Gr11 Wiskunde Studiegids LR

Via Afrika Graad 11 Onderwysersgids Wiskunde Jy kan dalk ’n toekomstige president van Suid-Afrika onderrig. Graad 11 Studiegids M. Pillay, L.J. Schalekamp, L.Bruce, G. du Toit, C.R. Smith, — Zuki Gangxa, Onderwyser L.M. Botsane, J. Bouman, A.D. Abbott Via Afrika verstaan en waardeer jou bydrae as onderwyser en wil jou graag ondersteun. Jy het die belangrikste taak in die Via Afrika Wiskunde onderwys, en ons besef dat jou verantwoordelikhede veel meer as bloot die onderrig van leerinhoude behels. Ons het ons bes gedoen om jou tyd te bespaar en jou lewe te vergemaklik. Ons is trots dat ons jou kan help om hierdie vak suksesvol aan te bied. Hier volg ’n paar kenmerke van hierdie nuwe reeks: 1. Die reeks is volgens die Nasionale Kurrikulum- en Assesseringsbeleidsverklaring (“CAPS”) geskryf. Kyk op bladsy 8 hoe ons aan die vereistes van CAPS voldoen. 2. ‘n Moontlike werkskedule is ingesluit. Kyk op bladsy 8 hoeveel tyd dit jou kan bespaar. 3. Elke hoofstuk begin met ‘n oorsig van wat onderrig word en die hulpbronne wat jy benodig. Kyk op bladsy 41 hoe dit jou met jou beplanning sal help. 4. Daar is advies oor die voorgestelde pas wat jou sal help om die hele jaar se werk betyds af te handel. Bladsy 126 wys jou hoe dit gedoen word. 5. Ons gee by elke onderwerp raad oor hoe om konsepte bekend te stel en hoe om leerders met steierwerk voor te berei en te ondersteun. Kyk op bladsy 238 vir ‘n voorbeeld. 6. Al die antwoorde word gegee; jy bespaar dus tyd omdat jy nie die oefeninge self hoef uit te werk nie. Kyk op bladsy 310 vir ‘n voorbeeld. 7. ‘n CD propvol hulpbronne is ook ingesluit om jou met onderrig en assessering te help. Sien die binnekant van die voorblad. 8. Addisionele formele assesseringstake en voorbeeld vraestelle wat jy kan kopieer, sal jou help om jou leerders effektief te assesseer. Sien bladsy 342. Die bypassende Leerderboek bevat die volledige inhoud wat jou leerders moet bemeester. Dit is in toeganklike taal geskryf wat dit vir leerders maklik maak om te leer. Die opwindende ontwerp en uitleg van die Leerderboek sal leerders se belangstelling aanwakker, hulle inspireer om te leer en die onderrigtaak vir jou aangenaam maak. Ons wil graag hoor hoe dit met jou onderrig gaan. Stuur jou terugvoer per epos aan ons by wiskunde@viaafrika.com of besoek ons onderwysersforum by www.viaafrika.com. Language: Afrikaans ISBN: 978-1-415-42337-0 9 78 1 4 1 5 423370 www.viaafrika.com

Via Afrika Wiskunde ISBN: 978-1-41546-345-1

Inhoud Inleiding .. Hoofstuk 1 Eksponente en WortelVOrms .........:cssscessesseessesssesseessesseseesscesseeseessensersseeeseees 02 OORSIG ve eesssesesesseseeeeseseseeeseee Eenheid 1 Rasionale eksponente Eerheid 2 WortelVOrms........cccsssessssssesessesesessssssesesesscsessssesesecscsssseessssesesessesesscsssesessesesessecseseeeeseses Ac |e S Se SSESSS SES SSSESOSSESSOSSOSSOSOOSSSSOSSOOSSOSOOSOSOSSOSSOSSOSSOSSOSSOSSOSSOSOOSSSOSSSOSOOSSS Hoofstuk 2 Vergelykings en ongelykhede ..........cessecsssecessesesscesseseseecesseessseseessesesseseeeees 10 OORSIG .....esssssesessesesessesesessseseeseseseescseseeseseesesssesnessesessssssesessssesssseseeassescssssesssesseessessceeseesseterseseees LO) Eenheid 1 Oplossing van kwadratiese vergelykings deur faktorisering Eenheid 2 Voltooiing van die vierkant... Eenheid 3 Die kwadratiese formule .. Eenheid 4 Kwadratiese ongelykhede........ssssesssecsesssersesssssesscsssssscssssssssssscssseessssscscsssesssssersseseeees 18 Eenheid 5 Gelyktydige vergelykings Eenheid 6 Woordprobleme Eenheid 7 Die aard van Wortels..........:ssccssssssceecescscnessceesseescesseseescssscscescsesscsceesecseessessesessnssseesses 23 VIAC..eescesseseeseessesseseesseseeceessensessesseaseseeseeaeeaeesessssesscsesssessessessessensesssecsseceessessessersssessensesesestessseses 2O Hoofstuk 3 Getalpatrone 0.0... cee cessecesseeessssseccsseessseecessessssescssseseeseseesessesessesesseecesaeee 31 OORSIG......sccsssesssesssessesssesssseesescessessscessesescessessesesssssesesessesesesssesesesssesesasesesesssesesesssesesenserseseeseneees Eenheid 1 Getalpatrone met ’n konstante tweede verskil Vrae, Hoofstuk 4 Analitiese meetkunde. OoRSIG .., Eenheid 1 Helling van 'n ly Eenheid 2 Die vergelyking van ’n reguit ly... cecsessessssseseseessessseesscssssecsesssssscesssssssessesssssseesssees 3 VAC. cessesscesecensceseesecesessccsesesscesesesssesesesssessessssssesssesasesssessscsseseaseessassessscassosssssosssessscssssesessees GO Hoofstuk 5 FUNKSICS..........ccccesecessecesseccsecsseeesseeceseesesssccsseesssssssseessecceseesessescessesenseeeeeees 42 OORSIG oo. ee eeeecesseeeeseeeseesssseeessseeesesseesesseesssssceseeseeseeseeseessssseesesssceesesesseesessseesssscescseeseessesseees GZ Eenheid 1 Ondersoek die uitwerking van die parameter p Eenheid 2 Gemiddelde gradiént tussen twee punte op ’n kromme Eenheid 3 Trigonometriese grafieke ..........:csscesscessssssescnessssceessssceseesscceseesccessesceesenseesessnaseseeeens VAC. eeeeceeeeseeeeeseeessseeeesesesseeeesseeeessseeeseaseesessessaeeseesseeceseessesseesesseecseeseeseeesesseesessasesssseesessessseeeses 52 Hoofstuk 6 DrichoekSmeting ..........ceecccceeesseeeceesssseesseeeeeeeeseeeeseseeaaeeeeseaeeceeeeeaaeeseseeeaeees OORSIG ooo .eeeecesssescscsessseseesssesesesesssesesssssesesessessnssssssssssessssesssssesesesssssssesseecesesscssesenecsseserscseessesess Eenheid 1 Trigonometriese identiteite ......... cee eeeeeseeeeeeee Eenheid 2 Die toepassing van die trigonometriese identiteite. Eenheid 3 Reduksieformules..........sccsccssccssccessesscnecsssceseesseceseessscesesssccesssscesesssseesessnseesessensesesaeesaes Eenheid 4 Negatiewe hoeke.........sceseseseereee Eenheid 5 Los trigonometriese vergelykings op . VIAC. eescesseseereeseeseeseeseeseeeeessensensessensenseneenees © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11

Hoofstuk 7 Meting ....... cc eeecceseesseecesecssecesseesssecesseesessesessescsscssecessseceseesessecesseessseaseesens 77 OORSIG .... se cssscessessesscsssssessessssssceesessesssessesssssessssssssseseessssessssssseessessssessessssesssssesessssesessnsnsensessasees Eenheid 1 Saamgestelde voorwerp Vrae, Hoofstuk 8 Euklidiese Meetkunde..........ccccsccessssseesseessescsseeseeeseesseesseesecsseessesesseseseseeeees 81 OoRSIG Eenheid 1 Sirkels. Eenheid 2 Koordevierhoeke ........cssssccssesccsssseessessssesceessscesceessaeeccesessseseescseseseessssssscessssssseeetessseses OF Eenheid 3 Raaklyne aan ’n sirkel Vrae, Hoofstuk 9 Trigonometrie (oppervlakte-, sinus-en KOSINUSTeIS) ..... ee eeeeeeeseeeneeeseeneneees 94 OORSIG vo eceesessesseeenteneeneenes Eenheid 1 Die oppervlaktere: Eenheid 2 Die sinusreél........ Eenheid 3 Die KOSINUSTEEL....... eeceescescceseescecsescceeesssceseesseceesesscessesscseeeessesseseseceeesenseeeeneeenaeesaee Eenheid 4 Die oplossing van probleme in twee dimensies VIAC. eescesseseeseesseseeeeenseseecssessessessesseseeseessesseseeseaseseensenee Hoofstuk 10 Finansies, groei en Verval.........scsesesccsseccssecessessecessecessecceseessescesseseseeseaeees 108 OorsIG 108 Eenheid 1 Saamgestelde groei oo... seeceseeesecessececnesssscesesssscesesssscessecsscesssscseesssssesesesssesessssseesseees 109 Eemheid 2 Vervall .......ssscssssesessssesessescsnscsesesscssecscsesscsesscscsesescsesecsesessssssessssesscssesessssscssssssssessssssesas 112 VAC. eeeeeceeseeessseeeseseeeseesessceeesseeeessecesesaceseesessseeeseseeseeseesseseescessasssseseeseessessessssssseesssesesseessseeees 115 Hoofstuk 11 Waarskynlikheid........ eee eesecesecesseceeessecessesessescessessssesessessescessessseesseaaees OORSIG.....seesessecseeesseseeseeneesnesseseess Eenheid 1 Kombinasies van gebeure. Eenheid 2 Afhanklike en onafhanklike gebeurtenisse . Eenheid 3 Boomdiagramme ..........scssecsseccsecssesesceescsccesssesscseesssscsssessccesssseseesessessesssssssesssssesssessssee 122 VAC. ee eeceeeeseeeeesseeesssseeesesesseeeesseeeesseeeseseesessessseeeeesseeceseesssseesssssecsseseesesesesssesesssseesssssesessesssseeses 24 Hoofstuk 12 Statistiek..........cscsesesssesseeseesesscessesssesscessesseescessersesssesscsssessenssesseessensseaes OORSIG .... se cssscessessesscsssssessessssssceesessesssessesssssessssssssseseessssessssssseessessssessessssesssssesessssesessnsnsensessasees Eenheid 1 Histogramme............. Eenheid 2 Frekwensieveelhoeke Eenheid 3 OgieWe.........sssccecsssssceecesssscsecesceseescesesseescesssseesceessssacecessesaeseesceneesessceasseeseeaessesaeensenenss Eenheid 4 Variansie en standaardafwyking van ongegroepeerde data Eenheid 5 Simmetriese en skewe data.. Eenheid 6 Die identifisering van uitskieters VIC. eesseseseeseseseeseseseesescsesssesessssesesesecsssesecsessscsesseasseseesessseesesssassessseseesesesessssesesasseerenssesanesesseeases EKSAMENVRAESTELLE,,.......ssssssessssssceecssssscsssessssssvsceessssesseesssssssssesssseessssssenessesesenessssssssenscessessasenssesees ANTWOORDE OP VRAE ANTWOORDE OP EKSAMENVRAESTELLE .,.....s.ssssssesssseessssssscscesssssssssessssssssssssssssssesssssssessesesssssessessessessesesss 221 WOORDELYS,,......cssesceseeseeseeseeseesssessessessessessessessenscssssscssescenseaseesessessessenseasescseessesseseessessensessensereesss 227 © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11

Inleiding tot Via Afrika Wiskunde Graad 11 Studiegids Woohoo! Jy het dit gehaal! As jy lees wat hier staan, beteken dit dat jy Graad 10 deurgekom het, en nou in Graad 11 is. Maar hoekom vir jou iets vertel wat jy reeds weet ... Dit beteken ook dat jou onderwyser briljant genoeg was om die Via Afika Wiskunde Graad 11 Leerderboek te kies. Hierdie studiegids bevat opsommings van elke hoofstuk, en moet saam met die Leerderboek gebruik word. Dit bevat ook baie ekstra vrae om jou te help om die leermateriaal te bemeester. Wiskunde - nie vir toeskouers nie Jy sal niks leer as jy nie aktief betrokke raak by die leermateriaal nie. Doen die wiskunde, voel die wiskunde, en verstaan en gebruik dan die wiskunde. Verstaan die beginsels ¢ Luister in klastyd Hierdie studiegids is uitstekend, maar dit is nie genoeg nie. Luister na jou onderwyser in die klas omdat jy 'n unieke of maklike manier om iets te doen, kan leer. e Bestudeer die notasie, grondig. Vir die verkeerde gebruik van notasie sal in toetse en eksamens punte afgetrek word. Gee aandag aan notasie in ons uitgewerkte voorbeelde. ¢ Oefen, Oefen, Oefen, en Oefen nog eens. Jy moet soveel moontlik oefen. Hoe meer jy oefen, hoe beter voorbereid en meer selfversekerd sal jy vir die eksamens voel. Hierdie gids bevat baie ekstra oefengeleenthede. ¢ Volhard. Ons kan nie almal Einsteins wees nie, en selfs oom Albert het gesukkel om sommige van die uiters gevorderde wiskunde te leer wat hy nodig gehad het om sy teorieé te formuleer. As jy dit nie dadelik verstaan nie, werk daaraan en oefen met soveel probleme in hierdie studiegids moontlik. Jy sal vind dat onderwerpe wat jou aanvanklik dronkgeslaan het, skielik vir jou verstaanbaar word. ¢ Toon die regte ingesteldheid. Jy kan dit doen! Die VMI van Wiskunde VERMOéE behels wat jy in staat is om te doen. MOTIVERING bepaal wat jy doen. INGESTELDHEID bepaal hoe goed jy dit doen. “Gee my 'n staanplek, en ek sal die aarde verskuif!” Archimedes © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 1

Hoofstukfe Eksponente en Wortelvorms Oorsig Eenheid 1 Bladsy 3 e Eksponente en wortelvorms e Eksponensiéle vergelykings Hoofstuk 1 Bladsy 2 Le Eenheid 2 Bladsy 5 Eksponente en ¢ Soorte wortelvorms wortelvorms e Vermenigvuldig en deel wortelvorms e Vergelykings met wortelvorms In hierdie hoofstuk hersien ons die eksponentwette en eksponensiéle vergelykings. Nadat ons dit gedek het, sal ons rasionale eksponente en wortelvorms behandel. Jy sal ook leer hoe om eksponensiéle vergelykings op te los, wortelvorms te vereenvoudig en om vergelykings wat wortelvorms bevat, op te los. © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 2

Eenheid Fa | Rasionale eksponente 1.1 Eksponente en wortelvorms ¢ Die eksponent van 'n getal sé vir jou hoeveel keer die getal met homself vermenigvuldig word. an ¢ ‘'n Wortelvorm is 'n getal wat nie verder vereenvoudig kan a mi word om die wortel te verwyder nie. Dit is irrassionale getalle. ¢ Ons neem altyd aan dat 'n wortel sonder 'n getal daarvoor 'n vierkantswortel is. ¢ Die vierkantswortel van 'n getal@ kan as ¥@ geskryf word, of in eksponensiéle eksponent basis vormasa ‘4, © Die derdemagswortel van 'n getal kan as ¥5 geskryf word, of in eksponensiéle vorm ash #, ¢ Die nde wortel van 'n getalc kan as ¥¢ geskryf word, of in eksponensiéle vorm as othe, ¢ Indie uitdrukking ¥64 is die 3 volgorde van die radikaal en 64 is die radikand. Ons lees V64 as die derdemagswortel van 64. Volgorde e Indie eksponensiéle vorm is die basis van die van die . an . dikaal ~~ uitdrukking die radikand. ral ml, 8 a radikand * Onthou, as ons die vergelyking ¥@ =a*/:het en ons verhef albei kante tot die mag & , het ons (¥@)* = (ath) , wat tot 'Ya° =a"te vereenvoudig kan word Voorbeeld 1 Vereenvoudig die volgende vergelykings sonder om 'n sakrekenaar te gebruik: 1 27/3 = (33)1/3 =3 20 BY*W= Qs =" =19°7r" 3 3 (4a*b16c8)1/2 = (22a*b16c8)1/2 = 2a*b®c* © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 3

1.2 Eksponensiéle vergelykings ¢ Sommige eksponensiéle vergelykings het net een oplossing, terwyl ander meer het. ¢ Onthou, dit kan veralgemeen word as: Asx f&=c , waar c 'n konstante is, dan © asa@ oneweis, is daar net een oplossing. © asa@ eweis, is daar twee oplossings. Een sal positief wees, en een sal negatief wees. Voorbeeld 2 Vereenvoudig die volgende vergelykings sonder om 'n sakrekenaar te gebruik: 1 x2 = 3 [xt = 32 ox =3 2 x?2/S = 4 [x2/5]8/2 =+ [4]5/2 x= + (22)9/2 ox = +32 © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 4

Eenheid | 2 | Wortelvorms Soorte wortelvorms ‘n Wortelvorm is 'n irassionale getal en dit bevat 'n wortelvorm. Ons kan die volgende wette gebruik om ons te help om uitdrukkings te vereenvoudig: © Produkreél:"Va Vb ="Va.5 © Kwosiéntreél: "Va /"V5 = "[2 Let op dat hierdie wette net op vermenigvuldiging en deling van toepassing is, en a>Oenb>0. Wanneer ons wortelvorms vereenvoudig, skryf ons die getalle as die produk van volkome vierkante en ander getalle, bv. g. ¥8 = 22) = 2V2 Voorbeeld 3 Vereenvoudig die volgende sonder om 'n sakrekenaar te gebruik: 1 2V3 + 9V3 — 16V3 + 6V3 = V3 2V3 + 9V2 — 16V3 + 6V2 = 15V2 — 14V3 V75 — V18 = V25.3-V9.2 =V25v3 — Vov2 =5v3 — 3v2 (V48 + ¥27)/V75 = (V16.3 + V9.3)/V25.3 = (V16V3 + V9V3)/V25v3 = (4V3 + 3V3)/5Vv3 = 7V3/5v3 7 5 © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 5

  . Vereenvoudig die volgende sonder om ‘n sakrekenaar te gebruik: – – – –   

– or – Opsomming van die eksponentwette Eksponentwette Vermenigvuldig magte – voeg eksponente by Deel magte – trek eksponente af Verhef mag tot 'n mag – vermenigvuldig eksponente Negatiewe eksponente kan geskryf word as die omgekeerde van die mag met 'n positiewe eksponent Om die de wortel te vind, verdeel die eksponent deur Enigiets tot die mag nul is 1 (behalwe 0)

Vrae Vraag 1 Vereenvoudig die volgende sonder om ‘n sakrekenaar te gebruik: 1134/3 12 V3 13 (373/2)2/8 1.4 43/2 — 362 + 21613 1.5 (0,0625)-3/*.(0,125)-4/3 1.6 <[(4n2)2 1.7. (49m7n?)6/4 1.8 (81x3y7)-2/3, 3(x-ty73)-2/3 19 [Y169x3y4/(7x-3)-4] 1.10 (420+3)1/7, (72"-3) 1/7 74220-3107, (52m+3)1/7 Vraag 2 Vereenvoudig die volgende sonder om ‘n sakrekenaar te gebruik: 21 y= 9 22 kVS = 3 2.3 m“*/3 = 0,0625 24 234+ 2% =9 25 7-77? = 48 2.6 2x/2 42%/241 — 24 27 (7x + 14)(2x - 0,0875) = 0 2.8 32%— 2.3% = 3 29 16% + 8.4% = 48 2.10 77X43 4 -724X — 392 Vraag 3

Vereenvoudig die volgende sonder om ‘n sakrekenaar te gebruik: 31 V5 + 9V5 -— 4V5 3.2 12V9 — 3V45 + 6V72 3.3 (V50 — V72)/V98 34 Vat + Vvats — Vat 3.5 vV18- V80 + V98 3.6 ver — V48/V50 Vereenvoudig die volgende sonder om ‘n sakrekenaar te gebruik: 4a 3V5 x 2V2 4.2 —4v3 x (-5v2) 4.3 4V5 (—2v2 + 3) 4.4 2V2 (10V3 — 8V2) 4s [48x4/y4 4.6 Y125x12/y6 47 3/243 48 Sifk =1+43 © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 9

Hoofstuk | 2 | Vergelykings en ongelykhede Oorsig Eenheid 1 Bladsy 11 © Definisies © Oplossing van kwadratiese vergelykings e Kwadratiese vergelykings wat breuke behels e Kwadratiese vergelykings wat vierkantswortels behels ¢ Kwadratiese vergelykings wat vierkante behels © Oplossing van kwadratiese vergelykings deur vervanging Eenheid 2 Bladsy 16 Hoofstuk 2 Bladsy 10 e Los vir x op deur die vierkant te Vergelykings en ongelykhede Eenheid 3 Bladsy 17 voltooi e Los vir x op deur die kwadratiese formule te gebruik Eenheid 4 Bladsy 18 e Faktoriseringongelykhede Eenheid 5 Bladsy 19 e Los vir xen y op deur die vergelykings gelyktydig op te los Eenheid 6 Bladsy 21 e Oplossing van woordprobleme Eenheid 7 Bladsy 23 e Die wortels van 'n vergelyking e Kwadratiese teorie © Die aard van wortels In hierdie hoofstuk gaan ons leer van faktorisering, en hoe om volkome vierkante te voltooi. Ons gaan ook kyk na die kwadratiese formule, en hoe jy kwadratiese ongelykhede kan oplos. Dit lei ook tot die oplossing van gelyktydige vergelykings en die aard van wortels. Die beste tyd om te begin is nou! © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 10

Eenheid Fa | Oplossing van kwadratiese vergelykings deur faktorisering 1.1 Definisies ¢ 'n Kwadratiese, of tweedegraadse, vergelyking het die standaardvorm van ax? + bx + c,waara,b enc konstantesisena = 0. ¢ Die oplossings daarvan word wortels genoem, en om die wortels te vind, gebruik ons die nulprodrukbeginsel: Asa x b= o,dana = 0 of = 0, ofaen®d isalbei9 .. 1.2 Oplossing van kwadratiese vergelykings ¢ Die oplossing van kwadratiese vergelykings behels die volgende stappe: 1 Vereenvoudig die vergelyking. 2. Skryf die vergelyking in standaardvorm. 3. Faktoriseer die vergelyking. 4 Pas die nulprodukreél toe. Voorbeeld 1 Los vir x op: 1 —x? +x = 5 — 2x — 3x? « 2x2 + 3x-5=0 « (2x + 5)(« - 1) = 0 - 2x +5 = 0ofx—-1=0 5 Wk ED ofx = 1 2 (8x + 2) -— 5) =0 - 3x +2 = 00fx-5=0 3x = -2 ofx 5 © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 coy

– of –    . Los vir op – – – – – – – – – – – – – – – – –

« x?-2x-3 =0 ~(@-3@+1=0 [Faktoriseer] -x-3=0o0f x+1=0 [Nulprodukbeginsel] ox = 3 of x = —1,maarx # —1 [Toets vir beperkings] 1.4 Kwadratiese vergelykings wat vierkantswortels behels ¢ Ons verwyder die vierkantswortel deur albei kante van die vergelyking te kwadreer. Voorbeeld 3 Los vir ¥ op: 1 vx -1-1=-x aovx—-1T=-x+1 [Isoleer die wortel] » (vx — 1)? = (-x + 1)? [Kwadreer albei kante] ox—-1=x?- 2x41 [Vermenigvuldig hakies uit] ax—-1-x%+4+2x-1=0 [Neem alles na die linkerkant] . —x? +3x-2=0 [Vereenvoudig tot standaardvorm] «x? — 3x+2=0 [Vermenigvuldig met 'n negatief] «(x — 1)(« - 2) = 0 [Faktoriseer} “x-1=0 or x-2=0 [Nulprodukbeginsel] ox = or x=2 1.5 Kwadratiese vergelykings wat vierkante behels e¢ Wanneer vierkante by kwadratiese vergelykings ingesluit is, kry ons die vierkantswortel van albei kante om die probleem op te los. ¢ Onthou om seker te maak dat die uitdrukking wat die veranderlike bevat, aan die een kant van die vergelyking is. Voorbeeld 4 © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 13

Los vir x op; 1 (x - 2)? = 4 a (= 2? =4V4 ox -— 2 ox =242 0 a xX = 1.6 Oplossing van kwadratiese vergelykings deur vervanging e¢ Wanneer 'n vergelyking te ingewikkeld voorkom om mee te werk, soek 'n gemeenskaplke faktor in sommige van die uitdrukkings en vervang dit deur iets eenvoudigs, soos die veranderlike k. e Vereenvoudig nou die vergelyking. e Vervang dan die gemeenskaplike faktor terug in die plek van k, en los die vergelyking op. ¢ Die vervangingsmetode maak 'n ingewikkelde vergelyking makliker om mee te werk. Voorbeeld 5 1 2(x - 6)? - 5(x- 6)- 12 = 0 Laat (x - 6) =m [Onthou, jy kan enige veranderlike hier gebruik, solank dit nie reeds in die probleem voorkom nie.] Nou het ons 2m? - 5m- 12 = 0 “(2m + 3)(m- 4) = 0 . 2m+3=0 of m-4=0 am = 5 of m= 4,butm = x-6 a x-6=5 of x-6=4 ax =34+6 of x= 446 15 ry id 2 of x = 10 © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 14

Eenheid [EW Voltooiing van die vierkant 2.1 Los vir x op deur die vierkant te voltooi 'n Volkome vierkant is 'n rasionale getal (of 'n uitdrukking) wat gelyk is aan die vierkant van 'n ander rasionale getal (of uitdrukking). 16 is 'n volkome vierkant: 4x 4= 47 = 16 . (¢ + 5)? js 'n volkome vierkant: (x + 5) x (x +5)=G@+5)? =x7+10x+25. As 'n uitdrukking nie 'n volkome vierkant is nie, kan ons dit 'n volkome vierkant maak deur dieselfde term aan albei kante by te voeg. Voorbeeld 6 Los die volgende vergelykings op deur die vierkant te voltooi. 2 x?- 8x-6=0 x? - 8x = 6 b b x? - Bx + GY” =6+ GY « x?2- 8x +16 = 6+ 16 = 22 « (x- 4)? = 22 I- 4)? = +V22 a x- 4 = +V22 ox = 4422 ox = -0,6904 or x = 86904 2x2 + 8x-6=0 x?+ 4x —-3=0 x24 4x = 3 b b. o x? + 4x + (5) = 3 + (5)? «x? 4+4x+4=7 a (+2)? =7 « (@ + 2% = 4v7 a x+2=4v7 « x=+V7-2 «= x = —4,6458 of x = 0,6458 © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 15

Eenheid | 3 | Die kwadratiese formule 3.1 Los vir x op deur die kwadratiese formule te gebruik e Die kwadratiese formule is 'n algemene formule wat ons kan aflei. Dit gee vir ons die wortels van enige kwadratiese vergelyking. Ons lei dit af deur die vierkant te voltooi: -b + V(b? - 4ac) x= 2a Voorbeeld 7 Los vir x op deur die kwadratiese formule te gebruik: 1 2x? + 9x-6=0 a=2; b=9; c=6 _ —b + vb2-4ac ~ 2a —9+ |81- 4(2)(6) 2(2) -9 + V33 4 x X= “x = —7,3723 of x = —1,6277 2 x24 7x =5 o x? + 7x-5=0 a=1; b=7; c=-5 —b + vb?-4ac x = — 2a _-7+ /49-4C5) ~~ 20) x = ve ox = —7,6533 of x = 0,6533 © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 16

    . Los vir x op – – – – – | ● | | | | | | | | | | | ● | – | | O | | | | | | | | O | | | Die oplossing is

Eenheidfiely Gelyktydige vergelykings 5.1 Los vir x en y op deur die vergelykings gelyktydig op te los e Wanneer jy twee vergelykings met twee veranderlikes sien, kan jy vir albei veranderlikes oplos deur die vergelykings gelyktydig op te los. ¢ Wanneer hierdie vergelykings op 'n assestel geteken word, sal die snypunt(e) van die grafieke vir jou die waarde(s) van die veranderlikes gee. ¢ Wanneer jy 'n parabool ('n kwadratiese vergelyking) en 'n reguit lyn op dieselfde assestelsel teken, kan jy of geen snypunte hé nie, of een snypunt of twee snypunte. Dit beteken dat die veranderlikes en y sal geen, een of twee oplossings hé. ¢ Ons los gelyktydige vergelykings algebraies soos volg op: 1 Skryf albei vergelykings neer en nommer hulle: (1) vir die reguit lyn en (2) vir die parabool. 2 Maaky die onderwerp van die reguitlynvergelyking, nommer dit (3), en vervang (3) in (2). 3 Gebruik die waarde vir x wat hierbo bereken is, (onthou, jy kan geen, een of twee waardes vind) en vervang dit in (1) om vir y op te los Voorbeeld 9 Los virx eny in elke geval op: 1 3x-y=-9 (a) x?4+2x-y=3 (2) Uit (@): y=3x+9 (3) Vervang (3) in (2): x? + 2x — (3x +9) =3 x? +2x—-3x-9-3=0 x?-x-12=0 (x + 3)(x-4) =0 x=-3 of x=4 Vervang die x -waardes in (3): © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 18

Eenheid Ls | Vir x =—-3 Vir x =4 y=3(-3) +9 y=3(4)+9 y=0 y=21 Vir x =—-3, y=0 Vir x =4, y=21 (-3; 0) (4; 21) 2 y—6x=12 (4) x? +4x—-9=5y (2) Uit (1): y = 6x + 12 (G3) Vervang (3) in (2): x? +4x—9 = 5(6x + 12) x?+4x—9 = 30x + 60 x? +4x-—9-30x-60=0 x? —26x-69=0 x? +26x+69=0 _ab + vVb2-4ac ~ 2a x = 26 + [676 — 4(1)(69)/2 = (—26 + V400)/2 x=-23 or x=-3 Vervang die x -waardes in (3): Vir x =—23 Vir y = 6(—23) +12 y =-126 Vir x = —23; y = -126 (—23; -126) © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 x=-3 y =6(-3) +12 y=-6 Vir x=—-3;y=—-6 (-3; —6) 19

Eenheid | 6 | Woordprobleme 6.1 Oplossing van woordprobleme e¢ Wanneer lewensegte probleme wat wiskundig opgelos moet word, in woorde gestel word, word die probleme woordprobleme genoem. ¢ Die vier stappe om woordprobleme op te los: 1 2 3 4 Verstaan die probleem. Maak 'n plan (skryf die probleem in wiskundige terme neer). Voer jou plan uit (los die probleem op). Assesseer jou antwoord vir die probleem (toets die geldigheid van jou antwoord). Voorbeeld 10 Nomsa besit 'n spazawinkel in Pretoria. Sy koop pakkies grondboontiies vir R1 500. Sy gee 20 van die pakkies weg aan lojale klante, en sy verkoop die res van die pakkies teen R4 meer (elk) as wat sy daarvoor betaal het. Sy maak 'n wins van R1 860 op die pakkies grondboontiies. Stel vas hoeveel pakkies sy gekoop het, die kosprys van die pakkies en haar verkoopprys. Stap 1: Stap 2: Koop pakkies grondboontiies --: gee 20 weg -~ verkoop die res Verkoopprys = R4 meer as kosprys Wins = R1 860 Laat x die aantal pakkies wees. Dan: Kosprys = 1500/x Pakkies verkoop = ¥ — 20 Totale bedrag geld gemaak = 81500 + R1 860 = R3 360 Verkoopprys R3 360/(x-20) Verkoopprys kosprys + R4 kosprys = R4 © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 20

3360 1500 Stap 3: +4 x—-20 \ x 3 360x = 1500(x— 20) + 4x(x — 20) 3360x = 1500x— 30000 + 4x7 — 80x 4x7 — 1940x-—30000=0 x? — 485x-—7500=0 a=1; b= —485; c=—7500 485 + {(—485)? - 4(1)(-7 500) 2(1) z= 485 + 515 x=—> x=—-15 of x=500 Stap 4: Omdat Nomsa nie 'n negatiewe aantal pakkies kan koop nie, is—15 ongeldig. Dus het sy500 pakkies grondboontjies gekoop. Kos p= 1500 _ pg Pus= "S00 — Verkoopprys= R3 + R4 = R7 sos © Via Aftika » Wiskunde Grand 1 soutien

 Die wortels van 'n vergelyking is die waardes van die veranderlikes wat daardie vergelyking bevredig, byvoorbeeld is die wortels van die vergelyking     o o o o o  .

Eenheidfiegl 7.3 Die aard van wortels © Deur die formule vir soos hierbo beskryf, te gebruik, kan ons die wortels van enige kwadratiese vergelyking kry. ¢ Deur die waarde van A te bereken, kan ons die waarde van 'n onbekende veranderlike in 'n vergelyking bereken as die aard van die wortels aangegee word, bv. kx? —6x+4=0 , waark die onbekende veranderlike is. e A bied ons ook die vermoé om te bewys dat die aard van die wortels van 'n kwadratiese vergelyking van 'n sekere soort is.. Voorbeeld 11 1 As x =3 een van die wortels van ** + 3x +k=0 is, bepaal die waarde vank en die ander wortel. Vervang x = 3 in die vergelyking om & te kry: 37+3(3)+k=0 =94+94k=0 sk=—18 Vervang nou k = —18 in die vergelyking en faktoriseer om die ander wortel te kry. x?+3x—-18=0 (x-3)(x+6)=0 *X¥=3 of x=-6 * Die ander wortel is—6 . 2 Kry die aard van die wortels van 21 x?+6x-9=0 A = b? — 4ac = 36 — 4(1)(-9) = 36 + 36 =72 ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni 5 ; snninn

. – Bewys dat die wortels van reëel is vir alle reële waardes van en .

Eenheidfiegl = (a + b)? -4(-2)(4) = (a+b)? +32 Nou moet ons bewys dat groter is as0 . Bewys: Enige getal wat gekwadreer word, is positief of 9 . As ons 'n positiewe getal by 'n postiewe getal tel, moet die antwoord altyd positief wees. (a+ bY? =0 32>0 «(a + b)?+32>0 - A>0; :. die wortels is reéel, Vrae Los die volgende kwadratiese vergelykings op: 11 (x -2)(x+7) =0 12 (2y-3)Q7+5)=0 13 x7+21x+10=0 1.4 3k(k+4)=0 15 9x? -5x=0 1.6 3k1—k)+5(kK+1) =0 17. (3p—2)(pt+1)+2=0 18 b(b+5)=6 1.9 (x —2)(x+2) = 6(3x +5) aio 4(x-1)(@@+1) =3@2-x)+5 Vraag 2 Los vir ¥ op: 21 S/(x-1) =x/(x +1) 22 3/(2x- 6) + x/(x- 3) =0 23 («+2)/(x-3) =7+2/(x-3) 24 (x -1D/@? -9) = 2/4 +3))-A-x)/e +) 2.5 1/(x? 42x43) +3/(x? +x 42) = 2/(x? + 2x + 3) — 2/(2 — x?) 2.6 +(x +3)/(2x +3) = (4x +3)/(x+ 5) © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 25

7 m © 3 > 2, a Vraag 3 Los vir ¥ op: 31 Vex+5=x 3.2 Vvx-5=x-2 3.3 v2x—3-x=0 34 Vx—-6 +x4+4=0 3.5 2=Vvx?—27 3.6 Vx—1=V4x—2 Los vir ¥ op: 4a x? =81 42 x? =27 43 x?-16=0 4.4 —x?+49=0 45 (x + 4? =48 4.6 5(x +5)? =125 4.7 3(¢ + 4?-12=0 4.8 x? = (2x — 3)? 49 3(x- 2)?-16=2 4ao —x= Gx + 2)°-6 Vraag5 Los vir ¥ op: 5.1 (x? — 3x)? — 2(x? — 3x) -5 =0 5.2 (x? -x)? =14(x?-x) +15 53 Vx—-2+4=5/VvVx—-2 5.4 + x)? +5-x=19 5.5 5(2x? +x —1) = 20(2x7 +x-1) +8 5.6 2x + 3)2-3(x+3)-4=2 5.7 24/(3(@— 2) =7/9@ + 6))—3 Vraag 6 6.1 Los vir p op: p?-p-12=0 6.2. Los vir op: (x? + 3x)? — (x? +3x)-12 =0 © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 26

7 Vraag7 m © 3 > 2, a Gegee (a + 3)(b + 4) = 0, los virb op asa = —7, Vraag 8 As (y — 2)(x? + 25x — 6) = 0, bepaaly as: 81 x=-7 8.2 x=12 Vraag9 Los vir x op deur die vierkant te voltooi: g1 x? +2x+4=0 9.2 x*-5x+15=0 9.3 x*?-x+20=0 9.4 x7 +6x=-5 9.5 13x =10+x? 9.6 x*?-6x =3 Vraag 10 Los vir ¥ op: 10.1 3y(Q7—-3)-3=0 10.2 8y?-2y+5=0 10.3 —y?-3y=-2 10.4 6 = 3y(y + 4) 10.5 79° —2y+5=0 10.6 (y+ 4)? + (y— 4)(y + 3) = 2 10.7 (¥—3)(4y + 2)-9=0 10.8 yy + 15) + 3y = 3y(y — 9) + 0,3 10.9 5(y + 3) = 3y?-5 10.10 2/(y(y + 2)) = 3/(y + 2) —y/(y + 1) Vraag 11 Los vir ¥ op: wa x*7+7x-14>0 41.2 2x*-9x-17<0 11.3 x? >3x-7 11.4 —5x >—-3x?+8 11.5 x? <6x- 9 1.6 3x+2< 5x — 6x? © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 27

Eenheidfiegl Vraag 12 Los vir elk van die veranderlikes in die volgende vergelykings op: 121 9x ~y=12 13y? + 4xy-x =0 12.2 y+t6-—13x=0 xy = —-13 123 ytx-5=0 x?-4=y-6x 1224 x+ty=5 3x? 4+5x-19=0 125 3a+5b=17a- 6 (2a — 4b)(a + b) =0 1226 nt+m=-—13 n = 3m? +4m-—6 Vraag 13 13.1 Die som van twee getalle is 15, terwyl die produk van dieselfde getalle 36 is. Bepaal die twee getalle. 13.2. Twee vrugteplukkers pluk vrugte. Vrugteplukker A pluk 750 vrugte in 4 uur, terwyl vrugteplukker B 750 vrugte in 3 uur pluk. Hoe lank sal dit hulle neem om 750 vrugte te pluk as hulle saamwerk? 13.3. Twee treine reis 1600 km van Kaapstad na Pretoria. Trein A is 15 km per uur vinniger as trein B, en kom 2 uur voor trein B in Pretoria-stasie aan. Bepaal die spoed van trein B. 13.4 Nomsa en Emily besit 'n skoonmaakonderneming. Nomsa neem 2,5 uur langer as Emily om 'n huis skoon te maak. As hulle saamwerk, neem hulle 6 uur om 'n huis skoon te maak. Hoe lank sal dit elkeen van hulle neem om 'n huis op haar eie skoon te maak? Vraag 14 14.1 Gegee dat—6 een van die wortels van die vergelyking ** +mx — 30=0 js: 14.1.1 Bepaal die waarde vanm . 14.1.2 Bepaal nou die ander wortel van die vergelyking. © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 28

Eenheidfiegl 14.2 As z een van die wortels van ¥* + kx —7 = 0 is, bepaal die waarde vank en die ander wortel. 14.3 Bepaal die waarde van p wat van die volgende uitdrukking 'n volkome vierkant sal maak: x?-10x+p 14.4 Bepaal die waarde vann wat van hierdie vergelyking 'n volkome vierkant sal maak: 3x7 -3x4n Vraag 15 Bepaal die waarde van die diskriminant en beskryf die aard van die wortels sonder om die wortels op te los. 15.1 3x2 -6x+4=0 15.2 x? + 64=12x 15.3 3x =5x?-6 15.4 X—-3=-12x? Vraag 16 Vir watter waardes vank sal3x*-—3x+ gelyke wortels hé? Vraag 17 Bepaal die waardes vanr waarvoor X* — 3rx +r=0 reéle wortels het. Vraag 18 Bewys dat ** + (&—1)x+k=0 yasionale wortels vir alle rasionale waardes van het. Vraag 19 Toon dat die wortels van ** +m = @m+2)x reéel sal wees vir alle reéle en ongelyke waardes vanm . © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 29

Hoofstuk | 3 | Getalpatrone Oorsig Eenheid1 Page 32 Hoofstuk 3 Bladsy 31 ¢ Bepaal die konstante tweede Getalpatrone verskil Tot dusver in jou wiskundeloopbaan het jy van lineére getalpatrone geleer. Dit beteken dat daar 'n konstante verskil tussen opeenvolgende terme in die ry is. In hierdie hoofstuk leer ons van getalpatrone met 'n konstante tweede verskil. Dit beteken dat daar 'n konstante verskil tussen die eerste verskilwaardes in 'n ry van getalle is. Onthou, ons gebruik 7 om 'n algemene term in 'n ry voor te stel, waar me N .

   1 Bepaal die algemene term vir die ry Die eerste verskille is Die tweede verskille is Die vorm van die algemene term sal wees Kom ons begin deur die vervanging van en . (1) (2) Dan (1) (2) gee (3) Deur vervanging van kry ons (4) Dan (4) (2) gee (5) en (5) (3) gee en Deur vervanging van en in (1) kry ons

2 Bepaal die algemene term vir die ry Die eerste verskille is Die tweede verskille is Die vorm van die algemene term sal wees Vervang en . (1) (2) (1) (2) gee (3) Deur vervanging van kry ons (4) (4) (2) gee (5) en (5) (3) gee en Deur vervanging van en in (1) kry ons

Vir elke ry: i Bepaal die tweede verskille tussen die terme. ii Skryf die volgende vyf terme van elke ry neer. iii | Bepaal die algemene term van die ry. iv Bepaal die waarde van Tiz en Tso. Die algemene term vir 'n ry met 'n kwadratiese patroon word aangegee deur T, =1; T, = x?-x+1forn=1 2.1 Skryf die eerste sewe terme van die ry neer. 2.2 Druk die algemene term uit in die vormT,, = an? + bn +c. 2.3. Watter term in die ry is 133 ? Water term is 1407 ? ses 6 Via Akika»s Wiskuna Giada ssn >

Hoofstuk Analitiese meetkunde Oorsig CR CUR atm e Bepaal die gradiént en helling van ‘n reguit lyn Eenheid 2 Bladsy 38 e Die gradiént en die y-afsnit © Die gradiént en een punt op die Hoofstuk 4 Bladsy 35 lyn e Vergelyking van 'n lyn wat deur twee punte gaan e Vergelyking van 'n lyn deur een Analitiese meetkunde punt en ewewydig aan of loodreg op 'n gegewe lyn Nuttige inligting Bladsy 39 Analitiese meetkunde staan ook bekend as Koérdinaatmeetkunde en kombineer Meetkunde en Algebra. In hierdie hoofstuk sal jy leer hoe om die helling van 'n lyn te bereken, hoe om die vergelyking van 'n reguitlyngrafiek te bepaal as sekere koérdinate en ander inligting gegee word, en hoe om probleme wat driehoeke behels, op te los. ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni 5 a snninn

Eenheid Fa | Die helling van 'n lyn 1.1 Bepaal die gradiént en helling van 'n reguit lyn ¢ Die gradiént van 'n lyn is die skuinste of steilheid daarvan. ¢ Die volgende formules is nuttig om verskillende waardes te bereken: © Die afstand tussen punte A en B: AB = f@3-— “+0; —-"* © Die gradiént van 'n lyn: ¥2z—Va mn =—— X2—%4 © Die middelpunt tussen twee punte: Xy + + Middelpunt = (@ z *2), Gs z 2) ¢ Die helling van 'n lyn AB is die hoek & wat tussen die lyn en die positiewe x-as gevorm word. © Virskerphoeke(0 < 6 = 90°) is die gradiént positief en is tan positief. ¢ Vir stomphoeke (0 < 6 = 180°) is die gradiént negatief en istan@ negatief. ¢ Die helling van AB= @ waar tan@= gradiént van AB (ons dui dit aan as ap). ¢ Twee ewewydige lyne met hellings @ en@ , het ™s =™ zen tané = tane . © Twee loodregte lyne met hellingsen@ het™s *™z—=—1 en tand xtane=—1. Voorbeeld 1 1 Bepaal die helling van die lyn met gradiént —2. tan@ =m * tan@ = —2 - 0 = —63,43° 2 Bepaal die helling van lyn KY as K(—12; 9) en Y(6; 3). tan@ =mxky = 02 —V1)/ 2 — %1) = (8-9 /(-12- 6) =a553 - 8 = 18,43° 3 Bereken die gradiént van die lyn met helling van 52,6°. m=tan@ “ m = tan 52,6° = 1,31

Kyk goed na die tekening hieronder en bereken die groottes van en

Eenheidfeay Die vergelyking van 'n reguit lyn 2.1 Die gradiént en die y-afsnit e¢ Wanneer die gradiént en die y -afsnit van 'n reguit lyn vir ons gegee word, gebruik ons die vergelyking y = mx + ¢ om die vergelyking met die gegewe inligting te bepaal. Onthou datm die gradiéntisenc die y -afsnit is. 2.2 Die gradiént en een punt op die lyn e Wanneer die gradiént en een punt op die reguit lyn vir ons gegee word, gebruik ons die vergelyking y —3, = mx —x,) om die vergelyking van die reguit lyn met die gegewe inligting te bepaal. 2.3 Vergelyking van 'n lyn wat deur twee punte gaan ¢ Wanneer daar vir ons twee punte op 'n lyn gegee word, moet ons eers die gradiént m. bereken en dan dieselfde vergelyking as in 2.2 gebruik. 2.4 Vergelyking van 'n lyn deur een punt en ewewydig aan of loodreg op 'n gegewe lyn ¢ Om die vergelyking van 'n lyn soos die een wat hierbo beskryf word, te bepaal, moet ons die volgende eenvoudige stappe volg: 1 Skryf die vergelyking van die gegewe lyn in standaardvorm om ™ enc te bepaal. 2 Bereken die gradiént van die lyn met die onbekende vergelyking deur die reéls oor ewewydige en loodregte lyne, soos in Hoofstuk 4, Eenheid 2 hierbo bespreek, te gebruik. 3 Vervangm en die kodrdinate van die gegewe punt in die standaardvergelyking vir 'n reguit lyn om die vergelyking te bepaal. Voorbeeld 2 1 Bepaal die vergelyking van die lyn met gradiént —2 en y -afsnit 17. y=mx+c,dusy = —2x +17, so } Via Afi _ » Wicka - Gran dn soni 3 ; snninn

Eenheid [2 | 2 Bepaal die vergelyking van die lyn met gradiént en wat? deur punt (—2,7) gaan YM = Me - xX) “y-7=7(x+2) “6 y=7x+144+7 “y=7x+21 3 Bepaal die vergelyking van die lyn wat deur die punte K(3; —2) en L(—4; —3) gaan. Eerstens bepaal ons die gradiént: Met = V2 — V1)/ 2 — %1) = (-3 — (-2))/(-4- 3) =-1/-7 Tweedens kies ons enigeen van die twee punte. Kom ons gebruik L(—4; —3). Y —V1 = MO — x1) 1 2 y—(-3) =20e-(-4)) 1 4 sy=rxt 3 Nuttige inligting Die swaartelyn van 'n driehoek ¢ Die swaartelyn van 'n driehoek halveer sowel die teenoorstaande sy as die oppervlakte van 'n driehoek. e As KUL die swaartelyn van 'n driehoek is, kan ons die kodrdinate van L met behulp van die middelpuntformule bereken. ¢ Ons kan punte K en L gebruik om die vergelyking van die swaartelyn te bepaal- Die hoogtelyn van 'n driehoek ¢ Die hoogtelyn van 'n driehoek is loodreg op die teenoorstaande sy. so } Via Aftika, » Wicka na Gran dn soni 5 3 snninn

e As ons die hoogtelyn PQ wil bepaal, moet ons die gradiént van lyn ST wat loodreg daarop is, bepaal. Ons weet ™st * ™pg = —1 , dus kan ons pq bepaal. Dan kan ons ™ Pq en die koGrdinate van punt P gebruik om die vergelyking van hoogtelyn PQ te bepaal- Middelloodlyne © Twee lyne is middelloodlyne as hulle mekaar teen 'n hoek van 90° (loodreg) sny en mekaar presies in die helfte verdeel (halveer). ¢ Om die vergelykings van twee middelloodlyne te bereken: 1 Bepaal die koGrdinate van die punt by die snypunt met behulp van die middelpuntformule. 2 Bereken die gradiént van een van die lyne (kom ons noem dit lyn 1). 3 Gebruik dan die™: x™3z =—1 -eienskap om ™z te bereken. 4 Gebruik die koérdinate van die snypunt en” om die vergelyking van lyn 2 te bepaal. Vrae Bepaal die helling van die lyne as of die gradiént of twee punte gegee word 1410015 1.2 12/2 13. Y% 14-3 1.5 0,125 1.6 Q(-4; -7) en R(-6; 2) 1.7 Q(8; -3) en R(G/7; 13) 1.8 Q(-3; -1) en RG; -4) 1.9 Q(-2;-4) en R(-6; -1) 1.10 Q(5; -1) en R(-12; 7) Bereken die gradiént van die lyn met helling: 2.1 72° 2.2 250° 2.3. 13° 2.4 126° 2.5 -50,8° 2.6 185,15° a } Vi ~ Aika» Wick - Giada soni oO soni

Bepaal in elke geval of AB ewewydig aan CD is, of loodreg op CD is, of nie een van die twee is nie. 3.1 A(-1; 5), B(7; 8), C(5; -2), D(16; 3) 3.2 A(-5;-5), B(7; 2), C5; -1), D(7; 6) 3.3 A(-9; 6), B(-5; -7), C(9; -3), D(4; 7) 3-4 A(2; 5), BG; 2), C-9; 3), DGs 3) 3-5 A(9; 1), B(8; 4), C45 3), D(; 5) Bepaal die vergelyking van die lyn: 4.1 met gradiént = 5, y-afsnit = -17 4.2. met gradiént = —2/s, y- afsnit = 9 4.3 met gradiént m = 7/3, wat deur punt (—13; 5) gaan 4.4 met gradiént m =-5, wat deur punt (-2; -1) gaan 4.5 wat deur punte (—4; 5) en (-1; -1) gaan 4.6 wat deur punte (13; -12) en (-5; 9) gaan 4.7. BCas BC ewewydig aan 5y = x - 15 is en deur die punt (-1; 4) gaan 4.8 KT as KT loodreg op lyn BS is, wat vergelyking 2y = 6x — 7 het en deur punt (4/3; 0,5) gaan © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 40

Hoofstuk rs | Funksies Oorsig Eenheid 1 Bladsy 43 e Punt-vir-punt-stipping ¢ Teken sketsgrafieke ¢ Bepaal die vergelykings van grafieke ¢ Vertolk grafieke Eenheid 2 Bladsy 46 © Gemiddelde gradiént ee Funksies Eenheid 3 Page 47 ¢ Hersiening van die basiese grafieke © Ondersoek die uitwerking van die parameter p op die grafiek van y = sin(x+ p) e Sketsgrafieke van trigonometriese funksies wat minstens twee van die parameters a, pen qbevat ¢ Vertolk grafieke Funksies is oral om ons, en kan gebruik word om die verhouding tussen dinge wiskundig te beskryf. In hierdie hoofstuk sal jy sleutelbegrippe uit Graad 10 hersien. Jy sal ook die uitwerking van verskillende parameters op sekere funksies ondersoek en hoe om die gemiddelde gradiént tussen twee punte te bereken. Jy sal werk met trigonometriese grafieke, en leer hoe verskillende parameters die vorm en posisie daarvan beinvloed. ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni y . snninn

Eenheid fa | Ondersoek die uitwerking van die parameter p ... 1.1 Punt-vir-punt-stipping ¢ Wanneer ons funksies wil stip, is dit maklik om te onthou wat gebeur met die vorm en posisie van die grafieke wanneer veranderlikes bygevoeg word. ¢ Kom ons kykna'n parabool y = ax?.Asx deur x +p vervang word, sal die waarde van p die volgende invloed op die posisie van die grafiek hé: © Asp > 0 ,saldiegrafiekp eenhede na links skuif. © Asp < 0,saldiegrafiekp eenhede na regs skuif. Die vorm verander nie, wat beteken dat die grafieke kongruent is. a e¢ Kom ons kyk nou na die hiperbool ¥ = x+p: © Asp > 0, skuif die grafiekp eenhede na links (onthou, die asimptoot skuif ook p eenhede na links). ° Asp < 0, skuif die grafiekp eenhede na regs (onthou, die asimptoot skuif ook p eenhede na regs). Die vorm verander nie, wat beteken dat die grafieke kongruent is. ¢ Laastens moet ons kyk na die eksponensiéle funksiey = bx +p+q : ° Asp > 0, skuif die grafiekp eenhede na links (die asimptoot bly dieselfde). ° Asp < 0, skuif die grafiekp eenhede na regs (die asimptoot bly dieselfde). Die vorm verander nie, wat beteken dat die grafieke kongruent is. 1.2 Teken sketsgrafieke ¢ Onthou dat, tensy anders aangedui, x eny albei elemente van die stel reéle getalle ( R )is en die omvang bepaal word deur die y -waarde van die draaipunt. e¢ Asx eny elemente van die stel heelgetalle (Z ) is, dan stip ons individuele punte omdat die data diskreet is. © Om die grafiek van die parabool (vy = a +p)" + q) te teken, het ons inligting nodig oor: © die vorm = Asa > 0, is die grafiek konkaaf (bene boontoe). =" Asa < 0, is die grafiek konveks (bene ondertoe). die simmetrie-as @ +p =0 = x=—p) die draaipunt the y-afsnit the x-afsnitte (s) q veroorsaak vertikale skuiwe: = Asq > 0, skuif die grafiek qg eenhede boontoe. =" Asq =< 0, skuif die grafiekq eenhede ondertoe. o 000 0 ses } Via Aftika, » Wicka - Gran dn soni y ; snninn

Eenheid a ¢ Ons kan elke vergelyking van die vorm y= a+ p)* +q to y= ax? + bx +c vereenvoudig. b 4ac- bt Die kodrdinate van die draaipunt sal| ——-; ———— | wees. 2a 4a ¢ Om die grafiek van die hiperbool (y = ~ +pt a)te teken, het ons nodig: © die horisontale asimptoot: y = ¢ © die vertikale asimptoot:¥+p=0 = x=—p © diey— afsnit: laatx = 0 © diex -afsnit: laaty = 0. ¢ Omdat niks oor die gebied van die grafiek aangedui word nie, is dit altydx eR . Eweneens y € 8 , en jy moet die beperkings noem. Die gebied en omvang word deur die asimptote beheer, en hierdie waardes moet van hulle uitgesluit word. ¢ Om die grafiek van die eksponensiéle funksie QY=a.bx+pt+q, b=+1, b > 0) te teken, het ons nodig: die vorm: 5 > 1 of O< b<1 die horisontale asimptoot: y = g die y -afsnit: laatx = 0 die x -afsnit (net na 'n vertikale skuif en soos gevra word): laat y = 0 die omvang word bepaal deur die vergelyking van die horisontale asimptoot. o 000 0 1.3 Bepaal die vergelykings van grafieke ¢ Wanneer jy gevra word om die vergelyking van 'n gegewe grafiek te bepaal, sal sekere inligting vir jou gegee word wat jou in staat sal stel om maklik by die vergelyking uit te kom. ¢ Om die vergelyking van 'n parabool te bepaal, is daar twee scenario’s wat jy in aanmerking moet neem: © omdat die draaipunt en een ander punt gegee word, gebruik jy die vorm f(x)= ak +p) +q © omdat die x -afsnitte en een ander punt gegee word, gebruik jy die vorm y=a{x-x,)@-x,) ¢ Onthou, omdat die grafiek deur die oorsprong gaan, 1é (0; 0) op die grafiek! ¢ Om die vergelyking van 'n hiperbool te bepaal, het jy net die horisontale en vertikale asimptote en een punt op die grafiek nodig. ¢ p eng kan onmiddellik vervang word omdat hulle met die vergelykings van die asimptote verband hou. ¢ Om die vergelyking van die eksponensiéle funksie te bepaal, sal jy die vergelyking van die horisontale asimptoot en een punt op die grafiek nodig hé, en dit sal gegee ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni y 3 snninn

Eenheid a word. ¢ p eng kan onmiddellik vervang word omdat hulle met die vergelykings van die asimptote verband hou. 1.4 Vertolk grafieke ¢ Daar is baie inligting wat van 'n grafiek wat geteken is, afgelees kan word. ¢ Onthou, 'n geordende getallepaar dui die posisie van 'n punt op die Cartesiese vlak aan, asook die afstand van die punt vanaf die asse. B(-3; 5) is 3 eenhede van die x -as en 5 eenhede van die y -as. Afstand is nooit negatief nie! ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni y A snninn

Eenheid | 2 | Gemiddelde gradiént tussen twee punte op 'n kromme 2.1 Gemiddelde gradiént ¢ Die gemiddelde gradiént van 'n kromme tussen enige twee punte is gelyk aan die gradiént van die reguit lyn wat die twee punte verbind. “hh ¢ Ons gebruik die formule m = 2% X27 Xy punte op 'n kromme verbind, te bereken. om die gradiént van die reguit lyn wat twee

Eenheid a Trigonometriese grafieke 3.1 Hersiening van die basiese grafieke Die uitwerking van @ en@ op die grafiek y= @sinx + q for x [—360°; 360°] Y (90°; 4) 4 4 ‘ (90 ; 3,5) 3 y=sinx+3 3 y= 3,5sinx 2 2 (90; 2) . (270° ; 2) y = 2sinx 1 (90°; 1) 1 (90; 1) ol y=sinx o nan ~ y=sinx 0° 90° 1808 270° o* 0° 90° 7 (270°; -1) 7 os 2 (90°; -2) - 3 y=sinx-3 -3 “ (270°;~4) “4 Manipuleer die singrafiek, a> o gq > 0 : die grafiek skuif boontoe. gq < 0 : die grafiek skuif ondertoe. Die vorm verander nie. a > 0 : vermenigvuldiging met@ veroorsaak 'n vertikale strek van die basiese grafiek. Die vorm van die basiese grafiek verander. Gebied: Gebied: x €[-360°; 360°] x €[+360°; 360°] Omvang: Omvang: y=snxt+3:; 2=y=4 [24] y=35sinx: 35 = y = 35; ye[-35; 35] y=sinx: -ley<1; -41 y=2sinx: -—2S y=2; yel-—2;2] y=sinx—3: -4 <= y = —2; [-4; -2] y=sinz: -l<y<1; yelt1 Amplitude: Amplitude: ((hoogste y— waarde) — (laagste y -waarde))/2 Die amplitude wissel vir die drie grafieke, Vir al drie grafieke is dit gelyk aan 1. bv.vity = 3.5sinz: 3,5- 8) -35 Periode: 360° vir al drie grafieke Periode: 360° vir al drie grafieke

y=asinx a@=-1 a=-4 y. : 4 (270°; 4) (270° ; -1) -3 “ (90°; -4) Manipuleer die singrafiek, a < o a < 0 :vermenigvuldiging met negatiewe@ veroorsaak 'n refleksie van y=asinx indiex— as Gebied: x € [—360*; 360°] Omvang: y=Csinx: -1 y =C4)sinx: -4< Amplitude: =14; yel-4; 1) ¥ y=4% yel-+4 Die amplitude wissel vir die drie grafieke, by. viry = (—4) sine: a4) =4 Periode: 360° vir al drie grafieke Die uitwerking vana enq op die grafieky = acosx+q vir x €[—360°; 360°] 5 yacosxes oy 5 y= Scos x “ 4 3 (180° ; 3) 3 y=2,5cos x 2 2 1 cosy y=cosx a 2 x ol x 0° 3 180° 0° 360" jo® 3 180° 0° 360" -1 4 aa ye cosx-2_p, 2 3 -4 3 os (a0; “5 © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 ~~ ~ -

Manipuleer die cosgrafiek, a > 0 gq > 0 : die grafiek skuif boontoe. g < 0 : die grafiek skuif ondertoe. Die vorm verander nie. a > O : vermenigvuldiging met@ veroorsaak 'n vertikale strek van die basiese grafiek. Gebied: Gebied: x € [—360*; 360°] x € [—360°; 360°] Omvang: Omvang: y = cosx+4: 3<y=5; [3;5] y=S5eosx: -5* ys; Sye([—5; 5] y =cosx: -l<y=1; [121] y=2cosx:—2,5 = y = 2,5; ye [—2,5; 2,5] y =cosx—2: —3< y=-1; [-3;-1]) |y=cosx: -1lsy<£1; ye[4;1] Amplitude: Amplitude: ((hoogste y— waarde) — (laagste y -waarde)/2 Die amplitude wissel vir die drie grafieke, Vir al drie grafieke is dit gelyk aan 1. by. vity = Sensz: 5- cS) =s5 Periode: 360° vir al drie grafieke Periode: 360° vir al drie grafieke. (180°; 5) Manipuleer die cosgrafiek, a < o y= -5cos x y=acosx indie x -as. a < 0 :vermenigvuldiging met negatiewe@ veroorsaak 'n refleksie van Gebied: x € [-360°; 360°] Omvang: y=CS)cosx: S=sy=5; ye[-5;5] y=—cosx: -l<=y=1; ye[1;1] Amplitude: Die amplitude wissel vir die drie grafieke, bv. viry = (—5) cosx: 5-5) =) =5 Periode: 360° vir al drie grafieke. ~ © Via Afrika » Wiskunde Graad 11

Die uitwerking vane eng op die grafieky = atan6+q for x = [—360°; 360°] Let op: Die horisontale as is nie meer die x — as nie, maar is nou die # — as! J Hl 1 3 y=2tdn0 | | | | | 2 :3/| 1 | | ae |Jatont | (5°51) | 0 | | ° a6 spe | | Manipuleer die tangrafiek Gebied: Gebied: x € [—360*; 360°] x €[—90°; 90°) Omvang: Omvang: Ongedefinieerd Undefined Periode: Periode: 180° 180° Amplitude: Amplitude: Undefined Undefined Asimptote: Asimptote: -270°, -90°, 90° and 270° -90° and 90° y ' ' 4 : : 3 y=-7 tano ' y=2tano ' 24 (45°32) 4 ' 1 ' ' 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° -1 : ' -2 ' ' -3 ' ' © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 ~~ ~ io

Eenheid a 3.2 Ondersoek die uitwerking van die parameter p op die Manipuleer die tangrafiek y =tané Gebied: x €[—90°; 270°] Omvang: Ongedefinieerd Periode: 180° Amplitude: Ongedefinieerd Asimptote: -90°, 90° and 270° grafiek van y= sin(x + p) ¢ Die parameterp veroorsaak 'n horisontale skuif van die singrafiek: © Asp > O° , skuifdie grafiekp grade na links. © Asp < 0° , skuif die grafiekp grade na regs. © Die periode, amplitude en vorm bly dieselfde. ¢ Die parameterp veroorsaak 'n horisontale skuif van die cosgrafiek: © Asp > O° , skuif die grafiekp grade na links. © Asp < O° , skuif die grafiekp grade na regs. © Die periode, amplitude en vorm bly dieselfde. e Die parameterp veroorsaak 'n horisontale skuif van die tangrafiek: Asp > 0° , skuif die grafiekp grade na links. Asp < 0° , skuif die grafiekp grade na regs. fe) fe) fe) fe) 3.3 Sketsgrafieke van trigonometriese funksies wat hoogstens twee van die parameters a, pen q bevat Die asimptote skuif na links of regs met p” . Die periode bly dieselfde, en die amplitude is ongedefinieerd. ¢ Noudat ons weet wat die parameters beteken en watter invloed dit op die trigonometriese grafieke het, is dit maklik om die grafieke van hierdie funksies te teken. so } Vi > Afikas > Wickunde Gran dn nnn

¢ Onthou om die basiese funksie van die grafiek wat jy probeer teken, liggies met potlood te teken om vir jou te help ¢ Die basiese grafieke wat ons tot dusver bestudeer het, is: Basiese trigonometriese grafieke Basiese funksies y=sinx y=cosx y=tanx g_veroorsaak 'n vertikale . skuif y=sinx+q yrcosx+gq y=tans+q @_veroorsaak 'n vertikale kuit y=asinx y=acosx y=atanx SKU! & beinvloed die periode y=sinkx y=coskx y=tankx p veroorsaak 'n horisontale skuif van p® na links y=sin(x+p) y=cos(x+p) y=tan(x+p) ( > 0) of naregs ( < 0) e¢ Wanneer jy gevra word om 'n grafiek te teken wat deur meer as een parameter beinvloed word, moet jou nie bekommer nie. Doen dit stapsgewys: © Begin aan die linkerkant — is daar 'n waarde vir @ ? Wat beteken dit? © Gaan voort — is daar 'n waarde vir p ? Wat beteken dit? © Gaan voort — is daar 'n waarde vir g ? Wat beteken dit? Sodra jy antwoorde op al hierdie vrae het, sal jy die grafiek kan teken. 3.4 Vertolk grafieke ¢ Onthou: Elke geordende getallepaar op die grafiek van 'n trigonometriese funksie dui die grootte van die hoek en die waarde van die trigonometriese verhouding vir daardie spesifieke hoek aan. e Elke y -waarde dui die afstand van daardie punt na die x — as aan. Afstand is nooit negatief nie! Vrae 1.1 Teken sketsgrafieke van die groep funksies hieronder gegee op dieselfde assestel: fa)= x a(x) = -(x- 3)" h(x) = (x + 2,5)? (x) = (x- 4)? 1.2 Skryf die vergelyking van die simmetrie-as van elke grafiek neer. so 6 Via Akika»s Wiskuna Giada ssn a es

1.3. Hoe korrespondeer die vergelykings van die simmetrie-asse met die waardes van p in die vergelykings van die funksies g(x), h(x) en 1)? Teken sketsgrafieke van die volgende funksies. Dui vir elke grafiek duidelik die simmetrie-as, die kodrdinate van die afsnitte met die asse asook dié van die draaipunte aan. 21 y=jxt-9 2.2 y=Z-3) 2.3 y=ze +7¥ 2.4 g(x) = —12x74+30 25 flx)=-12@—-7* 2.6 h(x) =—12@ + 1? 27 plx)=7@4+ 37-2 2.8 k(x)=7@ — 3)? +2 29060 g(x) = SQ — 4)? -3 210 g(x)=—5@+3)7 +6 Gegee h(x) =x7-5. 3.1 Bereken: 3.4.1 (3) 3.4.2 aAG@-3) 3.1.3 A(x)-3 3.1.4 h(x—3)4+7 3.2 Verduideliki die verskil tussen die grafieke van A(x), —3) andh(x)—3. 2 3.3. Bepaal 'n uitdrukking vir a(2) +h(x+2)-5. © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 52

Vraag 4 m © 3 > 2, a Skakel die vergelykings van die vorm y = ax* + bx +c hieronder egee, om tot vergelykings van die vorm y= at&+p)? +q. Teken sketsgrafieke van elke funksie en dui duidelik die kodrdinate van die afsnitte met die asse aan, asook die draaipunt van elke grafiek. Skryf die gebied en omvang van elke funksie neer. 41 y=xt+10x+2 4.2 y=x?+15x+56 4.3 F(x) =2x7+7x-9 44 ple) =—4x7 4+ 15x43 Vraag5 Teken sketsgrafieke van elk van die volgende funksies. Dui die kodrdinate van die afsnitte met die asse aan, asook die draaipunte. Skryf die gebied en omvang van elke funksie neer.. 1 1 1 —_ 42 _ a yt ye 5.1 F(x) 3* +3x-8 5.2 g(x) z* Ze 28 5.3 y=x?+9x-7 5.4 yv=x?-3x-14 Vraag 6 Gegee die funksie f(x) = x? — 7 , bepaal die vergelyking van f_ na elk van die volgende skuiwe. Los jou antwoorde in die vormy = -- Die grafiek van word geskuif: 6.1 3 eenhede boontoe 6.2. 9 eenhede ondertoe 6.3 4 eenhede na links 6.4 7 eenhede na regs 6.5 1/3 van 'n eenheid boontoe, en 3/4 van 'n eenheid na links 6.6 5 eenhede ondertoe, en 3,5 eenhede na regs © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 53

Teken sketsgrafieke van die gegewe funksies. Dui op elke grafiek die kodrdinate van die afsnitte met die asse aan, asook die vergelykings van die asimptote. = 47 = 43 7a Y= 3-3 72 ¥= x+2 3 73 y=-y73°3 74 y=—5@4+7)4*4+125 . . 5 5 Restudeet die grafieke van f(x) = yuE g(x) = watz an A(x) = = 3. Pas die grafieke wat a), b) en c) genommer is by enigeen van die funksies f. g of h . | y * / aa © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 54

Teken sketsgrafieke van elke groep funksies op dieselfde assestelsel. Dui die koGrdinate van afsnitte met die asse aan, asook die vergelykings van die horisontale asimptote. Beskryf die translasies wat die basiese grafiek ondergaan het na elke verandering aan die vergelyking. 91 y= y=- +4 y=-F7+4 y=-F7+4 es 1 att 17-2 92 y=) y=G) -3 y=) -3 y=G) -3 9.3 fix)=3* g(x) =3"4+5 A(x) =3 EYP 45 k(x) =3 "VY 45 Die grafiek van die funksie f(x) = @ +p)? +q is hieronder geteken. 3 K-33 0) is 'n x -afsnit. Bepaal die vergelyking van die parabool. ay K(3; 0) © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 55

a Grafieke van die vorm A(x) = x+p +4 is hieronder geteken. Die grafieke gaan deur die punte P soos aangedui. Bepaal die vergelykings van die grafieke. a y ~ (0; 15) vu P(-6; 8) v P(-4; 0) v a } Vi ~ Aika» Wick - Giada soni - 6 soni

Vraag 12 Grafieke van die vorm f(x) =b*, g(x)=a@.5~ en A(x)=-—a*+q is hieronder geteken. Bepaal die vergelyking van elke grafiek. y fx) [| nO) FATT\T | x x y 800) Vraag 13 Gegewe die grafieke van f(x) = 5 +3 en p(x)= 6) . 13.1 13.2 13.3 13.4 1 y y \ | P(x) re 2) x | | | |-——————__—— | x Bepaal die lengte van KL. Bepaal die lengte van KB, waar B die y -afsnit of p is. Vir watter waardes van ,x > 0 , is f(x) = p(x)? Vir watter waardes van® ,x > 0 , isp(x) > Ff)? © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 57

Bereken die gemiddelde gradiént tussen M en N op die grafieke van die funksies wat hieronder geteken is: 14.1 f(x)=5x74+3 14.2. g(x) =— 14.3 A(x) = (3) +2 S ‘n Skool moet sy saal oorverf, en die Graad 11-klas het aangebied om daarmee te help. Die tabel hieronder dui die aantal ure aan wat verskillende getalle leerders nodig het om die yn saal te verf: Getal leerders (x ) 1 3 5 10 15 Ure nodig (y ) 15 5 3 4,5 1 15.1 Die vergelyking van die funksie wat hierdie verwantskap voorstel, is van die vorm a yrs: Bepaal die waarde vane . © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 58

15.2. Teken 'n grafiek van die funksie. 15.3 Hoe sal die grafiek beinvloed word as die skoolhoof vir 15 ekstra ure voorsiening maak? 15.4 Die gebied van die funksie is beperk. Skryf die beperking neer, en gee 'n rede vir die beperking. Teken netjiese sketsgrafieke van die groepe funksies hieronder gegee op dieselfde assestelsel vir die gegewe gebied.Dui die kodrdinate van die draaipunte (waar toepaslik) aan, asook die afsnitte met die asse. Onthou om die asimptote aan te dui, waar toepaslik. 16.1 f(@)=3siné; g(x)=—3siné; a(x)=—3sind-3,; 0° = @ <= 360° 16.2 f(x)=Scosx; g(x)=—Scosx; aA(x)=—Ssinx+2,; -180° = 6 = 180° 16.3 f(x) =tanx; g(x)=tanx—3; h(x)=tanx+5, O° = 6 = 360° Kopieer en voltooi die tabel. Die gebied vir al die grafieke is 0° = 6 = 360°. Hoogste | Laagste | Amplitude Omvang | Period | Geordende y-waarde | y-waarde e getallepaar by 45° y=3sinx+5 y=cosx—5 y =—tanx -—3 y=—4cosx+7 yotanx+5 y=—Ssinx+2 ses } Vi ~ Aika» Wiskund Giada nnn

Vraag 18 Teken die grafieke van die gegewe funksies vir die aangeduide gebiede: 18.1 y=3sinx, x €[—180*; 180°] 18.2 y=—3cosx+4, xe (0°; 180°] 18.3 y=3tanx—-2, x € [—360*; 360°] Vraag 19 Teken die grafieke van die funksies hieronder gegee, vir die gegewe gebied, op afsonderlike asse. Dui duidelik die kodrdinate van die afsnitte met die asse aan, asook dié van die draaipunte. Skryf die periode, amplitude en omvang van elke grafiek neer. 19.1 g(x) = sin(5)x ; x €[—360°; 360°] 19.2 f(x)=cos3x, x €[—180°; 180°] 19.3 k(x) =—tan5x, x € (0°; 360°] Vraag 20 Teken die grafieke van die funksies aangedui op afsonderlikie assestelsels. Die gebied vir elke grafiek word gegee. Waar toepaslik, dui aan die : ¢ afsnitte met die asse ¢ kodrdinate van die draaipunte * posisie van die asimptoot(tote) met 'n stippellyn. 20.1 y=sin@+30°), x € [—30°; 330°] 20.2 y= cos@—45°), xe[-45°;315°] 20.3 y=tan(x+60°), x e[-60°;300°] 20.4 y=sin@+20°), xe[-160°; 160°] © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 60

Pas die funksie in kolom A by die korrekte beskrywing in kolom B. KolomA Kolom B A y=2sin3x E | Die grafiek van y = sinx word boontoe geskuif deur drie eenhede. B y=sinx+3 F | Die grafiek het 'n periode van 180° en word 30° na regs geskuif. C | y=sim2(x—30°) | G | Die amplitude is 2 en die periode 120°. Die grafieke van g(x) = sin2(x—30°) en p(x) =5cosx vir x €[—180°; 90°] is hieronder geteken. \ Fa bal 5 cos(x) \ a / ea tg -360 -270 -180 -90 0 9% 180 270 ob vw on eo Fos I 22.1 Skryf die omvang van p neer. 22.2 Skryf die kodrdinate van R neer as die kodrdinate van P (—180°; 0,866) en (270°; 0) onderskeidelik is. 22.3 Skryf die periode van g(2x)-neer. 22.4 Bepaal die lengte van ST korrek tot vier desimale plekke. 22.5 Vir watter waardes vanx is g(x) = p(x)? 22.6 Vir watter waardes van is g(x) = p(x)? 22.7. Skryf die vergelyking van* neersoosg 45° na regs en 2,5 eenhede ondertoe geskuif word. © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 61

Hoofstuk | 6 | Trigonometrie Oorsig Eenheid 1 Bladsy 64 Die fundamentele trigonometriese identiteite Eenheid 2 Bladsy 65 Vereenvoudig trigonometriese uitdrukkings Bewys identiteite Eenheid 3 Bladsy 68 Trigonometriese verhoudings vanaf 90° - 6 Trigonometriese identiteite vanaf 90° + 6 Toepassing van die reduksieformules Trigonometriese verhoudings vanaf180° + @ and 360° + @ Hoofstuk 6 Bladsy 63 Trigonometrie Eenheid 4 Bladsy 71 Toepassing van negatiewe hoeke Eenheid 5 Bladsy 72 Gebruik ‘n grafiek Gebruik ‘n sakrekenaar Gebruik spesiale hoeke Algemene oplossings Meer gekompliseerde vergelykings Trigonometrie handel met die verhoudings van die sye en hoeke van driehoeke en met die toepaslike funksies van enige hoeke. In hierdie hoofstuk sal jy verhoudings en spesiale hoeke hersien. Jy sal leer hoe om trigonometriese identiteite te gebruik en toe te pas. Jy sal ook leer oor reduksieformules en hoe om met negatiewe hoeke te werk en jy sal trigonometriese vergelykings oplos. ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni % > snninn

Eenheid fa | Trigonometric identiteite ‘n Trigonometriese identiteit is ‘n uitdrukking wat altyd waar is! 1.1 Die fundamentele trigonometriese identiteite ¢ Kwosiént identiteit: tan 6 = = (Gedefinieer vir alle waardes van @, behalwe waar cos @ = 0), Bewys: Laat P(x; y) enige punt op die terminaalstraal 9 in die standaardposisie wees. y Py) ane = @/ ) [lees die verhoudings van die diagram af| _y r sys =ExKe [vereenvoudig die breuk] =~ = tan@ x ¢ Vierkantsidentiteit: (ook die Pythagoras identiteit genoem) sin? 6+cos*@=1 sin? @ + cos*@ = (2)? + EP [lees die verhoudings van die diagram af] = y?/r? +x? /r? [kwadreer die terme] = (7 +x?)/r? [tel die breuke bymekaar] =r fra. [pas die stelling van Pythagoras toe] Die vierkantsidentiteit kan ook op die volgende maniere uitgedruk word: sin? 6 =1 —cos?@ cos? @ —1 = -sin? 6 cos? @ =1 —sin?@ o sin? @—1=-—cos? 6

Eenheid a Die toepassing van die trigonometriese identiteite 2.1 Vereenvoudig trigonometriese uitdrukkings ¢ Om trigonometrie te vereenvoudig gebruik ons die twee fundamentele identiteite (die kwosiént en vierkantsidentiteite) asook basiese algebra. Voorbeeld 1 1 Vereenvoudig cos*6. tan 6 + tan 6. sin? 6 cos? 6.tan@ + tan @.sin? 6 = tan @ (cos? 6 + sin? 0) tan 6 (1) tan @ 2 -Vereenvoudig (2tan b. cos b.sin b)/(cos? b - 1) (2tan b.cos b.sin b)/(cos?b — 1) = 2tan b.cos b. sin b/—sin?b = (2tan b. cos b)/(—sin b) = —(2(sin b/cos b). cos b)/(sin b) = (—2sin b)/(sin b) =-2 2.2 Bewys identiteite ¢ Daar is baie meer identiteite as die twee fundamentele identiteite wat ons tot dusvér bespreek het. ¢ ‘nIdentiteit kan bewys word deur te bewys dat die uitdrukking aan die linkerkant (LK) gelyk is aan die uitdrukking aan die regterkant (RK) en deur die fundamentele identiteite en basiese algebra te gebruik. e Daar is ook ander maniere waarop identiteite bewys kan word. Hulle is:

Eenheid Vereenvoudig een kant om gelyk te wees aan die ander kant Bewys die identiteit: tana + cosa/(1 + sina) = 1/cosa LK =tana + cosa/(1 + sina) =sina/cosa + cosa/(1 + sina) =(sin a(1 + sina) + cos*a)/cosa(1 + sina) =(sina + sin?a + cos*a)/cosa(1 + sina) = (sina + 1)/cosa(1 + sina) =1/cosa =RK Vereenvoudig albei kante totdat hulle gelyk is Bewys dat sin? y — (cos? y)/(siny cos y + cos2y) = tany—1 LK = (sin? y- cos? y)/(siny cos y + cos 2y) =((siny - cos y)(siny + cos y))/(cos y(siny + cos y)) = (sin y- cos y)/cos y RK = tany-1 = siny/cosy—1 = (siny —cos y)/cosy “LK =RK ¢ Trigonometriese vehoudings is nie altyd waar vir al die waardes van die veranderlikes nie. Die uitsonderings is wanneer die identiteit ‘n raaklynfunksie bevat, of wanneer daar ‘n breuk met ‘n trigonometriese funksie in die noemer is. Identiteite wat raaklynfunksies bevat ¢ Die funksie y = tan x is ongedefinieérd by die interval [0°; 360°] vir x = 90° of 270°, Bewys dat: tan? k. cos? k = sin? k LK = tan? k. cos? k = (sin? k/cos” k).cos? k = sin? k =RK, so } Via Aftika, » Wicka na Gran dn soni % 5 snninn

Eenheid Die identiteit is ongedefinieerd vir k = 90° of 270°, Identiteite met trigonometriese funksies in die noemer Wanneer identiteite trigonometriese funksies in die noemer het, moet jy onthou dat die noemer nooit gelyk kan wees aan nul nie. Dit beteken dat die identiteit vir alle waardes van die veranderlike, waarvoor die trigonometriese funksie gelyk is aan nul, ongeldig is. Bewys dat: (1 -sin? p)/(1 - sinp) =1+sin p + sin? p LK =(1~sin? p)/(1— sinp) =((1—-sin p)(1+sinp + sin? p))/(1 — sin p) = 1+sinp+sin? p =RK. Die identiteit is ongedefinieerd wanneer 1-sinp =0 -.Dit is ongedefinieerd wanneer sinp=1, ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni % 6 snninn

Eenheid B Reduksieformules Hier lei ons formules af vir die trigonometriese verhoudings van 90° — 6 en 90° + 8, Gestel @ is ‘n skerphoek. Wat ons wil bewys is dat daar ‘n verwantskap is tussen die trigonometriese verhoudings van 9@ en die van 90° — @ of 90° + 6 of 180° — 6 of 180° + 8 of 360° — @ of 360° + 6 is. Jy moet die formele bewyse en die formules bestudeer. 3.1 Trigonometriese verhoudings van 90° — @ « As P(a; b) ‘n punt is op die terminaalarm van 4 in standaardposisie, en Q is ‘n punt op die terminaalarm van 90° — @, dan is Q ‘n refleksie van Prondom die lyn y = x. Dus, sal die kodrdinate van Q (b; a) wees en die lengte van oP = 0Q =r. Dus: sin(90°— 6) = a/r = cos @ cos(90° — 8) = b/r = sin@ Onthou: y =sinx eny = cos x is ko-funksies. Hoeke 8 en 90° — 6 tel op na 90° en is komplementére hoeke. Die funksiewaardes van 90° — @ is gelyk aan die ko-funksie waardes van 8. 3-2 Trigonometriese verhoudings van 90° + 0 As P(a; b) ‘n punt op die terminaalarm van 6 in die standaardposisie is en Q ‘n punt eon ig is op die terminaalarm van 90° + @, S eh dan is Q ‘n rotasie van P, 90° ; * antikloksgewys deur die oorsprong. Dus sal die kodrdinate van Q (—b; a) wees en die lengte van oP = oQ =r. Dus: sin(90°+ 6) =a/r =cos@ cos(90° + 6) = b/r = —sin@ ses } Via Aftika, » Wicka - Gran dn soni % - snninn

Eenheid [ay 3.3 Pas die reduksieformules toe Voorbeeld 2 1 Druk sin 54°, cos 126° en cos 54° as trigonometriese verhoudings van 36° uit. sin 54° = sin(90° — 36°) = cos 36° cos 126° = cos(90° + 36°) = —sin 36° cos 54° = cos(90° — 36°) = sin 36° 2 Vereenvoudig: sin(90° — @).cos(90° + @).tan@ + tan 225° sin(90° — @). cos(90° + @).tan @ + tan 225° = cos @.(—sin @). (sin @/cos 8) +1 = —(sin? 6.cos @/cos 0) +1 =-sin?64+1 = —(sin? 6-1) = —cos* 6 3 Bereken sonder om ‘n sakrekenaar te gebruik: sin 68°/cos 22° sin 68°/cos 22° = sin(90° — 22°)/cos 22° = cos 22°/cos 22° =1 3-4 Trigonometriese verhoudings van 180° + 8 en 360° + 8 ¢ Trigonometriese verhoudings van180° — 6 As P(a; b) ‘n punt op die terminaalarm van @ in die standaardposisie is en Q is’n punt op die terminaalarm van 180° — 6, danisQ‘n Qa; b) P(a; b) refleksie van P rondom die y-as (die lyn x = P) 6 0).Die ko6rdinate van Q sal dus (—a; b)wees. Die lengte van oP = oQ =r. Dus: sin(180° — @) = b/r = sin@ cos(180° — 8) = —a/r = —cos@ tan(180° — @) b/-a = —tan so } Via Aftika, » Wicka na Gran dn soni % 3 snninn

Eenheid [ay ¢ Trigonometriese verhoudings van 180° + 6 As P(a; b)’n punt op die terminaalarm van @ in die standaardposisie is en Q is ‘n punt op die termi van 180° + 6,dan is Q die rotasie van P, 180° deur die oorsprong. Die kodrdinate van Q sal dus (a; —b)wees. Die lengte van oP = oQ =r. Dus: sin(180° + 6) = —b/r = —sin@ cos(180° + 8) = —a/r = —cosé tan(180° + @) = —b/a = tan@ ¢ Trigonometriese verhoudings van360° — 6 As P(a; b) ‘n punt op die terminaalarm van 9 in die standaardposisie is en Q is’n punt op die terminaalarm van 360° — @, dan is Q ‘nrotasie van P, 180°deur die oorsprong. Die kodrdinate van Q sal dus(—a; —b)wees. Die lengte van oP = 0Q =r. sin(360° — 6) = —b/r = —sin@ cos(360° — @) = tan(360° — 6) = Dus: a/r = cos@ —b/a = —tan@ ¢ Trigonometriese verhoudings van 360° + 6 As ‘n punt P(a; b) op die terminaalarm van 9 in die standaardposisie deur 360° deur die oorsprong geroteer word, dan sal die gevolglike punt op die terminaalarm van 360° + 6 saamval met P(a; b) op die terminaal van 9 in die standaardposisie. Die lengte van OP = r. sin(360° + @) = b/r = sind cos(360° + @) tan(360° + 6) = Dus: cos 0 tan 6 a/r = b/a = Hier volg ‘n opsomming van die reduksieformules: Reduksieformules 180° — 0 180° + 6 360° — @ 360° + @ sin(180° — @) = sin@ sin(180° + 6) = —sin@ sin(360° — 6) = —sin@ sin(360° + 6) = sing cos(180° — 8) = —cos 8 cos(180° + @) = —cos 8 cos(360° — 6) = cos 6 cos(360° + 8) = cos 8 tan(180° — @) = —tan@ tan(180° + @) = tan@ tan(360° — 6) = —tan@ tan(360° + 8) = tan @ so } Vi > Afikas » Wicka na Gran dn soni

Eenheid Fa | Negatiewe hoeke In trigonometrie meet ons hoeke op ‘n Kartesiaanse vlak vanaf die positiewe x-as. Positiewe hoeke word antikloksgewys vanaf hierdie as gemeet en negatiewe hoeke word kloksgewys gemeet. 4.1 Pas negatiewe hoeke toe Voorbeeld 3 1 Druk die volgende as trigonometriese verhoudings van @ uit: 1.1 cos(—@) =cos@ 1.2 tan(@ — 180°) = tan[—(180° — @)] = —tan(180° — @) = —(-tan 0) = tang 1.3 cos(180° — 6) = —cosé 2 Bereken sonder om ‘n sakrekenaar te gebruik 21 sin(—90°) = —sin90° = —-1 2.2 cos(—120°) = cos(120°) cos(90° + 30°) = —sin 30° 1 2 2.3. sin(—x)cos(90° — x) - cos*x = —sin x.sin x - cos? x —(sin? x + cos? x) =-1

Eenheid rs | Los trigonometriese vergelykings op Ons kan trigonometriese vergelykings oplos deur ‘n grafiek, ‘n sakrekenaar of spesiale hoeke te gebruik. 5.1 Gebruik ‘n grafiek ¢ Wanneer jy ‘n grafiek ontvang en gevra word om die trigonometriese vergelyking op te los,is die oplossing eenvoudig — lees die waarde van die grafiek af! ¢ Dis belangrik om te onthou dat die vergelyking meer as een oplossing op die gegewe interval kan hé, dus, let hiervoor op. 5.2 Gebruik ‘n sakrekenaar ¢ As jy ‘n trigonometriese vergelyking ontvang, bv. tanx = —2,5, is dit belangrik om eers te identifiseer in watter kwadrant(e) die vergelyking sal afspeel. ¢ Sodra jy die kwadrant(e) het, bereken die waarde van die veranderlike en pas dit toe op die trigonometriese verhouding(s) wat in daardie kwadrant(e) geld. 5-3 Gebruik spesiale hoeke e As jy ‘n trigonometriese vergelyking met ‘n verwysingshoek kry, vind die teken van die RK van die vergelyking. Bepaal hieruit in watter kwadrante die vergelyking waar sal wees (m.a.w.in watter kwadrante daar oplossings sal wees). ¢ Gebruik nou die verwysingshoek en die kwadrante waarin die oplossings is en bereken die waarde(s) van die veranderlike. 5.4 Algemene oplossings e Die sinus verhouding Die algemene oplossing vir sin @ = 0,5 is 0 = 90° + k.360° of @ = 270° + k.360°, keZ. ¢ Die kosinus verhouding Die algemene oplossing vir cosa = —,/3/2 is 6 = 120° + k.360° of 06 = 240° + k.360°, keZ. e Die tan verhouding Die algemene oplossing vir tan a = lis a = 45°+k.180°, keZ, a } Vi > Ani _ » Wicka “aoGran dn soni 5 . snninn

Eenheid Ls | 5-5 Meer gekompliseerde vergelykings e Vergelykings met die vormsina = +sinf, cosa =+cos f entana = + tanp, Die volgende verwantskap tussen @ en f is waar en kan gebruik word om hierdie vergelykings op te los: © tana = —tana o sina = sing °o sina = —sinB © cosa = cosp °o cosa = —cosB e Vergelykings met die vorma sinx = bcos x, © Onthou, hierdie vergelyking kan na ‘n eenvoudige vergelyking verander word deur aan albei kante met @ cos x te deel. Die vergelyking wordtanx = b/a, ¢ Vergelykings met die vormsinA = +cosB, © Gebruik die ko-funksie reduksieformule om die vergelyking in die vorm sinA = sin (90° + B) ofcos (90° + A) = + cos B oor te skryf. © Nou is dit maklik om die vergelyking op te los deur gebruik te maak van dieselfde metode wat ons gebruik het vir vergelykings met die vorm sina = sin B encosa = cosB, ¢ Kwadratiese vergelykings word opgelos deur algebraiese vaardighede te gebruik om die kwadratiese vergelyking in twee eerste graadse vergelykings te faktoriseer, wat jy dan maklik kan oplos! Voorbeeld 4 Los op vir x, x € [0°; 360°] as tan x = —5,32 Die waarde van tan x = —5,32 impliseer dat tan x negatief is. Dus lé die oplossings in die tweede en vierde kwadrante. Onthou dat die hoeke in die tweede en derde kwadrante die vorm 180° — @ of 360° + @ het. Om die skerp hoek, @,te kry, bereken ons tan — 5,32, wat gelyk is aan —79,35°. tan x = —5,32,. x = —79,35° ¢ Vergelykings wat tan x sowel as sin x en cos x bevat. © Druk tan x uit in terme van sin x en cos x deur die kwosiént identiteit tan x = sin x/cos x te gebruik. ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni = ; snninn

Voorbeeld 5 Bepaal die algemene oplossing vir 2 cos x + 3 tanx + 1 = —6sin x, 2cosx+3tanx+1=-—6sinx 2cosx +3 (sinx/cos x) +1=—6sinx « 2cos*x +3 sinx+cosx = —6sinx cos x « 2cos* x +cosx +6 sinx cosx + 3sinx =0 * cosx(2cosx +1) +3sinx(2cosx+1)=0 (2cosx + 1)(cosx + 3sinx) = 0 “cosx = 1/2 of cosx =3sinx cosx/3cosx = 3sinx/3 cosx += tanx 3 * x = 60° + 360°n of 360°— 60° + 360°n * x = 60° + 360°n of 300°+ 360°n x = 18,4°+ 180°n Vrae Die punt P(7; -12) lé op die terminaalstraal van 7 in die standaardposisie. 1.1 Bepaal: 1.1.1 die lengte van OP 1.1.2 sinB 1.1.3 cos B P(7; -12) 1.1.4 sin B/cos B 1.1.5 tanB 1.2. Gebruik jou antwoorde in 1.1.1 to 1.1.5 hierbo om veronderstellings te maak oor die waardes van tanf, cos f en sin f, 13 Bereken sin B + cosB,

Vraag 2 m © 3 > 2, Qa Gebruik fundamentele identiteite om te vereenvoudig: 21 la - cos x)(1 + cos x) 2.2 sin x(sinx + tan x.cos x) 2.3 (cos x + sin x)? + (cos x - sin x)? 2.4 cos*y + (sin? y.tan y/cos y) Vraag 3 Bepaal die waardes vir x, x € [0°; 360°], waarvoor die identiteit ongedefinieerd is. Bewys die identiteite. 3.4 cost = 1/cost-sin?t/cost 3.2 sin*b-2 = —cos?b(tan*b + 2) 3.3 tan? = sin?R(1 + tan?) 3.4 tan x-sin x.cos x = sin? x. tan x 3.5 sinx-1/sinx =—cos* x/sinx 3.6 (sin? x- cos?x)/(1 + sin x cos x) = sin x- cos x Vraag 4 4.1 Druk elk van die volgende as ‘n funksie van 42° uit: 4.1,1008 222° 4.1.2 sin 48° 4.2 Druk elk van die volgende as ‘n funksie van 75° uit: 4.2.18in 435° 4.2.2 cos 285° Vraag 5 As sin 88° = t, druk die volgende in terme van ¢ uit. Gebruik ‘n skets. 5.1 cos 2° 5.2 tan178° 5.3 cos 92° Vraag 6 Druk elk van die volgende as ‘n trigonometriese verhouding van @ uit: 6.1 tan (360° + 6) 6.2 cos (90° — @) 6.3 sin (360° — 0) 6.4 tan (360° — 6) © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 74

Vraag 7 Bereken sonder om ‘n sakrekenaar te gebruik: 7.1 sin 150° 7.2 cos 300° 7.3 tan 390° 7.4 cos 210° + sin 120° 7.5 sin(90° — x). cos(180° + x). tan(180° + x)/cos(90° — x). cos(360° — x). tan x 7.6 sin (-8@) V7 cos(—360° — @) Vraag 8 Bewys: cos X- cosx.tan(—x) = cos(—x) - sin(x — 180°). Vraag 9 Bepaal die algemene oplossings vir die volgende vergelykings. Gee jou antwoord korrek tot een desimale syfer. g.1 sinx = —3,125 9.2 cos x - 0,986 = 0 9.3 3tanx = 2,12 9.4 tanx = sin 35° 9.5 2cosx +1=0 9.6 tan 4x = tan 90° 9.7 2tanx. cos? x = cosx 9.8 sin (5x + 30°) = sinx 9.9 tan(3x — 20°) = tan(x + 40°) 9.10 3sinx = —5cosx 9.11 2 cos x = -sinx 9.12 cos(x — 20°) = —sin(x + 30°) 9.13 cos (3x + 20°) = —sin(x — 60°) 9.14 sin? A- 2sinA.cosA = 2cos*A 9.15 3tanx = 2sinx 9.16 —3- tanx = —cosx/sinx © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 5

Hoofstuk Meting Oorsig Eenheid 1 Bladsy 78 Hoofstuk 7 Bladsy 77 enheid 1 Bladsy 78 Meting Oppervlakte en volume kan in baie verskillende situasies gebruik word om ons te help om tyd te bespaar, geld te bespaar en die omgewing te bewaar. Geisers gebruik baie energie om water vir huishoudelike gebruik te verhit. Deur gebruik te maak van berekeninge wat die volume water wat deur huishoudings gebruik word, betrek, kan die optimale geisergrootte, wat sal verseker dat geen onnodige energie vermors word om groot hoeveelhede water te verhit, geinstalleer word. Om die binnemure van ‘n huis te verf, bereken ons die oppervlakte in m? en koop presies genoeg verf aan om die mure te verf. As ons ‘n houtkrat wil bou,moet ons vooraf besluit wat die volume moet wees. Sodoende kan ons die optimale hoeveelheid hout, wat benodig word, uitwerk, sodat ons die korrekte groottes kan aankoop en so min as moontlik kan vermors.

Eenheid fa | Gekombineerde voorwerpe Kom ons hersien enkele van die definisies en formules wat gebruik word om die oppervlakte en volume van driedimensionele (3D) voorwerpe te bereken: ¢ ‘nRegte prisma is ‘n veelvlak met twee identiese en parallelle aansigte, of basisse. Die ander aansigte is reghoeke en is loodreg op die basisse. e ‘nRegte silinder is ‘n 3D voorwerp met twee ronde basisvlakke parallel aan mekaar. Daar is ‘n geboé oppervlak tussen die twee basisse. ¢ Die oppervlakte van ‘n regte prisma en ‘n regte silinder word verkry deur S = 2(Oppervlakte van basis) + omtrek van basis x hoogte van prisma (silinder) ¢ Die volume van ‘n regte prisma en regte silinder word verkry deur: V = Oppervlakte van basis X hoogte van prisma (silinder) Prismas ¢ Wanneer een dimensie van ‘n prisma vermenigvuldig word met ‘n faktor, k, verander die volume van die prisma met dieselfde faktor. ¢ Wanneer twee dimensies van ‘n prisma met ‘n faktor, k, vermenigvuldig word, verander die volume van die prisma met ‘n faktor van k?. ¢ Wanneer drie dimensies van ‘n prisma met ‘n faktor, k, vermenigvuldig word, verander die oppervlakte met ‘n faktor van k? en die volume verander met ‘n faktor van k3, Silinders ¢ Wanneer die radius en hoogte van ‘n silinder vermenigvuldig word met ‘n faktor,k, verander die oppervlakte van ‘n silinder met ‘n faktor van k?. ¢ Wanneer ons die hoogte van ‘n silinder met ‘n faktor, k, vermenigvuldig, verander die volume van die silinder met ‘n faktor van k. e Wanneer die radius of deursnee van ‘n silinder vermenigvuldig word met ‘n faktor, k, verander die volume van die silinder met ‘n faktor van k?. ¢ Wanneer sowel die radius (of deursnee) en die hoogte van ‘n silinder vermenigvuldig word met ‘n faktor, k, verander die volume van die silinder met ‘n faktor van k?, Sfeer (r= radius, d= deursnee (= 27) ¢ Omtrek van ‘nsfeer: C = 2xr = nd © Oppervlakte van ‘nsfeer: S = 4ar? = 1d? 4 ¢ Volume van ‘n sfeer: V= gar? = nd3/6 so } Via Afi _ » Wicka - Gran dn soni - ; snninn

ses } Vi ~ Aika» Wiskund Giada nnn Keéls (r= radius of ronde basis, h= hoogte van keél, s= skuinshoogte van keél) © Skuinshoogte van keél: s=vh? +r? ¢ Omtrek van die basis:C = 2mr = nd ¢ Oppervlakte van ‘n keél: S = nr? +mrs ¢ Volume van ‘n keél: V=1/3nr7h Piramides (h = hoogte van piramide, s = skuinshoogte van piramide) © oppervlakte van ‘n piramide:S = opv. van basis + 1/2 (omtrek van basis) s ¢ Volume van ‘n piramide: V = 1/3 (opv. van basis)h Vrae 1.1 Bereken korrek tot drie desimale plekke die oppervlakte en volume van ‘n sfeer met radius 12mm. 1.2 Bereken die radius en volume van ’n sfeer met ‘n oppervlakte van 512,157 m”. Die radius van die basis van ‘n regte, ronde keél is 13,5 cm en die hoogte van die keél is 51,2 cm. Bepaal, korrek tot drie desimale plekke: 2.1 die skuinshoogte van die keél 2.2 die totale oppervlakte van die keél 2.3. die volume van die keél.

‘n Toring bestaan uit die volgende dele: ‘n Regte piramide staan bo-op ‘n vierkantige regte prisma. Die basis van die toring is 2,5 m by 2,5 m. Die totale hoogte van die gebou is 50 m. As die piramide 23 m hoog is, bereken die buite-oppervlakte van die toring, korrek tot die naaste vierkante meter. ‘n Blompot bestaan uit ‘n halfrond onder, met ‘n regte silinder bo-op dit. Die radius van die halfrond is 13 cm en die hoogte van die silinder is 31 cm. Bereken die oppervlakte en volume van die blompot korrek tot twee desimale plekke, indien nodig. Dink jy hierdie is ‘n praktiese ontwerp? Waarom dink jy so? © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 79

Hoofstuk ls | Euklidiese meetkunde Oorsig Graad 10 Hersiening Bladsy 82 KoNtsCeescC aye ° Sirkelstellings en gevolgtrekkings Eenheid 2 Bladsy 87 Hoofstuk 8 Bladsy 81 e Koordevierhoek Stellings en Euklidiese Meetkunde gevolgtrekkings ¢ Bewys ‘n vierhoek is ‘n koordevierhoek Eenheid 3 Bladsy 89 In hierdie hoofstuk sal jy alles hersien wat jy in Graad 10 geleer het oor snylyne, parallelle lyne, driehoeke en vierhoeke. Euclides, ‘n Griekse wiskundige, wat meer as 2 000 jaar gelede geleef het, staan ook bekend as die Vader van Meetkunde. Sy boek, Elemente, is tot die vroeé twintigste eeu as die belangrikste handboek vir die onderrig van Wiskunde gebruik! ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni 5 > snninn

Hersiening van Graad 10 Graad 10 Hersiening Snylyne Die som van die hoeke rondom ‘n punt is 360°. i oy Aangrensende hoeke by ‘n punt op ‘n lynis aanvullend. s R Wanneer twee lynsegmente sny, is direk teenoorstaande hoeke gelyk. Paralletle lyne Wanneer ‘n skuinslyn parallelle lyne sny, is die afwisselende binnehoeke asook die afwisselende buitehoeke gelyk. G A B cS D E Wanneer ‘n skuinslyn twee parallelle lyne sny, is die ooreenstemmende hoeke gelyk. Wanneer ‘n skuinslyn twee parallelle lyne sny, is die ko- binnehoeke en die ko-buitehoeke supplementér. G A B c K D E Driehoeke Die binnehoeke van ‘n driehoek is supplementér (aanvullend) va Q R Die basishoeke van ‘n gelykbenige driehoek is gelyk. . A Al die binnehoeke van ‘n gelyksydige driehoek is 60° ‘n Buitehoek van ‘n driehoek is gelyk aan die som van die teenoorstaande binnehoeke A L M T Wanneer die sye van een driehoek gelyk is aan die ooreenstemmende sye van ‘n ander driehoek is die twee driehoeke kongruent. [SSS] P X Y Twee driehoeke is kongruent wanneer twee sye en die ingeslote hoek van een driehoek gelyk is aan twee sye en die ingeslote hoek van die ander driehoek. [SHS]

Graad 10 Hersiening Driehoeke Wanneer twee hoeke en ‘n sy van een driehoek gelyk is aan twee hoeke en die ooreenstemmende sy van ‘n ander driehoek, is die twee driehoeke kongruent. [HHS] H Twee driehoeke is kongruent wanneer die skuinssy en een sy van ‘n reghoekige driehoek gelyk is aan die skuinssy en een sy van ‘n ander reghoekige driehoek. [90°HS] Pov RS Die lynsegment wat die middelpunte van twee sye van ‘n driehoek verbind, is parallel aan die derde sy en die helfte van die lengte van die derde sy [DE||DB] A Wanneer die ooreenstemmende sye van twee driehoeke in dieselfde verhouding is,is die twee driehoeke dieselfde. [SSS] Wanner die ooreenstemmende hoeke van twee driehoeke gelyk is, is die twee driehoeke dieselfde. [HHH] Wanneer twee pare sye van twee driehoeke in dieselfde verhouding is en die hoeke tussen daardie sye gelyk is, is die twee driehoeke dieselfde. [SHS] Vierhoeke ‘n parallelogram is ‘n vierhoek met parallelle teenoorstaande sye. [PQ|ISR, PS||QR] P ‘n Reghoek is ‘n parallelogram met ‘n 90° binnehoek. [ZKPM = 90°] ‘n Gelykbenige trapesium is ‘n vierhoek met een paar teenoorstaande sye parallel en die ander paar gelyk. [PQ||SR, PS = QR] R ‘n Vierkant is ‘n rhombus met ‘n go° binnehoek. [AB = BC = CD = DA] A i ‘n Vlieér is ‘n vierhoek met twee pare aangrensende sye gelyk. [KI = KE, ET = TI] ‘n Rhombus is ‘n parallelogram met al die sye gelyk. [KL = LM = MP = PK] K ra = a } Via Ani _ > Wickunde Gran dn snnnninnnnnnninnnnnnnnnnnnnnnn 82

Eenheid Pa | Sirkels 1.1 Sirkelstellings en gevolgtrekkings Jy moet hierdie stellings en gevolgtrekkings ken en weet hoe om hulle toe te pas sodat jy vrae met betrekking tot sirkels kan beantwoord. Moenie bekommerd wees nie. Sodra jy dit onder die knie het, sal jy dit baie geniet om hierdie probleme op te los! Onthou om afgekorte redes vir alle stellings te gee! Stelling 1: Segment deur die middelpunt ¢ Die lynsegment (radius) wat die middelpunt van ‘n sirkel en die middelpunt van ‘n koord verbind,is loodreg op die koord. Stelling 2: Loodreg van middelpunt na koord ¢ ‘nLynsegment (radius) vanaf die middelpunt van ‘n sirkel loodreg op ‘n koord, sal die koord halveer.

Eenheid a Stelling 3: Loodregte halveerder van koord ¢ Die loodregte halveerder van ‘n koord van ‘n sirkel beweeg deur die middelpunt van die sirkel. Stelling 4: Hoek by die middelpunt is twee maal so groot as die hoek op die sirkel ¢ ‘n Hoek by die middelpunt van ‘n sirkel is twee maal so groot as die hoek op die sirkel wat deur dieselfde koord of boog onderspan word. Stelling 5: Hoeke onderspan deur dieselfde boog (koord) ¢ Hoeke op ‘n sirkel wat aan dieselfde kant deur dieslefde boog (koord) onderspan word, is ewe groot. so } Via Aftika, » Wicka na Gran dn soni 5 a snninn

Eenheid a Stelling 6: Lynsegment onderspan gelyke hoeke ¢ (Teenoorgestelde van Stelling 5) e Wanneer ‘n lynsegment wat twee punte verbind, gelyke hoeke by twee ander punte aan dieselfde kant van die lynsegment onderspan, dan vorm hierdie vier punte ‘n koordevierhoek. Gevolgtrekkings 1. ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni 5 5 snninn Gelyke koorde (boé) van ‘n sirkel onderspan gelyke hoeke by die middelpunt van die sirkel. Gelyke koorde (boé) van ‘n sirkel onderspan gelyke hoeke in die ooreenstemende segmente op ‘n sirkel. Koorde (boé) van ‘n sirkel is ewe groot wanneer hulle gelyke hoeke by punte op die sirkel of by die middelpunt onderspan. . ‘n Middellyn van ‘n sirkel onderspan regte hoeke op die sirkel. Gelyke koorde (boé) in verskillende sirkels met gelyke radii (deursnee) onderspan gelyke hoeke op die sirkels. Wanneer die lynsegment wat twee punte verbind, gelyke hoeke aan dieselfde kant daarvan onderspan, vorm daardie vier punte ‘n koordevierhoek (hulle 1é op ‘n sirkel).

Eenheid fa | Koordevierhoeke 2.1 Koordevierhoek Stellings en Gevolgtrekkings Wat beteken siklies? Dit beteken dat ‘n sirkel deur al die hoekpunte getrek kan word. Onthou om afgekorte redes vir al die stellings te verskaf! Stelling 1: Teenoorstaande binnehoeke van ‘n koordevierhoek ¢ Die teenoorstaande binnehoeke van ‘n koordevierhoek is supplementér. A Os "Seo" Teenoorgestelde van Stelling 1: Teenoorstaande binnehoeke is supplementér ¢ Wanneer die teenoorstaande binnehoeke van ‘n vierhoek supplementér is, is die vierhoek ‘n koordevierhoek. Stelling 2: Buitehoek van ‘n koordevierhoek ¢ Die buitehoek van ‘n koordevierhoek is gelyk aan die teenoorstaande binnehoek van die koordevierhoek. D B so } Via Afi _ » Wicka - Gran dn soni 7 6 snninn

Eenheid [2 | Teenoorgestelde van Stelling 2: Buitehoek is gelyk aan die teenoorstaande binnehoek e Wanneer die buitehoek van ‘n vierhoek gelyk is aan die teenoorstaande binnehoek van die vierhoek, dan is die vierhoek ‘n koordevierhoek. 2.2 Bewys dat ‘n vierhoek ‘n koordevierhoek is Dit kan op een van drie maniere gedoen word: 1. Wanneer enige sy van ‘n vierhoek gelyke hoeke by die ander hoekpunte onderspan,is die vierhoek ‘n koordevierhoek. 2. Wanneer enige twee teenoorstaande binnehoeke van ‘n vierhoek supplementér is, is die vierhoek ‘n koordevierhoek. 3. Wanneer ‘n buitehoek van ‘n vierhoek gelyk is aan die teenoorstaande binnehoek, is die vierhoek ‘n koordevierhoek. so } Via Aftika, » Wicka na Gran dn soni 7 ; snninn

Eenheid a Raaklyne aan ‘n sirkel ¢ ‘n Raaklyn aan ‘n sirkel is ‘n lyn wat net op een punt aan die sirkel raak. ¢ ‘n Raaklyn aan ‘n sirkel is loodreg tot die radius by die kontakpunt. Stelling 1: Raaklyne vanaf dieselfde punt ¢ Twee raaklyne aan ‘n sirkel vanaf dieselfde punt buite die sirkel is ewe lank. Stelling 2: Hoek tussen raaklyn en koord e Die hoek tussen die raaklyn aan ‘n sirkel en ‘n koord wat vanaf die punt van kontak geteken word is gelyk aan ‘n hoek op die sirkel wat onderspan word deur die koord in die teenoorgestelde segment.

Teenoorgestelde van Stelling 2: Hoek tussen lyn en koord e¢ Wanneer ‘n lyn, wat deur die eindpunt van ‘n koord getrek is, ‘n hoek vorm met die koord wat gelyk is aan ‘n hoek op die sirkel, wat onderspan word deur die koord in die teenoorstaande segment van die sirkel, dan is die lyn ‘n raaklyn aan die sirkel. Vraag 1 In sirkelO, OMLNP, NP = 23,5 cm en OM = 13,5 cm. Bereken die lengte van: Zz 11 NM 1.2 OP 1.3. die omtrek van die sirkel. Vraag 2 In die diagram is KL die span van ‘n brug wat die boog van ‘n sirkel vorm. KL is 103 men die hoogste punt van die brug is 17 m. Bereken die radius van die sirkel waarvan KML ‘n boog is. © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 89

Vraag 3 Kyk na die diagram hieronder. B B Neal Skzryf in sirkel W, die groottes van die hoeke, gemerk deur x, y en Z, neer. A Vraag 4 Bereken, met redes, die waardes van xen y. In 4.2 is P die middelpunt van die sirkel. 4a 4.2 Vraag 5 BC is ‘n gemeenskaplike koord tot die sirkels wat in B en C sny. DCE en FCG is lynsegmente wat by C sny. Bewys dat B, = By. verskaf redes vir al die stappe in jou bewys. © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 90

Bepaal die waardes van die veranderlikes. Vraag 8 Bepaal die waarde van x. Vraag 9 In die diagram is KNLML en LOLKM.

Bewys dat: 9.1 OPNM ‘n koordevierhoek is. 92 K=L, Vraag 10 O is die middelpunt van die sirkel. KM, EF en AC is raaklyne. Bereken, met redes, die waardes van x, y enz. 10.1 10.2 10.3 10.4 P A aL | 3 Vraag 11 Twee sirkels raak uitwendig by V. WVX is ‘n raaklyn aan beide sirkels by V. aS Bewys dat YZ||TU. Verskaf redes vir al die stappe van jou bewys. © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 92

Hoofstuk Ep Trigonometrie (oppervlakte-, sinus-en kosinusreéls) Oorsig Eenheid 1 Bladsy 95 e Los probleme op deur die oppervlaktereél te gebruik Eenheid 2 Bladsy 97 e Los probleme op deur die sinusreél te gebruik Hoofstuk 9 Bladsy 94 po Trigonometrie (oppervlakte, sinus, kosinus reéls) Eenheid 3 Bladsy 100 e Los probleme op deur die kosinusreél te gebruik Eenheid 4 Bladsy 102 e Probleme met numeriese waardes e Probleme met veranderlikes In hierdie hoofstuk sal jy leer hoe om die oppervlakte van enige driehoek te bereken deur die oppervlaktereél te gebruik. Jy sal ook leer hoe om verskillende lengtes en groottes te bereken deur die sinus en kosinusreéls te gebruik. Laastens sal jy leer hoe om probleme in die werklike lewe, insluitend die berekening van hoogtes, afstande en hoeke, op te los. ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni - 5 snninn

Eenheid fa | Die oppervlaktereél 1.1 Los probleme op deur die oppervlaktereél te gebruik ¢ Die oppervlaktereél lui dat die oppervlakte van enige driehoek gelyk is aan die helfte van die produk van enige twee sye en die sinus van die hoek tussen die twee sye. ¢ Bewys van die oppervlaktereél: Bestudeer APQR in die volgende diagramme. Pis’n skerp hoek: 8 Die oppervlakte van APQR = G)bh seven (1) Maar, in APQS,* = sin P «hh =csinP g n Vervang dit nou in (1): Oppervlakte APQR = G)be sin P Pis ‘n stomp hoek: Die oppervlakte van APQR = G)bh seven (1) Maar, in APQS,* = sin (180° - P) « h=csinP Vervang dit nou in (1): Opperviakte APQR = (5)he sin P ¢ Die oppervlaktereél kan ook bewys word deur koérdinate op die Kartesiaanse vlak te gebruik: Laat P in die standaardposisie wees. Die kodrdinate van die hoogtepunt R is (; bsin P), Laat (x; y) die kodrdinate van R wees. Aanvaar PQ as die basis en die y-kodrdinaat van R as die loodregte hoogte. Dan: = sinP -.x = bsinP, en SIST/R = cosP -.y = bcosP Die opperviakte APQR = (5) x basis x hoogte = (2).PQ.¥e = Q cb sinP a } Vi > Ani _ » Wicka “aoGran dn soni 5 a snninn

Voorbeeld 1 Gegee A RST met RS = 4,2 cm en ST = 3,8 cm. As die oppervlakte van A RST gelyk is aan 7,55 cm}, bepaal twee moontlike groottes van S. 1 Oppervlakte A RST = z . RS. ST. sin S 7,55 = >(4,2)(3,8).sin $ sin S$ = 0,946115288 § = 71,11° or § = 180° — 71,11° = 108,89°

Eenheidfey Die sinusreél 2.1 Los probleme op deur die sinusreél te gebruik sinP sinQ sinR ¢ Die sinusreél lui dat, in enige APQR, —- = — o. Dit laat ons toe om die verhoudings van die sinus van die hoeke tot hul teenoorstaande sye gelyk te stel. e Dus, as aan ons ‘n hoek en ‘n teenoorstaande sy gegee word, kan ons die sinusreél gebruik om die probleem op te los. Bewys van die sinusreél: Bestudeer APQR in die volgende diagramme. P ‘n skerp hoek: In AQPS: = = sinP « h = csinP In AQRS: - = sinR «hk = asinR als o1= “~csinP = asinR Deel beide kante deur ac gee sinP _ sinR a c P ‘n stomphoek: In APQS: * = sin (180°—P) «+ h=csinP In AQRS: * = sinR -h=asinR -csinP = asinR Deel beide kante deur ac gee sinP _ sinR a ~ c ¢ Die sinusreél kan ook bewys word deur koérdinate op die Kartesiaanse vlak te gebruik: Laat P in die standaardposisie wees. Die kodrdinate van R sal (b cos P; b sin P) wees. As die y-as deur R getrek word, is die kodrdinate van R (acos Q; asin Q) Nou is SR = bsinP=asinQ As beide kante deur ab gedeel word, gee dit sinP sinQ a” »b

Voorbeeld 2 1 Gegee twee hoeke en een sy van ‘n driehoek. Bepaal die lengte van AC in AABC as BC = 10 cm, B = 130° en C€ = 25°, korrek tot twee desimale plekke. A = 180° — (130° + 25°) = 25° t 1ocm B Nou gebruik ons die sinusreél om die lengte van AC te bereken. b _ a sinB sinA Vervang die waardes in die reél in: b 10 ” Sin 130° sin 25° b =AC = (10 sin 130°)/sin 25° = 18,13 cm 2 Gegee twee sye en ‘n hoek wat nie ingesluit is nie. Los AKLM op as LK = 7mm, KM = 10mm en [= 69°. Ons kan die sinusreél gebruik so } Via Afi _ » Wicka - Gran dn soni 5 - snninn

Eenheid [2 | om M te bepaal: sinM _ sin69° 7 ~~ 10 “sinM= 7sin69°/10 = 0,653506298 « M = 40,81° of M # 180° — 40,81° = 139,19° - M = 40,81° Vervolgens bereken ons die grootte van K: R = 180° — (69° + 40,81°) = 70,19° Laastens gebruik ons die twee hoeke (£ en R)en KM om die lengte van LM te bepaal: k 10 sin 70,19° — sin 69° « k = 10 sin 70,19°/sin 69° = 10,08cm ses } Vi > Afikas » Wicka nae Guan dn soni 5 3 snninn

Eenheid a Die kosinusreél 3.1 Los probleme op deur die kosinusreél te gebruik ¢ Die kosinusreél lui dat, in enige APQR: Oo a? =b? +c?- 2be cos P of cos P = (b? + c?- a*)/2be ob? =a* +c?- 2ac cos Q of cos Q = (a? +. c?- b?)/2ac °c? =a? + b?- 2ab cos Rof cos R = (a? + b?- c?)/2ab ¢ Dus, as daar twee sye en die ingeslote hoek gegee word, of drie sye van ‘n driehoek, kan ons die kosinusreél gebruik om die probleem op te los. ¢ Bewys van die kosinusreél: Bestudeer APQR in die volgende diagramme. P ‘n skerphoek: In AQSR: a2 = QS? + RS? Q = QS? + (b- PS)? = QS? + b?-2bPS + PS? Maar QS? + PS? = c? f n ON a2 = b +c? - 2bPS In APQS: = = cos P P : R « @ = b? +c? - 2bcecosP ———— | ——__——_—> of cos P = (b? + c?-a?)/2be A ‘n stomphoek: In AQPR: a2 = QS? + PR2 = QS*4 (b- PS)? = QS? + b?- 2bPS + PS? Maar QS? + PS? = c? «a? = b? +c?- 2bPS In APQS: > = cos (180° — A) = —cos A « @=b? +c? — 2becosA Of cos A = (b? + c? - a*)/2be

 – – Los ΔABC op as BC = 29 cm, ^B = 121° en c = 67 cm. verskaf jou antwoord korrek tot twee desimale plekke b2 = a2 + c2 – 2ac cos B = 292 + 672 – 2(29)(67) cos 121° = 7 331,437959 b = 85,62 cm Nou pas ons die sinusreël toe om die grootte van of ^A te bepaal sin A/29 = sin 121°/85,62 sin A = 29 sin 121/85,62 = 0,29032763 ^A = 16,88° of ^A ≠ 180° - 16,88° = 163,12° ^A = 16,88° En dus, ^C = 180° - (121° + 16,88°) = 42,12°

Eenheid aM Die oplossing van probleme in twee dimensies 4.1 Probleme met numeriese waardes e Wanneer ons bewus is van die hoogtehoeke tussen voorwerpe op die grond en hoér voorwerpe, kan ons die afstande tussen die voorwerpe en die hoér voorwerpe bereken, asook die oppervlakte tussen hulle deur gebruik te maak van die oppervlakte-, sinus- en kosinusreéls. 4.2 Probleme met veranderlikes e¢ Wanneer ons die hoogtehoeke ken, asook die hoeke en oppervlakte tussen voorwerpe op die grond en hoér voorwerpe, kan ons die oppervlakte-, sinus- en kosinusreéls gebruik om onbekende veranderlikes in die data op te los. Voorbeeld 4 1 Die hoogtehoek vanaf ‘n punt C na die bopunt van ‘n ligtoring is 71°. Die hoogtehoek D, vanaf die bopunt van ‘n kantoorblok na die bopunt van die ligtoring is 37°. AD = 80 m, die hoogte van die ligtoring is 52m, en CAD = 72°. Bereken, korrek tot twee desimale plekke: 1.1 die afstand AC: 52 . ° In AABC: ac = Sin 71 . AC = 52 ® AC = °"/sin 71° = 55,00 m

Eenheid [a | 1.2 1.3 1.4 2 ‘n Sterrekyker, A, klim teen ‘n hoé boom uit.Sy kan haar motor, D, sien waar dit ‘n paar meter van die boom af geparkeer is. Die hoek van depressie van D vanaf A is 9. ‘n Arend, C, wat op ‘n spesifieke tyd verbyvlieg, is ewe vér van die voet van die boom as van die motor. Op daardie oomblik is die hoogtehoek van C vanaf B 8. Laat BC = die afstand CD: In AACD, CD? = AC? + AD?- 2AC. AD. cos CAD = 3025 + 6400 - 2(55)(80)cos 72° = 6705,65045 - CD= 81,89m die grootte van CDE: sin ADC /s5 o0= sin 72°]o4 89 sin ADC = 0,638760635 « ADC = 39,70° « CDE = 2,70° die oppervlakte van AACD: Oppervlakte AACD = —AC. AD. sin CAD = (55)(80)sin 72° 2 092,32 vierkante eenhede CD = x meter. er so } Vi > Afikas > Wickunde Gran dn nnn

Bewys dat AB = V2 x tan@ (1 + cos 28). In AABD, ADB = 0. AB/BD = tan@ AB = DBtané6,, (a) In ABCD: BD? = BC? + CD? - 2BC.CD.cos BCD = x? + x?- 2(x)(x)cos (180° — 28) = 2x7(1 + cos 28) « BD = V2.x./(1 ¥ cos2R) wi. (2) vervang (2) in (4)in: AB = v2.x.tan 0../(1 + cos2f) Vrae Bepaal die oppervlakte van elk van die driehoeke,korrek tot 2 desimale plekke. Ll a P R 35° 14cm 17om 123,4°° iicm ® R S 10,5 cm T ABC is ‘n regs-hoekige driehoek. D is is ‘n punt op AC sodat DC = 24 eenhede. As BC = 19 eenhede en die oppervlakte van ABCD = 109 vierkante eenhede, bepaal die lengte van AB korrek tot twee desimale plekke. © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 103

Vraag 3 m © 3 > 2 a Los die volgende driehoeke op,en gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke. 34 8 3.2 R 42 28 mm 60 ? 42° In die diagram hieronder is HL = 21,3 cm, EF = 13,9 cm, HEF = 128°, HFE = 37° en EGF = 15°. Bepaal, korrek tot twee desimale eenhede: 4.1 lengte van EF 4.2 oppervlakte van AHEF 4.3 grootte van HFG as EFG ‘n stomphoek is. Vraag 5 Los die volgende driehoeke op,en verskaf jou antwoorde korrek tot twee desimale plekke. 5.1 A 5.2 J B 49 cm c i 16cm Vraag 6 Bewys dat in enige driehoek VWX, cos W = (v? + x? —w?)/2vx, Vraag 7 © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 104

Bereken sonder om ‘n sakrekenaar te gebruik, die lengte van AC in AABC as BC = 12,5 cm, AB = 93 mm en B = 124,7°. PQRS is ‘n parallelogram met PS = 18 cm, PR = 23,5cm en P= 130°. QT word loodreg op PR getrek. 18 cm s Bereken: 8.1 PSR 8.2 PRS (tot twee desimale plekke) 8.3. die oppervlakte van APSR (tot die naaste vierkante cm) 8.4 die lengte van QT. PQRS is ‘n reghoek. P. Ss se Q' ‘ ip Druk die volgende uit in terme van x en/of yen 9: 9.1 RS 9.2 AR © Via Afrika »» Wiskunde Graad 11 105

Die hoogtehoek vanaf die bopunt van ‘n voorstedelike huis na die bopunt van ‘n nabygeleé woonstelblok is x°, en die depressiehoek na die voet van die woonstelblok is y°. Daar word aangeneem dat die hoogte van die woonstelblok 15 m is en die huis en die woonstelblok le op dieselfde horosontale vlak. 10.1 Toon dat AB, die afstand tussen die huis en die woonstelblok, gegee word deur AB = (15 cos x.cos y)/sin(x + y). 10.2 As X= 102° eny = 30°, wat is die korrekte waarde van h, die hoogte van die woonstelblok? LM is die middellyn van ‘n semi-sirkel. K is ‘n punt op die omtrek. KM = 11,14 eenhede. O is ‘n punt op KM sodat KO:0M = 1:3. Laat KL = x eenhede wees en OLM = y. K Vind die algemene oplossing vir cos y. ~~ OVin hikes WiskundeG@aadi sou ue

Hoofstuk 10 | Finansies, groei en verval Oorsig Eenheid 1 Bladsy 109 KAaaiiws saamstellingstydperke ¢ Tydlyne ¢ Nominale en effektiewe rentekoerse Hoofstuk 10 Bladsy 108 | t~—C—SY Finansies, groei en , 8 5 Eenheid 2 Bladsy 112 waardevermindering e Lineére waardevermindering ¢ Die lineére waardeverminderingsmetode e Saamgestelde toename en afname gekombineer In hierdie hoofstuk sal jy leer hoe om die huidige en toekomstige waarde van beleggings en skuld akkuraat en vinnig te bereken, gebaseer op paaiemente betaal teen verskillende rentekoerse, en saamgestel vir verskillende tydperke. In Graad 10 het jy geleer van enkelvoudige rente en saamgestelde rente. Enkelvoudige rente: A = P(1 + in) Saamgestelde rente: 4 = P(1 + i)” waar A die finale bedrag is (die hoofsom plus rente) P die hoofsomwaarde is i die rentekoers is n die aantal tydperke is. Onthou, as die rentekoers 18% is, gebruik ons 18/100 = 0,18 in die formule. so } Via Aftika, » Wicka - Gran dn soni “oy snninn

Eenheid fa | Saamgestelde groei 1.1 Verskillende saamstellingstydperke e Wanneer jy ‘n lening aangaan of geld in ‘n rentedraende rekening belé, kan die rente jaarliks of meer gereeld saamgestel word. Dit hang van die kontrak af. ¢ ‘nRentekoers wat jaarliks gekwoteer, maar meer gereeld saamgestel word, word ‘n nominale of gekwoteerde rentekoers genoem. ¢ As die rentekoers n keer per jaar saamgestel word (veronderstel ‘n rentekoers van 13% word gebruik), is die koers wat ons in die formule gebruik 13%/n sodat ons die aantal saamstellingstydperke in die antwoord kan insluit. ¢ Meer gereelde saamstelling beteken dat die waarde van A, die finale bedrag, groter is. Voorbeeld 1 Josephine belé R102 000 vir drie jaar. Die bank kwoteer ‘n rentekoers van 12,5% per jaar, en gee vir haar ‘n keuse van verskillende saamstellingstydperke: © 12,5% halfjaarliks saamgestel © 12,5% kwartaalliks saamgestel © 12,5% maandeliks saamgestel © 12,5% daagliks saamgestel (gebruik 365 dae per jaar). Bepaal die saamstellingstydperk wat vir Josephine die beste opbrengs vir haar belegging sal gee. Laat P die oorspronklike bedrag wees wat belé is (R102 000), n die aantal saamstellingstydperke, en i die rentekoers per saamstellingstydperk. 0,125, 6 . )° = R146 748,55 (n = 3 jaar x 2 tydperke = 6) 2 Halfjaarliks: A = 102000(1 + Kwartaalliks: A = 102 000(1 +)" = R147 559,68 (n = 3 jaar x 4 tydperke = 12) 9475)36 = R148 121,54 (n = 3 jaar x 12 tydperke = 36) 12 Maandeliks: A = 102 000(1 + Daagliks: A = 102 000(1 + “=*)105 = R148 399,60 (n = 3 jaar x 365 tydperke = 1095) Die beste opbrengste sal dus deur daaglikse saamstelling gelewer word.

Eenheid a 1.2 Tydlyne ¢ Ons gebruik tydlyne wanneer ons met verskillende saamstellingstydperke binne ‘n enkele belegging of lening werk. Dit maak dit makliker om die koerse wat gebruik is oor tyd raak te sien. Voorbeeld 2 Musa leen R500 000 vir 20 jaar teen ‘n rentekoers van 10%, maandeliks saamgestel vir die eerste 15 jaar teen ‘n rentekoers van 18%, en halfjaarliks saamgestel vir die laaste 5 jaar. Ons kan dit op die volgende manier grafies voorstel: 15 jaar X 12 maande = 180 maande 5 jaar X halfjaarliks = 10 keer 1.3 Nominale en effektiewe rentekoerse e Wanneer ons aan die einde van elke saamstellingstydperk die rentekoers bereken, is die ware rentekoers wat aan die einde van die leningstydperk of beleggingstydperk verdien of betaal is, nie dieselfde as die gekwoteerde rentekoers nie. Hierdie rentekoers word die effektiewe rentekoers genoem, en word met die volgende formule bereken: jest = (1 + tnom/m)™ - 1 waar lege die effektiewe rentekoers is inom die nomale rentekoers is m die aantal saamstellingstydperke per jaar is. e As die nominale rentekoers jaarliks saamgestel word, sal die effektiewe rentekoers gelyk wees aan die nominale rentekoers. Voorbeeld 3 Bepaal die effektiewe jaarlikse rentekoers vir elk van die volgende nominale rentekoerse, ses } Vi y Afikas > Wicka na Guan dn . 109 snninn

Eenheid a korrek tot twee desimale plekke. 1 1.1 13,25% halfjaarliks saamgestel: 0,1325 lett = (L+— Z—)" — 1 = 0,136889062 of 13,69% 1.2 13,25% kwartaalliks saamgestel: ; 0,1325 jer = (1 + {7 -1 = 0,139230185 of 13,92% 1.3. 13,25% weekliks saamgestel: 0,1325. 52 = 0,141486632 of 14,15% jor = (1 + ye —1 1.4 13,25% daagliks saamgestel: 0,1325, 365 _ 365 ) bere = A+ = 0,141651566 of 14,17% 2 Watter een van die nominale koerse het die hoogste opbrengste gelewer? Die koers van 13,25% daagliks saamgestel lewer die beste opbrengste. so } Via Aftika, > Wickunde Gran dn snnnninnnnnnninnnnnnnnnnnnnnnn 110

Finansiéle waardevermindering verwys na die geleidelike verlies aan waarde oor tyd. Wanneer ‘n bate geleidelik waarde verloor, word dit waardevermindering genoem. 2.1 Lineére waardevermindering e Lineére waardevermindering word as ‘n persentasie van die oorspronklike waarde bereken. Dieselfde bedrag word vir elke saamstellingstydperk van die oorspronklike bedrag afgetrek. ¢ Die formule wat gebruik word om lineére waardevermindering te bereken, is: A = P(1- in) waar Pdie oorspronklike waarde van die bate is A die finale waarde van die bate is idie koers is waarteen die bate se waarde elke jaar verminder n die hoeveelheid jaar is waaroor die bate se waarde verminder. Voorbeeld 4 ‘n Trekker is in Mei 2008 vir R198 000 gekoop. Die waarde van die trekker verminder teen ‘n koers van 5% per jaar, op ‘n lineére basis. Bepaal die waarde na sewe jaar. Die trekker se waarde verminder met 5% per jaar: R198 000 x 5% = R9 900. Na sewe jaar sal die trekker R198 000 — (7 x R9 900) = R128 700 werd wees. Gebruik die formule: A = 198 000(1 — 0,05(7)) = R128 700. 2.2 Die afnemendebalans-metode ¢ Die afnemendebalans-metode verminder die waarde van ‘n bate deur die waardevermindering op die verminderde waarde van die bate aan die einde van elke saamstellingstydperk te bereken. e Die formule wat gebruik word om waardevermindering volgens die afnemendebalans-metode te bepaal, is: A= PQ-i" waar P die oorspronklike waarde van die bate is Adie finale waarde van die bate is idie koers is waarteen die bate se waarde per jaar verminder n die aantal jaar is waaroor die bate se waarde verminder. ses } Vi > Afikas » Wicka - Gran dn soni on snninn

Eenheidfeay Voorbeeld 5 n Trekker is in Mei 2008 vir R198 000 gekoop. Die waarde van die trekker verminder teen ‘n koers van 5% per jaar, op ‘n lineére basis. Bepaal die waarde van die trekker na sewe jaar. Die trekker se waarde verminder soos volg: Jaar1: Jaar 2: Jaar 3: Jaar 4: Jaar 5: Jaar 6: Jaar 7: 5% van R198 000 = R9 900 R198 000 - R9 900 = R188 100 5% van R188 100 = R9405 R188 100 - R9405 = R178 695 5% van R178 695 = R8 934,75 R178 695 - R8 934,75 = R169 760,25 5% van R169 760,25 = R8 488,01 R169 760,25 - R8 488,01 = R161 272,24 5% van R161 272,24 = R8 063,61 R161 272,24 - R8 063,61 = R153 208,63 5% van R153 208,63 = R7 660,43 R153 208,63 - R7 660,43 = R145 548,20 5% van R145 548,20 = R7 277,41 R145 548,20 - R7 277,41 = R138 270,79 Dus, na sewe jaar sal die trekker R138 270,79 wérd wees. Met die formule: A = R198 000(1 - 0,05)” = R138 270,79. 2.3 Saamgestelde toename en afname gekombineer ses } Vi > Afikas » Wicka na Gran dn soni on snninn In Graad 10 het jy geleer dat inflasie veroorsaak dat die pryse van goedere toeneem oor tyd. In die vorige afdeling het jy geleer dat waardevermindering veroorsaak dat bates se waarde oor tyd afneem. Wat sal gebeur as jy gevra word om die effek van albei in een vraag te bereken? Kyk na die volgende voorbeeld.

Eenheidfeay Voorbeeld 6 ‘n Hospitaal koop ‘n nuwe ambulans vir R899 995. Die ambulans se waarde verminder teen 12% per jaar (lineére metode). Die verwagte inflasiekoers vir die volgende tien jaar is 6,1% per jaar. Dit beteken dat die prys vir nuwe ambulanse oor die volgende 10 jaar sal toeneem. Bereken: 1 1.1. Die skrapwaarde van die ambulans na sewe jaar: P = 899995, n=7, i = 12% A = P(1- i)" = 899 995(1- 0,12)” = 367 805,99 1.2 Die koste van ‘n nuwe ambulans na sewe jaar: P = 899995, n=7, i = 12% A=P(1+i)" = 899995(1 + 0,12)’ = 1989 602,21 1.3. Die vderskil tussen die prys van ‘n nuwe ambulans en die skrapwaarde van die bestaande ambulans na sewe jaar. 1989 602,21 - 367 805,99 = 1621796,22 2 Bereken hoeveel die hospitaal nou moet belé teen ‘n rentekoers van 5,5% per jaar, maandeliks saamgestel, om na sewe jaar ‘n nuwe ambulans te kan bekostig. A= 162179622, n=7, i = 0,055 A=P(1+i)" 162179622= P(t “sy x 12 P = 1621796,22/(1 +“*)84 = 1104 523,39 ses } Vi > Afikas » Wicka na Gran dn soni ab snninn

Vrae Vraag 1 Watter een van die volgende beleggings sal na sewe jaar die grootste opbrengste lewer? 1.1 R61000 belé teen 15% per jaar, elke vier maande saamgestel 1.2. R61000 belé teen 14% per jaar, daagliks saamgestel. Vraag 2 ‘n Belegging bied R999 822 na tien jaar. Toe die belegging tien jaar gelede gemaak is, het die bank ‘n rentekoers van 3,2% per jaar, maandeliks saamgestel, aangebied. Bereken die oorspronklike beleggingsbedrag. Vraag 3 Dikeledi wil hé dat haar beleggingsbedrag se waarde vier maal soveel moet wees binne vier jaar. Teen watter rentekoers, kwartaalliks saamgestel, moet sy haar geld belé? Dink jy dat dit moontlik is? Vraag 4 Stephni het nege jaar gelede Rx in ‘n beleggingsrekening gedeponeer. Gedurende die eerste twee jaar het die belegging 12% per jaar, maandeliks saamgestel, verdien. Na twee jaar het Stephni R19 201,85 onttrek. Sy het die geld herbelé teen 7,5% per jaar, daagliks saamgestel. Na sewe jaar ontvang sy ‘n enkelbedrag van R3 111 052. Los op vir x, korrek tot die naaste sent. Vraag 5 Die opbrengs van ‘n belegging wat Larisse negentien jaar gelede gemaak het, is R5 825 156. Gedurende die eerste ses jaar is 9% per jaar rente verdien, jaarliks saamgestel. Gedurende die laaste dertien jaar het die belegging 12,4% per jaar rente verdien, maandeliks saamgestel. © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 114

Bereken die oorspronklike beleggingsbedrag. Vraag 6 Sam deponeer R30 125 in ‘n beleggingsrekening vir vyf jaar. Vir die eerste twee jaar verdien die belegging 13% rente per jaar, maandeliks bereken, en is R39 015,43 werd. Aan die einde van die beleggingstydperk ontvang Sam ‘n uitbetaling van R47 540,04. Bereken die rente wat in die laaste drie jaar van die belegging verdien is, kwartaalliks saamgestel. Vraag 7 Mnr. Mhlongo deponeer R10 000 in ‘n spaarrekening teen 4,32% rente per jaar, kwartaalliks saamgestel, vir 15 jaar. 7.1 Gebruik die nominale koers om die finale waarde van die belegging na 15 jaar te bereken. 7.2. Bepaal die effektiewe gelykstaande jaarlikse koers. 7.3. Bepaal of die effektiewe jaarlikse koers dieselfde finale waarde vir die belegging sal bied. Vraag 8 ‘n NRO ontvang ‘n donasie van 1 650 kg mieliesaad. 8.1 Bepaal vir hoeveel dae hulle vir arm gemeenskappe saad kan gee as hulle 3% per dag saad uitdeel met die lineére metode. Rond jou antwoord tot twee desimale plekke af. 8.2 Na hoeveel dae sal hulle 132 kg mieliesaad oorhé as hulle teen 8% per dag saad uitdeel met die lineére metode? Rond jou antwoord tot twee desimale plekke af. 8.3 ‘n Bekommerde lid van die gemeenskap vra dat hulle die donasies kan verminder sodat die saad vir 75 dae sal hou. Bereken watter persentasie hulle per dag kan uitdeel, korrek tot twee desimale plekke. Vraag 9 ‘n Dokter koop nuwe mediese toerusting ter waarde van R2 605 252 vir sy praktyk. 9.1 Bepaal die verminderde waarde van die toerusting na sewe jaar as die waardeverminderingskoers 12,5% per jaar is, op ‘n afnemende balans. © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 115

9.2 Bepaal die waardeverminderingskoers op ‘n afnemende balans as die toerusting se waarde na vier jaar na R650 000 verminder. Vraag 10 ‘n Plasmatelevisieskerm wat vier jaar gelede gekoop is is nou R1 260 werd. Bereken wat vier jaar gelede vir die skerm betaal is as die waardeverminderingskoers op ‘n afnemende balans 15% per jaar was. Vraag 11 ‘n Skool koop ‘n nuwe bus teen R1 250 000. Hulle weet dat die bus na vyf jaar vervang sal moet word. Hierdie soort bus se waarde verminder gewoonlik teen 17% op ‘n afnemende balans. Die verwagte gemiddelde inflasiekoers oor die volgende vier jaar is 6,02%. 11.1. Bereken: 11.1.1. die waarde van die bus na vyf jaar 11.1.2. die koste van ‘n nuwe bus na vyf jaar 11.1.3. die verskil tussen die koste van ‘n nuwe bus en die waarde van die ou bus na vyf jaar. 11.2 Aan die einde van die derde jaar skenk ‘n welgestelde ouer R75 000 aan die skool vir ‘n nuwe bus. As die skool hierdie donasie teen 12% per jaar belé, maandeliks saamgestel, sal hulle die verskil tussen die koste van ‘n nuwe bus en die herverkoopwaarde van die ou bus na vyf jaar kan dek? Vraag 12 Mnr. Gumede skenk 15 nuwe rekenaars aan sy plaaslike gemeenskapsentrum. Die rekenaars se huidige waarde is R45 000, en rekenaars se waarde verminder gewoonlik teen 10% op ‘n afnemende balans. Die sentrum sal die rekenaars na 2,5 jaar moet vervang. Die verwagte inflasiekoers is 7,26% jaarliks vir die volgende vier jaar. As Mev. Sithole (‘n ander welgestelde lid van die gemeenskap) R8 000 aan die gemeenskapsentrum skenk op dieselfde tyd as wat Mnr. Gumede die rekenaars skenk, en die sentrum die geld teen 15% per jaar (weekliks saamgestel) belé, sal hulle na 2,5 jaar genoeg geld hé om die rekenaars te vervang? Indien nie, hoeveel sal hulle nog nodig hé? ses 6 Via Akika»s Wiskuna Giada ssn ee sons

Hoofstuk a | Waarskynlikheid Oorsig Eenheid 1 Bladsy e Venn-diagramme 119 e Onderling uitsluitende gebeurtenisse e Komplementére gebeurtenisse Eenheid 2 Bladsy 121 Hoofstuk 11 Bladsy 118 Waarskynlikheid ¢ Reéls van waarskynlikheid Eenheid 3 Bladsy 122 ¢ Boomdiagramme vir afhanklike gebeurtenisse e Gebeurlikheidstabelle Waarskynlikheid word gebruik om gebeurlikhede te ontleed. Dit gee vir ons ‘n aanduiding van die antwoord op die vraag: “Sal die gebeurtenis plaasvind?”, sodat ons beter ingeligte besluite kan neem. In hierdie hoofstuk sal jy leer hoe om Venn-diagramme, onderling uitsluitende gebeurtenisse en komplementére gebeurtenisse te gebruik om die waarskynlikheid te bepaal. Jy sal ook leer hoe om boomdiagramme en gebeurlikheidstabelle te gebruik om die berekening van waarskynlikheid makliker te maak. ses } Vi > Afikas » Wicka na Gran dn soni a snninn

     o o  S = {KKK; KKM; KMK; MKK; KMM; MKM; MMK; MMM} 1/8 3/8 0 3/8 1/8

Eenheidffy 2 ‘n Skool gebruik drie boeke met verskillende kleure in hulle klasse — Rooi (R), Groen (G) en Blou (B). Uit die 400 leerders gebruik 150 R, 265 gebruik G en 135 gebruik B. Party leerders gebruik meer as een kleur boek. 160 het slegs G gebruik, 30 het slegs B gebruik, 30 het G en B gebruik en 25 het R en G gebruik. 2.1 Stel die data in ‘n Venn-diagram voor. 2.2. Hoeveel leerders het: 2.2.1 geen van die boeke gebruik nie? 2.2.2 al die boeke gebruik? 2.2.3 slegs B en R gebruik? 2.2.4 slegs R gebruik? 2.3. Wat is die waarskynlikheid dat ‘n leerder wat ewekansig gekies is die volgende sal gebruik: 2.3.1 geen van die boeke nie? 2.3.2 al drie kleure boeke? 2.3.3 slegs Ben R? 2.3.4 slegs R? 3 Laat S die aantal natuurlike getalle tussen 21 en 30 wees. Dus S = {21, 22, 23, ..., 30}. Laat K die stel priemgetalle tussen 21 en 30 wees, dus K = {23, 29}. Laat A die stel nie- priemgetalle tussen 21 en 30 wees, dus A = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30}. Ons sien dat: 3.1 3.2 3.3 3-4 ses } Vi > Afikas » Wicka na Gran dn soni “no snninn P(K) = 2/10 = 1/5 P(A) = 8/10 = 4/5 P(KenA) = 0 P(K) + (A) = 1/5 + 4/5 =1

Eenheid [ia Afhanklike en onafhanklike gebeurtenisse As die voorkoms van een gebeurtenis nie die voorkoms van ‘n ander gebeurtenis beinvloed nie, is die gebeurtenisse onafhanklik. As die voorkoms van een gebeurtenis die waarskynlikheid dat ‘n ander gebeurtenis sal plaasvind, beinvloed, is die gebeurtenisse afhanklik. 2.1 Reéls van waarskynlikheid ¢ Vermenigvuldigingsreél (onafhanklike gebeurtenisse): As P(A) en P(B) die waarskynlikheid dat gebeurtenisse A en B sal gebeur, voorstel, dan is die waarskynlikheid dat beide A en B sal gebeur P(A en B) = P(A) x P(B). ¢ Vermenigvuldigingsreél (afhanklike gebeurtenisse): As gebeurtenis B afhanklik is van gebeurtenis A, en as gebeurtenis B steeds na gebeurtenis A kan plaasvind, dan is die waarskynlikheid dat beide A en B sal gebeur P(A and B) = P(A) x P(BIA), waar P(BIA) die waarskynlikheid is dat B sal gebeur, indien A reeds gebeur het. © Optelreél 1: As Aen B twee onderling uitsluitende gebeure is en P(A) en P(B) stel die waarskynlikheid voor dat elkeen sal plaasvind, dan is die waarskynlikheid dat of A 6f B sal plaasvind, P(A of B) = P(A) + P(B). ¢ Optelreél 2: As Aen B twee gebeure is wat nie onderling uitsluitend is nie, en P(A) en P(B) stel die waarskynlikheid voor dat elkeen sal plaasvind, dan is die waarskynlikheid dat of A 6f B sal plaasvind, P(A of B) = P(A) + P(B) — P(A) x P(B). Voorbeeld 2 1 Brenda gooi eers ‘n rooi dobbelsteen, en dan ‘n groen dobbelsteen. Wat is die waarskynlikheid dat sy ‘n 6 op die rooi dobbelsteen en ‘n getal minder as 4 op die groen dobbelsteen sal gooi? P(6 op rooi) = 1/6 en P(minder as 4 op groen ) = 3/6 = 1/2 Dus, P(6 op rooi en minder as 4 op groen) = 1/6 xX 1/2 = 1/12 2 Gegee gebeurtenisse P en Q: P(P) =0,7 P(Q) = 0,2 P(P en Q) = 0,14 2.1 Is gebeurtenisse P en Q onderling uitsluitend? Verduidelik jou antwoord. Nee, P(P en Q) is nie gelyk aan 0 nie. 2.2 Is gebeurtenisse P en Q onafhanklik? Verduidelik jou antwoord. Ja, (P en Q) = P(P) x P(Q). ses } Vi > Afikas » Wicka - Gran dn soni So snninn

Eenheid a Boomdiagramme Boomdiagramme staan ook as waarskynlikheidsbome bekend, omdat hulle die waarskynlikheid van ‘n kombinasie van gebeurtenisse aandui. Elke tak op die boom stel ‘n enkele kombinasie voor. 3.1 Boomdiagramme vir afhanklike gebeurtenisse ¢ Die verskil tussen boomdiagramme vir afhanklike gebeurtenisse en boomdiagramme vir onafhanklike gebeurtenisse is dat die waarskynlikheid van afhanklike gebeurtenisse sal verander, omdat die waarskynlikheid van die tweede gebeurtenis afhanklik is van die eerste gebeurtenis. 3.2 Gebeurlikheidstabelle ¢ Gebeurlikheidstabelle word nie gebruik om data in ‘n tabel op te stel nie. Die data kan van opnames van enige vorm verkry word. e Wanneer die data in tabelvorm is, is dit maklik om te bereken of een veranderlike van ‘n ander een in die opname afhanklik is. ¢ Gebeurlikheidstabelle is veral nuttig wanneer ‘n opname oor mense in ‘n gemeenskap se menings oor iets wat gebeur het, of iets wat vir die gemeenskap beplan word, gemaak word. Voorbeeld 3 1 Daar is 40 gekleurde balle, ewe groot en met dieselfde vorm, in ‘n sak. Daar is 18 blou, 12 pienk, 5 geel en 5 swart balle. Twee balle word uit die sak getrek, een na die ander, sonder om die eerste bal terug te sit voor die tweede een getrek word.

1.1 Teken ‘n boomdiagram om die moontlike uitkomste te illustreer. Pienk (12/39) Geel (5/39) Swart | swart (5/39) | Blou Ea Pienk (12/4 Geel | ceel 5/39) | Swart | swart 6/30) | Blou Etcn Pienk | Pienk (2/39) | Geel (5/39) Swart | swart 6/30) | Blou (18/39) a= Geel Ez Swart | swart 6/39) | 1.2. Wat is die waarskynlikheid om die volgende balle te trek? Rond jou antwoorde tot twee desimale plekke af. 1.2.1 ‘nblou en dan ‘n pienk bal P(blou dan pienk) = 18/40 x 12/39 = 9/65 = 0,14 1.2.2. twee pienk balle P(twee pienk balle) = 12/40 x 11/39 = 11/130 = 0,08 1.2.3 ‘n geel en dan ‘n swart bal P(geel dan swart) = 5/40 x 5/39 = 5/312 = 0,02 2 ‘n Groep bejaardes is gevra of hulle die parkeerarea vir gestremdes by ‘n winkelsentrum gebruik. Uit die 400 bejaardes was 35 gestremd en 365 was nie gestremd nie. Die resultate van die opname is in die tabel hieronder: Gestremd Nie gestremd Totaal Gebruik parkering vir gestremdes 12 305 317 Gebruik nie parkering vir gestremdes 23 60 83 Totaal 35 365 400 so 6 Via Ahtika » Wiskunde Grand 7 snnnnnns sin a > a

Bereken die waarskynlikheid dat ‘n persoon wat ewekansig uit die steekproef gekies is: 2.1 gestremd is P(is gestremd) = 35/400 = 0,09 2.2 ‘n gestremde persoon is wat die parkering vir gestremdes gebruik P(gestremd en gebruik parkering vir gestremdes) = 12/400 = 0,03 2.3 nie gestremd is nie en nie die parkering vir gestremdes gebruik nie P(nie gestremd en gebruik nie parkering vir gestremdes) = 60/400 = 0,15 2.4 die parkering vir gestremdes gebruik en nie gestremd is nie. P(gebruik parkering vir gestremdes) Xx P(is nie gestremd) = 317/400 x 365/400 = 0,72 Rond jou antwoorde tot twee desimale plekke af. Vrae Jy gooi ‘n dobbelsteen en ‘n muntstuk. 1.1 Wat is die steekproefruimte? 1.2. Wat is die waarskynlikheid dat jy die volgende sal gooi: 1.2.1 ‘n onewe getal en ‘n munt? 1.2.2 ‘n priemgetal en kruis? 1.2.3 ‘n getal minder as vyf en ‘n munt? 1.2.4 ‘n ewe getal en ‘n kruis? ‘n Groep van 150 werknemers is gevra of hulle Microsoft Office Excel of OpenOffice.org Calc gebruik. 72 van hulle het gesé hulle gebruik Excel, 78 het gesé hulle gebruik Calc, en 15 het gesé hulle gebruik nie een van die twee nie. 2.1 Teken ‘n Venn-diagram om hierdie inligting voor te stel. 2.2 Hoeveel werknemers het die volgende gebruik: 2.2.1 albei programme? 2.2.2 slegs Calc? 2.2.3 slegs Excel? ses 6 Via Ahika»s Wiskunde Grad a ssn “3

2.2.4 nie Excel of Calc nie? Wat is die waarskynlikheid dat ‘n werknemer wat ewekansig gekies is die volgende sal gebruik: 2.3.1 albei programme? 2.3.2 slegs Calc? 2.3.3 slegs Excel? 2.3.4 nie Excel of Calc nie? Vraag 3 ‘n Vyfkantige dobbelsteen word gegooi. Wat is die waarskynlikheid dat dit op die volgende getalle sal land: 3.1 ‘ngetal kleiner as 4? 3.2 ‘ngetal groter as 4? 3.3. ‘ngetal groter as of gelyk aan 4? 3.4 ‘n getal wat deelbaar is deur 3? 3.5 ‘n getal wat nie deelbaar is deur 3 nie? 3.6 Wat kan jy oor die datastelle in 3.4 en 3.5 en die stelle in 3.1 en 3.3 sé? Vraag 4 ‘n Sportklub het vir die lede gevra watter sportsoort hulle verkies. Daar is 250 lede in die klub, waarvan: ~~ OVin hikes WiskundeG@aadi sou “a 180 van rugby hou (R) 95 van sokker hou (S) 40 van korfbal hou (K) 70 van rugby en sokker hou 16 van al drie sporte hou 5 van sokker en korfbal hou 235 van rugby of sokker of korfbal hou Teken ‘n Venn-diagram gebaseer op die gegewe inligting. Hoeveel lede hou nie van een van die drie sportsoorte nie? Hoeveel lede hou van korfbal en sokker, maar nie rugby nie? Wat is die waarskynlikheid dat ‘n lid van die klub wat ewekansig gekies is van ten minste twee van die sportsoorte hou?

Vraag 5 Die waarskynlikheid dat ‘n gebeurtenis sal plaasvind is 2/5, die waarskynlikheid dat gebeurtenis B sal plaasvind is 5/12 en die waarskynlikheid dat gebeurtenis C sal plaasvind is 1/3. Wat is die waarskynlikheid dat: 5.1 AofCsal plaasvind? 5.2 Nie A of B sal plaasvind nie? Vraag 6 Die waarskynlikheid vir reén in Port Louis, die hoofstad van Mauritius, is 95% in Februarie. Die waarskynlikheid van ‘n fees in droé weer is 32% gedurende Februarie, en een-en-‘n-half keer meer moontlik as dit nat is. 6.1 Teken ‘n boomdiagram om alle moontlike gebeurtenisse en hulle waarskynlikheid uit te beeld. 6.2 Wat is die waarskynlikheid dat: 6.2.1 daar ‘n fees sal wees? 6.2.2 daar nie ‘n fees in nat weer sal wees nie? Vraag 7 ‘n Opname is onder 4 895 mense gedoen om te bepaal of die drink van meer as 5 koppies koffie per dag van geslag afhanklik is. Hulle antwoorde word hieronder gegee. Meer as 5 koppies Minder as 5 koppies Totaal Vroulik (a) 1565 (b) Manlik 1485 (c) 2658 Totaal 2157 (d) 4895 7.1 Voltooi die tabel. 7.2. Wat is die waarskynlikheid dat: 7.2.1 ‘n vrou meer as 5 koppies koffie per dag sal drink? 7.2.2 ‘n persoon vroulik sal wees? 7.2.3 ‘n persoon ‘n been sal breek? 7.3. Bepaal of die drink van meer as vyf koppies koffie per dag van geslag afhanklik is. Ondersteun jou antwoord met toepaslike berekeninge, afgerond tot twee desimale plekke. © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 125

‘n Motorvervaardiger bied twee soorte ratkasse in sy beginnersklasmodel — ouotomaties (OT) of handgedrewe (HG). Kopers kan kies tussen petrol-(P), diesel- (D) of ‘n hibried-(H) enjin, en die motors het die volgende kleure: rooi (R), silwer (S) of swart (Sw). 8.1 Teken ‘n boomdiagram om al die moontlike opsies aan te dui. 8.2 Wat is die waarskynlikheid dat ‘n motor wat ewekansig gekies is: 8.2.1 swart is? 8.2.2 ‘n outomatiese motor met ‘n hibriedenjin is? 8.2.3 ‘n handgedrewe motor met ‘n dieselenjin en rooi is? 8.2.4 ‘n petrolenjin het en silwer is? ~~ OVin hikes WiskundeG@aadi sou Seo

Hoofstuk a2 | Statistiek Oorsig Hoofstuk 12 Bladsy Statistiek Eenheid 1 Bladsy 129 Eenheid 2 Bladsy 131 Eenheid 3 Bladsy 132 128 Eenheid 4 Bladsy 133 Eenheid 5 Bladsy 135 Eenheid 6 Bladsy 137 Statistiek is die studie van inligting of data en die ontleding en vertolking daarvan om ingeligte besluite te neem. Ingeligte besluite is beter besluite, en is veral nuttig wanneer jy geld in die aandelebeurs wil belé. In hierdie hoofstuk gaan jy leer van histogramme, wat gebruik word om gegroepeerde data en frekwensieveelhoeke voor te stel, en ogiewe wat gebruik word om kumulatiewe frekwensie voor te stel. Jy sal ook die variansie en standaardafwykings wat gebruik word om die spreiding van data te beskryf, verken, en leer om uitskieters te identifiseer. Hier is ‘n vinnige terugblik op wat jy alreeds weet: Ongegroepeerde data Gegroepeerde data Maatstawwe van ligging (gemiddelde, mediaan, modus) Maatstawwe van ligging Maatstawwe van dispersie (variasiewydte, kwartiele, persentiele en desiele, interkwartielvariasiewydte, Die geskatte gemiddelde, die modale klas, die klas wat die mediaan bevat semi-interkwartielvariasiewydte) Vyfgetal-opsomming ses } Via Aftika, > Wickunde Gran dn nnn 127

Eenheid fa | Histogramme n Histogram is ‘n grafiese voorstelling van gegroepeerde data. Dit bestaan uit stawe, soos ‘n staafgrafiek, maar daar is geen gapings tussen die stawe van ‘n histogram nie. Die wydte van ‘n staaf van ‘n histogam is gelyk aan die wydte van ‘n klasinterval, en die hoogte van ‘n staaf kom ooreen met die frekwensie in daar die klasinterval. Klasintervalle het gewoonlik dieselfde lengte, met ‘n boonste en onderste grens, en die middelpunt van die klasinterval word die klaspunt genoem. Die modale klas word deur die hoogste staaf voorgestel. Die mediaan sal binne een van die klasintervalle val. Hoe om ‘n histogram te teken: 1. Teken ‘n stel asse, met die klasintervalle aangedui op die horisontale as. 2. Merk gelyke intervalle op die vertikale as, en maak seker dat die vertikale as die hoogste frekwensie (soos in die frekwensietabel aangedui) sal kan insluit. 3. Teken die stawe om ooreen te stem met die frekwensies (soos gelees van die frekwensietabel) van die laagste tot die boonste grens van die klasinterval, en kleur die staaf in. Onthou, die hoogte van die stawe moet met die frekwensies in die klasintervalle ooreenstem. Voorbeeld 1 Die aantal e-boeke wat per uur op ‘n internetwinkel se webblad verkoop word oor ‘n tydperk van 1 dag, is as volg opgeteken: 2, 9, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 20, 21, 24, 25, 27, 36, 37, 38, 45, 47, 48, 56, 58, 63, 72, 75- Die volgende frekwensietabel stel hierdie data voor: e-Boeke per uur verkoop Osx<10 | 10<x<20 | 20<x<30 | 30<5x<40 | 40<x<50 | 50<x<60 | 60<x<70 | 70<x<80 Frekwensie 2 5 6 3 3 2 1 2

1 Teken ‘n histogram om die data voor te stel. e-Boeke per uur verkoop XN S/ 2 Bepaal die modale klas. Die modale klas word deur die hoogste staaf voorgestel. Die modale klas is dus 20 < x < 30. 3 Bepaal die klas wat die mediaan bevat. Daar is 24 datapunte in totaal. Die mediaan is dus die gemiddelde van die 12de en 13de waardes. Dit beteken dat die 12de en 13de datawaardes in die derde interval 1é, 20 < X<30. a } Vi ~ Aika» Wick aeGand a soni bo snninn

Eenheid [ia Frekwensieveelhoeke ‘n Frekwensieveelhoek is ‘n gebrokelyn-grafiek wat gebruik word om gegroepeerde data voor te stel. Ons teken ‘n frekwensieveelhoek deur met ‘n histogram te begin en al die klaspunte aan die bokant van die stawe met reguit lyne te verbind. Onthou om jou frekwensieveelhoek aan elke kant van die histogram te anker. Dit is ook moontlik om ‘n frekwensieveelhoek sonder die hulp van ‘n histogram te teken. Ons doen dit as volg: Gebruik die frekwensietabel om die klaspunt vir elke klasinterval te breken. 2. Teken ‘n stel asse vir die data, en dui elkeen van die frekwensies wat met die klasinterval ooreenstem daarop aan. 3. Verbind die punte om die frekwensieveelhoek te skep. 4. Onthou om jou frekwensieveelhoek aan albei kante te anker. Voorbeeld 2 Teken ‘n frekwensieveelhoek vir die datastel in Voorbeeld 1 van Hoofstuk 12. e-Boeke per uur Klaspunt Frekwensie verkoop 0<x < 10 5 2 10 < x < 20 15 5 20 < x < 30 25 6 30 < x < 40 35 3 40 < x < 50 45 3 50 < x < 60 55 2 60 <x < 70 65 1 70 < x < 80 5 2 (CO >) ee per uur verkoop x \ / \ Fagkwensie Ne SZ Aantal e-boeke verkoop \ S

’n Ogief is ’n grafiek wat kumulatiewe frekwensie voorstel. ’n Ogief word ook ’n kumulatiewe frekwensiegrafiek genoem. Die kumulatiewe persentasie word op die vertikale as gebruik, en daarmee kan ons nuttige maatstawwe vind, soos die mediaan. Ons kan ook ‘n ogief gebruik om kwartiele te lees, om ‘n houer-en-puntstipping te konstrueer en om persentasies te lees. Hoe om ‘n ogief te teken: Gebruik die frekwensietabel om ‘n kumulatiewe frekwensietabel te konstrueer. 2. Bereken die kodrdinate vir die punte wat gestip moet word: die boonste grens van elke interval teen die kumulatiewe frekwensie. 3. Verbind die punte met ‘n egalige kromme, voeg ’n interval links van die eerste een by en verbind die ogief met die horisontale as. Voorbeeld 3 Teken ‘n ogief vir die datastel in Voorbeeld 1 van Hoofstuk 12. Klasintervalle Frekwensie Kumutatiewe Punte om te frekwensie stip 0<x< 10 2 2 (10; 2) 10 < x < 20 5 7 (20; 7) 20 < x < 30 6 13 (30; 13) 30 < x < 40 3 16 (40; 16) 40 <x < 50 3 19 (50; 19) 50 < x < 60 2 21 (60; 21) 60 <x < 70 4 22 (70; 22) 70 <x < 80 2 24 (80; 24) a >) Ogief Kynfillatiev Klaspunt

Eenheid Fa | Variansie en standaardafwyking van ongegroepeerde data Wanneer ons ‘n akkurate beskrywing van die spreiding van data nodig het, kyk ons hoe die individuele items van die gemiddelde afwyk. Omdat die som van die verskille o is, gebruik ons die kwadraat van die afwykings en bereken die variansie, (s”): s* = (Z(x; — %)*)/n Hierdie statistiek is baie nuttig, maar ons kan dit nie direk gebruik nie, want die eenhede is nie dieselfde as in die steekproefdata nie. Om hierdie probleem aan te spreek, neem ons die vierkantswortel van die variansie om die standaardafwyking te bereken: (S):s = v s? As die standaardafwyking klein is, beteken dit dat die waardes rondom die gemiddelde saamgebondel is. As die standaardafwyking groot is, beteken dit dat die waardes vér weg van die gemiddelde versprei is. Wanneer ‘n datastel normaal versprei is, kan ons sé dat: ¢ 68% van die waardes lé in een standaardafwyking. © 95% van die waardes 1é in twee standaardafwykings. ¢ 99,7% van die waardes 1é in drie standaardafwykings. Voorbeeld 4 Bereken die variansie en die standaardafwyking van die volgende datastel: 15; 21 1; 93 5; 133 19; 7 x; (xi- X) (x;- x)” 15 3575 14,0625 21 9.75 95,0625 1 -10,25 105,0625, 9 2,25 5,0625 5 -6,25, 39,0625 13 1,75 3,0625 19 175 60,0625 7 “4,25 18,0625 n=8, =90/8=11,25 = 339.5

Gebruik jou sakrekenaar om die standaardafwyking te bereken Veronderstel dat ons die volgende klein datastel het: 10, 12, 14, 15, 18, 21. Om die standaardafwyking met ‘n Sharp EL531WH sakrekenaar te bereken(dit is die sakrekenaar wat die meeste leerders gebruik, maar die proses is dieselfde met ander sakrekenaars): Druk Jy sal sien Mode10 STAT 0 10 DATA Data set 1 12 DATA Data set 2 14 DATA Data set 3 15 DATA Data set 4 18 DATA Data set 5 21 DATA Data set 6 RCLn 6 RCLx xX=15 RCL sx SX=4 RCL ox Ox= 3,6515 RCL2x =x=90 Let daarop dat sx die standaardafwyking van ‘n steekproef en Ox die standaardafwyking van ‘n populasie is. ses } Via Aftika, » Wicka nae Guan dn snnnninnnnnnninnnnnnnnnnnnnnnn 133

Eenheid rs | Simmetriese en skewe data ’n Verspreiding is skeef as een van sy sterte (van die mediaan na die punt) langer as die ander een is. Dit kan grafies op ’n houer-en-punt-stipping of frekwensieveelhoek aangedui word. Daar is drie verskillende moontlikhede wat jy moet onthou: 1 Die data is simmetries om die mediaan. Dit beteken dat die gemiddelde gelyk is aan die mediaan. mean/median 2 Die data is skeef na links of negatief skeef. Dit beteken dat die gemiddelde kleiner is as die mediaan. mean median Med a, Max <<. < < < median > mean 3 Die data is skeef na regs of positief skeef. Dit beteken dat die gemiddelde groter is as die mediaan. mean median Min Q. Med Q, Max Y Y y y Y median < mean Wanneer data grafies voorgestel word, is dit makliker om die waardes wat nodig is om die data te ontleed, af te lees.

Eenheid Ls | Voorbeeld 5 Die houer-en-puntstipping van twee stelle data (A en B) word in die volgende diagramme getoon, met al die nodige datawaardes. Datastel A: fo} 80 100 120 200 Datastel B: 0 90 110 140 200 1 Watter datastel is meer simmetries? Datastel A is meer simmetries. 2 Watter datastel het die groter interkwartiel variasiewydte? Datastel B het die grootste interkwartiel variasiewydte. 3 Vir die skewe datastel, dui aan of dit skeef na links of skeef na regs is. Datastel B is skeef na links. ses } Vi > Afikas » Wicka na Gran dn soni be snninn

Eenheid 6 | Identifiseer van uitskieters e¢ Wanneer data ingesamel of ontleed word, is dit maklik vir die persoon wat die data aanteken om ‘n fout te maak. ‘n Fout kan ook insluip wanneer die data op rekenaar vasgelé word vir latere ontleding. ¢ Uitskieters is uiterste waardes (dit verskil baie van die res van die waardes) wat korrek kan wees, of foutief kan wees as gevolg van ‘n aantekeningsfout. ¢ Ons identifiseer gewoonlik uitskieters deur data grafies voor te stel. Die mees algemene manier is met ‘n spreidingsdiagram. ¢ Spreidingsdiagramme dui die verspreiding van tweeveranderlike data aan, en kan een van verskeie vorms aanneem. Vir ons doeleindes sal die meeste spreidingsdiagramme punte hé wat ‘n patroon (of neiging) vorm, wat soos ‘n reguitlyn lyk. Ons kan ‘n “lyn wat die beste pas” deur hierdie data trek deur ‘n reguit lyn deur soveel as moontlik van die punte te trek, met (so ver as moontlik) net soveel punte bokant die lyn as daaronder. Die lyn wat die beste pas kan gebruik word om toekomstige waardes vir die datastel te voorspel. ¢ Die houer-en-punt-stipping is nog ’n diagram wat ons kan help om uitskieters te identifiseer. Hier definieer ons ’n uitskieter as enige waarde groter (of kleiner) as 1,5 maal die interkwartielvariasiewydte. Voorbeeld 6 Gaan die volgende datastelle na vir uitskieters: 1-25, 28, 33, 35, 41, 62 Min = 25 Q, = 26,5 Mediaan = (33 + 35)/2 = 34 Q,= 51,5 Maks = 62 Interkwartielvariasiewydte = 51,5 — 26, 5 = 25 1,5 x 25 = 37,5 Dus, enige lesing onder 26,5 — 37,5 = -11 of enige lesing bo 51,5 + 37,5 = 89 is ‘n uitskieter. -. Hierdie datastel het nie uitskieters nie. 2 11, 45, 48, 50, 51, 52, 53, 59, 62, 64, 69 Min = 11 Q,=48 Mediaan = 52 Q, = 62 Maks = 69 Interkwartielvariasiewydte = 62 - 48 = 14 1,5 x14 =21 Dus, enige lesing onder 48 — 21 = 27 of enige lesing bo 62 + 21 = 83 is ‘n uitskieter. .. 11 is ‘n uitskieter in hierdie datastel. ses } Vi > Afikas » Wicka - Gran dn soni “36 snninn

Ww 1, 35 5 29, 32, 35, 38, 41, 89, 92, 96, 102 Min =1 Q1=5 Mediaan = 36,5 Q3 = 92 Maks = 102 Interkwartielvariasiewydte = 92 — 5 = 871,5 x 87 = 130,5 Dus, enige lesing onder 5 - 130,5 = -125,5 of enige lesing bo 102 + 130,5 = 232,5 is ‘n uitskieter. .. Hierdie datastel het nie uitskieters nie. Vrae Om die Wiskundige Geletterdheidsvlakke onder jongmense te verhoog het die Departement van Onderwys 50 twintigjariges se vaardighede getoets. Hulle het toe ‘n kursus bygewoon, en na die kursus is hulle vaardighede weer getoets. Na die kursus was hulle punte (in persentasievorm): 15, 17, 19, 26, 28, 35, 39, 41, 41, 42, 45, 45, 45, 45, 47, 52, 53, 54, 57, 59, 55, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 68, 67, 72, 75, 74, 78, 81, 82, 82, 82, 82, 82, 82, 91, 95, 92, 99, 98, 94 1.1 Stel hierdie data in ‘n frekwensietabel met intervalle van 10 voor. 1.2. Gee die modus. 1.3. In watter klas sal die mediaan wees? 1.4 Teken ‘n histogram van die data. 1.5 Konstrueer ‘n frekwensieveelhoek op die histogram. ‘n Opname is by ‘n klein plaasskool gedoen om vas te stel hoe ver leerders daagliks skool toe moet reis. Die histogram hieronder stel die resultate van die opname voor: ~~ OVin hikes WiskundeG@aadi sou yo

Afstand gereis na plaasskool Ne y, 2.1. Bereken die geskatte gemiddelde reistyd deur die frekwensietabel te gebruik. 2.2 Gee die modale klas. 2.3. Teken ‘n frekwensieveelhoek. Stel die volgende data in ‘n ogief voor. Wys hoe jy die ogief sal gebruik om die mediaan, onderste en boonste kwartiele af te lees. Interval Frekwensie 10<x< 20 | 25 20< x < 30 | 37 30< x < 40 | gs 40< x < 50 | gg 50< x < 60 | 52 60<x<70 | 46 70 <x <80 | 42 ‘n Ogief wat aandui hoeveel bestuurders die spoedgrens oorskry, en met hoeveel kilometer per uur hulle dit oorskry, word hieronder gegee. © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 138

Bestuurders wat spoedgrens _, oorskry a Va [ | [ Kumulatieweg—__d” A uiometer per uur waarmee spoedgrens oorskry word 4.1 Hoeveel bestuurders oorskry die spoedgrens? 4.2. Hoeveel bestuurders oorskry die spoedgrens met meer as 20km/h? 4.3. Konstrueer ‘n kumulatiewe frekwensietabel vir die gegewe data. Bereken die variansie en standaardafwyking vir die volgende datastel: 155, 142, 169, 133, 189, 128, 175, 168, 135 ‘n Opname is gedoen van die gewig van 10 000 volwasse vroulike koi visse in broeitenke. Die gemiddelde gewig van ‘n volwasse vroulike koi vis was 7,5 kg, met ‘n standaardafwyking van 2 kg. 6.1 Hoeveel van die visse het tussen 5,5 kg en 9,5 kg geweeg? 6.2 Hoeveel het minder as 3,5 kg geweeg? 6.3. Watter persentasie van die koi het meer as 15,5 kg geweeg? 6.4 Het enige van die koi meer as 20 kg geweeg? Indien wel, hoveel? © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 139

Vraag 7 m cf 3 > 2. = Die gemiddelde uurlikse tarief waarvoor ‘n Wiskunde-redigeerder werk, is R280 met ‘n standaardafwyking van Rs8. ‘n Besigheidstudies-redigeerder vra R230 met ‘n standaardafwyking van R23, en ‘n Kuns en Kultuur-redigeerder vra R180 met ‘n standaardafwyking van R69. ‘n Wiskunde-redigeerder vra R350 per uur, ‘n Besigheidstudies-redigeerder vra R195 per uur, en ‘n Kuns en Kultuur-redigeerder R210 per uur. Watter redigeerder is relatief duurder? Vraag 8 ‘n Groep student-boekhouers word getoets met die tyd wat dit hulle neem om 3 000 woorde te tik. Hulle tye, in sekondes, is: 125, 99, 134, 149, 138, 124, 133, 146, 117, 137 8.1 Bereken die gemiddelde tyd wat dit neem om 3 000 woorde te tik. 8.2 Bereken die standaardafwyking van die tyd wat dit neem om 3 000 woorde te tik. 8.3. Hoeveel van die student-boekhouers het die 3 000 woorde binne twee standaardafwykings van die gemiddeld voltooi? Vraag 9 Kyk na die houer-en-puntstipping hieronder. 9.1 Skryf die vyfgetal-opsomming neer. 9.2 Bepaal die semikwartiel-variasiewydte. 9.3 Lewer kommentaar oor die verspreiding van die data. Watter tipe data, dink jy, kan dit voorstel? 9.4 Lewer kommentaar oor die skeefheid van d ie data. © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 140

Teken spreidingsdiagramme vir die volgende stelle pare. Dui enige uitskieters aan. 10.1 10.2 10.3 ~~ OVin hikes WiskundeG@aadi sou “ao

Eksamenvraestelle WISKUNDEVRAESTEL 1 Punte: 150 Tyd: 3 uur INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies noukeurig deur voordat jy die vraestel beantwoord: 1 Hierdie vraestel bestaan uit 7 vrae. Beantwoord AL die vrae. 2 Wys AL die bewerkings, diagramme, grafieke, ensovoorts wat jy gebruik het om die vrae te beantwoord DUIDELIK. 3 ‘n Goedgekeurde wetenskaplike sakrekenaar (nie-programmmeerbaar en nie-grafies) kan gebruik word, tensy anders aangedui. 4 Antwoorde moet tot TWEE desimale plekke afgerond word, tensy anders aangedui. 5 Nommer jou antwoorde volgens die nommersisteem wat in hierdie vraestel gebruik is. 6 Diagramme in die vraestel is nie noodwendig volgens skaal geteken nie. 7 Dit is vir jou eie beswil om leesbaar (duidelik) te skryf en jou werk netjies aan te bied. VRAAG1 14 Los op vir xin elk van die volgende: 1d ox(x — 6) =15 1.1.2 KX -—4X2>-4 1.1.3 1/2X-17K=5 1.2 Kyk na die vergelyking: 1/(x- 9) +2=3x/(9-») 1.2.1 Hoekom is x# 9? 1.2.2 Kan x= 37? 1.2.3. Los die vergelyking op. 13 Los op vir xen yin die sisteme hieronder: 1.3.1 2x+2y=2 en 2x+4V=4 13.2 4x+6y-5=0 en 2X -7y = 15y 14 Sibusiso hou hoenders in ‘n reghoekige hoenderhok in sy ouers se agterplaas aan. Die hok het ‘n vloeroppervlak van 20 m’. Hy wil die hok groter maak om die hoenders meer gemaklik te maak. Hy vergroot die breedte met ‘n faktor van 1,2 en hy verdriedubbel die lengte. Met watter faktor het die oppervlakte van die hoenderhok vergroot? Wat is die omtrek van die nuwe grootte van die hoenderhok? (Wenk: laat die breedte van die oorspronklike hoenderhok x wees, en die lengte y.) VRAAG 2 21 Vereenvoudig die volgende: 241 (4x)?/4x? 2.1.2 3v(512x"5) + 3V(27x"5) 2.1.3 V5(V5 + V10)- V4 (Los jou antwoord in die eenvoudigste wortelvorm) 2.2 Los op vir x: 2.2.1 4.4% = 1024

Eksamenvraestelle 2.2.2 Te -T=-42 2.2.3 2.3%=54 VRAAG 3 3.1 Kyk na die volgende patrone van sirkelvormige klippies 5 14 27 3.1.1 Hoeveel klippies is in die volgende rangskikking? 3.1.2. Hoeveel klippies is daar in die nde rangskikking? 3.1.3. Hoeveel klippies is daar in die 16de rangskikking? 3.1.4 Watter rangskikking het 779 klippies? 3.2 Kyk na die ry: 1; a; 13; b; 33. Die ry het ‘n konstante tweede verskil van 2. 3.2.1. Bepaal die waardes van aen b. 3.2.2. Bereken die nde term (algemene term) van die ry. VRAAG 4 4a Fazeela wil haar eie bemarkingsmaatskappy begin en sy besluit om ‘n groot drukker te koop om aan haar kliénte ‘n diens te kan verskaf. Die drukker kos R350 000. 4.1.1 Haar vennoot, Mohammed, sé dat die drukker se waarde teen 18% per jaar verminder op ‘n reguitlyn-basis. Hoe lank sal dit neem voordat sy die toerusting moet afskryf? 4.1.2 Fazeela se boekhouer dink dat sy die toerusting se waarde teen 25% per jaar moet verminder op ‘n afnemende balansbasis en dit na vier jaar moet verkoop. Bereken die waarde van die drukker na vier jaar, en gee jou antwoord korrek tot die laaste sent. 4.2 Kyk na die twee lenings hieronder. Bereken watter lening jou oor ‘n lang tydperk minder sal kos. Regverdig jou antwoord deur al jou bewerkinge te wys. Lening 1: 12% per jaar, halfjaarliks saamgestel, of Lening 2: 10% per jaar, kwartaalliks saamgestel. 43 Danie erf R78 000 en besluit om die erfgeld teen ‘n rentekoers van 12% per jaar, maandeliks saamgestel, te belé, sodat hy albei sy kinders universiteit toe kan stuur. Retha, sy dogter, begin presies twee jaar later met universiteit, en hy onttrek R65 000 om vir haar eerste jaar se studies te betaal. Nadat hy die geld onttrek het, verander die rentekoers na 8% per jaar, kwartaalliks saamgestel, en die geld word vir nog drie jaar teen hierdie koers belé. Na die drie jaar verander die rentekoers na 19% per jaar, halfjaarliks saamgestel, vir nog twee jaar. Hoeveel geld sal Danie beskikbaar hé om vir sy seun se universiteitstudies te betaal aan die einde van die beleggingsperiode? VRAAG 5 Gegee die funksies f(x) = -3/4 (x + 3)’ — 6 en g(x) = 3x + 4: 5.1 Skryf die koérdinate van die draaipunt van f neer. 5.2 Bereken die wortels van die vergelyking f(x) = 0. 5.3 Skryf die vergelyking van die simmetrie-as van f neer.

Eksamenvraestelle 5.4 Skets die grafieke van y = f(x) en y = g(x) op dieselfde stel asse. 5.5 Bepaal die vergelyking van h(x) verkry deur f(x) drie eenhede na regs te skuif. 5.6 Bepaal die vergelyking van k(x) verkry deur g(x) een eenheid na bo en twee eenhede na regs te skuif. VRAAG 6 Hieronder is die grafieke van r(x) = 5/(x + 2)- 3 ens(x)=x+4. ——__ 6.1 Bepaal die kodrdinate van A en B. 6.2 Skryf die vergelyking vir die horisontale asimptoot van r(x) neer. 6.3 Skryf die definisieversameling van r(x) neer. 6.4 Bereken die kodrdinate van die punt waar r(x) en s(x) sny. 6.5 Skryf die nuwe vergelyking neer as s(x) op die x-as gereflekteer is. 6.6 Skryf die nuwe vergelyking neer as r(x) op die y-as gereflekteer is. 6.7 Bepaal die kodérdinate van H waar GH loodreg met die x-as is. VRAAG7 Die funksies van m(x) = 3°? en n(x) = 3’ “is hieronder geskets. Aen Bis snypunte van die twee grafieke met die y-as. Cis die snypunt van die twee grafieke. DEF is parallel tot die y-as met D en E op die twee grafieke.

Eksamenvraestelle Jal Bepaal die lengte van AB. 7.2 Gegee dat OF =2 eenhede, bepaal die gemiddelde gradiént tussen die punte. 7.2.1 AenE 7.2.2 BenD 7.2.3 Bepaal dan watter kromme steiler is: x = 0 of x = 2? 73 Bepaal die kodrdinate van C.

Eksamenvraestelle WISKUNDEVRAESTEL 2 Punte: 150 Tyd: 3 uur INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies noukeurig deur voordat jy die vraestel beantwoord: 1 Hierdie vraestel bestaan uit 7 vrae. Beantwoord AL die vrae. 2 Wys AL die bewerkings, diagramme, grafieke, ensovoorts wat jy gebruik het om die vrae te beantwoord DUIDELIK. 3 ‘n Goedgekeurde wetenskaplike sakrekenaar (nie-programmmeerbaar en nie-grafies) kan gebruik word, tensy anders aangedui. 4 Antwoorde moet tot TWEE desimale plekke afgerond word, tensy anders aangedui. 5 Nommer jou antwoorde volgens die nommersisteem wat in hierdie vraestel gebruik is. 6 Diagramme in die vraestel is nie noodwendig volgens skaal geteken nie. 7 Dit is vir jou eie beswil om leesbaar (duidelik) te skryf en jou werk netjies aan te bied. VRAAG1 P(5; 0), Q(-3; -3), RC6; 3) en S(3; 9) is die vlakke van ‘n vierhoek op die Kartesiese vlak. ¥ »H» S(3: 9) RC: 3), < > V4 P(S: 0) yoy Bepaal: 1a Die gradiént van RQ. 1.2 Die vergelyking van RQ. 13 Is RQ parallel tot SP? Wys al jou berekeninge. 1.4 Die inklinasie van PQ. VRAAG 2 Die vlakke van ‘n driehoek op die Kartesiese vlak is A(-2; -2), B(4; 5) en C(4; 2). CD 1 AB. 21 Bepaal die lengte van BC. 2.2 Bepaal die vergelyking van CD. 2.3 Watter tipe driehoek is dit? Gee redes vir jou antwoord. VRAAG 3 ‘n Arend sweef in die lug by punt B en kan twee klein diertjies sien — ‘n duif by punt C en ‘n muis by punt D. Die inklinasiehoek tussen die arend en die muis is y, en tussen die arend en die duif is x. Die duif is 12 meter reg bo die muis en die arend is reg bo punt A. Die horisontale lyn CE is parallel met AD.

Eksamenvraestelle 3a Bepaal die grootte van C*BD. 3.2 Bepaal die lengte van BD in terme van x en y. 33 Bepaal nou die lengte van AB in terme van x en y. 3.4 As x = 38° en y = 43,21°, bepaal die werklike lengte van AB, korrek tot twee desimale plekke. VRAAG 4 4a ‘n Seshoekige pizza het sylengtes van 7 cm. Bereken die oppervlakte van die pizza. 4.2 As 5 van die pizza’s op mekaar geplaas word, en elke opeenvolgende pizza se sykante is 0,5 mm minder as die vorige een, bereken die oppervlakte van die boonste pizza. 43 ‘n Pakkie lekkers het ‘n halfrond onder en ‘n silinder bo-op. Die omtrek van die silinder is 4 cm en die hoogte is 10 cm. Bepaal die volume van die pakkie lekkers. VRAAG 5 5.1 Die houer-en-puntstipping hieronder stel die bevolkingsdigtheid van soutwater-garnale in twee soutwater-mere in die Amerikas, oor ‘n tydperk van twee jaar voor. Meer 1: — 1 Meer 2: ee ee fo} 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 (miljoene) 5.1.1 Bepaal die vyfgetal-opsomming vir albei bevolkings. 5.1.2 Watter meer het die grootste verandering in bevolkingsgetalle gehad gedurende die twee jaar? 5.1.3 Skryf die interkwartiel variasiewydte vir albei datastelle neer. 5.1.4 Verduidelik die verspreiding van die data vir albei mere. 5.1.5 Watter bevolking is meer egalig? 5.2 ‘n Opname is gedoen om die ouderdom waarop mense in die Noord-Westelike provinsie na aftree- oorde trek, te bepaal. Die resultate van die opname is in die tabel hieronder: Ouderdom | Frekwensie Kumulatiewe frekwensie 40 <x<50 12 50<x<60 27

Eksamenvraestelle 60<x<70 58 70 <x<80 215 80<x<90 143 90 <x<100 42 5.2.1 Hoeveel mense het aan hierdie opname deelgeneem? 5.2.2 Voltooi die tabel hierbo. 5.2.3 Stel die inligting met ‘n ogief voor. 5.2.4 Bepaal die mediaan-ouderdom warop die mense in die opname na aftree-oorde trek. VRAAG 6 6.1 Die diepte van die diepkant van 19 skole se swembaddens word hieronder aangedui: 2,125 2,05; 2,635 1,80; 1,853 2,353 2,445 2,01; 3,02; 1,785 1,95; 1,98; 2,09; 2,353 1,82; 2,353 1,993 1,92; 2,35 6.1.1 Bepaal die gemiddelde, mediaan en modus van die dieptes van die swembaddens. 6.1.2 Bepaal die standaardafwyking van die dieptes deur ‘n sakrekenaar te gebruik. 6.1.3. Hoeveel swembaddens val binne twee standaardafwykings van die gemiddelde? 6.2 Die swembaddens hierbo is op verskillende tye gebou. ‘n Spreidingsdiagram van die data word hieronder gegee: School swimming pool depths 3.5 = 3 + Bs + 3. = 8 2 . a 5 * ss +? £15 Ei 3 O5 oO T T rT T ir 6 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Year 6.2.1 Skets ‘n “lyn wat die beste pas” op die data hierbo. 6.2.2 Wat sal jy sé is die diepte van ‘n skoolswembad wat in 1979 gebou is? 6.2.3. Gebruik jou lyn wat die beste pas om die jaar waarin ‘n swembad met ‘n diepte van 2,25 m gebou is, te skat. VRAAG 7 7a Evalueer tan 405° + cos 270°.sin 45° 7.2 Bewys dat sin x = tan x (cos* x + cos x sin* x) 73 Bepaal die algemene oplossing vir die vergelyking sin 3x = —0,876, korrek tot twee desimale plekke.

Antwoorde op vrae 12 V3 = 33 =3' =3 —-3 2 -6 3 13 (32)§ = 3 =377 3 1 1 1.4 43-367+ 2163 = (22) (3? x 22)2 + (33 x 2398 = 22 = (32S x 22%) + (333 x 23S) = 23 - (32« 23) + (33 x 23) = 23 - (31 x21) + (31 x 24) =23-64+6 =8 ; 1.5 (0,0625)%. (0,0125) = (0,54) (0.5%) =(0,57*) .(0,5") =0,5°9 . 0,5? = 0,5° =1 1.6 V(64n12)2 = V (26n!?)2 = V(222n?4) =22n* =4n* 12° 42 54 6 1.7 (4gm’n®)4 = (72m? 1) =Temint = 72m 1057135 — 343 105p 135 18 (B1x3y7)73.3(x-4y3)5. 2 2 8 6 14 8 6 = (B4xBy7) 5 8ty 9S = BU Sy"3) BCS) 2 3x3 =3" ax 23 a * x axiy? =33 33y3 Fa 1.9 169x3y4)_ 4 p13vxFy2)_ 4 7x8 pax? _ x8 . =3ay-4] = Ugrayaz = ee Ox) NY 13 (a8)y? 13(a2y? Haas y? 1 (7an-3y5 1 2,3 g3n-3 2 (72M-3)7 1 243 77 2n43 110 (42743); ¢ ve .(52"*3)7 = (22) 5, ome (1220-3)7 (3.22)7°°7 46 2.3 446 77 7 (27*7) mn (Smt 3) 377.277. 6 3 —2~3 -44 6 2 3 3 2.3 =2m* 7 TF 7 sat 7.377, 27m* F=27, Tm 7 sat 7.3m 7 2 21 ya= 32 od? = (32) y= 33 y= 27

Antwoorde op vrae 2.2 ke =3 (ka) = 35 k = 243 2.3 m3 =0,0625 4-3 -3 (m2)* = (0,54)* eee 1 m=05% =0573 oe 24 D4 2%=9 P(B+1)=9 2?(9)=9 Y=1 2 =2° y=0 25 Tk 77k? = 48 7-1 — 7-2) = 48 7* (1-4) = 48 7k (=) = 48 49, 26 2+ 21=24 2+ (1+ 21) = 24 22 (3) = 24 22=8 = 23 =3 NI& =6 27 (7% + 14)(2* — 0,0875) = 0 R 7* = -14 or 2* = 0,0875

Antwoorde op vrae 7* = -14 Geen oplossing 2.8 37%- 2.3% =3 37% — 2.3% 3=0 (3* — 3)(*+ 1) = 0 3% =3 of 3% = 31 of 29 16°+ 8.4* =48 24% + 23.22% = 48 laat kK? + 23.k = 48 k? + 8k —48 =0 (k—4)(k +12) = 0 k=4 of 2°* = 4 of 2x=2 x=1 210 77%*2 4+ 724% = 392 7.4 72.7% = 392 =P + PT = 392 Let =k 5 -P + Pk = 392 49k? + 343 — 392k =0 k?- 8k+7=0 (k-Dk-)=0 k=7 of k=1 Fe=7 of 7=1 x=1 7*=7° x=0 sos “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ousnniisiiiiniiniinininininniniinaiininiinaninninnnin 2 =k geen oplossing

Antwoorde op vrae 3 34a V5+ 9V5— 4¥5 =6V5 3.2 12V9- 3V45+ 6V72 = 12V3? — 3V5.3? + 6V3223 = (12.3) — (3.3V5) + (6.3.2.V2) = 36-9V5 + 36V2 (V50- 72) 33 _ V5%.2— V3?.25 7 V7.2 5v2 — 3.2v2 7 3.4 V¥aI + Vals — VVa8 15 Zs = a°4+ qe — 914 3.5 vi8— V80+ V98 = (32.2- f2454 /72.2 = 3V2 — 4V5 + 7V2 =10V2— 4V5 3.6 = (23 — 22 (32)? 3 1 = 22- 2134) = 91 x tat = 21.22 - 21(32)

4.2 43 4.4 45 4.6 47 4.8 5.2 5-3 5-4 5-5 sos “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn Antwoorde op vrae 2(v2 — V3) 5v2 3V5 x 2¥2 = 6v10 —4y3 x (—5v2) = 20V6 4V5 (—2V2 + 3) = -8V10 + 12V5 2V2 (10V3 — 8V2) = 20V6— 16V4 = 20V6 — 32 4 4 4 asx? — asxt\t agar (24.3)4x 2.34x ji= ys = y24 ~ y24 ys ys 3/a2sx12 _ 5x* ys y? af3_ 4f3 afa oa 243° °«35 34 k-2 : or if k=1+ V3 — (+v3-2)_ —v8-1 VB ~ (14¥3)2 (1+2V343) — 2v34+4 vx-1=2 x-1=4 x=5 Vx¥3=5 x+3=25 x=22 vx-1=4 x-1=16 x=17 x— ¥-8x—-16=5 —V—-8x— 16 =5-x — (-8x — 16) = (5—x)? 8x +16 = x? -— 2x+25 O= x7- 10x+9 0=(-9)(x*-1) x=9 of x=1 Vit7= -7 153

Antwoorde op vrae x+7=-77 x= -49-—7 x= —56 56 vil+ Jy= Jy-2 ll+y=y-2 ty-—y= -13 Geen oplossing 1 11 (x-2)(*+7)=0 x—-2=0o0fx+7=0 x=2o0fx=-7 12 (2y-—3)0+5)=0 2y—-3=0ofy=5=0 2y =3 y=-5 3 yrs 13 x7 4+21x+10=0 ye = Doky bP = aac 2a __ 214/217-4410) 2()) __=21+20,02 2 x = —0.49 of x = —20,51 1.4 3k(k+4)=0 3k =0ofk+4=0 k=0 k=-4 1.5 9x?-5x=0 x(9x —5) =0 x=O0o0f9x-5=0 9x =5 5 x=2 9 16 3k(1—k)=5(k+1) =0 3k —3k? + 5k+6=0 —3k? + 8k+6=0 3k? —-8k -6=0 ye = roe bP= aac 2a = ~C8)tVC8?-48)(-6) 2(3) _ 8411.66 6

Antwoorde op vrae x = 3.28 ofx = —-0.61 17. Gp—-2)(pt1)+2=0 3p? +p-—2+2=0 3p? +p=0 p(3p + 1) =0 p=0of3p=-1 -1 p= > 1.8 b(b+5)=6 b?+5b-6=0 (b—1)(b+ 6) =0 b=1orb=—6 19 (x«—2)(x+ 2) = 6(3x +5) x? —-4=18x +30 x* —18x — 34=0 ye = Doky bP = aac 2a ~(-18)+,/(18)?-4()(-34) 2) 18+21.45 2 x = 19,72 orx = —1,725 1.10 4(«—-1)(x+1) = 3(2-—x)+5 4(x? —1) =6—-3x4+5 4x2 +3x-15=0 x= —btvb?—4ac ~ 2a __ -3+yI5,78 8 x = 1,60 orx = —2,35 5 x 2 210 — = x-1 x41 5(x +1) = x(x- 1) 5x+5=x27-x O0=x?-6x—-5 — —btVb?—4ac 2a — 2O§)tV (-6)?—4(1)(-5) 2(1) 6+7,48 2 x = 6,74 orx = —0,74 3 x ~=0 2x-6 x-3 3(x — 3) + x(2x — 6) =0 3x -—9+2x?-6x =0 2x2 —3x-9=0 (2x +3)(x«- 3) =0 2x+3=0ofx—-3=0 x=Sofx=3 (x42) __ 2 (3) (@=3) x+2=7(x-3)+2 2.2 2.3

Antwoorde op vrae x+2=7x—-21+2 21 = 6x 21 == x 6 3 34 V(6x+5)=x (J (6x + 5))? = x? 6x+5= x? O= x7-6x-5 —b + Vb? = 406 ~ 2a = 6)+ V(—6)?= 4 4) (5) 2 6+7,48 2 x = 6,74 of x= —0,74 3.2 x = +V27 3.3 v2x+3-x=0 V2x+3=x (V2x +3)? = x? 2x+3= x? O= x2- 2x-3 0=(x-3)(«+1) x=3 of x=-1 34 veF9Otx4+3=0 (Vx +9)? = (-x — 3) x+9= x? - 6x49 O= x7 - 7x 0=x(x«-7) x=0 of x=7 3.5 2= (x? - 27) 22 = Vx? = 27)? 4= x? - 27 O= x7 - 31 31= x? "6 Via Afika» Wickunde Gade me

Antwoorde op vrae 4.5 (x+4)? =48 JV@+4)? = V48 x+4= 46,93 x= +2,93 46 5(x +5)? =125 V@ +5)? = V25 x+5= +5 x= —-10 or x=0 4.7 3(x+4)?- 12=0 3(x +4)? =12 V@+4? = V4

Antwoorde op vrae 4.8 x? = (2x — 3)? Vx? = (2x — 3)? x=2x-3 0=x-3 3=x 4.9 3(x—2)?-16=2 3 (x —2)?=18 (@=27 = Ve x—2= 42,45 x = 4,45 of x= -0,45 4ao —x = Gx +2) - 6 —-x+6= ox? + 3x +4 0= ax? + 3x +10 5 54 (x? — 3x)? - 2(x? — 3x) - 5 =0 Let (x? -— 3x) = k (kK)? - 2(K) — 5 =0 k2- 2k-5=0 k= ToaNbR tac ~ 2a _ (-C24VE2"=4MC5) ——— 2+4,90 2 k = 3,45 of k= —1,45 x? — 3x =3,45 of x? — 3x = -1,45 —b +Vb?=4ac —b +Vb?=4ac x= of x= 2a 2a = ~O3)t V(-3)?- 4(D 3,45) of = 2C%+ (©3)?= 4() (1,45) 2

Antwoorde op vrae _ 34-48 _ 34148 = of => Geen oplossing x = 8,9 of x= 5,9 5.2 (x? — 2x)? = 14 (x? -— x) + 15 laat x? — 2x =k (k)? = 14(k) + 15 k? — 14k -15=0 (k-15)(k +1) = 0 k=15 of k=-1 x? — 2x=15 of x?-— 2x = -1 x? -— 2x-15=0 x?— 2x+1=0 (x-—5)(x+3) = 0 (x-Dw«-DHD=0 x=5 of x= -3 x=1 5 5.3 Vx 2+ 4= Letvx-2=k 5 k+4=— k2+ 4k=5 k?+ 4k-5=0 (k+D)(kK-1)=0 k=-5 of k=1 x -2= —-5 of vx-2=1 x-2= (-5)? x-2=2 x= 27 x=3 2 54 (2+ x) + G+ x)= 19 Laat ++ x=k k?+k-19=0 k= —b + vb?= 4ac ~ 2a _ -1tVF- OOO) 2 _ -1+48,77 ~ 2

Antwoorde op vrae k = 3,89 of k= —4,89 3 3 <+ x = 3,89 of =+ x= —4,89 x x 3+ x* — 3,89x 3+ x? + 4,89x =0 _ —b +vb?=4ac _ —b + vb?= 4ac ~ 2a ~ 2a _ - (3,894 (E3892 48) _ -(4,89)+ (4892-4) 2 2 _ 3,89 41,77 _ 4,89 +11,91 2 ~ 2 x = 2,83 of x = 1,06 x = 8,40 of x= —3,51 555 5 (2x274+ x-1) = 20(2x7+ x-1)4+ 8 laat 2x7+ x-1=k 5k = 20k+8 0=15k+8 8 = butk = 2x74+ x-1 B= 2x24 x-1 15 2 7 O= 2x*+x- = 15 _ ~b Vb? 4ac ~ 2a _ ttt lCD?- MO@CR) ~ 2(2) _ -142,18 ~ 4 x = 0,295 of x= —0,795 5.6 2(x+3)?- 3(x+3)-4=2 letx+3=k 2k? — 3k-6=0 ke tvb?= 4ac ~ 2a _ -(3)4VC32= 426) ~ 2(2) _ 347,55 ~ 4 k = 2,64 of k= -1,14

Antwoorde op vrae butk =x+3 x+3= 2,64 of x+3= -1,14 x = —0,36 x= —4,14 24 7 5-7 3(x-2) = 9(x+6) 24(9(x + 6)) = 7(3(@- 2)) -— 3(3(«- 2))(9@ + 6)) 216x + 1296 = 21x — 42 — 3(27x? + 162x — 54x — 324) 216x + 1296 = 21x — 42 — 81x? — 486x + 162x + 972 81x? + 519x + 366=0 —b +Vb=— 4ac 2a 519 +,/519— 4(81)(366) 2(81) —519 +388,30 162 x=1,2 of x= —3,38 6 61 p?—p-12=0 (p- 4) +3) = 0 p=4 of p= -3 6.2 x7+ 3x=4 x?4+ 3x = -3 x? 4+ 3x-4=0 x?4+ 3x+3=0 (x+4)(x-1) = 0 x = DADE fae 3 4+/3?- 4(4)() x=-4 of x=1 = 5 Geen oplossing 7 (a+3)(b+4=0 a=-7 (4) (b+ 4) = 0 —4b—-16=0 —4b = 16 b=-4 8 81 (y—2)((-7)?+25(-7) -6) =0 (y — 2)(-132) =0

Antwoorde op vrae —132y + 264 =0 y=2 8.2 (y—2)(12? + 25(12) -6) =0 (vy — 2)(438) = 0 438y — 876 =0 y=2 9 O14 x27 + 2x4+4=0 x? + 2x= -4 x + t+ GP = 44 (“y’ x?4+ 2x4+1= -44+1 (x+ 1)? = -3 V@ +1? = 4V-3 x+1= 4V-3 x= -1+V-3 x = 0,73 of x = —2,73 9.2 x? - 5x+15=0 x*— 5x = -15 x? — 5x + (‘y = -154+(6) x? — 5x + (°) = -15+ () x—2= +/-8,75 2 x= 24-875 2 Geen oplossing 9.3 x7-x+20=0 x? — x+(S)? = +204 ©? @ - (=)? = £20.25 x— 5 = £,/20,25

Antwoorde op vrae x=5 of x= —-4 9.4 x7 + 6x= -5 x? + 6x+ 6)? = -5 +6)? 2 6 x + 6x +($) = -5+9 V@ +3) = +V4 x+3= +4 x= —-3+4 x=1 of x= -7 9.5 13x =10+ x? -10 = -13x 4+ x? -10 + (4)? = (SG)? - 13x 4.x? +5,68 =x— = 2 24568 =x 2 x = 12,18 of x = 0,82 9.6 x? - 6x=3 = 6x+ Gy? = 34+)? V@—3)? = +vi2 x-3= +V12 x=3 43,46 x = 6,46 of x = 0,46 Hoofstuk 3 1 11 i 2 ii 49; 64; 81; 100; 121 iii T,=m+4q4n+4

Antwoorde op vrae iv T,,= 12? + 4(a2) +4. = 196 Tyo = 30° + 4(30) + 4 = 1024 2.2 i 6 ii 84; 119; 160; 207; 260 iii T,=3m+2n-1 iv T,, = 3(12) + 2(12) - 1 = 455 Tyo = 3(30)? + 2(30) -1 = 2759 2.3 i 2 ii 733 96; 121; 148; 177 iii T, =n’ + 12n-12 iv T,, = 12? + 12(12) -12 = 276 Tyo = 30” + 12(30) -12 = 1248 24 i 10 ii 925 141; 200; 269; 348 iii T, =5m’ - 6n-3 iv T,, = 5(12)? -6(12) -3 = 645 Tyo = 5(30) -6(30) -3 = 4 317 2.5 i 34 fi 3.215 4853 683; 915; 1181 iti T, = 17m? - 23n +11 iv T,, = 17(2)- 23(12) + 11 = 2183 T,. = 17(30)? - 23(30) + 11 = 14 621 2 21 T,=1 T,=3 T,=7 T,=13 6 Via Aika Wickunde Gaadar Na nnn

Antwoorde op vrae T,= 21 T,=31 T,=43 22 T,=m-nt1 2.3 133=m-n+1 1407 =M’-n+1 “I -n-132=0 “m-n-1406=0 + (n-12)(n+11)=0 + (n — 38)(n + 37) =0 “n=120rn=-11 <n = 38 orn =-37 (nie moontlik) (nie moontlik) + 133 is T,, “1407 is T,, 1 11 tano=m tan9= 15 8 = 86,19° 1.2 taneé=m tan0=12/6 8= 63,43° 1.3 tano= m tano= -3/4 8= -36,87° 1.4 tano=m tan6= -3 8= -71,57° 1.5 tan6é=m tanO= -0,125 8= -7,13° - OViaAhika» WiskundeGmadn Nee sos

Antwoorde op vrae 1.6 Mon= Vx°V,/X% = -7-2/-4-(-6) =-9/2 tano= -9/2 9=-77,47° 1.7 Mgg= Vr ¥,/ KX = -3-13/8-5/7 =-16/(51/7) tane = -16/(51/7) O= -65,52° 1.8 Mor == Yx°V,/XX, =1--4)/-3-4 =3/-4 tano = -3/4 8=-36,87° 1.9 Mog = YxV,/KrX =-4-(-1)/-2-(-6) =3/4 tano =-3/4 8=-36,87° 1.10 Mog = Vx°V,/XrX, =--1-7/5-(-12) =-8/17 tano =-8/17 Q=--25.20° 2 21 tano =m © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 166

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.2 sos “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn Antwoorde op vrae tan72° =m 3.08 =m tane =m tan250° =m 275=m tane =m tan13° =m 0,23 =m tané =m tan-126° =m 1.38=m tané =m tan-50,8° =m -1.23 =m tane =m tan185,15° =m 1,38 =m Map Y2°Y,/X-X, =5-8/-1-7 =3/-8 geen. Map Y2°Y,/X-X, =5-2/-5-7 =7/12 * Map-Mep Parallel. Mo = YrV,/X%, =2:3/5-16 =5/-11 Mey = Ye¥,/ KX, =1-6/-5-7 167

3-3 3-4 3-5 Mane VoVIXX, =6-(-7)/-9--5) =1/-4 geen. Mane VoVIXX, =5-2/2-3 =3 geen. Man= Yo"Vs XX, =1-4/9-8 =3 Maz X Mcp =3x1/3 =1 AB is loodreg op CD. 4.2 43 4.4 4.5 sos “© Via Afrika » Wiskunde Grand in ousnniisiiiiniiniinininininniniinaiininiinaninninnnin y= mx +c Y= 5X—1,7 y= mx +c y= -2/5x +9 y- Y,= m(x-x,) y-5= 7/3 (x-(-13)) y= 7/3x + 106/3 y-y, = m(x-x,) y-(-1) = -5(x-(-2)) y= -5X-11 m= y,y,/X-X, Antwoorde op vrae Mo = YrV,/X%, =3-719-4 =-10/5= -2 Mo = YrV,/X%, =33/-9-1 =0 Mp =YrY,/KrX, =3-5/-4-2 =1/3

Antwoorde op vrae =5-(-1)/-4-(-1) =2 y- y, = m(x-x,) y-5= -2(x-(-4)) Y= -2X -3 46 m=y,-y,/x;x, =-12-9/13-(-5) =-21/18 y- y, = m(x-x,) y-(-12)= -21/18(x-13) y= -21/18x + 19/6 47 5Y=X15 y=1/5x -3 m= 1/5 gaan deur (-1; 4). y- y, = m(x-x,) y-4= 1/5(x- (-1)) y= 1/5 + 21/5 4.8 2y= 6X -7 y= 2x -7/2 KT is loodreg op BS so: Mz X Mpg = -1 MgpX 2=-1 Myr= -1/2 gaan deur (3/4; 0,5). y- y, = m(x-x,) y-0,5= -1/2(x- 4/3) Via Aika» Wickunde Gian ge ‘eo unnnnnnn

Antwoorde op vrae y= -1/2x + 13/6 Hoofstuk 5 11 1.2 13 21 f:xX=0, g:x=3,h:x=2,5,i=x=4 g: die simmetrie-as het 3 eenhede regs geskuif, p = -3 h: die simmetrie-as het 2,5 eenhede links geskuif, p = 2,5 i: die simmetrie-as het 4 eenhede regs geskuif, p = -4 (-5,2;0) (5,230) x=0 (039)

2.3 2.4 2.5 2.6 ~ © Via Afrika» Wiskunde Graad 11 Antwoorde op vrae ¥ (0;16,33) (0530) (1,58;0) (4,58;0) * vi x=7 (0)

27 2.8 2.9 2.10 ~ © Via Afrika» Wiskunde Graad11 [|/as0) Antwoorde op vrae (0:61) (3,54:0) |) (-2,46;0) x=3 (0;65) I@s-2) * (0;-83) (0539) G2) x

Antwoorde op vrae 3 3.1 3.4.11 h(x) =x’-5 h(@3)= 3) -5 =4 3.1.2 h(x-3) = (%3)?-5 =X°-6X 9-5 =X-6X+4 3.1.3 h(x)-3=(-5) 3 =x-8 3.1.4 h(x-3) +7 = (%-3) -5 +7 =xX°-6X +9-5 +7 =xX°-6X +11 3.2. h(x) is die oorspronklike funksie h(x-3): die grafiek skuif drie eenhede regs h(x) -3: die grafiek skuif drie eenhede af Definisieversameling: x « R Waardeversameling:: y > -5 os “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn 173

Antwoorde op vrae 4.2 \ y | I I C8:0\ | Ax0) Teasas * I | | Definisieversameling: x « R 1X75 : Waardeversameling: y = -0,3 43 1 | | | 4,5:0)\_ |_|) Go) | x | (18) Definisieversameling: x « R xz | Waardeversameling: y > -15 1 4A (0,19;0) Definisieversameling: x « R Waardeversameling: y < 17 y 5 5.1 (11,530) (2,15;0) x (4531475) Definisieversameling: x « R Waardeversameling: y > -14,75 os “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn 174

Antwoorde op vrae 5.2 (pr99) 5-3 (9.532725) 5.4 (2,53:0) 6 6.1 y=X-743 y=X-4 6.2 y=xX-7-9 y= x? -16 6.3 y=(x+4)’-7 6.4 y=(*7)-7 65 y= (x+3/4) -7+ 1/3 os “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn (05-28) (316,25) 2 Definisieversameling: x « R Waardeversameling: y < -27,94 Definisieversameling: x « R Waardeversameling: y = -27,25 Definisieversameling: x « R Waardeversameling: y > -16,25 175

Antwoorde op vrae y= (x+3/4) — 20/3 6.6 — y=(X-3,5)?-7-5 Y= (X-3,5) -12 (056,33) (2,740) x=3 _ (6:2) v3 ne bo) 7.2 x 73 (230) ee x (0;-2) os “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn 176

10 11 12 13 14 sos “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn Antwoorde op vrae (-6|6;0) x x=7 f(x) is c, g(x) is a en h(x) is b. 9.1 Skyf4 eenhede op Skyf 3 eenhede na links Skyf 7 eenhede na regs 9.2 Skyf3 eenhede af Skyf 2 eenhede na links Skyf 3 eenhede na regs 9.3. Skyf5 eenhede op Skyf 1 eenheid na regs Skyf 1 eenheid na regs Van die vergelyking f(x) = (x + p)” + q is dit duidelik dat a=1. Die simmetrie-as is by x = 2. y=(@+py tq 3 0=(-3-2) +4 q= —12,25 oy =(x—2)? -— 12,25 -2,5 x+3,5 3 —2 yapytisy=syt7eny= —5,5 1 fe) = (—4)",9@) = 1357 enh) = -(8)° +7 13.1 KL=2,5 eenhed 13.2. KB=1eenheid 13.3. Geen 13.4 Geen 1410 Myy = BH = 22 = 3. = 3,90 X2-X, -:0-0,77.—«20,77 177

Antwoorde op vrae — Yer 3 14.2. Myy = aarti =e 0,41 — Yazv -32 — 14.30 Mun = X2-X, 0-0,77 0,77 3,90 15 15.1 y=a/x Vervang (1315) 15=a/1 15=a 15.2 x = 15.3. Die grafiek sal 15 eenhede op skuif 15.4 Die beperkingisx + 0, want dit is ongedefinieérd. 16 16.1 yf) sx) \V\\ wiau

Hoogste y- Laagste y- Amplitude Waardeversameling Periode waarde waarde y=3sinx+5 8 2 3 y Ɛ [2;8] 360⁰ y=cosx-5 -4 -6 1 y Ɛ[-6;-4] 360⁰ y=-tanx-3 -2 -4 1 Undefined 180⁰ y=-4cosx+7 11 3 4 y Ɛ[3;11] 360⁰ y=tanx +5 6 4 1 Ongedefinieërd 180⁰ y= -5sinx+2 7 -3 5 y Ɛ[-3;7] 360⁰

Antwoorde op vrae 18 18.1 y \ yeasinx \ , 18.2 y y=3C08 x44 18.3 ya3tan x-2 19 19.1 — 1080°, 1, y E[-11] (0;0), os “© Via Aftika » Wiskunde Grand un usin

Antwoorde op vrae 19.2 60°,1, y €[-1;1] 19.3. 72°, 1, ongedefinieérd 20 20.1 y (0,1) wiiwa VU 20.2 so “© Via Aftika » Wiskunde Grand un usin xd

Antwoorde op vrae 20.4 21 A=G 22 221 ye [-5;5] 22.2 R(180°; 0,866) and R(270°; 0) 22.3. 180° 22.4 ST=4,00eenhede 22.5 h(x) =sin 2(x-75°) + 2,5 1 1.1 1.1.1 OA=13,89 11.2 sina= 2 ™ 13,89 7 11.3 cosa = R55

Antwoorde op vrae sing 13,89 12 1.1. = 28 = 4 cosa =a 7 13,89 12 1.1.5 tana= -F 1.2 tana = 1.3 sin? a+ cos? a= (- =) + (3) =1 2 2.1 V(4- cosx)(1+cosx) = v(1-cosx)? =1-COSK 2.2. sinx (sinx + tanx.cosx) =sinx (sinx + sinx.cosx/cosx) =sinx (2sinx) =2sir’x 2.3. (cosx + sinx) + (cosx -sinx? =(cos’x +2cosx.sinx +sin’x) + (cos’x - 2cosx.sinx +sin’x) =2c0s* +2sin’x =2 2.4 cos’y + (sin’y. tany/cosy) =cos’y + (sin’y. (siny/cosy)/cosy) = cos’y + (sin’y. (siny/cos’y) =cos’y + (sin*y/cos’y) 3 3.1 3.1.1 x =90° en x = 270° 3.1.2 RK=1/cost— sin*t/cost =(1-sin’t)/ cost =cost/cost =cost =LK 3.2 3.24 x=90° en x= 270° 3.2.2. RK=-cos’b (tan’b +2) = -cos’b (sin*b/cos’b +2) =-sin’b -2cos’b = sin’b — 2(1-sin’b) =-sin’b -2 +2sin’b =sin’b -2 =LK 3.3 3.3.1 X=90° aennd x = 270° 3.3.2. RK =sin’@(1+ tan’ 8) = sin’B(1+ sin’B/cos? 8)

Antwoorde op vrae = (sin?8.cos’@ + sin“ 8)/cos? B = (sin’B(cos* 8 +sin? B)/cos? B = sin’B/cos? B =tan’ 8 =LK 3.4 3.4.1 X=90° en x = 270° 3.4.2 LK=tanx—sinx.cosx =sinx/cosx — sinx.cosx =(sinx-sinx.cos’x)/cosx =(sinx(1-cos?x))/cosx =sinx(sin’x)/cosx =tanx.sin’x =RK 3.5 3.5.1 X=0°, xX =180° en x = 360° 3.5.2 LK=sinx-1/sinx =(sin’x-1)/sinx =-cos’x/sinx =RK 4 4A 4.1.1. COS222° =C0S(180°+42°) =-C0S42° 4.1.2 sing8° =C0S(90°-42°) =co0s42° 4.2 4.2.1 $in435° =sin(360°+75°) =sin75° 4.2.2 C0S285° =C08(360°-75) =COS75° 5 5.1 cos 2° =C0s(90°-88°) =sin88° = t 5.2 tan 178° =sin178°/cos178° =sin2°/cos2° =sin(90°-88°)/cos(90°-88°) =c0s88°/-sin88°

Antwoorde op vrae =c0s88°/-t 5-3 cosg2° =-c0s(180°-88°) =-sin88° =t 6 6.1 tan (360°+<) =tane 6.2. cos(g0°- 6) =sine 6.3. sin(360°-c) =-sine 6.4 — tan(360°- 2) =-tane 7 Je sin150° =sin (180°-30°) =sin30° =1/2 7.2 COS 300° =C0S(360°-60°) =Co0s60° =1/2 73 tan390° =tan(360°+30°) =tan30° =1/V3 7.4 c0S120° + sin120° =C0S(180°+30°) + sin (180°-60°) =-C0S30° + sin60° =-V3/2 + V3/2 =0 7.5 (sin (90°-x).cos(180°+x).tan(180°+x))/cos(90°-x).cos(360°-x).tanx =(cosx.-cosx.tanx)/ sinx.cosx.tanx =-cosx/sinx 7.6 sin(-e) =-sine 77 cos (-360°-8) =cose

Antwoorde op vrae 8 RK= cos (-x) -sin(x-180°) =cosx- (-sinx(180°-x) =cosx-(-sinx) =cosx+sinx LK= cosx -cosx.tan(-x) =COSX-Cosx.-tanx =COSX+COSX.SiNX/COSx =cosx +sinx LK=RK sinx=-3.125 geen oplossing 9.2 COSX-0.986=0 cosx=0.986 9 9.1 x=9.6° + 360°n of x= 360°-9.6° + 360°n X=350.4° + 360°n 9.3 3tanx=2.12 tanx=2.12/3 X=35.29+180°n of x=1809+35.2° +180°n X=215.2°+360°n 9.4 tanx=sin35° tanx=0.57 X=29.68°+180n of x=180°+29.68° +180°n X=209.68° + 180°n 9.5. 2cOSx+1=0 cosx=-1/2 X=180°-60° +360°n X=120° +360°n 9.6 tan4x=tango° tango” is ongedefinieérd 9.7. sin(5x+30°)=sinx 5X+30°=x+360°n 4X=-30°+360N X=-7.5°+90°nN 9.8 tan(3x-20°)= tan (x+40°) 3X-20°=x+409+180°n 2x=60° +180°n X=30° +90°n 9.9 3Sinx=-5cosx 3tanx=-5 sos © Via Aftika » Wiskunde Grand un ousnniisiiiiniiniinininininniniinaiininiinaninninnnin of x=180°+60°+360°n X=240°+360°n of 4x=360-(-30°)+360°n X=97.5° +90°n

Antwoorde op vrae tanx=-5/3 X=180°-59.09+ 180°n X=239.04°+180°n 9.10 5/9 cosx=-sinx 9/5=-tanx -9/5=tanx X=180°-60.9° +180°n X=240.9° +180°n Hoofstuk 7 1 11 S = 4jG2)? = 156,566 1.2 S=a4]ir 4 512,157 = 4] 1? = 40 756,15909 “Y= 201,882 m V=G/3)IIr = (4/3) TI(201,882) = 845,641 m? 2 21 s=v(h?+Pr) = V(51,2 + 13,57) = V2 803,69 = 52,950 cm 2.2 S=l[r+]Irs = 11G3,5)° + 11@3,5)(52,950) = 2 818,244 cm? 23 V=(1/3)[[rh

Antwoorde op vrae = (1/3) 1103,5)°(51,2) =9771,610 cm? 3 s=v(h? +r) = V(23" + 1,25°) = V530,5625 = 23,034 m S = qlh + (1/2)(4ls) = 4(2,5)(23) + (2/2)(2,5)(23,034) = 345,170 m” 4 Shattsteer = (1/2)(4TIP) = (1/2)(4T1G3)) = 1061,86 cm? Syitinder = [1 + 2] [th = T1G3/ + 211(13)(30) = 2.981,37 cm? -. Buite-oppervlakte van die blompot: 1 061,86 + 2 981,37 = 4 043,23 cm’ Vhattsfeer = (1/2)(4/3) TIP? = (1/2)(4/3) 113? = 353,95 cm? Vostinder = TI? = T1430) = 15 927,87 cm? -«. Volume van die blompot: 353,95 + 15 927,87 = 16 281,82 cm?

Antwoorde op vrae Hoofstuk 8 1 1d NM = MP (loodr midp na koord) 38 = 11,75 cm 1.2 OP? = OM? + MP? (Pyth) = 13,5° + 11,757 = 320,3125 «. OP = 17,90 cm 1.3 Deursnee = 2 x OP = 35,8 cm 2 LaatOD=xm «OK =OM=x+17 (radiusse) en KD = DL=34m (loodr van midp) - KO? = OD? + KD? (Pyth) (kK +17P =x +34? “X? + 34x + 289 =x +1156 + 34x = 867 “X= 25,5m 3 In die eerste sirkel: X = 56° en y = 248° In die tweede sirkel: X = 268° en y = 92° In die derde sirkel: X = 36°, y = 36° en z = 288° 4 41 X=70°

Antwoorde op vrae AO, = 290° y =1/20, = 145° 4.2. PL=PM (radiusse) + AL, = 4M = 32° “X= 116° «AP, = AP, = 116° PK =PL wy = AL, = 32° 5 AB, = *C, (selfde boog EG) =C, (vert teenoorgesteld) =B, (selfde boog DF) 6 X = 236° (Ze om ‘n punt) y=118° (Z in middel = 22 op sirkel) z=118° (teenoorg 2’e van koordevierZ) 7 x=75° (buite Z’e van koordevierZ) y = 103° (teenoorg 2’e van koordevierz) 8 H‘FG = 90° (Zz in semi-sirkel) “X= 180° - (55° + 90° + 12°) = 23° (binne Z’e van driehoek) 9 9.1 KANM=90° (KNLML) LAOM = 90° (LOLKM) 2 AO, + AN, = 180° :. OPNM siklies (teenoorg binne 2’e) Via Afika» Wickunde Gund; “90 unnnnnnn

Antwoorde op vrae 9.2 %0,=90° (LOLKM) =N, (KNLML) -. KLNO koordevierhoek (KL onderspan = 2’e) 2 AK = AL, 10 10.1 SALR=155°- (S*LK + RALP) (aangrensende Z’e) “X= 155° - (90° + 23°) (radius OL raaklyn KM) = 42° SARL = 90° (Z in half-sirkel) “y =50° (Binne 2’e van ASRL aanv) “.Z= 130° (teenoorg binne 2’e koordevierhoek) 10.2 x=L,=‘L,=40° (onderspan deur = koorde) y = GLK = 80° (selfde koord GK) z=L,=40° (Z tussen raaklyn en koord GH) 10.3. xX=60° (Z tussen raaklyn en koord BF) AB, = 60° (Z’e gelykbenige driehoek) y = 60° (binne 2’e van aanvullende) Z=60° (Z tussen raaklyn en koord BG) 10.4. x=B,=30° (Z tussen raaklyn en koord BS) y+x=48° (buite Z’e van ARST) “y =18° RASB = 90° (Z in semi-sirkel) “x = 4S, = 72° (Z tussen raaklyn en koord BG) 1 AZ =V, (Z tussen raaklyn WV en koord YV) =V, (vert teenoorg 2’e =) =AT (Z tussen raaklyn XV en koord UV)

Antwoorde op vrae or AY = AV, (Z tussen raaklyn VX en koord ZV) = VG (vert teenoorg 2’e =) =U (z tussen raaklyn WV en koord TV) - YZ || TU (verw 2’e =) 1 11 Area van ARPS = 5 (14) (14) sin 35° = 56,21 cm? 180°-35° 2 « PST = 107,5° R= = 72,5° Area van APST= 5 (10,5)(14) sin 107,5° = 63,00 cm? 1.2 Area van APQR = 5 (17)(11) sin 123,4° = 78,06 cm? 2 Area ABDC=CD.BC.sin C = 109 vierkante eenhede 5 (24)(19) = 109 sinc =72 228 C = 28,56° * = tan 28,56° 19 « AB = 19 tan 28,56° = 10,34 eenhede sinD __ sin82° 33 42 sinD = 33 sin 82° 42 sin D = 0,778067768 1D = 51,08"

Antwoorde op vrae « F = 46,92° DE 42 sin46,92° sin82° 42 sin 46,92° sin 82° = 30,98 DE= 32 R=78° ST 28 sin78° sin 60° ST= 28 sin 78° sin 60° = 31,63 mm SR _ 31,63 sin42° sin60° SR= 31,63sin 42° sin 60° = 24,44 mm EF 213 sinis° sin 128° 21,3sin15° _ - = 6,99 sin128° 4.2 Area AHEF = 5 (21,3)(6,99) sin37° EF= = 44,80 cm? sinHFG _ sin15° 43 139 6,99 13,9sin 15° sin HFG = = 0,514675926 - HFG = 30,98° 5 5a AC? = 497 + 32? — 2(49)(32) cos 58,4° = 1 781.780199 « AC =42,21cm sinA _ sin58,4° 49 42,21 sin A = 25258" — 0988737734 42,21 A=81,39° C= 40,21° 5.2 162 = 92 +92 — 2(9)(9) cosJ

Antwoorde op vrae 924+92—12? 2(9)(9) J = 83,62° K =M = 48,19 cos J = = 0,111111111 6 w? = v2? +x? — 2vx cos W 2vx cosW = v? +x2 —w? cosW = v2 +x2—w? 2vx 7 AC? = 12,5? + 9,3? — 2(12,5)(9,3) cos 124,7° = 375,0974892 « AC = 19,37 cm 8 8.1 50° _ [ko-binne 2’e; PQ||SR] sinPRS _ sin50° 8.2 18235 . _ 18sin50° sin PRS = 235 « PRS = 35,93° 8.3 CAD =94,07° Area APSR = 5 (18)(23,5) sin 94,07° = 210,97 cm? 8.4 Area APQR = Area APSR = 210,97 cm? 5PR.QT = Area APQR 5 (23,5)QT = 210,97 « QT =17,95cm 9 91 RS= 5-x-AR sind 9.2 AR =>.x.RScos@ 10 10.1 DBA=y [verw 2’e] . AB — oe DB = cosy os “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn 194

Antwoorde op vrae - AB = DB cosy.. C=90°—x . BD _ 15 " sin(90°—x) ~ sin(x+y) BD _ 15 cosx sin(x+y) «BD = 15 cos x sin(x+y)" Deur (2) in (1) te sit: 15 cosx cos AB = 2SOSx cosy sin(x+y) 15 cos 12° cos 30° 10.2 AB= sin(12°+30°) = 18,99 coy K=90° In AKLM, LM = x? + 124,10 In AKOB, LO = x? + 3,71 OM? = LO? + LM? — 2(LO)(LM) cosy 1. 55,20 = (Vx? + 371) + (Vx? + 124,10) ~ 2 (fx? +3,71) (x? + 124,10) cos y 2 (vx + 128,41x? + 460,41) cosy = 2x? + 72,61 x?2436,31 * COS SO y Vx*+128.41x2+460,41 1 1.1 R171 000,27 1.2 R162 501,29 -. Belegging A bied meer na 7 jaar. 2 A =999 822; n = 10; i = 3,2% cnt 999 822 = POL + 0032/12 © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 195

Antwoorde op vrae “999 822 = P(1,376541357) - P = R726 329,07 3 n=4;A=4P;m=4 A=P(1 + i/4)"* + 4P = P(a + i/4) +4=(1+i/4y® 2 V4 =14+i/4 «V4 -1=i/4 «i= (°V4)/4 = 0,0226 = 2,26% 4 Ons moet terugwerk van die oorspronklike belegging. 3111 052 = P(1 + 0,075/365)?555 ++ 3 111 052 = 1,690367683P - P = R1 840 458,75 R1 840 458,75 + R19 201,85 = R1 859 660,60 +1859 660,60 = P(1 + 0,12/12)* “1 859 660,60 = P(1,269734649) - P = R1 464 605,70 * X = R1 464 605,70 5 Ons moet weer terugwerk.. 5 825 156 = P(1 + 0,124/12)'° + 5 825 156 = P(4,971533121) - P= R1171 702,14 1171 702,14 = P(1 + 0,09/1)° “1171 702,14 = P(1,677100111) © ViaAftika» Wiskunde Grad

Antwoorde op vrae - P = R698 647,70 -. Larisse se oorspronklike belegging was R698 647,70. 6 47 540,04 = 39 015,43(1 + 1/4)” + 1,218493299 = (1 + i/4)” +. ?V1,218493299 =1+ i/4 - 1,016604268 =1+ i/4 «1 = 0,0664 = 6,64% 7 71 -A=10000(1 + 0.0432/4)° = 19 050,83 7-2 ggg = (1 + 0,0432/4)* -1 0,0439 = 4,39% 7.3. A=10000(1 + 0,0439/4) = 19 249,74 Nee, die effektiewe jaarlike koers gee ’n hoer waarde. 8 8.1 3% of 1650 kg = 49,5 kg per dag A=P(1- in) “0 =1650(1 — 0,03n) “0=1650-49,5n “N= 33,33 Hulle sal saad vir arm woongebiede kan gee vir 33 dae. 8.2 A=P(1-in) +. 132 = 1650(1 — 0,08n) “132 = 1650 —- 132n + 132n = 1518 os “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn 197

Antwoorde op vrae “N=11,50 -. Hulle sal 132 kg mielie-saad na 11,5 dae hé. 8.3 A=P(1-in) * 0 =1650(1 —i.75) “0 =1650 — 1237501 “123 750i = 1650 + 1= 0,0133 = 1,33% -. Hulle moet 1,33% per dag weggee om seker te maak die saad hou vir 75 dae. 9 9.1 A=PQ-i!" « A = 2605 252(1 - 0,125)’ = 1023 071,79 9.2 650 000 = 2605 252(1 — i)* “- 0,249496018 = (1 - i) --4V0,249496018 = 1-i *- 0,706750142 =1-i “41 = 0,2932 = 29,32% 10 A=P(i-i)" “1260 = P(1 — 0,15)“ = 0,52200625P “P= 2 413,76 11 100 11.4 A=P(i-i)" «. A = 1250 000(1 - 0,17)5 = 492 380,08 11.1.2 A=1250 000(1 + 0,0602)° = 1 674 360,66 ~ © Via Afrika » Wiskunde Graad 11.

Antwoorde op vrae 11.1.3 R1 674 360,66 — 492 380,08 = R1 181 980,58 11.2 A=75000(1 + 0,12/12)* = 95 230,10 Nee, hulle sal nog R1 181 980,58 — 95 230,10 = R1 086 750,48 nodig hé. 12 Kom ons kyk eers wat die rekenaars sal kos oor 2,5 jaar: A= 45 000(1 + 0,0726)3 = 53 617,55 Kom ons kyk nou wat die belegging sa werd wees oor 2,5 jaar: A= 8 000(1 + 0,15/52)° = 11 633,65 -. Nee, hulle sal nie genieg geld hé om die rekenaars te vervang nie. Hulle sal nog R53 617,55 — 11 633,65 = R4 198,39 kortkom. 1 14 S = {(1,H); (2,H); (3,H); (4,H); (5,H); (6,H); (1,7); (2,7); (3,1); (4.7); (5,1); (6,T)} 3 1.2 1.2.1 P(onewe en kop) = == : = 0,25 1.2.2 P(priem en stert) = = = : = 0,25 1.2.3. P(minder as 5 en kop) = = = ; = 0,333 1.2.4 P(ewe en stert) = = = ; = 0,25

Antwoorde op vrae 2 2.1 S$=150 Excel(72) 2.1 2.4.1 15 2.1.2 63 2.1.3 57 21.4 15 15 63 57 15 2.20 2.21 55 01 2.2.2 is > 042 2.2.3 iso 7 0,38 2.2.4 ZT 0,1 3 3,1 P(minder as 4) =: =0,8 3.2 P(meer as 4) =; = 0,2 3.3 P(minder of gelyk aan 4) = : =0,4 3.4 P(deelbaar deur 3) = : = 0,2 3.5 P(nie deelbaar deur 3) =3 =0,8 3.6 3.4 en 3.5 is mekaar se komplemente. 3.1 en 3.3 is nie mekaar se komplemente nie.

Antwoorde op vrae S= 250 Rugby(180) Basketball(4o) 4 4.2 4lede 43 16lede 44 41,2% 5 P(A) ==; P(B) ==; P(C) == 3 Kom ons toet vir wedersydse uitsluitendheid: P(A) x P(B) = Bly ote P(A) x P(C) = Ja P(B) x P(C) = 36 5.1 P(A of C) = P(A) + P(C) — P(AN C) 2 1 2 3 =ste tists 96 5.2 P(AofB) = P(A) + P(B)- P(ANB) 2452-8065 5°12 6 20 -1—P(A of B) =1- 0,65 = 0,35

Antwoorde op vrae (95%) Geen reen (5%) 6.2 P(fees) = 0,95 x 0,48 + 0,05 x 0,32 = 0,472 = 47,2% P(geen fees in nat weer) = 0,95 x 0,52 = 0,494 = 49,4% 7 7-1 Meer as 5 koppies Minder as 5 koppies | Totaal Vroulik 672 1565 2237 Manlik 1485 1173 2658 Totaal 2157 2738 4 895 7.2. 7.2.1 P(vroulik drink meer as 5 koppies ‘n dag) = = = 0,1373 os “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn 2237 489! 7.2.2 P(vroulik) = om 0,4570 7.2.3. P(‘n person drink meer as 5 koppies ‘n dag) = = = 0,4407 489. 202

Antwoorde op vrae 84/3) BG/3) { P (1/3) $@/3) B(a/3) ——H RG/s) AT(a/2) { DG/3) | Ba) z s H(/3) E o s (1/3) E PG/s)_ o S D(a/3) E i HG/3) B(1/3) 8.2 8.2.1 P(swart) = < = ; 1 8.2.2. P(AR met H) = 3 8.2.3 P(HR met Den R)=— 8.2.4 P(P met S) ==

Antwoorde op vrae 1 11 Interval Frekwensie O<x<10 te) 10<xX<20 3 20<xX<30 2 30<x<40 2 4o<x<50 8 50<x<60 6 60<x<70 12 7o<x<80 4 80<x<90 7 90 <x<100 6 1.2. Modus = 82 1.3 Die median is in die klasinterval 60 < x < 70. 1.4 €N 1.5 Mathematical Literacy Scores 14 12 10 Frequency 0-10 10-20 20-30 30-40 30-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 Scores

Antwoorde op vrae 2 21 Interval Frekwensie 0<x<10 52 10<X<20 37 20 <x<30 69 30<x<4o 72 4o<x<50 119 50<x<60 72 60<x<70 35 7O<x<80 21 Geskatte gemiddelde: 52X54+37X15+69X254+72X354+119X45+72X55+35 X654+21X75 = 33 21 477 ’ 2.2 Modale klas = 60 < x< 70 2.3 Distance travelled to farmschool 140 120 N Y ( Pa 20 Tem 0 t 7 T T T t 1 0-10 10-20 20 - 30 30-40 30-50 50 - 60 60-70 70-80 Distance

Antwoorde op vrae 3 Interval Frekwensie Kumulatiewe Datapunt Frekwensie 0<x<10 23 23 (20; 23) 10 <xX<20 37 60 (30; 60) 20<x<30 45 105 (40; 105) 30<x<4o 88 193 (50; 193) 4O<x<50 52 245 (60; 245) 50<x<60 16 261 (70; 261) 60<x<70 12 273 (80; 273) Ogive 300 250 > aaa 200 150 LZ 100 4 50 Kuroul: aa T 1 T T T 1 20 30 40 50 60 7O 80 Klasmerk 4 4.1 124 bestuurders 4.2. 94 bestuurders

Antwoorde op vrae 43 Interval | Frekwensie | Kumulatiewe frekwensie 11-15 5 5 15-20 25 30 20-25 (o} 30 25-30 | 65 95 30-35 21 116 35-40 8 124 2 yGirxX) 5 v= yrs Xi xi -X% (x, — x)? 155 0,11 0,0121 142 -12,89 166,1521 169 14,11 199,0921 133 | -21,89 | 479,1721 189 | 34,11 1163,4921 128 -26,89 723,0721 175 ‘| 20,11 404,4121 168 13,11 171,8721 135 | -19,89 395,6121

d= 1394 x, = 154,89 v= 3702,8889 = 411,4321 9 + $ = 20,2838 6 6.1 6800 6.2 250 6.3. Minder as een, wat nie moontlik is nie, dus geen. 6.4 Nee. 7 Die Wiskunde redakteur is relatief meer duur. 8 8.1 Gemiddeld = 130,2 sekondes 8.2 s?=PS— 194,56 “S$ = 13,95 8.3. 9,5 ~ al1o die studente 9 9.1 Min =15 Q, =30 Mediaan = 45 Q, = 60 Maks = 100 9.2. Interkwartielvariasiewydte = 156 9.3. Die data is eweredig versprei. 9.4 Die data is simmetries. sos “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn Antwoorde op vrae 208

10 10.1 10.2 10.3 os “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn Antwoorde op vrae 10 ey 10 od y 209

Antwoorde op eksamenvraestelle Antwoorde op Wiskundevraestel 1 VRAAG1 11 11.1 9x(x-6) =15 «9x? —54x-15=0 3x?-18x-5=0 _ —b + vb? = 4ac 2a _ 18+ V384 = x = 6,27 of x = —0,27 x 11.2 x?—4x >-4 x?—4x+4 20 (x — 2)(x - 2) =0 x-220 x22 1.1.3 5x2 = 17x =5 $x? - 17x -5 = 0 x? — 34x -10=0 344VT196 2 x = 34,29 ofx = —0,29 1.2 1.2.1. x #9, want dit sal die noemer o maak, wat ongedefinieérd is. 1.2.2 Nee.3?=9 1.2.3 —+2=— 1+2x—-18+3x=0 5x = 17 1.3 13.4 2x4 2y =2....0...(1)

Antwoorde op eksamenvraestelle (3) in (2): 2(1-y)? + 4y? =4 2(1+ y? —2y) + 4y? =4 2+2y*-4y+4y-4=0 2y2-2=0 y?-1=0 Y-DO+)D=0 y=lofy=-1 y=1in(a): 2x+2=2 y=-lin(Qa): 2x-2=2 x=0 x=2 13.2 4x7 +6y-5 =O... qd) 2x? = Ty = 15Y we ee ee (2) Van (2): 2x? = 22y 2S UY veer en (3) (3) in (4): 4(11y) + 6y —5 =0 44y+6y-5=0 50y=5 Ven (4) (4) in Q): 2x? -7 (5) =15 (=) ga id_ 7_8_4 =T0 To 105 2 2 wes arose —2 x= FOX = 5 1.4 Die oppervlak van die hoenderhok word vergroot met ‘n faktor van 3,6. Die omtrek van die nuwe hoenderhok is 2 x 1,2x + 2 x 3y = 2,4x + 6y. VRAAG 2 (4x)73 4x? 1 21 2.411 —=—=-— 4x72 4x3 ax 21.2 V512x15 + V27x5 = 8x5 + 3x5 = 11x5 2.1.3 V5(v5 + V10) — V4 =5+v5vi0-2 = 34 V5v10 2.2 2.21 4.4% = 1024 4* =256= 4+

Antwoorde op eksamenvraestelle x=4 2.2.2 7*—7*t1=—42 7 -7P.T! = -6.7 7*(1—7) = -6.7 7*(-6) = -6.7 x=1 2.2.3 23°%*=54 2.3-* = 2.27 = 2.33 x=-3 VRAAG 3 3.1 341 65 3.1.2 Ty = 2n? + 3n 3.1.3 Tye = 2(16)? + 3(16) = 560 3.4 779 = 2n?+3n 2n? + 3n-—779 =0 346247 4 n=190rn= —25 (onmoontlik) --Die 19" reéling. 3.2 3.21 a=6;b=22 3.2.2 Ty=1=atbt Cw (1) T,=6=4at 2b + C.......-(2) T, = 13 = 9a + 3D +C ....4(3) (2)-(@):5=3a+b “b=53a (3)- @):7=5a 4D we (5) (4) in (5): 7 =5a+5-3a ain(5):7=5+b aenbin(1):1=1+2+¢

Antwoorde op eksamenvraestelle VRAAG 4 4a 4.1.1 0 =350000(1 — 0,18n) + 0 = 350 000 — 63 000n + 63 000N = 350000 “= 5,56 = 5 en-‘n-half jaar 4.1.2. A=350000(1 — 0,25)" = 110 742,19 4.2 Veronderstel die leningsperiode is 10 jaar, en die lening is R10 000. Lening 1: A = 10 000(1 + 0,12/2)° = 32 071,35 Lening 2: A=10000(1 + 0,1/4)*° = 26 850,64 -. Lening 2 sal minder kos. 43 A =78 000(1 + 0,12/12)" = 99 039,30 R99 039,30 — 65 000 = R34 039,30 A = 34.039,30(1 + 0,08/4)" = 43 170,06 A = 43 170,06(1 + 0,19/2)' = 62 063,91 -. Danie sal R62 063,91 hé. VRAAG 5 5a (3; -6) 5.2 fx) = -2@ +3)? -6 =0 -2(@? + 6x+9)-6=0 = Ex? — 45x — 12,75 = 0 x? 4+6x+17=0 _ ~6tv=32 ~ 2 -. f(x) het geen wortels nie. 5:3 X= 3

Antwoorde op eksamenvraestelle 5.4 55 f(@+3)= -2[@-3) +3? -6=0 5.6 k(x) = -6x +5 VRAAG 6 6.1 A(3; -2) en B(1; 5) 6.2 y=3 6.3 xeR;x#¥-2 6.4 r(x) = s(x) 2. -3=x44 x+2 5 yt 5=(e+7)(xt+2)=x74+9x4+14 x? +9x+9=0 _ -94Va5 2

Antwoorde op eksamenvraestelle x= —1,15 ofx = -7,85 r(-1,15) = 2,88 (7,85) = —3,85 6.5 -y=xt+4 ny=—-x-4 66 y=54+3 5 =-y2t3 67 r(2)=3-3= -1,75 -. H(2; -1,75) VRAAG7 7a y=30% a 3% Ht “AB =3-2=2° 7.2.1 BypuntE: n(2) = 3°"? = 1/3 + E(2; 1/3) en A(o; 3) + Mg = (3 -1/3)/(0 - 2) = -11/3 7.2.2. BypuntD: m(2)=37-7=1 + D(2; 1) en B(o; 1/9) + Mp = (1/9 -2)/(0- 1) = 18/9 7.2.3. Die kurwes is ewe steil. Antwoorde op Wiskundevraestel 2 VRAAG1 -3-3 =3+6 1.1 ™Mrq = 1.2 Van punt R: 3 = -2(-6) +c “C= se) “yy =-2K-9 0-9 1.3 Msp = =-45 5-3

Antwoorde op eksamenvraestelle -. Hulle is nie parallel nie, want die gradient is nie dieselfde nie. LA tan 6 = 3/8 “8 = 20,56° VRAAG 2 21 BC = {@—3)?+ (6-1) = v25 =5 2.2 Mag = = =1,17 * Mcp = —0,85 sy —2 = -0,85(x —4) oy = -0,85x + 5,4 23 AC = (C2—4? +(-2— 2) = v52 =7,21 AC = {2-47 4+©2-5)? = v85 = 9,22 Dit is nie ‘n gelykbenige driehoek nie. VRAAG 3 3a CABD = 180° - (180°- y+ x) =y-x 2 2 BD _ BD_ 3- sin(y—x) sin(90°+x) _ cosx 12 cosx « BD= ono AB . 33 bp Siny . _ 12cosxsiny “AB = oom 12 cos 43,21°.sin 38° _ 34 ABS a = 730m VRAAG 4 4.1 Oppervlakte van pizza = 6 x G.77. sin 60°) = 127,31 cm? 4.2 Kant-lengte van 5" pizza: 7 -0,5 — 0,5 - 0,5 -0,5=5cm Oppervlakte = 6 x (5.5.5.sin 60°) = 64,95 cm? so “© Via Aftika » Wiskunde Grand un ouiiiinniinitiiniitiininiiniisniiiininsiniinniniiiniiiiiiiiinniiiiininn 216

Antwoorde op eksamenvraestelle 4.3 Volume van halfsfeer = + ¢nr?) =2G"@') = 16,76 cm? Volume van silinder = mr?h = 1(2)2.10 = 125,66 cm? Totale volume = 16,76 + 125,66 = 142,42 cm? VRAAG5 5.1.1 Meer 1: Min = 12 000 000 Q, = 16.000 000 Mediaan = 20 000 000 Q, = 22 000 000 Maks = 34 000 000 Meer 2: Min =o Q, = 22000 000 Mediaan = 28 000 000 Q, = 30 000 000 Maks = 36 000 000 5.1.2 Meer2 5.1.3. Meer 1: 6000 000 Meer 2: 8 000 000 5.1.4 Meer 1 is positief skeef en meer 2 negatief skeef. 5.1.5 Die populasie in meer 1 is meer konstant.

Antwoorde op eksamenvraestelle 5.2.1 497 het vrae beantwoord 5.2.2 Ouderdom Frekwensie | Kumulatiewe frekwensie 40 <xX<50 12 12 50<x<60 27 39 60<x<70 58 97 7O<x<80 215 312 80<x<90 143 455 90<x<100 42 497 5.2.3 Ouderdomme van mense wat na aftree oorde trek 600 500 ane 400 300 a Frékwensie SS 100 ° 7 1 1 1 1 1 40-50 50-60 60-70 70 -80 80-90 90-100 Ouderdom 5.2.4 Die median interval is 70 < x < 80. VRAAG 6 : 2,12+2,05+2,63+1,8041,85+2,35+2,4442,014+3,0241,7841,9541,98+2,09+2,35+1,82+2,35+1,994+1,9242,35 Geniddeld = 79 6.1.1 =2,15m Mediaan = 2,05 m Modus = 2,35 m sos “© Via Aftika » Wiskunde Grand un susnannnnnnninoninnnnnnnnnsninnnnnnnsnsnsnnnnnnntnn ha sun

Antwoorde op eksamenvraestelle 6.1.2 0,31m 6.1.3. 18 swembaddens 6.2.1 Skool swembad dieptes 3.5 3 a 25 ° oo 6 ¢ —s 21% “= oo 15 1 Swembad dic 0.5 oO T T T T T 1 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Jaar 6.2.2 2.1m 6.2.3 Om-en-by 1998. VRAAG7 TA 1 7.2 RK = tan x (cos? x + cosx sin? x) _ sinx 2 2 = = [eos x(cos x + sin? x)] = sinx(1) = sinx = LK 73 Die oplossings sal in die 3° en 4° kwadrante wees. Die verwysingshoek is sin* -0,876 = -61,16°. Nou moet ons die algemene oplossing uitwerk: 3x = 180° — 61,16°+ k.360° of 3x = 360°-— 61,16°+k.360°7.k ER 3x = 118,83° + k.360° = 298,84° + k. 360° x = 39,61° + k.120° = 99,61° + k.120°

Woordely afhanklik is afhanklik van die waarde van iets anders afleiding ‘n afleiding is ‘n nuwe voorstel wat uit ‘n teorie voortvloei aksioom ‘n aksioom is ‘n Wiskundige stelling wat waar is dieptehoek ‘n dieptehoek is die hoek tussen ‘n horisontale lyn en die lyn vanaf ‘n waarnemer tot by ‘n voorwerp onder die horisontale lyn frekwensie ‘n lyngrafiek wat gebruik word om gegroepeerde data voor te stel gekwoteerde rente gekwoteerde rente word per jaar gekwoteer, maar word meer gereeld saamgestel grade ‘n eenheid waarin hoeke gemeet word; daar is 360 grade in ‘n sirkel gradiént ‘n gradiént is ‘n helling histogram ‘n histogram bestaan uit reghoeke met oppervlaktes gelyk aan die frekwensie van die veranderlike; die wydte van elke reghoek is gelyk aan die klasinterval hoek die spasie tussen twee lyne wat mekaar sny; gewoonlik in grade gemeet hoogtehoek die hoogtehoek is die hoek tussen ‘n horisontale lyn en die lyn vanaf die waarnemer tot by ‘n voorwerp bokant die horisontale lyn inklinasie die inklinasie van ‘n reguit lyn is die hoek wat die lyn vorm teen die positiewe x-as klaspunt die middelpunt van elke klasinterval kolineér as drie punte kolineér is, val hulle op dieselfde reguit lyn komplementére die komplement van A bestaan uit al die waardes wat nie in Ais nie; die komplement van A stelle word die komplementére stel genoem konvensionele spesifiseer ‘n peiling deur ‘n hoek en ‘n kompaspunt as verwysing te gebruik; gewoonlik in peiling grade gemeet kumulatiewe die kumulatiewe frekwensie is die som van al die frekwensies tot by daardie punt frekwensie lineére vergelyking vergelyking tussen twee veranderlikes nominale rente nominale rente word per jaar gekwoteer, maar word meer gereeld saamgestel nulproduk-reél die nulproduk-reél is: “As ax b=0,danisa=oorb=o0" ogief ‘n grafiek wat kumulatiewe frekwensie voorstel omgrens ‘n vorm wat rondom ‘n ander vorm gaan, omgrens die eerste vorm onafhanklik is nie van enigiets anders afhanklik nie onderling onderling uitsluitende gebeure kan nie terselfdertyd waar wees nie uitsluitend proefruimte die stel van alle moontlike uitkomste radikaal die wortel van ‘n hoeveelheid radikand die getal onder die wortelteken (die radikaal) regte prisma ‘n regte prisma is ‘n veelhoek met twee identiese aansigte — die basis genoem regte silinder ‘n silinder met kante loodreg met die basis siklies die vlakke van ‘n sikliese vierhoek lé almal op dieselfde sirkel standaardafwyking die maatstaf van hoeveel die hele stel datapunte van die gemiddelde verskil standaardvorm die mees algemene vorm van ‘n vergelyking of uitdrukking tangens ‘n lyn wat ‘n ander kurwe aanraak, maar nie kruis nie © Via Afrika » Wiskunde Graad 11 220

Woordely teorie ‘n teorie is ‘n voorstel oor iets, uitgedruk in formules, en wat bewys moet word uitskieters ‘n uitskieter is ‘n waarde wat ver van die res van die waardes in ‘n datastel lé variansie die maatstaf van hoe ver datapunte van die mediaan af is veelvlak ‘n veelvlak is ‘n geometriese vaste vorm in drie dimensies, met plat aansigte en reguit rande Venn-diagram ‘n diagram wat sirkels gebruik om stelle data en die verhoudings tussen die stelle data voor te stel waardevermindering die vermindering van die waarde van ‘n bate oor tyd ware peiling ons meet die ware peiling tussen twee punte in ‘n kloksgewyse rigting en begin by noord wortels die wortels van ‘n vergelyking is die oplossings van die vergelyking soe 6 Via Aika » W ick nd SGraadan nisin oy sons