 9 –– 1•9 – 9 9 9 ∴ –– –   – ∴  –– 9––1––––– 9– ∴ 9 99 9 9 9 • – 99 • 9 9 ∴  – 9 9 9 ∴ ∴ 9 ∴ ∴  ––––––– ––•––––––99 9–––– •∴9 9 9 –921 9 9 ∴ –– • – ∴   – ∴  •– 9–11––– ∴ – 2 – – 9 9 – 99 9 9 9 2• • 9 ∴ ∴  – 19 9 9 ∴ ∴ ∴   – – – – –– –•––––99 – –– •9 9 9 9 91 99 9 ∴ ∴ ∴  ––– – –211–––––– 9 2 9–– 99 9 9 9 9 99  2• 9 •  ∴ ∴ –– ∴  – 21 9 9 • 3 – 9 ∴ ∴ ∴   • ∴  ––––––– ––22•––––– 9 – –9 9 9 ––– •9 9 9 9 91 9 99  9 ∴  – 9 9 –– 9 9 9 – • ∴  2•  ∴ – 9 ∴ 99 9  ∴ ∴ ∴  –– • – 3 2 93 9 – 9 ∴ ∴ ∴    • –––––––– –•––– 9 9 1 1 –99 9 – 99 99 •∴9 9 9 9 9 – – 99  – 1 99 ∴ ∴  – – –221– – 9 9 – – – 9 9 99 ∴ 9 9 91 9 – 9 99  9  • 3 ∴ ∴  • –  1– 9 9 9 –––– 99  99 9 ∴ 9 9 9 –  2– 9  𝑎 ∴  𝑏 –9 3 – 3 9 9 ∴ ∴ ∴  – – – – – – • –– 9 9 ••∴∴9 9 99 9 9 9 –– 9 9– – 9 – 𝑎 3 1𝑏 3 2 9  3 99 ∴ ∴ ∴ – –––– 221•–– 9 9 – 9 9 9 9  𝑎 𝑏 –9 ∴  𝑎 23 𝑏 3• – 33 9 92𝑎 5𝑏 ∴ ∴ ∴  • –– –– –––––– –1••– 9–––  1 – –  9 9 9 9 99 99   ••∴∴9 ∴ 9 99 9 9 – 9– 9  – – 99  – 9 3 ∴  – – 9 9 9 –– 69or  99 ∴ – – – 2 – – 9 – 9 2 3 𝑏3–9𝑏 3 𝑎 𝑏 3  ∴  1 2 – 9 9 9  𝑎 • – 3 5𝑏 3 3 ∴ ∴  •– –– –––  2111–––  9 9–––– 9 99  9 99  ∴ 9 y9 – y  9  ∴ ∴ 6  𝑎 2𝑏 23 – 5𝑏3 𝑏 9 9 9 992𝑎 ∴ 5𝑏 ∴ ∴ ∴ 9  – – – – –––– ––22•– 9 • – – 9 –– ••∴99 9 ∴ 9 9 9 – – 9 9– 9 – 9 9  𝑎 3 3  1𝑏  3   ∴  9 –– 9 99 9y9 – 9 9   2 𝑏 𝑏𝑎 𝑎 ––9𝑏 –233 – 5𝑏 33 3 9 92𝑎 5𝑏 – ∴ –––––––––9 ∴ ∴  1211•––––   9 9 ––– 99  99  ••∴∴9 9 9 – 6 or 9 9 – y  9 ∴ 2 3 3 𝑏 ∴9 – • – 9 – – – 9 9 –– 69 ∴ 6 2𝑏 – 5𝑏 9 99 ∴  – – – – – 9 – – 9 9 9 –9 9 9  𝑎 𝑎 3 𝑏35  𝑏 3   ∴ ∴ –– – 2 2 – 9– – –– 9 9 99 ∴ 9y99 9 –9𝑏3  2111•––––  1  3  2 ∴ 𝑎 𝑏 𝑎 –– – 333–– 5𝑏3 3 9 – ∴ ∴ ––––––9  9 – 99  99  ••∴∴9 9 9 –– 9 9 – y or 9 ∴ ∴ 6 𝑎 2 2𝑏 3  𝑏 – 5𝑏  3 𝑏 9 992𝑎  5𝑏 ∴ ∴ ∴9y – – – – – – 6 – 9 – – 2 2 • or – y 9 9 – – – 9 99 ∴ 9 9 9–or9y – 9 9 9 – 3 ∴ – ∴ 2 – –– ––– 9 99 •99  𝑎 35 ––9𝑏3  ∴ –––––––9 ∴ 9  1• 1 2 9 9 99  9 ∴ y9 – 6 9 – 9••∴ 3 2 ∴ 𝑎 5𝑏 3 3  1 • ––– 99  9  𝑏 𝑏𝑎 ∴ 2 –33 3 𝑏 – 2𝑎 ∴ ∴ 5𝑏9 – ––––69  1 • 9 9  9 9 9 ∴ 6 2𝑏 – 5𝑏 9 ∴ ∴ y y – – – 6 – – 2or or y y9 – – – 9 9 9 – 9 9 9  𝑎 ∴ 39 𝑎 3– 2 ; 3 – 36 5 𝑏3 ; 𝑏 33  3 ; – 5𝑏 … ;  177  ∴ ∴ ∴ –– –––––9 –9  2 1 1•– 2 1 2 – – 9 9 – 9 – 9 99 99 99  ••∴∴9y9 9 9 69 9 or y 9 3 ∴ y𝑏 3 ∴ –12112••  ––– – 9 –99  9 9  ∴ y 𝑎 𝑏 177 2– 63 or –3 3 – 2𝑎1 5𝑏 ∴ ∴9 9 – – 9 9 y9  9•9 9 ∴ 9 9 ∴ 39 𝑛 ∴3y –36 or 9 9  6 ∴ 39 𝑎 ; 2𝑏 – 36 5   ; 3 33 – 5𝑏; … ;   9 177  ∴ ∴ ∴ y – –––––9––2121•–– –– 9 ––99 6 2 1or ••–––9 – y – 99 ••∴ y9 9 9 69 9 9 9 or y 9 3 2 y3 ∴ ∴ 177 𝑏 177 –– 6𝑏 –or 2 3 3995𝑏 – 3𝑛3 39y 9𝑛– 1 ∴ 3 ∴ ∴9 99 ∴ ––––––––69   –211212or 9 9y 9 – 9 99 9 99    9•9 9 9 9 99 9  ∴ 6 ∴ 39 219 ; 2𝑏 – 36 5 3 3 ; 33 – 5𝑏3𝑛 ; … ;  177 ∴ ∴ 3y y – – – – 3– 6 –9  – – 2 1or 1•– 2 • – – y9 – – – – – 99 99 ••99 9 9 9 9 9 •––––9 9 99  𝑎 177 ∴ ∴ –9  1 9 99  9 3 ∴ ∴ y 2 𝑏𝑛177 – 6 –or –73 3 – 9 y 3𝑛 – 3 39 3 ∴ ∴ ∴3y 9–9 ––––––––6  2122112or  9 9y 9––– 9 –99   9 9 99 • 9 9 9   ∴ ∴ 39 219 ; – 36 ; 33 39 3𝑛 ; … ; 𝑛 1 ∴ 177 ∴ y – – 369 – – – 2 1or• • – y 9 – – 99 99 99 •• 9 9 9 9 9 3 ∴  –  9  9 9 𝑎 5 1 – 99 ∴ ––––––––69  – 2  y –73 – 3 ∴ 177 399 y 3𝑛 3 ∴ 99 –– 9 99 9 ∴𝑛 6 or 3 ∴ –2211212•  – –  9 9 9 99   9•99 9 9   ∴ 𝑇 ∴ 177 219 39 ; 3 39 36 ; 339;3𝑛 – 39 45 𝑛 … ; 177 19 1 3∴ ∴ ∴ ∴ 3y y y 3 – – – 3– 6 6 9  – – – 1or or or• • – – – ––  y y y – 9 9 – – – – 99 99 99 99   •• 9 9 9 9 9 9 177 39 3𝑛 3 ∴ ∴ 9 9 – – – –  2 1 2 2 • –   – 9 9 99   • 9 9 9 ∴ y 73 𝑇𝑛177 6 93 or39y 3 ∴3y ––––6 –––– 9 – 9 –99  9 9 9   ∴ 𝑇  39 3 45 𝑛 1 1 3∴ 3   – – 1 2 1 1or•   9 9 y – 99   9 9• 9 9 9 9 ∴ 219 39 ; 36 ; 339; … ; 177 177 39 3𝑛 3𝑛 3 9 9 ∴ ∴ ∴ ∴ y y 3 9 – – – 6 6 –   – – 1 2 1 2 1 2 or or• • – – – –    y y – 9 9 9 9 – – 99    • • 9 9 ∴ 𝑇𝑛y 177 6 73 or 93 3 39 y 3 𝑛 33𝑛 45 19 93∴∴ yyy ––– 1 ∴ ∴ ∴3 9 – – – – 3– – – 2 1 2 1 • – – – – 9 9 – 9 – – 99 99  9•• 9 9 9 9 9 9 9   𝑆 𝑇 219 39 ∴ 𝑎 𝑎 𝑑 𝑎 2𝑑 ∴ ⋯ 3 6 6  6 – – – 1 2 2 1 or or or• – – –  9 y y ––– y 9 9 9 – – – 99 99    9 9 9 9 𝑇 177 … 9339𝑎9 3 3𝑛 𝑛 2 3 𝑑 𝑎∴ ∴ 9 𝑛 – – ––– 6 – 1 – – 2 1 2 2𝑑 • • – –––––– 93 – 9 9 – – 99   9 • • 9 9 9 3 9 9 𝑛 73 ∴ y 1or y 9 9  𝑆 𝑇 219 39 3𝑛 45 19 93∴ 𝑆 ∴ 𝑎 𝑎 𝑎𝑛 𝑑1 𝑑 𝑎 𝑎2𝑑 𝑛 ∴⋯y y 2 𝑑 –– 6 6  – –112• – 1or 2 2 ⋯or –  9 9 y y 9 9 – –99  – 99 99  9• 9 9 9 ∴ ∴ y 3 Page 61– 4 or – – – y 9 –––99  • 9 9 𝑇 … 𝑛 7339𝑎𝑛 𝑑 93 𝑎 3 2𝑑 3 𝑛 2𝑎 𝑑 𝑑 𝑎∴ ∴ ∴ 𝑎 ⋯y 𝑛– 3 – – –16 – – – –22⋯ 2𝑑 1 • •or – – ––– –9 93 9⋯y 9 – 9 9 ––99  9• 9 9 9 9 9 9 9 9  𝑆 2𝑆 𝑎𝑎2𝑎 𝑇 45𝑑𝑎 1𝑎9 2𝑑2𝑎9𝑛3∴ y𝑛2 𝑑– 6 𝑑– or  y 9  9 ∴ y – 6 or – – y 99  𝑆 ∴ 𝑛 1 𝑑1 9 99 9 ∴ ∴ y 3 – 6 – 1or 1𝑑–– 2 – y – • 9 𝑇 … … 93 𝑎 2𝑎 2𝑑 3 𝑛𝑛 2 1𝑑 𝑎𝑑 3 𝑑 𝑎∴ ∴ ∴ ∴ y 𝑎 y 𝑛 3 – – – –6 6   1 – – – or or• • – –––   9 9 9 3 y y 9 9 – – – 99   9 9 9 9 9 • 9 9 9 9 y 9 99  𝑆 𝑇 𝑎 39 𝑎 𝑑 𝑎 451𝑑𝑑 19 2𝑑 ∴⋯y – 6 2or ––– ⋯y 9 y 9 9 𝑆 ∴ 2𝑆 𝑎 𝑛2𝑎 𝑛 2𝑎 𝑛𝑛 1 1 𝑑 𝑎 32𝑎93∴ y 𝑛 y𝑛 –– 2 3 𝑑 166𝑑1or 2 ⋯or  9 9

– ∴ ––– – 9 ∴ –– – 9 – ∴ ––––– –– Downloaded f rom St anmorephysics. com ∴9 ∴ –– – 9 9 – ∴ –– – ∴ – –––––– ∴ 9 –– 9 ∴ 9– – 9 ∴ 9 ∴ ––– – 9 ∴ –– – 9 ∴ –– ––––– ∴ –– ∴ ∴ ∴ 9 9 – –– 9 9 9 QUESTION 2 ∴ – 9 ∴ – ––– – ∴ ∴ –– –– – 9 – ∴ 9 9 9 ∴ – – ∴ 9 9 2.1.1 a + b + c = 1……..(1) – ∴ ∴ – –– – ∴ –9 – 3a + b = 3 ………..(2) ∴  – –––– ∴ – ∴ 9 ∴ 9 9– 9 9 ∴ – – ∴ 9 ∴ –– – 9 2a = 4 – ∴ – ––– –– ∴ 9 9 9 ∴ ∴  ––– ∴ ∴9 ∴ 9 –– – – 9 9 9 ∴a =2 ∴ – ∴ 9 9 Value – of a ∴ –– – ∴ ∴ – 9––––––– –– 9 9 Standart ∴ 9 – –– form 9 ∴ ∴  –– ∴∴ ∴9 9 9 ∴ b =−3 ∴ ∴ ––– – ∴ ∴  –– 9–––– 9 9 Value 9 Standart –– of form– b 9 ∴ – ∴ ∴ ∴  9–––– ––– ∴ ∴ 9 9 – – 9 99 ∴c =2 ∴ ∴9 ∴ 9 – – 9– 9 ∴ –– 9–––––––– 9–– ∴ ∴ 9 9 ∴ – ––– – 9 Value Standart of cform Tn = 2n 2 − 3n +∴2 – ∴ ∴  9–– ∴∴999 9 – –– 9 9 99 ∴ ∴ 9 –– 9 9 ∴ ∴ – – – – ∴ ∴ ∴ – – 9––––––––– 9 9––– ∴ 9 9–Standart 99 9 General – Term form ∴ – ∴  – 9 – – – – –– ∴ 9 – 9 99 9 ∴ – ∴ ∴ 9 – –––––– – ∴9 9 – – 9 ∴ –– 9 –– –––– 9––– 9 – 9– – – ∴ ∴ – 9 – ∴ (4) 9 ∴ 9 ∴99 9 9 ∴ – ∴  ∴  – 9––––––––– ∴ 9 – – – – ∴∴9 9 9 – –– – 9 99 9 ∴+ 2 2.1.2 407 = 2n 2 − 3n ∴ ∴ –– 9–– ∴ 9 – –form – 9 ∴  – –– 9– ∴ ––9 ∴ –––9 9 – ∴ 9 9 9––Equating Standart 9 –– 9––––––––––– 9––– 9 0 = 2n 2 − 3n − ∴ 405 – ∴ ∴ ∴  –   ––––9 – – ∴ 9 ∴ 9 – –– ∴9 9 – – –form –Form 9 9 ∴ 9–––––––– 9––– ∴ 9 9 ∴   –9 –– – ∴ ∴ ––9 ∴ 9– – 99 Standard Standart 9 0 = (n − 15)(2n ∴ ∴ –– – + 27) 9 ∴ ∴ ∴   9 – – –– 9 – 9––––––– – – – – ––– ∴ ∴ ∴9 9 –– – – 9– 9 9 99 ∴ ∴ 9 ∴ – – – – – – – ∴9 ∴ 9 9 ∴ – ∴  – 27–9– 9  – ∴ ∴ 9 ∴  –––– ––––– 9–– 9 ∴999 – 9 Both Standart formof n values 9 9 ∴ n = 15 or. ∴ ∴n ≠− – – ∴ ∴  – 9––––––– – ∴∴ 9 9 – •– 9 •99 9 9 – ∴  ––– 2–9 9 9 ∴ ∴  ––––––9 ∴ ∴ 9 –– ––– ––– ∴9 9 9 –Standart –form 9 – 9 ∴ 9 –– –––– 9 Rejection 1 ∴ ∴ – ∴99 ∴ 9 9 •99 ∴ –– – – ∴ ∴ ∴   –– 9 9–––––– 9– ∴99 9 2• 9 9 ∴ 9 –– –––– 9 ∴ –– 9 9 99 ∴ 9 ∴ ∴ ∴   –9 ––9–––•––––––– 9 9– •∴∴9 9– –91 99 (4) 9 ∴ – ∴ ∴   – 9 – – – – – ∴9 9 •– •99 –•––––––99–––– – 9 9 ∴ – – ∴  9 – – 9 =2 6 – 99 9 2.2 d =6 ∴ ∴ ∴  –   9 9 9 ∴ ∴ ∴   – –––– ––2–––––– 9 – 9 – –9 9 – 1 9– •∴∴9 9 99–d––9 9 9 1 Standart form 9 9 202 = 40 + 6(n ∴− 1) – – • – ∴ ∴ ∴  • 9 ––11––––––99––– ∴999 9 – 2•– • 9 ∴ ∴ ∴ ∴   19 9 9 ∴ ∴ 9 ∴ ∴  – ––– – –––– –––22•––––––––––– 9 9 9 – ––– 9––– 9 •∴∴9 9 9 9 9 9 9– –9 Sub 1 Standart –form99 9 9 ∴   – 9 ∴ n = 28 ∴ – –– • 3 9 ∴ – ∴ ∴  • – 9 – 1 – – – –– 99 ∴∴9 9 – 2– 9– 99  9 99 –––– 9––9–––2•–––––––99 •∴∴9 9 1  ∴ ∴  – 219 99 ∴ ∴ ∴ – – – – 9 9 – – – –– 99 9 99 9 9 – Ans9 Standart form 9 9 –––– 9 ∴ 9 9  ∴ – –– •–– – 3 ∴ ∴ ∴   • 9––––211––––––––99 9 – 99 ∴ ∴9 9 9 9 9  •– 9– 9 99  •99 9 9  ∴ ∴  ∴  – 219 93 9 9 ∴ ∴   –––––––– –•––––– 9–––– 9 9 •∴∴9 9 9 9 9 –– – – (3) 9  9 99 ∴ 9 ∴  ––– –221–––– 9 9– 99 ∴9 9 9– 91 – 9 9 •99  ∴ 𝑎 ∴ –𝑏 –– 9 • 3–– – 3 3 ∴ ∴ ∴  • – – – 9  9 –––––– 9 9–––– 99  ∴ 9 9 9 –  2•– 9 9  9 ∴ ∴  – 2 93 9 99 99 11∴ 9 ∴ ∴   MARKS – –– – 9 –– ––2•–––––– 9 – 9––––– 99 •∴∴∴9 999 9 –– –1 9 – 9 9 9 ∴ 9 – ––––––––––– 9 9 9––  𝑎 3 1𝑏 3 𝑎 𝑏𝑎–– ∴ 9 233– 3 3 – ∴ ∴ ∴ ∴   ––––9 ––11––––––––99 9––––––9 99  9  ∴ 9 9 9 –  2•–– 9 9 9  • 9 9 9  ∴ ∴ –  9 3𝑏 9 9 9 92𝑎 5𝑏 ∴ ∴ ∴   – – 9 –– – – • – – 9 – •∴∴9 ∴ 9 9 9 9 –– – 9 9–– 9 – –1 – –99 9 9   99  – – – – – 9 – – 9  𝑎 2 3–𝑏3–– 𝑎 ∴  𝑏 3 9𝑏 33 • – 5𝑏 3– 3  ∴ ∴ ∴   • –––––– 221–––– 9 –––9 –––11–––99––––––9 99  9 9  ∴ 9 9 9y9 9 – 6 2• or – y 9 • 9 9  ∴ ∴ ∴ 6 3 𝑎 2𝑏  9–  93 5𝑏 𝑏 9 9 9 992𝑎 5𝑏∴ ∴ ∴ 9 ∴ 9   – – –––– ––22•–––– 9––– –– 9 – • – ••∴∴∴99 9 9 9 ––9 –– 9 –1 9 – –99 9 9 9 9 𝑎  𝑏    – 9  2 𝑎 3 9 𝑏 • 3 1 5𝑏 3 3  ∴ ∴ ∴   – •–––––––––––9 –––1211•––––––  – –––9 9 99–– 9 99   ••∴∴9 9 9 y9 9 ––6 2or – y – 99  9 9  𝑏 –𝑏𝑎 ∴ ∴ 2––– –233 3 3𝑏 – 9 2𝑎 5𝑏∴ ∴ ∴9   – 9 – • – – – 9– – – 9 9 9 9 9 9 9 ∴ 6  2𝑏 – 9 – 5𝑏 9 9 ∴ 9 – – – – 2 – – 9 – – ∴ 9 9 – 9 9 9  𝑎 𝑎 33 2 5–𝑏 – 3 1𝑏 3   ∴  •–– 5𝑏𝑏– 3 ∴  •– –––––9 –212111––––––99 ––––9 9 99 99  ••∴∴∴9 ∴9y9 9 9 – 69 •or– y 9 99  • 3  ∴ ∴ 𝑏 ∴ –𝑎2– – –233 3 3 9 – 9 2𝑎 5𝑏∴ ∴9   – –––9 – – – 9 – • • – 9 9 9– – – 9 999 9 – – 9 9 9 ∴ 6 –2𝑏 –  19 –9 5𝑏 9 9   ∴ 99 ∴ 9y ––69–212– – – 2 2 –11•––– 9 – or – –– y9–––––9 –99 9 9 9 1 9  ∴ 𝑎 –– 5 –𝑏3 • ∴  •––––––9 ∴ •∴99 ∴∴9 9y9 69 – 2•– or y 9 • 9 𝑎 3 𝑏2 9•∴9 3 2 ∴ –9 3–– 35𝑏 3– 3 ∴ • – 9 ––– 99  9 –– 9 9  9  𝑏 ∴ 3– 9 – 9 ∴  – –  9 –––9 y 9 ∴ 6 39 ; – ∴ 2𝑏 – 2 –9 5𝑏 3 9 9 99 ∴ ∴9y y  ∴  –––9 121•––– 9 ––––––6 6 – – 2 2 1• or – or y9––––9 –99 9 9 ••∴9 9 9 9 9 – 9 9 – 9 –1 9 – 9 99  𝑎 5–3 36 3 ; 1𝑏 33 …;  ;3 177 ∴ 99  99 92•–– 9 99  • 9 9••∴9 3 ∴ 𝑎 𝑏– –9 3–– 3 3– ∴ ∴  9 – – – – –  9  1• – –  9 9 9 – 99  9 ∴ 9  ∴ 𝑏 y ∴ ∴ 39 ; 3 𝑎 177  2 𝑎 3 – 36 – 6 3– 2 ; 𝑏 or 39 33 39𝑏 9;5𝑏 y 3 … 9 – 9 𝑛99 ; 177  ∴ 2𝑎1 5𝑏 ∴ ∴ ∴ ∴ 3y y   9–––– – – – – 3– –––6 6 9 9 ––1122or 2 1 • or • – –122–––– 9– 9 9 ––– yy 9 9 9 9 – – – – 99 ••∴∴9 9 9 9 9– 9 9 9 9 – 9 –1 – – 9 9 –2112112•• 3  ∴ 2 y3 177 5 ––9 3 6𝑏 3 •– 39 3 3𝑛 3 3 ∴ ∴  •––9 ––9   – 9 –– 9 99  99  9 9 y9 6 2or 9 –– 9 9 – y 9 9  𝑎 ∴ 𝑏 or–39y 3 9 ∴   – 9 9 9  9•∴9 9 9 –99 ∴ ∴ ∴ 6 ∴ 39 ; 𝑎 177  219 𝑎 2𝑏 – 36 3 3 ; 33 1𝑏 9𝑏 3993 – 5𝑏  3𝑛 ;3 … 𝑏 ; 9 𝑛 99 177 3 2𝑎 1  5𝑏∴ ∴ ∴ ∴ 3 9y y – – – – – – 3 – – – 6 69 – – 1 2 2• or or– – •––––9 9––– 9 – – – – 9 y y9 9 9 – – 9 – – 99 99 99  ••∴∴9 9 9 9 9 9 9 9 – 9 9 – 9 9 9 9   2 𝑎 𝑏𝑛y ∴ 3 177 𝑏𝑎– 6 –2or –73 • 39 3 5𝑏 3 3 y 3𝑛3 – ∴ ∴ ∴9 9•– 9 – ––––––––6  –21121121or  • ––9 9 9 9 99 99    9••∴9 9 9 9y9 9 – 6 or 9 – y 99  9   ∴ ∴ ∴ 6 177  219 2 2𝑏  3  3 – 5𝑏  3𝑛 𝑏 9 𝑛 92𝑎 1 5𝑏∴ ∴ ∴ 3y – – – –3 – – 9 – 1 2• • –– y9 – – 9 – – 99 99 99 •∴∴∴9y9 9 9 9 9 – 9 9 9 9  39 𝑎 ; 36 3  56𝑏3 ; 33 1𝑏 ; … 3 ; 177   ∴  – –  – 2 –  9 – 9 –  9 69or– y 9  3 𝑎 y3 2 ∴ 177 – • 39 – 95𝑏 3 3𝑛 3 3 ∴ ∴ 9•–– 9–––––9  221121•––––  2 1 9 9 –– 9 9 99 99   9•∴9   ∴ 𝑏 ∴𝑛  177 2 𝑎– –7333– 2or 3 –3 39 y 3𝑏 9 𝑛 – 9 2𝑎 1 5𝑏∴ ∴ ∴3 9 – – –3 – – 9 – – 1• – – 9 9 – – – – 99 99 99 ••∴99 9 9 9 9 – 99 – 9 – 9 9 9 – 69  𝑇 ∴ 39 – 45 1 3  2  9 –   6 ∴ 𝑎 219 2𝑏 – 5  𝑏3 1 5𝑏 93𝑛 9 99  39 ∴ ∴ ∴ y 9– 3 –––– ––69   ––21or––– y– 9 2 • – 9 – 9 ––99 9 99   •••∴∴9 9 9 9 – 9  3  2 ∴ 𝑎 𝑏 177 3 𝑇𝑛  2 ∴ 𝑏–– 9 –73 –3 39 3 93––3 5𝑏 3 3 3𝑛 3 9 –9 ∴ ∴9y ––––––69 ∴ – – – 9   2 2 1• • – ––––  9 – 9–– 9 –99 99   9 9 y9 9 9 – 99 – y or  9  ∴ 𝑇 6 219 2𝑏 392 – 5𝑏3𝑛3 459 1 93 ∴ ∴ y – – – 6  – – – 1 2• or or   –9 y y 9 9 – – – 99   9•∴99 9 9 9 9 – 9 – 9 9 9  𝑎 ∴ 39 ; – 3 36  ; 3 𝑏 33 ;3 … ; 99 177  9 ∴ ∴ 3 – –  9 2 1 2 1• –  9 – 9 9 99  •∴9 99 – – 9 – 9 9•••∴99 𝑎 ∴ 5 – – ∴ – – –  1 2• ––  9 – 9 99 99  9 9 – 3 𝑎 𝑇 𝑏 –9 3 93 – 3 9 – – – – – 9  – • – –  9 – 9 –  9 9  9 ∴ 𝑏𝑛 y 2– 6 73 3–or 3 y 9 – ∴ –  1 –  –9 – 9 99  9 9 ∴ 𝑆 𝑇 ∴ 𝑎 39 177𝑎 39 ; 𝑎 – 3 36 3 ; 3 𝑎 39 𝑏 33  ; 3 𝑑 3 … 𝑏 45 ; 𝑛𝑎992𝑎 1771 2𝑑 91  95𝑏 3 ∴ ∴ ∴ ∴ 3 ⋯y y y3 – – – – –3 6 – 6 – 6 9   9 – – – – 2 2 1 2 1 1• or • or or –   – – 9 y y y 9 – – 9 9 – – – – 99 99   ••∴∴9y9 9 – 9 – 69 9 9 – – 9 9  𝑎 2 ∴ 3 5 – 𝑏3 – 9 5𝑏 ∴ 9 – – – –  – 2 1 • – –  39 – 9 9 – 99  9– 9 9 or – y 9••∴ 3 177 … 𝑎 9 3 𝑛 3𝑛 3 2 𝑑 3 𝑎 ∴ 𝑛 – – 9 1 ––2121• 𝑑 – –  99  9 9 9 –𝑑––––––6 9 –––99  𝑎 𝑇 𝑏 y 𝑎𝑎𝑎6 939 3 9 – 1 2 –––– 9 –9 9 9  ∴ ∴ 𝑆 𝑇 177 339 or 3𝑛–39𝑑y 𝑎 𝑏1 𝑑 45 𝑛𝑎 2𝑎1 1 9 2𝑑 5𝑏 3 ∴ ∴ ∴⋯y 9 3y y 3 6 6    – 1or or • or –   9 9 y y y9 9 –   9 9 ••∴9y9 9 9 9 69 𝑆 9 𝑎 𝑛 2 2 ⋯ 9 6 𝑎 ∴ 39 219 ; 2𝑏 – 3 36  ; 𝑏 335𝑏;3𝑛 3 …2𝑑 ; 2177  9 𝑑 𝑎∴∴ 3 y –––– –––69  ––1212or 1 1• ––––– y9– 9 ––99 99  ∴ – 9 9 9 9   2 𝑇 ∴ 𝑏 3 177 y 𝑎 2 … –𝑎73 𝑏 6 –3 3 39 93 or𝑎9 3 5𝑏 3 y𝑏 𝑛 3𝑛 3 𝑑 3 𝑎 – 2𝑎2𝑑 ∴ ∴ ∴ 𝑎 y 9 𝑛 9 3 – – – –––6 –  1 – – 2 1 2 1 2• • 𝑑 or  –  –––––99 93 y – – –9 9 9 – – 99   9 9••∴9 9 9 • 9 9 9 9 or y   𝑆 ∴ 𝑆 6 𝑛177 2𝑆 39 219 ;52𝑏 36 𝑎 2𝑎   𝑎𝑛 ; 33–39 5𝑏3𝑛𝑛𝑑 1 𝑑9 1 𝑛 𝑑𝑎 12𝑎95𝑏 𝑛 ∴ ∴ ∴ 9 3 ⋯y y𝑛2 –𝑑 – 𝑑 𝑎∴ 𝑎9𝑛–––1 ––2121𝑑–––9 –– –3 1 – – 6 69  𝑑 – – 1 2 1 2 ⋯ 1 2• or • or – – 9⋯y y9 9 – 9 9 – – 99 99 99  • 999 9 69or9y 9 9 … 9;5𝑏…2𝑑 ; 2 177 1 2 – 9••9 𝑎 3 • 3 9 –  9  3 2 ∴ 3 177 – … 𝑏 – 39𝑎 𝑛 3𝑛 3 𝑑 3 𝑎 3 ∴ y 9–––6 3 – – 69 – –122112or 1• or 9 y – 9 – 99  9 ∴ y9 9 9 9 9 ∴ 𝑏 y 2– 6 3–or2𝑎 3 y 𝑛 –1 𝑑 ∴ y 2or – –9 y – 9 99 9   𝑆 𝑆 ∴ 𝑇𝑛 177 𝑎 733 𝑎𝑛2𝑎39 𝑎𝑛–39 𝑑 𝑛𝑛1 𝑑1 459 𝑛𝑎 1𝑑𝑑 1 1 2𝑑 ∴ ∴ 𝑎92𝑎𝑛3∴ y9 3 ⋯y𝑛2 –𝑑– – – 3 –69  ––122⋯• – –  y9 9–– 9 ––99 – 99  • 999 99 2𝑆 219 6 ∴ 𝑎 177 2𝑏 – 5 – … 32𝑎 – 5𝑏 93𝑛 𝑛𝑛 21𝑎 3 𝑑𝑑 𝑑 𝑎∴ ∴ ∴ y y 3 9 Page 𝑛– –1 –6 6 6 – 9  𝑑 15– 1 2 1 or or • or – –  ––9 y 9⋯y y 3 – 9 – 99 99   9 9 ••999 9 9 3 ∴ 𝑇 𝑏 ∴ 𝑆𝑛 2– … 732𝑎393 –39𝑎 2𝑎 3 𝑛3 3𝑛 2𝑑 1 𝑑– 3 3 3 ∴ ∴ y 𝑎 y 3 – – – – – – 6 69  9 2 2 1 2• 𝑑 or or – – – 9 9 y y9 – 9 99 99  9 9 9 9 9 9 9  ∴ 𝑆 𝑇 2𝑆 ∴ 39 ; – ∴ 𝑎 219 36 5 𝑎𝑛2𝑎39 ; 33 32𝑎 𝑛 3𝑛𝑛 𝑛1 𝑑 451 1 ; …2𝑑;𝑛 177𝑑 𝑑 1𝑎93 2𝑎9𝑛 3 ∴ ∴ ∴ ∴ y y y𝑛2 3 𝑑 – – – –1 –6 6 6   𝑑 –1122or 9 – – 1 2 ⋯ 2 1• or or • or––9 – – –   –9 9⋯y y y – 9 9 9 – – – 99 99 99 99    9 9 9 •• 9 9 9 9 9 3 ∴ 𝑇 ∴ 𝑆𝑛 y 177 – … …6 732𝑎 93– or𝑎 2𝑎 3 39 𝑛3 y 1 𝑛𝑑 1 𝑎 𝑑 3 1 3 𝑑 ∴ ∴ ∴3 y y 𝑎 9 3 – – – – – – – 6 – 69   – – 1 2• or • – –   – – 9 9 9 y y9 – – 9 9 – – 99 99 99   9 9 9 • 9 •99 9 9 9  ∴ 2𝑆 𝑎𝑛2𝑎 𝑆 𝑇 ∴ ∴ 39 ;–36 39 3 33 ;𝑛… ;2𝑎 𝑑𝑛 145 𝑎𝑑 19 ; 1𝑑177 ∴ 2𝑑2𝑎93∴⋯y 3∴ yy𝑛 ––– 3 3 1– 6 6  𝑑 69 ––211or 2 1 2 1• or or –   – 9 9 9⋯y y y – 9 9 ––99  99  99  9• 9 9 9 9 9 9

– ∴ –– – – 9–––––– ∴ –– ∴ 9– 9 ∴ ∴ –– – 9 9 ∴ ––– – – –– 9––––– ∴ ∴ –– ∴9 ∴ 9– 9 – ∴ ∴ –– – 9 9 9 Downloaded ∴ –f rom ––– St – anmorephysics. ∴ 9 com – ∴ –– –––––– ∴ –– ∴9 ∴ ∴ 9 9– –– 9 9 9 ∴ ∴ – 9 ∴ – ––– – QUESTION ∴ ∴  –– –––– 9 3 – ∴ 9 ∴ 9– 9 9 −3 − 3d = a …………(1) ∴ ––– – ∴ 9 – 9 3.1 ∴ ∴ – –– – ∴ – ––– 9 −35 − 19d = a………(2) ∴ ∴ ∴  – –– –– ––– ∴ 9 ∴ 9 – –– 9 9 9 9 ∴ – – ∴ 9 –– 9a = ∴ 9 Standart –− 3 − – 3d form 9 ∴ ∴ – –––– ∴ 9 ∴ ––– ∴ 9 – 9 – ∴ ∴  – – – ––––– 9 –− 35 − 19d 9 ∴ (1) = (2)  – ∴ ∴ – –––– 9 ∴9 9 9 a =– Standart form 9 ∴ –– – ∴ ∴  9–––––– –– 9 – ∴ ∴  – – – – ∴9 ∴9 –– 9– 9 99 −3 − 3d = − 35∴− 19d – ∴ – 9–––––– – 9 –Standart 9 Equating form ∴  –– ∴ ∴ –9 9–––––– 9––– ∴999 9 – –– 9– 9 ∴ ∴ ∴  – ∴ 99 9 9––––––– 9–– d =–− 2 form ∴ d =−2 ∴ 9 9 ∴ – – – ∴ ∴ – 9 Standart 9  (1) – ∴ – 9––––––– 9–– ∴9 9–– 9 Sub d-value into ∴ ∴ – ∴  –– 9 9 ∴9 ∴ – –– 9– 9 99 a = − 3 − (−2) ∴ ∴ – –– 9– ∴ ∴ –– ∴ 9–– 9 9––––––––– 9––– 9 ∴ 9 a– = 9 9 Standart 3 form 9  ∴ – 99 9–– – 9 ∴ ∴ – ∴ ∴  – 9–––––– 9–– ∴ ∴ ∴9 9 9 9 99 ∴ – – – 9– ∴ ∴  ––– 9–– 9 –– –––9–––––––– 9 ∴ 9 – 9–– ∴ 9 ∴ –9 99 ∴a =3 ∴ ∴ 9 (5) 9  ∴ ∴9 9–– 9 ∴ – ∴ ∴   – 9–––––– – – ∴ 9 9 – –1 9– 99 1 ∴ ∴ –– – 9 ∴ ∴ – 9– ––9 –––––––– 9–––– ∴∴9 9 9 9–a– = 3.2 ∴ 9 ∴ ∴ – 9 – –––– 9– – 9 9  ––  9 ∴ ∴ a= 99 ∴  –– – 9 Standart form  9 ––––––9––––––––––– ––––– 9 3 ∴ 9 ∴ ∴ – 9 ∴ ∴ ∴ 9 – – 3 – 9 ∴ –  9 ∴  – – – 9 ∴999 9– – – 9 ––– 9–––––––––– 9––– – 9 9 ∴ ∴ r =3 ∴ – – ∴ ∴    9 9 9 •–3 –– • 9 9 – ∴  – ––9 99 ∴ ∴ ∴ ∴  –– – 9––9–––––––– –––– ∴∴ 9 r– = ∴ 99 1–– 9 Standart –9 form 9 99 9 ––– 9–––––––––––– 9 1 20 9 9  9–––– 9 ∴  – (3 − 1) 9 ∴9 9 S20 = 3 ∴ –– – ∴ ∴ ∴ – – ∴ ∴ 99 9 9 Sub –2•– – • 9 9 9 9 ∴  – 9 –––9 9 – ∴  ––– – –9–•––––– 9–––– – ∴ •∴∴9 9 9 – 9 1–– Standart –form 9 3−1 ∴ ∴ 9 ∴ ∴ ∴   –– 9––– –––– 9 – 99 9 9 9 9 ∴ – – ∴ ∴ – – – 9 –1––––99–– ∴ 9––Ans 9 –2•– 9– •99 9 9 S20 = 581130733,3 – ∴  – –9 ∴ –––9 99 – ∴ ∴ ∴   9 –––– ––9 – 9––•–––– 9–– – – •∴∴9 9 9 9 9 Standart 1 form99 9 ∴ ∴ ∴ – • 9 – – ––21––– 9 9– ∴9 99 9 – 9 – –2• 9 9 •99 ∴ ∴ – • – ∴ ∴   9 9 1– 9––2•––––– 9 – – – 9 –––– •∴∴9 ∴ 9 9 99 (4) 9 9 ∴ –– – ––9 9 ∴ – ∴ ∴ – ––––––––9 – – 9 –– 9 9 9– –9 1 – ∴ ∴ 1∴  – 1 1 • (x 9 −–1) ∴ ∴ ∴   • ––9 9 – 2 1 – – – – 9 9 – 99 99 9 9 –– 2• 9 99  9 – •99 9 –––––––––9–––2•–––––––99  3.3.1 3 ∴ +–– –2+ 3 +9. . . ∴ ∴ 9 1 – – 9––––– 9 •∴∴∴9 9 9 + (x −∴1) – 3 1 9 9 ∴ ∴ –  9 99– 91–– – 99 9 9 9 9 9 2– 9 – 2 – – 9 –––9–––11––––––99 ––– 99 (x − 1)2 ∴ ∴  ∴ ∴  –– 29 – 9 • 3 ∴   • 99 ∴ 9 9 99  9  ∴ ∴  – 1 3 99  – 9 9 ∴ ∴ ∴  – – –––––9 9– – 9 – • – –– 9–––– 9 9 – – •∴∴9 ∴9 9 9 9–––9 9 –– – – 9 9 9 9 ∴ 9–2211–––––– 9 9 –9––– – 9 x −2 ∴ 9  ∴ –9 3•–– 99 –   ∴ 9  r = 3 ∴ 𝑎 ∴ –𝑏 ∴  –– 29– 3 33– 9 99 9 ∴ ∴ ∴ ∴ 9  – • – ––––––99– –  9 – – • ––99 – 9 9–– 99  – 99 ••∴∴∴∴9 9 9 99 9 9 –––– 9 9 −1– •< < 1–99  • 9 9 9 𝑎 –3– –1𝑏–93 ∴ ∴   – –9–22•––––– 9––– 9 – 9 Standart form 9  – ––––––9 – 9 9 ––91––– – 9 –11–––––– ∴ ∴  • –9 99 99  ∴9 9  −1 < r < 1 𝑎 ∴  𝑎– 29  𝑏 – 9 3• 3 3 – 33 𝑏9 999 92𝑎 5𝑏 ∴ ∴ ∴ 9 ∴  – ––– 2•–––– 9––– – – – –   9 9 – –  ••∴∴9 ∴ ∴∴9 99 9 9 ––Sub 9 9 9 Standart form– –2  9 9 9 9  9 –– 69or •––– y9 9  •99 –211••––––––  x −2 𝑎 ∴ – 3  – 1𝑏 –𝑏 3–– 3  39 –  ∴  ∴ ––––––9 9 – – – 9 – – 9 99 9 9 9 9  y <∴𝑎1 3–𝑏𝑎––9 2 5𝑏 3 3 ∴ ∴ –– ––  9 9–––––9 99  9  ∴ 9 9y99 9 9  −1 < 3 ∴   9 2 3 – 9 3 𝑏9 9 2𝑎 ∴ 5𝑏 9 ∴ ∴   – – – –– 1 • – – – 9 9 – – ••∴9 ∴ 9 99 9 9 – – 9 form–99 Ans – 9 9 1 Standart 9 9• 9  6 ∴ 𝑎 2𝑏 2 3𝑏3 –– 𝑏– – 5𝑏 3 9 99   ∴ ∴  – ––––––––9 9 –2–– 9–– 9 – 9 – – 9 9 9 •–– y9 9 9 ∴ –––9 99 ∴ ∴ 99   𝑎 ∴ 𝑏 – 5𝑏 –––9 –33 3 3 9 ∴9  – – –12112•–––––  9  9 99   ••∴∴9 9 – 6 2or y9 9 −1 < y < 5 𝑏 𝑎 ∴ 6 ∴ 2 2𝑏 3 • – 9 5𝑏 3 𝑏9 9 – 992𝑎 5𝑏 ∴ ∴   • – – – – – – – – 9 9 –– – 2 • – –– 9 9 9 – – – – ∴ 9 99 9 9 – 9 9–– 92• 9–1 – (3) 9 9• 9 𝑎 ∴ 𝑎 35 3 ––9 –𝑏 13 3 𝑏  – ––95𝑏 3   ∴ ∴ –––––9 1 –99 2 –2111•––––––––   9 –– 9 9 9 9  3  3.3.2 3 2 𝑏 𝑏𝑎 𝑎 ∴ ∴ 2 3–3 3 9 𝑏 3 – 2𝑎 ∴ ∴ ∴ 5𝑏 ∴ –  – 9–– – –99 – • – 9 ––9 99 99  99  ••∴∴9 ∴ y9 ––9 9 6 9 9 or – 1– y9 99  99 9  S∞ = ∴ 6 2𝑏 – 3 𝑏 2𝑏• –5𝑏 3  3   ∴ 9 9 ∴9 y – – – – 6 – ––9–1212–––– 9––– 9 – 2 2or – y9 9 9 – – – •∴∴9 9 99 9 9––Sub 9 form 9 99  •– 𝑎 ∴ 𝑎 3 5 – ∴ –11••–––––9 ––9 99 • 9 9 9 –– 3 ∴ 1 Standart 2 99  9••∴  3 1− 3 2 ∴ – 5𝑏 3  ––9 – 99 y 9 6 ∴ 9 – –– – 9 or y 99  𝑏 ∴ ∴ 6   2𝑏 2 𝑎  – 3– 33–5𝑏 1 3 – 9 𝑏 9 – 2𝑎 ∴ ∴ 5𝑏 ∴ ∴9 y – – – 9– y –––––69–12212or –– – 6 9 – – 2 • or – – – 9 y9 9 –– y––– 9 –99 – – –  ∴9 99 9 –9 9 ––Ans 9 9 9 ∴ 39 ; – 36  ; 3 •  3 ; … ; 177   ∴ ∴ • • – • ∴ 9 9 6 – or y form–99  Standart 9  •––––9 – – 𝑎 5 1– 9––––9 99 99 9 9  ∴– ––9 ––1212or ∴ y 3 9 2 y3–––6𝑏 2or ∴ ∴ 𝑏 177 2 –9 –1 3 –– 5𝑏 y9 3 99 9 𝑛– 1 ∴ ∴ ∴9 9 ––9 –––––6   9 9 9 y9 9–– –99  9 99  9 9∴ • ∴ 9 9 99 9 9 –– 9––9 9– 9 – 99   S∞ = 2 𝑎 ∴ 6 ∴ 39 𝑎  𝑏 ; 2𝑏 – 36 5 – 3 – 𝑏• ; 393 33 –5𝑏 – 39 ; 3 3 … ; 9 177 3 9 ∴ ∴ ∴ 3yy 9•–  – – – – 3– 6 9  – – – 2 1 2 1 • or • –– –  y9 – ––9 – 99   ••∴∴9 9 9 9 9 9 9  9  (2)  9 9 9•∴99  3 177 – – 39 9 3𝑛 9 ∴  – 1 • – –  9 99 9 9 – 9 9 𝑎 ∴ ∴ y 2 𝑏 177 – 3 ––6 –1 32or – 39y3 9 – ∴ 9 ∴3y – ––69 – – 9  1212or 9 2 –––9 9 9 9– – 9 99  – 9 99  9 ∴ 9 9 –– 9 9– 9 9 – – – 99   ∴ ∴ 39 219 ; 𝑎 – 36 3;9 333 3𝑛 ; …𝑏9; 𝑛 99 2𝑎 177 1 ∴ 9y ∴ 5𝑏  – ––3–69  – – 2 1 • or–– y9 • ––– y –––9 ––99 99 ••∴∴9 9 – 9– 9– 9•  • 9 9 –99  3 14 ∴MARKS – 9  3 𝑎 ∴  5 𝑏– ––– 177 9 23 – 39 3 –95𝑏3–3𝑛 9 93  ∴ ∴ 9– 9 –––9    –2122––––– 1   9 9––––9   ∴ 99 9 9 9 –– 69 –1or y – 9  ∴ 2𝑛y3 73 6𝑏 or 3 3 y 3 ∴  – – – – – • – 9 9 9–  9•∴ 9 9y9 9    ∴ 𝑎 ∴ 39 177 219 ; 3 – 36 – 3; 9𝑏 33 939 3 3𝑛 ; …99; 𝑛 99 177 1 ∴ 9 ∴ ∴ 3 9 y y – 9 – – 3 –6 69  – 1 1 2 1 • or or – – –2221•––––– – – – – y y9 9 – – –9 – – 99 99 99  ••∴9 ∴ 99 9 9–––9 – 2•– 9 9 9 9• 9 ––––9 9 –99 𝑎 𝑏𝑎–9 –– 3 ∴ 9–– 9  9– 9  9 9 9  ∴ 6 y ∴ ∴ 177 2𝑏  –6 33 39 or 5𝑏9 y𝑏– 3 3𝑛 9 2𝑎 3 ∴ ∴ 5𝑏 ∴  9 – – –   • –  9 – 9 99   9•∴ 9 ∴ 9 9– 9 9 – – – 9   ∴ 𝑎 𝑇 𝑏 𝑛177 3 2 ––73   39 3–𝑏 93 39 3 945 𝑛 99 – 1 1 3∴ ∴3 y – – – 3– 6 –– 1 2 1 1 • • or ––– – – –  9 y9 – – – – – 99 99  ••∴∴9 9 9 – 9 9 1 – 9 ∴ 39 2 219 3 𝑎 177; 36 𝑏𝑎–  𝑏 9 33; 33 3𝑛 ; … 5𝑏9 3 9 𝑏– ; 3 177 9 ∴ ∴ y 3 9– – – 9 – – – – ––9 69   – 1 2 2 1 • or – – –––  y9 9 – –– 9 9 9 – 99   9 9y99 ––6 2•or – y • 9 9  ∴ 𝑇 ∴ 𝑎 ∴𝑛y 5– 73 6 3 9339 or– – 3 y 3 3𝑛 3 2𝑎 ∴ 5𝑏 ∴9   9 – – – –  – 2 1 2 1 2 • • –– – – –9 9 9 – –9 – 99 99  9••∴ 9 9 9 9 9 99 3  6 𝑎 𝑇 177 –2𝑏 3   39 𝑏 5𝑏 939 3 45 9 𝑛 1 1 3∴ ∴3 – – – 3 – 9   – 1 1 • – – –  9 9 – 9 – 99 99  9•∴ ∴9 9y99 – –69or9 y– 1 9 99  ∴ 219 2 177 3 𝑏9   3𝑛5𝑏3𝑛3  9 9 ∴ ∴ y y 3 – – –6– 6 6 –1221or2 2 1or or • – – –– y y9 – – 9 9 –99  –  ∴ 9 9  ∴ 𝑏 ∴ 𝑇 – 2 𝑎73 93 3– • 39 3 9 𝑏 9 2𝑎 5𝑏 3 – 3 9 ∴ ∴ y  9 • – 9 ––––––112•––––9 – –  9 2 – –  y9 – – 9 ––99 99  ••∴9 9 9 9 9 2 99  ∴ 6 ∴ 𝑆 𝑇 ∴ 𝑛 𝑎 3  219–2𝑏 𝑎  5– 𝑏3– 391 𝑎 –5𝑏  3 3𝑛 𝑑 45 𝑎 1  2𝑑 9 9 3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ⋯ y y 3 y – – – – – 6 6 9  –69 – – 2 1 2 1 • • or or or – –   9 9 –– y– 9 99 9 y y 9 9 – – – –9 9 9 – – 99 99    9 9•∴9y9 9 9 9 9 9 9 69or y 9 9 9 3 2 ∴ – •– 5𝑏9 3 ∴ •  2 –– 99  ••99  𝑏 ∴ 39 𝑇 ∴ ∴𝑛 ; 2 36 – – 73 … 3 ; 9 – 33 93 2 – 𝑎 3 ; 3 … 3 𝑛 ; –𝑑 9 – 2 177 9 𝑑 𝑎9 ∴ ∴ ∴9 y 𝑛 – – – – – – –6 1 9  – – – 1 2 1 1 2 𝑑• • or – – – – – – 9 9 9 3 y9 9 – – – 9 9 – – – 99 99  9 9 ∴99 9 9 9 9 •9 99  9• 9   6 𝑆 ∴ 𝑎  𝑇 177 y 5 2𝑏 ––𝑎 𝑎–6339 3 1 𝑎 or 𝑛5𝑏𝑑 39y19 45 𝑛𝑎 1𝑎9 2𝑑 9 1 𝑛3∴ ∴ ∴ ⋯y 3 y2 – y 9 3 𝑑– ––6 3 6 6 9  –211212⋯ 9 2or or • or – ––– 9 yyy–– 9 9 ––99   ••99 9 9 91 – 9  3 ∴ –– – •– 9 3 – ∴ ∴  • – – – 9  – – • – – – – 3 – – 99 99  9 9  9–2•  𝑏 ∴ 𝑇 ∴ ∴  177  2 – … 𝑎𝑎–2𝑎 393 2𝑎39 𝑎–933– 𝑛 2𝑑 3𝑛 9 2 9 𝑑 𝑎 31𝑎9 𝑑 𝑎∴ ∴ ∴ 𝑎 ⋯yy 9 𝑛 3 – – –𝑑–––1––6 – – –61 9  9  – –2121⋯ 2 𝑑 •or or – – – ––– 9 9 9 9 y y 9 – –– 9 9 9 9 – –99  99 99   9 9 9 9•∴ • 9 9 9– 9 – • 9 3 𝑆 𝑇 39 ∴ 2𝑆 𝑎 – ∴ ; – 36 5 3 39 ; 33 1 – 𝑛 9 ;𝑛𝑑 …1 45 ;𝑑1 𝑑𝑎99 177 2𝑑2𝑎9𝑛3∴ ∴ y 9–– ∴ y 𝑛2 3 6 9 69𝑑 – 1 • or or • – – – – –  ⋯ y y9–9 ––99 99 99  • ∴ 9 9 9 1– 9  ∴ 𝑎 𝑇 ∴ y219  𝑏 177𝑎 2 –9 ……6 3 or 3 93 𝑎– 2𝑎3𝑛 3 39𝑑y 3 3 𝑛 2𝑑𝑛 9 21 𝑑 𝑎 𝑛𝑎9 2𝑑 𝑑1 3 𝑑 𝑎∴ ∴ ∴ 𝑎 3yy 𝑛 – 3 – – – 3 – – – 6 6   1   – – 1 2 2 1 𝑑• or or – – – – ––   9 9 9 3 y y 9 9 – –– 9 9 9 – – 99     9 9 9••∴ 9 •∴99 ∴9 9 9 – 9– 9  –2 –  –99  9  𝑆 ∴ 39 ; 3 𝑆 2𝑆 𝑎𝑛  177 – 36𝑛 𝑎 73 2𝑎;2𝑎𝑏𝑎 339;3 39 𝑛 3 3𝑛…1 𝑛 ; 1 1𝑑𝑑 𝑑 3𝑛 177 2𝑎 99 3 𝑎 3 9𝑛 ∴ ∴ ∴ ∴ ⋯ y y  𝑛2 9 – 𝑑 – – – – 1 6 6 9 𝑑–– – 2 1 ⋯ 2 1 1 • or • or – – – – –   9 9 9⋯ y y9 – 9 9 – – – 99 99   9 9 9 9 – 9– 9 9 9 9  ∴ 𝑎 y 𝑏–… 9…6 or 3 𝑎– y 3 𝑛 2𝑑𝑛19𝑛 2 𝑑 𝑎 3 𝑑 𝑎∴ ∴ 𝑎y y 9 𝑛 – 3 – – –6 6 1  –21121• – 2 2or 𝑑 or – – 9 ––93 y y9 9 – – 9 9 – –99  9 • ∴99 9 9 9 – – 9  177 𝑆  3;2𝑎𝑏• 2𝑎39 12𝑎 𝑑3 1 ∴3 y • – 3 –6 • or y – 9  9• 9 9 9 – 69 ∴ – ∴ 9 – – 𝑎 3 𝑏 5𝑏 – 9 9 9or– y –99 2𝑎 𝑎 𝑛 3 𝑑 ∴  9 𝑆 39 ; ∴ 2𝑆 𝑎 219 36 3 𝑎 𝑎𝑛2𝑎 33 3𝑛 𝑛 ; 𝑑 𝑛…1 𝑎 ;𝑑1 1𝑑𝑑177 99 𝑎2𝑑 32𝑎𝑛 ∴∴⋯ y29–𝑑– 𝑛 – 1 𝑑– 6 ––12⋯ • or –––––9 y ⋯9 9 –––99 •∴∴9 9 9 177 39 93 𝑛 3𝑛 31𝑑9 𝑑 𝑎3∴ 𝑎y ––––6 1–  or –––– 9 9 y9–– 9 ––  99 99 9 9 9y9 𝑇𝑛y3 39 45 99   2 ∴ 𝑎 𝑏… …6𝑏2𝑎 or 13 𝑎 5𝑏 y 3 𝑛𝑛13 21𝑎𝑑 ∴ y 𝑛– 9– 3 3 6 or –12121or 𝑑 93 y 9  9 9 9 9 9– 9  𝑆 177 9 73  • 2𝑎3 39 2𝑑 𝑛 3 1 3 ∴ ∴3 y y • – 3 6 6 – • or – – –9 y y 9 9 –  9•∴ 9 •  𝑇 ∴ 𝑆 6 219 2𝑆  3 𝑎 177 𝑎 2𝑏 –  𝑎𝑛 2𝑎  93 2𝑎 2𝑏 3 39 – 𝑛5𝑏  3𝑛 9 𝑛 3 𝑛 3 𝑏 3 1 𝑛 𝑑 3𝑛 191𝑑 𝑑 9 𝑑 2𝑎 3 3 2𝑎 𝑛5𝑏 ∴ ∴ ∴ ∴ 9 y y   𝑛2 9 – – – 𝑑 – – – – 1 – – 6 6 𝑑 – – – – 2 ⋯ 2 2 • or or – – – – – – – – 9 9 9⋯ y y 9 9 – 9 9 9 – – – – 99 99 99   9 9 9 ∴9 9y9 9 – 9 9 9 9  9 9   2 ∴𝑛 3 …3 73… 𝑏 112𝑎 𝑎 35𝑏 2𝑑 3 𝑎 3 𝑑9∴ ∴ 𝑎y y 3 – – –6 6 – 2 1 1 • or or – – – 9 y y 9 9 – 99 9•∴ ∴∴9 9 69 or 9 –9 9  y  ∑ 𝑏 ∴ 𝑆 𝑇 ∴ 6 219 2𝑆 2𝑏 2 𝑎 – –𝑛2𝑎 3 2𝑎 39 4𝑘 – 2– 2𝑎 3 – 5𝑏 𝑛 3 3𝑛𝑛 𝑏 𝑘𝑛 451 𝑛 191𝑑𝑎9 𝑑–11 2𝑎 𝑑 9 1 𝑑3 4 3 2𝑎 ∴3 5𝑏 3∴ ∴ ∴ Page 9 y y𝑛–3 – – –– 1 –––66 6 9  𝑑– – 1 ––2212or• or – ––––9 9 9⋯y y 9 9–– 9 – 99 99 ––99   9 9 9 • 9 9 9 9 9 9  ∴ y9 – 6 –or y – 9 9  𝑎 𝑆 ∑ 35 𝑎  3 3𝑑5  2𝑑 ∴⋯ y y – – 6 6 1• or or – 9 y y – 9 –99 99  9•∴ 9 3 2 ∴ 𝑇 ∑ 𝑏 ∴ 𝑆𝑛 3 2––…73 𝑏 3 2𝑎 93 –1 –2𝑎3 5𝑏 𝑛3 𝑘𝑛133 𝑑 99 –11 3 𝑑4 3 ∴ ∴ ∴ 3 ∴9 y 𝑛––– 69  9 – 1 • or – – ––– –93 y9 9 –  –99 9 • ∴9 9 9 9 – 9 – – 9  𝑇 ∴ 𝑎 2𝑆  2𝑏 6 𝑏–9 – … 39 3–5𝑏 𝑎– 𝑛 3 45 𝑛 91 𝑑 19 2 𝑑 3 93∴ 𝑎∴ y ––– y y 3 –––6 6 1 69   –22112or 𝑑 or or –  9 9 y9– y y – 9 9   9 9 ∴99 ∴9 9– – 9 – 9 9 ∴ 𝑎 ∑ 5  𝑛 2𝑎 3 4𝑘 3 5  ∴ y – 6 • or – 9 9 y – 9 99  9•∴ 9 9 9 𝑎 3 𝑏 33 ∴ – •–9 9 9 3  – – – 9•99 – 9 𝑆 ∴ 𝑇 – 𝑎 93 – 𝑛 1 𝑑 99 𝑎 𝑛 ∴ y 2 𝑑 6 ⋯ 1or – y 9 3 9 99 9

Downloaded f rom St anmorephysics. com QUESTION 4 4.1.1 66º – – ∴1 ––– – 9 m – – – ∴ – – – 9 ∴ ∴ – ––– – ∴9 9 – 9 ∴ – – 9 ∴ –– – 9 – ∴ ∴ – – –– – – – ∴ 9 9 – 9 ∴ – ∴ 9 – 9 ∴ ––– 9 ∴ – – 9 ∴ – ∴ ∴ – –– – 9 – – ∴ 9 9 9 ∴ 9– – ∴ 9 9 ∴ ∴ – –– – 9 ∴ –– 9–– ∴ ∴9 ∴ 9 9– 9 9 ∴ ∴ – – 9 ∴ ∴ –9 – ∴ 9 9 9 ∴ – ∴ 24º –– – 9 ∴ 9 9 –––––– ∴ 9 –– ∴ – 9 ∴ ∴  – 9 9 ∴ 9 Sketch Standart form ∴  – ––––– ∴ –– ∴ 9 9 – ∴ ∴  –––– – 9 9 9 ∴ ∴ –– – 9 9 1 − m 2form ∴  – ∴ –  – Full – – – 9––––marks – – for answer ∴ 9 9 Standart – 9 9 ∴ ∴ Award –– 9 99 ∴ ∴ – – 9 9 Ans ∴ ––– 9––––– only Standart form 1 −∴m2 – ∴ ∴ 9–– ∴ 999 9 9 99 t a n 66∘ = ∴ ∴ 9 –– 9 m ∴ ––– ––––– 9 ∴ ∴ ∴ 9–– 99 9 9– 9 9 (3) ∴ – ∴ 9 – ∴ 9 9 9 ∴ 9 ∴ 99––– – ∴9 ∴ ––– ––– 9 ∴ ∴ 9– 99 9 9 9– – 9  ∴  – 9–––– – – 9 – ∴ ∴ ∴9 – –– –––– 9–– ∴ 9 ∴   9 ∴  ––9 ∴ ∴999– – 9 9 – ∴ ∴ ∴  – –– –––––––– –– – ∴ 9 9 9 – – ∴ ∴  9 ∴ 9 9 –– – – ∴ – – ∴ 9 9 – 9 9 9 ∴ – – 9 ∴ –– ∴ –  9 ∴ ∴ ∴ ∴ – –––––9––––––– ––– ∴9 9 9 – – 9 9 ∴ 9 9 ∴ –– 9– – 9 • ∴ – –– ∴ – ∴  ∴ –– 9 – – –– – 9 9 9 • 9 ∴ ∴ – 99 9 ∴ ∴ ∴ 9  –9––– –– ––– 9 9 91 9 ∴ ∴  –– 9– 9 99 2• • ∴ – – ∴  ––9– –– 9– ∴ 9 9 9 ∴ – 9 9 ∴ ∴ ∴  – –– –––– 9 – • – 9 – – • 9 9 9 9 9 9 91• – – ∴ ∴ 9–• 99 – 9 9 9 9 • ∴ ∴  9 ∴ ∴    – – – – 1 •– –– – • • 9 9 9 9 2 1 99 ∴ ∴ –– 21– 9 9 9 99 • ∴ • 1 9 • 9 9 2 ∴  1 ∴ ∴ ∴  – – – – 2–– – – – 2• –– 9 9– – 9 9 9 9 9 9 99 ∴  •– – 11–99 99 ∴ 9 9   99   ∴  – 2• 3 9 ∴ ∴ ∴ – – • ––– –2–– 9– – – • 99 9 9 9  1 ∴  2 99 ∴9 – 9  ∴   – – • – 3 2 3 99 9 9 ∴ ∴ ∴ ∴  • – ––––– – – 1 9 9– 99 ∴ 9 9 9 9 – –  9 9 –  9  1 ∴ ∴ ∴   –  – 9 99 2 – ∴9 9 9 9 –  –– 9 9  𝑎  𝑏–9 3 – 3 3 9 9 ∴ ∴ – – – 9 9–– 99  ∴9 9 9  9  𝑎 3 𝑏 3 99 2 3 ∴ ∴ ∴ –  – – •–– 9 9 99   – – • ∴ ∴ ∴9 9 9 – 9 9 – 9– – 9 – 9 9   𝑎  𝑏𝑎–9 33– 3 ∴ ∴ –  – 9 9 –  ∴9 9 9 9 – – 9 𝑏 9 2𝑎 5𝑏 ∴ – 1  ––– –2••–– 9 9 – – ••∴∴ 9 –– 9 ∴ 9 9–or y – 3 𝑏 𝑏 3 9 𝑎 3 99  ∴ ∴ – 9 9 9   2 3 𝑎 𝑏9 3 3 5𝑏 3 ∴ ∴9 – –––– 711•–– –  – 9   • ∴ ∴ y9 – 9 9– 6 9 ∴ 6 2𝑏 𝑎 𝑎 3– 3  𝑏5𝑏  3 𝑏 9 2𝑎   ∴ ∴ 5𝑏 ∴ ∴ Page – – – • 9 ––––––––212––– 9–– 9 – – • ∴ ∴9 9 9 9 9y9 – 9 9 9 9 ∴  ••∴999 9 ––––9–12••–– 9  2 3 𝑏 5𝑏 3 ∴ 1 9 99 ∴ 6 or y  𝑏 𝑎 ∴ ∴ – –3 2 3 – 𝑏 9– 2𝑎 5𝑏 ∴ ∴ ∴ 9 – – 9 9 9 9 6 𝑎 2𝑏 5 3 5𝑏    ∴ ∴ –––––9–1212–– –– 9 –99 9 6 or9y 9 3  ∴ 2 3 𝑏 – – 5𝑏 3 ∴ ∴ – 1 99 • 9 9 ∴ y9

Downloaded f rom St anmorephysics. com 4.1.2 55º – 1––– – ∴ – 9 ∴ –– – 9 – ∴ –––– –– 9 ∴ ∴9 –– 9 ∴ – 9 ∴ –– – ∴ – –––– ∴ 9 – ∴9 9– – 9 ∴ 9 ∴ –– – 9 – ∴ –– ––– ∴ – ∴9 ∴ 9– 9 9 ∴ – – 9 ∴ – –– ∴ ∴ – –– 9 ∴9 – ∴ 9 – 9 – 9 ∴ ∴ – – – ∴ 9 –– 35º ∴ 9 ∴  – ––– ∴ – 9 9– – 9 ∴ – 9 ∴  – –––– – ∴ 9 ∴ –– 9 ∴ ––– –– 9 – 9 ∴ – – ∴ ∴ ∴ n 9–––– – 9 9 –Sketch Standart form ∴  – ––––– ∴ –– ∴∴9 ∴ 9 9 –– 9 9 9 ∴ – – ∴ ∴ 9 ––– 9 9 ∴ ∴ –– 9––––––– ∴ –– 9 ∴ 9 –Double Standart angle form 9 ∴ – ∴ ∴  –9 ––– – ∴∴9 9 – – 9– 99 ∴ –– ∴ ∴ – –––––9 ∴9 9 ∴ – identity 9 ∴  –– 9–––– 9–– 9 ∘ ∘ s i n70 = s i n (2 × 35 ) ∴ –– ∴ ∴ ∴9 ∴9 9 –––– 9– 9 9 9 ∴ – – – ∴ 9 –– 9 – – – 9–– ∴ – –––––– 9 ∴ = 2s i n 35∘ . c os 35∘ 99 Ans ∴ 9–– – – – ∴ Standart form 9 ∴ – – ∴ ∴9 9 9 9 9 ∴ ––– 1 − ∴ – 9 –––– = 2( 1 − n 2 )(n)∴ ∴ or 2n 9–n 2 ∴ ∴  ––– –––––– 9–– ∴ 9 9 – – ∴ ∴ 9 – 99 9–– – (3) 9 9 ∴ ∴ ∴ 9 9 9 ∴ – – –– c os ∴ –2x ∴  – 9 – 9–9–––––––– –– ∴9 9 9 4.2 s i n (45∘ + x) . s i n∴(45∘ −  x) = 9 ∴ ∴ ∴  – – –– – ∴∴9 9 9 – –– –– – 9 9  ∴   –9 – – 9 – 99 ∴  –– – 2 ∴ ∴ 9 – – – – – ∴9 Compound– –– angle 9 ––––– –––––––– 9––– ∴ 9 Standart form LHS = s i n (45∘ +∴x) . s i n   9 (45–∘ − x) ∴ ∴ ∴ 9  –– ∴ ∴ 9– – 9 99 9 9 ∴ ––– ∴ ∴ ∴  9 –– 9–––––– – ∴9 9 expansion– 9 9 ∘ ∴ ∴+ c– ∘ – 9 – ∘ ∴ ∴ 9i n 45 . c os x ∴  – – – ∘ 9 –i n–––x) –––– ∴ 9 9 – – 9 9 = (s i n 45 . c os x os . 9 s–i n x)(s 9 – 9 – ∴− c os . s – – – ∴ 9 ∴x− c os – 2–45∘ s i n–2 x ∴  – 9––––––– 9– ∴ ∴ ∴999 –Standart 9 • Simplification •99 9 9 = s i n 2 45∘ . c os ∴2 ∴ ∴ ∴ – ––––9–––––––– 9–––– ∴ 9 –91– – 9 99 form ∴ –  9 9 ∴  – 9–  9– ∴∴ 9 9 9 9 ∴ ∴ ∴ ––––––– 9 99 2• 9 Standart • ∴−( ––– )2 s i9 ∴ n 2 x– 1 2 1 ∴ –––9 9 Special angles form =( ) c os 2 x∴ ∴ 9 ∴   –– 9– 9 –•–––– 9 – – – –––– •∴∴9 9 9– 9 1 – 9 2 2 9– ∴ ∴ ∴ –9 – –– – – 9 9 – 9 999 – 9 99 ∴ ∴ – ∴ 9 –9 9–––1•––––––99–––– 9 Double 2 angle 9 ∴ – – 9 ∴ ∴ ∴ ∴  – ––––9 – – – 9 2––––– 9 •∴∴9 9 Standart form 9 9 9 99 9 9 9 9 9 ∴ ∴ ∴ –11––––– 9––– 999– – • – 99 9 •99 ∴ • 1 = (c os 2 x − s i∴n 2 x) – • –  ∴ –––9––––2•––––––99 ∴  ∴ ∴ – – – – 9 9– •∴∴9 identity 999 9 91 9 2 ∴  1– 9 ∴ ∴ ∴   ––– 9–– 999 9 1 2– 99 ∴ – ∴ 9 – 2 – ––1––––– 9––– 99 –  ∴ ∴  – 29 • 9 3 9 ∴ ∴ ∴  •– 9 9 ––––– •–––– 9– – ∴ •∴99 9 9 – cos 2xform –Standart 9  9 99 1 = c os 2x ∴   –9 –– 9–2–––– 9––––– 9 9 – – – 9 99  ∴ – 1 ∴ 2  – – – ––– 99 99 ∴9 9 ∴ ––––––– ––1•––––––99 ∴ ∴ 9 9 9 9––––  2  ∴  – 2 – 3  99 9 ∴ ∴  – 9––– •∴∴9 999 – 9 ∴ L HS = R HS∴ – – – 3 99 ∴ ∴ ∴   –– –––9–––2–––– – 9 – –– 99 999 –9•– 9– 9 9 •99 9– 9  ∴ ∴ (5) ∴ ∴ ∴ 𝑎  𝑏 – 9 3• 9 3–9 3 ∴ ∴ 9 ∴  •– – 9 – –  –1––– 9 –––––– –––2•–––– 9 – 9 – 9––––  ∴∴99 9 99 9 9 – – – 9 1 – – – 9 𝑎 3 𝑏 99 ∴ ∴   – •∴∴∴9 9 9 – 9 9 9 9 33 3 ∴ – 1 9– – 9– 9 99  9 2 𝑎 –𝑏𝑎–9 29 9  ∴∴ 3 92𝑎 5𝑏∴∴∴∴∴9 ––––––––––9–1••–––––––– 9 3𝑏9 ––– –– –  ••∴∴9 9 ∴ 9–  99 – 9– 9–– 9•– –  9 9  ∴  – – – – 9 9 • 9 9 2 3–3––𝑏 9 𝑎 ∴ 𝑏 5𝑏– 3  ∴ –– ––9 –1211•–––––––99  9 99  ∴ –9 9 3 ∴    – 9––––9 9 99  ••∴∴9 9y9 9 691or y  𝑎 3 5𝑏3 𝑏99 2𝑎 5𝑏∴ 9 ∴9  – 9 –– – • – – – 9 – 9 9 9 – – 9 – – 9• 9 •––––––––9––12211––––––– 9 2• 9 ∴ 2 – 99 ∴ 6 2𝑏 ∴ –𝑏 •– 9 – 9 99  ∴ ∴ ∴ ∴  9 –––9 – 9 9 9 9 9 9  ∴ ∴2 𝑎 3 𝑏 –– –1 3 5𝑏 9 93– 3 ∴9 –––––––9––22••––––– 9  ––– –99  •∴9∴ y9 ––96 9 or 1– y – 9 9 𝑏 2 ∴ ∴ 6 2𝑏 3 – 5𝑏 9 ∴ ∴ ∴  – –9–121 –99–––9 99 – 9 9 •∴9 999 9 9 – 9  • 9 9• 9 ∴ 𝑎 𝑎 –3 ––3 𝑏 –  99  2–93 9 2  3  ∴∴ –– 5 ∴ ∴ ∴ –  ––––––––9 9––12•••––––– 9  – 9–– 99 99  ••∴9 9 9 9 9 9 1  ∴𝑏 ∴  𝑎2 3– 9 3  •– 5𝑏 9 𝑏 – 2𝑎  ∴ 5𝑏∴ 9 ∴   •–––69––112– y 9 – or–9y9– 9 –99 •∴9 999 92 – 9 9  3 ∴2 3– ∴ 𝑎 –––𝑏3 5 – 3 3 ∴ ∴  – – – –– 22••––––9 9 – 9 – 2 – –– 99 99 •∴9 ∴ 9y9 – 96 –or y – 99 9 99 9 9•9 ∴ – – 1 9 ∴ – 1 – 9 99 ∴9 y – – – 6 – – or – – 9––– –  9 y 9 9 9 ∴  •––––––––9 ∴ 6 39 ; 𝑏–2𝑏 • 5𝑏 9 ∴ ∴ y 6 1or –121•–––99 y 9 99  ∴9 9 9 9 – 9•–9 99  9 9 •  ∴∴ 𝑎 36 –6 ; 23 9 – 33 ; …–3 3 ; 177  9 ∴ 9 – 9––– 9 99 9 • 9 9   ∴∴ 𝑏 y 2 𝑎 177 – 3 3 3– 1or 𝑏9 39 3y – 𝑛 1 ∴ ∴ ∴  Page9 3y – –6 – – – – 39 8 – 2 2• – or– 9 9 – y9 –9 99 99   9•∴99 9 9 9 9– 9 91 – 9 9  39 𝑎 ; 36 5 – ; 3 33• – ;3 … ; 9 177 ∴ ∴  • – –  – 1 2 1 1• – – 9 9 9 – – 99  •9 999 92  9  3 ∴  177 y 𝑎– 6 2or –99 y 3 3 𝑏 3𝑛 9992𝑎3 5𝑏∴ ∴3 9–– –9 ––9 –––––––6  221•––––  1 9 9––––9 9 99   9••∴ 9 – 9 – – 9   ∴ 177 2 3 219 𝑏 3 1 39 5𝑏 3𝑛 𝑛  1 ∴ ∴ ∴ y – –3 – – 1 2 2• • or– – 9 y 9 – 9 ––99 99 •∴∴99y9 9 9 – 69 9 – y or– 9   ∴ 𝑎 177 𝑏–  – 239 9 3 –933 3 9 93 ∴ – 9 9––––––1221•–––99 – 1 –  9 –9 9 99  – ••∴9999 9 9 3 3𝑛 ∴ ∴9 ∴  –   9–– –   999– 9 – 9 –99 9 9

𝐿𝐻𝑆 222sin 𝐿𝐻𝑆 sin𝜃𝜃𝜃 3sin 𝜃– 2∴∴∴𝐿𝐻𝑆 sin 𝐿𝐻𝑆 𝑅𝐻𝑆 𝐿𝐻𝑆 𝑅𝐻𝑆 –––– –– –– – 𝐿𝐻𝑆𝐿𝐻𝑆 𝐿𝐻𝑆 2 sin 2 sin 3 𝜃 𝜃3sin 𝜃 2 2 ∴ sin ∴ 𝐿𝐻𝑆 1 𝑅𝐻𝑆 𝜃 𝐿𝐻𝑆 𝑅𝐻𝑆 𝑅𝐻𝑆 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 99– – –– – 9 9 9 𝐿𝐻𝑆 sin 𝜃 2 2 sin 𝜃 1 1 ¥¥¥ ¥ 1 sin 𝜃 ∴3 cos 2𝐴 – – – – 9 ∴111 𝐿𝐻𝑆 1 sin sin sin𝜃𝜃 sin 𝜃 333cos 𝜃 3 cos cos 2𝐴 cos 2𝐴 2𝐴 3sin 3sin𝜃11 2𝐴 𝜃11 22222sin sin𝜃𝜃𝜃 ∴ ∴ 1∴ – ––––– – – – ¥ ∴ ¥9 ∴ 9∴ – – – 9 9 9 9 ∴∴∴ Downloaded ∴ 3sin 𝜃 2 f rom 1 St 2 sin sin 𝜃 anmorephysics. sin 𝜃 com 𝐿𝐻𝑆3sin 3sin 3sin 𝜃 𝜃𝜃 ∴ 22 ∴2 – – – – – ∴ – 9 – – 9 ¥¥ – 𝐿𝐻𝑆3sin 𝜃22sin 2 𝜃𝜃 11 11 sin ∴ ∴ – – ––– – – ∴ ∴ ∴9 9 9∴ –9 – 9 9 9 4.3 cos 𝑥𝑥𝑥 42° cos cos 42° ∴ sin 42° sin sin ∴sin 2𝑥 2𝑥 2𝑥 – 2𝑥– – ¥¥¥ ∴ – – 9 cos cos 𝑥 𝑥 42° 𝐿𝐻𝑆42°22sin 𝐿𝐻𝑆 sin𝜃 sin 𝜃 2𝑥– ∴∴𝐿𝐻𝑆 𝐿𝐻𝑆 ∴ ∴ ∴ 𝑅𝐻𝑆 ∴ – 9– 9– – ¥ ¥ ∴9 9 ∴9 – – 9 9 ∴ ∴ 𝑅𝐻𝑆 ––– – – – – – ¥ ∴ 9 99– cos cos 𝑥 42° cos 90° 2𝑥 ¥ ¥¥ ¥ – – – – 9 9 cos 𝑥𝑥𝑥 1142°42° cos 90° 2𝑥 cos ∴ cos ∴ –3 cos 90° – 2𝑥 9 9 ∴ ∴ 9 42° sin ∴𝜃 sin 𝜃 3 cos cos 90° – – –2𝐴 2𝑥– 2𝐴 1 2 sin 𝜃∴ ∴ ∴ 9 ¥ ¥9 9 –––––––– –– – ∴9 𝑥𝑥𝑥 ∴∴ 42° 90° 42° 42° 90° 90° 3sin ∴ 𝜃 ∴ 2𝑥2 𝑘. 2𝑥 2𝑥 𝑘.360° 𝑘. 360°1 2 sin∴𝜃 ∴ – 9–9 360° ∴ 9∴ –9 – – 9 9 9 𝑥 42° 90° 3sin∴ ∴ 𝜃 2𝑥 2 𝑘. –– – – – 360° 9 9   ∴ ∴ ∴∴ –– –––––––––– –– – ∴9 ∴ 9 9– – 9 9∴ –cos(90-2x) 9 9 ∴3𝑥 ∴∴∴ 3𝑥 3𝑥cos cos 90° 𝑥90° 90°𝑥 42°42° 42° sin 42° 42° 𝑘. 𝑘.360° 𝑘. sin 2𝑥360° 360° 2𝑥 ∴ – ¥¥¥ ¥ ¥¥9m 3𝑥 ∴ 3𝑥 90° ∴ ∴90° 42° 42° – –𝑘. –360° 𝑘. 360° ∴ –– 9–––9 Standart form ∴ ∴ ∴ ––––––– –– – ∴9 ∴9 9 – – ¥¥¥ ∴ 9 9 𝑂𝑅 𝑂𝑅 𝑂𝑅 𝑥𝑥 𝑥cos 42° 𝑥 42° 42° 42° 90°90° 90° cos 2𝑥 2𝑥 2𝑥 90° 𝑘. 𝑘. 𝑘. 2𝑥 360° 360° 360° ∴ ∴ ∴ – – – – ¥ ∴¥¥99 9 9 9 𝑂𝑅 𝑥cos42° 𝑥 ∴42° ∴ –  –cos2𝑥90° 𝑘.2𝑥 90° 360° ∴ ∴ ∴ – 9––9 –––––– –– – 9 Standart 9 9 Both Standart gen formform ∴ – ∴ ∴ – 9 – – ¥¥ ¥¥ ¥¥ ∴ 9 ∴ 9 9 99 9 ∴ 𝑥 ∴∴∴ 𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥42° 42° 42° 42° 42° 42°∴90° 90° 90° 90° 90°90° 2𝑥 2𝑥 2𝑥2𝑥 2𝑥2𝑥 𝑘. 𝑘.𝑘. 𝑘. 𝑘. 𝑘. 360° 360° 360° 360° 360° 360° ∴ ∴ ––– –– – ¥¥ 9 9 ∴ ∴ ∴ ∴ –– 9–––– 9–– – – – solution 9 9 9 ∴ ∴ – – ∴ ∴  ∴ 132° 9 9 – 9360° 9¥ 9∴m 9 9 – 9 9 ∴ ∴∴∴3𝑥 3𝑥 3𝑥 ∴ 48° 3𝑥 48° 90° 𝑘.𝑘. 360° 360° 42° 𝑘. 360° 𝑥 ∴  ∴  – – – – –𝑘. – – – – ∴ 9 ¥9 9 999 3𝑥 ∴48° 3𝑥 ∴𝑘. 48° 𝑘.360° 90° 360°42° OR 𝑘. 360° 𝑥𝑥𝑥 ∴ ∴ 132° 132° 132° – 9 –––– 𝑘. 𝑘. – 𝑘. 360° 360°– 360° simplify 9 x=  ∴ ∴ ∴ – ––––– 9 9 999 9 9∴– 9 Standart form ∴ ∴ –𝑘. 𝑘.–––– – –– ––9 –∈∈𝑍𝑍𝑍 9 ∴¥¥9 9 – – 9 9 𝑥𝑥𝑥 16°𝑥 𝑘. 𝑂𝑅 16° 16° 𝑂𝑅 16°+𝑥k.120 𝑘.∴ 42° 𝑘. 𝑘.∴ 120° 120° 120° 42°∘ ∴ 120°OR 90° 90° 2𝑥 9 132 𝑥 2𝑥 ∘ −𝑥 𝑘.𝑥𝑥𝑘. 360° 132° 132° 132° 360° ∴ ∴  ∘∴9 𝑘. 9 – 360° 360° 360° 9 ––––– – 𝑘 𝑘 ––– –– 𝑘 –∈ 𝑍 𝑘 ∈ ∴ 9 9 9 x𝑥= 16 ∘  104°; 132° x = k.360 132° ∴ ∴ ∴–– –––––––– –– – ∴ – 𝑘. – 360° 9 9 ∴ 9 9 9 9∴ 99– 9– – Two Standart Standart correct formform x- 9 𝑥𝑥𝑥𝑥 16° ∴16° 16° ∴ 𝑥;𝑥;;;136°; 136°; 42° 136°; 42° ∴ 104°; 104°; 90° 90° –132° 132° 2𝑥2𝑥 𝑘.𝑘.360° 360° ∴ ∴ ∴  ∴ – 9–––––– ––– –– – ∴ – ∴¥¥ 9 ¥¥ 9 9 9 – – 9– 9 9 99 16° x ∈ {−104; 16; 136°; ∴ ∴ 104°;  136} 9 9 132° ∴ ∴ ∴ –– 9––9–– – – ∴ ∴ 9∴9 values 9– 9 9 132;  ∴ ∴ ∴ ∴ –– 9––9 – –– –9– – 99 9 9∴ 9 9 9 ∴∴3𝑥 – – ∴  ∴ –––– – –– – 𝑘.𝑘. 3𝑥 48° ∴ ∴– 𝑘.𝑘.360° 48° ∴ 360° ∴ ∴ 𝑥∴∴ ∴𝑥 – –– –9– – 132° 132° – – – – – – – –360° 360° ∴ ∴ 9 9 ∴ 9 9– – 9– 9– 9999 ∴   9  ∴ 9∴ ∴ –– ––– – 9 – – – – 9 (6) cos 𝑥𝑥𝑥𝑥 42° cos 42° 16° 𝑘.sin 120° 2𝑥 𝑥𝑥∴ ∴ ∴ ∴ ∴132° – – ––– 99 𝑘.𝑘.– 360°360°– 𝑘𝑘∈∈𝑍𝑍 ¥ 99 – 99 99 9 –9 coscos 𝑥𝑥 42° 42°16°∴ sin sin ∴ 𝑘.– sin ∴ ∴ – 9 999 2𝑥 –2𝑥 – 120° 2𝑥 17∴ ∴  ∴ ∴ – 132° 9 9 – – –––––– –– –––– ––9 – – – ¥¥¥ ∴ 9 9 9 9 9 9 ∴ ∴ ∴ 9 MARKS  ∴9– –  – – – 9 –9 9 9 9 9– 9– – 9 cos 𝑥𝑥𝑥 42° cos 42° 16° 16°;∴;136°; cos–90° 90° –104°; 2𝑥132° ∴ ∴ ∴ ∴ – 9––– ––––––9– 99 9 • • coscos 𝑥𝑥 42° 42° cos cos ∴ 136°; ∴cos 90° – 90° 104°; – 9 92𝑥 2𝑥 2𝑥 – 999 132° ∴ ∴  ∴ 9– – 9 –– – 9 – – – – – –– ¥¥¥ ∴9 ¥ 9 9 9– – 9 9 ∴ ∴ – ∴ ∴ ∴ ∴ –– – – – – – – – – 9 – – ∴ 9 9 9 ∴ 9 9– 9 – 1 9 9 • • 𝑥𝑥𝑥 𝑥 42° 42° 90° 42° 90° 42° 90° 90° ∴ ∴–2𝑥 2𝑥 2𝑥 2𝑥 – –𝑘. 𝑘.360° 𝑘. 𝑘. 360° 360° – – 360° ∴ ∴ ∴ ∴∴ – 9– 9 ∴ – –––––––––– – – 99 – 9 9999 9 9 2• • 9 ∴3𝑥3𝑥 90° ∴ ∴ 42° ∴   42°  9 9 ∴ 9𝑘.  360° ∴ ––∴ ∴ 9 –∴   ∴ ∴––– ∴ –  – ––– –•–––––––––9 9––9–IC ∴ 9 •9 ∴ 99 9 9 ∴ 9–9 9– 99 9 1– 1 – – 9 9 D BA∴∴∴ GI 3𝑥cos L𝑥90° 90° HIGH 42° 42° CH sin𝑘.𝑘. 2𝑥 360° L G ADE 12  MA HEMA A E¥ 2 – J E 2017 9 𝑘.360° ∴12 ∴∴ ––– –––1•––––9 – –– – –IC A ¥ E¥¥ –•29 2 2 D BA ∴ 3𝑥 GIcosL 90° 3𝑥 𝑥 90° –∴ HIGH 42° 42° 42° – –– CH sin 𝑘. 2𝑥 360° 360° L ∴G ADE – –∴ ∴ ∴ –∴ – MA –9 – – HEMA – • – 9 9 ––9–– – 9 9 ¥¥99 9 • J99 9 E 2017 99 99 9 9 𝑂𝑅 𝑥cos 42° 𝑥 ∴ 42° ∴  – 90° cos 9 2𝑥9 90° 9 ∴ 𝑘. 2𝑥 360° – ∴ 9 –  ∴9 –  – – 2 – – – – –– – ∴ 9 – 9 9 9 9 𝑂𝑅 𝑂𝑅 𝑂𝑅𝑥𝑥𝑥∴cos42°42° 𝑥 –∴ ∴42° 90° • 90° cos 2𝑥 2𝑥 2𝑥90° 𝑘. 2𝑥 – 𝑘.𝑘.360° 360° ∴ ∴ ∴ ∴•– 9––119 –– –1 9 99 ∴ ¥¥¥ ––9 ¥¥9 –9 • 9 • 42° – ∴ 90° – – ∴ 360°9–∴ – – –∴ –  ∴ – – – – – – – – • – – • –9 – 9 – 9 ¥ • 9 9 9 9 • 9 9 9 9999 9 ∴ 𝑥 42° ∴ ∴ 90° –  – 2𝑥 1 9 9 𝑘. ∴ 9 360° – ∴ ∴ – ∴ ∴ – – – 2 2 – –– 2 ––– – – – ∴ ∴ 9 – – 9 9 9 9 9 1 9 9  ∴∴∴∴ 𝑥𝑥 𝑥 𝑥𝑥42° 42°42° 𝑥∴ 42°42°42° ––∴ 90° 90° ∴–90° 90° ∴ 90° ∴ 90° –– 2–2𝑥 2𝑥2𝑥2𝑥 • 2𝑥2𝑥• 𝑘. 3 𝑘. –𝑘.𝑘. 360° 𝑘.360° 𝑘. 360° – 360° 360° 360°9 –– 9––∴ ∴ ∴ ∴– ∴•– 9 ∴ – – – •–––159–– 1–9 9 9 99∴ 9– ¥¥ ¥¥¥¥––9 ¥¥ 99 99 9 99–  2• • 9  • •  ∴ ∴∴∴3𝑥 3𝑥 3𝑥 ∴ 3𝑥48° 48° : 90° ∴ 𝑘.𝑘.∴  360° 360° 142° 9 01 1 𝑘.𝑘.3 9 360° ∴ ∴ QUESTION 𝑥 𝑥𝑥𝑥 ∴ – ∴ ∴ ∴ ∴ –   ∴ ∴ –– ∴132° 132°132°  – – – – 2 • – – – –𝑘. 2 – 𝑘. –– 𝑘. 9 99 – 360°– – 360°– 9 99 ∴ ∴ ∴ 9 9 – – –∴ •9 9 9 9 9 9 9 1 99–9 –  9 9 1 9 9 9 3 5.1 In  3𝑥∴ ∴48° :3𝑥 –––90° – 48° 𝑘. 𝑘.360° 360°  – 1– 42°–02 –23 360° 9 9 ∴ ∴ ∴ – 132° – – 9 𝑘. 9 9 360°360°99∴ 9 ∴ 99 9 9¥¥9 9 2 2 9   3 ∴ ∴ 9 9––sum 99 – – –∴ ∴ ∴ ∴ –   ∴ ∴ ∴ ∴ – –––𝑘.  – – –2360° – 1 • –– –•9 9–– 9 – – 9 – –– ∴ 9 9 – • ∴ 9 99 9 9 9 • 99 –9 9 9 9 9 – 9 –99 9 9 9  3 𝑥𝑥𝑥 16°𝑥 𝑘. 𝑂𝑅 16° 16° 𝑘. 42° 𝑘. 120° 120° 120°  90° 2𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑘. 360° 132° 132° 132° ∴ ∴ – 𝑘.𝑘. 360°360° – – – 9 𝑘 𝑘𝑘∈ ∈ ∈𝑍𝑍𝑍99 99 ∴ – ∴ 9 9 ∴ ¥¥99–9 – 9 – – 9 9 9 𝑥 ∴ ∴𝑂𝑅 16°–𝑥 sin –42° 𝑘. 𝑎120°𝑏–– ∴–  104°; 9 –3•90° – – 3 9∴ 9 𝑥–𝑘.9 2𝑥 360° 9–∴132° ∴ ∴ ∴•––𝑘.  –11– 360° • 9 19 • 9 ––99 𝑘– ∈ 𝑍  –∴ • 9 ∴ • 9∴9– –– – –99–99 9 𝑥 ∴16° ; 136°; sin 42° 𝑥;𝑥;;136°; 𝑎 104°;  3104°;90° 1𝑏 3 132°2𝑥 3 ∴𝑘.360° –∴– ∴ 99 99 – –∴ ∴  ∴ – – –  –– –22•–––2–9– 9 – – – – – – 9 99 ∴ ∴ 9 – 9 • 9 ∴ 9 9 9 – 9 9 – –9– 9 9 9 9 9 9 𝑥𝑥𝑥 16° 16° ∴ 16° 136°; 42° 136°; 104°; 90° 132° sin 132°3 132° 2𝑥 𝑘. 360° ∴ ∴ ∴•– – –•– 11– 1– 9 ∴ –9 ∴¥¥ 9 ∴9 – – 9  𝑥 ∴16° ;–136°; ––∴ 𝑎 𝑎 𝑏9 ∴ 𝑎sin 104°; – 9 𝑏3 • 3 •3 132° 23 3 sin 𝑏 3 ∴92𝑎– 95𝑏 ∴ ∴ – • 9––9 – 99∴ 9 – ∴99 • ¥¥9 9  9 •9∴––96 –or–9y 9 9  9 9 ∴∴3𝑥 3𝑥– 48° 𝑘.𝑘. 360° ∴ ∴   –––∴ – ∴ – – 𝑥∴  ∴ – –  ∴𝑥–––––– –22– – – – – 132° – •–––9––99 –𝑘.–360° 𝑘. ∴ 9 9 –∴ – 9 9 9 9 9 9 48°3𝑎 3sin 𝑏 1360° 1𝑏3 𝑎 3𝑏   ∴ 2 5𝑏3 3∴ 9 ∴ ∴–  ∴ –11 132° ––– 9 9 9 99 99360°∴ ∴ 999Standart ̂ ––∴∴9 y99 9   9    3 ∴ –∴–  𝑎–– 𝑎–23––23 𝑏 𝑏 5𝑏3 3 3 9∴ 9∴ ∴92𝑎9–2𝑎 95𝑏 ––––––∴ ∴ ∴ 9 –––5𝑏 ∴ ∴––––– ∴ –––––––––––22•––– 1 •––9 9 9 –– 9––– 𝑘–∴∈9 9 9 R PS 𝑍𝑍– – ––∴ •∴9 9 ∴ 99 •9∴9–9 9 ∴ 99 form –9 – 9 9 3  𝑥𝑥 16° 16° 6 𝑘.𝑘.2𝑏 120°   𝑏 120°  5𝑏 ∴ ∴  99  𝑥  𝑥 ∴ ∴ ∴ –  ∴ ∴ ∴132°132°  – 𝑘.2𝑘.– 360°– – 9 360°– 9 𝑘∴ ∈9 9 ∴ y99 – 9 9 9 –9or– y9 9 9 9 3  ∴ 2 2 3 3 𝑏 5𝑏 3∴ 39 ∴9 – ∴–––  1•–1 9 ∴9––––9––––– –•–9 1 99 ∴ 99 9 Sine –•∴ 9 ∴ •99∴9 –y6 99 or 6 – y 9 99 ––99–∴ 99 –– 9 ∴  : ––∴ 𝑎–  𝑏2 𝑏 ––– 9sin ––3 – – 3 3 9∴ –9 9––∴ ∴ ––– ∴ 9––9 9 Standart 9 rule 9 9 form 9 3 3 ∴ – – 9 ∴ –9 – 9 – –9 9 9 – ∴ – •–∴ :16° ;∴ 6– ∴ 6 2𝑏 sin2𝑏 – 5𝑏 – 5𝑏 9 ∴ 9   99 ∴––  11• 1 9– – – – –  – – – – 9 ∴ 9 – – 9 9 9 9 9 9 In ∴𝑥 𝑥 16° = 136°; 𝑎; 136°; 3 5  3 104°; 𝑏–104°; 3 132° ∴ 132° ∴ 99  9 ∴ ∴ – – 2 2 2 ∴ 9 9 9 99–– 9 9 9 9 9 9 9 99 – ∴ 3  ∴  – ––∴ ∴ 𝑎 𝑏– ∴ 𝑏 𝑏𝑎 𝑎 2– –9 – 𝑏2–– 3 9 3–3 33∴ 3 ∴ ∴– –– 9––––∴ ∴ ∴ – ––– ∴ ∴ ∴ – ––––––9 9–––1–9 •––2•–9–– 9– 9999 – 99 99  99 9Standart Reduction •∴99 ∴ •9 9 99 ∴ – form – – – 9 9 9 ∴ 𝑎– ∴ –– sin 3 𝑏 ∴ ∴ . sin ∴ –9 2𝑎  – 5𝑏 9––∴– – ∴ –––∴ y ∴ 9  –1•–1•9 9 – – 6 – 2 2 or y – 9 ∴ ∴ 9 9 – –• •99∴9–969 9 9 9– 9 999 9 08 3  3 ∴ ∴ – – ∴ ∴ 2 𝑎5 3 3 𝑏3 sin𝑏 3 5 – 3 –𝑏 .3 – 5𝑏sin3 3∴ – 9 ––∴ ∴ ∴ ∴––– ∴ ––––9 9–––21•9 – – –– –9 9 –99 9 9 99 99 ∴9  9 Ans – ∴ •∴9 y99 9 or9y 9 9 – –    9 – •∴99  3 ∴  – •or Standart form 99 ∴ 2𝑎–––2𝑎 9 –––∴ ∴ – ∴ 9 – – 21–6or 9 9 9 9 9 9 ∴ ∴ ∴– ∴; 𝑎– 𝑎 sin3– 3 𝑏 𝑏 ;–33 … ; 9∴ ∴ ∴ 9 – 5𝑏 ∴ ∴ 9 –y 5𝑏y∴ ∴ ∴9 –––y–6 69 ––––229 1 • – –2• 9 1 ory y9– y–––99 99 ∴ ∴ –99 – 9 • •99∴ 9 9 9 9 9 999 3  ∴ 6 39 2𝑏 36 2 y32936𝑏 or   sin 5𝑏;   𝑏 5𝑏 5𝑏 ∴ ∴ 177   9 – – – ∴ ∴ – – – – ∴ ∴ – –– – – – – –  2• – – – – 9– 99 9  9 9 ∴ y 9 •∴ 9 y6 69 or 9 or y y 9 9– 9–••9 ∴ – –∴ 3 3 9 – 9 – ∴ 9 – 9–––y 6– – 1 –•–– 9   9 ∴ 9  – (4)  𝑏– ∴ ∴ 177 2– 3 3 – –39–y 9∴ ∴ ∴𝑛–9  –––1 –––∴ 9–––∴ 9 3 –y∴ ∴99 3 ––––9 –– 1 2 ––11226or• 9 1 –12• or–y9 9 – y 99∴9 9 ––99–99 99 ∴ 9 9 99 •9999 9 99 9 9 9 99 9 3 ∴ ∴ sin∴ 6 39 𝑎 ∴ 6 39; .2𝑏 36 5  ; 2𝑏 36 3; 33 5𝑏 ;9 ; 33 5𝑏 … ; ;… ∴ ∴ ∴; 177   177  – 9 –– – ∴ ∴ ∴ – –– ∴ – 9∴ – – – – 1 – –  • – – –9 9– ∴ 9 9 9 – 9 9 9 • – 9 99 9 9 9 9 5.2 ∴  – sin ∴ 177 y∴ 9 – y 6 39 6– or or y 3𝑛 y ∴ ∴ 3 39 ∴𝑛–𝑛––1 1–––∴– – 9 – – 9 – – ∴ ∴ – ∴ ∴ 9 9 – – – –––––– – –9–12•9 9– – – 1 2 2  9 1 2  1•–999 99∴ 9 – 9– 9 99 99 ∴ 99 9 9 9  – 9 • Substitution 9 9 9 • 9 9 9 9 . •–– – ∴ Standart form  3 ∴ 𝑏 ∴ 𝑏 177 2– 177 3–– 23 33–39 ∴3 ∴39 3 3 1 9 –•99 9 999 9 ∴ ∴ 219 – 3𝑛9 ∴ ∴  – – 9––––∴ ∴ ––y∴ – – – 69  – ––21–or – – 2• y– 9 – ––9 –∴99 9 9 9 • 9 9 9 08 3 3 ∴ ∴ –  sin  𝑎 ∴ 𝑎 177 ∴ 9∴𝑛 . cos 9 5 177 – 3 5 – 73 3 ∴ 3 39 – 9 39– 3𝑛 ∴ 3𝑛 ∴ ∴ 3 – 9 – – ––– –––∴–39 – – ∴ ∴ ∴–– ∴ – – – – 9∴ ∴ – – 9 – –– 9–––––––2––12 9 – – 2 2 1 • 9  – 1 2 – –9 9– 99 99 ∴ 99 ∴ 9 9 99  –– Co-ratio – 9 99 Standart • 9 –form 9 9 9 9 9 9  ∴ sin – 219 . cos 219 3𝑛 3𝑛 9 ∴ ∴   – 9 –– – ∴ ∴ – y y ∴ ∴ – y – 6 6 – – –6 • or or – 9 – • or– y y 9 –99 y9– – – 99 99 –99 ∴ 9 9 –• 9 9 9 • 9 9 9 9 ∴ ∴ ––sin – ∴ 39 ∴;9– . cos 36 ;–33 ; … ; ∴ ∴ ∴ ∴ 177–– –9 ––9––––––∴ ∴–––– ∴ ∴– ∴ ∴9 – ––––9  2–9 – 1 ••–––921•––999 9––99 9 99∴ ∴ 99 ∴ 9  9Standart 9 9 –– Double •• 9 9 99 •9–angle 9 9 9 9 9 9 9 ∴  sin9∴ 𝑛 . y cos 𝑛 9736 73 or 3 y 3 9 ∴  – – – ∴ ∴ ∴ – – – – – – 1 2 – 9 – 9 – 99 99 99 9  9 9 9 9 9 form 9 9 39 45∴𝑛 19––1 9––3––∴ –––– ∴9–y–––6 ∴ 6– –116or ––21or–y y y9 ––99 9 –∴ 177 39 3y 99 •–• 9 9 99 9 •99  3 36;3 3 ∴ –– ∴ 𝑇– ∴ ∴ ;3633;9;33…;;…∴ 9  ∴ ∴ 39 ;39– ∴ ∴;177 –– 177 9 9 ––∴ ∴ ∴ –y9 3 ∴ – –21or • • 99 ∴9 9 9 Ans – 1 • • –form 9 9 ∴ 500m  – 9∴ 𝑇9 177 y∴ y96 39 9339 6 or or 3 y 3𝑛 y ∴ 9 ∴  3 – – –––1–1 1––3––∴ ∴ ∴ – – – ∴ ∴ 9 9 – –––––– – 9–––221–•––9 – – – – 9 – 2• – –9 9 9 9 –99––500m 500m 99 9 –99 99– 9 9 9 Standart 9• 9 9 99 9 99 9 9  3 𝑇 177 ∴ – 3𝑇 177 339 39 39 45 ∴𝑛 45  𝑛 1 9––∴ 3 – 3 9 3 3  3 •––  9 9 9 2•• 9 •99 9 ∴ 500m ∴ ∴ – – 𝑇– 219 3𝑛9 ∴ ∴ 9– ––9 9 9 9 –––∴∴ –––––y9 y∴ – 3 ∴ ––6 ––y9 3 – 6 – ––16or 1 2 or • 1 •––yy– y9 –––12or ––99 ∴9 –9999 • •99 9 • 99  ∴ ∴ – 9𝑆𝑛 𝑎9 9177 𝑇 9 177 73 9339 9 𝑎 3 39 93 3∴3𝑛 3 ∴ 3𝑛 ∴ ∴ 9  3 𝑎  –– 9 – 3 – – – • –∴ ∴ ∴ ∴ ∴ – y ∴ ∴ ∴ 9––y–6 – – –216or – 2 – 2   ––1 9 9 • –y 9 9 9 9– – 9 99 9 •∴ 9  9 9 9  – – 9 9 9 1 9 9 9 9 9 9 9 9 9 (4) 9 9 – 2•• 9 •99– 9 99 – – 9 – 99 9 • –––––––1––––––12–𝑑••–––––12••–– ∴ ∴ 𝑑 ∴ 2𝑑 ⋯ y – 6 or – 2or– y y 99 99 9 9 9–∴ 9–––––9  ∴ – – 219 ∴2 –9 9 9 ∴ 9 9 ∴ ∴ –219 3𝑛3𝑛 ∴  𝑑– –98–––𝑎1•–––∴ ∴–––––9∴ ∴ 3 9 99–∴ • 9 1 • 9• 9 9 9 ∴ ∴  –  𝑆 9 𝑛 𝑆𝑛𝑎𝑎 99… 𝑎 𝑛 ∴ 73𝑎73 3 3 ∴ ∴  – – 9 – – – – MARKS ∴ ∴ – – – y y ∴ ∴ ∴ 𝑛 9 9 9 –– y – 6 6 – – – 1 26or or• – –  – –9 9 1or– –y y 9 y9 9 – 9 99 99 – ∴ 9 ∴ 9 99 9 9 9 – – 9 9 9 • 9 9 9 9 9 9 9 9 3  ∴ – – •𝑇 9–… 39 𝑆 𝑎𝑛 𝑎𝑑 1 𝑑 45∴  𝑑 𝑎 𝑎 𝑑1•29– 𝑎 2𝑑 2𝑑 𝑛 2 9–––𝑎13 ∴–– ∴ – ⋯ 2 ⋯ ∴𝑛––– 𝑑 ––6𝑛1––––––112or ⋯ –1––––12 2 ––y 9 –99 –9999 9 2• 9 9 9– 9 9 • ∴ 𝑛 ∴ 𝑛2 ∴ – 𝑑9 1– ∴ ∴ –9 y∴ 3 – 𝑑– 𝑑3 3 ––9 – 9 9 99  ∴ ∴ ∴  19𝑇  9 … 𝑎 𝑎2𝑑 93 3 ∴ ∴ ∴ 9 ∴    𝑎 – 9 – –𝑎 –– – 𝑑 – 2 2• – ∴ ––∴–––𝑛y2∴ ∴ ∴ – – – 𝑎 ∴ ∴ ∴ 9 9 3– ––y21–6𝑑– – ––𝑑–2⋯ 6• or –  ––– 9 9 • or 2⋯ –  9 –y y9 – –9 9 9 99 •∴ 9 ∴ 999 9 9 9 9 – 9• 9  ––9 9 91 9 9 9 99• 9 99 9 9 9 9 𝑆 𝑇 2𝑆 𝑆 𝑇 𝑎 2𝑎39 𝑎 𝑛 39 𝑛𝑛 1 𝑑 451 1 45 𝑑 𝑑  𝑎  •–– 1 1 2𝑎 𝑛 3 3𝑛 ∴ 𝑑 – – –  9 ⋯  99   9 9 ∴ – –– • 3  – ∴ – y – – 6 – or – – y 99 ∴ ∴ 9 – 99 1 1– ∴ 3 3 – 2 99 – 9   9  ∴ … …9𝑎 ∴ 1𝑎𝑑 –––9––𝑎9 𝑑– ––2•–∴∴∴∴∴𝑑∴–––––––𝑎y 9 y∴ ∴ 9 3–y 9𝑎––––––6 – 6–– 3 16or–9 • –1or–y –y99 9y9 –99 9 –•∴99 ––9 2 9• 99 9 • –9 99 9 9 ∴  – 219𝑇 𝑇 99 … 93 2𝑎93 𝑎2𝑑𝑛2𝑑 3 3 ∴ ∴ 9 ∴  – 3 – ∴ ∴ ∴ 9 – ––or ––9 –– •⋯– 9 9 ∴ 99 9 ∴ 9 9 9 9 – 9 9 9 9 9 9 9 9 9  ∴ – –– 2•∴– ∴ – 2𝑆 2𝑆𝑎𝑛2𝑎 𝑆 3 2𝑎2𝑎 𝑛𝑑𝑛 𝑛1 1∴ ∴𝑑𝑎1𝑑𝑑•𝑑–3  𝑑– 2𝑑2𝑎9–1 ––––9 2 2𝑎 1– ∴ ∴ –––⋯ –9y 9 y𝑛∴∴9 ∴𝑛9 –𝑛1–6 –––y 6–––𝑑–1216or 99 or 99 – 𝑑–  2or– y y 9⋯9 9  yy9 ––99–•∴∴9 999 9999 ––9 9•99 99 9 9  • 9 9 ∴ 3 … … 9…9𝑎 2𝑎 2𝑎 𝑛 𝑛 ∴ ∴ 𝑛 2 𝑑 1 – 1 3 – – 3 𝑑 ––𝑎• 3 ∴ ∴ ∴ – y y ∴ ∴ 9 9 y 6 6 1 ––––2699 – 6or or 𝑑 • – – 1or •3 y y 9 9 ––9 –∴99 9 9 – • 9 9 • – 9 –99 9 M ∴  – 19𝑆𝑆 9 M –––– 9– 9  12 2𝑎99𝑛 1 ∴ 24cm ∴–⋯ –y ––y–6 9 9y9 9 99 1 𝑆 𝑆𝑎9 𝑎𝑛 𝑎2𝑎 𝑛𝑎𝑛2𝑎𝑎𝑑𝑛1 𝑑 9 ∴ ∴ 𝑎𝑑  𝑎 2𝑑 3 2𝑑 3 2– –2 ∴ y ∴ ∴⋯9 6 or or 9 2or–––y y99 9 9–99 • 9 9 • M∴ 9 3• – – 2𝑆12 𝑆 M 𝑑𝑛1∴  •– 1 𝑎 𝑑 – 24cm 𝑛– 1 ∴ –––y – 2∴ 9 𝑑 – –  ⋯99 ––1–9  y93 9 9 9 ∴ 9 9  2 9 –  9  3 9 9  𝑎∴ ∴𝑛9 9–––y 6 6𝑛19––––16or y 9y9 ––99–∴9 9 99 9 𝑎 –𝑏–– 3 –––𝑑–9 𝑑– ∴ ∴ 1or 999 99 M∴  –0 2 …9 …9 𝑛𝑑21 ––3 ∴ 𝑎y∴ or – 𝑑– 3 •9 9–  ∴ M𝑎 30 19 𝑆 9 3 𝑆 9 99 2𝑎 𝑎 𝑛𝑎2𝑑 2𝑎 𝑛𝑛1 ∴∴ 𝑑𝑑2 𝑎 9𝑑 𝑎–– 𝑎 𝑛 –∴ –𝑑3 – 2• ∴ ∴–––– – –Page 𝑛y ∴ 9 3 – – y 6 –𝑑–2⋯ 6or – 9 – –2ory 9y9 – –∴9 9 9 9 9 9– 9 9 – 9 –1 9 9 9 – 99 9 𝑏𝑆2𝑆M 3 ∴ y𝑛2∴ 9 –––y21–6 9 ∴9 • 9 𝑑– 9 M 𝑆 𝑎2𝑎𝑎 𝑛 𝑛𝑛1 𝑑11∴ 𝑑 – – ––2𝑎  –1∴ ∴ 9 𝑑– 9 99 or 99 –– –⋯ ⋯– y99y –99 999 – 9 92•–99 9 9  9 9 ∴𝑎  𝑏𝑎M –– 9 3 – 33 3 – ∴ 9 –  9 ∴ 9 – – 6 or–  99 9 9 9 9 ∴ – 24 23 ∑9 M3 𝑏12 9… 9 … …1 9 992𝑎𝑎2𝑑𝑘𝑛5𝑏 𝑎 2𝑎 ∴ ∴ 1 2𝑑 ∴   1 𝑎𝑑 – – – 4– –𝑎𝑑 – 3 1• • 3 – ∴ ∴ ∴ 𝑑 –– 𝑎y∴ ∴ ∴ 9 9 9 𝑎– 3 – – – 6 –– 3 – – or ––9 – – –y9 9 –9 –••∴9 – 9 ∴ 9 9 9 – 9 9 9 9 –1 9 99 9 99 9 9 99 – 𝑎  3 𝑏 𝑏2𝑆  3  ∴𝑑1𝑑 𝑑–––––––2𝑎–122∴𝑎 ∴ ––––y𝑛∴ – ∴9 –9 9––––y𝑛169 9 ––𝑑16 –– 99 or –𝑑9or ⋯– – y 9⋯y9 99 9 ∴9 9 9 9y9 – 9•or–99 9 9 9 • 99 ∴ ∴𝑎 3 𝑏𝑎24 2 –– 9 432 •∑–∑2𝑆 33 5𝑏3 3 𝑏 12– 𝑛2𝑎 3 3 9 2𝑎2𝑎 𝑛5 4𝑘 ∑ … …12𝑎12𝑎 𝑘𝑛 ∴9 2𝑎 𝑛 𝑛1 1∴ 5𝑏 ∴ 3 ∴   • 3 – ––9  1 1 ∴ 𝑘𝑛11 𝑑1–14𝑑 4•∴– y y 6 6or ory y ∴  9 y ∴ ∴ 6 – – – or – –– 9 – y 9 – –99 •∴ 9 9 9 9  –6 2 – 9 9 –1 – 9 99 9 y 9 99 9 – 9

–––9–– Downloaded – ∴ 9∴ 9 –– f rom St anmorephysics. com 9 9 9––9 – –– 9 ∴9 ∴ –9 9 9 – 9 9– ∴ – – 9 – – ∴99 9 9 – – ∴QUESTION –6 – 9 9 9–– – 9 9 – ∴ 9∴ –  – – 9 9 – – –– 9 –– –– ∴ 9 9 –– 9 ∴ 9 9 9–––––––– – – – 9∴99 ∴ 99 – – –form 9 – 9999 – – Standart 9 –9 – –– – – – – – – – – ∴ ∴ 9 9 9 –– – ∴ ∴99Standart 9 S/R – form 9 9 –9 – –––– – – – ∴99 9 9 9 99 – 9–9 – – 9∴99∴ – 9 9 –9 – –––– –9 9 9 9 9 9 9–– 9– – ∴ ∴9∴99S/R9– 9 9 9 9 – 9 – – 9 9  –9 – – – – – 9 9– – 9 9 9 9 9 9 Standart 99 – form – – – ∴ 9 9 9 9––––– –– – – 9 9 9 99 –– – – – – – – 9 – 99∴9 ∴9 – 9 – – 99 9 9 Standart 9 – S/R – –– – – – – – – ∴ 9 9 9 9 form 9 ––––––– –––9– – 9 ∴9∴9∴9 9 9 99 9 9– – – 999 – ––––––––––––––––– – –– – ∴99 9 – 9 ∴9 9 9 9 9 9– – 9 9 9 – 9 9 9∴– 9 S Standart 9form 9 ––––9 –––––––– ∴–ArAr–eaeaΔA Ar ea ΔDE A AD 9 ∴9 99 9 9 9 – – 9 DE AE –– – –9 9 DB 9 9 9 = = – – = ΔDBE Ar ea ΔDEC ∴9 9 59 –9 EC 9 9 9 – – ––– – 9 – – – – 9 9 – – 9 99 • • MARKS 9 – 9 – 9 – – –9 9∴9 9 9 9 9 – 9 9 –– – ∴9 9 9 9 –9 – 9 – ––––––––99 –9 – 9 9 9 9 1 99–9 – – – – 99∴9 9 99 9 9 9 – • 2 • 9 – 99 9 1 – ––––– ––––––•––99 – – –9 –– – 9 9 •99 9∴9 9 9 9 99 9 – 9 9– 9 – 9 – 1– 9 – 9 999 99 2 9 – 9–––––•–––––•9–9 – – – – – – •99 9 9 • 9 ∴99 9 9 9 9 – 99 9 ––1 – –129 – 99 9 99 • • –––9 – • 9 ––––– 9 – •99∴99 9 9 9 – – 99 9 ––2–– –29–– – –1 – –– 99 9999 9 9 99 9 Page9 910 1 – – – – 9 2    9 99 • –x–4 3x •3– 4)( x12 +5) –53 12 –0(––or=–––9 – • 9999 9 9 999 • 9

– ∴ –– – 9 – ∴ – – 9 – ∴ –– – 9 –– Downloaded f rom St anmorephysics. ∴ –– – com ∴9 9 ∴ – – ∴ – 9–– ∴ – – 9 – ∴ 9– – 9 ∴ –– – ∴9 ∴ – ∴ ∴ – 9 –– – ∴9 9 – – – 9 ∴ – – 9 – 9 ∴ – – ∴ – 9–– – ∴ – ∴9 9 – – 9 ∴ – ∴ ∴ – 9–– 9 –– – ∴9 9 – 9 ∴ – – ∴ ∴ ∴9 – – 9 ∴ – – 9 ∴ 9– 9 ∴ – – ∴ –– – ∴ 9 9 – ∴ QUESTION ∴ ∴  –9 9 7––– – ∴9 – 9 9 ∴ – – ∴ – 9–– 9 ∴ ∴ –tans from the same point) ∴ 9 ∴ 9––––– –– ∴ ∴ 9 9 – – 9 9 𝐵 𝐵𝐵𝑥𝑥 𝑥 ∴ ∴𝐵9 –– reason– 9 9 𝐵𝐵 A 7.1 𝐵 (BC=CD; – –  – ∴𝐵 𝐵 𝑥 𝑥 ∴ ∴ 9 – – & 𝐵 𝐵𝑥 𝑥  – ∴ ∴ – –––– –– 𝐵 𝐵 9 Standart 𝐵 form 9 𝐵 𝑥 ∴ ∴ 9 – – 9 9 𝐵–– – 𝑥𝑥1– 9 𝑥––––chord– th) ∴ 9 𝐵𝐻 𝐻𝐵11 𝐻𝐵 𝐻 𝐵 𝐵 𝑥𝑥𝐵 1𝑥1 𝐵𝑥𝐵𝑥 𝑥 (tan 𝑥𝑥 ∴ 𝑥 ∴ 𝑥𝑥–chord – th) or – 𝐻 𝐻11 𝐻𝐻1𝐷 𝐷11∴ ∴𝐷 𝐷𝑥1 (tan 𝐻 𝐻𝐵 ∴19 ∴ 𝐵119 9 A𝐻1 – 9 9 𝐻 𝐵 𝐵𝐻 11 𝐵 𝐻 𝑥𝐵 𝑥𝐵 – 𝐻 𝐻 11 𝐻 𝐷𝐷 111∴ ∴ 𝐷 ∴ 𝐷1–– 9𝑥𝑥 9 ––𝑥–––– –– 𝐻𝐻 𝐵19 ∴ 9 –𝐻 𝐻𝐵1 & reason 𝐵 99 𝐻 1 𝐵 𝑥 𝐻 1 ∴ 𝑥 𝐵 𝐵 𝐷 𝐷 𝑥𝐻 1 𝐻 𝑥 ∴ ∠ 𝑥 opp ∠ – opp eq eq al al ide )ide )1 1 – – – – 𝐷 ∴ 9 𝐵29 𝐷211 – 9 Standart form 𝐻 9 𝐻 𝐻 𝐷 𝐷𝐻1221 𝐻 𝐷𝐵𝐵 𝐻 2 𝐻𝐵121 1 𝐵 𝑥𝑥1𝑥𝑥1∴ 𝐻 ∴(∠∠ 𝑥𝑥 opp opp opp∠ –eq eq eq oppal –opp al al eqide – ide ide 𝐻 al 𝐻 𝐻1))1 ide 1) ide 𝐻𝐷 ∴ 𝐷 ∴ 𝐷𝑥𝑥1– 9 𝐷11))111∴ 𝑥 – 9𝑥 𝑥–––––– – 𝐻 𝐷 𝐻𝐷 𝐻∴ 1219 A𝐻 𝐷12 – – 9 𝐻 𝐻 𝐷 122 𝐻 𝐷 𝐷 𝐵 𝐵 𝐻 1 2 11 𝐵 𝐻 𝐻 𝑥 𝑥 𝑥1 ∠ 𝑥 𝑥 ∠ ∠ opp eq eq al 𝐻 al 𝐻 ide 𝐻𝐷 𝐷 ) ∴ 𝑥 ∴ 𝐷 𝑥 1 – ––– 9– 𝐻 𝐷 ∴ ∴911229 9 9 𝐷 –𝐻 12 & reason 9 9 𝐻 1 𝐷2 𝐻𝐷 𝐷 2 𝐷𝐻𝑥𝑥𝑥𝑥∴ 1 ∠∠𝑥𝑥𝑥–opp opp –eq aleqideide 1 1 ∴ –9 – – – – 𝐻 𝐻 9 𝐻𝐷22 Standart form al )))ide 𝐻 1 𝐷𝐻 1 1 𝐷𝐻 𝐻 2 𝐷 𝐷𝑥𝑥𝑥11∴∠ ∠ –eq opp al ide )) ∴ ∴ –– 9–––––––– 9–– 𝐷 𝐻𝐻 𝐷2122229 ∴ 9 9 𝐷𝐻 9 99 𝐷 𝐷𝐻222222 𝐷𝐻 𝐻 𝐻𝐷 22111 𝐻 𝐵𝐻211 𝑥 22 𝐷 𝑥 (tan 𝐷𝑥 ∠ 𝑥 opp –∠ 𝑥 opp∠ chord opp eq eqoppth) aleq al ide ideal ) ∴ ∴  ∴  – ––––– 9– 𝐷∴ 𝐷 𝐻 ∴ ∴92229 9A–𝐷 𝐻𝐵2222 –– – – 9 9 𝐷22 𝐻 eq al ide ) ∴ 𝐷∴ 929 2 𝐻2 & reason 𝐻 𝐻𝐷𝐷 𝐻222 𝐵 𝐻 𝑥𝐷𝑥𝑥𝑥∴ ∴ 𝑥 – 9 ∴ –9 9–––––– ––– 𝐻 𝐻 9𝐻 𝐵2 – 9 – –9  Standart9form – 𝐻 𝐷 2 𝐷 ∴ 𝑥𝑥 ∴ ∴ – – –– 𝐻 ∴2229 𝐻 99 𝐻 𝐻 𝐻2222 𝐻 𝐻 𝐻 𝐷 𝐷𝐷122 𝐷 𝐷 2 𝐵 𝑥𝑥2𝑥𝑥 𝑥∴ – – – 𝐻 ∴ 1 ∴  1– ––𝐷 – 9 𝑥 – ––––– 9 9––– 𝐻 𝐻 𝐻 ∴ ∴9229––9 9 𝐻 𝐻𝐷21 –𝐷 – 9 9 𝐻 𝐻𝐻 2 𝐷 𝐵 𝐷 𝑥 ∴ 𝑥 𝑥 𝐻 ∴ ∴ 𝐷 – 9 𝑥 – – –– 𝐻𝐻 9 ∴29 𝐻– 2 9 𝐻𝐷𝐷22 2 𝐷22– (4) 9 1 𝐻22 𝐻𝐷2222 𝐷𝑥22∴ 𝑥  – – 9 1 ∴ ∴  1 –– 9 –9 –––––––––– – 𝐻229 ∴ 9𝐻 𝐷2222– – 𝐷 1 9 ∴𝐻2 ∴ 𝐻𝐷 𝐻𝐺//𝐵𝐷 𝐻𝐺//𝐵𝐷 2 𝐻 𝐷 2∴ ∠ 1 ∠𝑥𝑥 ∠=)∠ opp ∠ opp –=) eq al – al ide ) ∴ ide ) ∴ ∴  – – 9 9 – – 9–– ∴ ∴929 ∠S 𝐻– 𝐷2=∠ 𝐷= 9 2 9 99 𝐻∴ 𝐻𝐺//𝐵𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐻 𝑥 𝑥 – ∠=) =) eq  –– – – – – – – 𝐻 9∠ 9 – 𝐷 = 2 ∠𝑥 – =) 7.2 ∴ 𝐻∴ 𝐻𝐺//𝐵𝐷 𝐻𝐺//𝐵𝐷 𝐷 𝑥122∴ ∠ 𝑥 (proved above) – 𝐻 ∠ 𝐷 𝐻 𝐷 = ∠ 𝐷 = 9––––––––– 9–––– 𝐻 ∴22 ∴ 𝐻𝐺//𝐵𝐷𝐷 2 2 222 𝐷 𝐻𝐺//𝐵𝐷 =) ∠ =) ∴ 𝐻 ∴ 2 9 ∠ – 𝐷tandart 2 2 2 = form 2= 9 𝐻 𝐻 ∴𝐻𝐷 2𝐻𝐺//𝐵𝐷 𝐷𝑥 ∴ 𝑥  ∠–9 =)9 9 ∴ ∴  –– 9– – 𝐻 ∴ ∴ ∴9 2 9 9 𝐻 –𝐷 2 2 𝐻 22 ∠ = 2 ∠– 𝐷 2– 9 9 9 𝐻 𝐷 𝑥 – ∴229 – 𝐻 ∠R𝐷22= 2 22 ∴ ∴ – –– 9 –––––– 9 9 9 ∴∴∴𝐻𝐺//𝐵𝐷 2 𝐻𝐺//𝐵𝐷 2 ∴∠ ∠𝑥 –=) =) ∴ ∴ =∠ =form 𝐻 𝐷 =) ––––9––––––– 9––––– 99 ∠ ∴ 𝐻𝐺//𝐵𝐷 ∠ =) ∴ –𝐻 9 ∴ 𝐻𝐺//𝐵𝐷 ∴ 𝐻𝐺//𝐵𝐷 2𝐻𝐺//𝐵𝐷 (alt ∴ ∠ ∠ – – =) =) ∠ 9 ∴ ∴  – 9 9 ∠ Standart=∠ = ∴ 𝐵22 𝐵180° 𝐵 𝐻𝐺//𝐵𝐷 180°180° ∴ ∴2𝑥 –2𝑥 ∴2𝑥 ∠  –=) 9 ∠ – ∠9– ∠∆ ∆ ∆ ∴ ∴ 9 ∴ –9 – ––9 9––––– 9–– 9 𝐵 𝐵 ∴99 9 9∠∠𝐵2 =– =•– 9– •99  9 9––––––––– 9 –– 𝐵 2 𝐵180° 180° 2𝑥 2𝑥 ∠ ∠ ∆ ∆ ∴ ∴ 9 – 𝐵22 𝐵 180° 2 180° 2𝑥 ∴ 𝑥– 2𝑥 – 2𝑥 9 ∠ ∠∆ ∆ ∴ ∴  – – – 𝐵𝐵 22 229 𝐵2 1 9 (2) 9 9 𝐵𝐻 2 𝐷 180° ∴ – ∠ ∆ ∴  – –9 – 9 – – 9 9 9𝐵 9 𝐻 2 𝐷2–– ∴ ––––9–––––––– 9–––– 9A𝐺𝐵 –2𝑥 ∠9in∠∆∆∠) ∆ ∴ ∴ ∴ 9 99 𝐺 𝐺𝐵2222 𝐺𝐻 𝐵𝐵2222 180° 𝐵𝐷 180° 180° 2 ∴2𝑥180° 2𝑥9of2𝑥 ∠s∠ 9 𝐺∴∴29 –222 2• –– 𝐷 • •𝐵𝐵𝐺𝐺𝐺𝐵∴9 𝐵𝐺 𝐵𝐺180° 2 𝐵 180° 𝐵 2 180° 2𝑥 𝑥180° 2𝑥 2𝑥 ∠ 2𝑥 ∠ ∠ ∴ – 𝐵 9 29 𝐻 𝐵 9 7.3 (sum –  𝐺 –––9––•––––––– 9 9 𝐵 180° 2𝑥  ∠ ∆ ∴  –– 9 – 9– –– – ∠ ∆ ∴ 𝐺222 𝐵 𝐵2222 2 180°180° 2 ∴ 2𝑥 2𝑥 2𝑥 ∠ 922 9 – & reason 𝐺 𝐵 180° =) ∠∆ 2 2 2 𝐵 𝐵22 𝐺 180° ∴180° 𝐻𝐺//𝐵𝐷 𝐵 2 ∴ ∴2𝑥 2𝑥180° ∠ 9 ∠ 2𝑥 ∠ ∆∠ ∴ ∴   ––– 𝐵∴ 229 𝐵 2 9 9 𝐺2 𝐺29 2 Standart –1–∠ =form 9 9 𝐺 𝐺𝐵𝐵 2 2∴ 180°180° – – 2𝑥 =) 9 ∠– ∠ ∴ ∴  – 9 –1–––––99 – 9 2 2 9 9 𝐺 𝐺222 ∴ 𝐵 2 𝐺𝐵22 𝐵2 𝐻𝐺//𝐵𝐷 22 𝐵180° 180° 2 ∴ ∴ ∴ 180° 2𝑥 2𝑥 – ∠ – (ext 2𝑥 9 2𝑥 ∠– ∠ ∠ 9 ∠ of cyclic quad) ∴ ∴ 9 ∴   9 ––––9––– 9–– – 9 – • – – 9– 𝐺 •𝐺𝐺∴∴∴9 9229 29 9A–𝐺 𝐺–2292& ∠ =– 99 •–– reason 9 • 9 9 𝐺 𝐺 𝐷2211 𝐷𝐷 𝐵 𝐷222 𝐷22𝑥 180° 180°  2𝑥 –2𝑥 – ∠ ∴ ∴ ∴   •– –––9 – 2 •–– 9–––– 9–––11––––––––– 9 •𝐺𝐺𝐺∴92229 𝐺 9 9 – 𝐺––29 9 9 2𝑥– –•–9 99 2𝑥 𝐷 1 2𝑥∴ ∴ ∴ 929 1 Standart form – 9– 99 9 𝐷 𝐷2𝑥 9 ––––99––– 𝐷 ∴ ∴ – ∴ 9 𝐺 99 𝐷11 𝐷 Alternative 𝐷11222 𝐷 2𝑥 2solution 2𝑥 2 ∴ 2𝑥2𝑥1 – ∴ –  –9–2•– – – ••𝐺9 𝐺 ∴ 9 9 9𝐺 2 9 𝐷𝐵 𝐷180° – ∠ ∆ ∴ ∴  – ––2•––––––– 9––– 99 2 929 𝐺𝐵2229• 2 • 𝐷1111 𝐺𝐵 2𝑥2 2𝑥 2∴  – – ∠ ∴  –––––––––9 𝐺 2 1 ∴ 9  𝐺 2𝑥 𝐷 2𝑥 ––2𝑥 3 𝐺∴ 19 – 𝐺  𝐷 𝐷𝐺𝐺11 𝐷 1 𝐷𝐺 𝐷 1 2𝑥 𝐺𝐷2𝑥 2 1 2 2 𝐷 1 𝐷2𝑥 180° 2𝑥 2𝑥 2 ∴ ∴ ∴  2𝑥 2𝑥 –   2 9 •– 9 9 ∆ ∴ 9 ∴  • 9 9 ––11––––––99 9–––– 𝐺 𝐺 𝐺𝐺𝐺 𝐺∴9 9 1129 21 9 𝐺𝐺–122191 9– 𝐵 𝐺 9 9  𝐷 𝐷 𝐺 𝐺 1 𝐺1111 𝐺𝐺𝐺12𝑥 1 𝐺𝐷 1 2 180° 1 180° 2 2 𝐵2𝑥 2𝑥 180°2𝑥 2 2 ∴ 2𝑥 ∴2𝑥 180° –∠∠2𝑥 – – 1∠∠–2𝑥 9 ∠ 2𝑥 ∠ ∴ ∴ ∴  – –– – –––––9–2––– 9 9 –– 2 • – – – 9––––– 99 9 99 •𝐺𝐺𝐺∴∴9 9 2 29 2 9– 𝐺2112 2 – OR 9 9 99 9 9 𝐺𝐺 𝐺 2𝑥180° 2𝑥 2 𝐵 2𝑥 180° 2 2𝑥 180° ∠ –2𝑥 – ∴ ∴ ∴    •– – – • – 9 𝐺 •𝐺∴∴9 9 1 9 9 𝐺 9 –𝐺–119 9 – –  2•∠ 3 9  𝐺111 𝐺 180° 11 2𝑥 180° ∴2𝑥 ∠ 2𝑥th) 9 9 9 ∴ –9 9––––––– 9 1 – – 919 1 2 9 𝐺 𝐺11 𝐺2𝑥 2𝑥 1 (tan180° ∴ ∴chord ∴  –– 2𝑥 ∠ 9 99 ∴ ∴ –––––9 9 –– 𝐺∴9 𝐺 9 9 • • 9  𝐺 𝐺11 𝐺180° 1 180° 180° ∴ 𝑎2𝑥 2𝑥 ∠𝑏 ∠ – 9 2𝑥 13∠ 3 – ∴ ∴    – – –  – 2•– 1 – – 9 9 9 9 ––– 99  •∴9 9 9 11 9 – 9– 1 – – 9 99 9 9  𝐺1 𝐺11 𝐺 𝐷 180° 180° 180° 𝐷 2𝑥 ∴ ∴ 2𝑥 – 2𝑥 ∠ ∠ 2𝑥 3––  ∠ 9 99 – 3 ∴ ∴ ∴  ––––9–2•––––– 9 – – – – 9––––9 99  9 9 •∴∴9 9 9 9 9 – –𝐺 –2• 9  – – –  9 • 9 𝑎  2𝑏• 3 9 • 99 A 𝐺11 180° 2 ∴ 1 ∴2𝑥 (∠s on a str 9 – line) 99 ∴ ∴   – – 9––9  1– – – 9 9 – 9 2 & reason 9  𝐷1 𝐷2 ∴ ∴ 2𝑥 𝑎 –𝑏𝑎–9 13 –9 3 𝑏 2𝑎 5𝑏 ∴ ∴ ∴ ∴ – –––––––––12•––––––––– 9 9––––9 –99 9 – 99  •∴9 9 99 9 –𝐺 9 9 –𝐺–9 2 1–– Standart 9 form 9 𝐺1 2𝑥∴   9  – 9 – – 211•–––99–– ∴ – – – •𝐴𝐴∴∴9 ∴ 9 –𝐸619 –2or  – –99  9  𝐴 𝐴𝐺 𝐴 𝐸𝐴122 𝐸𝐸2𝑥 𝐸 2 ∠ ∠∴𝑎 3∠3– 𝑏29 2 𝑏 3 5𝑏 3 3 9 99 ∴ ∴ ∴9 ∴ –  ––––––––9 –––1•–––– 9 9– 9  •𝐴𝐴∴∴9 9 y9 9A𝐴 𝐺 𝐸 9 –𝐸2 y 9 9  221•––– 9–––– –99  𝐴 𝐸 ∠ ∠ – ∴ 9 99 9 –𝐸𝐴 1 22 & reason 𝐸 ––𝐸  𝐴 𝐸 𝐴𝐺 21 𝐸2 ∠ 2 2 180° ∴ 𝑎  –∠𝑏𝑎 6 ∴  2𝑏 –9 2𝑥 33– ∠ –5𝑏 3 𝑏 9 2𝑎 5𝑏∴ ∴  – – –9 ••𝐷∴9 9 𝐸 𝐴 22 9 9 9229form 9 99  •– Standart  •∠∠– 5𝑏∠ 9  – 9 𝐷 𝐷𝐴 𝐷 𝐴 𝐺 180° 180° 𝐸 𝐸180° 180° 2 𝐸 ∠𝐸2222 3𝐸 ∴ 𝑎 𝑏 ∠3– 22𝑥 –𝐸2 –2𝑏–3 9𝑏∠ 3 BE//CD) BE//CD) – 9BE//CD) –99  ∴ ∴ 9 ∴  –––––––9––12•–––––99 9–– –99 9––– 9 𝐷 𝐴 9 9y9 9 9 𝐴 9 𝐷𝐸62 –•or y –99 – 𝐸 2 • 9   𝐴 𝐴𝐷𝐷 𝐸 𝐴 180° 𝐸 𝐴𝐷 21 180° 𝐷2 𝐸2 2 𝐸180° 180°2 ∠ ∠ 𝐸 𝐸 ∴ 2 ∠ ∠ 𝐸 ∠∠ –2 –9 𝑏∠9 BE//CD) 1 BE//CD) ∠ 3 BE//CD) BE//CD) ∴ ∴9  –  – ––9–11•––– 9–––9 –99  – 1 2 2 – – 9 𝐴 ••𝐴𝐴∴9 𝐴 𝐷𝐷 ∴9 9 9 –𝐸 9 𝐸𝐴 𝐷 𝐴𝐷2291 𝐸 𝐸2 (2) 9 𝐴 𝐸 𝐷 2 180° ∠ ∴ ∴ 𝑎 𝑏𝑎 𝐸––2 2•––∠ 5 3 3 3 9∠ 2𝑎 BE//CD) 5𝑏∴ ∴  •––––––––9 – –– –2•––– 9 ––– –99  9 9 𝐸 𝐷 29 9 –92  9 9 6 2𝑏  3 5𝑏 3  𝐴 ∴𝐷𝐷 𝐸2𝐷 𝐷 ∴180°2 𝐴 𝐴∠ 180° ∴ ∴ 180° 9 9   ∴ ∴ 9 9 𝐷 9 9 𝐷 𝐸 2  𝐷∴ ∴ 𝐷 𝐷 𝐷180° ∴ 180° 𝐴 𝐴 𝐷 180° 180° 180°𝐴 𝐴𝐸∴ 𝐸𝐸𝐸 2 𝑎2 2 3 𝐸 180°3 – 𝑏 – –1𝑏∠ ∠∠ 5𝑏 3 BE//CD) BE//CD) –∠ BE//CD) ∠ – 3 BE//CD) ∴ ∴ ∴9y  – – –––69 1 2 2 • or – – – ––– y9 9 ––– 9 99 𝐷 •𝐷𝐷 𝐷𝐷 𝐷∴ ∴9 y9 9 9 – –𝐷𝐷 9 𝐷9 –6 2 9 • 2or y 9 •99  𝐷 𝐷 ∴ 𝐷 180° 𝐷𝐴 ∴ ∴ 180° 𝐷 180° 𝐷 𝐴𝐸∴ 180° 𝑏 ∴2 2 180° 𝐸 180° 2 – 2 2 3 ∠5𝑏93 BE//CD) BE//CD) BE//CD) 8∴ MARKS ∴ad  – – – ––– 9 – 1– • p)––21121••–––––9 9 9 9–––– –99 –9 99  ••𝐷 𝐷∴ ∴9 9 9 9 𝐷 9 9 9  – 3 23––– 9 1 9  ∴∴∴𝐷𝐷 ∴ ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴 180° 6 𝑎2  𝑎5 180° 2𝑏–  3 9 𝑏 9∠9 ∠  2𝑎 q∠∠ad q adq5𝑏 q ∴ ∴ ∴ p) p) ad – –9 – p) or–9y9–9 –99 9  9• 𝐷 𝐷∴9 9 9 9 –𝐷– 9 – –99 9 9 3 ∴ ∴∴ 𝐷 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ ∴ 𝐴𝐷𝐷𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴 180° 𝐴∴ ∴ 𝑏 39 180° 180° ; 36– 2 ; –33 3  ;5𝑏… ; ∠ ∠–99177 q ad q∠ad q ∴ ∴ad ∴ p) p)  y  – –––––6 9 p) ––1221••– 1 –– – 99 99 ••𝐷 ∴9 9––𝐷 9 𝐴–69 92or––𝐸 y 9  ∴ ∴ 𝐷𝐴𝐶𝐷𝐹𝐷 ∴𝐴 𝐴 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴 2180°𝐸 180° 2 3 𝑎 y 𝑏––9 ∴ ∠ 𝑏 6 3 – 3 93 ∠ adq ∴ q ∴ ady 9• – ––––––p) 9 p) 6 9 221••––  – 2or – – y9  9––9 – –   9•∴99 –𝐴 9 • 𝐷 𝐷 ∴ ∴ ∴9 9 y9 9 9– 𝐸 2 – – 9 9 3 ∴∴∴𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴 ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐸2 ∴ ∴ 𝑎 177 ∴ 6 ∠52𝑏– 33 • or ––5𝑏393y ∠ 9∠𝑛99 ∠ qqq∠1ad ad ∴ ∴ ∴ 93 p) p) ad p)   – 3 ––1121•––9 9–– –99 99 9•••∴ 9 9 92 99 9 99 ∴ 𝐷 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 180° 𝑎 ∴ 𝑎 –𝑏 3 𝐸  𝑏 3 9;3 9 3 ∠ ∠ ∠  qq BE//CD)∠ ad ad q ∴ ∴p) ∴ ad p)  y9–––––6–9 – – 9 p) ––121221or •or • 9yy9 ––––9 9 9––––9 – 9 –99    ••𝐷𝐷∴∴9 ∴9 99 9 –𝐷9– 9 – – 9 9  𝐷 𝐷𝐷 𝐷 𝐷 𝐸 𝐸 𝐸𝐷 1 𝐸180° 𝐸1 39 𝑏 ∴ ∴ ∠s𝐸 ∴ 177 ∠s ∠s; 36– 2 92∠s 𝑎––2 ∠s ; 3–1 33 9 3 39 … 3𝑛 ; 𝑏∠ 92𝑎 –177 3 BE//CD) 5𝑏∴ ∴ ∴ 9 y – – – 6 9 9 – 2 1 • •– –––9 9 – 99  9•𝐷 9 9 9𝐷 9 𝐸 –𝐷 𝐸 9 –1119 𝐸𝐸11 –   ∴3y •––––––69  •–––––9y9–– 9  𝐸 1 𝐷1 𝐸1 ∴ ∴ y∠s 6  ∠s •–39 or y ∴ ∴ 9 – – – – 2 1 – 9 – 9 – 99 ∴9 9 9 𝐸𝐷 9 𝑛 1 ∴ 1 1 𝑎 3 2𝑏  3 𝐷180° ∴ 𝐷 𝐸1 𝐴∴ 2𝐸 3 𝑎 219 177 180° 5 –  3 –𝑏∠s 3 3 3𝑛5𝑏 3  3 –   2 –12121or • 9 –99   9•∴ 𝐷 ∴ 9 9 y9 𝐷𝐸 𝐷619 𝐸 or– 1y 9 9  𝐷 𝐷 𝐸 𝐸 𝐸𝐷22 𝐸 𝐸 𝐷 ∴ 𝐸 𝐸2180° 𝐸 180°𝐷 1 180° 𝐸 𝐴 180° 39 ∴ ∴𝐸 𝑛 𝐸 ∠s 1 1 ∠s–∠ 177 ∠s; ∠ 180° ∠ 𝑎 36𝐸 – 73 𝐸1∠s ; ∠13 33∠ 39 ––3 9 ; …𝑏9 ; 3𝑛 9 2𝑎 177 3 5𝑏∴ ∴9 9–––– –––12•–––– 9 ∴ ∴ y – 6 1 2 or – y9 – – – –9 ––99  99 𝐷 •𝐷 ∴9 99 9𝐷 9 𝐸 𝐸 9 𝐸1 𝐸2 𝐸 1 180° 6𝐸1y  2𝑏 ∠– 5𝑏y ∴ – –9 –––––––p) –12212–––9 9––– 9 2 –99  𝐷  𝐸 •or𝐸911y –   9• 9 𝑏 2  2 𝐷 𝐸 2 1 𝐸180° ∴ 1 𝐸 ∠s9 1 ∠ 9 ∠1 q∴ 9•𝐷∴ y9 𝐸 𝐷 ∴9 9 –𝐸 𝐷619 1 – –  3  ∴ 9 1  ∴ 𝐸–611∠ or ––9 9– 9 99 1 𝐷 ∴11 2𝐴𝐶𝐷𝐹 1 ∴ 180° 2 ∠s 3 177 – 3 ∠ ∠39 5𝑏 – cyclic 3𝑛 99 ∴ 9 ad 3𝐴𝐵𝐸𝐹 3 9 1• 99 9   𝐸 𝐷 𝐴 𝐴 𝐴𝐸22 ∴ 𝐸 𝐴 180 180 180° 180° 𝐸𝐴 2 180 𝐴𝐶𝐷𝐹 180° 180 𝐸 𝐸 𝑏 ∴ 𝐸 𝑎 1 ∴ ∠s 𝐸11 𝐸219 𝐸 ∠ 1 – 2 ∠𝐸– ∠𝑏1 91∠ 3– of of ∠ 3 9 3𝑛 ∠ of cyclic cyclic 3of3𝑛 quad – quad cyclic quad 𝐴𝐵𝐸𝐹 𝐴𝐵𝐸𝐹 ∠ quad q ∴ ∴9ady9– 𝐴𝐵𝐸𝐹 – – – –––6p)9  – – • – ––21212•– or– ––– y9 9––––9 ––99 9 – 99   9•𝐷 𝐴 𝐴∴99 9 9𝐴 9 –𝐸𝐴19 19 1–– 9 9 9 9 9 2 180 𝐸 ∠ of cyclic –5𝑏 9 quad 𝐴𝐵𝐸𝐹 ∴ 9 99 • 𝐴 99 𝐸 180° 1𝐸 9 𝐸𝐴 2 180 𝐸 𝐴 2 180° 180° 180 𝐸 6 𝑇 39 11 𝐸 𝑎 ∴𝑛 11177 ;𝐸∠2𝑏 365 𝐸 1 73  – ∠ 39 ; 3 of ∠ 3339 – cyclic 3 ∠; …of945 ; quad cyclic 9 177  31 9 𝐴𝐵𝐸𝐹 quad 3∴ ∴ 𝐴𝐵𝐸𝐹 y3 – – – – – 6 1 • • or–  y – 99 99  • 𝐴 9𝐴 9 9 9 𝐷𝐴9 2  1 – – – –  𝐴 180 ∴ 𝐸 – – ∠ of cyclic quad ∴ 𝐴𝐵𝐸𝐹 –22•––9 91 – – 99  9••𝐷 ∴ – –2 – 3 𝐸 2 180° 𝐸1y219 𝑎 ∴ 1 ∠2 36∠– 𝑏 or 3y ∴3 – 9 ––––9 9 1 – 9 99 9 9 9 • • 9  ∴𝐴2𝐷 𝐴∴ ∴ 𝐴 𝐷∴ 𝐷 180 180 𝐴∴ 180 𝐷𝐴 𝐴 𝐴 180 𝐷 180 𝐴 𝐸180° 180° 180° 𝐸 𝐸 𝑏 ∴ 𝑇 ∴ 𝐸1 𝐴11∴ 1 180° 177180°–1 ∠ –∠3 393 of ofof 3𝑛 cyclic 39 ∠ 3 cyclic of cyclic – 𝑛–99 quad quad cyclic quad 1 𝐴𝐵𝐸𝐹 𝐴𝐵𝐸𝐹 quad 𝐴𝐵𝐸𝐹 ∴ ∴ ∴ 𝐴𝐵𝐸𝐹 y – – 3 –––––6 9 6  –2122or 1 • • ––– 9 y 9 9 – – – 9 9 – 99   9𝐴 ••𝐴𝐴𝐷∴99 𝐷 𝐷𝐴 9 9 9 9 9 –𝐴 𝐴𝐷 91– 𝐴∴ 𝐷 𝐴 ∴ 180 ∴𝐷 𝐴𝐷 𝐷 1𝐸 𝐸 𝐸180° 𝐴 𝐴11∴ 𝑎 𝑎𝑛 𝑇 177 𝐸 180° 𝑏 180° 𝑎– 5 1 – 9 73 ∠ 3 ∠s 39 3 of – 39 9 ∠ 3 𝑏 of 3 cyclic 9 3𝑛 45 cyclic quad 2𝑎 31 quad 9 𝐴𝐵𝐸𝐹 5𝑏∴ ∴ 3∴ y 𝐴𝐵𝐸𝐹 9 – – –– –9   – 1 ––212or 1 • or –– –– – 9 y – –9 – 99 ––99  99   • 9 𝐷9 9 3  ∴ 𝐴 ∴ ∴ ∴∴ ∴ 𝐷 𝐷 180 ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐷 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴∴ 𝐴𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴 𝐷𝐴𝐶𝐷𝐹𝐸 180° 𝐴 180° 2 𝑎 ∴ 3180° 3 ∠ 𝑏 ∠s of 𝑏 cyclic 5𝑏 3 ∠ ∠ 3 ∠ quad q q q ∠ 9 ∠ 𝐴𝐵𝐸𝐹 ad ad ad q q ∴ ∴ ∴adp) p) ad p) y y  3 – – – – – – p) – – 9 6  p) 6 – 1 • • or– – – 9 9 y y 9 9 9 – – 9 9 99   9 9𝐷 •••𝐷𝐷9 𝐴 ∴99 y9 9 –𝐷 6 92or𝐸𝐸1y 99 9 • 9 𝐷9 ∴𝐷 𝐴 1180°  219 3𝑛 q ad ∴ p)y – 6 – 2 2or – – y – 9 –99  9 𝐷 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ 𝐷𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴 𝑇 𝑆 ∴ 39 180° ; 36–𝑎 ; 93 33𝑎 ; 𝑑 3 … ; ∠ 𝑎 177 2𝑑 ∠ q ∴⋯ 9 ad  – p) 9 1 •– – 9  9 1  ∴ 𝐷 ∴∴ 𝐷𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴𝐸 𝐴 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴 180° 2 180° 180° ∴ 6 ∴ 𝑇 ∴𝑛 y 2𝑏 𝑎 𝐸 … 73 6 1 39 • ∠ 3 or –5𝑏 𝑎3 y𝑏 45 𝑛 9  2 2𝑎 𝑑1 q ∠ ad9 q 5𝑏 3 𝑎∴ ∴ ∴ ady p)  9 𝑛• – – – – – – –  p) 6  1 – – – – 1 2 1 • or 𝑑 – – – – –    9 9 y 39 – – – 9 9 – – – 99 99    9•𝐷 9 𝐷 ∴99 9 9 9or y 99 9 9  ∴∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐸 ∴ 2𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ 180° 177 𝐸 3 ∠ 39 ∠∠ 𝑛 q ∠9ad  1 q ∴ ∴ 3p) ady y 3 – – 3 – 6 p) 6 – 2 1or • or– –9 9 y y – 9 9 –99  9•∴ y9  9••99 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∠ q ad p) – – 2 1 – – –99 9 9 69 ∴ ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴 180 177 𝑏 2 ∴ 𝑆 39 𝑇 𝑆 3; 36– 2 𝐸1–… 39 𝑎 𝑎 1 𝑏 3 ; –1 33 93 𝑎 𝑛 ;5𝑏 …1 3 9∠yof 𝑑 ; 𝑑 ∠3 cyclic 𝑎 –177 q 𝑎∠ ad quad 2𝑑 q𝑛 ∴ ∴ ∴⋯ ad p)y 2 𝐴𝐵𝐸𝐹 – 𝑑 – – p) 9 6 ––6 – –––21212•• ⋯ 1 2 • or– – –––– –9 y9 9 9 –99 99   9 9 𝐴9    ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴 180∴ 𝑎 y  5 6 3 2or –𝑎 3 2𝑑3𝑛 ∠ 9 9q𝑎3 1 ad𝑑9 ∴ ∴9p)𝑎y9 9 – 3 – – – or 9 y9–– 9 9 9 –––99  9•99 9 9 3 6 ∴ 𝑇 𝐸 177 2𝑏 1 – … 3 39 •– 5𝑏 𝑎∠ 39 of 45 𝑛 cyclic 𝑛  2 𝑑1 quad 3 𝑎∴ ∴ ∴ 3𝐴𝐵𝐸𝐹 3𝑛• – – – – 3 –9 1  – 𝑑• – – –  3 – 9 –99 99  9••∴99 9 9 9 9– 𝐴 9 9 9 –––9 y9–– 9 –99  9 1 9  ∴ 𝐷 𝐴∴ ∴ 2𝑆 𝑏  ∴ 𝑆 219 180° 177 – 2 – 𝑎 – 𝑎–… 2𝑎 3 39 3𝑛𝑛 𝑛–9𝑑13𝑛 1 𝑑 𝑑9𝑎– 3𝑎2𝑑 𝑛 ∴ 2𝑎 ∴ ∴ y y𝑛 9𝑑––––69 2 – – 1 6 9𝑑 – –122⋯2 • or or • – – ⋯y9 9 –99  9•99 9 𝐷 9 9  ∴ 𝐷 𝐴∴ 𝑇 𝑎𝑛 5 180° 73 3 93 1 𝑎 3 2𝑎 33 𝑛 1 𝑑 3 99 ∴ ∴ ∴ ⋯ y –––6–12121or y 𝑛–––––63  – • •or –– y– 9 –99 – – –––– 93 y9 9 –99  –99  9 ••∴99 9 –𝐷 9 9 – –  9 3 ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹∴ 2𝑆 219  ––… … 𝑛 2𝑎 2 𝑎 2𝑑 –𝑎3𝑛𝑛 𝑛 1 29 𝑑 𝑑∠ 𝑎 3 𝑑9𝑎∴ ∴ 𝑎 y 9 61–  1𝑑 or 9 y9 –– 9  9 9••∴99 9 9 9  𝑎 2𝑆 39 𝑆𝑛 ; 𝑏 36 9 𝑎 73 2𝑎; 3 33 𝑛 3;𝑛3 …1 ; 𝑑1 𝑑 177 𝑎 3 2𝑎 𝑛q ∴ ∴ ∴ ad Pagey y 𝑛2 –𝑑 – – – 1 – – p) 6 6𝑑 11 – – 2 1 2 2 ⋯ 1 • • or or – – –9 9⋯y y 9 – 9 9 – –99 99  9 ∴99 ∴ 9 9–– 9 – 9 9  ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ ∴ 𝑆 𝑇 𝑎 177y  –𝑎–… 3…3 6 2𝑎 39 𝑎 or 𝑏 𝑎39– 2𝑎 𝑛 3 𝑑 y 45𝑛1 9 𝑑 𝑎 2𝑑 𝑛 𝑎91 𝑑 1 1∠ 𝑑2𝑑 3 q 3∴ ∴ ∴ ⋯ad y y 𝑎y3 9 – 3 – – p) – 6 9 6 –6   – – 2 2 1 • or or or – – 9 y y9 –9 y9– 9 9 99  9 – –99 99  9 • 9 9 – 9 9 ••∴∴9  ∴ 3 – – 3  1 – –  9 ∴ 9– – – 9  ∴ 2𝑆 𝑇 2𝑆 𝑎 2𝑎93 …𝑛 2𝑎 39 𝑎 3 𝑛𝑏𝑛 𝑛 1 99 2𝑑 1 𝑑 2𝑎 2𝑎 𝑑 3 𝑎 5𝑏 ∴ ∴ y y 𝑛 𝑛9 – – – – 16 6 61 𝑑– – – 2 1 1 • or 𝑑 or • – – – –––– 9 93 y y ⋯y9 9 – 9 – –99 99  9 9 9 9 9 9 39 𝑎 𝑇 𝑆 ∴ 177 ; 36 𝑏 9 𝑎 ; 33 392𝑎3 𝑛  9 ; … 3 1 3𝑛 ; 45𝑑 177 31𝑑9 3 93∴ 3 𝑛 ∴ ∴ ∴ y y y 2 3 – –𝑑 – – – – – 6 6     – 1 2 2 ⋯ 2 or • or or – –     9 9 9 y y – 9 9 –99 99     9 9 9 •∴ y9 9 9 9– – 9  𝑆 ∴ 2 𝑎 3 y3 219 177 3𝑏 … … 6 𝑏2𝑎 or 𝑎 3𝑛 39 𝑛y 5𝑏 2𝑑 𝑛1 3𝑑 𝑛 1 𝑎 1 𝑑 ∴ ∴ 3 ∴ – 𝑎y 9 – – 31•– 9 – –6 – – 1 2 1 2 1 1 • or – – 9 9 y – 9 – –99 99 9• 9 – 9 9 9 • ∴ 9 9 6 or y 9

𝐺2222222 𝐵 𝐺2222 𝐵𝐺 𝐵2 2 180° 2𝑥 ∠ 𝐺𝐺22 – 𝐺 𝐺222 𝐵22222 180° 2𝑥 2𝑥 ∠ 𝐺 2 180° 𝐵 180° ∠ 2𝑥 ∠ 𝐺 𝐺𝐺22222 𝐵 180° 180° 2𝑥 2𝑥 ∠ ∠∴ 𝐺𝐺𝐺2222 –– – 9 22 2 – ∴ – – 9 𝐷 𝐷 2𝑥 – ∴ – – – 9 – 𝐷𝐷 1 𝐷𝐷22𝐷11 2𝑥 2𝑥 𝐷22 2𝑥 2𝑥 – – – ∴9𝐺 𝐺 – 𝐺 9 𝐷 1 𝐷 Downloaded 𝐷1111 𝐷𝐷 𝐷212 1 ∴ 2𝑥𝐷 𝐷2𝑥 𝐷 2 2 2𝑥 2𝑥– – f rom St∴ anmorephysics. 9 – com ∴ 𝐺𝐺2222 – 𝐺 𝐺 𝐺222222– 9 𝐺1 2𝑥 2𝑥 𝐷 𝐷 2 2 1 1 1 11 𝐷𝐷 2 2 2 22 2𝑥2𝑥 ∴ – – 9 𝐺 2 – 𝐺𝐺𝐺222 𝐺 𝐺11 2𝑥 2𝑥 – – – ∴ 9 –𝐺1 2 9 𝐺𝐺1 𝐺111 𝐺 1 2𝑥 2𝑥 𝐺 𝐺 2𝑥 𝐺 𝐺𝐺111111∴ 2𝑥 2𝑥 2𝑥 2𝑥 – ∴ ∴ 9 – – – – – ∴ 9 𝐺11 𝐺𝐺𝐺11111 𝐺 𝐺 𝐺1 – 𝐺 9 𝐺1 180° 1∴ 2𝑥 2𝑥 ∠ – 2𝑥 –∠ ∴ – 9– ∴ 9 1 –– 𝐺 1 𝐺1111– 9 𝐺 𝐺𝐺11 𝐺 180° 180° 𝐺𝐺 180° 180° 2𝑥 2𝑥 2𝑥 ∠ ∠– 2𝑥 ∠ ∴ ∴ – – – ∴ 9 9 – 9 180° 180° ∠∠2𝑥 9––– 1 𝐺 1 2𝑥 ∠ ∠ 1 – ∴ – 9 – 𝐺111111∴ 180° 𝐺11 180° 𝐺 1 180° 2𝑥 2𝑥 ∠ ∴9 9 𝐺 ∴ 180° 180° – 2𝑥2𝑥 ∠ ∠ ∴ 9 ∴ – – 9 ∴ –– – ∴ – 9–– ∴9 9 ∴ ∴ – 9– – – ∴ ∴ 9 – – 9 9 ∴ – –– ∴ ∴ 9 –– 9 9 –  ∴ ––QUESTION ∴ ––– – ∴ 9 – 9 –– 8 ∴ 9– 9 ∴ ∴  9 –– 9 – 9 𝐴 𝐸 𝐸 𝐴∴ 𝐸∠ ∠– (ext – ∠ of cyclic quad)∴ ∴  – ––––– ∴ – ∴ 9 ∴9 A 𝐴 ––𝐸 – 𝐸2𝐴𝐴form 9 𝐴 𝐸𝐸222𝐴 – – 9 𝐴𝐴 –𝐸 𝐸𝐸𝐸2222 9 8.1 𝐴𝐴 𝐴𝐴2 ∴ 𝐸 𝐸 ∠ 𝐸2222 ∠ 2 ∠∠ ∠ ∴ –––– – 𝐴 9 𝐴 – 𝐸𝐸22𝐴 Standart 𝐴 𝐸 𝐴 𝐸2𝐴 𝐸 ∠2 ∠ ∴ – ∴ 9 𝐴 2 𝐸 9 𝐷 180°180° 2𝐴 𝐸2𝐸2 2–2 ∠ ∠ BE//CD)∴ ∴  BE//CD) – ––––9 – ∴ 9 ∴ 9 𝐷 –– 2𝐴 2 𝐷 – 𝐸22 2 22 9 9 𝐷 𝐷𝐷 ∴ 180° 180°𝐸 – 𝐸 𝐸 ∠– BE//CD) ∠∠ BE//CD) ∴ BE//CD) – –– 9 – 9A𝐷 𝐷 𝐷𝐷 180° 180° 180° 𝐷 180°𝐸 𝐸22 –𝐸 2 𝐸22222 ∠ 2 ∠ (co-int BE//CD) ∠ BE//CD) ∴ – –– 9 –𝐷 𝐷&– 𝐷 𝐷 reason 𝐷 ∴ 𝐷 180° 𝐷 𝐷𝐷𝐷∴ 180° 𝐴 180° 180° 180° 𝐸 2 2 –𝐸𝐸222 ∠ 𝐸 BE//CD) ∠ ∠ ∠∠ BE//CD) BE//CD) ∴ BE//CD) BE//CD) ∴ ∴ – 9–––––– – ∴9 ∴ 9 9 𝐷 Standart 𝐷 – 𝐷𝐷𝐷 9 form 9 99 ∴ 𝐷 𝐴∴ ∴𝐷 180° 𝐴 – 180° ∴ – 9 – – 9 𝐷 𝐷 ∴∴𝐷𝐷 ∴ ∴𝐷 ∴ 𝐴𝐴𝐷 ∴∴𝐴 𝐷∴ 𝐷 𝐴 180°180° 180° 𝐴 𝐴 – – 180° – 180° 180° ∴ ∴  – – 9–––––– –– ∴ ∴9 𝐷𝐷 –– 𝐷 9A –Standart 𝐷 A𝐷 – 𝐷𝐷– 9 9 ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ 𝐷 𝐷 𝐴 𝐴 180° 180° ∠ qq ∴ ∴ ∴ad p) – –– 9 – ∴ 9 9 9 𝐷form 9  – ∴ ∴∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴∴∴ ∴𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 – –cyclic quad∠ ∠∠ q q ∴∠ ∴ad ad  – ∠ad q – q qp)p)9 9 ad–––– p) ad p) ad – – p)–– p) ∴∴ 9 9 9 –– 9 9 99 9 ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴∴ ∴∴∴𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ is a –– – (opp ∠ q∴ ∠ ad ∠ ∠ ∠ –qqqp) 9ad ad ad ––– p) p) p)9 ∴ ∴ 99 A –conclude– – 9 𝐴𝐶𝐷𝐹  – ∴ ∴ ∠ – q ad– – p) 9 – ∴ 9 9 9 –Standart form 9 ∴ ∴  9 – 9 –––– – 9 ∴ ∴ Alternative ∴ ∴ – – –solution 9 – ∴ ∴ ∴  –– 9 – 9 9 ––– 9 – ∴∴ 9 – –– 9 9 9 99 9 𝐷 𝐸 ∠s ∴ ∴  –– 9–––– 9– – – 9 ∴ 9 9 OR ––𝐷 9 𝐷𝐷 𝐸 𝐷 𝐸𝐸11𝐷𝐷∴ 𝐸𝐸11 ∠s ∠s ∠s ∠s∠s ∴ ∴  ∴∴999 𝐷–𝐷 ––𝐸 𝐸1𝐷– 𝐸 𝐸 9 9 𝐷 ∴ 𝐸 – ∠s – 9 – – ∴ 9 𝐷 1𝐷 1– 𝐸 𝐷9 𝐸 99 ∴  – – – 𝐷– 𝐸𝐸1𝐷 𝐸111111 𝐷 𝐸𝐷 1 𝐷 1 ∴ 𝐸 𝐸 1 –  ∠s (corres ∠s ∠s BE//CD) 9 – ∴ 9 – 9 𝐸 180°𝐷𝐷∴ 𝐸𝐸1111𝐸 –∠ 1 1 1 1 – 9 ∠s ∠s ∴ ∴  – 9 – 9 ––– – ∴∴9 9 A 𝐷𝐷𝐷 𝐸𝐸 𝐸111 9 𝐸𝐸22 180° 𝐸 180° –𝐸 𝐸 1 ∠ 𝐸1 ∠ ∴  –– –––––––– 9–– ∴ – 9 – 9 99 – Standart – – form 1 1 9 𝐸 𝐸 2 2 180° 180°𝐸 𝐸180° 𝐸 2 2 2 ∴  180° 180° 180° 𝐸11 9𝐸1 1 1 ∠ ∠ ∠ 𝐸 𝐸 𝐸 –∠ 1 1 ∠∠ ∴  – 9––––– 9 – – ∴ ∴∴ 9 9 – – – 9 9 𝐸𝐸2 2 2∴ 180° – 1 ––𝐸𝐸111119 (∠s on a str ∴ 9 line) –9 ––––––– 9––– ∴ 9A – –– 9 2∴ 𝐸180° of ∠ –––9 9 9 𝐴22 180 𝐴 180 𝐴 22 ∴ 𝐸180 1 –  𝐸∠ ∠ of cyclic ∠ cyclic of quad cyclic quad ∴ ∴ 𝐴𝐵𝐸𝐹  𝐴𝐵𝐸𝐹quad 9 𝐴𝐵𝐸𝐹 – – – ∴ ∴9 9 9––𝐴𝐴 𝐴 &– reason 𝐴– 9 9 9 𝐴𝐴 180 180 𝐴 𝐴 180 𝐸 180 𝐸1–1 𝐸 1 𝐸𝐸 ∠∠of9 1 of ∠ ∠ cyclic cyclic ∠ of of cyclic quad quad cyclic ∴ ∴ quad 𝐴𝐵𝐸𝐹  𝐴𝐵𝐸𝐹 quad – 𝐴𝐵𝐸𝐹 –9–––– 𝐴𝐵𝐸𝐹 – ––– ∴ 9 𝐴 𝐴 9 ∴9 –– 𝐴  Standart form 𝐴 180 𝐴𝐴 𝐴𝐴∴ ∴ ∴ 180 𝐸 180 180– – 𝐸𝐸 – – 1 1 1∠ (oppof– cyclic ∠ ∠ of of of cyclic quad cyclic cyclic ∴ ∴  quad 𝐴𝐵𝐸𝐹 quad quad – – 9 𝐴𝐵𝐸𝐹 – 𝐴𝐵𝐸𝐹) 𝐴𝐵𝐸𝐹 – – – – – ∴ 9 𝐴– 𝐴𝐴9– 9 99 9 ∴ 𝐷 𝐴 180 180° 1 1  9 –1𝐸1 1 1 1 9 ∠ of cyclic9 ∴  quad – 9 – – 𝐴𝐵𝐸𝐹 – – – – – 9 – ∴∴99 9 𝐷– • 𝐴 • 9 ∴∴𝐷 𝐷 ∴𝐴 𝐴∴𝐷 ∴𝐷 180° 𝐴– 180° 180°– ∴  ––– 9–––––– – ∴9 9A –𝐷 – A 𝐷𝐷 – 9 ∴ ∴ 𝐷𝐷 ∴ ∴𝐴𝐴𝐷 180° 𝐴 180°𝐴– ∴ ∴  9–––––– 9–––– ∴ ∴ 99 𝐷𝐷 1 – 𝐷 – 9 9 9 𝐷–9 𝐷–form ∴ 𝐷  –𝐴180° 180° 9 180° ∴ – – 9 9 ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ ∴∴ 𝐷∴ ∴𝐷 –𝐴 𝐴– ––––180° 180°9 – ∠ q ∴ ∴ad – –––p) – 9–––––– –– 9 9 ∴9 ∴9 Standart 𝐷𝐷𝐷 9 9 99  9 ∴ 9  – 9 • 9 ∠∠ qqq∴ adad ––qqqqp) p)p)ad–––– p) p) – ∴∴𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹  ∠ ∴ad 9–– ∴ – –• 9 9 2 9–A conclude 9 ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ ∴ ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ – – – ∠ ∠ q ∴ ∴ ∠ ∠ ad ∠ – q 9 p) ad ad ad ad ––– • –– p) p) p) •∴ 999 9 9 ∴∴∴∴ 𝐴𝐶𝐷𝐹 – – – – – ∠ ∠  – qq – 9 9ad ad –– p)9 p) – – 9 9 –– 9 𝐴𝐶𝐷𝐹 ∴ ∠ 9 Standart form ∴  – 9– 99 9 9–9––1––––––99 1 9 –––– ––– is a cyclic quad (opp ∴ ∴ 99 ∴ ∴ 99 9 – ∴ ∴ – ––9–2•––– 9 – 9 – •99 9 9 9 – 2• 9 99 • 9 ∴ –– – ∴ ∴ ∴ ∴  • ––– –––1•–––– 9––– •∴∴9 9 –9 9 9 91– 9– (4) ∴ ̂ – •–9 99  ––9 ∴  ––––– 9 –– 9 9 ∴ ∴  – 9 – 9 9 •99 S/R2• form99 ∴ ∴ – – –9 2•–––––99––– 9 9 ∴9 9 9 – 9 ̂ 8.2.1 B =∴ B ––  – (common ∠)– 1 ∴ ∴   – – – – – – 1 •– – – – • • 9 9 9–Standart 9 9 91 ∴ 9 –9– –  ∴ ∘ 93 ∴  ––––– ––12––––––– 9–––– 99 9 ∴9 9  9 D̂ = ∴ ∴ 90 –  (∠ in 9 2 • semi 9 circle) 9 ∴ 9 ∴   • 9 – 9 – – – – 9 – ∴999 9 P2̂ ∴ ∴ ∴ –∘ –(adj1∠’s on str line) ∴ ∴ ∴ ∴  – ––––––––9 – 9–2•––– 9–– 99 9 – 1 ––2•–––––– 9–––– – – ••∴∴9 ∴ 9 99 9 – S/R – 9–– 2 Standart 9 form 99 9 9 = 90  – –– 99  – – – – – 99 ∴ 9   9 –form–99  99 9  •– • 3 ∴ 9 ∴ –– –1––––99– 1 ∴ 9 9 ––– – 9 ∴ ∴   –  rd –  9 2 9– 99 9 ∴ ∴ –– 9 – –9 9 – • – –– – – • ∴99 9 S/R 9 Standart• • 9 –––22––––––– 9––––– 99  9 9 9 9 ̂ ̂ ∴ ∴∴ 𝑎 A =E ∴ 𝑏9 –(3 13–∠9) 3 ∴ ∴  –– ––––––9 ∴9 ∴999 – 91–– 9 9 99 ∴ –– • – 3 9 9 ∴ ∴ ∴  • ––––––9––•–––––– 9 9 – 1––– 9–– 99 • ∴9 9 9––– 9  9–  –form–  9  3–/// • 9 △∴ 𝑎BPE 9𝑏 BDA 3 9∠ ∠) ∴ ∴ 9 ∴ 9 S/R 2• Standart –  △2 – ( ∠99   –  9 – – –  9 9 9 ∴ ∴ – 13–9 𝑏 ∴ ∴  ––– 9 –––1••–––––––– 9 –2 –– 99 9 9 •∴∴9 9 – 9–– 9 9 9 9 9 99 ∴ 𝑎 –𝑏𝑎9 ∴ ∴ – – 339 9 2𝑎 5𝑏 ∴ ∴ ∴  –9 – –– 9 9 9– – –– –99  • 9 9 91  9 9–––9  9 (4) ∴ ∴ 2 𝑎 3 3 𝑏 9 2𝑏  3 5𝑏 9 9 33 ∴∴9 –––––9 99  ∴ ∴ 9 ∴ ∴   – – – – – – –•–– 9 1 2 • –– –– 9 9 9 9 – – 9 • • ∴ ∴ ∴ 9 9 9y9 9 – 9– 9 9 6 –2or y •– 9 9 –99 9 •99 9 ∴  –– – – ∴ 𝑎 6  𝑏𝑎– 9 33–– 3 – 9 1 –––1212••––––––––––   9 9––––– –99  9  •∴∴∴∴9 99 9 9 –9 1– 9 – 9 ∴ ∴ 2𝑏 –  • 3 99  5𝑏 9 9 𝑏 9 9  2𝑎 ∴ 5𝑏 ∴   9 •––––– –12•–––99 – – – – – 9– – • ••∴∴∴9 9 9 9 9 – ––– 9 9 – –99 9 9 3–𝑏–1 ∴ 9 –  ∴ y9 • 9 ∴ 𝑎 32 𝑏 5𝑏– 3  –––9 • – – ––– 9 9 –––9 99 9 9 9 69 2• or y 𝑏 2 ∴ – 3 3 ∴  – –  – – 2 – 9  9 ∴ ∴ – 𝑎 𝑏𝑎9 33 9 9 33𝑏 9 92𝑎 5𝑏 ∴  9 •––––––9––112•••–––––– 9 ∴9 –––– ∴ ∴ – 9 –2––– ––– –99  1 9 ••∴9 ∴9 99 9 9 –– – – 9 9 – 1 9 –  9 9 9 ∴ 𝑎 – 6 ∴ ∴ 𝑎 2𝑏 5 3 – 293 𝑏 ––5𝑏 •    ∴ ∴  – ––––9– – – 9– –99 – • ∴ 9 9 9 – 9 9 –13 3 ∴ 1 ––––99––9 99  9 ••∴∴∴9 9 y ––2211• 9 9 – 2 99 ∴ 2 3 –2 𝑏 ∴ –––𝑏3 – 5𝑏 99 – 3 ∴ ∴ –––– 9 – –69 9 – or• –– y9 ––––– –99 9 9 ––69or– y– 9 y9 9 ∴ ∴ 𝑎 –2𝑏 6  𝑎 9 – – 33 𝑏 9 2𝑎 ∴ 5𝑏 9 ∴ ∴ ∴  • – –––––––9 – – – – 2 – – •––––9 9––9 –99  – 9 9 99 • 9 9 9 9 9 9  –• 9  –  9• 9 ∴ 5– – –𝑏 2•3 –5𝑏 – 3 9  ∴  99 ∴   –––1221or – 9 – 9 ∴999 – 69 9 9 ∴ 2 𝑏 ∴ 39 𝑎 ∴ 3 ;  36 𝑏 –– 2 9 ; – 3 33 9 13 9; 3 5𝑏 … 9 ; –177 ∴ ∴ ∴ 9 y y  ––––––69 – 6  ––12or ••–––––– y9 y 9–––– 99 99  ••∴∴9 ∴ 9 y9 9 9 9 – – 9 or 1–– y – 9 99 9 ∴ – –6 or–– ∴ – – – – –21•–––9 9–––9 99  9 – 9•∴ 9 9 –2• 9• 9 6 𝑎 y ∴ ∴ 𝑎 177 2𝑏 –5 3 – –– 2 3 3 𝑏• 5𝑏y– – 39 3 3 9 𝑛9 1 ∴ ∴3 ∴  •–––––––9 9 3 9 2 1– –  99  • ∴9 9 –– 9 9 9 9 9 –  9 9 ∴ 𝑏 ∴ –– –19 2 ;3 9 9 – 99 ∴ ∴ y 9y9–––––69 – – 6  ––122or or• – –––– y9 – 9 y9 9– – –9 –––9 –99  99  9 9 9 9 9 9– 9 9 9•–– 9 1 𝑎 39 ; ∴ 177 𝑏𝑎 36––9 3399; … 3 3𝑏–;3𝑛 177 3 2𝑎 ∴ ∴ 5𝑏 ∴ ––9 • • – 9 9 – 9 –99  ••∴∴9 9 9 9 9 9  2  • 9 ∴ 𝑎 ∴  y3 – 5 – –6𝑏 2𝑏3  or–9–  3 y 9  ∴  9 – – 9 9 – 1 • – – 9 –––9 9– 9 –  9 9 – 99 9 • 9 9 – 69 –99 9 9 𝑎 2 ∴ 219 177 3– 3 3𝑛 39 3 5𝑏 3𝑛 9 1 ∴ ∴3    – – –3– – – –6–2111or  – 2 1 • – – – 9 ••∴∴9 • ∴ ∴ y9 9 9 –1or y –––– 9 99  9 –21• ∴ ∴9yy y y9 9 9 – 9•–– 9• 9 9 39 ∴ 𝑎𝑛177 6 ; 36 𝑏𝑎– 2𝑏 9 73 – ; 33 3•9– 9; … 3 5𝑏 3𝑏 – 3𝑛;99 177 2𝑎 3 ∴ ∴ 5𝑏 ∴  9•––––––––69  or• • – 9 9–– 9 ––99 9 99  • 99 9 9 9 9 2 9 ∴ ∴ 2 𝑎  y3 177 3 – 6 or93 3 𝑏 𝑏 – 39 5𝑏y 𝑛   ∴ 99 1 ∴ ∴3    9 ––––––––12212•––––9 – 3  – • – 9 9 9 – – – –9 9 – 99   9 9 • • ∴ ∴9 9y 9 9 9 9 9 –– 69 –1or y –99 9 9 ∴ 𝑏 39177 𝑎 219 ; 36 – ; –1 2 𝑏𝑎5 939 3 33 33• 3𝑛3 9;3 …3𝑛 3 3 ; 9– 177 ∴ y –––––69 ∴ ∴99•–––– ∴  or y9 ––121112••––––– 9 9– 9 9 –  ––99  ••∴∴9 999 – 9 9 2– 99  9 9 6 𝑇 ∴ 𝑎𝑛 2𝑏 – 73 3 –9 5𝑏 3 𝑏 45 9 3 2𝑎1 5𝑏 3∴  9 – – – – –  2 • – –  9 – 9 99  • 9 •••∴∴∴9y9 9 9 9 9 9 ––12212••• ∴ 177 y –6 2or– y  𝑛 1 ∴ 9 ∴ y 3 – ––––– – 69 – 2 1or – 9 y9 9 – – – 9 9 9 9 𝑎 3 3 𝑏39 ∴3y ∴ 3 ––– 9– 9 –99 9 – 69or– y 9 9 3 ––––69 1 2 𝑇3 𝑏 ∴ 219 –– 𝑏 – 2 3 93 • 3𝑛 5𝑏 3 3 – ∴ 9•– 9 or• –– 9 y9 – 9 –99 99  • 9 9 9 99  – –9 3 ∴ –    – 9 ∴ 2 9 9 – 9 9 9 ∴ 𝑎 6 𝑇𝑛 177 𝑎2𝑏 5 73 3 –  1–3𝑛392–39 3 5𝑏 3 3𝑛 𝑏 45 9 9 9 3 2𝑎1 95𝑏 3∴ ∴ 9 y ––––––––6 –11or – ––12or 1 2 • –– y9– –99 – –––9 y – –– 9 ––99  99 9•∴ • ∴ ∴9 9 9 9 9 9 – 9 9–– y 9  – 9 9 y ∴ 219 99 99  212•  9 ∴ –––––6 9 2 ∴ 393; 𝑏2 2 𝑎 𝑏; – 3𝑎• – ;5𝑏 33 3 ∴⋯y ∴ 3• ––––––6 or• – –9 y 9 9 9 99 99  9••∴9 9y9 9 9 – 69or 9 𝑏 𝑇 𝑆 ∴ 6 ∴𝑛y 2𝑏 36– 𝑎 –9 –73 –5𝑏 3 93 33 2 3 3 … 3 𝑑 ; 9 𝑎 9 99 –177 9 2𝑑 ∴ ∴ y ∴ y 𝑛–– 9𝑎3∴ 9 9––––––69 – 69  or ––1221𝑑•• or • –––9 9 y9 9 y9 – –– 9 –99 99  9 9 ••∴99 ∴9 9 9 9 9 – 9 – 9 – 9 – 9 9 𝑇 𝑎 ∴ 177 3 5  ––93 …6 39 3 or 1𝑏 𝑎39 –– 3 3 y 45 𝑛 𝑛  2 𝑑191 ∴ ∴3 y 3 y –– –3 6 –69  1  1or –  3 y9 – 9 – 99  9•∴99 9 9 9 – 9 9 – 9 9 ––––– 1 •or 9 y9– –99  –  – 9 𝑎 ;𝑏 33 3 ∴  or  99  9 ∴ 𝑏 ∴ 𝑆 𝑇 39 𝑆 177 𝑎 36– 2 𝑎 𝑎 ;– 3 93 33 2 39 𝑎 𝑛9; 𝑑 33 …𝑏1 3𝑛;𝑑9𝑎–9 2𝑎 1773𝑎2𝑑 𝑛5𝑏 ∴⋯y29–𝑑–––––––69 ∴ ∴  –12122⋯ – • • – 9 y9 9 –– 9 99 – –  9••∴9 9 9 9 9 9 – – 9 ∴ – 99 ∴ 9–––6 9 2 9 y9– 9 99  9 9 9 9••∴ 9 9 – or –1211𝑑• 9 – 69 3…6𝑏 y3 – 9 𝑎 𝑏 –𝑎 45 𝑎𝑑19𝑑9𝑎3∴ 𝑇 y3 5 ∴ 39 3  2or –––– 9 3𝑎y𝑛 𝑛––––––  3 or y 3 1 9 𝑎 ∴ 2 𝑎 177 219 𝑏𝑎––… 93 3 𝑎 –39 3𝑛 5𝑏 3 2𝑑 3 𝑛 9𝑛2 12𝑎 ∴ ∴ ∴ 3– 69 1   or• • –   9 y9 3 – – 9 9 –99    9 • ∴9y9 9 9 9 – y 9 ∴ 2𝑆 𝑇 ;𝑎 ∴ 𝑆 6 39  177 2𝑏 36– 2𝑎 𝑎 ; 93 33 3 𝑎 39–5𝑏 𝑛 9 ;3 𝑛3 𝑑 𝑏 𝑑9𝑎99 …1 ;3𝑛 1 𝑑 2𝑎 1773𝑎𝑑2𝑑3 ∴ 𝑛5𝑏 ∴9 ∴⋯y y29–𝑑–––6–212⋯ – – 1 6  𝑑 – – •or or• – –– 9 9 ⋯ y 9 y9– 9 –  9 – – 99 99  9 9 ••∴9 ∴9 9 9– 9 9 – 9 – 9 – 9 9 9 𝑎 ∴𝑛 2 y3 𝑏… 3 73 … 6𝑏2𝑎3 𝑏 3 2𝑎 𝑎 5𝑏 3 𝑛 1 9 ∴ 𝑎∴ y –– – – 9 ––1 –12𝑑•––––9 –– 6 1 2 2 1or – – y9 – 9 9 99 –99 ––99  9••∴ 9 9 y9 – 6 or9 – y 3 3𝑎y 𝑛–––––– 𝑎 ∴ or 31𝑛–2 y𝑏𝑛2𝑑 ∴ 9 3 3 9 9 𝑏 ∴ 2𝑆177219 𝑎–9 2 𝑛 – 3 3 3 39 3𝑛 𝑛 𝑎 𝑑 1 𝑑 5𝑏 𝑑2𝑎 3 ∴9 ∴ 3–69   ––121•––– • 9 9 9   9 • ∴9 9 9 9 9 ∴ 6 2𝑆 𝑎 39 𝑆 ;52𝑏 363 𝑎 𝑎 73 2𝑎; 𝑏39 3 33𝑎 –5𝑏 𝑛9;3𝑛𝑑…13𝑛 ;459 𝑑1 𝑑𝑎177  31𝑎9 2𝑎𝑛 ∴ 2𝑑 ∴ ∴⋯y 𝑛2 –𝑑– 99 –––––––6 1  –𝑑––212⋯ – 2 1 2or or•––––– ⋯yy9 –9 y 9 –– 9 –– –99 99   9 •∴∴9y9 9 – 9 99 69or y 9 9 𝑎 2 𝑇 ∴ 𝑆 ∴𝑛 177 3 y 𝑎 – – … 𝑏 2𝑎39 6 –or – 3 2𝑎 5𝑏 𝑛 y𝑏2𝑑 𝑛13𝑑 – 1 3 𝑑 3 3∴ ∴ ∴ y 3 3 – – 69 1– – 1 2 1or• ––––9 Page 3 – – 9 9 12 –99  –99  9 • 9 9 9 99 𝑏 177 ∴ 2𝑆 219 6 𝑇 2𝑏 2 … 3 3 93 3 𝑎39 –5𝑏3𝑛 𝑛 𝑛 2 2𝑎 𝑑 1 𝑑 5𝑏 𝑎 91𝑑𝑑 𝑎 2𝑎 𝑎∴ ∴ ∴9 3 𝑎 𝑛–– y𝑛2 –𝑑––1–69𝑑––212⋯ 3 9 1 2 1 2 𝑑 or• • 9 9 ––– ⋯y–– 9 ––99 9 9 9 • • ∴9 9 9 9 9or y 9 ∴ 𝑆 𝑎 3 –  𝑎 5 𝑏3 𝑛2𝑎 2𝑎 𝑛 𝑛 95𝑏3𝑛3 𝑛1 𝑑1 3 𝑛 ∴ ∴ ∴ y9 ––––69 – –   ––211• 2or –– 9 y – 9 ––9999   9 • 9 ∴ y9 699 2 ∴ 𝑇𝑛 𝑏 2 ∴ 𝑆 177 – –… 73 …2𝑎–39 3 – 39 𝑎3 2𝑎𝑛 45 3 2𝑑𝑛1 𝑑–1𝑎𝑑 313 9 3 𝑑9 3∴ ∴ ∴9𝑎y 3 ––– 3 –––6 9 –112or •or –––9 y 9– 9 9 – 99 99  99  9•9 • 9 99 9 9 ∴ 6 ∴ 39 ; 36 𝑇 2𝑆 219 2𝑏 3 – 𝑛2𝑎 33 ;𝑛… ;2𝑎 93 –5𝑏3𝑛 9 𝑛 ; 1 1𝑑 177 2𝑎 ∴ 𝑛 –1 𝑑1– ⋯ – 𝑑 ∴ ∴ y y – – – 6 69 – 2 2or• – – – 9 y y 9 9 – –99  9 99 • 9 99 9

Downloaded f rom St anmorephysics. com 8.2.2 BP PE BE = = ( /// △′ s) BD DA BA – BP PE – = ∴ ––– – 9 –– – BD DA ∴ 9 – ∴ ––––– –– 9 ………….(1) ∴ ∴9 BP ∴ DA = ∴ –– – 9 9 ∴ BD–.–PE – – ∴ – 9–––––– –– ∴ ∴ 9 – –– 9 9 PE BE ∴ – – 9 ∴= ––– – 9 DA BA ∴ –– ––––– ∴ –– ∴9 ∴ ∴ 9 – –– 9 9 9 ∴ – 9 ∴ – PE–.––B A – ∴ –– 9–– – 9 ……………(2) ∴ – ∴ 9– ∴ ∴ – 9 9 9 ∴ DA = – ∴ ∴ – –– BE – 9 ∴  –– 9–– ∴ ∴ 9 ∴ 9– 9 9 ∴ –– – 9 ∴ – – ∴ – 9 9 (2) = (1) ∴ ∴ ∴ –––––– –– ∴ 9 ∴ 9 9 – 9 9 ∴ – ∴ ∴ 9 – 9 9 S/R Standart form – ∴ 9 ∴ ∴ ∴  – – –––––––– ––– ∴ 9 9 9 – 9 9 ∴ = BP PE . B A ∴ 9 – 9 Standart Equation 1 form ∴  – ––––––– ∴ ––– ∴99 – 9 BD∴. PE –BE ∴ ∴  – 9 – – – – – ∴ 9 9 99 9  ∴ ∴ ∴ – – – ––– – – 9 9 Equationform Standart 2 ∴∴ BP . BE = – 2 PE . B A . BD ∴ ∴ ∴  – – 9––––– 9–– 99 ∴ ∴ 9 9 – 9 99 9 ∴ ∴ – 9–––––– ∴ 9 9 PE 2 . BA . BD ∴ 9–––  PE . BA . BD 9 BP . BE = Standart form 2 ∴ ∴ ∴ ––– ––––– 9 9 99 9 9– ∴BE∴ – 9 ∴ 9 99 ∴ = ∴ 9 9 –––– – 9 – ∴ BP 9 ∴ ∴ ∴ ∴ –––– –––––– 9 9–– ∴ 99 9 9 9 9– 9 (4) ∴ ∴ –  99  9–12 ––– ––– ∴9 9 9 ∴ ∴ ––––– – –––– ∴  9 –– 9 MARKS ∴9 ∴ 9– –– – 9 9  ∴ ∴ 9 9 99 9  – 9– ∴ ∴ – 9 ∴  ––9 ∴ ∴ ∴ – ––– ––––––––– –––– ∴9 ∴ 9 9 –– – 9 ∴  9 ∴ 9 ∴ –– 9– 99 9 9– 9 ∴   – – – ∴ ∴ –– – 99 ∴  ∴ ––– – 9–– – –––– ––– 9 – ∴9 ∴ 9 9 –– – 9 9 9 ∴ 9 ∴ 9 ∴ – 9 ∴ –– – ∴ ∴  – – ––––––– 9–– 99 9 • – • 9 9 ∴ – ∴  – –– –––– ––– 9 ∴9 9 9 – 1 ∴ – 9 9 9 ∴ ∴ 9 ∴ –– 9 9 9 9 9 ∴  – – 9 99 2• • ∴ –– – ∴ ∴ ––9 –––– –– 9 9 9 ∴ – 9 9 9 ∴  9 –– •––– 9 ∴ ∴  – – – 9 ––– •9 9 9 91 9 9 ∴ – – ∴ ∴ – – – 9 99 9 2• • 9 ––– –2•–––99 9 1– – ∴ – 9 9 ∴ ∴  – •9 9 9 9 99 9– 9 9 1 ∴ ∴ – – 9 11–– 9 9 99 9 9 • • ∴ ∴ – •9 – ∴ ∴ ∴ • • 99 •9 9 9 921 99 ∴  1 ∴  –––––– –212––––– 9 ∴ ∴ ∴ 9–– 9 99 9 9 ∴  – 2• 3 9  •– 9 92  ∴ ∴ 1 99 99 9 99   ∴ ∴ – – – – ∴  – – 22–– – 99 – – – • – – 9 9 – – •9 9 9 9 9 1 ∴ ∴ ∴9 9 – 9 ∴  •–––––– –1•–99 • ∴ 1 99 9 9   99  ∴   – 2 – 3 3 9 9 ∴ 9 9––– •∴99 9 9 9 – – – 9  1 99 ∴ ∴  – – 2 2 – ∴ 9 9 9 – 9 𝑎 𝑏–9 23• – 3 ∴ ∴  •– – 1– 9 99 9 9    ∴ 3 99 ∴ ∴ – – – – – 9––– 99  9 ∴ 9 99 ∴ 9 9 – – – – – 9 𝑎 3 1𝑏 3 99 3 ∴ ∴  – 2• – •∴99 9 9 9 9 ––  –– 9 9 ∴  ––– –– ∴ ∴ – 9 9 99 9 𝑎 𝑏𝑎–9 233– 3 3 9 9 ∴  1–  99––– 99   ∴ 9 99 9  9 𝑎 3  𝑏  3 𝑏 992𝑎  5𝑏∴ ∴ ∴   – – – • – – •∴99 ∴ 9– 9 9 – – 9 – – 9 9 𝑎 3 𝑏𝑎–9𝑏 33– 3 ∴ – – 9 9 2 5𝑏 3 3 ∴ –– –––  211–––  9––– 9 99  9  ∴ 99y9 – 6 or – y 9 ∴ 6 2𝑏 –5𝑏 3 𝑏 9 9 992𝑎 5𝑏∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 9 – – – – – – – • •– 9 – – ••∴∴99 9 9 9 – 9 – 9 9 – – 9 9 9 2 3 𝑏39𝑏 3 𝑎 𝑏 3   ∴ – 221––– 9–– 9 9 𝑎 – – 5𝑏 3 3– ∴ –––––––9 ∴ ∴  11•–– – 9 99   ••∴∴9y9 9 6 or y 9 – 9– 9 9 𝑏 𝑎 ∴ ∴ 6 2 2𝑏  3 3 –5𝑏  𝑏 9 2𝑎 5𝑏∴ ∴ ∴ 9 – – – – – ––22•–– 9 – –– ∴ 9 9 – 9 9 9 9 𝑎 3 𝑏  9y9 𝑎 2 35 ∴ –– 𝑏3 – 3 5𝑏 3  ∴ –––––9 ∴ ∴  112–– –– 9 99 ––– 9–112••–– 9 9 9 99  ••∴9 ∴ 9 9 9 69or y 𝑏 𝑎 ∴ ∴ 2 3–3 –5𝑏 𝑏  5𝑏 9   ∴ – 2𝑎 5𝑏∴ ∴ ∴9 – ∴ y ––––69–21221or 9 y– – 99 9 99 9 9 –– –– 9 –99 6 9 𝑎 3 2𝑏 ∴ 5 𝑏 –– 3 – • • 9 ∴ y9 69or y 2 ∴ 𝑏 2 ∴ ∴ – – 3 – 3– ∴ ∴ ∴ ∴ ∴9y – –––––69 9–2or 1 •––9 y9 9 – 99 99  99 • 99 9 9 99 9 6 2𝑏 –5𝑏 9 ∴ y – –6 or y – 9 ∴ 39 ; 5 𝑎 – 36––6 ;3 – ;y 33 …;  177 ∴ ∴ ––––9 –9 2 1 1•– 2 1 – 99 9 99 • 9 9 9 9•99 ∴ ∴ ∴ 9 –   • –   99 99  9 9 ∴ 𝑏 y 2 177 3 3–or 39 – 𝑛 1 ∴ ∴3 – 9 2 9 9 9 –  9 ∴ ∴ 39 ; – 36 ; 33 ; … ; 177 ∴ ∴ y y – 3 –6 6 9 – 2 1 2 1or • or y y – – 99 •• 9 9 9 𝑎 177 ∴ ∴ 5 3 y – 6 or – 9 y 3𝑛 3 39 ∴ ∴ ∴ ∴3y 9– 9 –9 –––––6   1  22112or•––9 9y9–– 9 99  9 99 99  9 99 9 9 9 9 ∴ ∴ 177 39219 ; 36 3 – ; 339 39 3𝑛 ; … ; 177 𝑛 1 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ y 3 6 –– 9 ––••–– 1or – y 9 ––99 99  •• 9 9 9 9 9 ∴ 177 y 73 6 or 39 y 3𝑛 3 3 ∴ 99 ∴ –––––6  221121or  – 9 –– 9 9    9 9 9 9 9 ∴𝑛177 3 39 𝑛 1 ∴3y – 3 – • – – 9 y –99 99 •• 9 9 – – 1 – 9 9  221221••––– 219 39 ; 36 ; 339;3𝑛 … ; 177 ∴ ∴ – – – – 9 –99 9 9–––– 9 99    9  177 ∴𝑛177 y 73 6 or 39 y 3𝑛 3 3 ∴ ∴ ∴ 9– 9 –– 9  9• 9 9 9  39 𝑛 1 ∴ ∴3 – – 3 – – 1 • – – – –99 99 • 9 𝑇 219 39 3𝑛 45 19 3∴ y –– 399 3𝑛 3 ∴ 3 9 –––– 6 – or –12221•––– –  y  –9 9 – 9 –99    9 9 9 9 𝑇𝑛17773 93 3 ∴ ∴ ∴ – • 9 9 9 𝑇 219 39 3 ∴ – – 1 – –99 9• 9 9 ∴ 3𝑛 45 19 93∴ ∴ ∴ y y3 – – 6  ––––6 1122or – – 2 • or – –  9 y –– y 9 9 913 – –99   9 9 9 𝑇𝑛 𝑎73 93 3 ∴ ∴ ∴⋯y –– 6 – • • – –––– Page – –99 9• 9 • 9 9 9 3 9 9 – 1 9 9 –99  9 9 𝑆 𝑇 ∴ 39 𝑎 𝑑 𝑎 2𝑑 45 19 93∴ ∴ y – 6 –  112or2 2or 9 – yy 9 99  9 –  ∴ ∴ y3 – 6 or – y • 9 9 𝑇 … 93𝑎 3 𝑛 2 𝑑 𝑎∴ ∴ ∴ ∴⋯y 𝑛– –– –6 1–   – 𝑑 –22⋯• – •or––9 – –93 9y 9 9–  9 – –99 9• 9 9 9 9 9 9 9 𝑆 𝑇 𝑆 ∴ 𝑎𝑎 39𝑎𝑛 𝑑 45 𝑎 1𝑎9 1 𝑑 2𝑑 9 𝑛3∴ ∴ y y y2 𝑑– 3 – 6 6 6 1 or or or – y y y 99   9 … 𝑎 2𝑑 𝑛 2𝑎 𝑑 𝑑 𝑎∴∴ 𝑎 𝑛– 1 ––1𝑑––93 9 –– 9 9