Technical Mathematics Grade 12 P2 Gauteng Mock 2023 QP (Afr)

VOORBEREIDENDE EKSAMEN 2023 11092 TEGNIESE WISKUNDE (VRAESTEL 2) TYD: 3 uur PUNTE: 150 13 bladsye + ʼn 2 bladsye-inligtingsblad en ʼn 27 bladsy-antwoordboek b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 2 (VRAESTEL 2) 11092/23 INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies aandagtig deur voordat die vrae beantwoord word. 1. Hierdie vraestel bestaan uit TWAALF vrae. 2. Beantwoord AL die vrae in die SPESIALE ANTWOORDBOEK wat verskaf word. 3. Nommer die antwoorde korrek volgens die nommeringstelsel wat in hierdie vraestel gebruik is. 4. Dui ALLE berekeninge, diagramme, grafieke, ens. wat jy gebruik het om jou antwoorde te bepaal, duidelik aan. 5. Volpunte sal NIE noodwendig aan slegs antwoorde toegeken word NIE. 6. Jy mag ʼn goedgekeurde, wetenskaplike sakrekenaar (nie-programmeerbaar en nie-grafies) gebruik, tensy anders vermeld. 7. Indien nodig, rond antwoorde tot TWEE desimale plekke af, tensy anders vermeld. 8. Diagramme is NIE noodwendig volgens skaal geteken NIE. 9. Skryf netjies en leesbaar. b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 3 (VRAESTEL 2) 11092/23 VRAAG 1 Die diagram hieronder toon ∆ABC met hoekpunte A(–3; –4); B(1; 3) en C(3; –1). Lyn AB sny die x-as by punt D en 𝜃 is die hellingshoek van lyn BC. O 1.1 Bereken die lengte van lyn AB. (korrek tot TWEE desimale plekke) (3) 1.2 Bepaal die koördinate van M, die middelpunt van AC. (2) 1.3 Bereken die koördinate van D. (4) 1.4 Bereken die grootte van 𝜃, korrek tot twee desimale plekke, as die helling van BC – 2 is. (2) 1.5 As die vergelyking van die reguitlyn BC gegee word deur y = –2x + 5, bereken die moontlike x-koördinate van S, as S ʼn punt op BC is en OS = √5 eenhede. O is by die oorsprong. (4) [15] b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 4 (VRAESTEL 2) 11092/23 VRAAG 2 2.1 In die diagram hieronder word punt P(–3; –4) en Q(4; –3) met raaklyn PR en QR vanaf R geskets na die sirkel met middelpunt O(0; 0). Q(4; –3) P(–3; –4) 2.1.1 Bepaal die vergelyking van die sirkel. (2) 2.1.2 Toon aan dat die vergelyking van raaklyn PR 3x + 4y = 25 is. (3) 2.1.3 Bepaal vervolgens die koördinate van R indien die vergelyking van raaklyn RQ 4x – 3y = 25 is. (5) 2.2 Skets die grafiek gedefinieer deur: 𝑥 𝑦 1 49 25 Toon duidelik ALLE afsnitte met die asse. (3) [13] b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 5 (VRAESTEL 2) 11092/23 VRAAG 3 3.1 Gegee: A = 40° en C = 50°. Sonder die gebruik van ʼn sakrekenaar, bepaal die waarde van die volgende: 3.1.1 cos (A + C) (1) 3.1.2 cos 90° 2A C sin 180° 3C (4) 3.2 Indien cos 36° = , bepaal, deur die gebruik maak van ʼn toepaslike diagram: 3.2.1 Die waarde van x (2) 3.2.2 Bepaal vervolgens die waarde van die derde sy van die driehoek. (2) 3.3 Bepaal die numeriese waarde van sin , sonder die gebruik van ʼn sakrekenaar. (2) [11] VRAAG 4 4.1 Voltooi die volgende identiteit: 1 𝑐𝑜𝑠 𝛽 … (1) 4.2 Vereenvoudig, sonder die gebruik van ʼn sakrekenaar, die volgende trigonometriese uitdrukking: tan 180° 𝛽 . sin 180° 𝛽 𝑐𝑜𝑠 360° β 𝑠𝑒𝑐𝛽 (7) 4.3 Toon dat 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 𝑡𝑎𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 (3) 4.4 Bepaal die waarde(s) van 𝑥 as 2 tan 𝑥 10° 3,464 en 𝑥 ∈ 0° ; 360° . (4) [15] b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 6 (VRAESTEL 2) 11092/23 VRAAG 5 Gegee: 𝑓 𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 en 𝑔 𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥 vir 0° 𝑥 360°. 5.1 Teken ʼn sketsgrafiek van f en g op dieselfde assestelsel op die rooster wat in die ANTWOORDBOEK verskaf word. Dui duidelik AL die draaipunte, eindpunte en afsnitte met die asse aan. (6) 5.2 Skryf neer die periode van 𝑓. (1) 5.3 Gebruik die grafiek in VRAAG 5.1 en bereken die waarde(s) van 𝑥 waarvoor 𝑠𝑖𝑛2𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥 0. (2) 5.4 Skryf die waardeversameling van g neer. (2) [11] VRAAG 6 In die diagram hieronder is O die middelpunt van die sirkel. AB = 6 eenhede, AC = 7 eenhede en BC = 8 eenhede. 6.1 Toon, deur gebruik te maak van toepaslike berekeninge, dat BAC = 75,5°. (4) 6.2 Bepaal, met ʼn rede, die grootte van BOC. (2) 6.3 Bereken die deursnee van die sirkel. (korrek tot TWEE desimale plekke) (4) 6.4 Bereken die oppervlakte van ∆BOC. (korrek tot EEN desimale plek) (2) [12] b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 7 (VRAESTEL 2) 11092/23 VRAAG 7 7.1 Voltooi die volgende stelling: Die hoek wat gevorm word tussen die raaklyn aan ʼn sirkel en ʼn koord wat vanuit die raakpunt getrek word, is gelyk aan … (1) 7.2 In die diagram hieronder is A, B, C, E en F punte op die omtrek van die sirkel met middelpunt O. Raaklyne ED en CD word geskets waar hul onderskeidelik deur E en C gaan en albei ontmoet by punt D. OEC = 35°. 7.2.1 Waarom is C E ? (1) 7.2.2 Bepaal, met redes, drie ander hoeke in die diagram wat gelyk is aan 35°. (3) 7.2.3 Bepaal, met redes, die grootte van C . (3) 7.2.4 Wat is die verwantskap tussen EOC en CBO? (2) [10] b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 8 (VRAESTEL 2) 11092/23 VRAAG 8 8.1 Voltooi die volgende stelling: As twee driehoeke gelykhoekig is, is hulle … sye in verhouding (en is die driehoeke dus gelykvormig). (1) 8.2 In ∆ABC hieronder, is D, E en F punte op AB, AC en BC onderskeidelik. DE ∥ BC en EF ∥ AB. AE = 12 eenhede EC = 8 eenhede CF = 4 eenhede BF = r DA = t EF = 15 eenhede 8.2.1 Bereken, met redes, die numeriese waarde van r. (3) 8.2.2 Watter tipe vierhoek is BDEF? Gee ʼn rede vir die antwoord. (2) 8.2.3 Bereken vervolgens, met redes, die numeriese waarde van t. (3) 8.2.4 Toon vervolgens, met behulp van toepaslike berekeninge, dat ∆ADE ||| ∆EFC. (4) [13] b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 9 (VRAESTEL 2) 11092/23 VRAAG 9 In die diagram hieronder is QX = 5 eenhede, XS = 25 eenhede, QR = 15 eenhede en RY = 4√5 eenhede. RQS = 90° en XYS = 90°. 9.1 9.1.1 Bewys dat ∆SYX|||∆SQR. (4) 9.1.2 Voltooi die volgende: SY SQ SX … (1) 9.1.3 Bepaal vervolgens die numeriese waarde van SY. (korrek tot TWEE desimale plekke) (4) 9.2 Indien XY 5√5 eenhede, bepaal die: 9.2.1 Oppervlak ∆SYX Oppervlak ∆SQR (3) 9.2.2 Oppervlakte van vierhoek QRYX (3) [15] b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 10 (VRAESTEL 2) 11092/23 VRAAG 10 In die prentjie hieronder, aan die linkerkant van die raam, is ʼn sirkelvormige snymasjien wat ʼn lem het wat teen 11 000 omwentelinge per minuut roteer. Langs die prent is ʼn diagram, nie volgens skaal geteken nie, met sirkel O met ʼn radius van 16 cm en ʼn middelhoek AOC = 120°. Punte A, B en C is op die sirkel. Stippellyn AC is ʼn koord wat die sirkel in twee segmente verdeel. Bereken die volgende: 10.1 Die rotasiefrekwensie van die lem in omwenteling per sekonde (1) 10.2 Die omtreksnelheid van die lem in meter per sekonde (3) 10.3 Die hoeksnelheid van die lem in radiale per sekonde (3) 10.4 Die hoogte van die klein segment (3) 10.5 Die lengte van koord AC (3) [13] b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 11 (VRAESTEL 2) 11092/23 VRAAG 11 Die prentjie hieronder toon ʼn stuk vlekvrye staalpyp wat in die uitlaatstelsel van ʼn voertuig gebruik word. Hierdie een het ʼn 80° buiging. Die diagram aan die regterkant toon die sirkelvorm waar MSN die buiging van die prentjie aan die linkerkant voorstel. In die diagram, radii 𝑟 = 7 cm (OM) en 𝑟 = 3 cm (OT). Hulle verteenwoordig die binne- en buite diameter van die buiging. Punt M en N is op die sirkel met booglengte S en middelpunt O. 11.1 Herlei 80° na radiale. (korrek tot EEN desimale plek) (1) 11.2 Bereken die booglengte S met sentrale hoek 80°. (3) 11.3 Bereken die oppervlakte van die geskakeerde gedeelte van die vlekvrye staalpyp wat deur die prentjie regs voorgestel word. (4) [8] b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 12 (VRAESTEL 2) 11092/23 VRAAG 12 12.1 ʼn Kunsstudent maak ʼn kleibak wat 8 cm hoog is en ʼn radius het van 9 cm aan die bokant en 3 cm by die basis. Om die bak te maak, volg hy die instruksies hieronder wat deur ʼn Graad 11 Tegniese Wiskunde onderwyser aan hom gegee is. Stap 1: Bou ʼn hol keël met ʼn skuins hoogte van 15 cm en ʼn radius van 9 cm. Stap 2: Op hoogte 𝑦, sny die keël en bou ʼn soliede basis vir die bak met ʼn radius van 3 cm. 9 cm r 8 cm H 3 cm l y Die volgende formule kan gebruik word om hierdie vraag te beantwoord: Geslote keël 1 𝑉 𝜋𝑟 𝐻 3 TSA omtrek van die basis skuins hoogte oppervlakte van basis 1 TSA 2𝜋𝑟 𝑙 𝜋𝑟 2 TSA 𝜋rl 𝜋r waar 𝑙 skuins hoogte Oop keël 𝑉 𝜋𝑟 H 1 TSA omtrek van die basis skuins hoogte 2 1 TSA 2𝜋𝑟 𝑙 2 TSA 𝜋𝑟l waar 𝑙 = skuins hoogte b.o.

TEGNIESE WISKUNDE 13 (VRAESTEL 2) 11092/23 12.1.1 Bereken y, die hoogte waarop die keël gesny moet word. (3) 12.1.2 Bepaal vervolgens die volume van die bak as y = 4 cm. Gebruik 𝜋 = 3,14. (3) 12.1.3 Die kunsstudent wil die buiteoppervlak van die bak met emaljeverf verf. Die verf kan in 100 ml blikkies gekoop word. As een blikkie 90 cm2 dek, hoeveel blikkies sal hy moet koop? (5) 12.2 Die prent hieronder wys verf wat op ʼn muur gemors is. Hieronder is ʼn skets wat die area voorstel wat deur die verf bedek word. 5m 5m 5m 5m 5m 5m 7,4 m 6,9 m 5,6 m 7,8 m 6,7 m 7,4 m 8,1 m Gebruik die middelordinaatreël om die oppervlakte van die verf wat gemors het, te bereken. (3) [14] TOTAAL: 150 EINDE

TEGNIESE WISKUNDE 14 (VRAESTEL 2) 11092/23 INLIGTINGSBLAD: TEGNIESE WISKUNDE √ 𝑏 4𝑎𝑐 𝑏 𝑥 𝑥 𝑦 2𝑎 4𝑎 𝑎 𝑏⇔𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑏, 𝑎 0, 𝑎 1 𝑒𝑛 𝑏 0 𝐴 𝑃 1 𝑛𝑖 𝐴 𝑃 1 𝑛𝑖 𝐴 𝑃 1 𝑖 𝐴 𝑃 1 𝑖 𝑖 𝑖 1 1 𝑚 𝑓 𝑥 ℎ 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 lim → ℎ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝐶, 𝑛, 𝑘 ∈ ℝ met 𝑛 1 en 𝑘 0 𝑑𝑥 𝑘𝑙𝑛𝑥 𝐶, 𝑥 0 en 𝑘𝜖ℝ ; 𝑘 0 𝑘𝑎 𝑑𝑥 𝐶, 𝑎 0;𝑎 1 en 𝑘, 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑘 0 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑑 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑀 ; 2 2 𝑦 𝑦 𝑦 𝑚𝑥 𝑐 𝑦 𝑦 𝑚 𝑥 𝑥 𝑚 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑚 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 1 𝑎 𝑏 In ∆ABC: 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 1 𝑂𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑛 ∆ABC 𝑎𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝐶 2 sin θ cos θ 1 1 tan θ sec θ cot θ 1 cosec 𝜃

TEGNIESE WISKUNDE 15 (VRAESTEL 2) 11092/23 𝜋𝑟𝑎𝑑 180° Hoeksnelheid 𝜔 2𝜋𝑛 waar n = rotasiefrekwensie Hoeksnelheid 𝜔 360 𝑛 waar n = rotasiefrekwensie Omtreksnelheid 𝜈 𝜋𝐷𝑛 waar D = middellyn en n = rotasiefrekwensie Omtreksnelheid 𝜈 ωr waar 𝜔 = hoeksnelheid en 𝑟 radius Booglengte 𝑠 𝑟𝜃 waar r = radius en 𝜃 sentrale hoek in radiale 𝑟𝑠 Oppervlakte van sektor waar r = radius, s = booglengte 2 𝑟 𝜃 𝑂𝑝𝑝𝑒𝑟𝑣𝑙𝑎𝑘𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 waar r = radius en 𝜃 sentrale hoek in radiale 2 4ℎ 4𝑑ℎ 𝑥 0 waar h = hoogte van segment, d = middellyn van sirkel en x = lengte van koord 𝐴 𝑎 𝑚 𝑚 𝑚 ⋯ 𝑚 waar a = gelyke dele, 𝑚 𝑜 𝑛 ordinaat en n = aantal ordinate OF 𝑜 𝑜 waar a = gelyke dele, 𝑜 𝑛 ordinaat en n= aantal 𝐴 𝑎 𝑜 𝑜 ⋯ 𝑜 2 ordinate