TECH MATHS G11 LB m05 AFR2

5 Funksies en grafieke Doelwitte In hierdie hoofstuk gaan jy: • die effek van die parameters a, b en c op ‘n grafiek hersien, waar a nie tot 61 beperk is nie • die effek van p en q ondersoek op 'n grafiek van die funksie gedefinieër deur: ◦ y = f(x) = ax2 + bx + c ◦ y = f(x) = a(x ± p)2 + q a ◦ y=_ x+q ◦ y = a.f(x) = a.b2 + q • die grafieke van die bogenoemde funksies skets, insluitend: ◦ x2 + y2 = r2 _____ ◦ y = 6√r 2 − x 2 _____ ◦ y = +√r 2 − x 2 _____ ◦ y = − √r 2 − x 2 Ingenieurs gebruik funksies om die hoogte van 'n tuimeltrein (rollercoaster) bo die grond te bepaal.

5.1 Inleiding In Wiskunde wil ons dikwels oor die waarde van ’n hoeveelheid praat sonder om dit te bereken. Om dit makliker te maak om mee te werk, gebruik ons funksie notasies soos f(x) of g(x) om na die reël vir die berekening van ’n hoeveelheid se waarde te verwys, sonder om die reël weer oor en oor neer te skryf. In hierdie hoofstuk sal ons die funksie notasie gebruik om verhoudings tussen inset- en uitsetwaardes uit te druk. ’n Funksie bestaan uit: • ’n stel insetwaardes – genoem die definisieversameling van die funksie • ’n stel uitsetwaardes – bekend as die waardeversameling van die funksie, en • ’n reël wat ons vertel hoe om die uitsetwaardes te bereken wanneer ons weet wat die inset- waardes is. In vorige grade het ons die grafieke van f(x) = x2 en f(x) = –x2 geskets deur: • die voltooiing van ’n tabel met inset- en uitsetwaardes • die punte op die Cartesiese vlak te stip, en • die punte te verbind om ’n deurlopende gladde kromme te vorm. In hierdie hoofstuk sal ons die invloed van a, b en c op die grafiek f(x) = ax2 + bx + c ondersoek. 5.2 Hersiening: Die grafiek van f(x) = ax2; a = 1 Onthou dat die eenvoudigste vorm van die funksie f(x) = x2 is. Die grafiek van hierdie funksie is ’n parabool. Die grafiek is simmetries om die y-as, wat ook die simmetrie-as van hierdie funksie genoem word. Die koëffisiënt van x2 word a genoem. Kom ons werk deur ’n voorbeeld om ons geheue te verfris. Uitgewerkte voorbeeld 5.1 ’n Funksie word gedefinieër as f(x) = x2. a) Bereken die uitsetwaardes van f(x) = x2 vir ​x ∊​[–4; 4]. b) Stel die funksie f(x) = x2 voor met behulp van ’n tabel van waardes. c) Stip die punte op ’n Cartesiese vlak en verbind dan die punte om ’n grafiek te vorm. d) Bespreek die kenmerke van die grafiek. Oplossing a) f(–4) = (–4)2 = 16 f(–1) = (–1)2 = 1 f(2) = (2)2 = 4 f(–3) = (–3)2 = 9 f(0) = (0)2 = 0 f(3) = (3)2 = 9 f(–2) = (–2)2 = 4 f(1) = (1)2 = 1 f(4) = (4)2 = 16 Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 77

b) Tabel van waardes x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16 c) Die grafiek van f(x) = x2 y 10 A 9 E 8 7 6 5 B 4 D 3 2 1 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 4 5 d) Kenmerke (eienskappe) van die grafiek (i) Die vorm van die grafiek van f(x) = x2: Die grafiek buig opwaarts (a > 0). (ii) Afsnitte van die grafiek: Die grafiek sny die x-as by (0; 0) en die y-as by (0; 0). (iii) Simmetrie-as: Die grafiek is simmetries om die y-as. Byvoorbeeld, die punte (2; 4) en (–2; 4) is aan weerskante van die y-as. Die vergelyking van die simmetrie-as is x = 0. (iv) Die draaipunt (DP): Die grafiek het ’n draaipunt by (0; 0). (v) Maksimum of minimum waarde: Die grafiek het ’n minimum waarde van y = 0 (a < 0). Die minimum waarde is die y-koördinaat van die draaipunt. (vi) Die definisieversameling: Die definisieversameling is x ∊ ℝ of (−∞; ∞)​. (vii) Die waardeversameling: Die kleinste uitsetwaarde vir die funksie f(x) = x2 is 0. Die waardeversameling vir hierdie funksie is y ≥ 0 of ​[0; ∞)​. 78 Tegniese Wiskunde | Graad 11

5.3 Die effek van a op die grafiek van f(x) = x2 Die waarde van a bepaal hoe die grafiek gaan lyk. As die waarde van a positief is, dan sal die grafiek opwaarts buig (soos ’n glimlag), maar as a negatief is, sal die grafiek na onder buig (soos ’n frons). Die effek van a, a > 1, op die grafiek van f(x) = ax2 Ondersoek die effek van a op die grafiek van f(x) = x2, waar a > 1. OEFENING 5.1 1. a) Kopieër en voltooi die tabel met waardes vir die funksie f(x) = x2. x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) Stip en verbind die punte op die Cartesiese vlak. Jy het nou ’n grafiek van die funksie van f(x) = x2. 2. Kopieër en voltooi die tabelle hieronder met waardes vir die gegewe funksies. a) h(x) = 2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 h(x) b) g(x) = 3x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 g(x) c) Teken die grafieke van die funksies f, g en h op dieselfde assestelsel. 3. a) Gebruik die funksies en hul grafieke uit vraag 2 om die tabel hieronder te voltooi: f(x) = x2 h(x) = 2x2 g(x) = 3x2 (i) Waarde van a=1 a= a= b=0 b= b= c=0 c= c= (ii) x-afsnitte (iii) y-afsnit (iv) Koördinate van DP (0; 0) (v) Simmetrie-as (vi) Definisieversameling (vii) Waardeversameling b) Tot watter mate is die grafieke van die funksies f(x) = x2, h(x) = 2x2 en g(x) = 3x2: (i) dieselfde? (ii) verskillend? 4. Wat is die effek van a op die grafiek van f(x) = x , as a > 1? 2 Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 79

Die effek van a op die grafiek van f(x) = ax2 vir 0 ≤ a ≤ 1 Ondersoek die effek van a op die grafiek van f(x) = x2 waar 0 ≤ a ≤ 1. OEFENING 5.2 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) 1 ​ ​x​​  2​​ b) ​f(x )   = ​ __ 2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) c) ​f(x )   = ​  1 __ ​ ​x​​  2​​ 3 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) 2. a) Stip en verbind die punte op dieselfde assestelsel. Teken daarna die grafiek van elke funksie. b) Voltooi die tabel hieronder. f(x) = x2 1 ​ ​x​​  2​​ ​f(x ) = ​ __ 1 ​ ​x​​  2​​ ​f(x ) = ​ __ 2 3 (i) Waarde van a=1 a= a= b=0 b= b= c=0 c= c= (ii) x-afsnitte (iii) y-afsnit (iv) Koördinate van DP (0; 0) (v) Simmetrie-as (vi) Definisieversameling (vii) Waardeversameling 1 ​ ​x​​  2​​ en ​f(x ) = ​ __ c) Tot watter mate is die grafieke van die funksies f(x) = x2, ​f(x ) = ​ __ 1 ​ ​x​​  2: 2 3 (i) dieselfde? (ii) verskillend? 3. Hoe affekteer die waarde van a, waar 0 < a ≤ 1, die grafiek van f(x) = x2? 80 Tegniese Wiskunde | Graad 11

Die effek van a, a < 0, op die grafiek van f(x) = ax2 Ondersoek die effek van a op die grafiek van f(x) = x2, waar a < 0. OEFENING 5.3 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = –x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) f(x) = –2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) c) f(x) = –3x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) 2. a) Stip en verbind die punte op dieselfde assestelsel. Teken dan die grafiek van elke funksie. b) Voltooi die tabel hieronder. f(x) = x2 f(x) = –x2 f(x) = –2x2 f(x) = –3x2 (i) Waarde van a=1 a= a= a= b=0 b= b= b= c=0 c= c= c= (ii) x-afsnitte (iii) y-afsnit (iv) Koördinate van DP (0; 0) (v) Simmetrie-as (vi) Definisieversameling (vii) Waardeversameling 3. Watter effek het die waarde van a op die grafiek van: a) f(x) = ax2, as a < 0? b) f(x) = –x2 as a < –1? Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 81

Die effek van a, –1 < a < 0, op die grafiek van f(x) = ax2 Ondersoek die effek van a op die grafiek van f(x) = x2, waar –1 < a < 0. OEFENING 5.4 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = –x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) 1 ​ ​x​​  2​​ f(x ) = – ​ __ b) ​ 2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) 1 ​ ​x​​  2​​ c) ​f(x ) = − ​ __ 3 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) 2. Stip en verbind die punte op dieselfde assestelsel. Teken dan die grafiek van elke funksie. 3. a) Voltooi die tabel hieronder. Eienskappe f(x) = –x2 1 ​ ​x​​  2​​ ​f(x )   = − ​ __ 1 ​ ​x​​  2​​ ​f(x )   = – ​ __ 2 3 (i) Waarde van a=1 a= a= b=0 b= b= c=0 c= c= (ii) x-afsnitte (iii) y-afsnit (iv) Koördinate van DP (0; 0) (v) Simmetrie-as (vi) Definisieversameling (vii) Waardeversameling b) Gebruik jou eie woorde om die effek van a op die grafiek van f(x) = –x2 te beskryf. 82 Tegniese Wiskunde | Graad 11

5.4 Die effek van b op die grafiek van f(x) = ax2 Die waarde van b bepaal hoe die grafiek geteken gaan word. Die waarde van b skuif die refleksielyn, maar hoé dit skuif, hang nog steeds af van die waarde van a. ’n Stygende waarde van b; a > 0 en c = 0 Ondersoek die effek van b op die grafiek van f(x) = x2, waar a > 0 en c = 0. OEFENING 5.5 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) k(x) = 2x2 – 3x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 k(x) b) h(x) = 2x2 – 2x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 h(x) c) g(x) = 2x2 – x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 g(x) d) f(x) = 2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) e) s(x) = 2x2 + x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 s(x) f) t(x) = 2x2 + 2x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 t(x) g) p(x) = 2x2 + 3x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 p(x) Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 83

2. Stip en verbind die punte op dieselfde assestelsel. Teken dan die grafiek van elke funksie. 3. Kopieër en voltooi die tabel hieronder. Eienskappe k(x) = h(x) = g(x) = f(x) = 2x2 s(x) = t(x) = 2x2 – 3x 2x2 – 2x 2x2 – x 2x2 + x 2x2 + 2x (i) Waarde van a=2 a= a= a= b = –3 b= b= b= c=0 c= c= c= (ii) x-afsnitte (iii) y-afsnit (iv) Koördinate (0; 0) van DP (v) Simmetrie-as (vi) Definisie- versameling (vii) Waarde- versameling 4. Hoe affekteer ’n styging in die waarde van b die grafiek van f(x) = x2? a) Om die vraag te beantwoord, sal ons na die grafieke hieronder kyk. Die waarde van b styg van b = –3 na b = 3. b) Stip die koördinate van die draaipunte vir die grafieke hierbo op ’n stelsel van x-y asse. Wat neem jy waar? (i) f(x) = 1x2 + (–5)x (ii) f(x) = 1x2 + (–4)x y y 3 4 2 3 1 2 x 1 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 x –1 0 1 2 3 4 5 –2 –1 –3 –2 –4 –3 –5 –4 A = (2; –4) –6 A = (2.5;–6.25) –7 84 Tegniese Wiskunde | Graad 11

(iii) f(x) = x2 + (–3)x (iv) f(x) = x2 + (–2)x y y 3 3 2 2 1 1 S x 0 –1 1 2 3 4 x –1 0 –2 –1 1 2 3 –2 –1 A = (1; –1) A = (1.5; –2.25) (v) f(x) = x2 + (–1)x (vi) f(x) = x2 + (0)x y y 4 4 3 3 2 2 1 1 x x –2 –1 0 1 2 –2 –1 0 1 2 A = (0.5; –0.25) A = (0; 0) –1 –1 (vii) f(x) = x2 + x (viii) f(x) = x2 + (2)x y y 4 4 3 3 2 2 1 1 x x –3 –2 –1 0 1 2 –3 –2 –1 0 1 2 A = (–0.5; –0.25) –1 –1 A = (–1; –1) –2 Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 85

(ix) f(x) = x2 + (3)x y 4 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 –1 –2 A = (–1.5; –2.25) –3 Die effek van b op die grafiek van f(x) = ax2, waar a < 0, c = 0 Ondersoek die effek van b op die grafiek van f(x) = x2, waar a < 0 en c = 0. OEFENING 5.6 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) s(x) = –2x2 – 3x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 s(x) b) r(x) = –2x2 – 2x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 r(x) c) p(x) = –2x2 – x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 p(x) d) s(x) = –2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 s(x) 86 Tegniese Wiskunde | Graad 11

e) p(x) = –2x2 + x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 p(x) f) r(x) = –2x2 + 2x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 r(x) g) w(x) = –2x2 + 3x x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 w(x) 2. Stip en verbind die punte op dieselfde assestelsel. Teken dan die grafiek van elke funksie. 3. Hoe word die grafiek van f(x) = ax2 geaffekteer deur ’n stygende waarde van b, waar a < 0? 5.5 Die effek van c op die grafiek van f(x) = ax2 As daar geen b term is nie, sal die verandering van c die parabool op- of afskuif, sodat die y-afsnit (0, c) is. Die effek van c op die grafiek van f(x) = ax2, waar a > 0, b = 0 en c > 0 Ondersoek die effek van c op die grafiek van f(x) = x2, waar a > 0, b = 0 en c > 0. OEFENING 5.7 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = 2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) g(x) = 2x2 + 1 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 g(x) c) h(x) = 2x2 + 2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 h(x) Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 87

d) k(x) = 2x2 + 3 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 k(x) 2. a) Teken die grafieke van f(x) = 2x2, g(x) = 2x2 + 1, h(x) = 2x2 + 2 en k(x) = 2x2 + 3 op dieselfde assestelsel. b) Hoe affekteer ’n positiewe waarde van c die grafiek van f(x) = 2x2? Die effek van c op die grafiek van f(x) = ax2, waar a > 0 en c < 0 Ondersoek die effek van c op die grafiek van f(x) = x2, waar a > 0, b = 0 en c < 0. OEFENING 5.8 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = 2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) g(x) = 2x2 – 1 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 g(x) c) h(x) = 2x2 – 2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 h(x) d) k(x) = 2x2 – 3 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 k(x) 2. a) Teken die grafieke van f(x) = 2x2, g(x) = 2x2 – 1, h(x) = 2x2 – 2 en k(x) = 2x2 – 3. b) Hoe affekteer ’n negatiewe waarde van c die grafiek van f(x) = 2x2? 88 Tegniese Wiskunde | Graad 11

Die effek van c: f(x) = ax2 + c, a < 0 en c > 0 Ondersoek die effek van c op die grafiek van f(x) = x2, waar a < 0; b = 0 en c > 0. OEFENING 5.9 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = –2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) g(x) = –2x2 + 1 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 g(x) c) h(x) = –2x2 + 2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 h(x) d) k(x) = –2x2 + 3 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 k(x) 2. a) Teken die grafieke van f(x) = –2x2, g(x) = –2x2 + 1, h(x) = –2x2 + 2 en k(x) = –2x2 + 3. b) Hoe affekteer ’n positiewe waarde van c die grafiek van f(x) = –2x2? Die effek van c: f(x) = ax2, waar a < 0 en c < 0 Ondersoek die effek van c op die grafiek van f(x) = x2, waar a < 0, b = 0 en c < 0. OEFENING 5.10 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = –2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) g(x) = –2x2 – 1 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 g(x) Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 89

c) h(x) = –2x2 – 2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 h(x) d) k(x) = –2x2 – 3 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 k(x) 2. a) Teken die grafieke van f(x) = –2x2, g(x) = –2x2 – 1, h(x) = –2x2 – 2 en k(x) = –2x2 – 3. b) Hoe affekteer ’n negatiewe waarde van c die grafiek van k(x) = –2x2 – 3? c) Hoe affekteer ’n positiewe waarde van a = –2 die grafiek van: (i) f(x) = x2 (ii) f(x) = –x2 Die effek van p: f(x) = a(x – p)2, waar a > 0, p < 0 Ondersoek die effek van p op die grafiek van a(x – p)2, waar a > 0, en p < 0. OEFENING 5.11 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = 2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) s(x) = 2(x + 1)2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 s(x) c) p(x) = 2(x + 2)2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 p(x) d) k(x) = 2(x + 3)2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 k(x) 2. Teken die grafieke van die funksies op dieselfde assestelsel. 90 Tegniese Wiskunde | Graad 11

3. Gebruik die grafieke wat jy geteken het (en enige ander inligting) om die tabel hieronder te voltooi. f(x) = x2 f(x) = 2x2 s(x) = 2(x + 1)2 p(x) = 2(x + 2)2 k(x) = 2(x + 3)2 Waarde van a=1 a=2 a=2 a= a= p=0 p=0 p = –1 p= p= q=0 q=0 q=0 q= q= a) x-afsnit b) y-afsnit c) Simmetrie-as p = –1 d) Koördinate (0; 0) van DP e) Definisie- versameling f) Waarde- versameling 4. Hoe affekteer die waarde van p die grafiek van f(x) = 2x2? Nota: Die grafiek van f(x) = (x + 1)2 is dieselfde as die grafiek van f(x) = x2, maar die grafiek is een eenheid na links geskuif. Ons sê dat die basiese grafiek (f(x) = x2) is deur –1 eenheid horisontaal verplaas. Die simmetrie-as is nou x = −1. Die effek van p: f(x) = a(x + p)2, waar a < 0 Ondersoek die effek van p op die grafiek van a(x + p)2, waar a < 0. OEFENING 5.12 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = –2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) q(x) = –2(x + 1)2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 q(x) c) n(x) = –2(x – 1)2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 n(x) Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 91

2. Teken die grafieke van f(x) = –2x2, q(x) = –2(x + 1)2 en n(x) = –2(x – 1)2. 3. Gebruik die grafieke wat jy geteken het (en enige ander inligting) om die tabel hieronder te voltooi. f(x) = –x2 g(x) = –2x2 q(x) = –2(x + 1)2 n(x) = –2(x – 1)2 a) Waarde van a= a= a= a= p= p= p= p= q= q= q= q= b) x-afsnitte c) y-afsnit d) Simmetrie-as e) Koördinate (0; 0) van DP f) Definisie- versameling g) Waarde- versameling 4. Hoe affekteer die waarde van p die grafiek van f(x) = –2x2? Die effek van q: f(x) = a(x + p)2 + q, waar a > 0, q > 0 Ondersoek die effek van p op die grafiek van a(x + p)2 + q, waar a > 0 en q > 0. OEFENING 5.13 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = 2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) t(x) = 2(x + 1)2 + 1 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 t(x) c) v(x) = 2(x + 1)2 + 2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 v(x) 2. Teken die grafieke van f(x) = 2x2, t(x) = 2(x + 1)2 + 1 en v(x) = 2(x + 1)2 + 2. 92 Tegniese Wiskunde | Graad 11

3. Gebruik die grafieke wat jy geteken het (en enige ander inligting) om die tabel hieronder te voltooi. f(x) = –2x2 t(x) = 2(x + 1)2 + 1 v(x) = 2(x + 1)2 + 2 a) Waarde van a= a= a= p= p= p= q= q= q= b) x-afsnitte c) y-afsnit d) Simmetrie-as e) Koördinate van DP (0; 0) f) Definisieversameling g) Waardeversameling 5.6 Die effek van q op f(x) = a(x + p)2 + q Deur ’n funksie as f(x) = a(x + p)2 + q te skryf, kan ons bepaal hoe f(x) = 2x2 vertikaal en horisontaal getransleer of verskuif word, waar die simmetrie-as is, en ook waar die snypunte met die x- en y-asse is. Die effek van q: f(x) = a(x + p)2 + q, waar a > 0, p = 1, q < 0 Ondersoek die effek van p op die grafiek van a(x + p)2 + q, waar a > 0, p = 1, q < 0. OEFENING 5.14 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = 2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) g(x) = 2(x – 1)2 – 1 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 g(x) c) h(x) = 2(x – 1)2 – 2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 h(x) 2. Teken die grafieke van f(x) = 2x2, g(x) = 2(x – 1)2 – 1 en h(x) = 2(x – 1)2 – 2 op dieselfde assestelsel. Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 93

3. Gebruik die grafieke uit vraag 2 en enige ander inligting om die onderstaande tabel te voltooi. f(x) = 2x2 g(x) = 2(x – 1)2 – 1 h(x) = 2(x + 1)2 – 2 Waarde van a= a= a= p= p= p= q= q= q= a) x-afsnitte b) y-afsnit c) Simmetrie-as d) Koördinate van DP (0; 0) e) Definisieversameling f) Waardeversameling Die effek van q: f(x) = a(x + p)2 + q, waar a < 0, p = –1, q > 0 Ondersoek die effek van p op die grafiek van a(x + p)2 + q, waar a < 0, p = –1, q > 0. OEFENING 5.15 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = –2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) p(x) = –2(x + 1)2 + 1 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 p(x) c) w(x) = –2(x + 1)2 + 2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 w(x) 2. Teken die grafieke van f(x) = –2x2, p(x) = –2(x + 1)2 + 1 en w(x) = –2(x + 1)2 + 2 op dieselfde assestelsel. 94 Tegniese Wiskunde | Graad 11

3. Gebruik die inligting uit die grafieke (en enige ander inligting) en voltooi die tabel hieronder. f(x) = –2x2 p(x) = –2(x + 1)2 + 1 w(x) = –2(x + 1)2 + 2 a) Waarde van a= a= a= p= p= p= q= q= q= b) x-afsnitte c) y-afsnit d) Simmetrie-as e) Koördinate van DP (0; 0) f) Definisieversameling g) Waardeversameling 4. Hoe affekteer ’n positiewe waarde van q die grafiek van f(x) = –2x2? Die effek van q: f(x) = a(x + p)2 + q, waar a < 0, p = –1, q < 0 Ondersoek die effek van p op die grafiek van a(x + p)2 + q, waar a < 0, p = –1, q < 0. OEFENING 5.16 1. Kopieër en voltooi die tabelle met waardes vir die gegewe funksies: a) f(x) = –2x2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) b) g(x) = –2(x + 1)2 – 1 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 g(x) c) h(x) = –2(x + 1)2 – 2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 h(x) 2. Teken die grafieke van f(x) = –2x2, g(x) = –2(x + 1)2 – 1 en h(x) = –2(x + 1)2 – 2 op dieselfde assestelsel. Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 95

3. Gebruik die grafieke wat jy geteken het (en enige ander inligting) om die tabel hieronder te voltooi. f(x) = –2x2 g(x) = 2(x + 1)2 – 1 h(x) = –2(x + 1)2 – 2 Waarde van a= a= a= p= p= p= q= q= q= a) x-afsnitte b) y-afsnit c) Simmetrie-as d) Koördinate van DP (0; 0) e) Definisieversameling f) Waardeversameling 4. Hoe affekteer ’n negatiewe waarde van q die grafiek van f(x) = –2x2? 5. Gebruik die volgende grafieke en voltooi die tabel hieronder. Grafiek x-afsnitte y-afsnit Simmetrie- Koördinate Definisie- Waarde- Funksie as van DP versameling versameling a) b) c) d) e) f) a) b) y y 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 x 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 x –1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 –1 –2 –2 –3 96 Tegniese Wiskunde | Graad 11

y c) 4 d) y 3 12 10 2 8 1 6 x 4 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 2 –1 x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –2 –2 A = (–1.5; –2.25) –3 y e) y f) 3 2 2 1 x 1 0 –3 –2 –1 1 2 x –1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 –2 –1 –3 –2 –4 –3 –5 –6 –4 –7 –5 –8 –6 Nota: Wanneer ons die grafiek van f(x) = (x − 2)2 − 1 skets en dit met die basiese grafiek (f(x) = x2), vergelyk, kan ons sien dat die grafiek twee eenhede na regs en een eenheid na onder verskuif het. Die simmetrie-as is nou x = 2. Ons kan ook bepaal waar die grafiek die y-as sal sny, sonder om die grafiek te skets. Dit kan gedoen word deur f(0) = 3 te bereken, of deur die waarde in hakies te bereken en dan te sien dat die konstante term (die term sonder x) 3 is. Om te bepaal waar die grafiek van f(x) = (x − 2)2 − 1 die x-as sny, stel ons y = f(x) = 0 en los dan die vergelyking op vir x. Die funksie gee ’n aanduiding van hoe die basiese grafiek horisontaal en vertikaal getransleer of verskuif word. Dit gee ook ’n aanduiding van waar die simmetrie-as is, en waar die snypunte met die x- en y-asse is. Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 97

Uitgewerkte voorbeeld 5.2 Die funksie f(x) = – (x + 1)2 – 3 word gegee. 1. Lys die volgorde van stappe wat nodig is om die grafiek van die funksie te skets. 2. Skets die grafiek van f(x) = – (x + 1)2 – 3. Oplossing 1. Grafiek van f(x) = – (x + 1)2 – 3 is ’n transformasie van die grafiek van f(x) = x2. a) Die grafiek van f(x) = x2 word 1 eenheid na links verskuif: (x + 1)2 = (x – (–1))2. b) Dit word dan in die x-as gereflekteer: – (x + 1)2. c) Daarna word dit 3 eenhede na onder verskuif: – (x + 1)2 – 3. 2. y 2 1 x –3 –2 –1 0 1 2 –1 –2 A = (–1;–3) –3 –4 –5 –6 f(x) = –(x + 1)² –3 –7 Die vrae hieronder is gebaseer op die transformasie van die grafiek f(x) = x2. OEFENING 5.17 1. Die grafiek van f(x) = x2 is getransformeer sodat die simmetrie-as x = –5 is. a) Wat is die nuwe vergelyking? b) Wat is die koördinate van die draaipunt? c) Skets die grafiek van die nuwe vergelyking. 2. Die grafiek van f(x) = x2 word getransformeer sodat die nuwe simmetrie-as x = –5 is. Dit word dan met 2 eenhede na bo getransleer. a) Wat is die nuwe vergelyking? 98 Tegniese Wiskunde | Graad 11

b) Wat is die koördinate van die draaipunt? c) Skets die grafiek van die nuwe vergelyking. 3. Die grafiek van f(x) = x2 word getransformeer sodat die nuwe simmetrie-as x = –5 is. Dit dan met 0,25 eenhede na onder getransleer. a) Wat is die nuwe vergelyking? b) Wat is die koördinate van die draaipunt? c) Skets die grafiek van die nuwe vergelyking. 4. Die grafiek van f(x) = x2 word getransformeer sodat die draaipunt (0; 0) bly, maar nou gaan dit deur die punt (–3; 2). a) Wat is die nuwe vergelyking? b) Skets die grafiek van die nuwe vergelyking. 5. Die grafiek van f(x) = x2 word getransformeer sodat die draaipunt (4; –9) is. Dit is presies 3 keer so steil as die grafiek van f(x) = x2. a) Wat is die nuwe vergelyking? b) Skets die grafiek van die nuwe vergelyking. Gebruik kritieke punte om die grafiek van f(x) = ax2 + bx + c 5.7 te skets Wanneer die grafiek van f(x) = ax2 + bx + c geskets word, moet ons die volgende kritieke punte bepaal: • die x-afsnit • die y-afsnit • die simmetrie-as, en • die koördinate van die draaipunt. Om die kritieke punte vir die volgende te bepaal: f(x) = ax2 + bx + c f(x) = a(x – p)2 + q Kritieke punt Hoe word dit bereken, of soek inligting vir: Die x-afsnitte Stel y = 0 en los dan die kwadratiese vergelyking op deur: a) faktorisering, of b) die kwadratiese formule. Die y-afsnit Stel x = 0 en bereken c Stel x = 0 of gebruik y = ap2 + q Die simmetrie-as ​x = − ​  b ___ ​​ x=p 2a Die koördinate van Vervang ​x = − ​  b ___ ​​ in f(x) = (p; q) 2a die draaipunt ax2 + bx + c of gebruik ( 4a ) ___ ​  ; c − ​  ​b ​ − ​  b ​​  ​ ​ ​​ 2 ___ 2a om die koördinate te bereken. Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 99

Uitgewerkte voorbeeld 5.3 Bepaal die kritieke punte vir die funksie y = x2 – 5x + 6, en skets dan die grafiek. Oplossing a) x-afsnitte: Stel y = 0 x2 – 5x + 6 = 0 (x – 3)(x – 2) = 0 x – 3 = 0 of x – 2 = 0 x = 3 of x = 2 b) y-afsnit: Stel x = 0 y = 02 – 5(0) + 6 y=6 b − (− 5 ) 5 c) Simmetrie-as: ​x = − ​ ___ ​ = −  ​ _____ ​ = ​ __ ​​ 2a 2(1) 2 d) Draaipunt: y-koördinaat ​f​(__ ​  5 ​)​ = ( ​  5 ​)​​​  ​  − 5​(__ ​  5 ​)​ 2 ​​ __ of ___​​  ​ ​  ​b y = c − ​ 4a 2 of y = ​  4ac ______ − ​b​​  ​  ​ 2 2 2 2 4a 25 25 y = 6 − ​  ​5 ​​  ​ 2                  ___ ___ = ​  4 ​  − ​   ​  + 6 of ____  ​ 2 4(1 ) 25 − 50 _________ + 24 25                  = ​   4  ​ of y = 6 − ​ ___ 4  ​                   1 ​  = − ​ __ 4 of ​  24 −4 ​ y = ______ 25 of ​  14 ​​ y = − __ Draaipunt: ​​(__ 4) ​  5 ​  ; −​ __ 1 ​ ​​ 2 ​​(2​ __ ​  14 ​)​​ 1 ​; –  __ 2 e) Grafiek y 6 5 4 3 2 1 x –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 ( 5 – ; – –4 2 1 ) y = x2 – 5x + 6 100 Tegniese Wiskunde | Graad 11

OEFENING 5.18 Bepaal die kritieke punte vir elke funksie, en skets dan elke grafiek op ’n aparte x-y assestelsel: a) y = x2 – x – 2 g) y = 2x2 + 5x – 3 b) y = x2 + 6x + 8 h) y = 3x2 + 5x – 2 c) y = x2 + 2x – 8 i) y = –3x2 + 7x – 2 3 d) y = –x2 + x + 2 y = – ​x​​  2​  − ​ __ j) ​  ​  x + 1​ 2 e) y = –x2 – 2x + 8 k) y = (x – 2)(x + 3) f) y = –x2 – 7x – 6 l) y = –3(x + 1)(x – 2) Uitgewerkte voorbeeld 5.4 Bepaal die kritieke punte vir die funksie y = 2(x + 1)2 – 3, en skets dan die grafiek. Oplossing a) Simmetrie-as: y = 2(x + 1)2 – 3 y = 2(x – (–1))2 – 3 p = –1 b) Koördinate van die draaipunt: (p; q) = (–1; –3) c) y-afsnit: Laat x = 0 y = 2(0 + 1)2 – 3 y 2 y = –1 d) x-afsnitte: Laat y = 0 2(x + 1)2 – 3 = 0 1 2(x + 1)2 = 3 3 ​​(x + 1 )​​  2​  = ​ __ ​ x 2 __ √__2 3 –3.5 –3 –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 __ x + 1 = 6​ ​  ​ ​ √__32 ​ ​​ x = 1 6 ​ ​  –1 –2 –3 Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 101

OEFENING 5.19 Bepaal die kritieke punte vir elke funksie, en skets dan elke grafiek op ’n aparte x-y assestelsel: a) y = –(x + 2)2 + 1 1 ​ ​(x + 4 )​​  2​​ y = ​ __ d) ​ 4 y = 4 ​​(x – ​ __) 2 b) y = 3(x – 3) – 3 2 e) ​ 1 ​ ​​​  ​​ 4 c) y = –(x + 2)2 – 1 f) y = –3(x + 3)2 – 3 5.8 ’n Eksponensiële grafiek: y = abx ’n Eksponensiële funksie met grondtal b word gedefinieër deur die funksie f(x) = abx, waar a Þ 0, b > 0 en b Þ 1, en x enige reële getal is. Die grondtal, b, is konstant en die eksponent, x, is ’n veranderlike. Die eienskappe van ’n eksponensiële grafiek is: • die definisieversameling is almal reële getalle • die waardeversameling is almal positiewe reële getalle (nie nul nie) • die grafiek het ’n y-afsnit by (0; 1) • waar b > 1, styg die grafiek. Hoe groter die grondtal b is, hoe skerper sal die grafiek styg van links na regs • waar 0 < b < 1, daal die grafiek • het ’n asimptoot (’n lyn wat die grafiek baie, baie naby aan kom, maar nooit kruis of raak nie). Vir hierdie grafiek is die asimptoot die x-as (y = 0). Let wel: Enige getal tot die mag nul, is gelyk aan 1. Uitgewerkte voorbeeld 5.5 1. Skets die grafiek van y = 2x deur: a) die tabel te voltooi en die punte op ’n assestelsel te stip. b) die punte wat gestip is te verbind om ’n gladde kromme te vorm. 2. Lys die eienskappe van die grafiek. Oplossing 1. a) x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y = 2x ​​  1  ​​ ___ 1 ​​ ​​ __ 1 ​​ ​​ __ 4 1 ​​ ​​ __ 1 2 4 8 16 16 8 2 102 Tegniese Wiskunde | Graad 11

b) y 6 5 4 3 2 1 x –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 –2 2. Eienskappe van die grafiek a) Definisieversameling: ​x ∊ ℝ​ b) Waardeversameling: y > 0 c) Afsnit(te): y = 1 of (0; 1) d) Namate die waardes van x kleiner en kleiner word (in die voorbeeld verminder dit van 4 na –4), raak die waardes van y al hoe nader en nader aan 0. e) Namate die waardes van x styg (van –4 na 4 in die voorbeeld), styg die waardes van y ook. Die funksie y = 2x is ’n stygende funksie. f) Die grafiek se asimptoot is die x-as. Uitgewerkte voorbeeld 5.6 Die vergelyking van die grafiek hiernaas is in die vorm y = ax. Bereken die waarde van a en skryf die vergelyking vir die grafiek neer. y 9 Oplossing 8 Uit die grafiek kan die volgende vasgestel word: waar x = 0 is die ooreenstemmende y waarde 1, dit is, 1 = a0 7 waar x = 1 is die ooreenstemmende y waarde 3, dit is, 3 = a1 6 waar x = 2 is die ooreenstemmende y waarde 9, dit is, 9 = a2. 5 ∴ a = 3 en die vergelyking van die grafiek is y = 3x 4 3 2 1 0 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 103

OEFENING 5.20 1. Gebruik die tabel-metode om elke grafiek hieronder op ’n aparte assestelsel te skets: a) g(x) = 3x d) f(x) = 1,25x g) y = 2,2x b) q(x) = 4x e) h(x) = 2,5x h) y = 2,3x c) t(x) = 5x f) y = 3,2x i) y = 2,4x 2. Kopieër en voltooi die tabel hieronder. Funksie Afsnit Definisieversameling Waardeversameling Asimptote a) g(x) = 3x b) q(x) = 4x c) t(x) = 5x d) f(x) = 1,25x e) h(x) = 2,5x f) y = 3,2x g) y = 2,2x h) y = 2,3x i) y = 2,4x Die effek van a en q op die eksponensiële grafiek van y = abx + q, waar a > 0 Ondersoek die effek van a en q op die eksponensiële grafiek van y = abx + q, waar a > 0. OEFENING 5.21 1. Kopieër en voltooi die tabelle hieronder. a) g(x) = 3x + 2 x –6 –5 –4 –3 –2 1 2 3 4 5 6 g(x) b) q(x) = 4x – 1 x –6 –5 –4 –3 –2 1 2 3 4 5 6 q(x) c) y = 3,2x + 1,5 x –6 –5 –4 –3 –2 1 2 3 4 5 6 y 104 Tegniese Wiskunde | Graad 11

d) y = 2,3x – 3 x –6 –5 –4 –3 –2 1 2 3 4 5 6 y 2. Teken die grafieke van die gegewe funksies op dieselfde assestelsel: a) y = 3x en g(x) = 3x + 2 b) y = 4x en q(x) = 4x – 1 c) y = 2x; p(x) = 3,2x en r(x) = 3,2x + 1,5 d) y = 3x; t(x) = 2,3x en k(x) = 2,3x – 3 3. Voltooi die tabel hieronder. Funksie Afsnitte Asimptote Definisieversameling Waardeversameling a) y = 3x g(x) = 3x + 2 b) y = 4x q(x) = 4x – 1 c) y = 2x p(x) = 3,2x r(x) = 3,2x + 1,5 d) y = 3x t(x) = 2,3x k(x) = 2,3x – 3 4. Skryf ’n sin om die effek van die volgende te beskryf: a) a op die grafiek van ’n eksponensiële funksie; en b) q op die grafiek van ’n eksponensiële funksie. Die effek van a en q op die eksponensiële grafiek van y = abx + q, waar a < 0 Ondersoek die effek van a en q op die eksponensiële grafiek van y = abx + q, waar a < 0. OEFENING 5.22 1. Kopieër en voltooi die tabel hieronder. a) h(x) = –2x x –6 –5 –4 –3 –2 1 2 3 4 5 6 h(x) Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 105

b) g(x) = –3x + 2 x –6 –5 –4 –3 –2 1 2 3 4 5 6 g(x) c) q(x) = –4x – 1 x –6 –5 –4 –3 –2 1 2 3 4 5 6 q(x) d) r(x) = –3,2x + 1,5 x –6 –5 –4 –3 –2 1 2 3 4 5 6 y e) k(x) = –2,3x – 3 x –6 –5 –4 –3 –2 1 2 3 4 5 6 y 2. Teken die grafieke van die gegewe funksies op dieselfde assestelsel: a) y = 2x en h(x) = –2x b) y = 3x en g(x) = –3x + 2 c) y = 4x en q(x) = –4x – 1 d) y = 2x, p(x) = –3,2x en r(x) = –3,2x + 1,5 e) y = 3x, t(x) = –2,3x en k(x) = –2,3x – 3 3. Voltooi die tabel hieronder. Funksie Afsnitte Asimptote Definisie- Waarde- versameling versameling a) y = 2x h(x) = –2x b) y = 3x g(x) = –3x + 2 c) y = 4x q(x) = –4x – 1 d) y = 2x p(x) = –3,2x r(x) = –3,2x + 1,5 e) y = 3x t(x) = –2,3x k(x) = –2,3x – 3 106 Tegniese Wiskunde | Graad 11

4. ’n Funksie word as f(x) = 7x gegee. Wat sal die nuwe vergelyking wees, as die grafiek met die gegewe funksie soos volg getransleer word: a) 3 eenhede afwaarts? b) 1,5 eenhede afwaarts? 5. Skryf die vergelyking van die nuwe funksie neer, as: a) f(x) = 6x in die x-as gereflekteer word. b) f met 1,25 eenhede opwaarts getransleer word, en in die y-as gereflekteer word. Skets die grafiek van f(x) = abx + q Tot dusver het ons grafieke geskets deur die punte van tabelle af te stip en te verbind op ’n assestelsel. Hierdeur kan ons visualiseer hoe ’n spesifieke grafiek moet lyk. Ons kan ook die riglyne hieronder gebruik om die grafiek van die eksponensiële funksie f(x) = abx + q te skets: • as a > 0, dan groei die grafiek van f(x) = abx + q. • basiese eksponensiële funksies, f(x) = bx, gaan deur die punt (0; 1). ◦◦ die grafiek van f(x) = abx + q, verskuif die grafiek van f(x) = bx met die y-as langs, en die punt (0; 1) sal met q eenhede opskuif na die punt (0; 1 + q). ◦◦ die grafiek van f(x) = abx – q, verskuif die grafiek van f(x) = bx met die y-as langs, en die punt (0; 1) sal met q eenhede afskuif na die punt (0; 1 – q). ◦◦ basiese eksponensiële funksies, f(x) = bx, het ’n horisontale asimptoot by y = 0. ◦◦ die grafiek van f(x) = abx + q verskuif die horisontale asimptoot met q eenhede op. ◦◦ die grafiek van f(x) = abx – q verskuif die horisontale asimptoot met q eenhede af. ◦◦ stip ’n paar punte op die grafiek van f(x) = abx + q. OEFENING 5.23 1. Skets die grafieke van die volgende funksies op aparte assestelsels: a) y = 3x + 3 d) y = 3x – 3 b) y = 2,3x + 3 e) y = 2,3x – 3 c) y = 3,2x + 3 f) y = 3,2x – 3 2. Kopieër en voltooi die tabel. Funksie Definisieversameling Waardeversameling Horisontale asimptoot a) y = 3x + 3 b) y = 2,3x + 3 c) y = 3,2x + 3 d) y = 3x – 3 e) y = 2,3x – 3 f) y = 3,2x – 3 Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 107

5.9 Die hiperbool: ​y = ​  a__x ​  ; waar a Þ 0​ ​  12 Veronderstel ons wil die grafiek van die funksie gegee deur y = ___ x ​​ skets. Kyk na die stappe in die voorbeeld hieronder. Uitgewerkte voorbeeld 5.7 12 ​​. Skets die grafiek van van die funksie y = ​ ___ x Oplossing Stap 1: Herskryf hierdie funksie as xy = 12 en voltooi dan die tabel wat die verwantskap tussen die x- en y-waardes aantoon: –6 –3 –2 –1 1 ​​ ​− ​ __ 1 ​​ ​​ __ 1 2 3 6 x 2 2 y –1 –2 –3 –6 –12 12 6 3 2 1 Stap 2: Gebruik die waardes in die tabel om die grafiek te plot: y 6 5 y=x 4 3 2 1 x –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –1 –2 –3 –4 –5 –6 y = –x –7 Stap 3: Lys die eienskappe van die hiperbool wat geskets is: a) Definisieversameling: ​{ x : x ∊ ℝ, x ∙ 0}​ b) Waardeversameling: ​{ y : y ∊ ℝ, y ∙ 0}​ c) c) Die funksie het ’n diskontinuïteit by x = 0. d) d) Daar is twee asimptote: (i) ’n horisontale asimptoot by y = 0. (ii) ’n vertikale asimptoot by x = 0. e) e) Die grafiek het simmetrie-asse y = –x en y = x. Om elkeen van hierdie lyne, is die een helfte van die hiperbool ’n spieëlbeeld van die ander helfte. 108 Tegniese Wiskunde | Graad 11

OEFENING 5.24 1. Gebruik die tabel metode om die grafieke van die funksies hieronder te skets. Gebruik ’n aparte assestelsel vir elke grafiek. y = ​  − a) ​ 12 ____ x ​​ 8 y = ​ __ d) ​ x ​​ 16 y = ​ ___ g) ​ x ​​ 6 y = ​ __ b) ​ x ​​ y = ​  − e) ​ 8 ___ x ​​ 20 y = ​ ___ h) ​ x ​​ y = ​  − c) ​ 6 ___ x ​​ y = ​  − f) ​ 10 ____ x ​​ i) xy ​=​ 1 2. Voltooi die tabel: Funksie Definisie- Waarde- Simmetrie-asse Asimptoot versameling versameling a) ​y = ​  − 12 ____ x  ​​ b) ​  6x ​​ ​y = __ c) ​y = ​  − 6 ___ x  ​​ d) ​  8x ​​ ​y = __ e) ​y = ​  − 8 ___ x  ​​ f) ​y = ​  − 10 ____ x  ​​ g) ​  16 ​y = ___ x  ​​ 20 h) ​y = ​ ___ x  ​​ i) xy = 1 Die effek van q: ​y = ​  a__x ​  + q; waar a ∙ 0​ a Ondersoek die effek van q op ​y = ​ __ x ​ + q; waar a ∙ 0​. OEFENING 5.25 1. Kopieër en voltooi die tabel vir elke funksie hieronder. 12 ​​ y = − ​ ___ a) ​ x x y 12 ​  + 1​ y = − ​ ___ b) ​ x x y 12 ​  − 1​ y = − ​ ___ c) ​ x x y Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 109

8 d) ​y = ​ __ x ​​ x y ​  8x ​  + 1​ y = __ e) ​ x y 8 y = ​ __ f) ​ x ​  − 1​ x y Skets die hiperbool: ​y = ​  a__x ​  + q; waar a ∙ 0​ Om ’n hiperbool te skets, moet ons die volgende weet: (i) die vorm (ii) die afsnitte en (iii) die asimptote. Uitgewerkte voorbeeld 5.8 4 ​  + 2; x ∙ 0​ y Skets die grafiek van ​y = ​ __ x Oplossing 6 (i) x-afsnit: Laat y = 0 4 ​ y = __ ​  4x ​  + 2 = 0 4 ​ __ x ​ = − 2 2 − 2x = 4 x = − 2​ x –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 (ii) Die asimptote: y = 2 en x = 0 –2 (iii) Simmetrie-asse: y = –x + 2 en y = x + 2 –4 110 Tegniese Wiskunde | Graad 11

OEFENING 5.26 1. Skets die grafieke van die volgende op dieselfde x-y assestelsel. a) ​y = ​  − 12 ____ 12 ___ x ​  en y = − ​  x ​  + 1​ y = ​  − b) ​ 12 ____ 12 ___ x ​  en y = − ​  x ​  − 1​ 8 8 c) ​y = ​ __ __ x ​  en y = ​  x ​  + 1​ ​  8x ​  en y = ​ __ y = __ d) ​ 8 x ​  − 1​ 2. Kopieër en voltooi die tabel hieronder. Funksie Definisie- Waarde- Simmetrie- Asimptoot versameling versameling asse Horisontaal Vertikaal a) ​y = ​  − 12 ____ x  ​ b) 12 ​  + 1​ ​y = − ​ ___ x c) ​  12 ​y = − ___ x  ​  − 1​ d) 8 ​y = ​ __ x  ​ e) 8 ​y = ​ __ x  ​  + 1​ f) 8 ​y = ​ __ x  ​  − 1​ a 3. What is die effek van q op die grafiek van ​y = ​ __ x ​  ; waar a ∙ 0​? Gee voorbeelde. 4. Skets die hiperbole hieronder en dui die volgende aan: (i) asimptote (ii) afsnitte, en (iii) simmetrie-asse ​  6x ​  + 3, waar x ∙ 0​ y = __ a) ​ ​  4x ​  − 1, waar x ∙ 0​ y = __ b) ​ 6 y = − ​ __ c) ​ x ​  + 3, waar x ∙ 0​ 4 ​  − 1, waar x ∙ 0​ y = − ​ __ d) ​ x 4 ​  + 1, waar x ∙ 0​ y = ​ __ e) ​ x Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 111

Die vergelyking van ’n sirkel met ’n middelpunt by die 5.10 oorsprong: x2 + y2 = r2 Ons definieer ’n sirkel as ’n stel punte wat teen ’n vasgestelde afstand van die middelpunt af is. Uitgewerkte voorbeeld 5.9 1. Skets die grafiek van x2 + y2 = 25 deur eers ’n tabel met waardes op te stel en dan die punte op ’n x-y assestelsel te stip. 2. Dui die definisieversameling en waardeversameling van die grafiek aan. Oplossing 1. x –5 –4 –3 0 0 3 4 5 y 0 –3 –4 –5 5 4 3 0 x2 + y2 = r2 25 25 25 25 25 25 25 25 r2 52 52 52 52 52 52 52 52 y 5 4 3 2 1 x –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 –5 2. Die definisieversameling: –5 ≤ x ≤ 5 Die waardeversameling: –5 ≤ y ≤ 5 112 Tegniese Wiskunde | Graad 11

OEFENING 5.27 1. Kopieër en voltooi die tabelle vir die gegewe funksies: a) x2 + y2 = 16 x –4 –3 –2 –1 0 0 1 2 3 4 y x2 + y2 = 16 b) x2 + y2 = 16 x –3 –2 –1 0 0 1 2 3 y x2 + y2 = 9 c) x2 + y2 = 36 x –6 0 0 6 y x2 + y2 = 36 d) x2 + y2 = 49 x –7 0 0 7 y x2 + y2 = 49 e) x2 + y2 = 64 x –8 0 0 8 y x2 + y2 = 64 f) x2 + y2 = 81 x –9 0 0 9 y x2 + y2 = 81 g) x2 + y2 = 100 x –10 0 0 10 y x2 + y2 = 100 Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 113

2. Skets elke grafiek op ’n aparte assestelsel. 3. Voltooi die tabel hieronder: Vergelyking Definisieversameling Waardeversameling a) x2 + y2 = 16 b) x2 + y2 = 9 c) x2 + y2 = 36 d) x2 + y2 = 49 e) x2 + y2 = 64 f) x2 + y2 = 81 g) x2 + y2 = 100 4. Wat is die vergelyking van ’n sirkel met ’n middelpunt by die oorsprong en ’n middellyn van: a) 10 cm b) 12 cm c) 7 cm 5. Gee die vergelykings van die sirkels met ’n middelpunt by die oorsprong en ’n gegewe radius van. a) r = 4 eenhede b) r = 13 eenhede c) r = 17 eenhede Die vergelyking van ’n sirkel deur ’n punt met die oorsprong as middelpunt As ons ’n sirkel neem en dit plaas op ’n Cartesiese vlak sodat die middelpunt by die oorsprong is, dan kan ons die vergelyking bereken. Die vergelyking van ’n sirkel geplaas in die middel van die Cartesiese vlak is x2 + y2 = r2; waar r die radius is, en (x; y) enige punt is waardeur die sirkel gaan. Uitgewerkte voorbeeld 5.10 Kyk na ’n sirkel wat deur punt (3; 1) gaan met die oorsprong as middelpunt. a) Wat is die vergelyking van die sirkel? b) Bereken die radius van die sirkel. c) Gee die koördinate van ’n ander punt waardeur die sirkel gaan. Oplossing a) Gebruik die vergelyking van ’n sirkel met die oorsprong as middelpunt: x2 + y2 = r2 (3)2 + (1)2 = r2 9 + 1 = r2 10 = r2 x2 + y2 = 10 Die vergelyking van die sirkel is ___ b) Die radius van die sirkel is r = √ ​​ 10 ​​. c) ’n Ander punt wat dieselfde afstand van die oorsprong af is, is die punt (1; 3). 114 Tegniese Wiskunde | Graad 11

OEFENING 5.28 1. Skryf die vergelyking van ’n sirkel wat deur die gegewe punt gaan en die oorsprong as middelpunt het. a) (1; 4) e) (2; –1) i) (0; 5) b) (–4; –1) f) (1; 2) j) (5; 0) c) (–1; 4) g) (–2; –1) k) (–5; 0) d) (4; 1) h) (–2; 1) l) (0; –5) 2. Skryf die vergelykings van die volgende sirkels neer: a) b) y y 3 5 4 2 3 1 2 1 x x –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 –1 –1 –2 –3 –2 –4 –5 –3 Die skets van sirkels met gegewe vergelykings Volg hierdie riglyne om die grafiek van ’n sirkel te teken as die vergelyking gegee word. Om die grafiek van ’n sirkel met sy middelpunt by die oorsprong te teken: 1. identifiseer en benoem die oorsprong as die middelpunt van die sirkel 2. identifiseer en benoem die twee x-afsnitte as (r; 0) en (–r; 0) 3. identifiseer en benoem die twee y-afsnitte as (0; r) en (0; –r) 4. skets die sirkel met die afsnitte. OEFENING 5.29 1. Skets die grafieke van die volgende sirkels op dieselfde x-y assestelsel. a) x2 + y2 = 1 e) x2 + y2 = 25 i) x2 + y2 = 81 b) x2 + y2 = 4 f) x2 + y2 = 36 j) x2 + y2 = 100 c) x2 + y2 = 9 g) x2 + y2 = 49 k) x2 + y2 = 17 d) x2 + y2 = 16 h) x2 + y2 = 64 l) x2 + y2 = 13 Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 115

Die vergelyking van ’n semi-sirkel met die middelpunt by die oorsprong: _____ ​y = 6​√ ​r​​  2​  − ​x​​  2​ ​​ Die vergelyking van ’n sirkel met die middelpunt by die _____ oorsprong is x2 + y2 = r2. As ons y die onderwerp van die formule maak, _____ kry ons dat ​y = _____ 6​√​r​​  2​  − ​x​​  2​ ​​. Ons kan hierdie vergelyking herskryf as twee aparte vergelykings: ​y = √​ ​r​​  2​  − ​x​​  2​ ​​ en ​y = − √ ​ ​r​​  2​  − ​x​​  2​ ​​. Dit is vergelykings vir die twee helftes van die sirkel, en elke helfte staan bekend as ’n semi-sirkel, of halfsirkel. Uitgewerkte voorbeeld 5.11 1. Skets die grafieke van die volgende funksies: _____ a) ​y = √ ​ 9 − ​x​​  2​ ​​ _____ y = − ​√ 9 − ​x​​  2​ ​​ b) ​ 2. Noem (i) die definisieversameling en (ii) die waardeversameling van elke funksie. Oplossing _____ y 1. a) Die grafiek van ​y = ​√ 9 − ​x​​  2​ ​​ 4 3 2 –1 x –3 –2 –1 0 1 2 3 –2 –3 ______ b) Die grafiek van ​y = − √ ​ 9 − ​x​​  2​ ​​ 2 y 1 x –3 –2 –1 0 1 2 3 –1 –2 –3 –4 _____ _____ 2. ​y = ​√ 9 − ​x​​  2​ ​​ ​y = − ​√ 9 − ​x​​  2​ ​​ a) Definisieversameling –3 ≤ x ≤ 3 –3 ≤ x ≤ 3 b) Waardeversameling 0 ≤ x ≤ 3 –3 ≤ x ≤ 0 116 Tegniese Wiskunde | Graad 11

OEFENING 5.30 1. Skets die grafieke van: _________ _______ a) y = ​−√ ​​​ 121 − x2 ​​ y = − ​√196 − ​x​​  2​ ​​ d) ​ _______ _______ y = ​ b) ​ √225 − ​x​​  2​ ​​ y = − ​√961 − ​x​​  2​ ​​ e) ​ _______ _______ y = ​ c) ​ √625 − ​x​​  2​ ​​ y​ = ​ f) ​ √169 − ​x​​  2​ ​​ 2. 1. Kopieër en voltooi die tabel hieronder. Funksie Definisieversameling Waardeversameling _________ a) y = ​−√ ​​​ 121 − x2 ​​ _______ b) ​y = ​ √225 − ​x​​  2​ ​​ _______ c) ​y = ​ √625 − ​x​​  2​ ​​ _______ d) ​y = − ​√196 − ​x​​  2​ ​​ _______ e) ​y = − ​√961 − ​x​​  2​ ​​ _______ f) ​y = ​ √169 − ​x​​  2​ ​​ KONSOLIDASIE OEFENING 1. Skets die grafieke van die volgende funksies: a) y = –2(x – 1)2 d) y = x2 – 4x + 3 b) y = –2(x – 1)2 + 3 e) y = x2 + 2x + 3 c) y = (x + 3)(x – 6) f) y = 2x2 – 4x + 1 2. Kopieër en voltooi die tabel hieronder. Jy kan verwys na die grafieke wat jy reeds geteken hey wanneer jy die tabel voltooi. Funksie x-afsnit(te) y-afsnit Simme- Draai- Maks/ Definisie- Waarde- trie-as punt Min versame- versame- Waarde ling ling a) y = –2(x – 1)2 b) y = –2(x – 1)2 + 3 c) y = (x + 3)(x – 6) d) y = x2 – 4x + 3 e) y = x2 + 2x + 3 f) y = 2x2 – 4x + 1 Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 117

3. Beskryf die transformasie van f(x) = x2 wat deur g verteenwoordig word. Maak dan ’n netjiese skets van die grafiek van elke funksie. a) g(x) = (x – 4)2 d) g(x) = –2(x – 1)2 + 1 b) g(x) = (x – 4)2 + 1 ​​  1 ​​(x – 4)2 + 1 e) g(x) = __ 2 c) g(x) = 2(x – 4)2 + 1 4. Kopieër en voltooi die tabel hieronder. Funksie x- y- Simme- Draai- Maks/ Definisie- Waarde- afsnit(te) afsnit trie-as punt Min versame- versame- Waarde ling ling a) g(x) = (x – 4)2 b) g(x) = (x – 4)2 + 1 c) g(x) = 2(x – 4)2 + 1 d) g(x) = –2(x – 1)2 + 1 ​​  1 ​​(x – 4)2 + 1 e) g(x) = __ 2 5. Skets die grafieke van die funksies. ​​  1 ​​ a) y = 2x – __ c) y = 5x – ​​  5 __ ​​ 2 4 b) y = 3x + 1 d) y = –3x + 1 6. Kopieër en voltooi die tabel hieronder. Funksie x-afsnit y-afsnit Definisie- Waarde- Horisontale versameling versameling asimptoot a) ​​  1 ​​ y = 2x – __ 2 b) y = 3x + 1 c) ​​  54 ​​ y = 5x – __ d) y = –3x + 1 7. Skets die grafieke van die funksies. 8 y = ​ __ a) ​ x ​  − 3​ 4 ​  + 1​ y = ​ __ b) ​ x 2 ​  + 1​ y = − ​ __ c) ​ x 8. Kopieër en voltooi die tabel hieronder. Funksie x-afsnit y-afsnit Definisie- Waarde- Vergelyking versameling versameling van die asimptoot a) 8 ​y = ​ __ x  ​  − 3​ b) 4 ​  + 1​ ​y = ​ __ x c) 2 ​  + 1​ ​y = − ​ __ x 118 Tegniese Wiskunde | Graad 11

9. 7 ​​. a) Gee die vergelyking van die sirkel met sy middelpunt by die oorsprong en ’n radius van ​​ __ 2 b) Noem die definisieversameling van die sirkel. c) Noem die waardeversameling van die sirkel. d) Skets die sirkel. 10. a) Gee die vergelyking van die sirkel met (0; 0) as middelpunt en wat deur die punt (–3; 3) gaan. b) Noem die definisieversameling van die sirkel. c) Noem die waardeversameling van die sirkel. d) Skets die sirkel. ______ 11. a) Skets die funksie ​y = ​√25 − ​x​​  2​ ​​. ______ b) Noem die definisieversameling van die funksie ​y = ​√25 − ​x​​  2​ ​​. ______ c) Noem die waardeversameling van die funksie ​y = ​√25 − ​x​​  2​ ​​. _______ 12. a) Skets die funksie y = − ​√169 − ​x​​ 2​ ​​. _______ b) Noem die definisieversameling van die funksie ​y = − √ ​ 169 − ​x​​  2​ ​​. _______ c) Noem die waardeversameling van die funksie ​y = − ​√169 − ​x​​  2​ ​​. Opsomming • Die vergelyking van ’n reguitlyn wat deur twee punte gaan, kan bepaal word deur die gebruik van die volgende formule: y = mx + c • Wanneer jy die grafiek van ’n kwadratiese funksie (parabool) skets, moet jy die volgende identifiseer: ◦◦ die x-afsnit(te), as dit bestaan, deur die vergelyking ax2 + bx + c = 0 op te los ◦◦ die y-afsnit, (0; c) ◦◦ die koördinate van die draaipunt, gegee as ( ( b  ​  ; f​ − ​ ___ ​​ − ​ ___ )) b  ​ ​ ​​ 2a 2a ◦◦ die draaipunt van ’n kwadratiese funksie in die vorm f(x) = a(x – p)2 + q, waar a ∙ 0 en waar koördinate van die draaipunt (p; q) is. f(x) = a(x – p)2 + q a dui die weerspieëling op die x-as aan en/of ’n p dui ’n horisontale q dui ’n vertikale vertikale vergroting of translasie aan translasie aan verkleining Hoofstuk 5 Funksies en grafieke 119

• In ’n eksponensiële funksie f(x) = abx + q, verskuif q die grafiek van f(x) = abx, deur q eenhede met die y-as langs: ◦◦ die grafiek van f(x) = abx + q gaan deur die punt (0; a 6 q) ◦◦ as a < 0, word die grafiek van f(x) = abx + q om die x-as gereflekteer ◦◦ die definisieversameling is al die reële getalle ◦◦ die waardeversameling is y > 0, ​y ∊ ℝ​ ◦◦ die grafiek het ’n horisontale asimptoot by y = q. a • die vergelyking y = ​ __ x ​ + q​is ’n hiperbool met die volgende eienskappe: ◦◦ die horisontale asimptoot is die vergelyking y = q. Hierdie lyn gaan deur die punt (0; q) en is parallel aan die x-as ◦◦ die vertikale asimptoot is x = 0. Hierdie lyn gaan deur die punt (0; 0) en is parallel aan die y-as ◦◦ die definisieversameling is die versameling van alle reële getalle, behalwe x = 0 ◦◦ die waardeversameling is die versameling van alle reële getalle, behalwe y = q ◦◦ indien a ’n positiewe getal is, dan lê die hiperbool in die eerste en derde kwadrante ◦◦ indien a ’n negatiewe getal is, dan lê die hiperbool in die tweede en vierde kwadrante ◦◦ indien q positief is, dan verskuif die grafiek opwaarts ◦◦ indien q negatief is, dan verskuif die grafiek afwaarts ◦◦ q verskuif ook die horisontale asimptoot • die vergelyking van die sirkel met sy middelpunt by die oorsprong is x2 + y2 = r2 en dit het die volgende eienskappe: ◦◦ die definisieversameling van x2 + y2 = r2 word gegee as –r ≤ y ≤ r ◦◦ die waardeversameling of x2 + y2 = r2 word gegee as –r ≤ y ≤ r ◦◦ die semi-sirkel se middelpunt is by die oorsprong ◦◦ die algemene vorm _____ van ’n semi-sirkel waarvan die middelpunt by die oorsprong is, word ge- gee as y = 6​√​r​​  2​  − ​x​​  2​ ​​ _____ ◦◦ √​r​​  2​  − ​x​​  2​ ​​ die boonste helfte van die sirkel word gegee as y = ​ _____ ◦◦ die definisieversameling van ​y = ​√​r​​  2​  − ​x​​  2​ word gegee as – 0 ≤ x ≤ r _____ ◦◦ die definisieversameling van y = ​√​r​​  2​  − ​x​​  2​ word gegee as –r ≤ y ≤ r _____ ◦◦ die onderste helfte van die sirkel word gegee as ​y = − ​√​r​​  2​  − ​x​​  2​ ​​ _____ ◦◦ die definisieversameling van y = − ​√​r​​  2​  − ​x​​  2​ word gegee as –r ≤ x ≤ r _____ ◦◦ die waardeversameling van y = − ​√​r​​  2​  − ​x​​  2​ word gegee as –r ≤ y ≤ 0 120 Tegniese Wiskunde | Graad 11