Wiskunde Oorlewingsgids 1

Direktoraat: Kurrikulum VOO WISKUNDE GR12 HERSIENINGSBOEKIE 2022 OORLEWINGS GIDS INHOUDSBLAD BLADSY FUNKSIES 2 - 15 CALCULUS 16 – 19 FINANSIËLE WISKUNDE 20 - 23 TRIGONOMETRIE 24 - 31

GR 12 – HERSIENING 1. DIE MOEDERFUNKSIE EN DIE INVLOED VAN PARAMETERS Invloed van Moederfunksie Invloed van 𝒑 en 𝒒 𝒂>𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒙² 𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟐)² 𝒉(𝒙) = (𝒙 − 𝟐)𝟐 − 𝟒 Move 𝒂<𝟎 PARABOOL Skuif 2 eenhede regs Skuif 4 eenhede af (𝑝 < 0) (𝑞 < 0) 𝒂>𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) = 𝒉(𝒙) = −𝟐 1ste en 3de 𝒙 𝒙−𝟐 𝒙 kwadrant HIPERBOOL 𝒂<𝟎 2de en 4de kwadrant Skuif 2 eenhede regs Skuif 2 eenhede af (𝑝 < 0) (𝑞 < 0) 𝒃>𝟏 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙+𝟐 𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟒 Stygend EXPONENSIËLE GRAFIEK 𝒂>𝟎 Bo 𝒙 − 𝒂𝒔 𝟎<𝒃<𝟏 dalend 𝒂>𝟎 onder 𝒙 − 𝒂𝒔 Skuif 2 eenhede links Skuif 4 eenhede af (𝑝 > 0) (𝑞 < 0) 2

GR 12 – HERSIENING 2. SKETS VAN GRAFIEKE Parabool Hiperbool Eksponensiële grafiek Logaritmiese grafiek Standaard vorm 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒂 𝒚 = 𝒂. 𝒃𝒙+𝒑 + 𝒒 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 𝒚= +𝒒 𝐲 = 𝐚(𝐱 + 𝐩)𝟐 + 𝐪 𝒙+𝒑 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 ) Om die grafieke te Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Voorbeeld 4 skets, benodig jy: Skets 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 − 8𝑥 + 10 −2 Skets 𝑔(𝑥) = 𝑥+1 − 4 Skets ℎ(𝑥) = 2𝑥 − 4 Skets 𝑘(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 𝑦 −afsnit (𝑥 = 0) OF 𝑥 −afsnit (𝑦 = 0) 𝑓(𝑥) = −2(𝑥 + 2)2 + 18 Draaipunt 𝑏 ∆ (− ; − ) 2𝑎 4𝑎 OF (−𝑝; 𝑞) Asimptoot(e) • 𝑥 = −𝑝 • 𝑦=𝑞 Definisie- 𝑥∈𝑅 𝑥 ∈ 𝑅 ; 𝑥 ≠ −1 𝑥∈𝑅 𝑥 ∈ 𝑅 ;𝑥 > 0 versameling Waardeversameling 𝑦 ∈ 𝑅 ; 𝑦 ≤ 18 𝑦 ∈ 𝑅 ; 𝑦 ≠ −4 𝑦 ∈ 𝑅 ; 𝑦 > −4 𝑦∈𝑅 Simmetrie-as 𝒃 𝒚 =𝒙+𝒄 𝒙=− 𝟐𝒂 Stel in (−𝑝; 𝑞) → (−1; −4) 𝑥 = −2 ∴ −4 = −1 + 𝑐 𝑐 = −3 𝑦=𝑥−3 OF 𝒚 = 𝒙 − +𝒄 Stel in (−𝑝; 𝑞) → (−1; −4) ∴ −4 = −(−1) + 𝑐 𝑐 = −5 𝑦 = −𝑥 − 5 3

GR 12 – HERSIENING 3. OM DIE VERGELYKING VAN 'N GRAFIEK TE BEPAAL Parabool Hiperbool Eksponensiële grafiek Logaritmiese grafiek 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒂 𝒚 = 𝒂. 𝒃𝒙+𝒑 + 𝒒 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 𝒚= +𝒒 𝐲 = 𝐚(𝐱 + 𝐩)𝟐 + 𝐪 𝒙+𝒑 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝒙 −afsnitte gegee: Draaipunt gegee: Vir 𝒑 𝒆𝒏 𝒒: Vir 𝒒: Vir 𝒂: 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝐲 = 𝐚(𝐱 + 𝐩)𝟐 + 𝐪 Begin deur die asimptote in die Begin deur die asimptote in Stel 'n punt op die grafiek in vergelyking te vervang. die vergelyking te vervang. die vergelyking in Vir 𝑎: Vir 𝑎: Stel 'n punt op die grafiek Stel 'n punt op die grafiek in die Vir 𝒂: Vir enige ander: in die vergelyking in. vergelyking in. Stel 'n punt op die grafiek in die Stel 'n punt op die grafiek in . vergelyking in die vergelyking in Vir hierdie voorbeeld is gegee: 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑞 𝑦 = 𝑎(𝑥 + 5)(𝑥 − 1) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 Stel in: (0; 10) 𝑎 Stel in:(8; −3) 10 = 𝑎(0 + 5)(0 − 1) 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)2 − 6 𝑦= −4 10 = −5𝑎 Stel in: (2; −4): 𝑥+1 −3 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 8 𝑎 = −2 −4 = 𝑎(2 − 1)2 − 6 Stel in: (0; −6) 𝑦 = 𝑎𝑥 − 4 𝑦 = −2(𝑥 + 5)(𝑥 − 1) 2 = 𝑎(1)² 𝑎 Skryf in eksponensiële vorm: 𝑦 = −2𝑥 2 − 8𝑥 + 10 𝑎=2 −6 = −4 𝑎−3 = 8 0+1 Stel in: (2; 0): 𝑦 = 2(𝑥 − 1)2 − 6 1 0 = 𝑎2 − 4 𝑎= −2 = 𝑎 𝑎2 = 4 2 OF −2 𝑎=2 𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 − 4 𝑦= −4 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1 𝑥 𝑥+1 𝑦 = 2𝑥 − 4 2 4

GR 12 – HERSIENING 4. TRANSFORMASIES 4.1 TRANSLASIE • 𝒑 > 𝟎 horisontale skuif na links • 𝒑 < 𝟎 horisontale skuif na regs • 𝒒 > 𝟎 vertikale skuif op • 𝒒 < 𝟎 vertikale skuif af VOORBEELD: Transleer 3 eenhede op. Transleer 2 eenhede regs. Notasie: 𝒇(𝒙) + 𝟑 Notasie: 𝒇(𝒙 − 𝟐) PARABOOL 𝒇(𝒙) = 𝒙² 𝒉(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑 𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟐)² 4.2 REFLEKSIE: • REFLEKSIE in die (𝒙 − 𝒂𝒔) OF in die lyn 𝒚 = 𝟎 Notasie: 𝒇(𝒙) → −𝒇(𝒙) • REFLEKSIE in die (𝒚 − 𝒂𝒔) OF in die lyn 𝒙 = 𝟎 Notasie: 𝒇(𝒙) → 𝒇(−𝒙) • REFLEKSIE in die lyn 𝒚 = 𝒙 Notasie: 𝒇(𝒙) → 𝒇−𝟏 (𝒙) VOORBEELD: ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + 3 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)² 𝒇: 𝒚 = 𝒙² → 𝒌(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟑 → 𝒑(𝒙) = (−𝒙 − 𝟐)² 𝒇−𝟏 : 𝒙 = 𝒚² PARABOOL ∴ 𝒚 = ±√𝒙 EKSPONENSIELE 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 FUNKSIE → −𝒇(𝒙) = −(𝟐𝒙 ) − 𝟑 → 𝒇(−𝒙) = 𝟐−𝒙 − 𝟐 →𝒇 −𝟏 (𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒙 5

GR 12 – HERSIENING 5. GRAFIEKE EN ONGELYKHEDE: VOORBEELDE: PARABOOL HIPERBOOL EKSPONENSIELE FUNKSIE LOGARITMIESE FUNKSIE 6

GR 12 – HERSIENING 6. LOGARITMIESE 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 en 𝒇−𝟏 (𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 FUNKSIE 𝒂>𝟏 𝟎<𝒂<𝟏 Die inverse van die eksponensiële funksie stygend dalend 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 (a > 0; a ≠1) is die logaritmiese funksie 𝒇−𝟏 (𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙. Nota: Note: • Die eksponensiële grafiek f is 'n toenemende funksie om die • Die eksponensiële grafiek f is 'n dalende funksie om die 𝒚 − 𝒂𝒔 (𝒂 > 𝟏) 𝒚 − 𝒂𝒔 (𝟎 < 𝒂 < 𝟏) • Die logaritmiese grafiek 𝑓 is 'n toenemende funksie om die −1 • Die logaritmiese grafiek 𝑓 −1 is 'n dalende funksie om die 𝒙 − 𝒂𝒔 (𝒂 > 𝟏) 𝒙 − 𝒂𝒔 (𝟎 < 𝒂 < 𝟏) Definisie (𝑫) − en Waardeversameling (W): 𝑓 D: 𝑥 ∈ 𝑅 W: 𝑦 > 0 −1 W: 𝑦 ∈ 𝑅 D: 𝑥 > 0 𝑓 Inverse funksies: Grafiek 𝑓 −1 word verkry deur die grafiek 𝑓 in die lyn 𝑦 = 𝑥 te reflekteer. (die inverse van 𝑓) • As 𝒚 = 𝒂𝒙 dan word die inverse funksie gegee deur 𝒙 = 𝒂𝒚 wat ook geskryf kan word as 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 • As 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 dan word die inverse funksie gegee deur 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒚 wat ook geskryf kan word as 𝒚 = 𝒂𝒙 Asimptote: • Die eksponensiële grafiek f het 'n asimptoot 𝒚 = 𝟎 ( 𝒙 − 𝒂𝒙𝒊𝒔) • Die logaritmiese grafiek 𝑓 −1 het 'n asimptoot 𝒙 = 𝟎 ( 𝒚 − 𝒂𝒙𝒊𝒔) 7

GR 12 – HERSIENING 7. HERSIENINGSOEFENINGE AFDELING A – Gr 12 FUNSIES EN INVERSES ( Roetine vrae) • Let daarop dat sommige van die vrae in hierdie afdeling geneem, is uit MIND THE GAP. VRAAG 1 1.1 • 'n Funksie is 'n relasie tussen 𝑥 en 𝑦, waar daar vir elke 𝑥 −waarde slegs een 𝑦 −waarde is. • Om te besluit of 'n grafiek 'n funksie voorstel of nie, kan ons gebruik maak van die vertikale lyn-toets. Sê of die volgende grafieke funksies is of nie. GRAFIEK A GRAFIEK B GRAFIEK C GRAFIEK D 1.2 Voltooi die volgende sinne: (i) 'n Funksie moet langs die lyn ___________gereflekteer word om die inverse van die funksie te vorm. (ii) Die notasie vir die inverse van 'n funksie 𝑓 word geskryf as _______ _______ 8

GR 12 – HERSIENING VRAAG 2 Gegee: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 6. 2.1 Bepaal 𝑓 −1 (𝑥). 2.2 Skets die grafieke 𝑓, 𝑓 −1 en 𝑦 = 𝑥 op dieselfde assestelsel. Dui die afsnitte met die asse duidelik aan vir elk van die grafieke 𝑓 en 𝑓 −1 . 2.3 Bepaal the definisie- en waardeversameling van 𝑓 en 𝑓 −1 VRAAG 3 3.1 Skets 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 Dui die afsnitte met die asse asook die koördinate van een ander punt op die grafiek van 𝑓 duidelik aan. 3.2 Bepaal die inverse van 𝑓(𝑥). 3.3 Skets die grafieke 𝑓 −1 en 𝑦 = 𝑥 op dieselfde assestelsel. Dui die afsnitte met die asse asook die koördinate van een ander punt op die grafiek van 𝑓 −1 . duidelik aan. 3.4 Bepaal die definisie- en waardeversameling van 𝑓 en 𝑓 −1. VRAAG 4 Gegee: 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 4.1 Bepaal die inverse van 𝑓(𝑥) in die vorm 𝑦 =……….. 4.2 Bepaal die definisie- en waardeversameling van 𝑓 en 𝑓 −1. VRAAG 5 Gegee: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 5.1 Bepaal 𝑓 −1 (𝑥) in die vorm 𝑦 =……….. 5.2 Skets die grafieke 𝑓 , 𝑓 −1 en 𝑦 = 𝑥 op dieselfde assestelsel. Dui die afsnitte met die asse asook die koördinate van een ander punt op die grafieke van 𝑓 𝑒𝑛 𝑓 −1 duidelik aan. 5.3 Bepaal die definisie- en waardeversameling van 𝑓 en 𝑓 −1. 9

GR 12 – HERSIENING AFDELING B− Gr 12 FUNSIES EN INVERSES (Komplekse vrae) • Let daarop dat die vrae in hierdie afdeling uit vorige vraestelle geneem is. (Die jaar waarin die vraag gevra is, word tussen hakies langs die vraag aangedui.) VRAAG 1 (Maart 2016 – VRAAG 6) 1 Gegee: 𝑓(𝑥) = 4 𝑥 2 , 𝑥 ≤ 0 1.1 Bepaal die vergelyking 𝑓 −1 in die vorm 𝑓 −1 (𝑥) = ………… 1.2 Skets die grafieke 𝑓 𝑒𝑛 𝑓 −1 op dieselfde assestelsel. Dui duidelik die afsnitte met die asse aan, sowel as die koördinate van een ander punt op elk van die grafieke 𝑓 en 𝑓 −1 . 1.3 Is 𝑓 −1 ‘n funksie? Gee ‘n rede vir jou antwoord. VRAAG 2 (Nov 2015 – VRAAG 5) Gegee: ℎ(𝑥) = 2𝑥 − 3 vir −2 ≤ 𝑥 ≤ 4. Die 𝑥 −afsnit van ℎ is Q. 2.1 Bepaal die koördinate van Q. 2.2 Skryf die definisieversameling van ℎ−1 neer. 2.3 Skets die grafiek ℎ−1 , toon die 𝑦 −afsnit en die koördinate van die eindpunte duidelik aan. 2.4 Vir watter waarde(s) van 𝑥 is ℎ(𝑥) = ℎ−1 (𝑥) ? 10

GR 12 – HERSIENING VRAAG 3 (DBE 2015 – VRAAG 5) 1 𝑥 Gegee: 𝑓(𝑥) = (4) 3.1 Bepaal die waarde van 𝑓(−2). 3.2 Skryf die vergelyking van 𝑓 −1 (𝑥) neer in die vorm 𝑦 =……... 3.3 Andrew het geen idee hoe om die grafiek van 𝑓 −1 te skets nie. Verduidelik vir Andrew hoe hy die grafiek van 𝑓 kan gebruik om die grafiek van 𝑓 −1 te skets. 3.4 Vervolgens, of andersins, skets die grafiek van 𝑓 −1 . Dui ALLE afsnitte met die asse duidelik aan. 3.5 Skryf die definisieversameling van 𝑓 −1 neer. 3.6 Vir watter waarde(s) van 𝑥 is 𝑓 −1 (𝑥) ≥ −2 ? 3.7 1 Gegee 𝑞 = 𝑙𝑜𝑔1 2 4 3.7.1 Bepaal die waarde van 𝑞. 3.7.2 Vervolgens, of andersins, bepaal die die koördinate van snypunt van 𝑓 en 𝑓 −1. VRAAG 4 (Maart 2015-VRAAG 5) Die grafiek van 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , 𝑎 > 1 word op die skets hieronder aangetoon. T (2 ; 9) lê op 𝑓. 4.1 Bereken die waarde van 𝑎. 4.2 Bepaal die vergelyking van 𝑔(𝑥) indien 𝑔(𝑥) = 𝑓(−𝑥). 4.3 Bepaal die waarde(s) van 𝑥 waarvoor 𝑓 −1 (𝑥) ≥ 2. 4.4 Is die inverse van 𝑓 ‘n funksie? Verduidelik jou antwoord. 11

GR 12 – HERSIENING AFDELING C− GR 11 FUNKISIES (Vanaf vorige eksamen vraestelle) VRAAG 1 (GR11 DBE NOV 2017) −3 Gegee 𝑓(𝑥) = 𝑥+2 + 1 en 𝑔(𝑥) = 2−𝑥 − 4 1.1 Bepaal 𝑓(−3). 1.2 Bepaal 𝑥 as 𝑔(𝑥) = 4. 1.3 Skryf die asimptote van 𝑓 neer. 1.4 Skryf die waardeversameling van 𝑔 neer. 1.5 Bepaal die koördinate van die 𝑥 −en 𝑦 −afsnitte van 𝑓. 1.6 Bepaal die vergelyking van die simmetrie-as van 𝑓 met 'n negatiewe gradiënt. Los u antwoord in die vorm 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐. 1.7 Skets die grafieke van 𝑓 en 𝑔 op dieselfde assestelsel. Toon duidelik ALLE afsnitte met die asse en asimptote. VRAAG 2 (GR11 DBE NOV 2015) −9 Die onderstaande skets stel die grafieke voor van 𝑓(𝑥) = −2 𝑥−1 A is die snypunt van die asimptote van 𝑓. 2.1 Skryf die koördinate van A neer. 2.2 Gee die definisieversameling van 𝑓. 2.3 Gee die vergelyking van die horisontale asimptoot vir 𝑓(𝑥) − 1. 2.4 Bepaal die koördinate van die 𝑥 − en 𝑦 −afsnitte van 𝑓. 2.5 Skryf die vergelyking van die simmetrie-as van 𝑓 neer wat 'n negatiewe gradiënt het. 2.6 Vir watter waardes van 𝑥 is 𝑓(𝑥) ≥ 0 ? 12

GR 12 – HERSIENING VRAAG 3 (GR 12 DBE 2019 Vraag 5) Die grafieke van 𝑘(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 en ℎ(𝑥) = −2𝑥 + 4 is hieronder geskets. Grafiek 𝑘 het ‘n draai punt by (−1 ; 18). S is die 𝑥 −afsnit van ℎ en 𝑘. Grafieke ℎ en 𝑘 sny mekaar ook by T. 3.1 Bereken die koördinate van S. 3.2 Bepaal die vergelyking van 𝑘 in die vorm 𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑝)2 + 𝑞 3.3 Indien 𝑘(𝑥) = −2𝑥 2 − 4𝑥 + 16 , bepaal die koördinate van T. 3.4 Bepaal die waarde(s) van 𝑥 waarvoor 𝑘(𝑥) < ℎ(𝑥) 3.5 Daar word verder gegee dat 𝑘 die grafiek van 𝑔′(𝑥) is. (a) Vir watter waardes van 𝑥 sal die grafiek van 𝑔 konkaaf op wees? (b) Skets die grafiek van 𝑔, en dui die 𝑥 −waardes van die draaipunte en die buigpunt duidelik aan. 3.6 Bepaal die waardes van 𝑘 sodat 𝑓(𝑥) = 𝑘 gelyke wortels sal hê. 3.7 Bepaal die vergelyking ℎ, as ℎ die grafiek is nadat 𝑓 TWEE eenhede na regs en EEN eenheid opwaarts geskuif het, in die vorm 𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑝)2 + 𝑞. 13

GR 12 – HERSIENING VRAAG 4 (NSC Maart 2011) ‘n Parabool f sny die x-as by B en C en die y-as by E. Die simmetrie-as van die parabool het 'n x 7 vergelyking 𝑥 = 3. Die vergelyking van die lyn deur E en C word gegee as g ( x) = − . 2 2 y x 3 B O C g f E 4.1 Toon aan dat die koördinate van C (7 ; 0) is. 4.2 Bereken die 𝑥 − koördinaat van B. 4.3 Bepaal die vergelyking van f in die vorm y = a( x − p ) 2 + q. 4.4 Bepaal die vergelyking van die grafiek van ℎ, die refleksie van 𝑓 in die 𝑥 −as. 4.5 Gee die maksimum waarde van t(x) as t(x) = 1 – f(x). 4.6 Vir watter waarde(s) van 𝑥 is 𝑓(𝑥) ≥ 0 4.7 Vir watter waarde(s) van 𝑥 sal 𝑓 ′ (𝑥) < 0 4.8 Vir watter waarde(s) van 𝑥 sal 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) 14

GR 12 – HERSIENING VRAAG 5 (GR12 NOV 2019 Vraag 4) 𝑎 Hieronder is die grafieke van 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 3 en 𝑔(𝑥) = 𝑥+𝑝 • 𝑓 het ‘n draaipunt by C en sny die 𝑥 − as by (1; 0) • 𝐷 is die 𝑦 −afsnit van beide 𝑓 and 𝑔. Die grafieke 𝑓 and 𝑔 sny mekaar ook by E en J. • Die vertikale asimptoot van 𝑔 gaan deur die e 𝑥 −afsnit van 𝑓. 5.1 Skryf die waarde van 𝑝 neer. 5.2 Toon aan dat 𝑎 = 3 en 𝑏 = 2. 5.3 Bereken die koördinate van C. 5.4 Gee die waardeversameling van 𝑓. 5.5 Bepaal die vergelyking van die lyn deur C wat ‘n hoek van 45° met die positiewe 𝑥 −as vorm. Gee jou antwoord in die vorm 𝑦 =…….. 5.6 Is die reguitlyn, wat in VRAAG 5.5 bepaal is, ‘n raaklyn aan 𝑓? Verduidelik jou antwoord. 5.7 Die funksie ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑚 − 𝑥) + 𝑞 het slegs een 𝑥 −afsnit by 𝑥 = 0. Bepaal die waardes van 𝑚 en 𝑞. 15

GR 12 – HERSIENING: HERSIENING GR 12 – CALCULUS DIFFERENSIAALREKENE – OPSOMMING Tipe Vraag Opsomming van prosedure Voorbeeld van vraag 1. Bepaal die limiet van Verwyder die onbekende in 4ℎ−ℎ 2 𝑎 2 −36 lim ; lim eenvoudige funksies. noemer en vervang die waarde ℎ→0 ℎ 𝑎→6 𝑎−6 waarna geneig word in die uitdrukking. 2. Bepaal die gemiddelde Benodig die koördinate van Indien 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 , bepaal gradiënt tussen twee punte. twee punte, gebruik formule die gradient tussen 𝑥 = 1 en om die gradiënt te bepaal 𝑥=2 3. Bepaal die gradiënt by ‘n Bepaal die afgeleide van die Indien 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 , bepaal punt. uitdrukking, vervang die 𝑥 die gradient waar 𝑥 = 2 waarde van die punt 4. Bepaal die afgeleide deur Vanaf 𝑓(𝑥), bepaal 𝑓(𝑥 + ℎ) Bepaal 𝑓′(𝑥) as 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 eerste beginsels. en gebruik die afgeide formule vanaf eerste beginsels 5. Bepaal die afgeleide deur Vereenvoudig die uitdrukking 𝑑𝑦 Bepaal 𝑑𝑥 as die gebruik van afgeleide en bepaal die afgeleide. Let op 2 reëls na die uitleg van uitdrukking 𝑦 = − √𝑥 = 2(𝑥 + 1) 𝑥 6. Gebruik van verskillende Let op na die uitleg van 𝑑𝑦 𝑑𝐴 𝑑𝑠 𝑓 ′ (𝑥), 𝑑𝑥 , 𝐷𝑥 , 𝑑𝑥 , 𝑑𝑡 notasies vir die afgeleide. uitdrukking 7. Bepaal die draaipunte en Stel die afgeleide gelyk aan horisontale punte van nul, en vervang terug in 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 infleksie van kurwes oorspronklike vergelyking. 8. Bepaal die 𝑥 afsnitte van Stel 𝑦 = 0, los die vergelyking Bepaal waar die kubiese krommes op. Raai 1𝑠𝑡𝑒 faktor, 𝑦 = 𝑥 3 − 5𝑥 2 − 8𝑥 + 12 die faktoriseer verder ,benodig 𝑥-as sny dalk formule kwadratiese vergelyking 9. Skets kubiese grafieke Gebruik faktor stelling vir 𝑦 Skets die grafiek afsnit, 𝑥 afsnitte ,en vir 𝑦 = 𝑥 3 − 5𝑥 2 − 8𝑥 + 12 draaipunt stel afgeleide = 0, skets 10. Bepaal die infleksie punte. Stel 2𝑑𝑒 afgeleide = 0 en Bepaal die punt van infleksie vervang 𝑥 waarde terrug in tussen die 2 stasionêre punte oorspronklike vergelyking. van 𝑦 = 𝑥 3 − 5𝑥 2 − 8𝑥 + 12 11. Bepaal die vergelyking van 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 , Vervang die 𝑥 Bepaal die vergelyking van die die raaklyn aan die waarde in die afgeleide om 𝑚 raaklyn aan die kromme 𝑦 = kromme. te bepaal.Vervang die 35𝑥 2 − 4𝑥 + 1 by die punt 𝑥 waarde in die oorspronklike waar 𝑥 = 1 vergelyking om ‘n punt op die kurwe te kry. Gebruik die punt om 𝑐 te bepaal. 12. Maksimeer en minimeer Bepaal ‘n uitdrukking om die die lengtes, areas, volumes situasie voor te stel. Stel die ens. afgeleide = 0, vervang 𝑥 waarde terrug in die oorspronklike vergelyking.

GR 12 – HERSIENING: NOTA: • Vrae in die hersiening is saamgestel uit vorige Nasionale eksamen vraestelle vir GR 12. AFDELING A VRAAG 1. Bepaal 𝑓′(𝑥) vanuit eerste beginsels indien gegee 1.1 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 5 (5) 1.2 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 4 (5) 1.3 4 (5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 1.4 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 (5) VRAAG 2. Bepaal : 2.1 𝑑𝑦 4 (3) if 𝑦 = 2𝑥 5 + 𝑑𝑥 𝑥3 2.2 𝑑𝑦 2 (4) if 𝑦 = (√𝑥 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 2.3 𝑑𝑦 1 2 (3) if 𝑦 = (𝑥 2 − ) 𝑑𝑥 𝑥2 2.4 3 2 (3) die afgeleide van 𝑓(𝑥) = (𝑥 − ) 𝑥 2.5 1 2 (4) die afgeleide van 𝑝(𝑥) = ( 3 + 4𝑥) 𝑥 2.6 𝑥 3 −1 (3) 𝐷𝑥 ( ) 𝑥−1 2.7 3 1 (3) 𝐷𝑥 [ √𝑥 2 − 2 𝑥] VRAAG 3. 3.1 𝑑𝑦 (3) As 𝑦 = (𝑥 6 − 1)2 , bewys dat 𝑑𝑥 = 12𝑥 5 √𝑦 , as 𝑥 > 1. 3.2 Gegee: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 4𝑥 − 1. Bepaal die interval waarvoor 𝑓 konkaaf opwaarts (4) is. 3.3 𝑔(𝑥) = −8𝑥 + 20 is ‘n raaklyn aan 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 18 by 𝑥 = 1. Bereken (5) die waardes van 𝑎 en 𝑏. 17

GR 12 – HERSIENING: VRAAG 4 Gegee 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 23𝑥 2 + 80𝑥 − 84 4.1 Bewys dat (𝑥 − 2) ‘n faktor van 𝑓 is. (2) 4.2 Faktoriseer vervolgens of andersins 𝑓(𝑥) ten volle. (2) 4.3 Bepaal die 𝑥 − koördinate van die draaipunt 𝑓. (4) 4.4 Skets die grafiek van 𝑓, en benoem ALLE draaipunte en snypunte met die asse duidelik. (3) 4.5 Bepaal die koördinate van die 𝑦 − afsnit van die raaklyn aan 𝑓 wat ‘n helling van 40 het en (6) wat 𝑓 raak by ‘n punt waar die 𝑥 − koördinaat ‘n heelgetal is. VRAAG 5 Die skets hieronder toon die grafieke van 𝑓(𝑥) = (𝑥 −)2 (𝑥 − 𝑘) en 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥 + 12. • A en D is die 𝑥 − afsnitte van 𝑓. • B is die gemene 𝑦 − afsnit van 𝑓 𝑒n 𝑔 . • C en D is die draaipunte van 𝑓. • Die reguitlyn 𝑔 gaan deur A. 5.1 Skryf neer die 𝑦- koördinaat van B. (1) 5.2 Bepaal die 𝑥- koördinaat van A. (3) 5.3 Indien 𝑘 = −3, bepaal die coordinate van C. (6) 5.4 Vir watter waardes van 𝑥 sal 𝑓 konkaaf afwaarts wees. (3) 18

GR 12 – HERSIENING: VRAAG 6 Gegee : ℎ(𝑥) = −𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 en 𝑔(𝑥) = −12𝑥. P en Q(2; 10) is die draaipunte van ℎ. Die grafiek van ℎ gaan deur die oorsprong. 6.1 3 (5) Toon aan dat 𝑎 = 2 en 𝑏 = 6. 6.2 Bepaal die gemiddelde gradiënt van ℎ tussen P en Q, indien dit gegee word dat 𝑥 = −1 by P? (4) 6.3 1 (3) Toon aan dat die konkawiteit ℎ verander by 𝑥 = . 2 6.4 Verduidelik die betekenis van die verandering VRAAG 6.3 met betrekking tot ℎ. (1) 6.5 Bepaal die waarde van 𝑥, gegee 𝑥 < 0, waar die raaklyn aan ℎ ewewydig aan 𝑔 is. (4) VRAAG 7 Gegee : 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 2 − 6𝑥 + 9) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 3𝑥 + 18 7.1 Bepaal die koördinate van die draaipunte van die grafiek 𝑓. (6) 7.2 Skets die grafiek van 𝑓, en benoem ALLE draaipunte en snypunte met die asse duidelik. (4) 7.3 Vir watter waardes van 𝑥 sal 𝑥. 𝑓′(𝑥) < 0 (3) VRAAG 8 Gegee : 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 8.1 Los op 𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥) (3) 8.2 Die grafieke 𝑓, 𝑓 ′ en 𝑓′′ , gaan almal deur die punt (0 ; 0 ) 8.2.1 Vir watter van die grafieke sal ( 0;0) ‘n stasionêre punt wees. (1) 8.2.2 Verduidelik die verskil, indien enige, in die stasionêre punte waarna daar in (2) VRAAG 8.2.1 verwys word. 8.3 Bepaal die vertikale afstand tussen die grafieke van 𝑓′ en 𝑓′′ by 𝑥 = 1 (3) 8.4 Vir watter waarde(s) van 𝑥 is 𝑓(𝑥) − 𝑓 ′ (𝑥) < 0 (4) 19

GR 12 – HERSIENING: HERSIENING GR 12 – Finansies FINANSIES – OPSOMMING FORMULES Enkelvoudige Rente 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖𝑛) Saamgestelde Rente 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑖)𝑛 Reglynige waardevermindering 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑖𝑛) Verminderende saldo 𝐴 = 𝑃(1 − 𝑖)𝑛 waardevemindering 𝑖 𝑚 Effektiewe en Nominale rentekoers 1 + 𝑖𝑒𝑓𝑓 = (1 + 𝑛𝑜𝑚 ) 𝑚 Som van ‘n Meetkundige reeks 𝑎(𝑟 𝑛 −1) 𝑎(1−𝑟 𝑛 ) 𝑆𝑛 = 𝑜𝑟 𝑆𝑛 = ,𝑟 ≠ 1 𝑟−1 1−𝑟 𝐴 Finale bedrag 𝑃 Oorspronklike bedrag 𝑖 Rentekoers per periode 𝑛 Die aantal keer wat rente bereken word 𝑖𝑒𝑓𝑓 Die effektiewe jaarlikse rentekoers 𝑖𝑛𝑜𝑚 Is die gekwoteerde jaarlikse nominale rentekoers. 𝑚 Is die aantal keer wat rente bereken word in een jaar. Toekomstige waarde Annuïteit 𝑥[(1+𝑖)𝑛 −1] 𝐹= 𝑖 Huidige waarde Annuïteit 𝑥[1−(1+𝑖)−𝑛 ] 𝑃= 𝑖 𝑛 Is die aantal betalings NOTA: • Vrae in die hersiening is saamgestel uit vorige Nasionale eksamen vraestelle vir GR 12 20

GR 12 – HERSIENING: AFDELING A VRAAG 1 DBE 1.1 Anisha en Lindiwe het elk R12 000 ontvang om vir 'n tydperk van 5 jaar te belê. Hulle het die geld op dieselfde tyd volgens die volgende opsies bele: • Anisha: 8,5% p.j. enkelvoudige rente. Sy sal aan die einde van die 5 jaar 'n addisionele bonusuitbetaling ontvang van presies 7,5% van die oorspronklike bedrag bele. • Lindiwe: 8,5% p.j. kwartaalliks saamgestel. Wie sal na 5 jaar die groter finale bedrag hê? Motiveer jou antwoord met gepaste (6) berekeninge. 1.2 'n Besigheid het kantoormeubels ter waarde van Rl20 000 gekoop. Na hoeveel jaar sal die meubels se waarde tot R41 611,57 volgens die verminderdesaldo-metode verminder, indien die waardeverminderingskoers 12,4% p.j. is? (4) 1.3 Tebogo het 'n spaarrekening met 'n enkele deposito van R5 000 aan die begin van Junie 2015 oopgemaak. Hy het toe vanaf die einde van Junie 2015, 24 maandelikse deposito's van R800 aan die einde van elke maand gemaak. Die rekening het rente van 15% p.j ., maandeliks saamgestel, verdien. Bereken die bedrag wat onmiddellik nadat hy sy laaste deposito gemaak het, in sy (5) spaarrekening moet wees. [15] VRAAG 2 2.1 Presies vyf jaar gelede het Mpume 'n nuwe motor vir R145 000 gekoop. Die huidige boekwaarde van die motor is R72 500. Indien die motor se waarde teen 'n vaste jaarlikse koers volgens die verminderendesaldo-metode depresieer, bereken die depresiasiekoers. (3) 2.2 Samuel het 'n huislening van R500 000 uitgeneem teen 'n rentekoers van 12% per jaar, maandeliks saamgestel. Hy beplan om hierdie lening oor 20 jaar terug te betaal, en sy eerste betaling word een maand nadat die lening toegestaan is, gemaak. 2.2.1 Bereken die waarde van Samuel se maandelikse paaiement. (4) 2.2.2 Melissa het 'n lening vir dieselfde bedrag en teen dieselfde rentekoers as Samuel uitgeneem. Melissa het besluit om R6 000 aan die einde van elke maand terug te betaal. Bereken hoeveel maande dit Melissa geneem het om haar lening volledig af te betaal. (4) 2.2.3 Wie betaal meer rente, Samuel of Melissa? Motiveer jou antwoord. (2) [13] 21

GR 12 – HERSIENING: VRAAG 3 'n Lening van R250 000 is op 1 Junie 2016 deur 'n bank aan Thabiso toegestaan teen 'n rentekoers van 15% p.j., maandeliks saamgestel, om 'n motor te koop. Thabiso het ingestem om die lening af te betaal deur maandelikse paaiemente te betaal wat op 1 Julie 2016 sou begin en 4 jaar later op 1 Junie 2020 sou eindig. Thabiso kon egter nie die eerste twee paaiemente betaal nie en het eers op 1 September 2016 met die maandelikse paaiemente begin. 3.1 Bereken die bedrag wat Thabiso die bank op 1 Augustus 2016 geskuld het, 'n maand voordat hy sy eerste maandelikse paaiement betaal het. (2) 3.2 Sy eerste maandelikse paaiement is op 1 September 2016 betaal, en Thabiso gaan steeds sy laaste maandelikse paaiement op 1 Junie 2020 betaal. Bereken sy maandelikse paaiement. (4) 3.3 As Thabiso R9 000 as sy maandelikse paaiement vanaf 1 September 2016 betaal, hoeveel maande vroeër kan hy sy lening afbetaal? (5) 3.4 As Thabiso R9 000 as 'n maandelikse paaiement vanaf 1 September 2016 betaal, bereken die laaste paaiement wat hy moet betaal om die lening af te betaal. (4) [15] VRAAG 4 4.1 Hoe lank sal dit die prys van 'n bate neem om met 'n derde van sy oorspronklike waarde te verminder, indien dit teen 'n koers van 4,7% p.j. op 'n verminderde saldo depresieer? (4) 4.2 Lebogo het op 1 April 2016 'n trekker vir Rx gekoop. • Sy sal hierdie trekker inruil wanneer sy dit oor vyf jaar op 1 April 2021 met 'n soortgelyke een vervang. • Die trekker depresieer teen 20% p.j. volgens die verminderdesaldo-metode. • Die prys van 'n soortgelyke trekker styg jaarliks met 18%. • Lebogo bereken dat as sy R8 000 per maand in 'n delgingsfonds deponeer wat rente van 10% p.j. maandeliks saamgestel, betaal, sy genoeg geld sal hê om die vervangingskoste van die trekker te dek. Sy het op 30 April 2016 die eerste deposito in die fonds gemaak en sal tot 31 Maart 2021 voortgaan om dit aan die einde van elke maand te doen. 4.2.1 Bepaal, in terme van x, wat die boekwaarde van die huidige trekker op 1 April 2021 sal wees (dit is, 5 jaar nadat die trekker aangekoop is). Gee jou antwoord korrek tot VYF desimale plekke. (2) 4.2.2 Bepaal, in terme van x, wat die prys van 'n soortgelyke nuwe trekker op 1 April 2021 sal wees. Gee jou antwoord korrek tot VYF desimale plekke (2) 4.2.3 Bereken die bedrag wat op 1 April 2021 in die delgingsfonds opgehoop sal wees. (4) 4.2.4 Bereken die waarde van x, die prys van die huidige trekker. Rond jou antwoord tot die naaste duisend af. (4) [16] VRAAG 5. 22

GR 12 – HERSIENING: Die grafiek van f toon die boekwaarde van 'n voertuig x jaar nadat Joe dit gekoop het. Die grafiek van g toon die kosprys van 'n soortgelyke nuwe voertuig x jaar later. Tyd (in jaar) 5.1 Hoeveel het Joe vir die voertuig betaal? (1) 5.2 Gebruik die verminderdesaldo-metode om die persentasie jaarlikse waardeverminderingskoers te bereken van die voertuig wat Joe gekoop het. (4) 5.3 Indien die gemiddelde koers van die voertuig se prysverhoging 8,1% p.j. is, bereken die waarde van a. (3) 5.4 'n Voertuig wat tans R450 000 kos, moet aan die einde van 4 jaar vervang word. Die ou voertuig sal ingeruil word. 'n Delgingsfonds word geskep om die vervangingskoste van hierdie voertuig te dek. Betalings sal aan die einde van elke maand gemaak word. Die eerste betaling sal aan die einde van die 13de maand gemaak word en die laaste betaling sal aan die einde van die 48ste maand gemaak word. Die delgingsfonds verdien rente teen 'n koers van 6,2% p.j., maandeliks saamgestel. Bereken die maandelikse betaling aan die fonds. (5) [13] 23

GR 12 – HERSIENING: VRAAG 6. Siphokazi het 'n huis gekoop. Sy het 'n deposito van R102 000 betaal, wat aan 12% van die verkoopprys van die huis gelykstaande is. Sy het 'n lening by die bank gekry om die balans van die verkoopprys te betaal. Die bank vra haar 'n rentekoers van 9% per jaar, maandeliks saamgestel. 6.1 Bepaal die verkoopprys van die huis. (1) 6.2 Die leningstermyn is 20 jaar en sy begin die lening een maand nadat dit toegestaan is, terugbetaal. Bereken haar maandelikse paaiement (4) 6.3 Hoeveel rente sal sy oor die tydperk van 20 jaar betaal? Rond jou antwoord korrek tot die naaste rand af. (2) 6.4 Bereken die balans van haar lening direk na haar 85ste paaiement. (3) 6.5 Sy het finansiële probleme na die 85ste paaiement ondervind en het vir 4 maande geen verdere betalings gemaak nie (dit wil sê, maand 86 tot 89). Bereken hoeveel Siphokazi aan die einde van die 89ste maand op haar verband skuld. (2) 6.6 Sy besluit om haar terugbetaling na R8 500 per maand te verhoog van die einde van die 90ste maand af. Hoeveel maande sal dit neem om haar verband terug te betaal na die nuwe paaiement van R8 500 per maand? (4) [16] 24

GR 12 – HERSIENING: TRIGONOMETRIE 1. DEFINISIES; IDENTITEITE EN FORMULES 25

GR 12 – HERSIENING: Afdeling A: Let Wel: • Vrae in hierdie hersiening is saamgestel uit nasionale eksamenvraestelle vir GR 12. AFDELING A (Roetine vrae) VRAAG 1 (GR12 NSC NOV 2019) 1.1 1.1.1 Vereenvoudig die volgende uitdrukking tot EEN trigonometriese term: sin𝑥 + sin(180° + 𝑥) cos (90° − 𝑥) cos𝑥. tan𝑥 1.1.2 Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, bepaal die waarde van: sin2 35° − cos 2 35° 4sin10°cos10° (GR12 NSC NOV 2017) 1.2 sin(A − 360°) . cos (90° + A) Gegee: cos(90° − A) . tan (−A) Vereenvoudig die uitdrukking tot 'n enkele trigonometriese verhouding. (GR12 NSC NOV 2017) 1.3 Bewys: 1.3.1 Sin(A+B)−sin(A−B) = 2 cosA.sinB 1.3.2 Sonder die gebruik van 'n sakrekenaar, dat sin77° − sin 43° = sin 17° (GR12 NSC Maart 2018) 1.4 Vereenvoudig: sin (180°−𝑥). cos (−𝑥) + cos (90°+𝑥). cos (𝑥 −180°) tot 'n enkele trigonometriese verhouding. 1.5 Bepaal die waarde van sin3𝑥. cos 𝑦 + cos3𝑥. sin 𝑦 as 3𝑥 + 𝑦 = 270° VRAAG 2 (GR12 NSC NOV 2018) 2.1 In die diagram is 𝑃(𝑘; 1) ‘n punt in die 2de kwadrant, √5 eenhede vanaf die oorsprong. R is ‘n punt op die positiewe 𝑥 − as en stomphoek RO ̂ P= 𝜃. 2.1.1 Bereken die waarde van 𝑘. 2.1.2 Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, bereken die waarde van: a) tan 𝜃 b) Cos (180° + 𝜃) c) 𝑎+𝑏 sin (𝜃 + 60°) in die vorm √20 26

GR 12 – HERSIENING: (GR12 NSC NOV 2017) 2.2 In die diagram, is P(3; 𝑡) ‘n punt in die Cartesiese vlak. OP= √34 en HO ̂ P = 𝛽 is ‘n reflekshoek. Sonder om 'n sakrekenaar te gebruik, bereken die waarde van: 2.2.1. 𝑡 2.2.2. tan 𝛽 2.2.3. cos 2𝛽 (GR12 NSC Maart 2018) 2.3 5 As cos2𝜃 = − , waar 2𝜃𝜖[180°;270°], bereken, sonder die gebruik van 'n 6 sakrekenaar, die waardes in eenvoudigste vorm van: 2.3.1 sin2𝜃 2.3.2 sin2 𝜃 VRAAG 3 3.1 In die diagram, is die grafieke van 𝑓(𝑥) = sin𝑥 − 1 en 𝑔(𝑥) = cos2𝑥 vir die interval 𝑥 ∈ [−90° ; 360°] geskets. Grafieke 𝑓 en 𝑔 sny by A. B (360° ; −1) is ‘n punt op 𝑓. 3.1.1 Skryf die waardeversameling van 𝑓 neer. 3.1.2 Skryf die waardes van 𝑥 in die interval 𝑥𝜖[−90°; 360°] waarvoor die grafiek 𝑓 afnemend is. (GR 12 NSC November 2017) 3.2 In die diagram, is die grafiek van 𝑓(𝑥) = cos2𝑥 vir die interval 𝑥 ∈ [−270° ; 90°] geskets. 3.2.1 Skets die grafiek van 𝑔(𝑥) = 2sin𝑥 − 1 vir die interval 𝑥 ∈ [−270° ; 90°] op 'n gegewe rooster. Toon AL die afsnitte met die asse asook die draaipunte. 3.2.2 Gestel A is 'n snypunt van die grafieke van 𝑓 en 𝑔 . Toon aan dat die 𝑥-koördinaat van A die −1+√5 vergelyking sin 𝑥 = , bevredig. 2 3.2.3 Bereken vervolgens die koördinate van die snypunte van grafieke van 𝑓 en 𝑔 vir die interval 𝑥 ∈ [−270° ; 90°]. 27

Wes-Kaapse Regering GR 12 —HERSIENING: 28