Wiskunde Oorlewingsgids 2

Kurrikulum: VOO KUBIESE GRAFIEK Die standaard vorm van die kubiese funksie is 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 1. Vorm: Die waarde van 𝑎 beinvloed die vorm van die grafiek. As 𝑎 > 0 [positiewe waarde] As 𝑎 < 0 [negatiewe waarde] 2. Afsnitte: Points where the graph intersects the axes 𝑥 −afsnit 𝑦 −afsnit Laat 𝑦 = 0 en los op vir 𝑥 deur die Laat 𝑥 = 0 en los op vir 𝑦. faktor stelling. 3. Draaipunte,word nou verwys as STASIONÊRE PUNTE 𝑥 − 𝑘oördinaat van stasionêre punt 𝑦 − 𝑘oördinaat van stasionêre punt ′ (𝑥) 𝑓 = 0 en los op vir 𝑥 Vervang die 𝑥- 𝑘oördinaat van stasionêre punt in die oorspronklike funksieen los op vir 𝑦.

Kurrikulum: VOO ‘n Kubiese funksie het ‘n spesiale punt genoem die Punt van Infleksie Dit is die punt waar die grafiek verander van konkaaf op na konkaaf af en andersom. 𝑥 − 𝑘oördinaat van die Punt van 𝑦 −coordinate of Point of Inflection 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 Infleksie negatief 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 en los op vir 𝑥. Vervang die 𝑥- 𝑘oördinaat van die Punt 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 van Infleksie in die oorspronklike funksie positief en los op vir 𝑦. Die konsepte sal deur die volgende voorbeelde uitgepak word. KONSEPTE EN VAARDIGHEDE Voorbeeld 1: Gegee: Skets 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 Faktor stelling: (a) Skets die grafiek van 𝒇(𝒙) Laat 𝑥 = −1: 3 (b) Bepaal die 𝒌oördinate van die punt van 𝑓(−1) = 2(−1) − 5(−1)2 − 4(−1) + 3 = −2 − 5 + 4 + 3 = 0 infleksie Dus is 𝑥 + 1 ‘n faktor Oplossing: (a) Vorm: 𝑎 = 2 dus 1 (− ; 3,7) 3 Afsnitte: Wortels 𝑥 − afsnitte: 2𝑥 3 − 5𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0 (𝑥 + 1)(2𝑥 2 − 7𝑥 + 3) = 0 (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 0 Laat 𝑥 = 0: 1 𝑥 = −1 𝑜𝑓 𝑥 = 𝑜𝑓 𝑥 = 3 2 𝑦 − afsnit: 𝑦 = 3 (2; −9)

Kurrikulum: VOO Stasionêre punte 𝑦 − 𝑘oördinaat van stasionêre punte 𝑓 ′ (𝑥) = 0 1 1 3 1 2 1 6𝑥 2 − 10𝑥 − 4 = 0 𝑓 (− ) = 2 (− ) − 5 (− ) − 4 (− ) + 3 3 3 3 3 2(3𝑥 2 − 5𝑥 − 2) = 0 100 = = 3,7 2(3𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0 27 1 𝑓(2) = 2(2)3 − 5(2)2 − 4(2) + 3 = −9 𝑥=− 𝑜𝑓 𝑥 = 2 1 3 Stasionêre punte :(− ; 3,7) 𝑒𝑛 (2; −9) 3 (b) Punt van infleksie: 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 Konkawiteit verander 𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥 2 − 10𝑥 − 4 Konkaaf af 𝑓 ′′ (𝑥) = 12𝑥 − 10 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 12𝑥 − 10 = 0 12𝑥 = 10 5 10 5 ( ; −2,6) Pnt of van Punt Inflection Infleksie 6 𝑥= = 12 6 5 5 3 5 2 5 𝑓 ( ) = 2 ( ) − 5 ( ) − 4 ( ) + 3 = −2,6 6 6 6 6 Konkaaf op Ons benodig nie die inligting om die grafiek te teken nie.

Kurrikulum: VOO Voorbeeld 2: KAN JY? Skets die funksie van 𝑔(𝑥) = −𝑥 3 + 6𝑥 2 − 9𝑥 Skets die volgende kubiese funksies: Oplossing: [Toon alle afsnitte en stasionêre punte] Vorm: 𝑎 = −1 dus Afsnitte: (a) 𝑦 = = 𝑥 3 + 14𝑥 2 − 49𝑥 + 36 𝑥 − afsnitte: −𝑥 3 + 6𝑥 2 − 9𝑥 = 0 (b) 𝑦 = 𝑥 3 − 5𝑥 − 8𝑥 + 12 −𝑥(𝑥 2 − 6𝑥 + 9) = 0 −𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = 0 (c) 𝑦 = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 4𝑥 𝑥 = 0 𝑜𝑟 𝑥 = 3 𝑦 −afsnit: (d) 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑦=0 Stasionêre punte: 𝑔′ (𝑥) = −3𝑥 2 + 12𝑥 − 9 𝑔′ (𝑥) = 0 −3𝑥 2 + 12𝑥 − 9 = 0 −3(𝑥 2 − 4𝑥 + 3) = 0 −3(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 0 𝑥=3 𝑜𝑟 𝑥 = 1 𝑦 − 𝑘oördinaat van stasionêre punt : 𝑔(3) = −(3)3 + 6(3)2 − 9(3) = 0 𝑔(1) = −(1)3 + 6(1)2 − 9(1) = −4 Koördinate van stasionêre punte : (3; 0) 𝑒𝑛 (1; −4)

Kurrikulum: VOO Opsomming: Daar is 4 tipes opsies van sketse Tipe 1 Tipe 2 Tipe 3 Tipe 4 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2 𝒚 = −𝒙𝟑 − 𝟐 Drie 𝑥 −afsnitte/ wortels Twee 𝑥 −afsnitte/ wortels Een 𝑥 −afsnit/ wortel Een 𝑥 −afsnit Twee draaipunte Twee draaipunte Twee draaipunte Een stasionêre punt (geen draaipunt maar ‘n Nota: Punt van infleksie) Ons het 2 gelyke wortels by 𝑥 = 0 Bepaling van die vergelyking van ‘n Kubiese funksie Gegee drie wortels en nog ‘n punt Gegee die draaipunt en twee ander punte Gebruik die formula: Begin met : 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑟1 )(𝑥 − 𝑟2 )(𝑥 − 𝑟3 ) waar 𝑟1 ; 𝑟2 en 𝑟3 die wortels is. • Afgeleide = 0 by die draaipunt • Vervang die wortels en vereenvoudig sover as moontlik. • Vervang die ander punt • Vervang die ander punt en bepaal die waarde van 𝑎.

Kurrikulum: VOO Voorbeeld 3 Voorbeeld 4 Gegee: Die skets hieronder is gedefinieër deur 𝒑(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝒅. Bepaal die 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 waardes van 𝒂 𝒆n 𝒅. en die skets , (a) bepaal die waardes van 𝒂, 𝒃 (6; 0) B(2; 9) en 𝒄. (b) Bepaal die koördinate van A, die lokale minimum van die kurwe. -3 Oplossing: 𝑎 = −1 (a) 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑟1 )(𝑥 − 𝑟2 )(𝑥 − 𝑟3 ) Wortels: 0; 6; 6 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 0)(𝑥 − 6)(𝑥 − 6) Gelyke wortels by 6 Oplossing: 𝑓(𝑥) = −𝑥(𝑥 2 − 12𝑥 + 36) 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 12𝑥 2 − 36𝑥 𝑦 = 𝑎𝑥 3 + 5𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑑 𝑦=0 ∴ 𝑎 = 12; 𝑏 = −36 𝑒𝑛 𝑐 = 0 𝑑𝑦 = 3𝑎𝑥 2 + 10𝑥 + 4 (b) 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 12𝑥 2 − 36𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑓 ′ (𝑥) = −3𝑥 2 + 24 − 36 𝐴𝑡 𝑥 = 2, =0 𝑑𝑥 𝑥 waarde by draaipunt is 2. 𝑓 ′ (𝑥) = 0 Vervang in die afgeleide −3𝑥 2 + 24𝑥 − 36 = 0 Die draaipunt by 𝑥 = 6 was 3𝑎𝑥 2 + 10𝑥 + 4 = 0 gegee. Die 𝑥 −koördinaat −3(𝑥 2 − 8𝑥 + 12) = 0 van A is 2. 3𝑎(2)2 + 10(2) + 4 = 0 −3(𝑥 − 6)(𝑥 − 2) = 0 12𝑎 + 20 + 4 = 0 𝑥=6 or 𝑥=2 12𝑎 = −24 𝑦 - waarde by 𝑥 = 2. 𝑎 = −2 Grafiek sny 𝑦 −as by -3 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 12𝑥 2 − 36𝑥 ∴ 𝑦 = −2𝑥 + 5𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑑 3 𝑓(𝑥) = −(2)3 + 12(2)2 − 36(2) = −32 𝑑 = −3 A(𝟐; −𝟑𝟐) 𝑦 = −2𝑥 3 + 5𝑥 2 + 4𝑥 − 3

Kurrikulum: VOO STATISTIEK: KONSEPTE EN VAARDIGHEDE: Maatstawwe van verspreiding Gemiddelde(𝑥) Kwartiele Modus • Die som van al die waardes (𝑥) • Verdeel geordende data in kwarte.. Die klasinterval met die hoogste frekwensie. 1 van die datastel gedeel deur die • Onderste kwartiel (𝑄1 ) : Die posisie van 𝑄1 = (𝑛 + 1). 4 Variasiewydte aantal waardes in die datastel (𝑛). 1 ∑𝑥 • Mediaan (𝑄2 ) : Die posisie van 𝑄2 = 2 (𝑛 + 1) Maksimum waarde – Minimum waarde. • 𝑥= ∑ = 𝑠𝑢𝑚 𝑜𝑓 3 𝐼𝑄𝑅 = 𝑄𝟑 − 𝑄𝟏 𝑛 • Boonste kwartiel (𝑄3 ) : Die posisie van 𝑄3 = 4 (𝑛 + 1). Semi – Interkwartielvariasiewydte 𝑄𝟑 − 𝑄𝟏 = 2 Maatstawwe van sentrale neiging (geordende data) Voorbeld 1: Berekening avn geskatte gemiddeld: KAN JY? Bepaal die geskatte gemiddelde, mediaan en modus van die 1. Skep addisionele kolomme vir Middelpunt van Bepaal die geskatte gemiddelde, onderstaande data. klasinterval en Frekwensie × Middelpunt. mediaan en modale interval van die Klasinterval Frekwensie Middelpunt Frekwensie 2. Bereken die Middelpunt van klasinterval en onderstaande data. van × Frekwensie × Middelpunt. klasinterval Middelpunt 2.1 Middelpunt van klasinterval = 𝑂𝑛𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑒𝑡 𝑣𝑎𝑛 𝑘𝑙𝑎𝑠 +𝑏𝑜𝑜𝑛𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑒𝑡 𝑣𝑎𝑛 𝑘𝑙𝑎𝑠 Klasinterval Frekwensie 0 ≤ 𝑥 ≤ 20 6 10 60 2 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 1 20 < 𝑥 ≤ 40 8 30 240 2.2 Vermenigvuldig die frekwensie kolom met die 10 < 𝑥 ≤ 20 2 40 < 𝑥 ≤ 60 10 50 500 middelpunt van elke klasinterval. 3. Bereken die som van die Frekwensie kolom om 20 < 𝑥 ≤ 30 11 60 < 𝑥 ≤ 80 3 70 210 “𝑛” te vind. 30 < 𝑥 ≤ 40 9 80 < 𝑥 ≤ 100 2 90 180 4. Bereken die som van Frekwensie × Middelpunt 40 < 𝑥 ≤ 50 14 29 1190 kolom om“ ∑ 𝑥 ” waarde te vind. 50 < 𝑥 ≤ 60 3

Kurrikulum: VOO Oplossing: ∑𝑥 5. Vervang stap 3 en 4 in 𝑥 = om geskatte 𝑛 Gemiddeld gemiddeld te kry. ∑ 𝑥 1190 𝑥= = = 41,03 Antwoorde: 𝑛 29 Mediaan Geskatte gemiddelde 35,5 Mediaan 1 1 • Bepaal die posisie van 𝑄2 . mediaan : 35 Posisie van 𝑄2 = 2 (𝑛 + 1) = 2 (29 + 1) = 15𝑑𝑒 waarde. • Bepaal in watter klasinterval die posisie van 𝑄2 val. modale interval 40 < 𝑥 ≤ 50 Die 15𝑑𝑒 waarde val in 40 < 𝑥 ≤ 60 klasinterval. • Gebruik die klasmiddelpunt vir die waarde van 𝑄2 . ∴ 𝑄2 = 50 (middelpunt van klasinterval) Modus = 40 < 𝑥 ≤ 60 Voorbeeld 2: Bepaal die onderste kwartiel, boonste kwartiel, variasiewydte, interkwartielvariasiewydte, semi - interkwartielvariasiewydte en die 80𝑠𝑡𝑒 persentiel van die onderstaande data. 20, 21, 25, 25, 26, 26, 26, 30, 32, 32, 33, 33, 35, 36, 37, 38, 41, 42, 43, 45 Oplossing Onderste kwartiel (𝑸𝟏 ) Boonste kwartiel(𝑸𝟑 ) 𝟖𝟎𝒔𝒕𝒆 persentiel 1 3 80 Die posisie van 𝑄1 = 4 (𝑛 + 1) Die posisie van 𝑄3 = 4 (𝑛 + 1) Die posisie van 80𝑠𝑡𝑒 = 100 (20 + 1) = 16.8𝑠𝑡𝑒 posisie. 1 3 38+41 = (20 + 1) = 5,25𝑑𝑒 posisie. = (20 + 1) = 15,75𝑡ℎ posisie. ∴ 80𝑠𝑡𝑒 persentiel = = 39,5 4 4 2 26 + 26 37 + 38 ∴ 𝑄1 = = 26 ∴ 𝑄3 = = 37,5 2 2 Variasiewydte = 45 − 20 = 25 𝑰𝑸𝑹 = 𝑄𝟑 − 𝑄𝟏 = 37,5 − 26 = 11,5 𝑄𝟑 −𝑄𝟏 37,5−26 Semi - 𝑰𝑸𝑹 = = = 5,75 2 2 Die vyfgetal opsomming Uitskieters Die vyfgetal opsomming word voorgestel deur die volgende maatstawwe van verspreiding: Dit is waardes wat baie groter of kleiner is as die gegewe data items ❖ Die minnimum waarde van die datastel. ❖ 𝑄1 ❖ 𝑄2 ❖ 𝑄3 ❖ Die maksimum waarde van die datastel.

Kurrikulum: VOO Mond- en - snor diagram Die mond – en – snor diagram is die grafiese voorstelling van die vyfgetal opsomming. Teken wenke Snor Mond Die diagram moet altyd ‘n mond en ‘n snor hê. Toon die vyfgetal opsomming duidelik op die as aan. Snor Min 𝑄1 𝑄2 𝑄3 Maks Belangrike gevolgtrekkings van af die mond – en – snor digram. • 25% van die data lê tussen die minnimum waarde en 𝑄1 . Antwoord • 25% van die data lê tussen 𝑄1 en 𝑄2 . • 25% van die data lê tussen 𝑄2 en 𝑄3 . • 25% van die data lê tussen 𝑄3 en die maksimum waarde. KAN JY? Teken ‘n mond – en – snor diagram van die onderstaande data. 12, 12, 13, 14, 16, 22, 23, 24, 30, 31, 31, 31, 32, 34, 35, 35, 35, 36 Verspreiding van data Positief skeef Simmetriese verspreiding Negatief skeef

Kurrikulum: VOO Voorbeeld 4: KAN JY? Die mond – en – snor diagram vir punte (uit 90) vir nege leerders word in onderstaande Die onderstaande data toon die aantal besoeke aan die plaaslike diagram getoon. kliniek vir die afgelope 6 dae : 12, 29, 13, 63, 12, 3 1. Teken ‘n mond – en – snor diagram. 2. Gebruik jou sakrekenaar om die gemiddelde van die data te bepaal. 20 30 40 70 90 3. Bereken die gemiddelde – mediaan. Beantwoord die volgende vrae. 4. Lewer kommentaar oor die skeeefheid van die data. 1. Lewer kommentaar oor die skeefheid van die data. Antwoorde 2. Hoekom sal die gemiddelde nie ‘n goeie maatstaf van sentrale neiging wees nie? 2. gemiddelde ≈ 14,1 3. Dink jy die toets was te maklik of te moeilik? Gee ‘n rede vir jou antwoord. answer. 3. gemiddelde - mediaan = 14,1 − 17,5 = −3,4 Oplossing: 4. Die data is nouer gegroepeer aan die regterkant en meer 1. Skeef na regs of positief skeef. verspreid aan die linkerkant.. Dit is negatief skeef. Die verskil 2. Die gemiddelde was te hoog. tussen die gemiddelde en die mediaan is negatief wat aandui dat 3. Die toets was te moeilik want 50% van leerders het minder as 40% gekry. die data negatief skeef is. Kumulatiewe frekwensie grafiek (ogief) Definisie: Dit is die totale frekwensie en alle frekwensies tot dusver in ‘n frekwensie verspreiding. Dit is die “lopende totaal” van frekwensies. Wat moet ek kan doen? • Gebruik die frekwensietabel om ‘n ogief te teken. • Bepaal waardes deur gebruik te maak van ‘n ogief. • Gebruik ‘n ogief om die frekwensietabel te voltooi. • Gebruik die ogief om persentiele en kwartiele te bereken. Wat is belangrik wanneer ‘n ogief geteken word? 1. Dit moet ‘n opskrif hê. Wanneer jy die kurwe skets mag jy nie ‘n 2. Die asse moet benoem word. liniaal gebruik nie. Dit is ‘n S – vormige 3. Plot die punte. (Boonste grens van klas; kumulatiewe frekwensie van klas) kurwe. 4. ANKER die ogief by (onderste grens van die eerste interval; 0)

Kurrikulum: VOO Voorbeeld 5: Riglyne om ‘n ogief te skets. Die volgende frekwensietabel toon die hoeveeldheid doele wat die Protea 1. Skep ‘n kumulatiewe frekwensie kolom. netbalspan aangeteken het in die 50 wedstryde wat hulle gespeel het in 2018. 2. Skep ‘n koӧrdinate kolom. Hoeveelheid Frekwensie Kumulatiewe Koӧrdinate 3. Anker ogief by (onderste grens; 0). doele frekwensie 4. Plot punte in koӧrdinate kolom. 5 < 𝑥 ≤ 10 6 6 (10 ; 6) 5. Konnekteer die punte met gladde kurwe. 10 < 𝑥 ≤ 15 8 14 (15 ; 14) Hoe word kwartiele en persentiele grafies bepaal. 15 < 𝑥 ≤ 20 13 27 (20 ; 27) 1. Vind die posisie. 20 < 𝑥 ≤ 25 9 36 (25 ; 36) 2. Vind die posisie op die kumulatiewe frekwensie as. 25 < 𝑥 ≤ 30 7 43 (30 ; 43) 3. Teken ‘n gebroke lyn na die ogief. 30 < 𝑥 ≤ 35 5 45 (35 ; 45) 4. Teken ‘n gebroke lyn van die ogief na die 𝑥 − as. 35 < 𝑥 ≤ 40 2 50 (40 ; 50) 5. Lees die waarde van die 𝑥 − as af. 1. Teken die kumulatiewe frekwensie grafiek(ogief) van die gegewe data. KAN JY? 2. Gebruik die grafiek om die mediaan te bepaal. ‘n Steekproef is gedoen op 50 mense om die afstande te bepaal wat hulle Oplossing: daagliks na hul werk reis. Die volgende tabel toon die resultate van die 1. steekproef: Ogief 60 Afstand in km Frekwensie 0<𝑑≤5 2 Kumulatiewe 50 40 5 < 𝑑 ≤ 10 7 30 10 < 𝑑 ≤ 15 4 frekwensie 20 15 < 𝑑 ≤ 20 13 10 20 < 𝑑 ≤ 25 16 0 25 < 𝑑 ≤ 30 8 0 10 20 30 40 50 1. Teken die kumulatiewe frekwensie grafiek(ogief) van die gegewe data. Hoveelheid doele 2. Gebruik die grafiek om die 60𝑠𝑡𝑒 persentiel te bepaal. 3. Gebruik jou grafiek om die geskatte aantal mediaan kilometers wat gereis 1 1 2. Posisie van 𝑄2 = 2 (𝑛 + 1) = 2 (50 + 1) = 25,5𝑠𝑡𝑒 waarde. ∴ 𝑄2 = 19 was per week te bepaal. Antwoorde: (2) ≈ 54 (3) Mediaan tussen 25ste en 26steleerderr ≈ 50 𝑘𝑚 𝑝𝑒𝑟 𝑤𝑒𝑒𝑘

Kurrikulum: VOO KONSEPTE EN VAARDIGHEDE: Spreidingsdiagramme ‘n Spreidings diagram is ‘n grafiek wat gebruik word om te bepaal of daar ‘n verhouding tussen twee veranderlikes is. ‘n Spreidingsdiagram is ‘n kragtige hulpmiddel vir navorsers om te bepaal of daar ‘n verband tussen twee verandelikes bestaan. Die data op ‘n Spreidingsdiagram kan die volgende neiging hê: lineêr, kwadraties of eksponensieël. Lineêr Kwadraties Eksponensieël Regressielyn Hoe om die vergelyking van die regressielyn te bepaal met Lyn van beste passing Die regressielyn is basies die akkurate weergawe van behulp ‘n Sharp calculator (EL-W535HT ) Dit verwys na ‘n lyn wat deur ‘n ‘n lyn van beste passing. Dit gebruik die kleinste verspreidngs diagram se data gaan kwadrate metode om die gradiënt en y – afsnit te wat die data die beste voorstel. Die bepaal van die regressielyn 1.< 𝑀𝑂𝐷𝐸 >[1:STAT][1:LINE] lyn van beste passing is nie so Standaardvorm van ‘n regressielyn: 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 2. Vul x-waardes en die y-waardes tesame. akkuraat nie, maar dit help om die Hoe om die vergelyking van die regressielyn te 3. Druk CHANGE na elke (x; y) tendens van die data voor te stel. bepaal met ‘n Casio fx-82ZA sakrekenaar: 4. Vind die waarde van a , die y-afsnit [ALPHA][( ] [=] Hoe om die lyn van beste passing 1. Druk MODE en selekteer STAT. 5. Vind die waarde van b , die gradient [ALPHA] [ ) ] [=] te skets: 2. Selekteer 𝐴 + 𝐵𝑥. ● Probeer om dieselfde https://youtu.be/ABN4iJL04qs 3. Vul data punte in. hoeveelheid datapunte bo en Kolom(X) druk = na elke data punt onder die lyn te hê. Kolom(Y) druk= na elke data punt 4. Na al die data punte ingevul is druk AC 5. Druk SHIFT , druk dan 1 6. Druk die nommer langs “Reg” 7. Druk die nommer langs 𝐴, dan druk =: om 𝐴 te vind 8. Druk SHIFT , druk dan 1 9. Druk die nommer langs “Reg” 10. Druk die nommer langs 𝐵, druk =: om 𝐵 te vind.

Kurrikulum: VOO Hoe om ‘n regressielyn te skets: Hoe om die gemiddelde punt te bepaal op ‘n Casio fx-82ZA Uitskieters Plot die 𝐴 waarde van die regressielyn. sakrekenaar : Dit is ‘n waarde wat “verder” (hoër Bepaal die gemiddelde punte (𝑥 ; 𝑦 ) en plot die ● Maak seker dat al jou data ingevul is in jou sakrekenaar. of laer) is as meeste van die ander gemiddelde punt. ● Druk SHIFT, druk dan 1 data punte. Los die uitskieter uit as Skets ‘n lyn vanaf punt 𝐴 deur die gemiddelde punt. ● Druk die nommer langs “Var” jy die lyn van beste passing skets of Hoe om ‘n regressielyn te bepaal as die grafiek nie ● Druk die nommer langs 𝑥, druk dan =: om die gemiddelde die regressielyn bereken. Die rede 𝑥 te vind hiervoor is dat die uitskieter nie die by die oorsprong (0; 0) begin nie tendens volg nie en sal die Om ‘n regressielyn te bepaal, vervang enige twee x- ● Druk SHIFT, druk dan 1 tendenslyne beïnvloed wat waardes wat tussen die maksimum en minimum x- ● Druk die nommer langs “Var” Druk die nommer langs 𝑦, toekomstige voorspellings nie so waardes in die regressielyn se vergelyking. Dui die druk dan =: om die gemiddelde 𝑦 te vind akkuraat, as moontlik, sal maak nie. punte aan op die grafiek en verbind die punte. Voorbeeld 1: By ‘n kliniek waar COVID 19 toetse gedoen word, was die KAN JY? onderstaande data vir 7 dae in Junie maand aan geteken Die onderstaande table dui die tyd aan wat 12 atlete neem om 100m te hardloop en ook hulle beste afstand vir verspring. COVID 19 49 65 82 60 65 94 88 Tyd positief 100m 10,1 10,2 10,5 10,9 11 11,1 11,2 11,5 12 12 12,2 12,5 Aantal hardloop 156 176 183 153 163 192 180 toetse (sek) 1. Skets ‘n spredingsdiagram van die gegewe data. Afstand van 2. Bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn. versprin 8 7,7 7,6 7,3 7,6 7,2 6,8 7 6,6 6,3 6,8 6,4 3. Skets die kleinste kwadrate regressielyn. g (m) 4. Hoeveel toetse sal gedoen word om gemiddeld 100 COVID 19 uitslae per dag aan te teken.

Kurrikulum: VOO 1. Skets ‘n spredingsdiagram van die gegewe data. Spreidingsdiagram 2. Bepaal die vergelyking van die kleinste kwadrate regressielyn. 200 3. Skets die kleinste kwadrate regressielyn. 190 4. As ‘n atleet 100m in 11.7 sekondes hardloop gebruik die formule om te Aantal toetse voorspel die afstand van die sprong. 180 170 Spreidingsdiagram 160 8.5 Tyd vir 100m hardloop (sek) 150 8 40 50 60 70 80 90 100 7.5 Aantal COVID 19 positiewe uitslae) 7 (11.2;7.1) 6.5 2. 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 Antwoorde: 6 𝑦 = 113,47 + 0,81𝑥 2. 𝑦 = 14,34 − 0,64𝑥 10 10.5 11 11.5 12 12.5 3. 𝑦 = 113,47 + 0,81(𝟒𝟗) = 𝟏𝟓𝟑, 𝟏𝟔 ∴ (49; 153,16) 3. (10,1; 7,8) (12,5; 6,3) Afstand van versring (m) 𝑦 = 113,47 + 0,81(𝟗𝟒) = 𝟏𝟖𝟗, 𝟔𝟏. ∴ (94; 189,61) 4. 𝑦 = 113,47 + 0,81(100) 𝑦 ≈ 195 toetse 4. 𝑦 = 6,852 Korrelasie Die korrelasiekoëffisiënt is 'n statistiese maatstaf van die sterkte van die verwantskap tussen twee veranderlikes. Korrelasiekoëffisiënt word aangedui met (𝑟) en is tussen -1 en 1. Hoe nader die datapunte aan die regressielyn is, hoe sterker is die verhouding. Dit beteken hoe nader 𝑟 aan 1 of -1 is. Hoe verder die datapunte van die regressielyn af is, hoe swakker is die verhouding, en hoe nader is r aan 0. As die gradiënt van die regressielyn positief is, dan het die datastel 'n positiewe korrelasie en as die gradiënt van die regressie lyn negatief is, dan het die data 'n negatiewe korrelasie. As die korrelasiekoëffisiënt groter is as 0,9 het die data ‘n baie sterk positiewe korrelasie. As die korrelasiekoëffisiënt kleiner is as -0,9, sê ons dat daar 'n baie sterk negatiewe korrelasie is. Die sterkte van die assosiasie word bepaal deur die korrelasiekoëffisiënt (𝑟).

Kurrikulum: VOO Baie Sterk positiewe lineêre verwantskap. Perfekte positiewe lineêre verwantskap. Geen verwantskap. Perfekte negatiewe verwantskap. Baie Sterk negatiewe verwantskap. Voorbeeld 2: Hoe om jou sakrekenaar te gebruik om die korrelasiekoëffisiënt te bepaal: Die data hieronder stel die proefeksamen punt en die ooreenkomstige finale ● Maak seker al jou data is korreek ingevoer. Sien instruksies op b;adsy 2. eksamenpunt vir elf graad 12 leerders voor. ● Na al die data punte ingevul is druk AC ● Druk SHIFT , druk dan 1 Proef punt 80 68 94 72 74 83 56 78 65 75 88 ● Druk die nommer langs “Reg” Finale punt 78 71 96 77 77 80 58 83 71 80 92 ● Druk die nommer langs 𝑟, dan druk =: om 𝑟 te vind ● Gebruik die gegewe tabel om die korrelasiekoëffisiënt 𝑟 te vind en maak ‘n gevolgtrekking oor die sterkte van die korrelasie/ Oplossing: verwantskap van die twee veranderlikes. 𝑟 = −0,96 ∴ Daar is ‘n sterk positiewe linieere korrelasie/ verwantskap tussen die twee veranderlikes

Kurrikulum: VOO KWADRATIESE ONGELYKHEDE EN GELYKTYDIGE VERGELYKINGS Voorbeeld 1: Los die volgende ongelykhede op. Onthou om die 1. 𝑥 + 1 < 3 3 ongelykheids teken −4𝑥 − 2𝑥 ≥ 24 − 12 −2𝑥 + 3 ≥ 1 𝑥 < 3−1 3 om te draai as jy met −4(𝑥 − 3) ≥ 2(𝑥 − 12) − 𝑥 ≥ −2 −4 + 12 ≥ 2𝑥 − 24 𝑥<2 2 ‘n negatiewe getal −3𝑥 ≥ −4 deel. −6𝑥 ≥ −36 4 𝑥 ≤3 ∴𝑥≤6 KAN JY? Los die volgende ongelykhede op. 2𝑥+4 3(𝑥−3) 1. 2𝑥 + 3 > 1 2. 7 ≥ 3 3. 4(𝑥 − 3) ≥ 2(𝑥 − 10) Antwoorde 1. 𝑥 > −1 2. 𝑥 ≤ 5 3. 𝒙 ≥ −𝟒 Kwadratiese Ongelykhede ‘n Kwadratiese ongelykheid behels die bepaling van die waardes van 𝑥 van ‘n parabool wat onder of bo die x − as lê. In die 2de kwartaal (Funksies ) sal jy geleer word om in detail ‘n parabool te skets. Al wat ons nou benodig is ‘n basiese begrip van hoe om die 𝑥 – afsnitte van ‘n parabool te bereken asook die vorm. Voorbeeld 2 Los op vir 𝒙 in die volgende ongelykheid Onthou Parabool 2 𝑥 ≤4 𝑥2 − 4 ≤ 0 Gebruik faktorisering om die kritiese waardes te vind. (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) ≤ 0 ∴ −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 opwaarts afwaarts Die grafiek van die parabool is positief omdat die koëfisient van 𝑥 2 positief is. Die 𝑥 – afnit word as volg bepaal: Die kritiese waardes word ingesluit in die finale antwoord. Dit wil sê ons (𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 sal geslote sirkels gebruik om die ongelykheid voor te stel op ‘n getalle sny ∴ 𝑥 = −2 𝑜𝑓 𝑥 = 2 Skets die grafiek van die parabool lyn. (fokus op die on x-afsnitte) Die kritiese waardes is -2 en 2. Bepaal nou die waardes van 𝑥 waarvoor 𝑥 2 − 4 ≤ 0 Dit is waar die grafiek die 𝑥 – as sny en waar dit onder die 𝑥 − as lê. onder Die oplossing is duidelik tussen die twee 𝑥 – afsnitte: −2 ≤ 𝑥 ≤ 2

Kurrikulum: VOO 2. Los op vir 𝒙 in die volgende ongelykheid Die ongelykheids teken sê vir ons of die antwoord onder (waar 𝑦 negatief 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟖 ≤ 𝟎 is) of bo (waar 𝑦 positief is) die 𝑥 – as lê. (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟔) ≤ 𝟎 𝒙 + 𝟑 ≤ 𝟎 𝒐𝒇 𝒙 − 𝟔 ≤ 𝟎 Die volgende tabel sal jou geheue verfris van kennis wat benodig word 𝒙 ≤ −𝟑 𝒐𝒇 𝒙 ≤ 𝟔 om aan te gaan met gr 11 inhoud. ∴ −𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 Ons kan die resultaat voorstel op ‘n getallelyn. Ongelykheids In woorde Ingesluit/ Getallelyn teken uitgesluit > Groter as Uitgesluit (oop) 3. Los op vir 𝒙 in die volgende ongelykheid ≥ Groter of gelyk aan Ingesluit(toe) 𝑥 2 − 𝑥 − 12 > 0 < Kleiner as Uitgesluit (oop) (𝑥 − 4)(𝑥 + 3) > 0 ≤ Kleiner of gelyk aan Ingesluit(toe) Kritieke waardes is 4 en −3 𝑥 < −3 𝑜𝑓 𝑥 > 4 Ongelykheid Interval notasie Getallelyn Onthou dat (𝑥 − 4)(𝑥 + 3) > 0 4. Los op vir 𝒙 in die volgende ongelykheid 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 ≥ 𝟎 −2𝑥 2 + 𝑥 ≥ 0 Skryf in standaard vorm maak die koëfisient 𝑥 2 2 2𝑥 − 𝑥 ≤ 0 positief, maal met−1 draai die teken om wanneer 𝑥(2𝑥 − 1) ≤ 0 jy maal of deel met ‘n negatiewe getal. Die grafiek van die parabool 𝑦 = 2𝑥 2 − 𝑥 is konkaaf op. Die 𝑥 – afnit word as volg bepaal: 𝑥(2𝑥 − 1) = 0 1 ∴ 𝑥 = 0 𝑜𝑓 𝑥 = kritiese waardes. 2 Bereken nou die waardes van 𝑥 vir wat 𝑥(2𝑥 − 1) ≤ 0 Dit is waar die grafiek die 𝑥 – as sny en waar dit onder die 𝑥 – as lê. 1 Die oplossing lê duidelik tussen die twee 𝑥 – afnitte:0 ≤ 𝑥 ≤ KAN JY? Los die volgende ongelykhede op. 2 𝟏. 𝑥 2 < 16 2. 𝑥 2 + 5𝑥 − 6 ≥ 0 3. 𝑥 2 ≤ 4𝑥 4. – 𝑥 2 + 3𝑥 + 4 ≤ 0 Antwoorde: 𝟏. −4 < 𝑥 < 4 2. 𝑥 ≤ −6 𝑜𝑓 𝑥 ≥ 1 3. 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 4. −1 ≤ 𝑥 ≤ 4

Kurrikulum: VOO Gelyktydige vergelykings Ons kan snypunte van ander pare grafieke/vergelykings (bv. ‘n reguitlyn In gr 10 het jy gelyktydige vergelykings opgelos om die sny punt te vind tussen en ‘n parabool, twee parabole of ‘n hiprebool en ‘n reguitlyn ens.) se twee reguitlyne. (een 𝑥 – waarde en een 𝑦 – waarde). snypunte bereken. Kom ons kyk of jy onthou hoe om liniêre vergelykings gelyktydig op te los. Onthou ons kan elke vergelyking voorstel as ‘n grafiek. Indien ons beide grafieke op dieselfde assestelsel skets dan sal die snypunt van die twee Voorbeeld 3 grafieke die oplossing wees van die gelyktydige vergelyking. Los die volgende vergelykings gelyktydig op. Ons sal nou leer hoe om vergelings gelyktydig op te los waar die een 2𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑒𝑛 2𝑦 + 𝑥 − 2 = 0 vergelyking ‘n kwadratiese vergelyking is. Wanneer vergelykings gelyktydig opgelos word kan ons: 2𝑦 + 𝑥 − 2 = 0 laat een van die verandelikes die onderwerp Dit grafies oplos deur ‘n akkurate skets te teken om die snypunt te vind. wees van die vergelyking Dit algebraïes oplos. 𝑥 = 2 − 2𝑦 In hierdie les gaan ons verduidelik hoe om gelyktydige vergelykings algebraïes op te los. 2𝑦 = 2𝑥 − 1 gebruik die inligting en stel dit in die tweede Voorbeel 4 vergelyking in Los 𝒙 en 𝒚 gelyktydig op. 2𝑦 = 2(2 − 2𝑦) − 1 (Kwadratiese vergelyking) 𝑦 = 𝑥 2 − 1 𝑒𝑛 𝑦 − 𝑥 = 5 (liniêre 2𝑦 = 4 − 4𝑦 − 1 Jy behoort nou ‘n vergelyking te hê met een vergelyking) veranderlike Stel nou die vergelyking in die eerste Oplossing 6𝑦 = 3 vergelyking om die tweede vergelyking te vind 𝑦 − 𝑥 = 5 maak y die onderwerp van die vergelyking. 𝑦= 1 ∴𝑦 =𝑥+5 2 Stel nou 𝑥 + 5 in die kwadratiese vergelyking in en los x op 𝑥 = 2 − 2𝑦 1 𝑦 = 𝑥2 − 1 𝑥 = 2 − 2 (2) ∴ 𝑥 + 5 = 𝑥2 − 1 𝑥=1 ∴ 0 = 𝑥2 − 𝑥 − 6 1 1 ∴ 0 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) ∴ 𝑥 = 1 𝑒𝑛 𝑦 = 2 (1 ; 2) ∴ 𝑥 = 3 𝑜𝑓 𝑥 = −2 Die ooreenstemmende waardes y kan bepaal word deur die waardes van 𝑥 in die liniêre vergelyking van 𝑦 = 𝑥 + 5 te vervang. Gelyktydige Vir 𝑥 = 3 Vir 𝑥 = −2 vergelyking 𝒚=𝟑+𝟓 𝒚 = −𝟐 + 𝟓 = 𝟑 𝒚=𝟖 𝒚=𝟑 Die oplossing kan ook in die volgende vorm geskryf word (3; 8) en (-2; 3)

Kurrikulum: VOO Los 𝒙 en 𝒚 gelyktydig op. 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 𝑒𝑛 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 8 3𝑥 + 2 = 𝑦 Voorbeeld 5 3𝑥 + 2 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 8 Bepaal algebraïes die snypunte van die onderstaande grafieke. 0 = −𝑥 2 − 𝑥 + 6 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 𝒆𝒏 𝒚 − 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 0 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) Oplossing 𝑥 = −3 𝑜𝑓 𝑥 = 2 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 (Vergelyking 1) 𝑦 = 3(−3) + 2 𝑦 = 3(2) + 2 𝑦−𝑥+3 = 0 (Vergelyking 2) 𝑦 = −7 𝑦=8 𝑦 =𝑥−3 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 KAN JY? 𝑥 2 − 3𝑥 = 0 Los 𝒙 en 𝒚 vir die volgende vergelykings 𝑥(𝑥 − 3) = 0 ∴ 𝑥 = 0 𝑒𝑛 𝑥 = 3 1. 𝑦 = 𝑥 2 − 2 𝑒𝑛 𝑦 − 2𝑥 = 1 (Vervang vir x in vergelyking 2) 2. 𝑦 = 3𝑥 + 7 𝑒𝑛 𝑦 = 2𝑥 2 + 8 𝑦 =𝑥−3 𝑦 = 0 − 3 𝑜𝑓 𝑦 = 3 − 3 3. 𝑥 − 3𝑦 = 1 𝑒𝑛 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 9𝑦 2 = 17 ∴ 𝑦 = −3 𝑜𝑓 𝑦 = 0 Bereken die snypunte van die volgende grafieke : 4. 𝑦 = 2𝑥 𝑒𝑛 𝑦 = 3𝑥 2 − 1 Snypunte Antwoorde (0, -3) and (3; 0) 1. 𝑥 = 3 𝑜𝑓 − 1 𝑒𝑛 𝑦 = 7 𝑒𝑛 − 1 𝑜𝑓 (3; 7)(−1; −1) Nota: Wanner ons twee vergelykings gelyktydig oplos, soek ons na die 1 17 1 17 geordende paar wat aan beide vergelykings sal voldoen. 2. 𝑥= 𝑜𝑓 1 𝑒𝑛 𝑦 = 𝑒𝑛 10 𝑜𝑓 ( ; )(1; 10) 2 2 2 2 4 1 2 3. (−3; − ) of (4; 1) 4. (− ; − ) 𝑜𝑓 (1; 2) 3 3 3 Konsolidasie • Jy behoort nou ‘n kwadratiese ongelykheid met een veranderlike op te los en grafies voor te stel. • Jy behoort ook te weet hoe om vergelykings met twee veranderlikes een liniêr en die ander een kwadrties algebraïes op te los.

Kurrikulum: VOO RYE EN REEKSE 'n Rekenkundige Ry is 'n ry waar die konstante verskil tussen opeenvolgende terme dieselfde is. In die ry: 5; 9; 13; 17; 21; … Let op dat 𝒂 = 𝟓 en 𝒅 = 𝟒 𝑻𝟏 = 5 = 𝒂 𝒂 = 𝐝𝐢𝐞 𝐞𝐞𝐬𝐭𝐞 𝐭𝐞𝐫𝐦 = 𝑻𝟏 𝑻𝟐 = 9 = 5 + 4 = 𝒂+𝒅 𝒅 = 𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐯𝐞𝐫𝐬𝐤𝐢𝐥 𝑻𝟑 = 13 = 5 + 2(4) = 𝒂 + 𝟐𝒅 𝒅 = 𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 = 𝑻𝟑 − 𝑻𝟐 𝑻𝟒 = 17 = 5 + 3(4) = 𝒂 + 𝟑𝒅 𝒏 = 𝐚𝐚𝐧𝐭𝐚𝐥 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐞 𝑻𝒏 = 5 + (𝑛 − 1)(4) = 𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒅 Voorbeeld 1: U Oplossing : U U konstante verskil: 𝒅 = 𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 = 𝟓 − 𝟐 = 𝟑 Gegee die ry : 2; 5; 8; … 𝒂 = 𝑻𝟏 = 𝟐 𝑇𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 a) Bepaal die algemene term = 2 + (𝑛 − 1)3 = 2 + 3𝑛 − 3 van die ry. = 3𝑛 − 1 ∴ 𝑇𝑛 = 3𝑛 − 1 𝑇𝑛 = 3𝑛 − 1 b) Gebruik die algemene term ∴ 𝑇40 = 3(40) − 1 en bepaal die 40 ste term. P P 𝑇40 = 119 Posisie van die term is 40. Daarom is, 𝑛 = 40 𝑇𝑛 = 2012 Waarde van een van die terms is 2012. Daarom is 𝑇𝑛 , ∴ 𝑇𝑛 = 3𝑛 − 1 = 2012 c) Watter term in die ry sal 2012, want ons weet nie, die posisie van 2012 nie 3𝑛 = 2012 + 1 gelyk wees aan 2012. 3𝑛 = 2013 𝑛 = 671 ∴ 671 ste term van die patroon is gelyk aan 2012 P P

Voorbeeld 2: U UOplossing : U Voorbeeld 3: U Oplossing : U U 𝒅 = −6 − (−2) = −𝟒 konstante verskil: 𝒅 = 𝟏𝟎 Bepaal die aantal terme in die 𝑇𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 Bepaal die eerste drie terme van 𝑻𝟒 = 𝟑𝟗 rekenkundige ry 𝑇𝑛 = −2 + (𝑛 − 1)(−4) die rekenkundige ry met die 𝑇𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 -2; -6; -10; … ; -150 𝑇𝑛 = −4𝑛 + 2 konstante verskil van 10 en die 𝑇4 = 𝑎 + (4 − 1)𝑑 𝑇𝑛 = −4𝑛 + 2 = −𝟏𝟓𝟎 vierde term van 39. 39 = 𝑎 + 3𝑑 ∴ −4𝑛 = −152 39 = 𝑎 + 3(10) ∴ 𝑛 = 38 9=𝑎 Daar is 38 terme Dus is die ry 9; 19; 29 Voorbeeld 4: U UOplossing: Voorbeeld 5: U Oplossing : U U 𝑇2 = 𝑎 + 𝑑 = 9 (1) 2𝑑𝑒 term 𝒅 = 𝑇2 − 𝑇1 = 𝑇3 − 𝑇2 𝑑𝑒 In die rekenkundige ry is die 2 𝑇5 = 𝑎 + 4𝑑 = 21 (2) 5𝑑𝑒 term 2𝑝 − 3; 3𝑝 − 1; 5𝑝 − 2 die (3𝑝 − 1) − (2𝑝 − 3) term gelyk aan 9 en die 5𝑑𝑒 term is 3𝑑 = 12 (2) − (1) eerste drie terme van die = (5𝑝 − 2) − (3𝑝 − 1) gelyk aan 21. Bereken 𝒅=𝟒 rekenkundige ry. 3𝑝 − 1 − 2𝑝 + 3 = 5𝑝 − 2 − 3𝑝 + ∴ 𝑇2 = 𝑎 + 𝑑 = 9 1 a) Die eertse drie terme van 𝑎+4 = 9 a) Bepaal die waarde van 𝑝 + 2 = 2𝑝 − 1 die ry. 𝒂=𝟓 𝑝. 𝒑=𝟑 Die eerste drie terme is 5; 9; 13; b) Die eertse drie terme van b) Vervang 𝑝 = 3 in die ry en die eerste die ry. drie term is 3; 8; 13 b) Die 60𝑠𝑡𝑒 term 𝑇60 = 𝑎 + 59𝑑 = 5 + 59(4) = 241 c) Bepaal die term wat c) 𝑇𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 = 2013 Dus is die 60 𝑠𝑡𝑒 term 241. gelyk is aan 2013 3 + (𝑛 − 1)(5) = 2013 3 + 5𝑛 − 5 = 2013 5𝑛 = 2015 𝑛 = 403 KAN JY? 1) Gegee die volgende ry: 3; 8; 13; 18; … Antwoorde: Bereken: a) Die algemene term 1) a) 𝑇𝑛 = 5𝑛 − 2 b) Die 20 ste termP P b) 98 c) Watter term van die ry is gelyk aan 223 c) 𝑛 = 45 2) In 'n rekenkundige ry is 𝑇3 = −2 en 𝑇8 = 23. Bepaal die eerste term en die konstante verskil. 2) 𝑑 = 5 3) Bepaal die aantal terme in die rekenkundige ry 𝑎 = −12 −5; −11; −17; … ; −491 3) 82 4) Die eerste drie terme van 'n rekenkundige ry is 𝑥 − 8; 𝑥; 2𝑥 − 5 . Bepaal 4) a) 13 a) die waarde van 𝑥. b) 𝑇𝑛 = 8𝑛 − 3 b) Die algemene term. c) 917 c) Die waarde van die 115𝑠𝑡𝑒 term.

REEKS: 'n Reeks word gevorm wanneer die terme van 'n ry opgetel word. 2; 5; 8; 11; 14; Rekenkundige Ry 2 + 5 + 8 + 11 + 14 Rekenkundige Reeks Die Som van 'n ry word voorgestel as 𝑺𝒏 of die Griekse simbool ∑ . Dus word die som van die eerste 𝒏 terme van 'n rekenkundige ry gegee deur die formule: 𝒏 𝒏 𝑺𝒏 = 𝑺𝒏−𝟏 + 𝑻𝒏 𝑺𝒏 = [𝟐𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒅] or [𝒂 + 𝒍] ; waar 𝒍, die laaste term is. 𝟐 𝟐 Voorbeeld 6: U −3 Beskou die rekenkundige ry (−1) + ( 2 ) + (−2) + ⋯ + (−16). a) Bepaal die aantal terme in die ry. b) Bereken die som van die ry. Oplossing: Oplossing: 𝑛 𝑇𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑆𝑛 = [𝑎 + 𝑙] 1 2 𝑇𝑛 = −1 + (𝑛 − 1) (− 2) = −16 1 1 31 ∴ −1 − 2 𝑛 + 2 = −16 ∴ 𝑆31 = 2 [−1 + (−16)] 1 1 527 ∴ − 𝑛 = −16 + ∴ 𝑆31 = − 2 2 2 ∴ 𝑛 = 31 Voorbeeld 7: Voorbeeld 8: Beskou die rekenkundige ry −4 − 1 + 2 + ⋯ Die som van hoeveel terme in die ry 1 + 4 + 7 + ⋯ is gelyk aan 145. Bereken die kleinste waarde van 𝑛 waarvoor 𝑆𝑛 > 300 Oplossing: Oplossing: 𝑎 = 1; 𝑑 = 3; 𝑛 =? ; 𝑆𝑛 = 145 𝑎 = −4; 𝑑 = 3; 𝑛 =? ; laat 𝑆𝑛 = 300 𝑛 𝑛 𝑆𝑛 = 2 [2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑] 𝑆𝑛 = 2 [2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑] = 300 𝑛 [2(−4) + (𝑛 − 1)3] = 300 𝑛 2 145 = 2 [2(1) + (𝑛 − 1)3] ∴ 𝑛[3𝑛 − 11] = 600 290 = 𝑛(2 + 3𝑛 − 3) ∴ 3𝑛2 − 11𝑛 − 600 = 0 290 = 𝑛(3𝑛 − 1) 0 = 3𝑛2 − 𝑛 − 290 −(11)±√(−11)2 −4(3)(−600) 0 = (3𝑛 + 29)(𝑛 − 10) ∴ 𝑛= 2(3) 29 𝑛 = − 3 of 𝑛 = 10 ∴ 𝑛 = 16,09 of 𝑛 = −12,43 ∴ 𝑛 = 10 ; 𝑛 𝜖 𝑁 ∴ Die kleinste moontlike waarde van 𝑛 is 17.

SIGMA NOTASIE: Die Griekse letter ∑ 𝐒𝐢𝐠𝐦𝐚 beteken die som van. It word gebruik om die som van 'n stel opeenvolgende terme van 'n ry/reeks aan te dui. In hierdie notasie moet ons die posisie van die eerste en laaste term van die reeks aandui wat opgetel word. 𝒏 Dit word gelees as, "die sigma of som van 𝑇𝑘 , van 𝑘 = 1 tot 𝑘 = 𝑛. 𝑛 is die getal of posisie van ∑ 𝑻𝒌 = 𝑻𝟏 + 𝑻𝟐 + 𝑻𝟑 + ⋯ + 𝑻𝒏 = 𝑺𝒏 die laaste term van die 𝒌=𝟏 Dit beteken, neem die som van die terme van 'n ry/reeks waarvan die som rye/reeks vanaf die eerste term tot die 𝑛′𝑡ℎ term bepaal word. Kom ons verwys van die ry/reeks. daarna as laaste / boonste Of dit beteken, die som van die eerste 𝑛 terme waarde van die ry/reeks. 𝒏 Algemene term van die ry/reeks 𝑛, die aantal terme wat bygevoeg word: ∑ 𝑻𝒌 in terme van 𝑘 𝒏 = 𝒃𝒐𝒐𝒏𝒔𝒕𝒆 − 𝒐𝒏𝒅𝒆𝒓𝒔𝒕𝒆 𝒘𝒂𝒂𝒓𝒅𝒆 + 𝟏 𝒌=𝒎 𝑚 is die nommer van die posisie van die 𝒏 eerste term van die ry/reeks waarvan die 𝒏 𝑺𝒏 = [𝟐𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒅] = ∑[𝒂 + (𝒌 − 𝟏)𝒅] som bepaal word. Kom ons verwys daarna 𝟐 as eerste/onderste waarde 𝒌=𝟏 Voorbeeld 9: Bepaal die waarde van: Voorbeeld 10: Bepaal die waarde van: 𝟓 𝟕 ∑(𝟑𝒏 + 𝟐) ∑ 𝟐𝒌 𝒏=𝟏 𝒌=𝟒 Oplossing: Oplossing: Metode 1 Metode 1 𝟓 𝟕 𝑆𝑛 = ∑ (𝟑𝒏 + 𝟐) ∑ 𝟐𝒌 𝒏=𝟏 𝒌=𝟒 𝑺𝟓 = (3.1 + 2) + (3.2 + 2) + (3.3 + 2) + (3.4 + 2) + (3.5 + 2) 𝑺𝟒 = 2(4) + 2(5) + 2(6) + 2(7) = 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 8 + 10 + 12 + 14 𝑆5 = 55 𝑆4 = 44

Metode 2: Metode 2: 𝟓 𝟕 Vervang, 𝑛 met 1, 2 & 3 ∑(𝟑𝒏 + 𝟐) ∑ 𝟐𝒌 𝒏=𝟏 Dit is om die eerste drie 𝒌=𝟒 terme te bepaal. Vervang, 𝑛 met 1, 2 & 3 (3.1 + 2) + (3.2 + 2) + (3.3 + 2) + ⋯. 2(4) + 2(5) + 2(6) + ⋯ Dit is om die eerste drie = 5 + 8 + 11 + ⋯ … .. = 8 + 10 + 12 + ⋯ … .. terme te bepaal. 8 − 5 = 3 and 11 − 8 = 3 ∴ is dit 'n Rekenkundige reeks. 10 − 8 = 2 en 12 − 10 = 2 5 ∴ 𝑆5 = 2 [2𝑎 + 4𝑑] ∴ is dit 'n Rekenkundige 5 Aantal terme is 5 reeks. ∴ 𝑆5 = 2 [2(5) + 4(3)] Of 4 ∴ 𝑆4 = 2 [2𝑎 + 3𝑑] Aantal terme is: ∴ 𝑆5 = 55 n =Boonste– onderste + 1= Boonste– onderste +1 (5-1+1)=5 ∴ 𝑆4 = 2[2(8) + 3(2)] = (7 − 4 + 1) = 4 ∴ 𝑆4 = 44 Let op die twee metodes hierbo. As die som van 'n stel terme van 'n ry / reeks vir baie terme bepaal word, sê byvoorbeeld dit is vir 'n honderd terme, dan is dit meer sinvol om die tweede metode te gebruik. Jy sal dan die som van die honderd terme kan bepaal sonder om elk van die honderd terme te bereken en dan op te tel. Voorbeeld 11: Skryf die volgende reeks in sigma-notasie: 5 + 8 + 11 + 14 + 17 Oplossing: 1) Bereken eers die algemene term vir die reeks waar 𝒂 = 𝟓 𝐚𝐧𝐝 𝒅 = 𝟑 . Vandaar 𝑇𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑 … 𝑇𝑛 = 5 + (𝑛 − 1)3 𝑇𝑛 = 5 + 3𝑛 − 3 ∑ (𝟑𝒏 + 𝟐) 𝑇𝑛 = 3𝑛 + 2 𝒏=⋯ 2) Skryf die formule nou in sigma-notasie Onderste waarde is die eerste term wat gelyk is aan 5: boonstewaarde is die laaste term wat gelyk is aan 17: 3𝑛 + 2 = 𝟓 3𝑛 + 2 = 𝟏𝟕 3𝑛 = 3 3𝑛 = 15 𝑛=1 𝑛=5 𝟓 3) ∑(𝟑𝒏 + 𝟐) 𝒏=𝟏

Wes-Kaapse Regering es Kurrikulum: VOO ANALITIESE MEETKUNDE 'TOOLKIT' Beskou twee punte A(x,; y;) en B(x2; y2): AFSTAND AB? = (x2 — x1)? + (y2— y1)? ... Stelling van Pythagoras ys - AB = MIDDELPUNT mn va *Blexi v2) ; xa w(t 22, 2 ve) WAR) ~<O Xs x» * \ Die kodrdinate van die middelpunt, M, is die gemiddeldes van die kodrdinate van die eindpunte, A en B. GRADIENT = verandering iny _ y2— yy verandering inx x2 — x; ... die gradiént van die lyn leenoorstaande _ 2 — Yi aanliggende X2 _ waar @ die inklinasie- hoek van die Iyn is Die Gradiént van 'n lyn N=! Waardes “ Ewewydige lyne 5 Ewewydige lyne het a) c Loodlyne 2) As die gradiént van lyn @ z is, dan sal die gradiént van lyn € Letwel: mg x Mp = d.w.s. Die produk van die gradiénte van 1 lyne is -1 Kollineére punte c A 8 Drie punte A, B & C is kollineér as die gradiénte van AB & AC gelyk is. (Let wel: Punt A is gemeen.) (Ms = Mc A.B&C is kollineér) Die Inklinasie van 'n lyn Hoeke a en fi hieronder is inklinasiehoeke. Die inklinasie van 'n lyn is die hoek wat die lyn met die positiewe rigting van die x-as maak. a skerp B stomp \ gradiént van lyn gradiént van lyn is positief is negatief Gradiént, m = tan a of tan B waar a en B die inklinasie/® is. Grafieke in die algzemeen 3 Basiese feite As-afsnitte Elke punt op die y-as het x = 0. Elke punt op die x-as het y = 0. Die vergelyking Die vergelyking van 'n grafiek is waar vir alle punte op die grafiek. Die vergelyking van die y-as is x = 0; & die vergelyking van die x-as is y = 0. Tipes grafieke Verskillende tipes/patrone word deur verskillende vergelykings aangedui. by. y =mx-+ec dui 'n reguitlyn aan x? + y* =r? dui 'nsirkel aan

Wes-Kaapse Regering es Belangrike Feite FEIT Oo : Punte op Grafieke As 'n punt op ‘n grafiek Ié, is die vergelyking waar vir sy kodrdinate, d.w.s. die kodrdinate van die punt bevredig die vergelyking So, stel in! en, omgekeerd, As 'n punt (d.w.s. sy kodrdinate) die vergelyking van ‘n grafiek bevredig (d.w.s. ‘dit waar maak’), dan |é dit op die grafiek. FEIT ©: Snypunt(e) Die kodrdinate van die snypunt(e) van twee grafieke ‘voldoen aan die voorwaardes' van albei grafieke, d.w.s. hulle bevredig albei vergelykings gelyktydig. Hulle word verkry: gebraies' deur die 2 vergelykings op te los, of "= ‘grafies’ deur van die grafiek af te lees HIERDIE 2 FEITE IS DEURSLAGGEWEND! REGUITLYNGRAFIEKE & hul vergelykings Standaardvorme Standaardvorme van die vergelyking van 'n reguitlyn "y=mx+ec: waar m = die gradiént & ¢ = die y-afsnit Wanneerm=0: y= ce ... ‘nin || as Wanneerc =0: y= mx ... ' /yn deur die oorsprong Netso: x =k ... ‘n/yn || yas ae © y ys = mx = x4): r waar m = die gradiént & (x43 y1) is 'n vaste punt. Algemene vorm Die algemene vorm van die vergelyking van 'n reguitlyn is ax + by +e = 0, bv. 2x+3y+6=0 SIRKELS & hul vergelykings Sirkels met die corsprong as midpt. Waar van enige punt (x; y) y op 'n sirkel met middelpunt (0; 0) en radius ¢ is dat wy (x y) wey n Stelling van Pythag.! Sirkels met enige gegewe midpt. Waar van enige punt (x;y) | ¥ op 'n sirkel met middelpunt (a; b) en radius ¢ is dat (x - a)? + (y-b)? = 7 Afstandsformule! (Stelling van Pythag.) Herlei van die vergelyking van ‘n sirkel Algemene vorm: Ax? + Bx +Cy?+Dy+E =0 na Standaardvorm: (x-a)’ + (y—b)? = (deur voltooiing van vierkante) bv. x?-6x + y?+8y- 25 = 0 2 x? -6x + y+ By = 25 . x2-6x + 37 + y?+8y +4? = 2549416 . (e-3F + (y+4? = 50 Dit is die vergelyking van ‘n sirkel met: midpt. (3:—4) & radius, r = /50 (= 5/2) eenhede A Kurrikulum: VOO ‘n Raaklyn aan ''n sirkel... is loodreg op die radius van die sirkel by die raakpunt. Om die vergelyking van 'n raaklyn te bepaal, gebruik Pls; ys) *m en 1 punt’ in die reguitlynvergelyking: Y~¥s = m(x - x) Q ° x bv, mue = 2 mea = -2 (radius MP 1 raaklyn PQ) Snypunt(e) van ‘n Lyn en ‘n Sirkel %© © of © ‘raak (een keer!) [raaklyn] (1 punt in gemeen) ‘nLynen'nsirkel of @ ‘sry’ (twee keer!) [snylyn} (2 punte in gemeen) of C3} sny of raak glad nie (geen punte in gemeen nie) As ons y = mx +c indie vergelyking van die © instel, saldaar 6f: ©) 2 oplossings of © 1 oplossing of © geen oplossings vir x wees nie, wat een van die bostaande scenario’s tot gevolg sal hé. Ps LAASTE RAAD Gebruik jou gesonde verstand & MAAK ALTYD'N SKETS !!!

Wes-Kaapse Regering SAKREKENAARINSTRUKSIES Kurrikulum: VOO ANSWER "2 SERIES Your Key to Exam Success GEMIDDELDE & STANDAARDAFWYKING Daar is 3 fases vir elke sakrekenaarprosedure: STAP 1: hoe om daar te kom STAP 2: STAP 3: i hoe om die data in te tik hoe om die gemiddelde en die standaardafwyking te bepaal (en, in die laaste kolom, A, B en r). Ongegroepeerde Data Casio Jy sal sien: [MODE] [2 : STAT] [1 : 1 - VAR] al | eee * Tik elke waarde, gevolg deur [=] ; ce na die laaste waarde in: [=] [AC] <= * Vir die gemiddelde: [sHiFt] [STAT] [4 : vAR] [2 :X ][=] * Virdie S.A.: [SHIFT] [STAT] [4 : VAR] [3 : ox] [=] “=> Let wel vir Casio Dit is noodsaaklik om (AC) te druk wanneer al die data ingetik is. As dit nie gedoen word nie, sal die gemiddelde en standaardafwyking as inskrywings in die datatabel, bygetel word. (Dit moet dan weer uitgewis word.) Sharp Jy sal sien: @ {wove} [1 : Stat] - om in stats mode te kom . dan [0 : so] Tik elke waarde in, gevolg deur [M+] a * Vir die gemiddelde: [Rci][¥] «= Fi} * Vir die S.A.: [RCL] [ox] oe Gegroepeerde Data/Frekwensietabelle Casio Jy sal sien: © [ove] [2 : STAT] [1 = 1 - VAR] spn [stiFT] [setup] Gaan af (gebruik pyitjie) | [3 : STAT] [1 : ON] | Tik die middelpunt van elke interval in (of elke telling, indien verskaf) gevolg deur [=], dan . Na die laaste waarde: [=] - en nie [AC] nie- dan... Gebruik <*> om na die bokant van die regterkolom te gaan. © Tik die korrekte frekwensies in, elke keer gevolg deur [=]; na die laaste frekwensie: [=] [AC] <= * ® Vir die gemiddelde: [sHiFT] [STAT] [5 : vAR] [2 : ¥ ] [=] * Virdie SAL: [SHIFT] [STAT] [5 : VaR] [3 = xon] [=] @ [Move] [1 = STAT] - om in stats mode te kom ... dan [0 : so] | Tik die middelpunt van elke interval in (of elke telling, indien verskaf) gevolg deur [sto]. Tik dan die frekwensie in, gevoig deur [M+]. (Tik al die data op dié manier in.) * Vir die gemiddelde: [Rc\][T] * Vir die S.A.: [Rc [ox] <= REGRESSIE & KORRELASIE ‘Die Vergelyking van die Regressielyn | Casio STAP 1: Druk/Kies: MODE ; 2 (STAT); 2 (A+ Bx) STAP 2: Tik die x- en y-waardes in, elk gevolg deur =. Druk AC STAP 3: Druk sHiet | STAT (op '1'); 5 (Reg); dan: Vir A,druk 14) =| of Vir B,druk 2] =| Om B na A te bepaal, druk AC en doen dan die hele STAP 3. X J ( Die Korrelasiekoéffisiént Casio Net soos vir A en B in die regressiefunksie: STAP 1: Druk/Kies: MODE ; 2 (STAT); 2(A+ Bx) STAP 2: Tik die x- en y-waardes in, elk gevolg deur =. Druk AC STAP 3: Druk sHiFt | STAT (op '1'); 5 (Reg) ; maar nou: Vir r druk 3] =| As jy eers A en B bepaal het, druk AC voor jy na die begin van STAP 3 teruggaan. \ Om alles te verwyder: Druk sHiet| CLR (op'9'); 4] =] ac