TECH MATHS G11 LB m01

1 Eksponente en wortelvorme Doelwitte In hierdie hoofstuk sal jy: • die wette van eksponente wat jy in Graad 10 geleer het hersien • uitdrukkings vereenvoudig en vergelykings oplos met die hulp van die wette vir rasionale eksponente, waar: P q __ x q = √xP ; x > 0 en q > 0 __ • eenvoudige wortelvorme optel, aftrek, vermenigvuldig en deel • eksponensiële vergelykings oplos. Bioloë gebruik eksponente om te monitor hoe virusse en bakterieë vermeerder en versprei TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 7 2018/02/05 16:10

1.1 Eienskappe van eksponente en eksponensiële uitdrukkings Ons lees 25 as twee tot die mag vyf. In hierdie uitdrukking word twee die grondtal en vyf die eksponent genoem. Sommige mense noem die eksponent ook die indeks, maar beide terme verwys na die selfde konsep. Eienskappe van eksponente Wanneer jy met eksponente werk, sal jy die eienskappe van eksponente gebruik om verskillende uitdrukkings te bereken. Dit is dus belangrik dat jy die eienskappe (soms 'wette' genoem) van eksponente onthou. Daar is ook twee spesiale eienskappe van eksponente wat jy moet onthou. Die eerste eienskap sê vir ons dat enige getal a tot die mag van nul, altyd gelyk sal wees aan een. Byvoorbeeld, 90 = 1. Dit maak nie saak hoe groot of klein die grondtal is nie, as dit 'n eksponent van nul het, sal die antwoord altyd 1 wees. Die tweede eienskap sê vir ons dat enige getal a tot die mag van een, altyd gelyk sal wees aan a. Byvoorbeeld, 121 = 12. Dit is belangrik dat jy die volgende eienskappe ken: Eienskap of wet Voorbeeld 1. Vir enige nie-nul getal a en enige reële getalle m en n: –2 5 –2 + 5 3 am × an = am + n 3 ×3 =3 =3 2. Vir enige nie-nul getal a en enige reële getalle m en n: am 3–2 –2 –5 ​ n = ​a​​  m − n​ =3 = 3–7 a 35 ​​(5 )​​ = 5 3 2 3×2 3. Vir enige reële getalle m en n: (am)n = amn 2 2 4. Vir enige reële getal n: (ab)n = anbn (3 × 7)2 = 3 × 7 ( ​​ b) ​​(5)​ a n​​ an 3 2​ 32 5. Vir enige reële getal n: = n = b 52 0 6. Vir enige nie-nul getal a: a0 = 1 2 =1 1 1 7. Vir enige reële getal a, en enige reële getal n: a–n = 6–3 = an 63 Uitgewerke voorbeeld 1.1 Uitgewerkte voorbeeld 1.2 5 Vereenvoudig 23 × 27. Vereenvoudig 2 ÷ 23. Oplossing Oplossing 23 × 27 25 ÷ 23 = 23 + 7 = 25 – 3 = 210 = 22 = 1 024 =4 8 Tegniese Wiskunde | Graad 11 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 8 2018/02/05 16:10

Uitgewerkte voorbeeld 1.3 Uitgewerkte voorbeeld 1.4 Vereenvoudig ​​(4 )​​ . Vereenvoudig (6 × 7) . 4 4 3 Oplossing Oplossing ​​(4 )​​ (6 × 7) 4 4 3 4×4 3 3 =4 =6 ×7 16 =4 = 74 088 = 42 949 672 916 Uitgewerkte voorbeeld 1.5 Uitgewerkte voorbeeld 1.6 Vereenvoudig ( ) . 4 ​3 Vereenvoudig 12– 4. ​​ 2 ​ Oplossing Oplossing ​​(2)​ 4 3 ​ ​ ​​12​​  −4​ 43 1 = 3 = 2 124 64 ​  = 8 = 8​ OEFENING 1.1 Vereenvoudig die volgende. a) 2 × 25 l) 3–2​(​ 2.5)–1 ​​ m) ​​(1 000100 × 6 013–1)​​ 0 b) 23 × 2 × 23 9 × 125 c) 24 × 34 n) 43 × 64 d) 25 × 23 o) 33 ÷ 4–3 11 2 e) p) 23 × 2–3 24 f) 27 q) 5 + 5–1 211 r) 33 – 22 g) 2 ÷ 22 s) 44 × 183 –2 –1 h) 3 .2,5 9 × 67 × 2–1 2 i) 3–2​​(32.2,5)​​ 452.12 204 t) × 36 000 304 j) 6 – 23 3 108 u) 6–2.36 + × 23 k) 4 20 . 253. 8 2 Hoofstuk 1 Eksponente en wortelvorme 9 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 9 2018/02/05 16:10

Vereenvoudiging van uitdrukkings met veranderlike grond- 1.2 talle Soms sal jy met uitdrukkings wat veranderlike grondtalle en eksponente insluit moet werk. 'n Veranderlike is gewoonlik 'n letter, soos a, b, c, … x, y, z, en dit stel 'n onbekende voor. Dieselfde eienskappe wat jy in die vorige gedeelte gebruik het, sal ook hier gebruik word. Uitgewerkte voorbeeld 1.7 (ab4)5 × a3b2 Vereenvoudig (a2b3)5 Oplossing (ab4)5 × a3b2 a5b20 × a3b2 = (a2b3)5 a10b15 a8b22 = 10 15 a b b7 = 2 a OEFENING 1.2 Vereenvoudig die volgende: a) x2y × x4y5 5x – 1 g) 3 12x .812x + 1 3 +3 2y + 2 b) x2y–3 × x2y3 16 × 41 – y h) 64y + 2 a – ( –2) –1 2 –2 3 ​​ a ​​ c) 2x – 1 –6x + 1 .a 3 i) a a–4x d) 23x × 8y – 2x 49a5b2c j) 14(aybc)2 e) (3m3) + 3(2m3) 2 3 x 2x –1 1–x –3x k) 2 .10 .25 .8 2 ​​( 16.4h  )​​ 2h + 10 1 2 f) ab × (2b2) × 6a9b7 l) (2b6)2 × 8(a5b–2)2 1.3 Los eksponensiële vergelykings op Tot dusvêr, het ons uitdrukkings vereenvoudig. Onthou dat 'n uitdrukking geen gelykheids- of ongelykheidsteken het nie, terwyl 'n vergelyking 'n gelykheids- of ongelykheidsteken het. Wanneer jy hierdie soort vergelykings oplos, kyk jy na die grondtal van die term wat die eksponent bevat. Probeer om die ander term dan na 'n term met die selfde grondtal te verander. As jy dit kan doen, is dit maklik om die antwoord te bereken. Kyk na die voorbeeld. 10 Tegniese Wiskunde | Graad 11 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 10 2018/02/05 16:10

Uitgewerkte voorbeeld 1.8 x Los die vergelyking, 2 = 32 op. Oplossing x Nota: 2 = 32 x 5 Om jou antwoorde te kontroleer, vervang 2 =2 dit in die oorspronklike vergelyking. x=5 OEFENING 1.3 Los die vergelykings hieronder op: a __ x a) 2 = 128 f) x 2.3 = 18 k) ​​2​​  ​ 3​​ = 8​ (3 ) = 27 n– 1 n+1 n 3 b) 2 =8 g) 2 = 64 l) x–1 52k – 1 1 c) 7 =1 h) = 25 m) 6x = 5 216 d) (b ) = b k 2 2 k 2 4 k+2 4 n) b .b = b i) b =b (2) r 7 n n+1 n e) ​8 = 343​ 642m – 1 o) 2 .4 = 16 j) 0= 4 16m + 1 1.4 Rasionale (breuk-) eksponente In hierdie gedeelte leer ons meer oor die 'wette' van eksponente en voeg ons voorbeelde by waar die eksponente rasionale getalle is. Rasionale getalle sluit telgetalle, heelgetalle, natuurlike getalle, breuke en desimale wat as breuke geskryf kan word, in. Die hoofvierkantswortel ____ ____ Wat beteken die vierkantswortelsimbool? Byvoorbeeld, wat beteken ​​√100 ​? Is Oorweeg die volgende: die anwoord vir ​​√100 ​gelyk aan 10 of is die antwoord gelyk aan ±10? In Wiskunde definieer ons die vierkantswortel van 'n getal r as x, sodat x2 = r. Byvoorbeeld, vierkantswortel van 100 is 10, en 102 = 100. Dus sê ons 10 is die vierkantswortel van 100. Maar wat van –10? Is dit nie waar dat (–10)2 = 100 is nie? _ In Wiskunde, as ons die vierkantswortelsimbool ​​(​√ ​ )​ gebruik, verwys ons slegs ____ na die positiewe √ vierkantswortel. Ons noem dit die die hoofvierkantswortel. Dus: ​​ 100 ​ = 10, omdat 10 die positiewe vierkantswortel van 100 is. Hoofstuk 1 Eksponente en wortelvorme 11 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 11 2018/02/05 16:10

OEFENING 1.4 Bereken die vogende (moenie 'n sakrekenaar gebruik nie). ______ ________ ___ __ ____ ___ a) ​​√16 + 9 ​ b) ​​√100 − 36 ​ c) ​​√16 ​ + ​√ 9 ​ d) ​​√100 ​− ​√36 ​ Verander van wortelvorm na eksponensiële vorm Berekening van wortelvorme en die omskakeling van wortelvorme na eksponensiële vorme kom dikwels in algebra voor. Wannneer ons 'n wortelvorm na 'n eksponesiële vorm herlei, gebruik ons 'n breuk as eksponent in die mag. Ons ondersoek dit in die volgende afdeling. Die vierkantswortel _ Dit is algemeen om die vierkantswortel van 'n getal met 'n wortelsimbool (√ ​  ​ ) te skryf​. Ons kan egter ook rasionale eksponente gebruik om die vierkantswortel ____ van 'n getal te skryf. Dit is 'n 1 √ __ and manier om 'n vierkantswortel te skryf. Byvoorbeeld, ​​ 100 ​ kan ook as 100​​  ​ 2​​geskryf word. Soms, as ons die vierkantswortel op hierdie manier skryf, help dit ons in ons berekeninge – dit is makliker om met eksponente te werkas met vierkantswortels. Die tabel hieronder gee 'n paar voorbeelde van die vierkantswortel van 'n getal uitgedruk in eksponensiële vorm. Wortelvorm Eksponensiële vorm Heelgetal ___ ​​ 49 ​​ √ ​​  ​​ 1 __ 7 49 2 ___ ​​√ 64 ​​ ​​  ​​ 1 __ 8 64 2 ___ 81​​  2 ​​ 1 __ ​​ 81 ​​ √ 9 OEFENING 1.5 1. Bereken die volgende. ____ ____ ____ ____ a) ​​√225 ​ c) ​​√625 ​ e) ​​√169 ​+ ​√400 ​ ____ ____ ____ b) ​​√289 ​ d) ​​√676 ​− √ ​ 144 ​ 2. Bereken die waarde van elkeen deur die geskikte eienskap van eksponente te gebruik. 1 (9) ​ __12 ​ ​​(0, 01)​​  ​ ​  1__2 ​ 1 2 a) ​​9​​  ​ d) f) −​(​25​​  ​ 2​​)​ 1 1 (16) __ 1 __ −​16​​  ​ 2​​ b) ​ e) 9 2 g) ​ ​ __12 ​ ​ __12 ​ c) ​​(−16)​​  ​ h) ​​(0, 25)​​  ​ 3. Skryf elke getal in wortelvorm en vereenvoudig. (16) 1__ 1 ​  1__2 ​ ​  1__2 ​ a) ​​9​​  ​ c) ​​(−16)​​  ​ e) 9 2 1 (9) ​​(0, 01)​​  ​ ​  2 ​ ​ __21 ​ 1 2 −​16​​  ​ b) ​ d) f) 12 Tegniese Wiskunde | Graad 11 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 12 2018/02/05 16:10

​  1__2 ​ −​(​25​​  ​)​ g) ​ ​ __12 ​ h) ​​(0, 25)​​  ​ Nota: Wanneer jy van wortelvorm na eksponensiële vorm verander, onthou die volgende: • Die nde wortel van a kan as __'n breukeksponent geskryf word, met a verhef tot die inverse n 1 __ (resiprook) van die wortel ​​ √a ​ = ​a​​  ​n​​. • Wanneer die nde wortel van am geskryf word, is dit verhef aan die krag, __ ​​ n1 ​. Wanneer 'n krag tot 'n ander krag verhef word, vermenigvuldig ons die kragte. ____Dit beteken dat ons m (ook as ​1 ​ geskryf)​ en ​​  n ​ word met mekaar vermenigvuldig. Dus ​​ ​a​​  ​ = ​a​​  ​. m ___ __ 1 ​m n ___ √ m n ​ 1.5 Die derdemagswortel Die derdemag van 2 is 8. Hoekom? Wanneer ons die derdemag van 'n getal bepaal, beteken dit ons bereken die getal tot die mag drie. Dus, wanneer ons dan die derdemagswortel van 'n getal wil vind, moet ons die teenoorgestelde proses volg van wat ons gedoen het om die getal tot die mag drie te bereken. Ons kan ook 'n derdemagswortel na sy eksponensiële vorm herlei deur gebruik te maak van 'n breuk in die mag. Die breuk dui aan dat dit 'n wortel of 'n wortelvorm is. Dus kan ons die derdemagswortel ___ 3 van 'n getal voorstel met behulp van 'n breukeksponent (rasionale eksponent), byvoorbeeld, ​​√27 ​ kan 1 __ ook as 27​​  ​ 3​​geskryf word. Die tabel hieronder gee 'n paar voorbeelde van die derdemagswortel van 'n getal uitgedruk in eksponensiële vorm. Wortelvorm Eksponensiële vorm Heelgetal 3 ___ 1 ​ ​ __ ​​ √27 ​​ ​​27​​  ​​ 3 3 3 ___ 1 ​​ √64 ​​ __ ​​64​​  ​ 3 ​​ 4 3 ___ 1 __ ​​ √–27 ​​ ​​–27​​  ​ 3 ​​​ –3 Uitgewerkte voorbeeld 1.9 Uitgewerkte voorbeeld 1.10 Gebruik die toepaslike eienskappe van Gebruik die toepaslike eienskappe van 1 __ 1 __ eksponente om die waarde van 64​​ ​ 3 ​​​ te bereken. eksponente om die waarde van ​​8​​ ​ 3 ​​​ te bereken. Oplossing Oplossing ​  1 ​ __ ​  1 ​ __ ( ​4​​  3​  )​​  ​ ​​8​​  ​ 3 ​  = ​(23)​​  ​ 1 __ 3 1 __ 3 ​​64​​  ​ 3 ​  = ​    = 43 × = 2​    = 4​ Hoofstuk 1 Eksponente en wortelvorme 13 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 13 2018/02/05 16:10

OEFENING 1.6 1. Gebruik die toepaslike eienskappe van eksponente om die waarde van elke getal te 1__bereken. ​  3 ​ g) ​​(0, 001)​​  ​ 1 __ 1 __ a) ​​125​​  ​3​​ − ​216​​  ​ 3​​ d) ​ ​  1__3 ​ 1 __ 1 __ − ​125​​  ​ 3​​ b) ​ e) ​​729​​  ​ 3​​ h) ​​(−0, 001)​​  ​ (27) 1 c) ​​216​​  ​ 3​​ 1 __ − ​729​​  ​ 3​​ f) ​ 1 __ i) 8 3 2. Skryf elkeen van die volgende in wortelvorm en vereenvoudig. e) ( 343) 1 (216) 1 ​  31 ​ __ 125 3 8x3 3 − ​27​​  ​1 a) ​ c) b) ( ) 64 3 ​  1__3 ​ f) ​​​(−512)​​​  ​ 1 __ 27 4 ​096​​  ​ 3​​ d) ​ In die algemeen, herlei ons soos volg: Wortelvorm Eksponensiële vorm __ 1 __ ​​ a ​​ √ ​​a​​  ​ 2 ​​​ 3 ___ 1 __ ​​ √a ​​ ​​a​​  ​ 3 ​​​ 4 __ 1 __ ​​ √a ​​ ​​a​​  ​ 4 ​​​ 5 __ 1 __ ​​ √a ​​ ​​a​​  ​ 5 ​​​ n __ 1 __ ​​ √a ​​ ​​a​​  ​ n ​​ Uitgewerkte voorbeeld 1.11 Uitgewerkte voorbeeld 1.12 Gebruik die eienkappe van eksponente om die Gebruik die eienkappe van eksponente om die 1 __ 1 __ waarde van 256​​  ​ 4​​​ te bereken. waarde van ​​–243​​  ​ 5​​​ te bereken. Oplossing Oplossing 1 ​ 1 ​ ​ __ ​ __ ( ​4​​  ​)​​  ​ ( ​–3​​  5​)​​  ​ 4 4 5 ​  41 ​ __ 1 __ ​​256​​  ​  = ​ ​​–243​​  ​ 5 ​​  = ​ 1 __ 1 __    = ​4​​  4 × ​ 4 ​​    = ​–3​​  5 × ​ 5 ​​    = 4​    = –3​ OEFENING 1.7 1. Gebruik die eienkappe van eksponente om die waarde van elkeen te bereken. 1 __ 1 __ 1 __ a) ​​32​​  ​ 5​​ −​128​​  ​ 7​​ d) ​ g) ​​16​​  ​ 4​​ 1 __ 1 __ 1 __ b) ​−​32​​  ​ 5​​ e) ​​64​​  ​ 2​​ h) ​​64​​  ​ 6​​ 1 __ 1 __ 1 __ c) ​​128​​  ​ 7​​ f) ​− ​64​​  ​ 2​​ i) ​​256​​  ​ 8​​ 14 Tegniese Wiskunde | Graad 11 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 14 2018/02/05 16:10

2. Gebruik die eienkappe van eksponente om die waarde van elkeen te bereken. ( 625 ) 1 ​  41 ​ __ 1 296 4 1 __ a) ​​(625)​​  ​ c) e) ​​​(1 296)​​​  ​ 5​​ 1 (81) ( 243 ) 1 16 4 __1 16 807 4 b) − ​32​​  ​ 5​​ d) ​ f) Nota: • In die reële getallestelsel, kan ons die volgende bereken: ___ 4 ___ ____ 6 ◦◦ ewe wortels van nie-negatiewe getalle, byvoorbeeld, √ ​​ 16 ​; ​​√16 ​;​​√ 64 ​ 3 ____ 3 ___ 5 ___ 7 _____ ◦◦ onewe wortels van enige reële getal, byvoorbeeld, ​​ √–27 ​​; ​​ √27 ​​; ​​ √32 ​​; ​​ √–128 ​​ 1 __ 1.6 Uitdrukkings in die vorm a​​  ​ n ​​ __ m Die uitdrukking a​​  ​  n ​​​ is gelyk aan (​√a ​)​​​  ​​. __m n Uitgewerkte voorbeeld 1.13 Uitgewerkte voorbeeld 1.14 ​  3__2 ​ ​  2 ​ Skryf 4​​  ​ in wortelvorm en vereenvoudig. __ Skryf (− ​27)​​  ​ in wortelvorm en vereenvoudig. 3 Oplossing Oplossing ​  3 ​ __ ​  2 ​ __ ​​4​​  ​ (​− ​27)​​  ​ 2 3 __ 3 = ​​(√  ​ )​​​ ​ ____ 2 = ​​(​√ − 27 ​)​​​  ​ ​4 3 = ​(2)​​  ​ 3 = ​(–3)​​  2​ = 8​ = 9​ Uitgewerkte voorbeeld 1.15 2 __ Skryf 64​​  ​ 3​​ in wortelvorm en vereenvoudig. Oplossing 2 __ ​​64​​  ​ 3​​ ___ 2 = ​​(​√ 64 ​)​​​  ​ 3 = ​(4)​​  ​ 2 = 16​ Hoofstuk 1 Eksponente en wortelvorme 15 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 15 2018/02/05 16:10

OEFENING 1.8 1. Skryf die volgende in wortelvorm en vereenvoudig. m) (64) 1 ​  2__3 ​ ​  2__3 ​ ​  45 ​ __ 27 3 a) ​​8​​  ​ e) ​​216​​  ​ i) ​​16​​  ​ (125) 2 2 __ 1 __ 3 __ b) ​​27​​  ​ 3​​ f) ​​343​​  ​ 3​​ j) ​​9​​  ​ 2​​ 2 n) 64 3 k) (27) 2 __ 2 __ 8 3 − ​64​​  ​ 3​​ c) ​ g) ​​512​​  ​ 3​​ 2 __ o) ​​8​​  −​3​​ l) ( ) 1 d) ​​125​​  ​ 3​​ 2 __ h) ​​1 000​​  ​ 3​​ 2 __ 27 3 2 __ p) ​​64​​  −​3​​ 64 2. Gebruik die toepaslike eienskappe van eksponente om die waardes van elkeen te bereken. m) (64) 1 ​  2__3 ​ ​  2__3 ​ ​  45 ​ __ 27 3 a) ​​8​​  ​ e) ​​216​​  ​ i) ​​16​​  ​ (125) 2 2 __ 1 __ 3 __ b) ​​27​​  ​ 3​​ f) ​​343​​  ​ 3​​ j) ​​9​​  ​ 2​​ 2 n) 64 3 k) (27) 2 __ 2 __ 8 3 − ​64​​  ​ 3​​ c) ​ g) ​​512​​  ​ 3​​ 2 __ o) ​​8​​  −​3​​ (64) 2 2 1 __ __ d) ​​125​​  ​ 3​​ h) ​​1 000​​  ​ 3​​ 27 3 2 __ l) p) ​​64​​  −​3​​ 1.7 Vereenvoudiging van uitdrukkings wat wortelvorme bevat Ons kan uitdrukkings wat wortelvorme bevat vereenvoudig deur hierdie uitdrukkings as ekwivalente uitdrukkings oor te skryf, en dan die toepasklike eienskappe van eksponente te gebruik om hulle te vereenvoudig. Uitgewerkte voorbeeld 1.16 _______ 4 Vereenvoudig ​​√ 16 ​a​​  16​; a ∈ ℝ ; a ≥ 0​ Oplossing _______ _______ ​√ 16 ​a​​  16​ ​ ; a ∈ ℝ ; a ≥ 0 4 ​​ √ 16 ​a​​  16​ ​  ; a ∈ ℝ ; a ≥ 0 4 Of ______ ​  41__​ = ​√ ​2​​  4​ ​a​​  16​ ​ = ​​(16 ​a​​  ​)​​​  ​ 4 16 16 × ​ ​__​​ 1 4 × ​__ = ​2​​  ​  4 ​​ ​​a​​  1 = 2 ​a​​  4​​ 4 ​ = 2 ​a​​  ​ 4 Kontroleer: ​​​(2 ​a​​  4​)​​​  4​ = ​2​​  4​​a​​  4 × 4​ Kontroleer: ​​​(2 ​a​​  4​)​​​  4​ = 16 ​a​​  16​ = ​2​​  4​​a​​  4 × 4​ = 16 ​a​​  16​​ 16 Tegniese Wiskunde | Graad 11 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 16 2018/02/05 16:10

OEFENING 1.9 Vereenvoudig. _____ __________ ____ 6 3 a) ​​√16x2 ​​ c) ​​ √729 m12n18 ​​ e) ​​ √8 x6 ​​ _________ _______ _____ 7 b) ​​ √64x4y8z12 ​​ d) ​​ √128 a14 ​​ f) ​​ √27y9 ​​ 4 3 Aanvaar dat alle veranderlikes positiewe reële getalle is. Bereken eksponensiële vergelykings wat rasionale 1.8 eksponente bevat Om 'n eksponensiële vergelyking te bereken, kan ons 'n redelik eenvoudige metode gebruik. Maar om hierdie metode te gebruik, benodig ons 'n baie spesiale vorm van die eksponensiële vergelyking, Hierdie spesiale vorm is, as bx = by then x = y. Nota: Wanneer ons vergelykings op hierdie manier oplos , moet die grondtalle in beide exponente dieselfde wees. Kom ons kyk na 'n voorbeeld. Uitgewerkte voorbeeld 1.17 Los op vir x. 2 __ ​x​​  ​ 3​​ = 81​ Oplossing Kontroleer 2 __ ​  2 __ ​x​​  ​ 3 ​​= 81 ​​729​​  ​ 3 ​​ 2 __ __2 3 __ __3 ​x​​  ​ 3 ​  × ​ 2 ​ = ​3​​  4 × ​ 2 ​ = ​9​​  3 × ​3 ​​    x = ​3​​  6​ = ​9​​  2​    x = 729​ = 81​ OEFENING 1.10 1. Los op vir x: 5 3 d) ​​125​​  x + 1​= 5​ __ __ 4 ​x​​  ​ 2​​ = 128​ a) ​ 3 ​x​​  ​ 4​​ = 375​ g) ​ 3 2 b) ​​25​​  2x​ = ​5​​  x − 3​ __ __ 3 ​x​​  ​ 7​​ = 81​ e) ​ 7 ​x​​  ​ 3​​ = 343​ h) ​ 1 f) ​​6​​  x − 1​= ​36​​  −x​ i) ​​64​​  x − 1​ = ​16​​  x​ __ c) ​​x​​  ​ 3​​ = 27​ Hoofstuk 1 Eksponente en wortelvorme 17 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 17 2018/02/05 16:10

2. In 'n krat weeg elke houer 63 kg. Hoeveel sal 65 houers weeg? 3. 'n Komeet is 1012 kilometer weg van die Aarde en beweeg teen 'n spoed van 105 kilometer per dag. Hoeveel dae sal dit die komeet neem om die Aarde te bereik? 4. Die gewig van 'n pasgebore panda is 2,2 × 10–1 kg. As 'n volwassene panda 1,2 × 103 keer meer as 'n pasgebore panda weeg, hoeveel weeg 'n volwasse panda? 1.9 Wortelvorme Die wortels van sommige getalle kan as rasionale getalle geskryf word, byvoorbeeld: __ ___ ___ 9 √ ​ = ​3__5 ​ 3 √ a) ​​ 4 ​​ = 2 √ b) ​​ 27 ​​ = 3 c) ​​ ___ ​25 __ Wat van ​​√ 8 ​? Kan ons die vierkantswortel van 8 as 'n heelgetal of as 'n breuk skryf? Die antwoord is nee. Wortels van sommige getalle kan nie as 'n heelgetal of as 'n breuk geskryf word nie. Ons noem hierdie getalle wortelvorme. OEFENING 1.11 1. Kopieer en voltooi die tabel in jou oefeningboek. Getal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Volkome vierkante van die getal 2. Sonder om jou sakrekenaar te gebruik, skryf die waarde van die volgende. Gebruik dan jou sakrekenaar om jou antwoorde te kontroleer: __ _____ ____ ________ a) ​​√ 9 ​ b) ​​√ 900 ​ c) ​​√ 16 ​ d) ​​√ 1 600 ​ 3. Kopieer en voltooi die tabel. Bereken die veelvoude van die volkomevierkante. Moenie jou sakrekenaar gebruik nie. × 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 4 16 80 25 36 49 392 64 81 100 900 4. Waar of onwaar? _____ _________ __ _____ a) ​​√ 900 ​ = √​ 9 × 100 ​ = √ ​ 9 ​× √ ​ 100 ​ = 30​ ________ ___________ ____ _____ b) ​​√ 1 600 ​ = ​√ 16 × 100 ​ = ​√ 16 ​× ​√ 100 ​ = 40​ 18 Tegniese Wiskunde | Graad 11 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 18 2018/02/05 16:10

________ ___________ ____ _____ c) ​​√ 2 500 ​ = ​√ 25 × 100 ​ = ​√ 25 ​× ​√ 100 ​ = 50​ ________ ___________ ____ _____ d) ​​√ 4 900 ​ = ​√ 49 × 100 ​ = √ ​ 49 ​× ​√ 100 ​ = 70​ ____ ____________ __ ____ __ e) ​​√ 75 ​ = ​√ 3 × 25 = ​​√ 3 ​× ​√ 25 ​ = 5 ​√ 3 ​ _____ ________ __ ____ __ f) ​​√ 486 ​ = √​ 6 × 81 ​ = √ ​ 6 ​× ​√ 81 ​ = 9 √ ​ 6​ Eienskappe van wortelvorme Die volgende eienskappe sal nuttig wees wanneer jy uitdrukkings wat wortelvorme bevat vereenvoudig. Wortelvorm Eksponensiële ekwivalent Beperking op die veranderlikes __ __ ​√ x ​× ​√ x ​ = x​ 1 __ 1 __ 1 __ 1 __ ​x​​  ​2​​​x​​  ​ 2​​ = ​x​​  ​ 2​+ ​2​​ = x​ ​x, y ∈ ℝ​; ​x ≥ 0​ ___ __ __ ​√ xy ​ = √​ x ​× ​√ y ​ 1 __ 1 __ 1 __ ​​(xy)​​​  ​ 2​​ = ​x​​  ​ 2​​​y​​  ​ 2​​ ​x, y ∈ ℝ ​;​ x, y ≥ 0​ 1 1 (y) x 2 x2 ​x, y ∈ ℝ ​; ​y ≠ 0​ = 1 y2 Uitgewerkte voorbeeld 1.18 Uitgewerkte____ voorbeeld 1.19 ____ __ __ Bereken √  ​  × ​√ 4 ​​. ​​ 4 Bereken √ ​​ 16 ​  × ​√ 16 ​​. Oplossing Oplossing __ __ ___ ___ ​​√4  ​  × ​√4  ​ ​​√16 ​  × ​√16 ​ =2×2 =4×4 = 4​ = 16​ Uitgewerkte_____ voorbeeld _____ 1.20 Uitgewerkte voorbeeld_____ 1.21 ____ Bereken ​​√ 100 ​  × ​√ 100 ​​. Vereenvoudig die uitdrukking ​​√ 300 ​  × ​√ 16 ​​. Oplossing Oplossing ____ ____ ____ ___ ​​ 100 ​  × ​√100 ​ √ √ ​​ 300 ​  × ​√16 ​ _______ = 10 × 10 = ​√3 × 100 ​  × 4 __ ____ = 100​ = ​√3  ​  × ​√100 ​ × 4 __ = 10 ​√3  ​  × 4 __ = 4 × 10 ​√3  ​ __ = 40 ​√3  ​​ Hoofstuk 1 Eksponente en wortelvorme 19 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 19 2018/02/05 16:10

OEFENING 1.12 1. Vereenvoudig. (Los jou antwoord in wortelvorm.) _____ _____ _____ __ a) ​​√ 392 ​ e) ​​√ 128 ​ i) ​​√ 392 ​× ​√ 8 ​ _____ ____ ____ b) ​​√ 600 ​ f) ​​√ 12 ​ j) ​ 3 × ​√ 12 ​ _____ ____ __ ____ c) ​​√ 343 ​ g) ​​√ 98 ​ k) ​​√ 3 ​× √​ 12 ​ _____ _____ _____ d) ​​√ 810 ​ h) ​​√ 175 ​ l) ​​√ 192 ​ Nota: Ken volkome vierkante van natuurlike getalle, asook hul veelvoude. Dit sal baie nuttig wanneer wees waneer jy wortelvorme vereenvoudig. • As jy die volkome vierkant van 'n getal ken, ken jy dus sy hoofvierkantswortel. • Kennis van die veelvoude van volkome vierkante stel jou in staat om hulle as 'n produk van: ____ ________ ◦◦ n volkome vierkant en 'n nie-volkome vierkant (Byvoorbeeld: ​​√ 48 ​ = ​√ 3 × 16 ​ _____ ________ ◦◦ n volkome vierkant en 'n nie-volkome vierkant: (Byvoorbeeld: ​​√ 144 ​ = ​√ 9 × 16 ​ te skryf. 2. Vereenvoudig en los jou antwoord in wortelvorm (waar nodig): ____ _____ __ √ 75 ​ √ 192 ​ √ ​____ a) ​​  5 ​ ​_____ c) ​​  _____ ​ ____ ​× ​ 5 e) ​​  1 __ __ ​ g) ​​ __ ​× ​  8 ​_ ​ __ 2 ​ ___ ​√ 108 ​ ​√ 3 ​ ​√ 3 ​ ​√ 8 ​ ​√ 8 ​ _____ __ __ ____ √ 125 ​ √ 5​ √ √ 25 ​ ​_____ b) ​​  __ ​ ​ _____ d) ​​  _____ ​ f) ​​  _ ​× ​ 27 ​​ ___2 ​ __ ​____ h) ​​  ____ ​ ​√ 5 ​ ​√ 125 ​ ​√ 7 ​ ​√ 75 ​ Optel en aftrek van eenvoudige wortelvorme In vorige grade het jy geleer dat ons net gelyksoortige terme optel of aftrek. __ __ ​4 √ ​ 3 ​ en ​6 √​ 3 ​ word gelyksoortige wortelvorme genoem, net soos 4x en 6x ongelyksoortige terme genoem word. __ __ ​3 ​√ 2 ​ en ​7 ​√ 5 ​ word ongelyksoortige wortelvorme genoem, net soos 3x en 7y teenstellende terms genoem word. As jy moet besluit of die wortelvorme _ gelyksoortige of ongelyksoortige terme is, kyk jy na die getal (√ ) binne die wortelteken ​  ​  ​. Vir wortelvorme om gelyksoortig te wees, moet die getal binne die wortelteken dieselfde wees. 20 Tegniese Wiskunde | Graad 11 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 20 2018/02/05 16:10

Uitgewerkte voorbeeld 1.22 __ __ Vereenvoudig ​4 ​√ 3 ​+ 6 ​√ 3 ​ Oplossing __ __ ​4 ​√ 3  ​  + 6 ​√ 3  ​ __ = (4 + 6 ) ​√ 3  ​ __ = 10 ​√ 3  ​​ OEFENING 1.13 Vereenvoudig. __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ a) ​7√ ​ 5 ​+ 3 ​√ 2 ​+ 8 ​√ 5 ​− 2 √ ​ 2 ​ c) ​​√ 3 ​+ 2 ​√ 3 ​+ 3 ​√ 3 ​+ 4 ​√ 3 ​+ 5 ​√ 3 ​+ 6 ​√ 3 ​ __ __ __ __ __ __ b) ​3 ​√ 3 ​− ​√ 2 ​− 4 ​√ 3 ​ d) ​ 10 ​√ 7 ​− 3 ​√ 7 ​− 7 ​√ 7 ​ ____ __ ____ Kan on ​​√ 27 ​+ ​√ 8 ​+ ​√ 75 ​ vereenvoudig? Nota: Deur net na die uitdrukking hierbo te kyk , mag ons dink dat daar geen soortgelyke terme in die uitdrukking is nie. Wees versigtig wanneer jy met vrae soos hierdie werk. Kyk eers of die gegewe wortelvorme in hul eenvoudigste vorm geskryf is of nie. Indien nie, herskryf die nommers onder die wortelteken so dat hulle geen faktore wat volkome vierkante is het nie. Vereenvoudig dan die uitdrukking. Uitgewerkte voorbeeld 1.23 ____ __ ____ Vereenvoudig: ​​√ 27 ​+ ​√ 8 ​+ ​√ 75 ​ Oplossing ____ __ ____ ​​√27 ​  + ​√8 ​  + ​√75 ​ ______ ______ ________ = ​√3 × 9 ​  + ​√2 × 4 ​  + ​√3 × 25 ​ __ __ __ = 3 ​√3  ​  + 2 ​√2 ​  + 5 ​√3  ​ __ __ = 8 ​√3  ​  + 2 ​√2 ​​ Hoofstuk 1 Eksponente en wortelvorme 21 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 21 2018/02/05 16:10

OEFENING 1.14 Vereenvoudig. ____ ____ __ __ ____ _____ __ __ a) ​​√ 48 ​− ​√ 50 ​+ ​√ 5 ​− 4 ​√ 3 ​ f) ​​√ 54 ​+ 6 ​√ 216 ​+ ​√ 6 ​− 2 ​√ 3 ​ ____ ____ __ __ _____ ____ _____ b) ​​√ 18 ​+ ​√ 12 ​− 2 √ ​ 2 ​+ 7 ​√ 3 ​ g) ​ 5 ​√ 180 ​+ ​√ 63 ​− 2 √ ​ 112 ​ ____ ____ __ ____ ____ _____ _____ c) ​ − 5 ​√ 20 ​+ ​√ 28 ​− ​√ 5 ​ h) ​ − ​√ 18 ​+ ​√ 27 ​+ ​√ 147 ​− ​√ 162 ​ _____ _____ _____ ____ _____ ____ d) ​​√ 243 ​+ ​√ 300 ​+ ​√ 108 ​ i) ​​√ 96 ​+ ​√ 180 ​− ​√ 24 ​ _____ _____ _____ _____ _____ ____ e) ​​√ 700 ​+ ​√ 112 ​− ​√ 175 ​ j) ​​√ 245 ​+ ​√ 147 ​+ ​√ 96 ​ Vermenigvuldiging van eenvoudige wortelvorme In hierdie afdeling sal ons die volgende reëls wat ons in algebra gebruik het toepas om eenvoudige wortelvorme op te los. • x2 – y2 = (x – y)(x + y) • (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 • (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 • (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd • a(b + c) = ab + ac In vermenigvuldiging kan ons wortelvorme kombineer en split. __ __ __ __ Ons noem dit groepering. Byvoorbeeld, ​2 ​√5  ​​ kan as ​2 × ​√5  ​ × 3 ​√7  ​ × 3 × ​√7 ​​ geskryf word. Ons kan dan die getalle vereenvoudig deur hul in een groep __ te vermenigvuldig, __ ____ en die ____ wortelvorme in 'n ander groep te vermenigvuldig. Dit word dan 2 × 3 × ​√5  ​ = 6 × ​√35 ​​ or ​6 ​√35 ​​.  ​ × ​√7 Uitgewerkte voorbeeld 1.24 __ __ Vereenvoudig (3 + ​√2  ​ )​​(3 − ​√2  ​ )​​. Nota: Oplossing __ __ x2 – y2 = (x – y)(x + y) is nuttig ​​(3 + ​√2  ​ )​​(3 − ​√2  ​ )​ in die vereenvoudiging van __ 2 wortelvorme. = ​(3)​ − ​​(​√2  ​ )​​​  ​ 2 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 =9−2 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 = 7​ 22 Tegniese Wiskunde | Graad 11 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 22 2018/02/05 16:10

OEFENING 1.15 Vereenvoudig die volgende uitdrukkings: __ __ __ __ __ __ __ __ a) ​​(√ ​ 3 ​+ 3)(​​ √​ 3 ​− 3)​ c) ​​(√ ​ 3 ​+ ​√5  ​ )(​​ √ ​ 3 ​− √  ​ )​ ​5 e) ​​(√ ​ 7 ​− x)(​​ √​ 7 ​+ x)​ __ __ __ __ __ __ b) ​​(3 + ​√ 3 ​)​​(3 − ​√ 3 ​)​ d) ​​(a − ​√ b ​   )​​(a + ​√ b ​  )​ f) ​​(1 + ​√ 2 ​)​​(1 − ​√ 2 ​)​ Uitgewerkte voorbeeld 1.25 __ 2 Vereenvoudig ​​​(3 + ​√ 2 ​)​​​  ​. Oplossing __ 2 (​​​ 3 + ​√2 ​ )​​​  ​ __ __ = ​(3 + ​√2  ​ )​  ​ )​​(3 + ​√2 __ __ 2 = ​(3 )​​  2​+ 2 × 3 × ​√2  ​  + ​​(√ ​2 ​ )​​​  ​ __ = 9 + 6 ​√2  ​ + 2 __ = 11 + 6 ​√2  ​​ OEFENING 1.16 Vereenvoudig. __ 2 __ 2 __ 2 a) ​​​(1 – √ ​ 3 ​)​​​  ​ c) ​​​(2 ​√ 3 ​+ 1)​​​  ​ e) ​​​(− 1 −​√ 5 ​)​​​  ​ __ 2 __ 2 __ __ 2 __ 2 b) ​​​(​√ 3 ​− 1)​​​  ​(1 – ​√ 3 ​)​​​  ​ d) ​​​(​√ 3 ​+ ​√ 2 ​)​​​  ​ f) ​​​(3 − 3​√ 7 ​)​​​  ​ Nota: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a(b + c) = ab + ac Uitgewerkte voorbeeld 1.26 Uitgewerkte voorbeeld 1.27 __ __ __  ​ )(​​ 1 + ​√ 3 Vereenvoudig (​​ 3 − ​√ 2  ​ )​​. Vereenvoudig ​2(​ 1 + ​√ 3  ​ )​​. Oplossing Oplossing __ __ __ (​​ 3 − ​√2 ​ )(​​ 1 + ​√3 ​ )​ ​2(​ 1 + ​√3  ​ )​ __ __ __ __ __ = 3 × 1 + 3 ​√3 ​ − 1 ​√2 ​ − ​√2 ​ . ​√3  ​ = 2 + 2 ​√3  ​​ __ __ __ = 3 + 3 ​√3 ​ − ​√2 ​ − ​√6  ​​ Hoofstuk 1 Eksponente en wortelvorme 23 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 23 2018/02/05 16:10

OEFENING 1.17 Vereenvoudig. __ __ _____ __ __ a) ​​√ 3 ​​(5 + ​√ 3 ​)​ c) ​ − 5​(1 − ​√ 125 ​)​ 2 ​√ 7 ​​(1 − 2 ​√ 7 ​)​ e) ​ __ __ __ __ __ _____ b) ​​√ 2 ​​(​√ 2 ​− 7 ​√ 3 ​)​ d) ​​√ 6 ​​(​√ 2 ​+ 1)​ 9​(​√ 27 ​  + 1)​ f) ​ Deel eenvoudige wortelvorme ____ __ Ons kan groepering ook ____ vir deel gebruik. Byvoorbeeld, ​6 ​√10 ​  ÷ 3 ​√2 ​​kan as 'n breuk geskryf word, ____ __ __ __ √ __ ​  ​ 10 ​ ​  6 ​  × ____  ​ = __ dus 6 ​√10 ​  ÷ 3 ​√2  ​= 2 × ​√5  ​ = 2 ​√5 ​​. 3 ​√2  ​ Ons kan ook eers die wortelvorme wat ons gegee word vereenvoudig. Wanneer ons die wortelvorme ____ vereenvoudig, __ kan dit ons help om die uitdrukkings vinniger op te los. Byvoorbeeld, 9 ​√28 ​ ÷ 3 ​ √7 ​​kan direk deur groepering opgelos word, maar kom ons probeer om eers die wortelvorme te ____ __ __ vereenvoudig. ​​√28 ​​kan as 2 ​√7 ​​vereenvoudig word, maar √7 ​​ kan nie. __ __ __ __ __ Ons vraag word dus 9 × 2 ​√7  ​  ÷ 3 ​√7  ​  = 18 ​√7  ​  ÷ 3 ​√7  ​ = 6 ÷ 1 = 6​ (die ​​√7 ​​ kanselleer!). Uitgewerkte ____ voorbeeld 1.28 √21 ​ Vereenvoudig ​​  ​____ __ ​​. 3 ​√ 3  ​ Oplossing ____ √21 ​ _ ​​  ​___  ​ 3 ​√ 3  ​ ______ ​√ 3 ×__7 ​ ______ =  ​   ​ 3 ​√ 3 ​ __ __ √ ​ 3 ​ × ______  ​__√ 7  ​ = ​   ​ 3 ​√ 3  ​ __ √7 = ​  ​___ ​  ​​ 3 OEFENING 1.18 Vereenvoudig (waar nodig). __ ____ __ ____ √ √ 27 ​ √3​ a) ​​  3 ​ ____ __2 ​​ c) ​​  ​____ 3 ​ e) ​​  ​___ _ ​÷ ​√ 15 ​ ​√ 6 ​ ​√ 2 ​ ____ __ __ __ __ √ ​ 15 ​  + ____________ ​√ 3 ​ (​ √ ​ 3 ​− 1)(​​​__ 3 ​  + 1)​ √ ______________________ √ ​ 7​ ____ b) ​ ​  __ ​ d) ​​    ​ 6 ​  f) ​ ____ ​ ​√ 3 ​ ​√ 3 ​ ​√ 14 ​ 24 Tegniese Wiskunde | Graad 11 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 24 2018/02/05 16:10

KONSOLIDASIE OEFENING 1. Vereenvoudig. (216) 1 ​  1__4 ​ a) ​​81​​  ​ ​  3__4 ​ c) ​​81​​  ​ e) 125 3 (6) 3 ​ __12 ​ 5 b) ​​81​​  ​ d) 3 (81) 16 4 f) 2. Los op vir x. b) ( ) = x x+1 2 8 3x a) 2 =8 c) 3 = 27 3 27 3. Dui aan of die getalle wortelvorme is of nie. Verduidelik jou antwoord. ____ __ ___ √ a) ​​  4 ​ 16 ​ 3 _____ ​ b) ​ 5 √3​ ​ c) 3 + ​​ √64 ​​ 8 4. Vereenvoudig. ____ ___ __ 2 a) ​​√ ___ ​45 c) ​​​(2​√ 5 ​​​​ ) ​​ 4 25 ​ b) 3​​ √16 ​​ 5. Wat is die sylengte van 'n vierkant met die gegewe oppervlakte? Gee die antwoord in sy eenvoudigste vorm, en in wortelvorm waar nodig. a) 45 m2 b) 112 cm2 c) 552 cm2 6. Watter een van die volgende pare is gelyksoortige terme? Verduidelik hoekom jy so sê. ____ ____ ____ _____ _____ _____ a) ​​√ 75 ​ en √ ​ 25 ​ b) ​ ​ 72 ​ en √ 3√ ​ 378 ​ c) ​− 3​√ 363 ​ en 7​√ 847 ​ 7. Vereenvoudig. __ __ ____ __ ____ ____ a) ​​√ 7 (​​ 1 + 2 ​√ 7 )​ ​ b) ​​√ 15 ​× ​√ 3 ​ c) ​​(1 − √ ​ 11 ​)​​(1 + √ ​ 11 ​)​ 8. Vereenvoudig. __ __ ____ __ ____ ____ ____ a) ​​√ 2 ​+ 3​√ 8 ​ − 4​√ 12 ​+ 10​√ 3 ​ c) ​​√ 20 ​ − 2​√ 32 ​+ 8​√ 18 ​ _____ _____ 3 b) ​ 1 + ​√ 125 ​+ ​√ 363 ​ 9. Vereenvoudig. _____ ____ ___ (81) 3 √ 108 ​ a) ​​  ​_____ ​ ​√ b) ​​  75 ​_ ​ ____ c) 16 4 ​× ​  ​√ ____15 ​_ ​ 3 5 ​√ 3 ​ 2 ​√ 5 ​ Hoofstuk 1 Eksponente en wortelvorme 25 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 25 2018/02/05 16:10

Opsomming • Vir enige waarde a, behalwe nul, a0 = 1, byvoorbeeld, (–101)0 = 1 • ​​  1n ​​ , byvoorbeeld, 5–2 = __ Vir enige getal a, a– n = __ ​​  12 ​​ = ___ ​​  1 ​​ a 5 25 • Eksponente kan breuke wees, oor die algemeen: __ 3 __ ◦◦ ​​a​​  ​  n ​​= ​√a ​​, byvoorbeeld, ​​a​​  ​ 3 ​​  = ​√​a​​  5​ ​​; m __ n 5 __ __ __ ____ ◦◦ ​​a​​  ​ n​​= ​√a ​​, byvoorbeeld, ​​a​​  ​ 2 ​​ = √ 1 1 1 ​ a ​​ of ​​  100​​  ​ 2 ​​ = √ __ n __ __ ​ 100 ​​ = 10; __ __ 3 ____ ◦◦ ​​a​​  ​ 3​​ = ​√a ​​, byvoorbeeld, ​​a​​  ​ 3 ​​ = ​√a  ​​ of ​​125​​  ​ 3 ​​ = ​√125 ​​ = 5 1 __ 3 __1 3 __1 • As ax = ay dan x = y, byvoorbeeld: ◦◦ Los op vir x: 3x = 81 3x = 34 x=4 • 'n Getal wat as 'n vierkantswortel geskryf word, word 'n wortelvorm genoem. • Die twee 'wette' hieronder kan gebruik word om wortelvorme te vereenvoudig: __ __ ___ __ __ ◦◦ ​​  ​__ √b √a  ​ a ◦◦ ​​√a ​  × ​√b ​ = ​√ab ​​ __ __  ​ = ​ ​   ​ ​​ ​√b  ​ • Wanneer ons wortelvorme vereenvoudig, moet een van die grootste faktore 'n volkome vierkant wees, byvoorbeeld: ___ ◦◦ Vereenvoudig √​ 20 ​​. ___ _____ ​√20 ​ = ​√4 × 5 ​ __ __      ​  × ​√5 = ​√4  ​ __     = 2 ​√5 ​​ ___ 4 ​√__ ◦◦ Vereenvoudig ​ ​ 27 ​ ___  ​​. √ ​3 ​ ___ ___ ___ _____ ___ √ ​​  4 ​ ​√3 27 ​ __  ​ √​  27 ​ ​   ​ = 4 ​ __ 3 4 ​√ ___ 27 ​ 4 ​ of  ​  __ ​ = ​  9 ​√3 ​ √ _____ ​√3 __× ​  ​ 3 ​ __ __ __ 4 ​√9  ​  _____ × ​√3  ​    = 4 ​√9 ​  of    = ​  __  ​ ​√3 ​ __    = 4 × 3 of    = 4 ​√9  ​ = 12 of     = 12​ • Optelling en aftrekking van soortgelyke wortelvorme, byvoorbeeld: __ __ __ ◦◦ ​2 ​√3  ​  + 8 ​√3  ​ = 10 ​√3  ​​ __ __ __ __ ◦◦ ​− 2 ​√5  ​  + ​√7 ​  + 2 ​√5 ​ = √ ​7 ​​ __ __ _____ __ ◦◦ ​3 ​√8 ​  − 4 ​√2  ​ = 3 ​√4 × 2 ​  − 4 ​√2  ​ __ __ __    ​  × ​√2 = 3 ​√4  ​  − 4 ​√2 ​ __ __     = 6 ​√2  ​  − 4 ​√2  ​ __   = 2 ​√2  ​​ 26 Tegniese Wiskunde | Graad 11 TECH_MATHS_G11_LB_m01.indd 26 2018/02/05 16:10