MTG Mathematics Afr

Mind the Gap Wiskunde-studiegids Graad 12 Wiskunde Die Mind the Gap studiegids help jou om die sprong te maak en hard te Graad Wiskunde studeer om die Graad 12-eksamen suksesvol af te lê. Hierdie publikasie is nie te koop nie. © Kopiereg Departement van Basiese Onderwys www.education.gov.za Studiegids 12 Die publikasie het ‘n Creative Commons Attribution NonCommercial Shareallike lisensie. Inbelsentrum 0800 202 833 Departement: Departement: Basiese Onderwys Basiese Onderwys REPUBLIEK VAN SUID-AFRIKA REPUBLIEK VAN SUID-AFRIKA

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Hierdie inhoud mag nie vir kommersiële doeleindes verkoop of gebruik word nie. Kurrikulum en Assesseringsbeleidsverklaring (KABV) Graad 12 Mind the Gap-studiegids vir Wiskunde ISBN 978-1-4315-1933-O Hierdie publikasie het ŉ Creative Commons Attribution NonCommercial Sharealike lisensie. Jy kan die inhoud gebruik, aanpas, oplaai, aflaai en deel, maar jy moet erkenning gee aan die Departement van Basiese Onderwys, die skrywers en medewerkers. Indien jy enige veranderinge aan die inhoud aanbring, moet jy die verandering aan die Departement van Basiese Onderwys stuur. Hierdie inhoud mag nie vir kommersiële doeleindes verkoop of gebruik word nie. Vir meer inligting oor die bepalings van die lisensie, sien http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/. Kopiereg © Departement van Basiese Onderwys 2015 Strubenstraat 222, Pretoria, Suid-Afrika Kontakpersoon: Dr Patricia Watson Epos: watson.p@dbe.gov.za Tel 012 357 4502 http://www.education.gov.za Inbelsentrum: 0800202933 Die eerste uitgawe, wat in 2012 gepubliseer is, vir die Hersiene Nasionale Kurrikulumverklaring (HNKV) Graad 12 Mind the Gap-studiegidse vir Rekeningkunde, Ekonomie, Geografie en Lewenswetenskappe; en die tweede uitgawe, wat in 2014 uitgegee is, is in ooreenstemming gebring met die Kurrikulum en Assesseringsbeleidsverklaring (KABV) en in 2015 is meer titels by die reeks gevoeg, onder andere die KABV Graad 12 Mind the Gap-studiegids vir Wiskunde. ISBN 78-1-4315-1935-4 Mind the Gap-produksiespan Besturende redakteur vir die reeks: Dr. Patricia Watson Produksie-koördineerders: Lisa Treffry-Goatly en Radha Pillay Produksie-assistente: Nomathamsanqa Hlatshwayo en Motshabi Mondlane Skrywers: Lynn Bowie, Ronald Peter Jacobs, Sue Jobson, Terrence Mongameli Mbusi, Sello Gert Motsoane, Nonhlanhla Rachel Mthembu, Ntshengedzeni Steven Muthige, Mpho Francis Phatlane, Josephina Mamaroke Phatlane, Peter Ketshepile Raadt, Percy Stephen Tebeila, Anita van Heerden en Carol Wyeth. Vakkundige lesers: Prof Bruce Watson, Leonard Mudau en Karen van Niekerk Proeflesers: John Ostrowick en Angela Thomas Ontwerpers: Sonja McGonigle en Erika van Rooyen Illustreerders: Michele Dean, Vusi Malindi, Khosi Pholosa, John Ostrowick, Kenneth Tekane Omslagillustrasie: Alastair Findlay Afrikaansvertaler: Marga Vos IT-ondersteuning tydens skrywerswerkswinkel op die perseel: Wayne Cussons Spesiale dank aan Winning Teams, CEO Denzil Hollis, vir die organisasie se vakkundigheid en ondersteuning met die werkswinkel Winning Team-bordspeletjies fasiliteerders: Mantse Khoza en Sue Jobson

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Ministeriële voorwoord Die Departement van Basiese Onderwys is verheug om die tweede uitgawe van die reeks Mind the Gap-studiegidse vir Graad 12-leerders bekend te stel. Hierdie studiegidse gaan voort met die vernuwende en toegewyde poging deur die DBO om die akademiese prestasie van Graad 12-kandidate in die Nasionale Senior Sertifikaat (NSS)-eksamen te verbeter. Die studiegidse is geskryf deur ŉ span vakkundiges wat bestaan uit onderwysers, eksaminators, moderators, vakadviseurs en vakkoördineerders. Navorsing wat in 2012 begin het, het getoon dat die Mind the Gap-reeks sonder twyfel ŉ positiewe impak op punte gehad het. Dit is ons vurige wens dat die Mind the Gap- studiegidsreeks ons almal nader sal bring aan ŉ punt waar geen leerder agterbly nie veral aangesien ons 20 jaar van demokrasie vier. Matsie Angelina Motshekga, LP Die tweede uitgawe van Mind the Gap is in ooreenstemming gebring met die 2014 Minister van Basiese Onderwys Kurrikulum en Assesseringsbeleidsverklaring (KABV). Dit beteken dat die skrywers die Nasionale Beleid wat betrekking het op die program, bevorderingsvereistes en protokol vir assessering van die Nasionale Kurrikulumverklaring vir Graad 12 in 2014 in aanmerking geneem het. Die KABV-gerigte Mind the Gap-studiegidse spruit deels voort uit die 2013 Nasionale Diagnostiese verslag oor leerderprestasie en is ook gebaseer op die Graad 12 Eksamenriglyne. Elkeen van die Mind the Gap-studiegidse verskaf sleutelterminologie en bied eenvoudige verduidelikings en voorbeelde van tipiese vrae wat leerders in die eksamen kan verwag. Merkmemorandums is ook ingesluit om leerders te help om beter te verstaan. Leerders word ook verwys na spesifieke vrae in vorige nasionale eksamenvraestelle en eksamenmemorandums wat op die Departement se webwerf, www.education.gov.za, beskikbaar is. Die KABV-uitgawes sluit Rekeningkunde, Ekonomie, Geografie, Lewensweten- skappe, Wiskunde, Wiskundige Geletterdheid en Fisiese Wetenskappe Deel 1: Fisika en Deel 2: Chemie in. Die reeks is in Engels en Afrikaans beskikbaar. Daar is ook nege Engels Eerste Addisionele Taal (EAT) studiegidse beskikbaar. Dit is EAT Vraestel 1 (Taal in konteks), EAT Vraestel 3 (Skyfwerk) en ŉ gids vir elkeen van die voorgeskrewe literatuurwerke wat in Vraestel 2 ingesluit is. Dit is Short Stories, Poetry, To Kill a Mockingbird, A Grain of Wheat, Lord of the Flies, Nothing but the Truth en Romeo and Juliet. (Onthou asseblief wanneer jy vir EAT Vraestel 2 voorberei, dat jy net die voorgeskrewe werke leer wat jy in jou EAT-klas by die skool gedoen het.) Die studiegidse is ontwerp om leerders by te staan wat onderpresteer het as gevolg van te min blootstelling aan die vereiste inhoud van die kurrikulum. Die doel van hierdie reeks gidse is om die gaping tussen slaag en druip te oorkom en om leemtes in die leerders se kennis van algemene konsepte te oorbrug, sodat leerders kan slaag. Al wat oorbly, is dat ons Graad 12-leerders nou die nodige ure spandeer om toegewyd voor te berei vir die eksamens. Leerders, maak ons trots – studeer hard. Ons wens julle alle sterkte toe vir julle Graad 12-eksamen. __________________________________ Matsie Angelina Motshekga, LP Minister van Basiese Onderwys 2015

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Inhoudsopgawe Beste Graad 12-leerder ...............................................................ix Hoe om hierdie Studiegids te gebruik. ...................................... xi Top 10-studiewenke.....................................................................xii Geheuerympies. ..........................................................................xiii Breinkaarte. ................................................................................. xiv Op die dag van die eksamen...................................................... xv Vraagwoorde wat jou kan help om vrae te beantwoord. ...... xvi Woordeskat................................................................................. xvii Algemene terme......................................................................... xvii Tegniese terme............................................................................ xix Die wiskunde wat jy nodig het. ............................................. xxviii Eenheid 1: Eksponente en wortelvorms.................................... 1 1.1 Die getallestelsel.......................................................................... 1 1.2 Werk met irrasionale getalle. ...................................................... 3 1.3 Eksponente................................................................................... 6 1.4 Eksponensiaalvergelykings. ...................................................... 12 1.5 Vergelykings met rasionale eksponente................................... 14 1.6 Eksamentipe voorbeelde........................................................... 17 Eenheid 2: Algebra......................................................................19 2.1 Algebraïese uitdrukkings........................................................... 19 2.2 Optelling en aftrekking. ............................................................. 19 2.3 Vermenigvuldiging en deling. .................................................... 20 2.4 Faktorisering............................................................................... 21 2.5 Notas oor die faktorisering van ’n trinoom............................... 22 2.6 Kwadratiese vergelykings.......................................................... 24 2.7 Kwadratiese ongelykhede. ........................................................ 30 2.8 Gelyktydige vergelykings............................................................ 34 2.9 Die aard van die wortels............................................................ 37 Eenheid 3: Getalpatrone, rye en reekse.................................. 42 3.1 Getalpatrone............................................................................... 42 3.2 Rekenkundige rye. ..................................................................... 43 3.3 Kwadratiese rye. ........................................................................ 45 3.4 Meetkundige rye. ....................................................................... 48 3.5 Rekenkundige en meetkundige reekse.................................... 50 Mind the Gap INLEIDING v Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Eenheid 4: Funksies....................................................................60 4.1 Wat is ’n funksie?....................................................................... 60 4.2 Funksienotasie........................................................................... 62 4.3 Die basiese funksies, formules en grafieke. ............................ 63 4.4 Inverse funksies. ........................................................................ 81 4.5 Die logaritmiese funksie............................................................ 84 Eenheid 5: Trig funksies.............................................................88 5.1 Grafieke van trigonometriese funksies..................................... 88 5.2 Die effek van a op die vorm van die grafiek: verandering in amplitude........................................................... 91 5.3 Die effek van q op die vorm van die grafiek: vertikale skuif. .. 93 5.4 Die effek van b op die vorm van die grafiek: verandering in periode.................................................................................... 94 5.5 Die effek van p op die vorm van die grafiek: horisontale skuif......................................................................... 95 Eenheid 6: Finansiële groei en verval. ...................................101 6.1 Hersiening: Enkelvoudige en saamgestelde rente. ............... 101 6.2 Bereken die waarde van P, i en n. ..........................................104 6.3 Enkelvoudige en saamgestelde vervalformules. ................... 107 6.4 Nominale en effektiewe rentekoerse......................................109 6.5 Beleggings met veranderinge in tyd en rentekoers. ..............111 6.6 Annuïteite..................................................................................113 Eenheid 7: Differensiaalrekene. .............................................123 7.1 Gemiddelde gradiënt. ..............................................................123 7.2 Gemiddelde tempo van verandering. .....................................125 7.3 Die afgeleide van ’n funksie by ’n punt. .................................126 7.4 Gebruike van die afgeleide...................................................... 131 7.5 Teken die grafiek van ŉ derdegraadspolinoom. ....................132 Eenheid 8: Waarskynlikheid....................................................145 8.1 Hersiening.................................................................................145 8.2 Teoretiese waarskynlikheid en relatiewe frekwensie. ...........146 8.3 Venndiagramme....................................................................... 147 8.4 Onderling uitsluitende gebeurtenisse.....................................149 8.5 Komplementêre gebeurtenisse. .............................................150 8.6 Gebeurtenisse wat nie onderling uitsluitend is nie. ..............152 8.7 Opsomming van simbole en versamelings wat in waarskynlikheid gebruik word.................................................154 8.8 Boomdiagramme en gebeurlikheidstabelle...........................158 8.9 Gebeurlikheidstabelle.............................................................. 161 8.10 Telbeginsels..............................................................................164 8.11 Gebruik telbeginsels in waarskynlikheid................................ 170 vi INLEIDING Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Eenheid 9: Analitiese meetkunde. .........................................172 9.1 Hersiening: Analitiese meetkunde.......................................... 172 9.2 Die vergelyking van ’n lyn. ....................................................... 177 9.3 Die inklinasie van ’n lyn........................................................... 179 9.4 Sirkels in analitiese meetkunde..............................................184 Eenheid 10: Trigonometrie. .....................................................191 10.1 Hersiening: Trig verhoudings................................................... 191 10.2 Trig verhoudings in al die kwadrante van die Cartesiese vlak.........................................................................194 10.3 Los driehoeke op met trig........................................................196 10.4 Gebruik ’n sakrekenaar om trig verhoudings te bepaal........ 197 10.5 Die trig verhoudings van spesiale hoeke................................198 10.6 Gebruik reduksieformules.......................................................201 10.7 Trigonometriese identiteite......................................................205 10.8 Meer trig identiteite.................................................................. 207 10.9 Los trigonometriese vergelykings op. .....................................209 10.10 Nog oplossing van trig vergelykings met identiteite. ............. 213 10.11 Saamgestelde en dubbelhoek identiteite................................... 215 10.12 Bepaal x waarvoor die identiteit ongedefinieerd is. ..............220 Eenheid 11: Trigonometrie: Sinus, kosinus en oppervlaktereëls........................................................................222 11.1 Reghoekige driehoeke.............................................................222 11.2 Oppervlaktereël........................................................................ 224 11.3 Sinusreël...................................................................................226 11.4 Kosinusreël...............................................................................228 11.5 Probleme in twee en drie dimensies. .....................................230 Eenheid 12: Euklidiese Meetkunde. ......................................235 12.1 Hersiening: Eweredigheid en oppervlakte van driehoeke.....235 12.2 Eweredigheidstellings. ............................................................. 237 12.3 Gelykvormige veelhoeke.......................................................... 240 Eenheid 13: Statistiek..............................................................248 13.1 Staafgrafieke en frekwensietabelle. ....................................... 249 13.2 Mate van sentrale neiging.......................................................250 13.3 Mate van verspreiding (of uitbreiding)....................................254 13.4 Vyfgetalopsomming en mond-en-snordiagramme.................256 13.5 Histogramme en frekwensieveelhoeke. .................................260 13.6 Kumulatiewe frekwensietabelle en grafieke (ogiewe). ..........263 13.7 Variansie en standaardafwyking.............................................267 13.8 Tweeveranderlike data en strooiingsdiagramme (strooiingsgrafieke)................................................................... 271 13.9 Die lineêre regressielyn (of die kleinste-kwadrate- regressielyn). ............................................................................ 274 Mind the Gap INLEIDING vii Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Beste Graad 12-leerder Ons is oortuig Hierdie Mind the Gap-studiegids is ontwerp om jou met jou voorbereiding dat hierdie Mind the Gap- studiegids jou sal help om goed vir die KABV Graad 12-eindeksamen te help. voor te berei sodat jy die einde van die jaar Hierdie studiegids dek NIE die totale kurrikulum nie, maar fokus op die sal slaag. kernkonsepte van elk van die kennisareas en wys jou in watter areas jy maklik punte kan verdien. Jy moet deur die studiegids werk om jou kennis te verbeter, jou swakpunte te identifiseer en jou eie foute te korrigeer. Om ŉ goeie slaagsyfer te verseker, beveel ons aan dat jy jou handboek en klasnotas gebruik om self deur die ander aspekte van die kurrikulum te werk. Oorsig van die Graad 12-eksamen Die TWEE eksamenvraestelle wat jy aan die einde van die jaar gaan skryf, bestaan uit die volgende onderwerpe: Vraestel Onderwerpe Tydsduur Totaal Datum Nasiening Patrone en rye 3 uur 150 Oktober/ Ekstern Finansies, groei en verval November Funksies en grafieke 1 Algebra, vergelykings en ongelykhede Differensiaalrekene Waarskynlikheid Euklidiese Meetkunde 3 uur 150 Oktober/ Ekstern Analitiese Meetkunde November 2 Statistiek en regressie Trigonometrie © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING ix Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Kognitiewe vlak Beskrywing van vaardighede wat gedemonstreer Gewig Benaderde moet word aantal punte in ŉ 150 punt vraestel • Feite herroep Kennis • Identifisering van die korrekte formule op die 20% 30 punte inligtingsblad (geen verandering van die onderwerp nie) • Die gebruik van wiskundige feite • Toepaslike gebruik van wiskundige woordeskat • Algoritmes • Skatting en toepaslike afronding van getalle • Bewyse van voorgeskrewe stellings en afleiding van Roetineprose- formules 35% 52–53 punte dures • Doen bekende prosedures • Eenvoudige toepassings en berekeninge wat min stappe behels • Afleiding uit gegewe inligting mag betrokke wees • Identifiseer en gebruik (na die onderwerp verander is) van korrekte formule • Oor die algemeen soortgelyk aan dié wat in die klas ervaar word • Probleme behels komplekse berekeninge en/of Komplekse hoërorde redenasie 30% 45 punte prosedures • Daar is dikwels nie ŉ duidelike pad na die oplossing nie • Probleme hoef nie op lewensegte kontekste gebaseer te wees nie • Kan die maak van beduidende verbande tussen verskillende voorstellings behels • Vereis konseptuele begrip • Daar word van leerders verwag om probleme op te los deur verskillende onderwerpe te integreer • Nie-roetine probleme (wat nie noodwendig moeilik Probleemoplos- is nie) 15% 22–23 punte sing • Probleme is hoofsaaklik onbekend • Hoërorde redenasie en prosesse is betrokke • Kan die vermoë vereis om ŉ probleem in sy samestellende dele af te breek. • Interpretasie en ekstrapolasie uit oplossings wat verkry is deur probleme in onbekende kontekste op te los x INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Hoe om hierdie studiegids te gebruik Wees op die uitkyk vir hierdie Hierdie studiegids dek sekere aspekte van die verskillende ikone in die temas van die KABV Graad 12-kurrikulum. Hierdie aspekte word studiegids aangebied in dieselfde volgorde as wat dit deur die jaar onderrig word. Die geselekteerde aspekte van elke tema word soos volg aangebied: • ŉ Verduideliking van terme en konsepte NB PAY SPECIAL ATTENTION NB • Uitgewerkte voorbeelde om te verduidelik en te demonstreer • Aktiwiteite met vrae wat jy moet beantwoord • Antwoorde wat jou in staat stel om jou werk te PAY SPECIAL kontroleer. ATTENTION NB NB HINT! wenk Wenke om jou te help om ŉ konsep te Skenk spesiale Uitgewerkte NB PAY SPECIAL ATTENTION NBwenk HINT! onthou of om jou te bv. EG - worked examples aandag voorbeelde lei om probleme op te los exams HINT! bv. EG - worked examples Aktiwiteit met hint Stap-vir-stap- Verwys na jou vorige vrae wat jy moet instruksies eksamenvraestelle beantwoord exams e.g. EG - worked examples activity • Die aktiwiteite is gebaseer op eksamentipe vrae. Bedek die ACTIVITIES boy and girl-left and right of page antwoorde exams wat verskaf word met ŉ boek of papier en doen self eers elke aktiwiteit. Kontroleer dan jou antwoorde. Beloon jouself vir die activity activity dinge wat jy reg doen. As jy antwoorde verkeerd het, maakACTIVITIES seker boy dat jy verstaan wat jy verkeerd gedoen het voordat jy met die volgende and girl-left and right of page afdeling aangaan. comment comment activity • In hierdieactivity inleidende bladsye gaan ons deur die wiskunde wat jy ken, Step by step veral algebra en grafieke. Dit is noodsaaklike vaardighede wat jy ACTIVITIES boy and girl-left and nodig het vir enige vak wat van wiskunde gebruik maak. Maak seker right of page dat jy dieactivity inhoud op daardie bladsye verstaan voordat jy verder comment gaan.comment • Gaan na www.education.gov.za om vorige eksamenvraestelle Step by step af te laai en te oefen. Gebruik hierdie Step by step comment comment studiegids as ŉ werkboek. Maak aantekeninge, teken prentjies en beklemtoon of onderstreep belangrike konsepte © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xi Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Top 10-studiewenke 1. Hou al die skryfbehoeftes wat jy nodig het om te studeer, soos penne, potlode, glanspenne, papier, ensovoorts, byderhand. Probeer hierdie studiewenke om makliker te leer. 2. Wees positief. Maak seker dat jou brein die inligting vaslê deur jouself voortdurend te herinner hoe belangrik dit is om die werk te onthou en die punte te kry. 3. Stap nou en dan buite rond. ŉ Verandering van omgewing sal jou leervermoë stimuleer. Jy sal verbaas wees hoeveel meer jy inneem nadat jy ŉ bietjie vars lug geskep het. 4. Deel jou leertyd in hanteerbare eenhede op. As jy probeer om alles op een slag te leer, sal dit net jou brein moeg, ongefokus en angstig maak. 5. Hou jou studietye kort maar effektief, en beloon jouself met kort, konstruktiewe ruspouses. 6. Verduidelik die konsepte wat jy geleer het aan enigeen wat bereid is om te luister. Dit kan dalk aan die begin vreemd voel, maar dit is beslis die moeite werd om jou hersieningsnotas hardop te lees. 7. Prente en verskillende kleure help jou brein om te leer. Gebruik dit oral waar jy kan. 8. Volstaan met die leerareas wat jy goed ken, en fokus jou breinkrag op die afdelings wat jy sukkel om te onthou. 9. Herhaling is die sleutel om die werk wat jy ken, te onthou. Hou die pas vol en moenie opgee nie. 10. Slaap elke nag ten minste 8 uur lank, eet gesond en drink baie water – dit is alles belangrike dinge wat jy kan doen om jou brein te ondersteun. Voorbereiding vir die eksamen is amper soos harde fisiese oefening, en daarom moet jy fisies voorbereid wees. As jy dit nie eenvoudig kan verduidelik nie, dan verstaan jy dit nie goed genoeg nie. Albert Einstein xii INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Geheuerympies ŉ Geheuerympie is ŉ nuttige tegniek om inligting wat moeilik is om te onthou, in jou geheue vas te lê. Hieronder is ŉ voorbeeld van ŉ geheuerympie wat baie in Wiskunde, Wiskundige Geletterdheid en Fisiese Wetenskappe gebruik word: Geheuerympies Hendrik Van Deventer “skryf” inligting in kodes en maak dit makliker om te Verkies Ook Appels: onthou H – Hakies V – Van of beVel: magte, vierkantswortels, ens. D – Deel V – Vermenigvuldig O – Optel A – Aftrek Regdeur hierdie boek sal daar ander geheuerympies gegee word om jou te help om inligting te onthou. Hoe meer kreatief jy is en hoe meer jy jou inligting in “kodes” skryf, hoe nuttiger sal jou geheuerympies wees. Opvoeding help mens om nie geïntimideer te voel in vreemde situasies nie. Maya Angelou © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xiii Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Breinkaarte Die Mind the Gap-studiegidse bevat verskeie breinkaarte (ook genoem geheuekaarte) wat die werk in sommige afdelings opsom. PIER draai dwars verbind idees TAKK PA E middel NAAM verskillende kleure BREINKAART IDEES REËLS prent W E OO geniet! NT R sleute l PRE DE skryf op oral! lyn Breinkaarte werk omdat dit inligting aanbied op dieselfde wyse as waarop ons brein die inligting “sien”. Wanneer jy die breinkaarte in hierdie studiegids leer, kan jy prente vir elke vertakking byvoeg om jou te help om die inhoud te onthou. Ontwikkel jou eie breinkaarte soos wat jy elke afdeling voltooi. Hoe om jou eie breinkaart te ontwikkel: 1. Draai jou papier dwars sodat jou breinkaart in alle rigtings kan uitsprei. 2. Besluit op ŉ beskrywende naam vir die breinkaart wat die inligting wat jy daarin gaan opsom bondig saamvat. Jou 3. Skryf die naam in die middel en trek ŉ sirkel, borrel of prent rondom leerwerk lyk interessanter en dit is die naam. makliker om te leer as 4. Skryf net sleutelwoorde op die sytakke neer, nie volsinne nie. Hou dit jy jou aantekeninge in kort en kragtig. breinkaarte voorstel. 5. Elke tak moet ŉ ander idee aantoon. Gebruik ŉ ander kleur pen vir elke idee. Verbind die inligting wat saamhoort. Dit sal jou help om die konsepte in te skerp en te verstaan. 6. Maak jou aktiwiteit prettig en voeg gerus prente by; dit maak nie saak as jy nie goed kan teken nie. xiv INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Op die dag van die eksamen 1. Sorg dat jy al die skryfbehoeftes vir jou eksamen byderhand het, byvoorbeeld pen, potlood, uitveër, liniaal, gradeboog, passer en sakrekenaar (met vars batterye). Bring ook jou ID-dokument en eksamentoelatingsbrief saam. 2. Wees betyds, arriveer ten minste ŉ uur voordat die eksamen begin by die eksamenlokaal. 3. Gaan toilet toe voordat jy die eksamenlokaal binnegaan. Jy wil nie waardevolle tyd verloor deur gedurende die eksamen die lokaal te moet verlaat nie. 4. Gebruik die tien minute leestyd om die instruksies noukeurig deur te lees. Dit help jou om die inligting in jou brein te “ontsluit”. Begin met die maklikste vraag om jou denkprosesse aan die gang te sit. 5. Breek die vraag in kleiner dele op om seker te maak jy verstaan presies wat gevra word. As jy die vraag nie behoorlik beantwoord nie, sal jy nie punte daarvoor kry nie. Kyk na die sleutelwoorde in die vraag vir riglyne oor hoe jy dit moet beantwoord. ŉ Lys met moeilike woorde (woordeskat) word later in hierdie inleiding verskaf. 6. Probeer om al die vrae te beantwoord. Elke vraag het sekere maklike punte; maak dus seker jy doen ten minste ŉ deel van elke vraag in die eksamen. 7. Moenie paniekerig raak nie, selfs al lyk die vraag aanvanklik moeilik. Dit sal wel verband hou met iets wat jy geleer het. Vind die verband. STERKTE! 8. Bestuur jou tyd oordeelkundig. Moenie tyd mors met vrae waaroor jy onseker is nie. Gaan aan en kom terug as die tyd dit toelaat. Doen die vrae waarvan jy die antwoorde weet eerste. 9. Skryf groot en duidelik. Jy sal meer punte kry as die nasiener jou antwoord maklik kan lees. 10. Kyk na hoeveel punte aan elke antwoord toegeken word. Die regmerkies in hierdie studiegids se antwoorde gee jou ŉ riglyn van hoe punte toegeken word. Moenie meer of minder inligting gee as wat vereis word nie. © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xv Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Vraagwoorde wat jou kan help om vrae te beantwoord Dit is belangrik om die vraagwoorde (die woorde wat jou sê wat om te doen) te identifiseer en te begryp sodat jy presies weet wat die eksaminator verwag. Gebruik die verduidelikings in die tabel hieronder as riglyn wanneer jy vrae beantwoord. Vraagwoord/-frase Wat van jou verwag word Analiseer Onderskei; ondersoek en interpreteer Benoem Gee die naam (selfstandige naamwoord) van iets Bepaal Om iets te bereken, of om die antwoord te ontdek deur bewyse te ondersoek Bereken Dit beteken ŉ numeriese antwoord word vereis – oor die algemeen moet jy jou bewerkings aantoon, veral waar twee of meer stappe betrokke is Beskryf Sê in woorde (deur diagramme te gebruik waar toepaslik) wat die hoofpunte van ŉ struktuur/ proses/verskynsel/ondersoek is Bespreek Oorweeg alle inligting en kom tot ŉ gevolgtrekking Definieer Gee ŉ duidelike betekenis Gee Stel van feite sonder bespreking of verduideliking Identifiseer Noem die noodsaaklike kenmerke GEE SPESIALE AANDAG Klassifiseer Plaas aspekte met soortgelyke kenmerke in dieselfde groep Lys Skryf ŉ lys van items, met geen bykomende detail nie Merk/etiketteer Identifiseer op ŉ diagram of tekening Noem Verwys na toepaslike punte Onderskei Gebruik verskille om kategorieë te bepaal Stel voor Gee ŉ verduideliking van, sê wat die betekenis is Tabuleer Trek ŉ tabel en dui die antwoorde as direkte pare aan In elke eksamenvraag, trek ŉ Verduidelik Maak dit wat jy aanbied duidelik, interpreteer dit en SIRKEL om die vraagwoord gee besonderhede. en onderstreep enige ander Vergelyk Lys ooreenkomste en verskille tussen dinge, belangrike sleutelwoorde. konsepte of verskynsels Hierdie woorde sê vir jou presies wat gevra word. xvi INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Woordeskat Bepaal (ww.) Werk uit, gewoonlik met ŉ eksperiment of berekening, ontdek Die volgende woordeskat bestaan uit al die of soek moeilike woorde wat in die Mind the Gap-Wiskunde, Bewys (ww.) Ondersoek iets in detail -Wiskundige Geletterdheid en -Fisiese Wetenskap gebruik word. Ons stel voor dat jy die lys hieronder D ŉ paar keer deurlees om seker te maak dat jy elke term verstaan. Merk elke term af sodra jy dit verstaan sodat jy maklik kan sien waar jou kennis Dalend (adj.) Gaan af ontbreek. Data (enkelv. (s.nw.) Inligting gegee of ingesamel en meerv.) SLEUTEL Definieer (ww.) Gee die betekenis van ŉ Afkorting Betekenis woord of woorde (ww.) werkwoord: doenwoord of Definisie (s.nw.) Die betekenis van ŉ woord aksiewoord, soos “loop” of woorde (s.nw.) selfstandige naamwoord, soos Diskreet (adj) Enkel, apart, duidelik, ŉ deel “persoon” (adj.) adjektief: beskrywende woord soos F “groot” (byw.) bywoord: beskryf die werkwoord, soos “vinnig” Fabriek (s.nw.) ŉ Plek waar goedere gemaak word of waar dele (voors.) voorsetsels: ŉ woord wat ŉ posisie saamgevoeg word beskryf, soos “op”, “by” Faktor (s.nw.) ŉ Omstandigheid, feit of (enk.) enkelvoud: een van invloed wat bydra tot ŉ resultaat; (meerv.) meervoud: meer as een van ŉ komponent of deel. ŉ Getal wat (afk.) afkorting deelbaar is deur ŉ ander getal (voorv.) voorvoegsel sonder ŉ res Formaat (s.nw.) Uitleg of patroon; die manier Algemene Terme waarop iets uitgelê is Term Betekenis G A Gee (ww.) Verduidelik waarom Aandui (ww.) Om iets aan te toon of uit te rekenskap wys Gelyktydig (byw.) Op dieselfde tyd Aangrensend (adj.) Langs iets Gevolgtrek- (s.nw.) Slotsom of idee wat iemand Afhandel (ww.) Finaliseer iets of maak king uitgewerk het dit duidelik; bring iets tot ŉ gevolgtrekking. H Afkort (ww.) Maak korter. Aflei (ww.) Om iets uit te werk deur te Hipotese (s.nw.) ŉ Teorie of voorgestelde redeneer verduideliking Analiseer/ (ww.) Ondersoek iets in detail Hipoteties (adj.) Teoreties of tentatief; wag vir ontleed verdere bewyse. Horisontaal (adj.) Dwarsoor, van links na regs of B van regs na links (van die “horison”, die lyn wat die aarde en lug skei) Benader (ww & adj) Kom nader aan (ww.); rofweg, byna, nie presies akkuraat nie, naby maar nie presies nie © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xvii Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 I Oorweeg (ww.) Nadink Opeenvol- (adj.) Een na die ander sonder Identifiseer (ww.) Herken of uitwys gend onderbrekings Illustreer (ww.) Gee ŉ voorbeeld om te wys Opname (s.nw.) ŉ Algemene oorsig, wat bedoel word; teken ondersoek of beskrywing van iemand of iets Impliseer (ww.) Stel voor sonder om direk te sê wat bedoel word Opname (ww.) Kyk van naderby na of maak ondersoek; oorweeg ŉ wyer reeks opinies of opsies K Opteken (ww.) Maak ŉ aantekening van iets om later daarna te verwys Kategorie (s.nw.) Klas of groep dinge Optekening (s.w) ŉ Aantekening wat gemaak is Kompleks (adj.) Bestaan uit baie verskillende om later daarna te verwys; bewys dele; nie maklik om te verstaan nie. van iets; ŉ kopie van iets (s.nw.) ŉ groep of stelsel van dinge Optimaal (adj.) Die beste; mees gunstige wat op ŉ gekompliseerde wyse saamgestel is R Komponent (s.nw.) ŉ Deel Relatief (adj.) Het betrekking op iets anders M Resiprook (adj.) Omgekeerd Respekteer (ww.) Bewonder iets of iemand; Manipuleer (ww.) Hanteer of kontroleer (ŉ ding neem die gevoelens of behoeftes of ŉ persoon) van ŉ ander persoon in ag Meervoudig (adj.) Baie Model (s.nw.) ŉ Goeie of tipiese voorbeeld S Motiveer (ww.) Gee iemand ŉ rede waarom iets gedoen moet word Saamgesteld (adj.) Gevorm uit verskillende dele Saamstel (ww.) Om te vorm uit dele N Samestelling (s.nw.) Iets wat uit dele gemaak is Stygend (adj.) Gaan op Numeries (adj.) Wat verband hou of uitgedruk word as ŉ getal of getalle T O Talle (adj.) Baie Teenstelling (s.nw.) Iets wat baie anders is as Omgekeerd (byw.) Die teenoorgestelde van waarmee dit vergelyk word. Onbeduidend (adj.) Klein en gering Tendens (s.nw.) ŉ Neiging om iets op ŉ Onderskei- (adj.) Met betrekking tot mekaar, in bepaalde manier te doen; ŉ delik verband met items wat in dieselfde gewoonte volgorde gelys is Toepas (ww.) Maak ŉ formele toepassing; Ondersoek (ww.) Navorsing doen of ŉ studie is van toepassing maak van iets Transversaal (s.nw.) Strek dwars oor iets Ontdekking (s.nw.) Resultate van ŉ soeke of onthulling U Onvoldoende (adj.) Nie genoeg nie Oorbodig (adj.) Meer as wat nodig is Uitgesonderd (voors.) Nie inbegrepe nie Oordeelkun- (adj.) Versigtig, beleefd dig Uitsluitend (adj.) Uitgesonderd of nie by ander dinge toegelaat nie; uitgehou vir Oortref (ww.) Om verder te gaan een bepaalde groep of persoon Oorvloed (s.nw.) Meer as wat nodig is xviii INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 V Afgeleide (s.nw.) Wiskunde: Die veranderingstempo van ŉ funksie met betrekking tot ŉ onafhanklike Vasstel (ww.) om te wys of te bewys, om op veranderlike. Sien onafhanklike te stel of te skep veranderlike. In algemene gebruik: Verbinding (s.nw.) Wanneer twee of meer dinge iets wat uit iets anders kom. op dieselfde punt bymekaarkom Afhanklik (adj./s.nw.) ŉ Veranderlike waarvan Vergelyk (ww.) Toon die verskil aan tussen (veranderlike) die waarde van ŉ ander afhang; die uitkoms van ŉ eksperiment; die Verklaring (s.nw.) Iets waarby kommentaar resultate. Sien ook onafhanklike of verduidelikings, wat gewoonlik veranderlike en beheerveranderlike. geskryf word, gevoeg word Die afhanklike veranderlike het Verkry (ww.) Kry waardes wat afhang van die Verskaf (ww.) Beskikbaar maak vir gebruik; onafhanklike veranderlike, en ons gee stip dit op die vertikale as. Versus (voors.) Teenoor. Afgekort as “vs” Afleiding (s.nw.) Wiskunde: om die bewerkings en soms “v” van jou rekenkunde of antwoord of oplossing aan te toon; die proses om Verteenwoor- (ww.) Aangestel om vir iemand op te ŉ afgeleide te bepaal. dig tree of te praat; Afmeting (s.nw.) Die meetbare grootte of Vertikaal (adj.) Regop; reguit boontoe omvang van ŉ meetkundige vorm Vertoon (ww.) Om aan te toon of te wys oor die algemeen en dikwels op ŉ Vertoonstuk (s.nw.) ŉ Deel van ŉ uitstalling Cartesiese Koördinaatstelsel, bv. die Vice versa (byw.) Omgekeerd x-afmeting (breedte) Volstaan (ww.) Genoegsaam wees Afrond (ww.) Om te benader, veral ŉ irrasionale getal, na ŉ korter reeks Vonds (s.nw.) Inligting wat ontdek is as ŉ desimale getalle. resultaat van ŉ navraag Afsnit (s.nw.) Waar ŉ lyn ŉ as op ŉ grafiek Vrygestel (adj.) Nie meer gebind nie en sny. Sien sny. onthef van pligte Afwyking (s.nw.) ŉ Variasie van die statistiese Vrystel (ww.) Om vry te wees van ŉ plig norm; nie so ver uit soos ŉ uitskieter Vrystelling (s.nw.) Om vry te wees van ŉ nie. Die hoeveelheid waardeur ŉ verpligting. enkele mate verskil van ŉ vaste waarde soos die gemiddelde. ŉ Betekenisvolle afwyking vanaf die W gemiddelde waarde. Aksioma (s.nw.) ŉ Basiese waarheid van Willekeurig (adj.) Gebaseer op ewekansige wiskunde. keuse; onbeperk en outokraties Algebra (s.nw.) ŉ Wiskundestelsel waar Wisselbaar (adj.) Kan met mekaar omgeruil of onbekende kwantiteite deur letters uitgeruil word voorgestel word, wat gebruik kan word om komplekse berekenings met sekere reëls te doen. Tegniese Terme Annuïteit (s.nw.) ŉ Vaste bedrag wat na aftrede maandeliks aan iemand betaal word, tipies vir die res van hul lewe, as ŉ A versekeringspolis. Annum, per (byw.) Vir die hele jaar (bv. “Jy moet Absis (s.nw.) Die afstand vanaf ŉ punt (ook per jaar) R100 per annum betaal”.) na die vertikale of y-as, word ewewydig aan die horisontale as of x-as gemeet; die koördinaat. Sien ordinaat. © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xix Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 As (s.nw.) ŉ Lyn waarop punte gestip Breuk (s.nw.) Wiskunde: Nie ŉ telgetal nie; (geplaas) kan word om te wys hoe ŉ verteenwoordiging van ŉ deling. ŉ ver dit vanaf ŉ sentrale punt, wat Deel, bv. die derde breuk van twee is 2 die oorsprong genoem word, is. Sien 0,666 of __   3 wat beteken twee wat in oorsprong. “Vertikale as” of “y-as” drie dele verdeel is. verwys na hoe hoog na bo ŉ punt vanaf die oorsprong is (of hoe ver onder). “Horisontale as” of “x-as” D verwys na hoe ver links of regs ŉ punt van die oorsprong af is. Definisie- (s.nw.) Die moontlike versameling Asimptoot (s.nw.) ŉ Lyn wat ŉ gegewe kromme versameling x-waardes vir ŉ grafiek van ŉ funksie. voortdurend nader maar dit nie op Sien waardeversameling. enige eindige afstand raak nie. Deler (s.nw.) Die getal onder die lyn in ŉ breuk; die getal wat die ander getal bokant die breuklyn verdeel. Sien B teller, noemer. Derdegraads (adj.) Gevorm soos ŉ kubus; is drie Basis (s.nw.) Die horisontale laagste lyn op of kubies keer met homself vermenigvuldig ŉ diagram van ŉ geometriese vorm, Diagonaal (adj./s.nw.) ŉ Lyn wat twee gewoonlik van ŉ driehoek. teenoorstaande hoeke van ŉ vorm Beheer/ (ww.) Om seker te maak iets met hoeke verbind. kontroleer verander nie sonder dat dit toegelaat Diameter (s.nw.) Die lyn wat deur die word om te verander nie. middelpunt van ŉ vorm loop, van een Beheerveran- (s.nw.) ŉ Veranderlike wat konstant sy van die vorm na die ander, veral ŉ derlike gehou word om die verwantskap sirkel. Formule: d = 2r. Sien radius, tussen twee ander veranderlikes omtrek. te ontdek. “Beheerveranderlike” Diskriminant (s.nw.) ŉ Funksie van die koëffisiënte moenie verwar word met “Beheerde van ŉ polinoomvergelyking waarvan veranderlike” nie (sien onafhanklike waardes inligting gee oor die wortels veranderlike). van die polinoom. Belasbaar (adj.) ŉ Diens, aankope of item of Drievoudig (adj.) Drie maal soveel. inkomste waarop belasting gehef word. E Belasting (s.nw.) ŉ Verpligte heffing wat op landsburgers se inkomste of aankope gelê word om die aktiwiteite Eenheid (s.nw.) ŉ Onderafdeling van ŉ skaal. van die regering te befonds. Sien skaal. Bepaal (ww.) Maak dat iets gebeur; om vas Eksponensiaal (adj.) Om iets baie keer te te stel; om die oorsaak te vind. vermenigvuldig; ŉ kromme wat ŉ Bepaalde (adj.) ŉ Spesifieke ding wat uitgewys eksponent verteenwoordig. of bespreek word; om ŉ lid van ŉ Eksponent (s.nw.) Wanneer ŉ getal verhef groep of iets uit te sonder of uit te word tot ŉ mag, d.i. soveel keer met wys. homself vermenigvuldig word as wat Bi- (voorv.) Twee. die mag aandui (die klein getalletjie bo die grondtal). Dus, 23 beteken Binoom/ (s.nw.) ŉ Algebraïese uitdrukking 2 x 2 x 2. tweeterm van die som of die verskil van twee terme. Bivariaat (adj.) Afhanklik van twee veranderlikes. Boskrif (s.nw.) ŉ Getal aan die bokant van die res van die lyn, bv. πr2. Breedte (s.nw.) Hoe wyd iets is. xx INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Ekstrapolasie (s.nw.) Om die lyn van ŉ grafiek verder Frekwensie (s.nw.) Hoe dikwels. Gewoonlik word 12 1 te trek, in waardes wat nie empiries dit as ŉ breuk voorgestel, bv. ___   48 =  __ 4 opgeteken is nie, om ŉ toekomstige of 0,25. gebeurtenis of resultaat te voorspel. Funksie (s.nw.) Wiskunde: wanneer twee In gewone taal: om te sê wat gaan eienskappe of hoeveelhede korreleer. gebeur gebaseer op vorige resultate As y verander soos x verander, dan wat verkry is deur eksperimentering is y = f(x). Sien korreleer, grafiek, of meting. As jy ŉ grafiek het en Cartesiese, as, koördinaat. Ook: sekere resultate opgeteken het (bv. ŉ verhouding met meer as een verandering vs tyd) en jy trek die lyn veranderlike (wiskunde). verder in dieselfde kromme, om te sê watter toekomstige resultate jy sal kry, word dit ekstrapolasie genoem. G Sien voorspel. Wiskunde: om ŉ ander iterasie, waarde of oplossing te Geleidelik (byw.) Om stadig te verander of te voorspel wat gebaseer is op ŉ formule beweeg. wat ŉ vorige oplossing formuleer. Gelykbenig (s.nw./adj.) ŉ Driehoek waarvan twee Element (s.nw.) Wiskunde: deel van ŉ (driehoek) sye ewe lank is. versameling getalle. Algemene gebruik: deel van. Gelykhoekig (adj.) Het dieselfde hoek. Elimineer (ww.) Om uit ŉ breuk te verwyder. Gelyksydig (adj.) Het sye wat ewe lank is. Sien kanselleer. Gemiddeld (s.nw.) Wiskunde: Die som van dele Enkelvoudige (s.nw.) Rente wat slegs gehef word op gedeel deur die hoeveelheid dele. rente die oorspronklike bedrag wat geskuld Algemene gebruik: nie baie goed, sterk, word, lei elke keer tot dieselfde ens. nie maar ook nie baie swak, sleg, bedrag. ens. nie; in die middel. As jy gevra word om die gemiddeld te bepaal, moet jy Euklidiese (adj.) Het betrekking op die dit bereken met die inligting wat jy het. meetkunde van regluitlyne op plat Byvoorbeeld, die gemiddeld van (1;2;3) vlakke. is 2 want (1+2+3)/3 = 2. Sien ook Ewe (adj.) Deelbaar deur twee sonder ŉ gemiddelde, mediaan en modus. res. Gemiddelde (s.nw.) Sien gemiddeld. Ewekansig (adj.) Onvoorspelbaar, het geen Geometrie/ (s.nw.) Die wiskunde van vorm. oorsaak of bekende oorsaak nie. meetkunde Word gedoen sonder beplanning. Geometries (adj.) Vorder of groei in ŉ reëlmatige Eweredigheid (s.nw.) Om iets in verband te bring verhouding. met iets anders op ŉ reëlmatige manier, om deel te wees van iets met Gradiënt (s.nw.) ŉ Helling. ŉ Toename of betrekking tot sy volume, grootte, afname in ŉ eienskap of mate. Ook ens; om te verander namate iets die koers van so ŉ verandering. In anders verander. Sien korreleer en die formule vir ŉ lyngrafiek, y = mx + onderskeidelik. c, is m die gradiënt. Ewewydig/ (adj.) Hou ŉ gelyke afstand langs Grafiek (s.nw.) ŉ Diagram wat parallel ŉ lengte vanaf ŉ ander item (lyn, eksperimentele of wiskundige voorwerp, figuur). Wiskunde: twee waardes of resultate voorstel. lyne loop langs mekaar maar hou Cartesiese koördinate. altyd ŉ gelyke afstand tussen hulle. Grafies (adj.) Duidelik of helder of opmerklik. Grafika (s.nw.) ŉ Diagram of grafiek. F Grondtal (s.nw.) ŉ Getal ingevolge waarvan ander getalle as logaritmes uitgedruk word. Of ŉ getal wat gebruik word as Faktoriseer (ww.) Om in faktore te ontbind. die basis van ŉ numeringskaal. Fakulteit (s.nw.) Die produk van ŉ heelgetal H en al die heelgetalle onder dit; bv. fakulteit vier (4!) is gelyk aan 24. Formule (s.nw.) Sien uitdrukking. Halveer (ww.) Om in twee te deel. © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xxi Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Heelgetal (s.nw.) ŉ Telgetal wat nie ŉ breuk is Jaart/tree (s.nw.) Ou Imperiale mate van lengte, nie, kan negatief wees. ongeveer gelyk aan ŉ meter Helling (s.nw.) Sien gradiënt. (1,09 m). Hiperbool (s.nw.) Wiskunde: ŉ grafiek van ŉ deel van ŉ keël waarvan die K eindpunte van die grafiek af is; ŉ simmetriese (albei kante is dieselfde) Kans (s.nw.) Dieselfde as waarskynlikheid; oop kromme. dat iets miskien kan gebeur maar dit Histogram (s.nw.) ŉ Staafgrafiek wat kontinue is moeilik om te voorspel of dit sal. (ononderbroke) data voorstel (d.i. Kanselleer (ww.) Om ŉ faktor te verwyder deur data sonder gapings). Daar is geen met die faktor te deel. spasies tussen die stawe nie. ŉ Histogram wys die frekwensie, of Koëffisiënt (s.nw.) ŉ Konstante waarde wat die aantal kere, wat iets binne ŉ langs ŉ algebraïese simbool spesifieke interval of “groep” inligting geskryf word as ŉ vermenigvuldiger. gebeur. Dieselfde as konstante (sien konstante). Of: ŉ vermenigvuldiger Hoek (s.nw.) Die verskil in posisie tussen of faktor wat ŉ eienskap meet, bv. twee reguitlyne wat by ŉ punt wrywingskoëffisiënt. bymekaarkom, word in grade gemeet. Koers (s.nw.) Hoe dikwels per sekonde (of per enige ander tydperk). Homologies (s.nw.) Behorende aan dieselfde Fisika: aantal gebeurtenisse groep dinge; analogies. per sekonde, sien frekwensie. Finansies: die wisselkoers vir ŉ I ander geldeenheid; hoeveel eenhede van een geldeenheid dit kos om ŉ eenheid van ŉ ander geldeenheid Imaginêre (s.nw.) I; ŉ getal wat ŉ veelvoud is te koop. Ook “rentekoers”, of getalle van die vierkantswortel van (-1) Die watter persentasie van ŉ lening uit teenoorgestelde van reële getalle. rentekoste of fooie bestaan. Nie in die eksamen nie/gevorderd. Komplement (s.nw.) Meetkunde: die hoeveelheid Inflasie (s.nw.) Dat pryse verhoog met in grade waar ŉ gegewe hoek minder verloop van tyd; dat die waarde van is as 90°. geld verlaag met verloop van tyd. Wiskunde: die dele van ŉ Algemene gebruik: die aksie om versameling of klas wat nie dele is groter te word. van ŉ gegewe deelversameling nie. Inlig (ww.) Om te verduidelik, om lig te Moenie dit verwar met kompliment werp. (prys) nie. Interkwartiel (adj.) Tussen kwartiele. Sien kwartiel. Konstante (s.nw.) Sien koëffisiënt. Beteken Interval (s.nw.) Gaping. ŉ Verskil tussen twee “onveranderd”. mates. Kontinue (adj.) Wiskunde: het geen onderbrekings tussen wiskundige Inverse (s.nw.) Die teenoorgestelde van. 1 punte nie; ŉ ononderbroke grafiek of Wiskunde: een gedeel deur, bv. __   2 is kromme stel ŉ kontinue funksie voor. die inverse van 2. Sien funksie. Irrasionale (s.nw.) Breuke wat repeteer, of wat Kontrole (s.nw.) ŉ Eksperimentele situasie getalle nie as ŉ verhouding van telgetalle waar niks gedoen is nie, om met ŉ uitgedruk kan word nie. Desimale. aparte eksperimentele situasie, wat die “eksperiment” genoem word J waarin ŉ verandering probeer word, te vergelyk. Die kontrole word dan met die eksperiment vergelyk om te Jaarliks (adj.) Een maal elke jaar (bv. sien of ŉ verandering plaasgevind “Kersfees is ŉ jaarlikse vakansie”. het. xxii INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Koord (s.nw.) ŉ Lyn wat deur ŉ sirkel of Kwosiënt (s.nw.) ŉ Verhouding. boog sny by ŉ posisie wat nie die diameter is nie. L Koördinaat (s.nw.) Die x- of y-posisie van ŉ punt op ŉ Cartesiese grafiek, gegee as ŉ x- of y-waarde. Koördinate (mv.) word Lewer (ww.) Gee ŉ antwoord of ŉ oplossing. gegee as ŉ geordende paar (x; y). Korrelasie (s.nw.) Dat daar ŉ verwantskap Lineêr (adj.) In ŉ lyn. Wiskunde: in ŉ direkte is tussen twee dinge, sonder om verwantskap wat, wanneer dit met aan te toon dat een ding die ander Cartesiese koördinate op ŉ grafiek veroorsaak. geteken word, ŉ reguitlyn is. Korreleer (ww.) Om ŉ verwantskap tussen twee Logaritme (s.nw.) ŉ Hoeveelheid wat die mag dinge te sien of waar te neem sonder verteenwoordig waartoe ŉ vaste getal om aan te toon dat die een die ander (die grondtal) verhef moet word om een veroorsaak. ŉ gegewe getal te gee. Die grondtal Korreleer (ww.) Om dinge af te paar in ŉ van ŉ algemene logaritme is 10, korrelasieverwantskap. Vir twee en dié van ŉ natuurlike logaritme is dinge om ooreen te stem of te pas. die getal e (2,7183...). ŉ Log grafiek Bv. A korreleer met 1, B korreleer kan ŉ geometriese of eksponensiaal met 2; C korreleer met 3, ens. verwantskap, wat oor die algemeen gekrom is, in ŉ reguitlyn verander. Kwadraat (s.nw.) Die eksponent 2 (bv. die kwadraat van 4 is 42 = 16). Loodreg (adj.) Normaal; met regte hoeke tot (90°). Kwadreer (ww.) Vermenigvuldig met homself, verhef tot die mag 2. Sien kwadraat. M Kwalitatief (adj.) Met betrekking tot die kwaliteit of eienskappe van iets. ŉ Kwalitatiewe ontleding kyk na Manipuleer (ww.) Om iets te verander of te veranderinge in eienskappe soos herrangskik. Gewoonlik beteken kleur, dit kan nie in getalle omskryf dit in wiskunde om ŉ formule te word nie. Vorm dikwels ŉ teenstelling herrangskik om iets op te los om ŉ met kwantitatief. antwoord te kry. Kwantitatief (adj.) Met betrekking tot, of Mediaan (s.nw.) Wiskunde: die getal in die vergelykenderwys, met hoeveelhede. middel van ŉ reeks getalle wat in Vorm dikwels ŉ teenstelling met volgorde uitgeskryf is. kwalitatief. ŉ Kwantitatiewe Metries/ (adj.) ŉ Maatstelsel, wat ŉ grondtal ontleding is een waarin jy getalle, metriek 10 gebruik (d.i. al die eenhede waardes en mates vergelyk. is deelbaar deur 10). Die VSA Kwantiteit (s.nw.) Hoeveelheid. gebruik iets wat bekend staan as Kwartiel (s.nw.) ŉ Kwart van ŉ liggaam of die Imperiale stelsel wat nie in data wat as ŉ persentasie voorgestel wetenskap gebruik word nie. Die word. Dit is die verdeling van data Imperiale stelsel is gegrond op 12. in 4 gelyke dele van 25% elk. Om Voorbeelde: 2,54 cm (metries) = 1 die kwartiele te bepaal, deel eers duim (imperiaal). 1 voet = 12 duim = die inligting in twee gelyke dele om ongeveer 30 cm; 1 meter = 100 cm. die mediaan (Q2) te bepaal en deel 1 Fl.Oz (vloeistofons) = ongeveer dan die eerste helfte in twee gelyke 30 ml. dele, die mediaan van die eerste Minimaliseer/ (ww.) Om so klein as moontlik te helfte is die onderste kwartiel (Q1), verklein maak. verdeel dan die tweede helfte in Minimum (adj.) Het betrekking op die modus, twee gelyke dele, en die mediaan of metode. Kan beteken: oor die van die tweede helfte is die boonste wiskundige modus of oor die metode kwartiel (Q3). Data kan opgesom wat gebruik word. Sien modus. word met vyf waardes wat die vyfgetalopsomming genoem word, d.i. die minimumwaarde, onderste kwartiel, mediaan, boonste kwartiel en maksimumwaarde. © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xxiii Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Model (s.nw.) ŉ Algemene of Opeenvolgend (adj.) Volg van een na die ander. vereenvoudigde manier om ŉ ideale Oplos (ww.) Om met ŉ oplossing (antwoord) situasie te beskryf, in wetenskap, te voorskyn te kom. Toon jou ŉ wetenskaplike beskrywing wat bewerkings. alle gevalle van die soort ding wat waargeneem word, dek. ŉ Oplossing (s.nw.) Wiskunde: die stap-vir- Voorstelling. stap-vertoning van berekenings om by die antwoord uit te kom. Modus (s.nw.) Die mees algemene getal in ŉ Algemene gebruik: die antwoord op ŉ reeks getalle. Sien ook gemiddelde, probleem, in die sin van die oplossing mediaan. (verwydering) van ŉ probleem. Oppervlakte (s.nw.) Lengte x breedte (wydte). N Optimaal (adj.) Die beste, die meeste. Ordinaat (s.nw.) ŉ Reguitlyn vanaf enige Nader (ww.) Om naby te kom in waarde. punt ewewydig aan een koördinaat- Natuurlike (s.nw.) Enige getal wat nie ŉ breuk as en wat die ander kruis, veral ŉ getalle is nie en wat groter is as -1 (nul is koördinaat ewewydig gemeet aan die ingesluit). Positiewe heelgetalle. vertikale as. Sien absis. Negatiewe (adj.) Onder nul. P Normaal (s.nw./adj.) Wiskunde en Wetenskap: ŉ krag, vektor of lyn wat met regte hoeke tot ŉ ander krag, vektor of lyn Parallelogram ‘n Viersydige figuur met twee of voorwerp optree. (s.nw.) Algemene ewewydige sye. Afkorting: parm. gebruik: reëlmatig of standaard (adj.). Parameter (s.nw.) ŉ Waarde of algebraïese simbool in ŉ formule. Statistiek: O ŉ numeriese eienskap van ŉ populasie, teenoor ŉ statistiek van ŉ steekproef. Ogief (adj.) ŉ Gepunte boogvorm; ŉ ŉ Hoeveelheid waarvan die waarde kumulatiewe frekwensiegrafiek. vir die bepaalde omstandighede Omtrek (s.nw.) Die afstand rondom die gekies is en met betrekking buitekant van ŉ sirkel. tot watter ander veranderlike Onafhanklik (s.nw.) Die dinge wat optree as inset hoeveelhede teenwoordig kan wees. (veranderlike) tot die eksperiment, die potensiële Pent- (voorv.) Vyf. oorsake. Ook genoem die beheerde veranderlike. Die onafhanklike Pentagoon (s.nw.) ŉ Vyfsydige figuur waarvan al veranderlike word nie verander deur die sye ewe lank is. ander faktore nie, en ons stip dit Per (voors.) Vir elke, volgens. op die horisontale as. Sien beheer, Periode (s.nw.) Die tydperk tussen afhanklike veranderlike. gebeurtenisse; ŉ seksie van tyd. Onderling (adj.) Met betrekking tot mekaar, Periodiek (adj.) Gereeld; gebeur gereeld. beïnvloed mekaar. Permutasie (s.nw.) Die aksie om die reëling te Onewe (adj.) Nie deelbaar deur twee sonder verander, veral die lineêre volgorde ŉ res nie. van ŉ versameling items. Ongelykbenig (adj.) ŉ Driehoek met ongelyke sye. Persent (byw.) Vir elke deel in 100. Die koers Ongelykheid (s.nw.) ŉ Verhouding tussen twee per honderd. uitdrukkings wat nie gelyk is nie, Persentiel (s.nw.) ŉ Verdeling van persentasies deur ŉ teken soos ≠ “nie gelyk aan”, in onderafdelings, bv. as die skaal in > “groter as” of < “kleiner as” te vier verdeel is, is die vierde persentiel gebruik. enigiets tussen 75 en 100%. Onvoldoende (adj.) Nie genoeg nie. Pi (s.nw.) π die Griekse letter p, die Oorhel (ww.) Om te leun. verhouding van die omtrek van ŉ sirkel tot sy diameter. ŉ Konstante Oorsprong (s.nw.) Wiskunde: die middelpunt sonder eenhede met ŉ waarde van van ŉ Cartesiese koördinaatstelsel. ongeveer 3,14159. Algemene gebruik: die bron van iets; waar dit vandaan kom. xxiv INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Piramide (s.nw.) ŉ Poliëder waarvan een vlak Reële getal (s.nw.) Enige nie-denkbeeldige getal, ŉ poligoon is met enige aantal sye, dit is, ŉ getal wat nie ŉ veelvoud of en die ander vlakke driehoeke is met die vierkantswortel van (-1) is nie. ŉ gemeenskaplike toppunt. Sluit rasionale en irrasionale getalle, Plan (s.nw.) Argitektuur: ŉ diagram wat heelgetalle in. die uitleg en struktuur van ŉ gebou Reghoek (s.nw.) ’n Parallelogram met slegs voorstel, veral uit die bo-aansig. Meer regte hoeke (90°). algemene gebruik: enige ontwerp Regte hoek (s.nw.) ŉ Hoek van 90°. of diagram, of enige voorgenome opeenvolging van aksie, bedoel om ŉ Rekening (s.nw.) ŉ Afdeling van wiskunde doel te bereik. (calculus) wat te doen het met die bepaling en eienskappe van afgeleides en Poli- (voorv.) Baie. integrale van funksies, deur metodes Poliëder/ (s.nw.) ŉ Driedimensionele vorm met wat oorspronklik gebaseer was op veelvlak baie plat sye wat gewoonlik identies die sommering van infinitesimaal is. (oneindig klein) verskille. Die twee Poligoon/ (s.nw.) Enige vorm met baie (ten hoofsoorte is differensiaalrekening veelhoek minste drie) gelyke sye en hoeke. en integraalrekening. Polinoom (s.nw.) ŉ Uitdrukking van meer Rente (s.nw.) Finansies: geld wat gereeld as twee algebraïese terme, veral teen ŉ bepaalde koers betaal word die som van verskeie terme wat vir die gebruik of leen van geld. Dit verskillende magte van dieselfde kan deur ŉ finansiële organisasie veranderlike(s) bevat. of bank aan jou betaal word (in die geval van spaargeld), of dit kan deur Populasie (s.nw.) Statistiek: die groter liggaam jou aan ŉ finansiële organisasie of waaruit die statistiese steekproef bank betaal word vir geld wat jy van geneem word. die organisasie geleen het. Sien Positiewe (adj.) Bokant nul. saamgestelde rente en enkelvoudige Priemgetal (s.nw.) Enige getal wat deelbaar is rente, sien ook leen. deur homself en een. Res (s.nw.) Oorblyfsel. Wiskunde: ŉ Produk (s.nw.) Wiskunde: die resultaat van hoeveelheid wat oorbly nadat gedeel die vermenigvuldiging van twee is en wat nie verder gedeel kan getalle. word tensy mens ŉ desimale getal of breuk as ŉ resultaat wil hê nie, Projek (s.nw.) ŉ Plan van aksie of d.i. waar die deler nie die noemer langtermyn aktiwiteit wat bedoel is presies deur ŉ heelgetal deel nie. om iets te produseer of ŉ doel te bereik. Resiprook (s.nw.) ŉ Komplement van ŉ getal wat wanneer dit by die ander getal Projekteer/ (ww.) Om iets te gooi, of om iets te getel word, 1.0 lewer. beraam raai of te voorspel (ŉ projeksie). Om ŉ resultaat te voorspel. Sien Rombus/ruit (s.nw.) ŉ Vierhoek (viersydige) figuur ekstrapoleer. (diagram of vorm) met gelyke sye, maar geen regte hoeke (90° hoeke) nie. R S Raaklyn (s.nw.) ŉ Reguitlyn wat ŉ kromme by slegs een punt raak, dui die helling van die kromme by daardie punt aan. Saamgestelde (adj.) Bestaan uit dele. Radius (s.nw.) Die afstand tussen die Saamgestelde (s.nw.) Rente gehef op ŉ bedrag middelpunt van ŉ voorwerp, rente wat verskuldig is, maar wat rente gewoonlik ŉ sirkel, en sy omtrek tot op datum insluit. Vergelyk met of buitekant. enkelvoudige rente. Rasionale (s.nw.) ŉ Breuk wat as ŉ verhouding Sfeer (s.nw.) ŉ Perfekte ronde getalle van telgetalle uitgedruk kan word. driedimensionele vorm. ŉ Bal. Sien irrasionale getalle. Siklies (adj.) Het betrekking op ŉ sirkel. © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xxv Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Silinder (s.nw.) ŉ Lang vorm met ewewydige T sye en ŉ sirkelvormige dwarssnit – dink aan ŉ houtblok, byvoorbeeld, ŉ pyp. Tabelleer (ww.) Om ŉ diagram te teken wat waardes op Cartesiese asse vergelyk. Skaal (s.nw.) ŉ Maatstelsel, met gereelde intervalle of gapings tussen eenhede Telgetal (s.nw.) Enige getal wat nie ŉ breuk of (onderafdelings) van die skaal. desimale getal is nie, groter as nul. Natuurlike getalle en nul. Skat (ww.) Om ŉ benaderde waarde naby Teller (s.nw.) Die teenoorgestelde van aan die werklike waarde te gee; ŉ noemer; die boonste getal van ŉ onnoukeurige berekening. breuk. Skerp (adj.) Het ŉ hoek van minder as 90°. Telling (s.nw.) ŉ Totale aantal; om in vywe te tel deur vier vertikale lyne te maak Skuinssy (s.nw.) Die langste sy van ŉ en dan dit met die vyfde lyn te kruis. reghoekige driehoek. Snit of sny (ww.) ŉ Onderafdeling van ŉ lyn of Tendens (s.nw.) Reëlmatige patrone binne punt waar een lyn ŉ ander lyn kruis. data. Snyding (s.nw.) Waar twee groepe oorvleuel in Teorie (s.nw.) ŉ Wiskundige ŉ Venndiagram. verteenwoordiging van ŉ Som (s.nw.) Om dinge op te tel. Voorgestel verduideliking vir iets in die met die Griekse Sigma simbool ∑ of wetenskap, wat nie afhang van die die plusteken (+). ding wat verduidelik word nie. Tetra- (voorv.) Vier. Statistiek (s.nw.) Die wiskunde van kans en waarskynlikheid. Toppunt (s.nw.) Die tip van ŉ driehoek of waar twee lyne bymekaarkom. Steil (adj.) Het ŉ groot gradiënt. Toppunt/ (s.nw.) Die hoekpunt(e) van ŉ Stelling (s.nw.) ŉ Algemene voorstelling wat hoekpunt veelhoek. nie vanselfsprekend is nie maar deur ŉ reeks redenasies bewys word; ŉ Trapesium (s.nw.) ŉ Vierhoek met een paar waarheid wat vasgestel word deur ewewydige sye (en die ander sye het middel van aanvaarde waarhede. gewoonlik komplimentêre hoeke). Vergelyk met teorie. Trigonometrie (s.nw.) Die verwantskappe en Stelling van (s.nw.) Die kwadraat van die skuinssy verhoudings tussen sye en hoeke Pythagoras is gelyk aan die som van die binne ŉ reghoekige driehoek. kwadrate van die ander twee sye van ŉ reghoekige driehoek. Waar s die U skuinssy, a die aangrensende sy aan die regte hoek, en b die ander sy is: s2 = a2 + b2. Uitdrukking (s.nw.) ŉ Formule of vergelyking. Stip (ww.) Om punte op ŉ Cartesiese Uitskieter (s.nw.) Statistiek: ŉ datapunt wat koördinaatstelsel te plaas; om ŉ ver buite die variasiewydte van die grafiek te teken. verwante of nabygeleë datapunte lê. Stomp (adj.) Het ŉ hoek groter as 90° maar minder as 180°. V Straal (s.nw.) ŉ Lyn van ŉ versameling lyne wat deur dieselfde middelpunt gaan. Sien radius. Venndiagram (s.nw.) ŉ Diagram wat versamelings (klasse of voorwerpe) as sirkels Subtotaal (s.nw.) Finansies: die totale bedrag voorstel. verskuldig op ŉ staat of rekening, gewoonlik sonder BTW (belasting). Veranderlike (s.nw.) ŉ Letter wat gebruik word om OF: ŉ totaal van ŉ afdeling van ŉ ŉ onbekende hoeveelheid in algebra staat of rekening of reeks rekeninge, te verteenwoordig; ŉ kwantiteit wat maar nie die totaal van die hele verander. rekening of staat nie. Syfer (s.nw.) ŉ Getal wat in skrif voorgestel word. xxvi INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Vereenvoudig (ww.) Om iets eenvoudiger te Volume (s.nw.) ŉ Mate van die ruimte wat ŉ maak. Wiskunde: om deur ŉ voorwerp opneem, gelyk aan lengte x gemeenskaplike faktor (getal of breedte x hoogte. algebraïese letter) te deel wat dit Vooroordeel (s.nw.) Om geneig te wees om makliker sal maak om die vergelyking teen iets te wees of gewoonlik te lees en te bereken. onregverdiglik teen iets; om nie Vereniging (adj.) Wanneer twee versamelings in akkuraat verslag te doen oor iets nie; ŉ Venndiagram in een versameling om iets buitensporig te begunstig. oorvleuel. Voorspel (ww.) Algemene gebruik: om vooruit Verhef tot die (adj.) Tot die mag drie; drie keer met te sien. derde mag homself vermenigvuldig. Fisiese Wetenskappe: om te sê wat Verhouding (s.nw.) ŉ Breuk; hoe een getal gaan gebeur, gebaseer op ŉ wet. verband hou met ŉ ander getal; Sien wet. presiese eweredigheid. As daar vyf vrouens vir elke vier mans is, is die W verhouding van vrouens tot mans 5:4, geskryf met ŉ dubbelpunt (:). Hierdie verhouding kan voorgestel Waardever- (s.nw.) Die versameling waardes wat 5 1 word as ŉ breuk __  4 of 1 __ 4 of 1,25; sameling aan ŉ funksie verskaf kan word. Die of ons kan sê dat daar 25% meer versameling moontlike y-waardes in vrouens as mans is. ŉ grafiek. Sien definisieversameling. Verskil (s.nw.) Wiskunde: aftrekking. Waarskynlik (adj.) Om moontlik te wees; iets wat Informeel: ŉ ongelykheid. Hoe dinge dalk mag gebeur. nie dieselfde is nie. Waarskynlik- (s.nw.) Hoe waarskynlik iets is. Sien Verspreiding (s.nw.) Hoe iets uitgesprei heid waarskynlik. Waarskynlikheid is oor word. Wiskunde: die omvang en die algemeen ŉ wiskundige mate verskeidenheid getalle soos op ŉ wat as ŉ desimale getal gegee word, grafiek aangedui. bv. [0] beteken onwaarskynlik, maar Vervang (ww.) In die plek stel. [0,5] beteken net so waarskynlik as onwaarskynlik. [0,3] is onwaarskynlik Vervanging (s.nw.) Die proses van vervanging. en [0.7] is heel waarskynlik. Wiskunde: om ŉ algebraïese simbool Die mees algemene manier om in ŉ formule met ŉ bekende waarde waarskynlikheid uit te druk is as of ander formule te vervang, om die ŉ frekwensie of hoe dikwels iets berekening te vereenvoudig. Sien 1 voorkom. Bv. dit is ___   13 of 0,077 vereenvoudig. waarskynlik om ŉ aas te trek, want Vierhoek (s.nw.) ŉ Vorm met vier sye. daar is 4 ase in ŉ pak kaarte van 52 Vierkant (s.nw.) Wiskunde: ŉ vorm of figuur kaarte. met vier gelyke sye en slegs regte Wet (s.nw.) ŉ Formule of steling, afgelei hoeke. (ontdek) uit vorige aksiomas Vlak (s.nw.) ŉ Plat oppervlak. (waarhede), word gebruik om ŉ Voetskrif (s.nw.) ŉ Getal wat onder die res van resultaat te voorspel. die lyn geskryf word, bv. CO2. Wortelvorm (s.nw.) ŉ Irrasionale wortel (bv. √2). © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xxvii Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Die wiskunde wat jy nodig het Hierdie afdeling gee vir jou die basiese wiskundevaardighede wat jy nodig het om enige vak te slaag waarin wiskunde gebruik word. Moenie verder gaan met die inhoud van hierdie boek voordat jy nie eers hierdie afdeling bemeester het nie. 1. Basiese wenke • As ŉ formule nie ŉ maalteken (×) of ŉ punt-produk (·) het nie, en daar staan wel twee simbole langs mekaar, beteken dit “maal”. Dus, m1m2 beteken massa 1 maal massa 2. Jy kan dit ook skryf as m1 × m2 of m1m2 • ŉ Komma beteken dieselfde as die desimale punt op jou sakrekenaar (d.i 4,5 = 4.5) Moenie die desimale punt met die punt-produk (vermenigvuldig) verwar nie: 4.5 = 4½ maar 4·5 = 20. Vermy dit daarom eerder om die punt-produk te gebruik. • ŉ Veranderlike is iets wat varieer (verander). Byvoorbeeld, die weer is ŉ veranderlike in ŉ besluit om winkels toe te gaan of nie. Veranderlikes in wetenskap en wiskunde word voorgestel met letters, wat soms algebraïese veranderlikes genoem word. Die mees algemene veranderlike wat jy in wiskunde sien is x, en waarskynlik gevolg deur y, z 2. Onderwerp van ’n formule of los op vir Jy moet dikwels in wiskunde “iets die onderwerp van ŉ formule” maak of “iets oplos”. Dit verwys daarna om die waarde van ŉ onbekende hoeveelheid te bepaal wanneer ander hoeveelhede en ŉ formule gegee word wat die verwantskap tussen hulle aantoon. Die woord “formule” beteken ŉ reël om iets uit te werk. Ons werk met formules om grafieke te trek en ook om waardes soos oppervlakte, omtrek en volume te bereken. Gewoonlik kry jy die formules in ŉ eksamenvraag, jy hoef dit dus nie te onthou nie, maar jy moet die korrekte getalle kies om in die formule te sit (vervang). Byvoorbeeld, die formule vir die oppervlakte van ŉ driehoek is 1 Oppervlakte =  __ 2 basis × hoogte. loodregte hoogte basis In hierdie formule: • staan die woord Oppervlakte vir die grootte van die oppervlakte van ŉ driehoek (die hele oppervlak wat die driehoek bedek) • staan die woord basis vir die lengte van die basis van die driehoek • staan die woord hoogte vir die lengte van die loodregte hoogte van die driehoek ŉ Formule kan met letters in plaas van woorde geskryf word, byvoorbeeld: 1 A =  __ 2 b × h. Die hoeveelheid op sy eie aan die linkerkant word die onderwerp van die formule genoem. xxviii INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

HINT! © Departement van Basiese Onderwys 2015 wenk bv. 1 EG - worked examples Asexams John 5 appels het, en hy gee ’n paar vir Johanna, en hy het twee appels oor, hoeveel appels het hy vir Johanna gegee? Die formule kan iets wees soos: 5 – x = 2 Om vir x op te los, moet ons die x en die 2 omruil. Wat ons in werklikheid doen, is om “x” aan albei kante by te tel: 5–x+x=2+x Dit word: 5=2+x activity Dan trek ons 2 aan albeiATTENTION PAY SPECIAL kante af om die 2 oor te skuif: NB 5 – 2 = 2 – 2 + xACTIVITIES boy NB and girl-left and 5–2=x right of page activity 3 = x ... dus gee John vir Johanna drie appels. Dieselfde prosedure HINT! is van toepassing ongeag hoe moeilik die formule lyk. Al wat jywenk doen is om regdeur op te tel, af te trek, te kwadreer, die vierkantswortel te trek, te vermenigvuldig of te deel om hierdie items rond te skuif. comment comment bv. 2 EG - worked examples Step by step Kom ons vat ’n voorbeeld uit Fisiese Wetenskappe: V = IR. Dit beteken, die exams spanning in ’n stroombaan is gelyk aan die stroom in die stroombaan maal met die weerstand. Veronderstel ons weet die spanning is 12 V, en die weerstand is 3 Ω. Wat is die stroom? V = IR activity 12 = 3 × I PAY SPECIAL ATTENTION NB Deel regdeur deur 3ACTIVITIES NB om dieboyI te isoleer 12  __ (12 ) __ 3 =   3   I and girl-left and right of page Onthou dat enigiets gedeel deur homself is 1, dus: activity 12 12   3 = (1) × I ... en __ __   3 = 4 ... dus HINT! 4 = I of wenk I = 4 A ... Die stroombaan het ’n stroom van 4 ampère. comment comment bv. 3 EG - worked Step examples by step Hier is ’n moeiliker voorbeeld uit Fisiese Wetenskappe. Gegee exams Kc = 4,5 [SO3] = 1,5 mol/dm3 [SO2] = 0,5 mol/dm3 (x – 48) [O2] =  ______ 64 mol/dm 3 Los op vir x. activity________ [SO ] 2 (1,5)2 ∴ 4,5 = __________ 3 Kc =   [SO ]2[O ]   (x – 48) 2 2 ACTIVITIES boy (0,5)2  ______ and girl-left and 64 ∴ x = 176 g right of page Hoe het ons by die antwoord uitgekom? activity © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xxix Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Stap vir Stap Kom ons kyk hoe dit werk. Los eerstens die eksponente op: 2,25 4,5 = __________   (x – 48) (0,25) ______   64 Nou kan ons sien dat 2,25 en 0,25 soortgelyke getalle is (veelvoude van vyf), so kom ons deel hulle soos aangetoon. 2,25 x – 48 4,5 = ____   0,25 × _____   64 Dit laat ons met (x – 48) 4,5 = 9 × ______   64 Maar as ons deur ’n deler deel, kan daardie tweede deler bokant die lyn geskryf word. Hier is ’n eenvoudige voorbeeld: 1 1 ÷ (2 ÷ 3) = __   2__   3 1×3 = ____   2 3 = __   2 = 1,5 As jy hieroor twyfel, probeer dit vinnig op jou sakrekenaar: 1 ÷ (2 ÷ 3) ... dit beteken, een, gedeel deur twee-derdes. Twee-derdes is 0,6667, wat amper een is. So hoeveel “twee-derdes” het jy nodig om regtig een op te maak? Die antwoord is een en ’n half “twee-derdes” ... d.i. 0,6667 + (0,6667 ÷ 2) = 1. Gevolglik is die antwoord 1,5. Dus, terug na die oorspronklike probleem, ons kan die 64 bo die lyn skryf en dit met nege vermenigvuldig: 4,5 = 9 × _____(x – 48 )   64   9 × 64 4,5 = _____   x – 48 576 4,5 = _____   x – 48 Nou kan ons die hele vergelyking omkeer om x aan die bokant te kry: ___ 1 x – 48   4,5 = _____   576 Nou vermenigvuldig ons albei kante met 576 om die 576 uit die onderste ry te kry (x – 48) 576 ___ = _________   576   576 4,5 En ons kanselleer die 576’e aan die regterkant soos hierbo aangedui is. Nou, as 576 ÷ 4,5 = 128, dan is 128 = x – 48 Nou kan ons 48 aan albei kante bytel om die 48 regdeur te skuif 128 + 48 = x – 48 + 48 ... gevolglik, 128 + 48 = x = 176. xxx INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

HINT! © Departement van Basiese Onderwys 2015 wenk bv. 4 EG - worked examples ’n Driehoek het ’n basis van 6 cm en ’n loodregte hoogte van 2 cm. Bepaal die exams oppervlakte van die driehoek. Stap 1: Skryf die waarde neer wat jy moet bepaal. Moet bepaal: Oppervlakte Stap 2: Skryf die inligting neer wat jy het. Skryf die basis = 6 cm getalle en die eenhede neer. hoogte = 2 cm 1 activity Stap 3: Skryf die formule neer wat jy gaan gebruik. Oppervlakte = __   2 basis × hoogte 1 Stap 4: Skryf weer die formule neer, ACTIVITIESmaar boy skryf die Oppervlakte = __   2 × 6 cm × 2 cm and girl-left and getalle wat jy hetPAYinSPECIAL plaasATTENTION van die woorde right of page of letters NB neer. NB NB activity PAY SPECIAL ATTENTION Ons noem hierdie NB proses vervanging. Stap 5: Doen nou die berekening. HINT! = 3 cm × 2 cm hint HINT! Stap 6: Skryf jou antwoord met die korrekte = 6 cm2 wenk eenhede neer. e.g. comment EG - worked examples comment Step by step exams bv. 5 EG - worked examples 1,2 m 163 cm activity ACTIVITIES boy and girl-left and Bereken die oppervlakte en omtrek van die driehoek hier langsaan. right of page examsactivity Dit lyk soos ’n maklike probleem, maar jy moet op jou hoede wees. Soos jy die stappe volg, sal jy sien waarom. 110 cm comment Step by step comment Stap 1: Skryf die waarde neer wat jy Moet bepaal: Oppervlakte en omtrek. moet bepaal. Kom ons begin met oppervlakte activity Stap 2: Skryf die inligting neer wat jy het. Uit die diagram: basis = 110 cm ACTIVITIES boy hoogte = 1,2 m and girl-left and right of page Die sye van die driehoek is reghoekig met mekaar, dus is een sy die loodregte activity hoogte. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Die eenhede van die twee lengtes is nie dieselfde nie. Skryf altyd die HINT! waardes met dieselfde eenhede neer. hint comment comment hoogte = 1,2 m = 120 cm Step by step e.g. (want 100 cm = 1 m) EG - worked examples Stap 3: Skryf die formule neer. Oppervlakte =  1_ basis × hoogte exams 2 1 Stap 4: Skryf weer die formule neer, Oppervlakte = __   2 × 110 cm × 120 cm maar skryf die getalle wat jy het in plaas van die woorde of letters neer. activity ACTIVITIES boy Stap 5: Doen nou die berekening. and girl-left and right of page = 55 cm × 120 cm activity Stap 6: Skryf jou antwoord met die = 6 600 cm2 korrekte eenhede neer. Step by step comment comment Stap 7: Bereken die omtrek. Omtrek = 120 + 163 + 110 = 393 cm © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xxxi Mind the Gap Wiskunde

HINT! © Departement van Basiese Onderwys 2015 wenk bv. 6 EG - worked examples In die Verenigde State gebruik mense grade Fahrenheit om temperatuur te exams meet. Herlei 67°F na grade Celsius (°C). Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke. Die formule om te gebruik is °C = (°F – 32°) ÷ 1,8. Moet bepaal: Temperatuur in grade Notas Celsius activity Inligting wat ons het: Temperatuur in ACTIVITIES boy grade Fahrenheit = 67°F and girl-left and right of page °C = (67° – 32°) ÷ 1,8 Vervang °F met 67° in die formule: activity °C = (°F – 32°) ÷ 1,8. °C = 35° ÷ 1,8 Onthou die volgorde van bewerkings: PAY SPECIAL ATTENTION Bereken eerste die hakies en doen NB dan NB die deling. °C = 19,444 …° comment comment Rond af tot wee desimale plekke. Step by step Temperatuur in grade Celsius Kyk na die getal in die derde = 19,44 °C desimale plek. Dit is minder as 5, so HINT! rond die tweede desimale plek af na wenk onder. bv. 7 EG - worked examples ’n Ronde stuk grond het ’n diameter van 40 m. Wat is die oppervlakte van die exams stuk grond? d = 40m Gebruik die formule: A = πr2 vir die oppervlakte van ’n sirkel en gebruik die waarde van 3,142 vir π. Moet bepaal: Oppervlakte Notas activity Inligting wat ons het: diameter = 40 m; π = 3,142 NB PAY SPECIAL ATTENTION NB Maar ons het die radius nodig,ACTIVITIES wat dieboyhelfte is and girl-left and Maak altyd seker dat jy van die diameter, dus r = 20 m.right of page die kwantiteit gebruik HINT! hint wat in die formule activity geskryf is – radius, nie e.g. EG - worked examples diameter nie. A = πr2 exams A = 3,142 × (20)2 A = πr2 comment beteken Oppervlakte comment = pi maal die kwadraat van die radius Step by step activity A = 3,142 × (20 × 20) ACTIVITIES boy and girl-left and right of page A = 3,142 × 400 activity A = 1 256,8 m 2 Is die eenhede reg? Ja, die diameter is in meter gegee, so die oppervlakte sal in vierkante meter Step by step comment comment wees (m2) xxxii INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

HINT! © Departement van Basiese Onderwys 2015 wenk bv. 8 EG - worked examples Wanneer ons met ’n formule werk, wil ons die kwantiteit wat ons bereken op sy eie exams aan die een kant van die formule hê, sodat dit die onderwerp van die formule is. Ons kan maklik die oppervlakte bepaal as die formule Oppervlakte = lengte × breedte is. Kom ons gebruik nou dieselfde formule om die lengte te bepaal. 1. Kyk na die formule. Watter Oppervlakte = lengte × breedte kwantiteit moet jy bereken? activity 2 Wat moet jy doen om die lengte op sy eie te kry? Lengte word met die breedte vermenigvuldig. ACTIVITIES Ons and moetboy girl-left and deur die breedte deel om die lengte op sy eie te kry. right of page NB PAY SPECIAL ATTENTION activity Jy kan net iets met ’n formule doen as jy dieselfde aan albei NB kante doen! HINT! 3. Deel albei kante Oppervlakte ÷ breedte = lengte × breedte ÷ hint deur die breedte: breedte e.g. 4. Vereenvoudig nou die EG - worked examples comment = lengte comment formule: oppervlakte ÷ (want: breedte ÷ breedte = 1) PAY SPECIALStep ATTENTION by step exams NBbreedte NB 5. Lengte = Oppervlakte ÷ breedte 6. Gebruik die formule om die activity probleem op te los deur die ACTIVITIES boy HINT! waardes vir oppervlakte en and girl-left and right of page activity wenk breedte te vervang. Step by step comment comment bv. 9 EG - worked examples Om die wins te bereken wat gemaak word deur ’n item te verkoop, gebruik ons die exams formule: Wins = verkoopsprys – kosprys. Maar, wat doen ons as ons alreeds weet wat die wins en die kosprys is, maar ons moet die verkoopsprys bereken? ’n Voorbeeld: Dit kos R121 om ’n halssnoer teen kosprys te koop en Thabo wil activity R65 wins maak. Vir hoeveel moet hy dit verkoop? (Wat is die verkoopsprys?) ACTIVITIES boy and girl-left and Verkoopsprys right of page 1. Kyk na die formule. Wat is die Wins = verkoopsprys – kosprys activity kwantiteit wat jy wil bereken? W = VP – KP 2. Vervang die waardes wat jy het, R65 = VP – R121 d.i. wins en kosprys. 3. Tel die kosprys aan albei kante comment R65 + R121 = VP – R121 + R121 comment by. Step by step 4. Vereenvoudig nou R186 = VP (want kosprys – kosprys = 0) © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xxxiii Mind the Gap Wiskunde

HINT! © Departement van Basiese Onderwys 2015 wenk bv. 10 EG - worked examples Hierdie voorbeeld bevat ’n breuk. Kyk wat jy in daardie geval moet doen om ’n exams kwantiteit die onderwerp van die formule te maak. 5 myl is ongeveer dieselfde as 8 kilometer. Die formule om kilometer na myl te herlei is: 5 Aantal myl = __   8 × aantal kilometer. Gavin het 30 myl met sy fiets gery en hy wil weet hoeveel kilometer dit is. Die activity formule moet begin met “aantal kilometer = … ” ACTIVITIES boy Herrangskik die formule. Kyk dan hoeveel and girl-left and kilometer hy fiets gery het. right of page 5 1. Kyk na die formule. aantal myl =  __8 × aantal kilometer activity Wat is die kwantiteit wat jy moet bereken? 5 8 2. Aantal kilometer word met __   8 vermenigvuldig. Ons moet dus met __   5 5 8 vermenigvuldig want  __8 × __   5 = 1. comment comment 8 5 8 3. Vermenigvuldig albei aantal myl ×  __5 = __   8 × aantal kilometer × __   5 8 __ Step by step kante met   5 . 8 5 8 4. Vereenvoudig nou die aantal myl ×  __5 = __   8 × __   5 × aantal kilometer formule: Skuif die 8 “× __   5 ”. 8 Kanselleer uit: aantal myl ×  __5 = aantal kilometer __ 5 8   8 × __   5 = 1. 8 5. Nou het ons die aantal kilometer = aantal myl × __   5 6. Gebruik die formule om aantal kilometer = aantal myl ×  __8 5 die probleem op te los. 8 aantal kilometer = 30 ×  __5 = 48 km Jy kan dit hoofrekene doen: PAY SPECIAL ATTENTION Gavin het 48 km ver fiets gery. NB NB 30 × 8 = 240 240 ÷ 5 = 48 Of jy kan `n sakrekenaar gebruik HINT! 30 [×] 8 [÷] 5 [=] wenk bv. 11 EG - worked examples Thami moet ’n sirkel maak met ’n oppervlakte van 40 cm2. Wat moet die exams radius van die sirkel wees? Onthou om jou antwoord af te rond tot twee desimale plekke. Die formule van die oppervlakte van ’n sirkel is A= πr 2. Gebruik die waarde van 3,142 vir π. activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page xxxiv INLEIDING activity © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 1. Kyk na die formule. Wat is die A = πr2 kwantiteit wat jy wil bereken? 2. Wat moet jy doen om die radius alleen aan die een kant van die vergelyking te kry? Daar is twee dinge: • die radius word eers gekwadreer • dan word dit met pi (π) vermenigvuldig. 3. Deel albei kante deur π Oppervlakte ÷ π = πr2 ÷ π 4. Ons het dan Oppervlakte ÷ π = r2 oppervlakte area ____ Wat ons kan skryf as:   π = r2 ____ __ Nou kan ons die vierkantswortel van albei kante kry. √ Area ____ Oppervlakte   π   = √r2 ____ 5. √ Area Nou het ons r = ____ Oppervlakte   π   ____ 6. Gebruik die formule om die probleem op te los deur die gegewe √_____ Area ____ Oppervlakte r =   π   waardes te vervang. √ 40 r = _____   3,142   = 3,568 ... Om dit op jou sakrekenaar te doen, druk eers 40 ÷ 3,142 = r = 3,57 cm __ Druk dan √0 Sy moet `n sirkel maak met `n Rond af tot twee desimale plekke. radius van 3,57 cm. 3. Statistiek Jy moet ten minste die volgende terminologie ken: Afhanklike veranderlike: Die ding wat voortkom uit die eksperiment, die effek; die resultate. Onafhanklike veranderlike(s): Die dinge wat optree as inset tot die eksperiment, die potensiële oorsake. Ook genoem die beheerde veranderlike. Beheerveranderlike: ŉ Veranderlike wat konstant gehou kan word om die verwantkap tussen twee ander veranderlikes te ontdek. “Beheerveranderlike” moenie verwar word met “beheerde veranderlike” nie. Korrelasie beteken nie veroorsaking nie. Dit is, as twee veranderlikes lyk asof dit verband hou met mekaar (dit lyk of hulle korreleer), beteken dit nie dat een die ander veroorsaak nie. ŉ Veranderlike veroorsaak slegs ŉ ander veranderlike as een van die veranderlikes ŉ funksie f(x) is van die ander. Ons sal meer hieroor sien wanneer ons na die grafieke kyk. Gemiddelde: Die gemiddeld. In die reeks 1, 3, 5, 7, 9, is die gemiddelde gelyk aan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 gedeel deur 5, aangesien daar 5 stukkies data is. Die gemiddelde in hierdie geval is 5. Mediaan: Die data (enkele stukkie data) in die presiese middel van ŉ reeks data. In die reeks 1, 3, 5, 7, 9, is die mediaanwaarde gelyk aan 5. Modus: Die mees algemene stukkie data. In die reeks 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, is 3 die modus. © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xxxv Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 4. Driehoeke Die oppervlakte van ŉ driehoek is die helfte van die basis maal die hoogte: b a = __  2 (h). ŉ Driehoek met ŉ basis van 5 cm en ŉ hoogte van 3 cm het ŉ oppervlakte van 2,5 × 3 = 7,5 cm2. A = 7,5 b Basis 5 a hb c hb Hoogte 3 γ PAY SPECIAL ATTENTION b NB NB Lengtes van die sye van ŉ driehoek Jy kan die lengtes van die sye van reghoekige driehoeke met die Stelling van PythagorasHINT! bereken. Die kwadraat van die skuinssy is gelyk aan wenk die som van die kwadrate van die ander twee sye: In hierdie diagram is b = basis, hb = hoogte, en c = skuinssy: c2 = hb2 + b2. bv. 12 EG - worked examples Inexams die driehoek wat gewys word, kan die skuinssy, wat “?” gemerk is, verkry word deur albei sye te kwadreer en dit op te tel, en dan die vierkantswortel ? 3cm te bepaal om die lengte van die skuinssy te kry. Dit is: 32 + 52 = 9 + 25 = 34. Aangesien dit in hierdie geval is dat 34 = skuinssy2, volg dit dat die vierkantswortel van 34 die waarde van “?” gee, die skuinssy. Dit is 5,83 cm. 5cm activity 5. Trigonometrie Jy kan trigonometrie gebruik om die groottes van die sye van driehoeke te ACTIVITIES boy and girl-left and bereken as jy nie genoeg inligting right ofhet page nie, bv. jy het nie die groottes van ten minste twee sye nie (maar jy het die hoek) activity sin = teenoorstaande/skuinssy sin = T/S cos = aangrensend/skuinssy cos = A/S tan = teenoorstaande/aangrensend tan = T/A comment comment Die skuinssy is die langste sy langs die hoek, en word gewoonlik voorgestel Step by step met theta (θ). “Teenoorstaande” beteken die sy van die driehoek direk teenoor die hoek. “Aangrensend” beteken die sy langs die hoek, wat nie die skuinssy is nie. xxxvi INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

HINT! © Departement van Basiese Onderwys 2015 wenk bv. 13 EG - worked examples hierdie driehoek is die sy teenoor die hoek θ,3 cm lank. Die sy aangrensend Inexams teen oors aan die hoek θ, en die skuinssy, is onbekend. Theta, die hoek, is 30 grade. ta skuinssy and e 3cm Hoe bereken ons die skuinssy? Aangesien O T sin θ = __   S H = 3 cm ÷ S. θ = 30° aangrensend sin 30° = 0,5 (jy kan dit met jou sakrekenaar kry, of dit memoriseer). dus activity 0,5 = __ 3   H S ACTIVITIES boy en om op te los vir S, and girl-left vermenigvuldig and ons regdeur met S om S die right of page onderwerp van die formule te maak: S ×activity 0,5 = 3 × S ÷ S S × 0,5 = 3 nou deel ons deur 0,5 om S alleen te kry: S × 0,5 ÷ 0,5 = 3 ÷ 0,5 S = 3 ÷ 0,5 ∴ S = 6 cm comment comment Kom ons probeer uitwerk hoe lank die aangrensende sy is, as ons aanneem dat ons nie weet wat dieStep by step skuinssy is nie. O T tan θ = __   A tan 30° = 3 cm ÷ A 0,57735 = 3 ÷ A A × 0,57735 = 3 × A ÷ A A × 0,57735 = 3 A = 3 ÷ 0,57735 A = 5,196 cm ≈ 5,2 cm. Kom ons kontroleer dit met Pythagoras. Veronderstel ons wil bewys dat die teenoorstaande sy gelyk is aan 3 cm. Ons het S = 6 en A = 5,2. Dus, Pythagoras sê vir ons A2 + T2 = S2. Dus, 5,22 + T2 = 62 T2 = 62 – 5,22 T2 = 36 – 27 T2 = 9 Die vierkantswortel van T2 sal vir ons T gee ... naamlik, T = 3 cm. Die trigonometriese berekening is korrek. Laastens is daar drie ander bewerkings wat jy in trigonometrie kan gebruik, maar dit is net die omgekeerdes van die eerste drie: kosekans, sekans en kotangens. Cosec, wat soms afgekort word as csc, is die resiprook (inverse) van sinus. Sec is die inverse van kosinus. En cot is die inverse van tangens. Dit beteken dus dat as sin = T/S, dan is cosec = S/T, en so aan. © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xxxvii Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 HINT! wenk bv. 14 EG - worked examples onbekende , Die Aarde draai om die son op n afstand van 149 597 870 700 meter ofexams 149 597 870,7 km (eenhonderd nege-en-veertigmiljoen km). Hierdie afstand word die AU, of die astronomiese eenheid genoem. Die plat skyf wat ooreenstem met die Aarde se wentelbaan word die “ekliptika” , θ genoem. Veronderstel dat op 21 Desember word n onbekende voorwerp son , 2 AU teen n hoek van 88° met die ekliptika waargeneem en dat dieselfde aarde voorwerp op 21 Junie teen 92° waargeneem word. Hoe ver is die ekliptika onbekendeactivity voorwerp in die AU? ACTIVITIES boy and girl-left and Stap vir stap right of page activity Oplossing Stap 1. Ignoreer die ekstra inligting. Aangesien die Aarde om die son wentel, is die hoek met die onbekende voorwerp met betrekking tot die Aarde dieselfde in albei gevalle; dit is net dat op comment een datum, is die Aarde comment aan die een kant van die onbekende voorwerp, en op die ander datum, is Step by step dit aan die ander kant. Vanuit die hoeke wat gegee word, kan jy sê dat die onbekende voorwerp teen 90° met die son met betrekking tot die Aarde is. aarde θ Stap 2. Ons weet wat die hoek met die onbekende voorwerp is, en die ? , afstand na die son toe. Dus, as ons n driehoek teken waar die son die regtehoek is, die Aarde aan die bokant van die skuinssy is, en die afstand na die onbekende voorwerp teenoor die son is, kry ons die volgende son ? onbekende driehoek , Ons wil dus die skuinssy bepaal. Ons weet dat die hoeke van n driehoek saam 180° is, dus is die verskil tussen 88° en die gegewe hoek van 88° gelyk aan 2°. Dit beteken dat die hoek wat die onbekende voorwerp met betrekking tot die aarde maak, 2° is. Dus: O T sin = __   H S sin 2° = 1 AU ÷ S = 149 597 870,7 km ÷ S 0,035 = 149 597 870,7 km ÷ S S = 149 597 870,7 km ÷ 0,035 S = 4 286 533 756,4964 km = 28,6 AU Dit beteken dat die onbekende voorwerp 4,2 miljard km ver is, of 28,6 AU weg is. 6. Grafieke Dit is waarskynlik die beste om van voor af met Cartesiese koördinate te begin. “Koördinate” is getalle wat verwys na die afstand van ŉ punt op ŉ lyn, of op ŉ oppervlak, of in die ruimte, vanaf ŉ sentrale punt wat die “oorsprong” genoem word. Grafieke wat jy gaan gebruik, het net twee dimensies (rigtings). Die posisies van punte op hierdie grafieke word beskryf met twee koördinate: hoe ver oorkruis (of dwars van links na regs) die punt is, wat die x-koördinaat genoem word, en hoe ver op of af op die bladsy die punt is, wat die y-koördinaat genoem word. xxxviii INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

HINT! © Departement van Basiese Onderwys 2015 wenk y 3 bv. 15 EG - worked examples 2 , Oorweeg die volgende grafiek. Dit toon ses punte in n exams aan. reguitlyn 1 Die koördinate wat aangetoon word, kan beskryf word met –x x wat “geordende punte” genoem word. Byvoorbeeld, die verste -3 -2 -1 1 2 3 punt in hierdie grafiek is 3 eenhede dwars op die “x-as” of horisontale lyn. Net so, is dit ook 3 eenhede boontoe op die -1 y-as, of vertikale (op en af) lyn. Die koördinate is dus (3; 3). activity Die punt net onder die middelpunt of “oorsprong” is een -2 eenheid onder die x-as, en een ACTIVITIES eenheidboylinks van die y-as. Die koördinate daarvan is dus (-1; 1). Neem and girl-left and kennis dat enigiets right of page , –y -3 links of onder die oorsprong (die sirkel in die middel) n activity minusteken kry. , Dit lyk of hierdie reeks kolle verband hou met mekaar, want hulle lê almal op n reguitlyn. , , As jy n resultaat soos hierdie in n eksperimentele situasie sien, beteken dit gewoonlik dat jy kan voorspel wat die volgende kol sal wees, naamlik (4; 4) Hierdie soort voorspelling word “ekstrapolasie” genoem. ATTENTIONAs jy die eksperiment uitvoer, en sien dat die resultaat (4; 4) , comment PAY SPECIAL comment is, enNBdan (5; 5), het jy vasgestel dat daar n NB sterk relasie of korrelasie is. Step by step , Nog n manier om te sê dat x verband hou met y, of dat x eweredig is aan y, is om te sê , dat y n funksie is van x. Dit word geskryf as y = f(x). In die voorbeeld wat hierbo gegee , is, is spanning dus n funksie van weerstand. Maar hoe hou y verband met x in hierdie HINT! , grafiek? Dit lyk asof dit in n 1 tot 1 verhouding is: y = x. Die formule vir hierdie wenk grafiek is dus y = x. In hierdie geval het ons slegs te doen met twee faktore; y = x en y. bv. 16 EG - worked examples y 3 , Kom ons kyk nou na n effens moeiliker geval wat hier exams 2 langsaan geïllustreer word. In die grafiek hier langsaan, kan ons sien dat wanneer 1 ookal x gelyk is aan iets, is y een meer. Volg dus met jou PAY SPECIAL ATTENTION NBvanaf die linkerkantse onderste kol NB vinger opwaarts. Dit ontmoet die x-as by die punt –3. Doen dieselfde vir –x x -3 -2 -1 1 2 3 activity dieselfde punt na die y-as toe. Jy sal sien dit ontmoet die y-as by –2. Jy al sien die volgende koördinate is (–2;–1), ACTIVITIES boy -1 dan (–1;0), dan (0;1), HINT! (1;2), en and girl-left uiteindelik and (2;3). Hieruit right of page wenk kan ons sien dat wat ookal x is, y sal een meer wees, Dus, -2 y = x + 1 is die formule vir hierdie lyn. activity –y -3 bv. 17 EG - worked examples comment comment , Kom ons kyk na nog n Step by step geval. In die volgende geval sien ons die volgende waardes: waar x , exams n sekere waarde het, is y dubbel daardie waarde. Kom ons tabuleer dit. Wanneer x gelyk is aan 1,5 is y gelyk aan 3, wanneer x gelyk is aan 1, is y gelyk aan 2. Die formule vir hierdie lyn is dus y = 2x. Hierdie waarde langs x word die “gradiënt” of “helling” van die lyn genoem. Hoe groter die waarde langs x is, d.i. hoe groter die gradiënt is, hoe steiler is die helling. Die gradiënt word gewoonlik afgekort as “m” wanneer dit onbekend is. activity © Departement van Basiese Onderwys 2015ACTIVITIES boy INLEIDING xxxix Mind the Gap Wiskunde and girl-left and right of page

© Departement van Basiese Onderwys 2015 y 3 2 x y 1,5 3 1 1 2 –x x 0,5 1 -3 -2 -1 1 2 3 0 0 -1 –0,5 –1 –1 –2 -2 –1,5 –3 –y -3 , Kom ons doen nog een geval. In hierdie geval, sien ons dat y n funksie , is van x, aangesien dit n reguitlyngrafiek is. Dit is egter nie so maklik om die verwantskap tussen x en y te sien nie. Ons kan sien dat die helling dieselfde is as die vorige grafiek, so dit moet iets wees soos y = 2x. Dit maak egter nie heeltemal sin nie, aangesien 2(–1,5) nie –2 is nie. Ons sien dat waar x gelyk is aan nul (by die oorsprong), is y gelyk aan 1. Maar die helling is dieselfde, so dit moet y = 2(0) + 1 wees. Die formule is dus: y = 2x + 1. y 3 Soos jy kan sien, is dit waar wiskundiges die algemene vergelyking van ŉ reguitlyn y = mx + c 2 kry. (“c” staan vir “konstante”) 1 –x x -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 –y -3 x y 2x + 1 –1,5 –2 2(–1,5)+1 = –3+1 = –2 –1 –1 2(–1)+1= –2+1 = –1 –0,5 0 2(–0,5)+1 = –1+1 = 0 0 1 2(0)+1 = 0+1 = 1 0,5 2 2(0,5)+1 = 1+1 = 2 1 3 2(1)+1 = 2+1 = 3 xl INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 7. Sirkels • Diameter is die wydte van ŉ sirkel (2r); radius is die helfte van die k diameter (d/2). Die rand van ŉ sirkel word die “omtrek” genoem. tr e “Diameter” beteken om “dwars te meet”. Vergelyk dit met “diagonaal” om wat ŉ hoeklyn dwars oor ŉ veelhoek beteken, dus “dia-“ beteken “dwars” (Grieks). diameter “Omtrek” beteken om “in ŉ sirkel te dra” (Latyn); dink aan hoe die Aarde ons in ŉ sirkel of wentelbaan om die son dra. Om die verskil tussen hierdie dinge te onthou, kan jy net onthou dat die son se strale in elke ra dius rigting vanaf die son uitstraal, so die radius is die afstand vanaf die middelpunt van ŉ sirkel, bv. die son, na die buitekant van ŉ sirkel om dit, bv. die Aarde se wentelbaan (die omtrek). • Oppervlakte van ŉ sirkel = π r2 • Omtrek = 2 π r Jy kan die bogenoemde gebruik om die radius of diameter te bepaal. 8. Lees van tabelle PAY SPECIAL ATTENTION 8.1 Lees van tabelle NB ŉ Tabel is ŉ manier om inligting in rye en kolomme aan te toon. `n Ry loop dwarsoor. `n Kolom in `n gebou is regop. HINT! ry hint kolom e.g. EG - worked examples Kry inligting uit tabelle Om ŉ tabel te lees beteken om inligting in die selle te kry. Elke blok in ŉ exams tabel word ŉ sel genoem. Om ŉ tabel te lees is soos om ŉ rooster te lees. A B Kyk na die tabel aan die regterkant. 1. A en B is die kolomopskrifte PAY SPECIAL ATTENTION 2. 1, 2,NB 3, 4 en 5 is die ry-opskrifte. NB • Wat is in A2? Gaan dwarsoor na kolom A en lees af tot by ry 2. • ŉ Klok 3. activity • Wat is in B3? ŉ Hand. 4. ACTIVITIE and girl-le • Gee die ry en HINT!kolom vir die ster. Ry 4 en kolom A. Jy kan ook A4 skryf. 5. right of p •wenkGee die ry en kolom vir die horlosie. Ry 5 en kolom B. Jy kan ook B5 skryf. activity bv. 18 EG - worked examples Step by step com , Kyk na die tabel op die volgende bladsy. In n vraag moet jy dalk inligting exams in die tabel soek en dit neerskryf, of jy moet die inligting in die tabel , gebruik om n berekening te doen. Die tabel op die volgende bladsy toon die gemiddelde maksimum- en minimumtemperature in Mauritius (gemeet in grade Celsius) vir elke maand aan. activity ACTIVITIES boy © Departement van Basiese Onderwys 2015and girl-left and INLEIDING xli right of page Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Gemiddelde maandelikse maksimum- en minimumtemperature in Mauritius AL ATTENTION NB Gemiddelde Gemiddelde Maand van die jaar maksimumtemperatuur °C minimumtemperatuur °C Dit wys dat die gemiddelde Januarie 35 24 maksimumtemperatuur Februarie 30 22 in April 29°C is. Dit wys dat die gemiddelde Maart 30 21 minimumtemperatuur in April 29 21 November 22°C is. Mei 25 19 Junie 24 17 d examples Julie 26 18 Augustus PAY SPECIAL ATTENTION 27 19 NB NB September 29 20 Die tabel het nie eenhede in Oktober 32 22 die selle nie, maar ons weet November 32 22 wat die eenhede is wantHINT!dit is Desember 34 24 in die hint opskrifte vir elke kolom. Gee altyd die eenheid in jou Kyk na die tabel hierbo en beantwoord hierdie vrae. antwoord. 1. Watter maand van die jaar het die hoogste gemiddelde maksimumtemperatuur in Mauritius? ACTIVITIES boy e.g. EG - worked examples AL ATTENTION and girl-left and 2. Watter maand het die laagste gemiddelde maksimumtemperatuur? right of page NB 3. Wat is die verskil tussen die gemiddelde maksimumtemperatuur in Desember en die gemiddelde minimumtemperatuur in Desember? Let op!exams Hier werk ons nog steeds met die kolom vir die gemiddelde Oplossing maksimumtemperatuur. 1. Lees af in die kolom vir die gemiddelde maksimumtemperatuur en dan , p comment comment sien jy dat PAY Januarie SPECIAL n temperatuur van 35°C het en nie een van die ATTENTION NB ander temperature hoër is nie. NB activity 2. Die laagste maksimumtemperatuur is 24°C in Junie. PAY SPECIAL ATTENTION d examples NB NB 3. Hier moet jy die ry vir Desember kry en dan dwarsoor lees om die ACTIVITIES boy and girl-left and laagste en HINT! hoogste temperature vir daardie maand te kry, en dan right of page Die verskil tussen die laagste wenk die laagste temperatuur van die hoogste temperatuur aftrek om die activity en hoogste getalle word die verskil te kry: 34 – 24 = 10°C. variasiewydte genoem.HINT! hint bv. 19 EG - worked examples Step by step comment comment e.g. EG - worked examples Die gemiddelde maandelikse verhoging in die koste van elektrisiteit (BTW exams uitgesluit) tussen 2011 en 2012 ACTIVITIES boy and girl-left and right of page exams Elektrisiteitsverbruik in kWh 50 150 600 1 000 Bedrag betaalbaar in 2011 activity R27,35 R85,83 R393,67 R728,63 Bedrag betaalbaar in 2012 R28,83 R94,99 ACTIVITIES boy R467,43 R888,83 and girl-left and p comment Verhoging comment activity tussen 2011 en 2012 R1,48 right of page R9,16 R73,76 R160,20 Persentasie verhoging tussen 2011 en 2012 activity 5,39% ACTIVITIES boy 10,67% 18,74% 21,99% and girl-left and right of page activity xlii INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 comment comment Mind the Gap Wiskunde Step by step

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Lees die tabel om die vrae te beantwoord. , 1. As n huishouding 600 kWh elektrisiteit in 2011 gebruik het, wat moes hulle betaal het? 2. Hoeveel meer sou jy vir 1 000 kWh elektrisiteit in 2012 betaal het in vergelyking met 2011? 3. Wat was die persentasie verhoging vir 150 kWh elektrisiteit tussen 2011 en 2012? 4. Was die persentasie verhoging hoër vir laer elektrisiteitsverbruik of vir hoër elektrisiteitsgebruik? Oplossing , Wanneer jy n vraag soos hierdie beantwoord, moet jy eers mooi na die , tabel kyk en n paar aantekeninge maak oor wat dit aantoon. Moenie in te veel detail ingaan nie, sorg net dat jy verstaan wat die tabel aantoon. Die kolomme toon 4 verskillende hoeveelhede elektrisiteitsverbruik aan. Die eenheid is kWh. Elektrisiteitsverbruik in kWh 50 150 600 1 000 Die eerste ry toon die Bedrag betaalbaar koste vir 2011 aan en R27,35 R85,85 R393,67 R728,63 in 2011 die 2de ry wys die koste Bedrag betaalbaar vir 2012. Dit is wat die in 2012 R28,83 R94,99 R467,43 R888,83 tabel vergelyk. Verhoging tussen R1,48 R9,16 R73,76 R160,20 2011 en 2012 Hierdie bedrae is vir Persentasie ons bereken! Hierdie is verhoging tussen 5,39% 10,67% 18,74% 21,99% verskille tussen 2011 2011 en 2012 en 2012: Bedrag en Persentasie. Neem kennis dat daar ŉ verhoging in koste is in hierdie rigting 1. Lees af met die 2011 ry wat die bedrag aantoon, enPAYdie 600 SPECIAL kWh ATTENTION kolom: R393,67. NB NB , 2. Jy hoef nie n berekening te doen nie; hierdie verskil word in die derde ry gegee. Die vraag vra vir die 3. Die persentasie verhoging word in die laaste ry gegee. Kyk dus na die verhoging in die bedrag. Ons HINT! laaste ry en tweede kolom (vir 150 kWh): 10,67% stel dus belang in die derde 4. , hint In die vierde ry is daar n geleidelike verhoging in die persentasie ry. Die verbruik is 1 000 kWh, kyk dus na die 4de kolom en vanaf laer na hoër elektrisiteitsverbruik. Die persentasie verhoging is derde ry: R160,20. groter vir hoër verbruik. e.g. EG - worked examples 8.2 Lees tweerigtingtabelle Tweerigtingtabelle is ŉ nuttige manier om inligting te vertoon, en dit help jou om ontbrekende inligting uit te werk. exams PAY SPECIAL ATTENTION Hierdie tabelle toon die getalle van twee kategorieë vir dieselfde steekproef NB aan. Een kategorie word in die rye aangetoon en die ander kategorie word in die kolomme aangetoon. Hierdie getalle is vir dieselfde groep leerders. Byvoorbeeld, die tabel op die volgende bladsy toon aan hoeveel Graad HINT! 12-leerders in ŉ skool hul eie selfoon het of nie en hoeveel van dieselfde leerders ŉ musiekspeler het of nie. activity hint ACTIVITIES boy and girl-left and right of page © Departement van Basiese Onderwys 2015 activity e.g.INLEIDING xliii EG - worked examples Mind the Gap Wiskunde

© Departement van Basiese Onderwys 2015 Besit ŉ MP3-speler Besit nie ŉ MP3-speler nie Besit ŉ selfoon 57 21 Besit nie ŉ selfoon nie 13 9 Wat interessant is oor hierdie tabel, is dat die totale van albei kolomme en die totale van albei rye dieselfde PAY SPECIAL ATTENTION is. Ons kan sien dat die steekproefNB uit 100 leerders bestaan het. NB Besit ŉ MP3-speler Besit nie ŉ MP3-speler nie Totaal Besit ŉ selfoon 57 21 78 Besit nie ŉ selfoon nie 13 HINT! 9 22 Totaal 70 wenk 30 100 bv. 20 EG - worked examples , In een maand was 75 van die 180 babatjies wat in n hospitaal gebore is, exams en 40 van die babatjies het 4 kg of meer geweeg. Daar was 26 seuntjies babaseuntjies wat 4 kg of meer geweeg het. , 1. Stel hierdie inligting in n tweerigtingtabel voor en vul die ontbrekende inligting in. 2. Watter persentasie babadogtertjies het 4 kg of meer geweeg? activity Oplossing ACTIVITIES boy 1. Teken eers die rooster enandvul dieandinligting in wat gegee is. (Dit maak girl-left right of page nie saak of jy die gewig of die geslag in die kolomme of rye aantoon nie.) activity Seuntjies Dogtertjies Totaal Weeg minder as 4 kg comment comment Weeg 4 kg of meer 26 0 40 Step by step Totaal 75 180 Sodra jy die tabel in hierdie vorm het, kan jy die ontbrekende inligting bepaal. Werk terug van die totale af. Byvoorbeeld, as 26 van die babaseuntjies 4 kg of meer geweeg het, dan het 75 – 26 = 49 babaseuntjies minder as 4 kg geweeg. Seuntjies Dogtertjies Totaal Weeg minder as 4 kg 49 91 140 Weeg 4 kg of meer 26 14 40 Totaal 75 105 180 , 2. Daar was 14 babadogtertjies wat 4 kg of meer geweeg het, uit n totaal van 105 babadogtertjies. 14 ___   105× 100% = 13,33% xliv INLEIDING © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

HINT! © Departement van Basiese Onderwys 2015 wenk bv. 21 EG - worked examples , Eenhonderd passasiers op n busreis is gevra of hulle hoender of beesvleis wilexams hê en of hulle rys of aartappels wil hê. Uit die 30 passasiers wat rys wou gehad het, wou 20 hoender hê. Daar was 60 passasiers wat hoender gekies het. , 1. Stel hierdie inligting in n tweerigtingtabel voor en vul die ontbrekende inligting in. 2. activity Hoeveel maaltye met beesvleis en aartappels moet die busmaatskappy voorberei. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Oplossing 1. activity Hier is die inligting wat gegee is: Hoender Beesvleis Totaal Rys 20 comment comment Aartappels Step by step Totaal 60 Hier is die res van die inligting: Hoender Beesvleis Totaal Rys 20 10 30 Aartappels 40 30 70 Totaal 60 40 100 2. Die busmaatskappy moet 30 maaltye met beesvleis en aartappels voorberei. © Departement van Basiese Onderwys 2015 INLEIDING xlv Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 1 Eksponente en wortelvorms Om eksponente en wortelvorms te verstaan, moet jy die getallestelsel deeglik hersien. 1.1 Die getallestelsel Alle eindigende, repeterende desimale is rasionale getalle, byvoorbeeld    •    • •   1.1.1 Reële getalle 0. 3; 2, 7 1; 5,321784571 Die getalle waarmee ons elke dag werk, word reële getalle genoem. Die versameling reële getalle met deelversamelings word getoon in die Venndiagram: 핉 핈 핈´ 핑 핅0 핅 PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 1. Natuurlike getalle ℕ = {1; 2; 3; …} (Positiewe telgetalle) HINT! Pi (π)is 'n interessante irrasionale getal. 2. Telgetalle wenk Dit is die verhouding van die omtrek tot ℕ0 = {0; 1; 2; …} (Natuurlike getalle en 0) die diameter van enige sirkel: omtrek van sirkel ____________ 3. Heelgetalle π =       diameter van sirkel ℤ = {… ;–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; …} PAY SPECIAL ATTENTION bv. = 3,141592653 … EG - worked examples NB NB 4. Rasionale getalle a • ŉ Rasionale getal is ŉ reële getal wat in die vorm  __b geskryf exams kan word, HINT! wenk waar a, b ∈ 핑 en b ≠ 0. Die rasionale getalle sluit al die heelgetalle in. ___ __    •      •• bv. 1 5; √16 ; √8 ; __ 37; ___ EG - worked examples 3 –13 132 __   9 ; ___ 22 –16   1 ;   7 ; ___   4 ; 3,14; 0, 3= __ 3 269   10 ; 2, 7 1= ___   99 LET WEL:   22 __ 7 en 3,14 is benaderde rasionale 5.exams Irrasionale getalle activity getalle met 'n waarde • Irrasionale getalle is getalle wat nie as breuke geskryf kan word nie. baie naby aan ACTIVITIES boyπ. and girl-left and • Alle desimale getalle wat nie eindig of repeteer nie, is irrasionaal. 22 Dus  __   ≠of πpage right en 3,14 ≠ π 7 • activity activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS 1 Mind the Gap Wiskunde comment comment Step by step Step by step

HINT! 1 Eenheid wenk __ bv. 2 √5 = 2,23606… pi (π) = 3,141592… EG - worked examples • exams Hierdie getalle het desimale wat onbepaald (oneindigend) voortgaan sonder ŉ patroon. • Kyk op ŉ sakrekenaar na hierdie getalle. • Die sakrekenaar sal dit afrond. Hulle gaan egter onbepaald voort sonder ŉ patroon. activity • Die simbool vir die irrasionale getalle is ℚ′, wat die komplement Party kwadratiese ACTIVITIES boy and girl-left and van ℚ of nie ℚ nie beteken. right of page vergelykings het geen PAY SPECIAL ATTENTION reële wortels nie, maar NB activity NB ander het. 6. Reële getalle Die versameling reële getalle, ℝ, is die versameling van alle rasionale en irrasionale getalle saam. HINT! comment comment wenk Ons kan ook skryf ℝ = ℚ ⋃ ℚ′ Step by step __ __ bv. 3 –3; –√7 ; –1 __14 ; –1;0; EG - worked examples __1 NB   2 ; 1; √ 2 ; 2; 3; π PAY SPECIAL ATTENTION NB 1.1.2 exams Nie-reële getalleHINT! Die vierkantswortel (of enige ewe wortel) van ŉ negatiewe getal, is ŉ nie- wenk reële getal. ____ 4 √−25 is 'n nie-reële NB activity bv. NB getal. PAY- worked EG SPECIAL examples ATTENTION _____ ACTIVITIES boy 4 √−100 is 'n nie-reële getal. and girl-left and right of page _____ exams activity6 √−120 is 'n nie-reële getal. HINT! wenk • Die sakrekenaar sal ŉ fout wys (error). comment 5 xNB comment NB PAY SPECIAL ATTENTION bv. activity 2 EG - worked examples + 5x + 9 = 0 Step by step ACTIVITIES boy and girl-left and getal Gebruik die kwadratiese formule om die waardes van x te bepaal: right of page exams Enige ____   = ongedefinieerd. activity ______ 0 −b ± √b2−4ac Die sakrekenaar sal ook 'n HINT! x = ___________   2a fout wys wenk(error). __________ −5 ± √52 – 4(1 )( 9 )  =______________     (1 ) 2_______ comment comment activity −5 ± √25 – 36Step by stepACTIVITIES boy = ___________    2____ and girl-left and bv. right of page EG - worked examples ± √−11 − 5activity =  _________ 2 ____ √−11  is ŉ nie-reële getal sodat die waarde van x nie-reël is. Daar is exams geen reële wortels vir die comment vergelyking nie, so die grafiek van die funksie comment y = x + 5x + 9 het geen afsnitte met die x-as nie. 2 Step by step y activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page y = x2 + 5x + 9 activity x Jy sal in Eenheid comment 2 meer oor die aard van die wortels leer. comment 2 EENHEID 1 EKSPONENTEStepEN by step WORTELVORMS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 1 1.2 Werk met irrasionale getalle 1.2.1 Wortelvorms Alle vierkantswortels, derdemagswortels, ens. wat nie rasionaal is nie, word wortelvorms genoem. __ __ __ __ __ __ √2 ; √3 ; √5 ; √6 ; √7 ; √8 ; is almal wortelvorms. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Wortelvorms is reële getalle wat nie-repeterend en oneindigend is wanneer dit as desimale uitgedruk word. HINT! Ons wenkkan uitwerk waar ŉ wortelvorm tussen twee heelgetalle op ŉ getalle- lyn lê. __ __ __ bv. 6 √1 = 1 en √4 = 2, dus √2 lê êrens tussen 1 en 2. EG - worked examples 3 ___ 3 ____ 3 ____ √64 = 4 en √125 = 5, dus √102 lê êrens tussen 4 en 5. exams Ons kan hulle benaderde posisies op die getallelyn aantoon: PAY SPECIAL ATTENTION NB NB __ ____ activity HINT! 1 √2 2 4 3 √102 5 wenk ACTIVITIES boy and girl-left and Party wortels of radikale getalle is rasionaal en is nie wortelvorms nie: right of page NB activity PAY SPECIAL ATTENTION NB bv. 7 Voorbeelde EG - worked examples __ __ van wortels wat nie wortelvorms is nie, sluit in: __ __ ___ 3 4 √1 = 1; √4 = 2; √9 = 3; √8 = 2; √81 = 3 exams HINT! comment comment wenk 1.2.2 Vereenvoudig wortelvorms Step by step bv. 8 EG - worked examples activity __ __ ___ ACTIVITIES boy 1.exams √5 × √3 = √15 3 and girl-left and right of page (1) __ __ __ 2. ( √5   ) 2 activity = √5 × √5 = 5 3 (1) ___ 3 __ √______ 8 √8 2   27   =  ____ ___ =  __ 33 3 __ 3. (2) √27 3 3 activity comment comment PAY SPECIAL ATTENTION 4. √a2 − b2 kan nie vereenvoudig word nie Step by stepACTIVITIES boy NB N 3 ___ 3 ____ ___ and girl-left and 3 of page 12 __ 5. √274 = √(33 )4 = √312   3 = 3  3 = 34= 81 3 right (2) ______ activity ___ 6. √9 + 16 = √25 = 5 3 (1) __ ___ 7. √9 + √16 = 3 + 4=7 3 (1) HINT! ______ Step by step comment comment wenk √ 9 + 16   ≠ 3 + 4 bv. EG - worked examples exams © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS 3 Mind the Gap Wiskunde activity

1 Eenheid Aktiwiteit 1 Skryf in die eenvoudigste vorm sonder om 'n sakrekenaar te gebruik (wys al jou bewerkings). __ __ 3 __ 3 __ 1. √8 ×___ √2 2. √4 × √2 9 + √45 __ __ 3.  ______ 3 4. (2 + √5   )(2 − √5   ) [10] Oplossings __ __ ____ ___ 1. √8 × √8 = √8×2 = √16 = 4 3 (1) 3 __ 3 __ 3 ____ 3 __ 2. √4 × √2 = √4×2 3 = √8 = 2 3 (2) ___ __ __ √ 45 9+ √5 9+3 3(3+ √ 5   ) __ _____ _____ _______ 3.   3 =   3 3 =   3 3 = 3 + √5 3 (3) __ __ 4. (2 + √5   )( 2 − √5   ) __ __ = 2 × 2 – √5 × √5 3 = 4 – 5 = –13 (2) Of vermenigvuldig die hakies: __ __ __ __ __ __ (2 + √5   )(2 − √5   )= 4 + 2√5 – 2√5 – √5 .√5 3 = 4 – 5 = –1 3 (2) [10] 1.2.3 Rasionaliseer 'n noemer Wanneer ŉ breuk ŉ wortelvorm in die noemer het, kan jy die noemer na ŉ rasionale getal verander. Dit word “rasionalisering van ŉ noemer” genoem. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB As jy die teller en die noemer met dieselfde wortelvorm vermenigvuldig, verander __ jy nie die waarde van die getal nie. Jy vermenigvuldig met 1 √2  ___ (d.i. wenk   = 1) om die voorkoms van die getal te verander, nie sy waarde nie. HINT! __ √2  Daardeur kry jy ŉ rasionale noemer. bv. 9 EG - worked examples __ √3 Rasionaliseer die noemer van ___   __ . exams √2 __ __ __ __ PAY SPECIAL ATTENTION __ __ 3 NB √ √__ 3 √ 2 √3 × √2 √ NB 6  ___ =  ___ __ ×  ___ __ =  ______ 2 =  ___ 2 3 (1) √2 √2 √2 PAY SPECIAL ATTENTION Nou is die noemer 'n rasionale waarde. HINT! __ __ NB NB wenk activity √3 √6 Kontroleer met 'n sakrekenaar: ___   __ = ___   2 = 1,2247… ACTIVITIES boy and girl-left and right of page √2 10 bv. activity EG - worked examples HINT! 3 _____ wenk   __ exams √3 − 1 __ (het 'n irrasionale getal in die noemer) comment comment __ __ __ 3 √3 + 1 step √3 + 1 √3 + 1 As die noemer √ 3  − 1,__ is, = _____   __ × _____   __ Stepby3 (vermenigvuldig met _____   __ , aangesien 1=  _____ __ ) √3 − 1 √3 + 1 √3 + 1 √3 + 1 √ vermenigvuldigEGmet   __3   _____ +1 . __ __ bv. - worked √ examples 3  + 1 Dit sal vir ons die verskil van 3(√3 + 1) ____________ =      __ __ √ 3 + __ 3__ ____________ =      (√3 −activity 1)(√3 + 1) 3 3 + √3 − √3 − 1 (let op hoe die terme in die twee vierkante gee. ACTIVITIES boy and girl-left and wortelvorm kanselleer) right of page __ 3√3 + 3 activity exams =  ______ 2 3 (2) (nou is die noemer rasionaal) comment comment Step by step 4 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde activity

Eenheid 1 Aktiwiteit 2 Interpreteer 'n grafiek 1. Voltooi die tabel vir elke getal deur die korrekte kolomme te merk. Nie- Reële Rasionale Irrasionale Heelgetal Telgetal Natuurlike reële getal getal getal ℤ ℕ0 getal getal ℝ ℚ ℚ′ ℕ a) 13 b) 5,121212… ___ c) √–6 d) 3π 0 e)  __9 = 0 ___ f) √17 3 ___ g) √64 = 4 22 h)  __ 7 (23) 2. Watter van die volgende getalle is rasionaal en watter is __ irrasionaal? ___ ___ __ a) √16   b) √8 ___ 22 √ c) __ 9   4   √1 d) 6 __4   e) √47 f)  __ 7 g) 0,347347… h) π − (−2 ) __ i) 2 + √2 j) 1,121221222… (10) [33] Oplossings 1. Nie-reële Reële Rasionale Irrasionale Heelgetal Telgetal Natuurlike getal getal getal getal ℤ ℕ0 getal ℝ ℚ ℚ′ ℕ a) 13 3 3 3 3 3 (5) b) 5,121212… 3 3 (2) ___ c) √−6 3 (1) d) 3π 3 3 (2) 0 e) __ 9   = 0 3 3 3 3 (4) ___ f) √17 3 3 (2) 3 ___ g) √64 = 4 3 3 3 3 3 (5) 22 h) __   7 3 3 (2) ___ __ 2. a) √ 16 = 4 (rasionaal) 3 (1) b) √___ 8 (irrasionaal) 3 (1) __ ___ √ ___ 3   94   =  __2 (rasionaal) 3 c) __ (1) √ 1 √ __  =   5 d) 6 __4   =   25 4 __ 2 (rasionaal) 3 (1) 22 e) √47 (irrasionaal) 3 (1) f)  __ 7 (rasionaal) 3 (1) g) 0,347347… (rasionaal, want dit is 'n repeterende desimaal) 3 (1) h) π −  (−2 )(irrasionaal, want π is irrasionaal) 3 (1) __ __ i) 2 + √2 (irrasionaal want √2 is irrasionaal) 3 (1) j) 1,121221222… (irrasionaal, want dit is 'n nie-repeterende en oneindige desimaal) 3 (1) [33] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS 5 Mind the Gap Wiskunde

1 Eenheid 1.3 Eksponente Die eksponent van ŉ getal sê vir ons eksponent PAY SPECIAL ATTENTION hoeveel NB keer om die getal (dieNB grondtal) mag met homself te vermenigvuldig. Dus a2 = a × a HINT! a3 = a × a × a grondtal wenk a = a × a × a × … n keer n bv. 11 EG - worked examples 34 word gelees as: drie tot die mag 4, of 3 eksponent 4 wat gelyk is aan exams 3 × 3 × 3 × 3 = 81 1.3.1 Eksponentwette Hierdieactivity wette geld vir eksponente wat heelgetalle, rasionale getalle of irrasionale getalle is. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page 1. am× an = am + n activity a5 × a3 = a5 + 3  = a8 Om twee magte met dieselfde grondtalle te vermenigvuldig, tel die 35  × 33 = 35 + 3   = 38 eksponente op. 2. am  ÷ an  = am – n comment comment a8  ÷ a2 = a8 – 2  = a6 Om twee magte met dieselfde grondtalle te deel, trek die eksponente Step by step af. 3. (am)n = amn (a4)3= a4 × 3 = a12 Om 'n eksponent tot 'n mag te verhef, vermenigvuldig die eksponente. (a2× b3)5 = a2 × 5. b3 × 5= a10. b15 (ab) m = (am bm   ) a5×3 a15 a m am (a5 /b2   )3 =  ___ b2×3 =  ___ b6 () __   b   =  __ bm 4. a0 = 1, (b)0 = 1 ; (3 ) 0 = 1 ; (5a2b3 )0  = 1 Enige grondtal verhef tot 0 is 1 1 1 5.  __ an = a −n b–3 =  __ b3 'n Positiewe eksponent in die noemer is dieselfde as 'n negatiewe b3 =  ___ 1 eksponent in die teller. b−3 (   a__b   )−3 = (__  ba   ) 3   b   ) = (__   a   ) a −m b m (__ (2 ) −3   5   = __ __ (5 ) 3   2   =  ___ 8 125 n ___ 1 __ m __ __ 2 __ 1 __ 1 __ 6. √am   =( am  ) n= a  n (n ≥ 2). √2 = √21   = (21   ) 2= 2 2 __ Om die wortel van 'n mag te bepaal, deel die eksponente. __ 2 1 __ 1 __ √a = √a1   = (a1   ) 2= a 2 3 __ 1 __ 2 __ √a2   = (a2   ) 3= a 3 6 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 1 1.3.2 Algebraïese uitdrukkings met eksponente Onthou om in hierdie volgorde te werk: tekens → waardes → veranderlikes Waardes Veranderlikes Antwoord a) –3a3b2   × –4a4b4 –3 × –4 = 12 a3b2   × a4b4  = a7b6 = +12a7 b6 b) 12x5y8  ÷  –4x2 y4 12 ÷ –4 = –3 x5 y8 ÷ x2 y4 = x3 .y4 = − 3x3y4 c) ( −3a3 b2 )3 (–3)3  = –27 (a3 b2 )3  = a9b6 = − 27a9b6 _____ __ ___ a   = a4 4 4 4 16 d) √16a16    √ 16 = 2  √ = 2a4 (24 = 16) Waar nodig, werk ons die binneste hakies eerste uit en volg die volgorde van HVDMOA Hakies/Van, Deel/Maal/Optel/Aftrek Aktiwiteit 3 Bereken ____ ____ __1 a) −3 ((−2a3   )2 + √9a12    )   √9a12   = (32 a12   )2 5(2a4   )3 b) ___________   (−5a3   )2 − 5a6 [5] Oplossings ____ a) –3((–2a3   )2 + √9a12    ) vereenvoudig eksponente binne die hakies en die vierkantswortel = −3(4a 3+ 3a 3) 6 6 tel gelyksoortige terme in die hakie bymekaar   = –3 (7a6   )= –21a6 3 vereenvoudig (3) 5(2a4  )3 b) __________   (−5a3   )2 − 5a6 vereenvoudig eers die hakies bo en onder die lyn 5(8a12   ) 40a12 = __________   + 25a6 − 5a6 3  =  ____ 20a6 = 2a6 3 (2) [5] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS 7 Mind the Gap Wiskunde

1 Eenheid 1.3.3 Priemfaktore Wanneer die grondtalle verskil, kan ons elke grondtal as ŉ produk van die priemfaktore skryf. Onthou: ŉ Priemgetal het slegs twee verskillende faktore. ŉ Saamgestelde getal het meer as twee faktore. Die getal 1 is nie ŉ priemgetal nie en ook nie ŉ saamgestelde getal nie. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB PAY SPECIAL ATTENTION Priemgetalle: 2; 3; 5; 7; 11; 13 … NB NB Elke saamgestelde getal kan as die produk van priemgetalle geskryf word. HINT! wenk Dit help ons om te faktoriseer en te vereenvoudig. HINT! wenk bv. 12 EG - worked examples 4 exams = 22; 6 = 2 × 3; 8 = 23; 9 = 32; 10 = 2 × 5; 12 = 22 × 3 24 = 8 × 3 = 23 × 3 bv. EG - worked examples LET WEL: Om dieactivity faktore van 2 700 te bepaal, deel dit deur die kleinste priemgetal wat 'n faktor exams is, bv. 2; gaan danATTENTION PAY SPECIAL voortACTIVITIES andmet 3; dan 5 ens. boy NB NB girl-left and right of page 2 700 = 22 × 33 × 52 3 activity PAY SPECIAL ATTENTION Vind uit hoe jou wetenskaplike sakrekenaar die priemfaktore van 'n getal vir jou kan NB bereken. NB HINT! wenk comment comment activity Step by step bv. 13 EG - worked examples HINT! ACTIVITIES boy wenk and girl-left and right of page Druk exams 72 in priemfaktore uit x−2 2 72 activity 72x−2 = (23.32 3)x−2 2 3 2 36 bv. 2 18 EG - worked examples = 23(x−2).32(x−2) 3 9 activity 32 = 23x−6.32x−4 3 3 3 comment comment ACTIVITIES boy and girl-left and right of page 1 exams Step by step 1.3.4activity Werk met negatiewe eksponente Dit is makliker om antwoorde met positiewe eksponente te skryf, so ons gebruik die eksponentwet: comment 1 __ 1   an= a−n en ___  a−n= an comment Step by step a −2 b )2 Dit beteken ook dat (__      )   = (__   a   activity b ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment Step by step 8 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 1 Aktiwiteit 4 1  +  __  __ 1  ≠  ______ 1 Vereenvoudig die volgende. Skryf antwoorde met positiewe eksponente x y x + y  waar nodig. a–3 4a7 b–4 c–1 1. ___   b–2 2. ______   d–2e5 3. x–1 + y–1 [5] Oplossings a−3 __ b2 4 a7b−4c−1 _____ 4 a7d 2 1. ___   b−2 =   a3 3 2. _______   d−2 e5 =   b4c1e5 33 1 1 y+x 3. x–1 + y –1 = __   x + __   y 3 = ____   xy 3 [5] LET WEL: 'n Wortelvorm word ook 'n radikaal genoem. 1.3.5 Werk met ___ wortelvormtekens n m Die eksponentwet √am   = a n  (a > 0; n ≥ 2), kan gebruik word om sekere __ uitdrukkings te vereenvoudig. Ons kan ŉ wortel van ŉ negatiewe getal Aktiwiteit 5 bepaal as die wortel onewe is, maar nie die wortel van ŉ negatiewe getal as die 1. Skryf hierdie uitdrukkings oor sonder worteltekens en vereenvoudig wortel ewe is nie. indien moontlik. 3 __ 4 ___ 3 ____ a) √5 b) √16 c) √–32 [3] PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Oplossing __ __ 3 1 __ 4 1 __   1 __ a) √5 = 5 33 b) √1 6 = 16 4= (24   )4= 2 3 5 _____ HINT!   1 __   1 __ wenk√ − 32 = (−32 )5= [ (  2 )5   ]5=  −23 c) [3] bv. 14 EG - worked examples 3 _____ 3 _____ √exams −27 = − 3 want (–3)3 = –27 ∴ √ −27 is reël 4 _____ √ −16 is nie-reël 1.3.6activity Wees op die uitkyk vir hierdie algemene foute! ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity Korrek Waarskuwing 1. 2n. 3n = 6n 2.3n  ≠ 6n 2. 34 × 35 = 39 comment comment 34 × 35   ≠ 99 3. 410  ÷ 45 = 45Step by step 410  ÷ 45 ≠ 42 410   ÷ 45  ≠ 15 410   ÷ 45  ≠ 12 = 3n – 1 bn – 1 4. (3 b ) n−1 ( 3 b )n−1 ≠ 3. bn–1 © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS 9 Mind the Gap Wiskunde

1 Eenheid 5. (a + b )2 = a2 + 2ab + b 2 (a + b )2 ≠ a2+ b2 ______ ______ 6. √16 ×16   = 4x8 [√16 × 16   ≠ 4 x4 ] ______ ______ 1 __ 7. √a + b   = (a2 + b2  ) 2≠ a + b 2 2 √a2 + b2  ≠ a + b ______ bv. √52 − 32  ≠ 5 − 3 = 2 ______ ______ ___ want √52 − 32  = √25 − 9 = √16 = 4 3 1   =  __ 8. 3 ×−3 x3 3x−3  ≠  ___ 3x3 1   =  ______ 9. (x + y )−2 (x + y )2 (x + y )−2 ≠ x−2+ y−2 1.3.7 Vereenvoudiging van eksponensiaaluitdrukkings Aktiwiteit 6 Vereenvoudig die volgende en los die antwoord met positiewe eksponente waar nodig. ( a4  )n–1 . ( a2b )–3n  ___________ (ab )–2n. b–n [4] Oplossing (a4  )n−1 . (a2b )−3n ___________ a4n−4. a–6n . b−3n 3   (ab )−2n    . b–n =  ____________       a−2n . b−2n . b–n 3   = a4n–4 – 6 + 2 . b−3n + 2n + n n n   = a−4 . b0 3 1 1   =  __4 . 1 =  __4 3 a a [4] PAY SPECIAL ATTENTION NB 1.3.8 AlgebraïeseNBbreuke met eksponente 1. Uitdrukkings met slegs produkte van terme • Faktoriseer die terme deur priemfaktore te gebruik. HINT! wenk • Gebruik eksponentwette. bv. 15 EG - worked examples . 92n 52n – 3 . ( 32   )2n–3 52n  _______ exams 152n. 34n−1   = _________ (   5.3 )2n . 32n−1 3 (gebruik priemgetalgrondtalle) . 34n – 6 52n 3 = _________   52n. 32n . 32n−1 3 (om hakies te verwyder, × eksponente) = 5 activity 2n–2n . 34n–6–2n–(2n–1)3 (dieselfde grondtalle × / ÷ , ACTIVITIES boy and girl-left and tel eksponente op of trek af) right of page   = 5 . 3 activity 0 4n−6−2n−2n+1 1  = 1 ×  __ = 1 . 3−5 35 (skryf negatiewe eksponent as positiewe eksponent) comment 1 comment   = ___   243 3 Step by step 10 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 1 PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 2. Uitdrukkings waar terme opgetel of afgetrek word • Probeer eers die teller sowel as die noemer faktoriseer. • Gebruik eksponentwette. HINT! wenk • Kanselleer enige gemeenskaplike faktore. bv. 16 EG - worked examples ( 3n  )2 + 32n – 1 __________ .3−1 32n   exams 9n +  _____ = 32n 32n (1 + 3−1  ) 32n = __________   32n 33 (faktoriseer: haal GGF uit) 1 4 = 1 __   3 =  __3 3 activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity Aktiwiteit 7 Vereenvoudig die volgende en gee antwoorde met positiewe eksponente waar nodig: comment comment 273−2x. 9x−1 1. ________ Step by step   812−x − 2.5x+2 6.5x+1 2. __________   5x+3 22009 − 22012 3. ________   22010 [13] Oplossings . (32  )x−1 (33  )3−2x 273−2x. 9x−1 ___________ 39−6x.32x−2 3 _______ 1. _________   812−x =   (34   )2−x =   38−4x 3   = 39−6x+2x−2−8+4x 3 1 = 3−1=  __3 3 (4) − 2.5x+2 6.5x+1 6.5x .51− 2.5x.52 2. __________   5x+3 = ____________     5x.53 5x(6 × 5 − 2 × 52  ) = _____________    33   5x .53 30 − 50 − 20 4 (4) =  ______ 3 ____ __ 3 125 =    125 =  −   25 33 22009 − 22012 (1 22009 − 23  ) (22009 1 − 8 ) 3.  ________ 2 2010 = _________   2 2010 = ________   22010 22009 (− 7 ) = ________   22010   = 22009−2010 3 ×− 7 1 7 = 2−1×  − 7 3 = __   2 ×  − 7 =  − __ 2 3 (5) [13] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS 11 Mind the Gap Wiskunde

1 Eenheid 1.4 Eksponensiaalvergelykings LosNBvergelykings op waar x deel NB is van die eksponent: PAY SPECIAL ATTENTION • Skryf die magte as produkte van priemfaktore. • Probeer EEN mag met dieselfde grondtal aan elke kant van die vergelyking kry. HINT! •wenkStel die eksponente gelyk. • Los op vir x. bv. 17 EG - worked examples 1. Los op vir x exams 2x = 8 skryf 8 as 'n mag van 2 2x = 23 kry dieselfde grondtal aan elke kant ∴ x = 3 3 stel die eksponente gelyk activity 2. 52x+1 − 1252x−3  = 0 ACTIVITIES boy and girl-left and stel die twee magte gelyk 5 = 1252 x−3 2x+ 1 right of page activity 5 = (5   ) 3 2x+ 1 3 2 x−3 skryf met priemgrondtalle 52x+ 3 1   = 56x−9 ∴ 2x + 1 = 6x –9 comment comment ∴ –4x = –10 Step by step ∴ x =   5__ 333 2 3. 2x  = 5x () x ∴   2__ ∴    2__5   = 1 3 x 5x= 1 ∴ ( __   5   ) = (__   5   ) 3 x 2 2 0 ∴ x =03 4. − 3x−1 = 216 3x+1 ∴ 3x.31 − 3x.3−1   = 216 ∴ 3x (3 − 3−1  )= 216 33 ( ) ∴ 3x 3 −  __13     = 216 (3 )   8     = 216 ∴ 3x __ ∴ 3x = 216 ×   3__8 3 NB PAY SPECIAL ATTENTION NB ∴ 3x = 81 ∴ 3x= 343 x = 43 5. 32x− 12.3x+ 27 = 0 HINT! ∴ 3x .3x − 12.3x+ 27 = 0 wenk Onthou: Metode 1: Metode 2: 3x.3x= 32x ∴ 3x.3x − 12.3x+ 27 = 0 ∴ 3x.3x − 12.3x+ 27 = 0 (3x − 9 )(3x − 3 )= 0 33 laat 3x= k ∴ k.k − 12k + 27 = 0 bv. EG - worked examples 3x= 9 of 3x = 3 3 ∴ k2 − 12k + 27 = 0 3 3 = 3 of 3 = 3 (k − 9 )(k − 3 )= 0 3 x 2 x 1 ∴ x = 2 3 of x = 1 3 ∴ k = 9 of k = 3 3 exams maar 3x = k  ∴ 3x= 9 of 3x= 3 ∴ x = 2 3 of x = 1 3 [24] 12 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde activity

Eenheid 1 Aktiwiteit 8 Los op vir x:   )= 272x–1 1. 3(9x+3 2. = 1 32x–12 3. 2x = 0,125 4. 10x(x+1 )= 100 5. 5x+ 5x+1= 30 6. – 5x = 5x .23 + 1 52+x 2 __ _ 1 7. 5x + 15.5−x = 2 8. x 3– x 3– 12 = 0 [31] Oplossings Onthou: Wanneer terme opgetel of afgetrek word, moet jy eers faktoriseer: 1. 3 (9 x+ 3) = 272x– 1 2. 32 x −12 = 1 31(32   )x+ 3  = (33   )2x–1 priemgrondtalle 32x – 12 = 30 3 maak dieselfde grondtalle deur 1 = 30 31+2x+6 = 36x–3 3 dieselfde grondtalle   ∴ 2x – 12 = 0 3 stel eksponente gelyk ∴ 7 + 2x = 6x – 3 3 stel eksponente gelyk 2x = 12 –4x = – 3 – 7 x=63 (3) x =   −____ 10 =   5_ 3 (3) −4 2 3.     2x = 0,125 herlei na 'n 4. 10x(x+1)  = 100 gemeenskaplike breuk 10x(x+ 1) = 102 dieselfde grondtalle 125 2x  =   ____   =   _1   =   __ 13 vereenvoudig ∴ x (x + 1) = 2 3 stel eksponente gelyk 1 000 8 23    2x   = 2−3 3 dieselfde grondtalle x2+x–2=0 stel kwadratiese ∴ x = –3 3 stel eksponente gelyk (3) vergelyking = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 3 faktoriseer die trinoom x + 2 = 0 of x – 1 = 0 maak elkeATTENTION PAY SPECIAL faktor = 0 x = –2 3 NB x=1 (4) NB 5. 52 +x –5x = 5x   · 23 + 1 3 2 +x 5 − 5 – 5   · 23 = 1 x x gelyksoortige terme 2 +x 5 – 24 · 5 = 1 3 x Wanneer HINT! terme opgetel of 52. 5x – 24 · 5x = 1 faktoriseer (gemeenskaplike PAY SPECIAL ATTENTION wenk afgetrek word, moet jy eers NB faktor) NB faktoriseer. PAY SPECIAL ATTENTION 5 5 – 24 ) = 1 33 x( 2 NB NB           5 1 ) = 1 x(   5   = 5 ∴ x = 03 x 0 (4) bv. EG - worked examples HINT! wenk   = 5x. 5 5x+1 HINT! 6. 5x  + 5x+1  = 30 5   + 5x. 51 = 30 x faktoriseer wenk exams Wanneer terme opgetel of afgetrek word, moet jy eers x 5x( 1 + 51  ) = 30 33 gemeenskaplike EG - faktor worked 5 5x ( 6 ) = 30 3 bv. deel 30 deur 6 examples faktoriseer.  5x= 5 dieselfde grondtalle bv. EG - worked examples ∴x=13 stel eksponente gelyk (4) exams activity exams ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity activity © Departement van Basiese Onderwys 2015 activityEN WORTELVORMS 13 EENHEID 1 EKSPONENTE ACTIVITIES boy Mind the Gap Wiskunde and girl-left and right of page comment comment ACTIVITIES boy and girl-left and

PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 1 Eenheid PAY SPECIAL ATTENTION 7. 5x +  15.5−x = 2 NB HINT! NB 15 __ ∴ 5 +   5x= 2 x wenk x   =  _15  ∴ 15.5−x 5−x = 15 ×  51 15 __=  __ 15 x 5x   × 5x   ∴ 5x.5x   + 5x.__   5x = 2.5x 3 ∴ 5x.5x + 15 = 2.5x bv. HINT! EG - worked examples ∴ 5x.5x  − 2.5x+ 15 = 0 3 wenk NB PAY SPECIAL ATTENTION Faktoriseer – trinoom NB ∴ (5x − 5 )(5x + 3 ) = 0 33 ∴ 5x= 5 of 5x  =  − 3 (geen oplossing nie) ∴ x = 1 3 exams bv. EG - worked examples HINT! (5) 2 1 wenk x 3. x 3= x 3 __ __ 1 _ 1 _ 2 _ 8. x 3 – x 3– 12 = 0 ∴ (x 3– 4 )(x 3+ 3 )33 = 0 1 __ __1 exams 1 __ 1 __ ∴ x 3= 4 of x 3= –3 3 ∴ x = 64 3 of x = –267 3 bv. activity EG - worked examples (5) ACTIVITIES boy and girl-left and [31] right of page exams As die teller van 1.5 Vergelykings activitymet rasionale activity die eksponent onewe is, het ons altyd een en slegs eksponente ACTIVITIES boy and girl-left and right of page een oplossing. 1.5.1 Wenke activity comment comment • Wanneer jy met vergelykings werk, moet jy dieselfde bewerking aan albei activity PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Step by step kante van die vergelyking doen. ACTIVITIES boy • Kry die veranderlike van die breukeksponent and alleen girl-leftaan and die een kant. • Kry x alleen deur die breukeksponent na ŉ eksponent HINT! right of page vancomment 1 te verander. comment m albei kante te kies sodat x __   n  wenk • Doen dit deur ŉ eksponent vir activity gelyk word aan x1 . Step by step bv. 18 EG - worked examples 1 __ comment 1. x 2 = 3 exams comment (verhef albei kante tot die mag 3) (x 2  ) = (3 )2 3 1 2 _ Step by step ∴ x1= 9 3 (verhef albei kante tot die mag 2) 1 x 2__ =   − 3 __ ∴ √x  = − 3 activity 1 __ Die vierkantswortel van 2. x 2=  −3 3 ACTIVITIES boy and girl-left and x1 = ( x 2  ) = 9 1 2 ŉ negatiewe getal is _ right of page nie-reël activity 4 (verhef albei kante tot die mag __   3 ) 3  __ 3. x = 8 4 ( x__ 43  )__ 34=3 8__ 34 comment comment 3 4 __ As die teller van 3 )  3 Step by step x1 = (2   = 24 = 16 3 die eksponent ewe is, dan kry ons ŉ kwadratiese vergelyking 2 __ met twee moontlike antwoorde. 4. x 3= 4 2 __ x 3  = 4 (x 3  )2 = ± 4 23 __2 __ 3 3 __   2 __ 3  __ ∴ x 3  − 4 = 0 x =  ± (22   )2=  ± (2 )3 3 1 1 ∴ (x 3  − 2 )(x 3  + 2 ) = 0 __ __ ∴ x = −8 3 of x = 8 3 1 1  __ __ ∴ x  = 2 of x 3  =   − 2 3  1 3 1 3 ∴ (x 3   )   = 23 of (x 3   )   = ( − 2 )3 __ __ ∴ x = 8 of x =   − 8 14 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 1 Aktiwiteit 9 Los op vir x: 3 _ 5 __ 1. x–  2= 8 2. √x4   = 256 [7] Oplossings 3 __ 1. x–  2 = 8 2 (x−  2  )−  3 = (23  )−  3 33 (verhef albei kante tot die mag −  __3 ) 3 __ 2 __ 2 __ x+1   = 2–2 3 2 __ )3 ×−  3 (2 Die teller van 1 die eksponente is ewe, x  =  __4 (3) daarom is twee oplossings moontlik. __ √x4   = 256 5 2. (verander radikaal na breukeksponentvorm) 5 x =  ± (2 )8 3(verhef albei kante van die vergelyking tot die mag __   54 __   4 ) (x 5  )4=  ± (28   )43 __   5 4 __   5 __   ∴ x =  ± (2 )10 3 =  ± 1024 3 (4) PAY SPECIAL ATTENTION [7] NB NB 1.5.2 Eksponensiaalvergelykings met HINT! wenk wortelvorms bv. 19 EG - worked examples Los op vir x: exams _____ 3√x + 2 + x = 2 [7] Oplossing activity _____ 3√x + 2 + x = 2 ACTIVITIES boy _____ and girl-left and ∴ 3√x + 2 = 2 − x right of page _____ ∴ (3√activity x + 2   ) = (2 − x )2 3 2 ∴ 9(x + 2)  =  (2 − x )(2 − x ) 3 ∴ 9x + 18 = 4 − 4x + comment x2 3 comment ∴ 0 = x2 − 13xStep −by14 step 3 ∴ 0 = (x − 14 )( x + 1 ) 3 ∴ x = 14 of x =  − 1 3 Kontroleer: ______ ___ x = 14 LK = 3√ 14 + 2  + 14 = 3√ 16  + 14 = 3 × 4 + 14 = 26 RK = 2 ∴ x = 14 is nie 'n oplossing nie 3 _______ __ x =  − 1 LK = 3√ − 1 + 2  + ( − 1) = 3√ 1  − 1 = 3 × 1 − 1 = 2 RK = 2 ∴ x =  − 1 is 'n oplossing [7] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS 15 Mind the Gap Wiskunde

1 Eenheid Aktiwiteit 10 Los hierdie vergelyking op en kontroleer jou oplossings. ______ 1. √3x + 4 − 5 = 0 (3) ______ 2. √3x − 5 − x = 5 (5) [8] Oplossings _______ 1. √ 3 x + 4 − 5 = 0 Kontroleer: _______ _______ √3 x + 4 = 5 (isoleer die radikaal) LK: √3(7) + 4 − 5 _______ ______ (√ 3 x + 4   ) = 52 3 2 (kwadreer albei kante = √21 + 4 − 5 ___ van die vergelyking) = √25 − 5 3x + 4 = 25 3 =0 3x = 21 = RK x=7 3 ∴ x = 7 is 'n oplossing (3) ______ 2. √3x − 5 − x = 5 ______ √3x − 5 = x − 5 (isoleer altyd eers die radikaal) ______ (√ 3x − 5   ) 3= (x − 5 )2 2 (kwadreer albei kante) 3x–5 = x –10x + 25 3 2 Onthou: (x– 5)2 ≠ x2  + 25 0 = x2 – 13x + 30 3 (kwadratiese vergelyking, stel = 0) 0 = (x – 10)(x – 3 ) 3 (faktoriseer die trinoom en maak elke faktor = 0) x  = 10 of x = 3 Kontroleer jou antwoord: As x = 10 As x = 3 LK: LK ________ _______ √3(10) − 5 − 10 √3(3) − 5 − 3 ___ __ = √25 − 10 = √4 − 3 =  −5 = RK =  −1 ≠  RK (5) ∴ x ≠ 3 en slegs x = 10 is 'n oplossing. 3 [8] 16 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 1 1.6 Eksamentipe voorbeelde Aktiwiteit 11 1. Vereenvoudig die volgende: 2. Los op vir x: 6 .9 6x 3x a) 3x  − 3x−1 = 6 a)  ________ 1 __ 2−x () .   4   544x b) 4(x+1)(x−3)  = 8−x c) 22x− 3 × 2x  − 4 = 0 22x+2 − 22x−1 b) _________   4x + 8.22x−4 [22] Oplossings 66x .93x ____________ 3 .(32   )3x (2 × 3 )6x × 36x 26x × 36x a)  ________     1 2−x = ( 2    ( 2−2 = ____________       × 312xx 2–4+2x 3 544x.(   4   ) __ × 33  )4x   )2−x 3 24x × 36x× 36x 26x =  ____________    3    × 312x × 2−4+2x 24x = 24× 30= 163 (5) 22x+2 − 22x−1 .22 − 22x.2−1 22x b) _________   4x+ 8.22x−4=  ___________ 22x+ 23.22x.2−4 (22 − 2−1) 22x   = __________   22x 3 (1 + 23.2−4) 3 22x(22– __   2   ) 1   = ________   ( __3 2 2 1 +   24  2x ) 1 4 −  __2   =   1__ 3= _____ ____ 1 +   2   8−1 2 2+1   ÷  ____ 2   ( ) ( )   2   )÷ (__   = (__   2   )=  __2 ×  __3 =  __3 3 7 3 7 2 7 (4) 2. a)    3x− 3x−1 = 6 b) 4(x+1)(x−3) = 8–x 3x − 3x.3−1 4x−2x−3 = (23   ) –x = 6 2 3x ( 1 − 3−1  )= 6 33 (22   )x −2x−3 = 2−3x 3 2 3x (1 −  _  )= 6 3 1   22x −4x−6 = 2−3x 2 3          3 (_    )= 6 x 2 3   ∴ 2x − 4x − 6 = −3x 3 2 3 = 6 ×  _2 3 x   ∴ 2x2− x − 6 = 0 3 3x = 9 ∴ (2x + 3 )( x − 2 )= 0 3 3 3x  = 32∴ x = 2 3 (4)   ∴ x =  −  __ of x = 2 3 (5) 2 − 3 × 2x − 4 = 0 c) 22x (2x − 4 )( 2x + 1 ) 33 = 0  ∴ 2x = 4 of 2x=  −1 (geen oplossing nie) 3  ∴ x = 2 3 (4) [22] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS 17 Mind the Gap Wiskunde

1 Eenheid Wat jy moet kan doen: • Gebruik die eksponentwette om uitdrukkings te vereenvoudig. • Doen berekeninge met negatiewe magte • Vermenigvuldig en deel magte • Tel magte op en trek magte af • Los eksponensiaalvergelykings op, onder andere dié met rasionale eksponente • Vereenvoudig wortelvorms en doen bewerkings met wortelvorms • Rasionaliseer die noemer indien nodig • Los vergelykings met wortelvorms op. Feb/Maart 2014 V 1.1.3 Nov 2013 V 1.3 Feb/Maart 2013 V 1.1.3 Feb/Maart 2011 V 1.3 Nov 2010 V 1.3 Feb/Maart 2010 V 1.4 Hou so aan! 18 EENHEID 1 EKSPONENTE EN WORTELVORMS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 2 Algebra 2.1 Algebraïese uitdrukkings Algebraïese uitdrukkings bestaan NB NB uit konstantes, veranderlikes en getalbewerkings PAY SPECIAL ATTENTION (optel, aftrek, deel en vermenigvuldig). Die veranderlikes word met letters aangetoon soos x, y, a, b, p, m, n, ens. HINT! wenk Die terme in ŉ algebraïese uitdrukking word deur ŉ plus- of minusteken geskei. bv. 1 EG - worked examples • 2x + 3y is ’n algebraïese uitdrukking met twee terme 2x en 3y. exams • 2x(3y) is slegs een term. • (2x + 3y)(2x – 3y) is ook slegs een term want dit is twee uitdrukkings in hakies wat vermenigvuldig word. Die hakies word nie deur 'n + of – geskei nie. ______ • √2x activity − 3 is ook ’n algebraïese uitdrukking met een term want ______ ACTIVITIES boy 1 __ vierkantswortels kan as eksponente geskryf word. √2x − 3 = (2x − 3 ) 2. and girl-left and right of page activity 2.2 Optelling en aftrekking comment comment Maak seker jy ken hierdie feite: PAY SPECIAL ATTENTION NB Step by step NB • Ons kan gelyksoortige terme optel en aftrek. • As die terme gelyksoortig is, kan ons die koëffisiënte optel en aftrek. • Gelyksoortige terme het dieselfde veranderlikes (letters) en die HINT! wenkveranderlikes moet dieselfde eksponente hê. bv. 2 EG - worked examples 3x + 5x = 8x exams –3a + 10a = 7a 6x2 y + 3x − 10x2y = −4x2y + 3x a c ad + cb  __b   +  __d   =   ______ bd activity ACTIVITIES boy and girl-left and Ons kan nie ongelyksoortige terme optel of aftrek nie. right of page activity comment comment Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 19 Mind the Gap Wiskunde

2 Eenheid c 2.3 Vermenigvuldiging en Om deur  __ te deel d d is dieselfde as om met  __c  deling te vermenigvuldig. Maak seker jy ken hierdie feite: positiewe getal x positiewe getal = positiewe antwoord 3x × 5y2 = 15xy2 PAY SPECIAL ATTENTION NB positiewe NB = negatiewe antwoord 3x × –5y2 = –15xy2 getal x negatiewe getal negatiewe getal x positiewe getal = negatiewe antwoord PAY SPECIAL –3x × 5y2 = –15xy2 ATTENTION negatiewe getal x negatiewe getal = positiewe antwoord –3x × –5y2 = 15xy2 NB HINT! NB a __wenk c ac   b × __   d =  __ bd PAY SPECIAL ATTENTION NB bv. 3 EG - worked examples NB HINT! wenk Vermenigvuldig tellers en 6x 3 18x __   7y × __ exams   5z =  ____ 35yz vermenigvuldig noemers.PAY SPECIAL ATTENTION NB indien moontlik. HINT! wenk Vereenvoudig bv. EG - worked examples bv. 4 EG - worked examples activity HINT! 6x 3 6x3z + 3(2y) 18xz + 6y wenk Bepaal eers die ACTIVITIES boy ___ __________ ________  __ 8y +   12z =   exams 24yz rightof=page  24yz exams and girl-left and kleinste gemene a activityc a d ad veelvoud van die noemer 3  __b ÷  __d =  __b ×  __c =  __ bc PAY SPECIAL ATTENTION (KGV). 8 en 12 het 'n KGV NB Die distributiewe activity wet: comment NB comment bv. van 24. EG - worked examples Step by stepACTIVITIES boy and girl-left and activity right of page c(a + b) = c × a + c × b = ac + bc HINT! wenk activity exams ACTIVITIES boy and girl-left and right of page bv. 5 EG - worked examples comment activity comment Step by step exams – 6y) = –15x + 18xy –3x(5x 2 L PAY SPECIAL ATTENTION activity F NB NB comment comment ACTIVITIES boy (x + y)(a + b) = ax + bx + ay + by and girl-left and activity I Step by step right of page O activity HINT! ACTIVITIES boy wenk and girl-left and right of page activity bv. 6 EG - worked examples comment comment comment (2x + y)(3x – 2y) = 6x2 – 4xy + 3xy – 2y2 = 6x2 – xy – 2y2 exams Step by step Step by step activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment Step by step 20 EENHEID 2 ALGEBRA © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 2 2.4 Faktorisering PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Gebruik “EBBL” Wat beteken dit om ŉ “uitdrukking te faktoriseer”? HINT! (vermenigvuldig EERSTE terme, wenk BUITENSTE terme, BINNESTE Dit beteken om die uitdrukking as ŉ produk van sy faktore te skryf. terme en LAASTE terme). bv. 7 EG - worked examples Hier is ’n paar maniere om ’n uitdrukking te faktoriseer: exams 1. Bepaal die gemeenskaplike faktor: 9x2 – 6xy2 = 3x(3x – 2y2) 2. Faktoriseer deur groepering in pare en bepaal dan ’n gemeenskaplike activity faktor: 3xy – 2x + 3y – 2 ACTIVITIES boy and girl-left and right of page = activity 3xy + 3y – 2x – 2 = 3y(x + 1) – 2(x + 1) Wanneer jy ’n negatiewe faktor uithaal, verander die tekens in die hakie. = (x + 1)(3y – 2) comment comment 3. Faktoriseer ’n verskil van twee vierkante: Step by step 16x2 – y2 = (4x – y)(4x + y) PAY SPECIAL ATTENTION 4. Faktoriseer ’n verskil van twee derdemagte: NB N 8x3 – y3 = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) 5. Faktoriseer ’n som van twee derdemagte: 27a3 + 64b3 = (3a + 4b)(9a2 – 12ab + 16b2) HINT! 6. Faktoriseer ’n trinoom: wenk 9x2 + 5x – 4 = (9x – 4)(x + 1) Wanneer mens faktoriseer, moet jy eers bv. EG - worked examples ’n gemeenskaplike faktor uithaal, indien moontlik. Daarna kan mens kyk of jy die verskil van twee vierkante exams of die som/verskil van twee derdemagte of ’n trinoom kan faktoriseer. activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment co Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 21 Mind the Gap Wiskunde

2 Eenheid 2.5 Notas oor die faktorisering NB PAY SPECIAL ATTENTION NB van ’n trinoom HINT! wenk Die volgende stappe sal verduidelik hoe om ŉ trinoom te faktoriseer: PAY SPECIAL ATTENTION NB bv. 8NBFaktoriseer 3x2 + 11x + 6 EG - worked examples Stap 1: Vermenigvuldig die koëffisiënt van x2 en die konstante waarde exams (+3 × +6 = 18). HINT! Stap 2: Skryf al die produkte van 18 neer: 10 × 1 wenk 9×2 activity 6×3 Ons skryf eerste die 9x en tweede die 2x want: Daar Stap 3: Ons gaan 9 × 2 gebruik want 9 + 2 = 11, die middelterm. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page bv. is ’n gemeenskaplike faktor EG - worked tussen 3x en 9x. 2 examples Stap 4:activity Ons skryf die middelterm (11x) as 9x + 2x ∴ 3x2 + 11x + 6 Daar is ’n gemeenskaplike = 3x2 + 9x + 2x + 6.... ons het eers die 9x geskryf, gevolg deur faktor tussen 2x en 6. die 2x comment exams PAY SPECIAL ATTENTION comment NB5: Stap NB vier terme en faktoriseer deur ’n Step by step Ons groepeer nou die gemeenskaplike faktor uit te haal. 3x2 + 9x + 2x +6 HINT! wenk = 3x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(3x + 2) NB activity PAY SPECIAL ATTENTION bv. NB 9 Faktoriseer 4x2 + 9x – 13 EG - worked examples ACTIVITIES boy and girl-left and Stap 1: Vermenigvuldig die koëffisiënt van x2 en die konstante waarde right of page exams activity (+4 × –13 = –52). HINT! Stap 2: Skryf al die produkte van 52 neer: 52 × 1 wenk 26 × 2 Ons skryf eerste die –4x en activity 13 × 4 tweede die 13x want: Daar comment Stap 3: Ons comment gaan 13 × 4 gebruik, want 13 – 4 = 9, die middelterm. ACTIVITIES boy bv. and girl-left and is ’n gemeenskaplike faktor EG - worked examples right of page tussen 4x en –4x. Daar is ’n 2 Step by step Stap 4:activity Ons skryf die middelterm (9x) as –4x +13x gemeenskaplike faktor tussen ∴ 4x2 + 9x – 13 13x en –13 . = 4x2 – 4x + 13x – 13.... ons het eers die –4x geskryf, gevolg exams deur die 13x comment comment Stap NB5: Ons groepeer nou die NB vier terme en faktoriseer deur ’n PAY SPECIAL ATTENTION Step by step gemeenskaplike faktor uit te haal. 4x2 – 4x + 13x – 13 = 4x(x – 1) + 13(x – 1) HINT! wenk = (x – 1)(4x + 13) activity bv. ACTIVITIES boy and girl-left and 10 Faktoriseer 8x2 – 18x + 9 EG - worked examples right of page Stap 1: Vermenigvuldig die koëffisiënt van x2 en die konstante waarde activity exams (+8 × +9 = 72). Stap 2: Skryf al die produkte van 72 neer: 72 × 1 36 × 2 24 × 3 activity comment comment 18 × 4 ACTIVITIES boy Step by step 12 × 6 and girl-left and right of page activity 9×8 22 EENHEID 2 ALGEBRA © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde comment comment

NB Eenheid 2 HINT! Stap 3: Ons gaan 12 × 6 gebruik, want –12 – 6 = –18, die middelterm. wenk Stap 4: Ons skryf die middelterm (–18x) as –12x – 6x of –6x – 12x ∴ 8x2 – 18x + 9 In hierdie voorbeeld kan ons eers –12x skryf en dan –6x of eers = 8x2 – 12x – 6x + 9.... ons het eers die –4x geskryf, gevolg deur die 13x –6x en dan –12x. bv. Ons het ’n EG - worked examples Stap 5: Ons groepeer nou die vier terme en faktoriseer deur ’n gemeenskaplike gemeenskaplike faktor tussen 8x2 faktor uit te haal. en –12x en tussen –12x en 9. 8x2 – 12x – 6x + 9 Ons het ’n gemeenskaplike faktor = 4x(2x – 3) – 3(2x – 3) exams tussen 8x2 en –6x en tussen –6x = (2x –3)(4x – 3) en 9. Aktiwiteit 1 Faktoriseer elkeen van die volgende volledig: activity ACTIVITIES boy 1. 12x2 + 17x + 6 2. 5x2 – 23x – 10 3. 9x2 + 5x – 4 and girl-left and right of page 4. 12x2 – 11x + 2 5. 5x2 – 45 6. 2x3 + 16 7. 6x3 – 13x2 + 5x activity [16] Oplossings 1. 12x2 + 17x + 6 comment = 12x2 + 9x + 8x +6...........12 × 6 = 72 en 72 = 9 × 8 (9 + 8 = 17) Step by step = 3x(4x + 3) + 2(4x + 3) = (4x + 3)(3x + 2)33 (2) 2. 5x2 – 23x – 10 = 5x2 – 25x + 2x – 10............5 × –10 = –50 en 50 = 25 × 2 (–25 + 2 = –23) = 5x(x – 5) + 2(x – 5) = (x – 5)(5x + 2)33 (2) 3. 9x2 + 5x – 4 = 9x2 + 9x – 4x – 4..............9 × –4 = –36 en 36 = 9 × 4 (9 – 4 = 5) = 9x(x + 1) – 4(x + 1) = (x + 1)(9x – 4)33 (2) 4. 12x2 – 11x + 2 = 12x2 – 3x – 8x + 2..............12 × 2 = 24 en 24 = 8 × 3 (–8 – 3 = –11) = 3x(4x – 1) – 2(4x – 1) = (4x – 1)(3x – 2)33 (2) 5. 5x2 – 45............................Gemeenskaplike faktor van 5 = 5(x2 – 9) ............................Verskil van twee vierkante = 5(x – 3)(x + 3)33 (2) 6. 2x3 + 16............................Gemeenskaplike faktor van 2 = 2(x3 + 8) 3............................Som van twee derdemagte = 2(x + 2)(x2 – 2x + 4) 33 (3) 7. 6x3 – 13x2 + 5x............................Gemeenskaplike faktor van x = x(6x2 – 13x + 5) 3............................Trinoom faktorisering = x(6x2 – 3x – 10x + 5) .............. 6 × 5 = 30 en 30 = 10 × 3 (–3 – 10 = –13) = x[3x(2x – 1) – 5(2x –1)] = x[(2x – 1)(3x – 5)] 33 (3) [16] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 23 Mind the Gap Wiskunde

PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 2 Eenheid 2.6 Kwadratiese vergelykings HINT! wenk bv. 11 EG - worked examples Hier is ’n paar kwadratiese vergelykings: exams 1. x2 + 5x + 6 = 0 2. 3x2 – 7x = 12 PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 3. 3x(x – 9) + 2 = 5x 3x × x = 3x2 so die vergelyking het x2 as sy activity hoogste mag van x Kwadratiese vergelykings kan in die standaardvorm ax2 + bx + c = 0 ACTIVITIES boy HINT! and girl-left and wenk right of page geskryf word. activity bv. 12 EG - worked examples comment comment 1. x2 + 5x + 6 = 0 So a = 1, b = 5 en c = 6 exams Step by step 2. 3x2 – 4x = 12 3x2 – 4x – 12 = 0 So a = 3, b = –4 en c = –12 3. 3x(x – 9) + 2 = 5x 3x2 – 27x + 2 – 5x = 0 activity 3x2 – 32x + 2 = 0 ACTIVITIES boy and girl-left and So a = 3, b = –32 en c = 2 right of page As (A) × (B) = 0, dan is óf A = 0 2.6.1activity Los ’n kwadratiese vergelyking op óf B = 0. deur faktorisering: comment Wat beteken dit om “ŉ kwadratiese vergelyking op te los”? PAY SPECIAL ATTENTION comment NB Step by step NB Dit beteken om die onbekende waarde(s) van x in ŉ kwadratiese vergelyking te bepaal. Die x-waardes in ŉ kwadratiese vergelyking word ook die wortels van die vergelyking genoem wanneer die vergelyking gelyk HINT! iswenk aan nul. bv. 13 EG - worked examples Los op vir x: exams 2 x – 7x = –10 x2 – 7x + 10 = 0 Skryf in standaardvorm en gelyk aan 0 x2 – 5x – 2x + 10 = 0 Faktoriseer die trinoom x(x–5) –2(x–5) = 0 activity (x – 5)(x – 2) = 0 ACTIVITIES boy and girl-left and ∴x – 5 = 0 of x – 2 = 0 right of page activity x = 5 ∴x = 2 comment comment Aktiwiteit 2Step by step Los op vir x: 1. x(x + 3) = 0 2. x(2x – 5) = 12 3. 2x2 + x − 6 = 0 _____ 1 4. 2x2 = 32 5. 3x + __   x = 4, x ≠ 0 6. 2√x − 3 = x − 3 [22] 24 EENHEID 2 ALGEBRA © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 2 Oplossings 1. x(x + 3) = 0 Ons het ’n produk = 0. Daarom stel ons elke faktor = 0 x = 0 of x + 3 = 0 x = 0 3 of x = –3 3 (2) 2. x(2x – 5) = 12 Ons het ’n produk = 0 nodig. Daarom vermenigvuldig ons die hakies uit en skryf in standaardvorm met al die terme aan die een kant en gelyk aan 0 (2x + 3)(x – 4) = 0 Faktoriseer 2x + 3 = 0 of x – 4 = 0 Stel elke faktor = 0 2x = –3 of x = 4 3 x = – __2 3 x = 4 3 (2) 3. 2x  + x − 6 = 0 2 (2x − 3)(x + 2) = 0 33 ∴ 2x = 3 of x = − 2 Bepaal die oplossing deur elke faktor gelyk te stel aan nul ∴ x =  3_ of x =  −2 33 (4) 2 4. 2x2 = 32 2x2 – 32 = 0 Skryf in standaardvorm met al die terme aan een kant en gelyk aan 0 x2 – 16 = 0 3 Deel elke term aan albei kante deur 2 (x + 4)(x – 4) = 0 3 Faktoriseer (die verskil van twee vierkante) ∴ x + 4 = 0 of x – 4 = 0 ∴ x = –4 3 of ∴ x = 4 3 (4) 1 5. 3x + __   x = 4, x ≠ 0 Vermenigvuldig regdeur met x en raak ontslae van die noemer 3x + 1 = 4x 2 Skryf in standaardvorm met al die terme aan die een kant en gelyk aan 0 3x2 – 4x + 1 = 0 3 Faktoriseer (die trinoom) (3x – 1)(x – 1) = 0 33 ∴ 3x – 1 = 0 of x – 1 = 0 ∴ 3x = 1 of x = 1 ∴ x =  1_ 3 of ∴ x = 1 3 (5) 3 _____ 6. 2√x_____ − 3 = x − 3 Kwadreer albei kante (2√x − 3   ) = (x − 3 )2 2 4(x − 3 ) = (x − 3 )(x − 3 )  3 4x − 12 = x2 − 6x + 9 0 = x2 − 10x + 21 3 0 = (x − 7 )(x − 3 ) 3 ∴ x − 7 = 0 of x − 3 = 0 ∴ x = 7  3  of x = 3 3 (5) [22] Kontroleer jou antwoorde: x=7 _____ __ LK = 2√7 − 3 = 2√4 = 2(2) = 4 RK = 7 − 3 = 4  ∴ x = 7 is ’n oplossing x=3 _____ __ LK = 2√3 − 3 = 2√0 = 0 RK = 3 − 3 = 0  ∴ x = 3 is ’n oplossing As ’n kwadratiese vergelyking nie gefaktoriseer kan word nie, is daar ander maniere om die wortels of oplossings te bepaal. Soms bestaan die oplossings nie! © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 25 Mind the Gap Wiskunde

PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 2 Eenheid HINT! wenk 2.6.2 Voltooi die vierkant bv. 14 EG - worked examples Skryf exams y = 3x2 + 12x + 9 in die vorm y = a(x + p)2 + q. Om dit te doen, kan ons ’n paar stappe volg: y = 3x2 + 12x + 9 Om die vierkant te voltooi, moet die koëffisiënt van x2 gelyk wees activity ACTIVITIES boy aan een (1). and girl-left and right of page Ons haal 3 uit as ’n faktor sodat activity die koëffisiënt van x2 een is. y = 3[x2 + 4x + 3] Haal (helfte van die koëffisiënt van x) uit en kwadreer die getal. comment comment Tel hierdie antwoord op en trek Step by step dit af om die vergelyking gebalanseerd te hou. Die koëffisiënt van x is +4. Halveer 4 = 2. (+2)2 =4. y = 3[x2 + 4x + (+2)2 + 3 – (+2)2] Dus, tel 4 op en trek 4 af. y = 3[x2 + 4x + 4 + 3 – 4] = 3[x2 + 4x + (+2)2 + 3 – 4] Nou kan ons die vierkant { (x + 2)2 y = 3[(x + 2)2 + 3 – 4] voltooi deur faktorisering. y = 3[(x + 2)2 – 1] y = 3(x + 2)2 – 3 Ons het nou y = 3x2 + 12x + 9 geskryf as y = 3(x + 2)2 – 3. Daarom het ons y = ax2 + bx + c in die vorm y = a(x + p)2 + q geskryf met a = 3, p = 2 en q = –3. Die kwadratiese vergelyking y = 3x2 + 12x + 9 help ons om die y-afsnit te identifiseer, terwyl die vorm y = 3(x + 2)2 – 3 ons help om die draaipunt te identifiseer. Verwys na grafieke in eenheid 4 oor Funksies. 26 EENHEID 2 ALGEBRA © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 2 Aktiwiteit 3 1. Watter term kan by die volgende vergelykings getel word om ’n volkome vierkant te vorm? b a) 0 = x2 – 8x + ? b) y = x2 + 9x + ? c) y = x2 –  __a x + ? 2. Los op vir x deur die metode van die voltooiing van die vierkant te gebruik. a) –3x2 + 5x + 4 = 0 b) ax2 + bx + c = 0 [17] Oplossings 1a) 0 = x2 – 8x + (–4)2 Gebruik die helfte van -8 gekwadreer b) (2 ) y = x2 + 9x +  9_   2 0 = x2 – 8x + 16 0 = (x – 4)2  3 (1) y = x2 + 9x +  81 __ 4 b b ( y = x + __ ) 9 2   2   33 (2) c) y = x2 – __   a x + ? Gebruik die helfte van – __a gekwadreer y = x2 – __ b   a x + –  __ ( b)__ 2 __ b 2a   = x –   a x +   a 2 b ( y = x – __ b   2a   33 ) 2 (2) 2a) –3x2 + 5x + 4 = 0 Deel elke term aan albei kante deur -3 x2 −  5_ x −  4_  = 0 Kry die konstante waarde op sy eie aan die RK 3 3 x2 −  5_ x =  4_ 3 Tel (½ koëffisiënt van x term)2 aan albei kante by 3 3 ( ) x –   x +  5_   =  4_ + __ 2 5 _ 3 6 2 3 5 2 ()   6   3 Voltooi die vierkant deur faktorisering van die LK __________ − b ± √b2− 4ac  ( ) x −  5_   3 =  4_  +  25 6 2 3 __ 36 Tel die konstante waardes aan die RK op ∴ x =   _______________   2a is die formule wat ( ) x −  _5    =  48 6 2 + 25 ______ 36 ons gebruik om enige ( ) x −  5_6    =  73 2 __  3 36___ Kry die vierkantswortel van albei kante kwadratiese vergelyking op te los, y=ax²+bx+c x −    =  ±  73 5 _ 6 __   ___ 36 √ Kry x alleen waar a = koëffisiënt van x², b = koëffisiënt van x √ 73  x =  5_ ±  ___ Skei die twee waardes van die vierkantswortel en c = konstante 6 ___6 ___ waarde/term. √ 73  √ 73  x =  _5  +  ___ of x =  _5  −  ___  33 (6) Gebruik ’n sakrekenaar om elke waarde te bepaal 6 6 6 6 x = 2,2573… of x = –0,5906… ∴ x = 2,26 of x = −0,59 Rond af tot twee desimale plekke Dit is die wortels van die vergelyking b) ax2 + bx +c = 0 Deel elke term aan albei kante deur a b c x2 +  __a x +  __a = 0 Kry die konstante term op sy eie aan die RK b c x2 +  __a x = −  __a 3 Tel (½ koëffisiënt van x term)2 aan albei kante by b x2 +  __a x + __ ( ) ( ) b 2   2a = __ b 2 c   2a −  __a 3  Dit vorm ’n volkome vierkant aan die LK ( b 2 ) b __ c 2 x +  __2a   =   ___ 4a2 a −   3   Tel die konstante waardes aan die RK op ( b 2 ___ x +  __ ) b2 ___ 4ac 2a   =   4a2 −   4a2 ( x +  __ b 2 ) b2 − ______ 2a   =    4a2 3   4ac ________ _______ √( ) √ 4a b 2 b − x +  __ 4ac 2 ______ 2a     =  ±   2   Kry die vierkantswortel van albei kante _______ = ± √  b − b __ ______ 4ac 2 ∴ x +   2a   2a _______ 2a ± √   2a   b b − ∴ x =  −  __ 4ac 2 ______ Kry x alleen _______ ∴ x =  − b ± √  b − 4ac 2 ______   33 (6) Skryf die twee breuke as een breuk [17] 2a © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 27 Mind the Gap Wiskunde

2 Eenheid 2.6.3 Los kwadratiese vergelykings op met PAY SPECIAL ATTENTION NB NB die formule Party kwadratiese vergelykings kan nie gefaktoriseer word nie, maar daar HINT! wenk is ŉ ander manier om die wortels van die vergelyking te bepaal. bv. 15 EG - worked examples Kan jy die faktore vir hierdie kwadratiese vergelyking bepaal: exams x2 – 5x + 3 = 0? Daar is geen rasionale getalle wat vermenigvuldig kan word om 3 te kry en opgetel kan word om 5 te kry nie, activity gebruik dus die kwadratiese formule om die vergelyking op te los. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Die standaardvorm activity van die kwadratiese vergelyking ax2 + bx + c = 0 word gebruik en daaruit word die formule afgelei: _______ − b ± √b2 − 4ac x =   ____________   2a comment comment Step by step Vir x – 5x + 3 = 0 2 a = 1, b = –5 en c = 3 Vervang hierdie waardes vir a, b en c in die formule: _____________ − ( − 5) ± √(− 5)2 − 4(1)(3)     x =   ___________________ 2(1)       _______ 5 ± √25 − 12  ___________ x =   2 ___ 5 ± √13  x =  _______ 2 ___ ___ 5 + √13  5 − √13  x =  _______ 2 OF x =  _______ 2 28 EENHEID 2 ALGEBRA © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 2 Aktiwiteit 4: Interpreteer ’n grafiek Los op vir x (korrek tot twee desimale plekke): 4x2 – 8x = 7 2x (3x + 5) – 11 = 0 [9] Oplossings 1. 4x2 – 8x = 7 Skryf die vergelyking in standaardvorm (ax2 + bx + c = 0) PAY SPECIAL ATTENTION 4x – 8x – 7 = 0 2 Lys die waardes van a, b en c NB a = 4; b = _______ – 8; c = –7 Skryf die formule neer − b ± √b2 − 4ac x =   ____________    2a Vervang die waardes vir a, b en c in die formule. HINT! wenk _____________ – (–8 )± √(–8)2 –    ___________________ 4(4)(–7) x =     2(4) 33 Vereenvoudig die waarde onder die wortelteken Hierdie wortels is ____ irrasionaal. Tensy 8 ± √176 x = _______   8 Skei die positiewe en negatiewe waarde van die vierkantswortel bv. die vraag desimale EG - worked examples waardes vereis, los ____ ____ 8 + √176 8 – √176 dit in wortelvorm (die x =  _______ 8 of x = _______   8 3 Antwoorde in wortelvorm vierkantswortelvorm) x = 2,66  3  of x = –0,66 3 Antwoorde korrek tot twee desimale exams plekke (5) 2. 2x(3x + 5) – 11 = 0 Skryf die vergelyking in standaardvorm 6x2 + 10x – 11 = 0 (ax2 + bx + c = 0) _________ –10 ± √100 + 264 x =  _____________    33 activity 12 ____ ACTIVITIES b √364 –10 ± ____ and girl-left =   12 3 PAY SPECIAL ATTENTION NB NB right of page ___ –5 ± √91 = _______   6 3 (4) activity HINT! wenk [9] bv. 16 EG - worked examples comme Step by step 2 As __   exams3 ’n wortel is van die vergelyking 12x – kx – 8 = 0, bepaal die waarde van k. 2 Oplossing 2 2 2 As __   3 ’n wortel is van die vergelyking, dan x = __   3 . Daarom kan ons x = __   3 in die vergelyking activity vervang: 12x2 – kx – 8 = 0 ACTIVITIES boy ∴ 12(  2__3   ) – k(__   3   )– 8 = 0 and girl-left and 2 2 right of page activity 16 2 __ __  3 –   3 k – 8 = 0 8 ∴ –   2__3 k = __   3 comment comment ∴ k = –4 Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 29 Mind the Gap Wiskunde

2 Eenheid 2.7 Kwadratiese ongelykhede Los kwadratiese ongelykhede op Om kwadratiese ongelykhede op te los NBstandaardvorm ax + bx + c > 0 of ax + bx • NBKry die ongelykheid in die PAY SPECIAL ATTENTION 2 2 As ons ŉ ongelykheid + c < 0 of ax + bx + c ≤ 0 of ax + bx + c ≥ 0 2 2 met ŉ negatief vermenigvuldig, • As die waarde van a < 0, vermenigvuldig die vergelyking met –1. draai die ongelykheidsteken om: • Faktoriseer die ongelykheid indien dit moontlik is of HINT! as -5 < 7, dan sal dit wenk 5 > –7 wees nadat dit met • Gebruik die kwadratiese formule om die kritieke waardes te bepaal. (-1) vermenigvuldig is. bv. 17 Los op vir x as x2 < 25 EG - worked examples Metode 1 exams x2 < 25 x2 – 25 < 0 (x – 5)(x + 5) < 0 activitywaardes is waar die uitdrukking x² – 25 gelyk is aan nul. Die kritieke Daarom is die kritieke waardes –5 en 5. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Ons dui nou –5 en 5 op ’n getallelyn aan. activity comment –5 comment 5 Step by step Ons weet dat die uitdrukking x² – 25 = 0 by –5 en 5 is. Ons kan dit op hierdie getallelyn aandui. 0 0 PAY SPECIAL ATTENTION NB NB –5 5 Ons volgende stap is om waardes kleiner as –5, waardes tussen –5 en 5 en HINT! waardes groter as 5 te kies en dit in die uitdrukking x² – 25 te vervang. As wenk die antwoord positief is, dui ons + op die getallelyn aan. As die antwoord negatief is, dui ons – op die getallelyn aan. As x = –10, dan (–10)² – 25 = 75 > 0 ∴ + + 0 – 0 + bv. As x = –6, EG - worked examples dan (–6)² – 25 = 11 > 0 ∴ + –5 5 As x = –3, exams dan (–3)² – 25 = –16 < 0 ∴ – Ons moet vir x oplos waar x2 – 25 < 0. Die oplossing op die getallelyn is die interval waar ons ’n negatief sien. Dit gebeur tussen –5 en 5. As x = 2, dan (2)² – 25 = –21 < 0 ∴ – + 0 – 0 + As x = 7, dan (7)² – 25 = 24 > 0 ∴ + –5 5 As x = activity 9, 0 0 dan (9)² – 25 = 56 > 0 ∴ + ACTIVITIES boy and girl-left and Daarom is die oplossing: –5 < x < 5 right of page activity 30 EENHEID 2 ALGEBRA © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 2 OF Metode 2 deur gebruik te maak van ’n rowwe skets van die parabool: PAY SPECIAL ATTENTION NB NB y Bokant die x-as is y positief y = ax2 + bx + c ... y is gelyk aan dit Op die x-as is y nul HINT! wat in terme van x wenk gedefinieer word Onder die x-as is y negatief x bv. 18 Los op vir x as x2 < 25 EG - worked examples x2 < 25 exams x2 – 25 < 0 Kry 0 aan die RK (x – 5)(x + 5) < 0 Faktoriseer LK Kritieke waardes van x: –5 en 5 Maak ’n rowwe skets van activity die parabool ACTIVITIES boy and girl-left and right of page As (***)(***) < 0 (beteken dit waar y negatief is) activity x Lees die x-waardes van die grafiek –5 5 onder die x-as af comment comment –5 < x < 5 Step by step Aktiwiteit 5 Los op vir x as 1. (x + 3) (x – 5) ≤–12 2. –x ≤ 2x2 – 3 [10] Oplossings 1. (x + 3)(x – 5) ≤ –12 x2 – 2x – 15 +12 ≤ 0 Kry dit in die standaardvorm (ax2 + bx + c ≤ 0) x2 – 2x – 3 ≤ 0 3 Faktoriseer die trinoom: (x – 3)(x + 1) ≤ 0 3 Kritieke waardes: x = 3 en x – 1 Ons dui nou 3 en –1 op ’n getallelyn aan. –1 3 Ons weet dat die uitdrukking x2 – 2x – 3 = 0 by x = 3 en x = –1 is. Ons kan dit op die getallelyn aandui. + 0 – 0 + –1 3 © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 31 Mind the Gap Wiskunde

PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 2 Eenheid HINT! Ons volgende stap is om waardes kleiner as –1, waardes tussen –1 wenk en 3 en waardes groter as 3 te kies en in die vergelyking x2 – 2x –3 te vervang. As die antwoord positief is, dui ons + op die getallelyn aan. As die antwoord negatief is, dui ons – op die getallelyn aan. As x = –10, dan (–10)² bv. 2(–10) – 3 =117 worked∴ + EG -> 0 examples + 0 – 0 + As x = 1, dan (1)² – 2(1) – 3 =–4 < 0 ∴ – –1 3 x = 5, dan (5)² –2(5) – 3 exams As Ons moet vir x oplos waar x2 – 2x – 3 ≤ 0. Die oplossing op die = 12 > 0 ∴ + getallelyn is die interval waar ons nul en ’n negatief sien. Dit gebeur wanneer die x-waardes kleiner as of gelyk is aan 3 en ook groter as of gelyk is aan –1. + 0 – 0 + activity ACTIVITIES boy –1 3 and girl-left and Elke keer as ons met ŉ   right of page 3 ongelykheid vermenigvuldig activitydie of deel, verander Daarom is die oplossing −1 ≤ × ≤ 3  33  (5) ongelykheidsteken, d.i. die kleiner-as-of-gelyk-aan- 2. –x ≤ 2x2 – 3 teken verander na ŉ groter- –2x2 – x + 3 ≤ 0 Kry dit in die standaardvorm (ax2 + bx + c ≤ 0) as-of-gelyk-aan-teken. –2x x 3 0 comment  ___ –1 –   comment__ __ __ –1 +   –1 ≥    –1 Deel albei kante deur –1 om die koëffisiënt van x2 na ’n positief te verander Step by step 2x2 + x – 3  ≥  0 3 Faktoriseer die trinoom (2x + 3)(x – 1)  ≥  0 3 Kritieke waardes: –3 x = __   2 en x = 1 –3 Ons dui nou  __ 2 en 1 op ’n getallelyn aan. + 0 – 0 + 3 – __ 2 1 –3 PAY SPECIAL ATTENTION Ons weet dat die uitdrukking 2x2 + x – 3 = 0 by x =  __ en x = 1 is. NB NB 2 Ons kan dit op die getallelyn aandui: 0 0 HINT! 3 – __ 2 1 wenk –3 –3 Ons volgende stap is om waardes kleiner as  __ , waardes tussen  __ 2 2 As x = –10, dan 2(–10)² en 1 en waardes groter as 1 te kies en in die vergelyking 2x + x – 3 te 2 bv. +(–10) – 3 = 187 EG - > 0 ∴ worked + examples vervang. As die antwoord positief is, dui ons + op die getallelyn aan. As die antwoord negatief is, dui ons – op die getallelyn aan. As x = 0, dan 2(0)² – 0 – 3 = –3 < 0 ∴ – + 0 – 0 + x = 3, dan 2(3)² + 3 – 3 exams As = 18 > 0 ∴ + 3 3 – __ 2 1 activity 32 EENHEID 2 ALGEBRA © Departement van Basiese Onderwys 2015 ACTIVITIES boy Mind the Gap Wiskunde and girl-left and right of page

Eenheid 2 Ons moet vir x oplos waar 2x2 + x – 3 ≥ 0. Die oplossing op die getallelyn is die interval waar ons nul en ’n positief sien. Dit gebeur vir die x-waardes kleiner as of –3 gelyk aan  ___ en vir die x-waardes groter as of gelyk aan 1. 2 + 0 – 0 + 3 – __ 2 1 Daarom is die oplossing: x ≤ − 3_ of x ≥ 1  33 (5) 2 OF Metode 2 deur ’n rowwe skets van die parabool te gebruik: –x < 2x2 – 3 Kry dit in die standaardvorm ax2 + bx + c < 0 –2x2– x + 3 < 0 Deel albei kante deur –1. –2x x ___   –1 – __   –1 +  3 __ > 0 Dit is nodig om die rowwe skets van ’n –1 “positiewe” parabool te skets. 2x2 + x – 3 > 0 3 Met 0 aan die RK (2x + 3)(x – 1) > 0  3 Faktoriseer die LK Kritieke waardes van x:  –3 __ en 1 Maak ’n rowwe skets van ’n parabool 2 As (***)(***) > 0 (beteken dit waar y positief is) x Lees die x-waardes van die grafiek bokant die x-as 3 af – __ 2 1 3 ∴ x < –  _3 of x > 1 33 2 (5) [10] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 33 Mind the Gap Wiskunde

PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 2 Eenheid 2.8 NB Gelyktydige vergelykings HINT! wenk PAY SPECIAL ATTENTION NB bv. 19 EG - worked examples HINT! Los x en y gelyktydig op: exams wenk y + 2x – 2 = 0 en 2x² + y² = 3yx Wanneer jy besluit om te In hierdie voorbeeld moet ’n kwadratiese vergelyking en ’n lineêre deel, moet jy partykeer tot vergelyking gelyktydig opgelos word. Gebruik die volgende stappe: activity bv. die naaste getalle afrond wat EG - worked examples makliker is om te deel. Stap 1: Gebruik die lineêre vergelyking om een van die onbekendes die ACTIVITIES boy and girl-left and right of page onderwerp van die vergelyking te maak (d.i. kry x of y alleen aan die een activity kant van die vergelyking) exams Stap 2: Vervang x of y (watter een ookal die onderwerp van die vergelyking was) in die kwadratiese vergelyking comment in. Die vergelyking sal nou slegs een comment onbekende bevat. Step by step PAY SPECIAL ATTENTION NB NBdie een onbekende op. Stap 3: Los Stap 4: Vervang die onbekende wat sopas opgelos is in die lineêre ver- activity gelyking en los die ander onbekende op. ACTIVITIES boy HINT! and girl-left and wenk right of page Oplossing Benoemactivity altyd die y + 2x – 2 = 0 ………….verg (1) vergelykings: 2x² + y² = 3yx……………...verg (2) bv. EG - worked examples vergelyking 1 as verg (1) en PAY SPECIAL ATTENTION NB vergelyking 2 as verg (2) Stap 1: NB y + 2x – 2 = 0..............uit verg (1) comment ∴ y = 2 – 2x................verg (3) comment exams Step by step Stap 2: Vervang verg (3) in verg (2) HINT! 2x2 + y2 = 3yx wenk ∴ 2x2 + (2 – 2x)2 = 3x(2 – 2x) As die koëffisiënt van y in Stap 3: 2x2 + (2 – 2x)(2 – 2x) = 3x(2 – 2x) die lineêre vergelyking een 2x2 + 4 – 8x + 4x2 = 6x – 6x2 bv. activity is, kry y alleen EG - worked examples aan die een 12x2 – 14x + 4 = 0 kant van die vergelyking. As ACTIVITIES boy die koëffisiënt van x in die and girl-left right of page and ÷ 2 ∴ 6x2 – 7x + 2 = 0 lineêre vergelyking een is, kry ∴ (3x – 2)(2x – 1) = 0 exams activity x alleen aan die een kant van 2 1 ∴ x =  __3 of x = __   2 die vergelyking. Op hierdie manier hoef jy nie met breuke 2 1 Stap 4: Vervang x =  __ 3 in verg (3) in Vervang x =  __ 2 in verg (3) in te werk nie. comment ∴ y = 2 – 2 __ comment 2 ()   3   = __ 2   3 () ∴ y = 2 – 2 __ 1   2   = 1 activity Step by step ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment Step by step 34 EENHEID 2 ALGEBRA © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 2 HINT! wenk bv. 20 EG - worked examples 6 Om die snypunte Gegee exams die funksies y =  __ x en y = x − 1, bepaal die koördinate van die van twee grafieke te snypunte van die twee grafieke algebraïes. bepaal, los ons die grafieke 6 gelyktydig op. y =  __ x … verg (1) y=x–1 … verg (2) activity Vervang verg (2) in verg (1) in: ACTIVITIES boy and girl-left and (Oral waar ’n y is, vervang dit met (x – 1), deur hakies te gebruik) right of page activity 6 x − 1 =  __ x ∴ x− x = 6 KGV = x 2 ∴ x2 − x − 6 = 0 comment comment Step by step ∴ (x − 3)(x + 2) ∴ x = 3 en x = − 2 Vervang x = 3 in verg (2): Vervang x = –2 in verg (2): y = 3 − 1 = 2 y =  − 2 − 1 =  − 3 ∴ (3;2) en (− 2; − 3) is die snypunte Albei hierdie punte bevredig die vergelykings. Die grafieke van die twee vergelykings sal by twee punte sny. y 8 y=_ 6 7   x 6 y=x–1 5 4 3 2 1 x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 35 Mind the Gap Wiskunde

2 Eenheid Aktiwiteit 6 Los die volgende vergelykings gelyktydig op. 1. 2x + y = 3 en x2 + y + x = y2 −6 2. y =   ____ x + 1  − 2 en y =  − 3x + 2 [14] Oplossings 1. 2x + y = 3 ..................... verg (1) x2 + y + x = y2 .............. verg (2) y = –2x + 3  3  .............. verg (3) Gebruik die lineêre vergelyking (1) om y alleen aan die een kant van die vergelyking te skryf. Vervang verg (3) in verg (2) in, om die y veranderlike te elimineer. x2 + (–2x + 3) + x = (–2x + 3)2  3 Vereenvoudig albei kante. x – x + 3 = 4x – 12x + 9 2 2 Faktoriseer die trinoom. 0 = 3x2 – 11x + 6  3 0 = (3x – 2)(x – 3) 3 ∴ 3x – 2 = 0 of x – 3 = 0 ∴ x =  2_3 of ∴ x = 3  3 Vervang hierdie twee waardes van x in verg (3) om die waardes vir y te bepaal. 2 Vervang x = __   3 in verg (3) Vervang x = 3 in verg (3) ∴ y = –2 __() 2   3   + 3 = __ 5   3 3 ∴ y = –2(3) + 3 = –3 3 (7) Dus is daar twee oplossings: __   3 ; __(2 5 )   3   en (3; –3) −6 2. y =   ____ x + 1 − 2 en y =  − 3x + 2 −6 y =   ____ x + 1 − 2.....................(verg 1) y = –3x + 2.......................(verg 2) y is alleen aan een kant van albei vergelykings ∴ y =    x− ____6 + 1 − 2 = –3x + 2 3 ............KGN = x + 1 ∴ –6 –2(x + 1) = –3x(x + 1) + 2(x + 1) 3 ∴ –6 –2x –2 = –3x2 – 3x + 2x + 2 ∴ 3x2 – x – 10 = 0 3 ∴ (3x + 5)(x – 2) = 0 3 ∴ x = –   5__3 of x = 2 3 Vervang x = –   35__in verg (2) Vervang x = 2 in verg (2) ( 5)   y = –3 – __   3   + 2 = 7 3 y = –3(2) + 2 = –4 3 (7) [14] 36 EENHEID 2 ALGEBRA © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 2 2.9 Die aard van die wortels 2.9.1 Bepaal die aard van die wortels ∆ = b2 – 4ac Die wortels van enige kwadratiese vergelyking ax2 + bx + c = 0 kan by ________ Die waarde van –b ± √b2 – 4ac  ___________ die ∆ bepaal die x =     2a gekry word. aard van die wortels • Die wortels van ŉ kwadratiese vergelyking is die x-waardes wanneer die vergelyking nul is. • Die wortels is die x-afsnitte van die grafiek. • Wanneer jy gevra word om die “aard van die wortels van ŉ vergelyking te bepaal”, word jy NIE gevra om die vergelyking op te los nie. Opsomming: Om die aard van die wortels van ’n kwadratiese vergelyking ax2 + bx + c = 0, te bepaal, kyk na die waarde van D, die diskriminant. • As Δ < 0 : Die wortels is nie-reël/nie-reële wortels. • As Δ = 0 : Daar is twee gelyke, reële en rasionale wortels. • As Δ > 0 : Daar is twee reële wortels wat rasionaal of irrasionaal is. • As D ’n volkome vierkant is, is die wortels rasionaal. • As D nie ’n volkome vierkant is nie, dan is die wortels irrasionaal. Die aard van die wortels vertel ons ook van die x-afsnitte van die grafiek van die kwadratiese vergelyking. Aard van wortels Grafieke Δ<0 Wortels is nie-reël. Daar is geen x-afsnitte nie. Δ=0 Wortels is reël en gelyk. Daar is net een x-afsnit en dit is by die draaipunt van die grafiek. Δ>0 Wortels is reël en ongelyk (twee wortels): As Δ ŉ rasionale vierkantsgetal (kwadraat) is, is die wortels rasionaal. As Δ nie ŉ vierkantsgetal is nie, is die wortels irrasionaal. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 37 Mind the Gap Wiskunde

2 Eenheid HINT! wenk bv. 21 EG - worked examples ___ − 6 ± √25  x =  ________ 1.exams 4 Δ = 25 ∴ Δ > 0, dus is daar twee reële wortels.___ Ons kan sien dat 25 ’n volkome vierkant is (√25  = 5) Dus sal die wortels reël, rasionaal en ongelyk wees. activity___ 4 ± √24  2. x =  _______ 2 ACTIVITIES boy and girl-left and Δ = 24 ∴ Δ > 0, dus is daar twee reële wortels. 24 is nie ’n volkome right of page activity vierkant ___ nie (√24 = 4,898979486…) Dus sal die wortels reël, NB NB PAY SPECIAL ATTENTION irrasionaal en ongelyk wees. comment comment ___ − 5 ± √−9  Step by step 3. x =  ________ 8 ___ Δ = –9 ∴ Δ < 0, dus is √−9  nie-reël. Daar is geen reële oplossings vir HINT! wenkx nie, dus is die wortels nie-reël. bv. 22 EG - worked examples _______ Die oplossings vir ’n kwadratiese vergelyking is: x = 5 ± √10 + 2a . exams Vir watter waardes van a sal die vergelyking gelyke wortels hê? Oplossing activity Die vergelyking sal ACTIVITIES gelyke boy and girl-left and wortels hê as Δ = 0. Δ = 10 + 2a right of page 0 =activity 10 + 2a 10 =  −2a ∴ a = −5 comment comment Step by step Aktiwiteit 7 1. Toon aan dat die wortels van x2 – 2x – 7 = 0, irrasionaal is sonder om die vergelyking op te los. (3) 2. Toon aan dat x2 + x + 1 = 0 nie reële wortels het nie. (3) 3. As x = 2 ’n wortel is van die vergelyking 3x2 – 5x – 2k = 0, bepaal die waarde van k. (2) 4. Die oplossing van ’n kwadratiese vergelyking _______ is: x = 5 ± √12 − 3a . Vir watter waarde (s) van a sal die vergelyking gelyke wortels hê? (3) 5. Bepaal die waarde(s) van k waarvoor die vergelyking 3x2+ (k + 2) x + k = 0 gelyke wortels het. (4) [15] 38 EENHEID 2 ALGEBRA © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

PAY SPECIAL ATTENTION NB Eenheid 2 Oplossings HINT! 1. a = 1; b = –2 ; c = –7 wenk Δ = b2 – 4ac = (–2)2 – 4(1)(–7)  3 32 is nie ’n volkome vierkant = 4 + 28 nie, dus is die wortels = 32  3  bv. PAY- worked SPECIALexamples ATTENTION irrasionaal. EG NB ∴ Die wortels sal irrasionaal wees  3 (Δ > 0 en is nie ’n volkome vierkant nie) (3) exams 2. a = 1; b = 1; c = 1 HINT! Δ = b2 – 4ac = (1)2 – 4 (1)(1)  3 wenk –3 < 0 = 1 – 4 = – 3  3 ∴ is nie-reël ∴ Daar is geen reële wortels nie (Δ < 0 ) 3 (3) bv. EG - worked examples activity ACTIVITIES boy 3. As 2 ’n wortel is van die vergelyking, dan is x = 2. Daarom kan and girl-left and right of page ons x = 2 in die vergelyking vervang. exams 3x – 5x – 2k = 0 2 activity ∴ 3(2)2 – 5(2) –2k = 0  3 ∴ 12 − 10 − 2k = 0 ∴ 2k = 2 c activity comment ∴ k = 1  3 (2) Step by step ACTIVITIES boy and girl-left and 4. Die vergelyking sal gelyke wortels hê as Δ = 0 right of page Δ = 12 – 3a 0  3 = 12 − 3a  3 activity − 12 = − 3a ∴ a = 4  3 (3) comment c 5. 3x2 + (k + 2)x + k = 0 Step by step ∴ a = 3 ; b = (k + 2) ; c = k ∴ Δ = b2 – 4ac = (k + 2)2 – 4(3)(k) 3 = k2 + 4k + 4 – 12k = k2 – 8k + 4 3 Vir gelyke wortels is die Δ = 0  3 ∴ k2 – 8k + 4 = 0 ___________ 8±√(–8)2–    4(1)(4) ∴ k = _____________     2(1) ___ √ 48  ∴ k =  8± _____ 2 ∴ k = 7,46 of k = –0,54 3 (4) [15] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 39 Mind the Gap Wiskunde

2 Eenheid NB PAY SPECIAL ATTENTION 2.9.2 NB Probleemoplossing met kwadratiese PAY SPECIAL ATTENTION NB vergelykingsNB Jy kan ŉ vergelyking gebruik om ŉ probleem voor te stel. Bepaal watter deel van die probleem onbekend is en met ŉ veranderlike voorgestel moet HINT! HINT! wenk word. wenk m2 hier betekenPAYvierkante NB Dit is nie ’n SPECIAL ATTENTION bv. 23 NB EG - worked examples meter. bv. veranderlike nie. EG - worked examples Die oppervlakte van ’n reghoek is 12 m2. exams Die lengte is 4 m langer as die breedte. Bepaal die afmetings van die HINT! reghoek. wenk exams Ons weet nie wat die lengte of die breedte van die reghoek is nie. activity Afmetings: die mates van Wat ons wel weet, is dat die lengte 4 m langer is as die breedte. ACTIVITIES boy die sye and girl-left and right of page bv. EG - worked examples Dit maak sin om die breedte gelyk te stel aan x m. Dan is die lengte activity x + 4 m. activity Teken ’n skets om jou te help. Laat die breedte x m wees. comment comment exams ACTIVITIES boy Oppervlakte van reghoek = lengte × breedte and girl-left and Step by step right of page 12 = (x + 4)x activity 12 = x2 + 4x x meter 0 = x2 + 4x – 12 0 = (x + 6)(x – 2) activity ∴x+6=0 of x–2=0 comment ACTIVITIES boy comment x+4 x = –6 and girl-left and x = 2 Step by stepright of page Die lengte en die breedte moet albei positiewe lengtes wees. Jy kan nie ’n activity negatiewe lengte hê nie! Dus x ≠ –6 ∴ x = 2 en dus is die breedte 2 m. Die comment lengte is x + 4 en dus is die lengte 6 m. comment Step by step 40 EENHEID 2 ALGEBRA © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 2 Wat jy moet kan doen: • Los kwadratiese vergelykings op deur faktorisering, waar moontlik. • Skryf ŉ kwadratiese vergelyking wat in die algemene vorm y = ax2  + bx + c geskryf is, oor in die vorm y = a(x + p)2 + q deur die vierkant te voltooi. • Gebruik voltooiing van die vierkant om kwadratiese vergelykings op te los. ________ − b ± √b2  − 4ac  • Gebruik die formule x =  ____________   2a om die wortels van ŉ vergelyking te bepaal. • Gebruik die waarde van die diskriminant (b2 − 4ac) van ŉ kwadratiese vergelyking om die aard van die wortels te bepaal. • Los lineêre en kwadratiese ongelykhede op. • Los gelyktydige vergelykings op om die snypunte tussen twee verskillende funksies te bepaal. Feb/Maart 2014 V1.1.1 & V1.1.2 & V1.2 & V1.3 Nov 2013 V1.1.1 & V1.1.2a,b & V1.1.3 & V1.2 Feb/Maart 2013 V1.1.1 & V1.1.2 & V1.1.4 & V1.2.1 & V1.2.2 & V1.2.3 Nov 2012 V1.1.1 & V1.1.1 & V1.1.3 & V1.2.1 & V1.3.1 & V1.3.2 Feb/Maart 2012 1.1.1 & 1.1.2 & 1.1.3 & 1.2 Nov 2011 V1.1.1 & V1.1.2 7 V1.1.3 & V1.2 Feb/Maart 2011 V1.1.1 & V1.1.2 & V1.1.3 & V1.2 Hou so aan! © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 2 ALGEBRA 41 Mind the Gap Wiskunde

3 Eenheid 3 Eenheid Getalpatrone, rye en reekse 3.1 Getalpatrone ŉ Lys getalle in volgorde word ŉ getalpatroon of ŉ getallery genoem. Ons het ten minste drie getalle in die lys nodig om uit te werk of die getalle ŉ patroon vorm. As ons net twee getalle het, kan ons nie verseker sê watter patroon dit is nie. Byvoorbeeld, as ons die lys 2; 4; ... het, is daar baie moontlike verskillende getalpatrone: Die patroon kan 2; 4; 6; … wees; tel 2 by elke getal om die volgende getal te kry OF 2; 4; 8; … vermenigvuldig elke getal met 2 om die volgende getal te kry OF 2; 4; 2; 4; … herhaal die patroon ŉ Enkele getal in ŉ patroon of ry word ŉ term genoem. PAY SPECIAL ATTENTION Term NB 1 word geskryf as T1, term NB 2 word geskryf as T2 en so aan. Die nommer van die term toon sy posisie in die ry aan. T10 is die 10de term in die ry. HINT! wenkTn is die nde term in ŉ ry. bv. 1 EG - worked examples 1. Kyk na die getalpatroon 3; 8; 13; … exams T1 T2 T3 T4 T5 3 8 13 ... activity +5 +5 +5 +5 ACTIVITIES boy and girl-left and right of page As ons aanhou om 5 by elke term te tel, kry ons die volgende term: activity T4 = 13 + 5 = 18; T5 = 23; T6 = 28, ens. 2. Kyk na die getalpatroon 5; 15; 45; … comment comment T1 T2 T3 T4 T5 Step by step 5 15 45 ... ×3 ×3 ×3 ×3 42 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 3 In hierdie patroon word elke term met 3 vermenigvuldig om die volgende term te kry. Dus T4 = 45 × 3 = 135; T5 = 405; T6 = 1 215, en so aan. 3. Kyk na die ry: 1; 4; 9; … T1 = 12; T2 = 22; T3 = 32 Hierdie getalle is almal volkome vierkantgetalle. Elke getal is die nommer van die term tot die mag twee (gekwadreer). Dus T4 = (4)2 = 16; T5 = (5)2 = 25; T6 = (6)2 = 36, en so aan. Dit is belangrik om te leer om vierkantgetalle (kwadrate) te herken. 3.2 Rekenkundige rye NB PAY SPECIAL ATTENTION NB ŉ Rekenkundige ry is ŉ ry waar die gemene verskil (d) tussen opeenvolgende terme konstant is. HINT! Twenk 2 – T1 = T3 – T2 = Tn – Tn–1 = d (gemene verskil) bv. 2 Gegee die ry: EG - worked examples 5; 9; 13; 17 ; . . . a) Bepaal die gemene verskil exams b) Bepaal die volgende twee terme Oplossing of deur te kyk na d = 9 – 5 = 13 – 9 = 4 die struktuur, is die TNB activity PAY SPECIAL ATTENTION 5 = 17 + 4 = 21 en T6 = 21 + NB4 = 25 getalle 2 minder as ACTIVITIES boy and girl-left and die veelvoude van 6, right of page d.i. Tn = 6n – 2 activity As ons a gebruik vir die eerste term T1 en d vir die gemene verskil, dan is HINT! wenkalgemene term Tn vir ’n rekenkundige ry : Tn = a + (n – 1)d die comment comment bv. 3 Gegee die ry 4; 10; 16; . . . EG - worked examples Step by step a) Bepaal ’n formule vir die nde term van die ry. exams b) Bereken die 50ste term. c) Watter term van die ry is gelyk aan 310? Oplossings a) activity a = 4 en d = 10 – 4 = 16 – 10 = 6 ACTIVITIES boy Tn = a + (n – 1)and rightd girl-left and of page activity = 4 + (n – 1) 6 = 4 + 6n – 6 = 6n – 2 comment comment b) T50 = 6 × 50 – 2 Step by step = 300 – 2 = 298 c) 6n – 2 = 310 6n = 312 n = 52 © Departement van Basiese Onderwys 2015 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse 43 Mind the Gap Wiskunde

3 Eenheid Aktiwiteit 1 1. Gegee die ry 6; 13; 20; … a) Bepaal ’n formule vir die nde term van die ry. b) Bereken die 21ste term van hierdie ry. c) Bepaal watter term van hierdie ry is 97. (5) 2. Beskou hierdie getalpatroon: 8; 5; 2; … a) Bereken die 15de term. b) Bepaal watter term van hierdie ry is –289. (4) 3. a) Gegee die rekenkundige ry 1 − p; 2p − 3; p + 5; . . . bepaal die waarde van p. b) Bepaal die waardes van die eerste drie terme van die ry. (5) [14] Oplossings 1. a) Dit is ’n rekenkundige ry want daar is ’n gemene verskil. a = 6; d = 7 Tn = a + (n – 1)d 3 Tn = 6 + (n – 1)(7) Tn = 7n – 1 3 b) T21 = 7(21) – 1 = 147 – 1 = 146 3 c) 97 = 7n – 1 3 ∴98 = 7n ∴14 = n 3 ∴97 is die 14de term van die ry. (5) 2. a) Dit is ’n rekenkundige ry: a = 8; d = 5 – 8 = 2 – 5 = – 3 Tn = a + (n – 1)d ∴T15 = 8 + (15 – 1)(–3) 3 T15 = 8 + 14(–3) T15 = 8 – 42 = –34 3 b) Tn = a + (n – 1)d – 289 = 8 + (n – 1)(–3) 3 ∴– 289 = 8 – 3n +3 ∴– 300 = –3n ∴100 = n 3 ∴ –289 sal die 100ste term wees (4) 3. a) Aangesien dit ’n rekenkundige ry is, kan jy aanneem dat daar ’n gemene verskil is tussen die terme. d = T2 – T1 = T3 − T2 ∴(2p – 3) – (1 – p) = ( p + 5) – (2p – 3) 3 3p – 4 = – p + 8 3 4p = 12 p=33 b) p = 3 T1 = 1 – p = 1 – 3 = –2 T2 = 2p – 3 = 2(3) – 3 = 3 3 T3 = p + 5 = 3 + 5 = 8 3 Dus is die eerste drie terme van die ry –2; 3; 8 (5) [14] 44 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 3 3.3 Kwadratiese rye Ons het ten minste vier getalle nodig om te bepaal of die ry kwadraties is Vir T1, n = 1; T2, of nie. n = 2; T3, n = 3 ; . . . Beskou hierdie getalpatroon: Daar is geen gemene verskil tussen die getalle nie. Die verskille is 6; 10; 14; 18. T1 T2 T3 T4 T5 6 12 22 36 54 Nou kan ons sien dat daar (T2 – T1) (T3 – T2) (T4 – T3) (T5 – T4) Eerste verskil =6 = 10 = 14 = 18 ŉ tweede gemene Tweede verskil 10 – 6 14 – 6 18 – 4 verskil is. =4 =4 =4 In hierdie ry is daar ŉ tweede gemene verskil van 4. Die volgende term sal wees: T6 = 54 + (18 + 4) = 76 ŉ Patroon met ŉ gemene tweede verskil word ŉ kwadratiese getallery genoem. Die algemene formule vir enige term van ’n kwadratiese ry is Tn = an2 + bn + c T1 = a + b + c T2 = 4a + 2b + c T3 = 9a + 3b + c T4 = 16a + 4b + c 1ste verskil 3a + b 5a + b 7a + b 2de verskil 2a 2a PAY SPECIAL ATTENTION As NB Tn = an2 + bn + c NB dan is 2a die tweede verskil 3a + b is T2 – T1 + b + c is die eerste term a HINT! wenk bv. 4 Kyk na die getallery 12; 20; 32; 48; . . . EG - worked examples 2 exams gemene verskil is 4 de Dus 2a = 4 ∴ a=2 3. 12 20 32 48 T2 – T1 = 8 2. Dus 3a + b = 8 ∴ 3(2) + b = 8 T2 – T3 – T4 – activity ∴ b=2 ACTIVITIES boy and girl-left and =8 =12 =16 right of page 1 term is 12 3. ste 2. activity Dus a + b + c = 12 ∴ 2 + 2 + c = 12 ∴ c=8 4 4 ∴Tn = 2n2 + 2n + 8 comment comment 1. ∴T5 = 2(5)2 + 2(5) + 8 = 68 Step by step ∴T6 = 2(6)2 + 2(6) + 8 = 92 © Departement van Basiese Onderwys 2015 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse 45 Mind the Gap Wiskunde

3 Eenheid Aktiwiteit 2 1. Beskou die getalpatroon: 3; 13; 31; 57; 91; … a) Bepaal die algemene term vir hierdie patroon. b) Bereken die 7de term van hierdie patroon. c) Watter term is gelyk aan 241? (9) 2. Bepaal term 6 van hierdie patroon en bepaal die reël in die vorm Tn = an2 + bn + c –1 ; 3; 9; 17; 27 ... (4) [13] Oplossings 1. a) Dit help om ’n diagram te teken: T1 T2 T3 T4 T5 3 13 31 57 91 (T2 – T1) (T3 – T2) (T4 – T3) (T5 – T4) Eerste verskil = 10 = 18 = 26 = 34 Tweede verskil 18 – 10 26 – 18 34 – 26 =8 =8 =8 ∴ dit is ’n kwadratiese ry 2a = 8 ∴ a = 4 3 ∴ 3a + b = 10 3(4) + b = 10 n = –7,5 is nie moontlik nie want n is die b = –2 3 posisie van die term en dit moet ∴ a + b + c = 3 4 + (–2) + c = 3 dus ŉ positiewe natuurlike getal wees. ✓ c=1 3 ∴Tn = 4n2 – 2n + 1 3 ∴241 241 is die 8ste term van die ry. b) T7 = 4(7)2 – 2(7) + 1 3 = 4(49) – 14 + 1 = 183 3 c) 241 = 4n2 – 2n + 1 0 = 4n2 – 2n + 1 – 241 3 stel die vergelyking = 0 om op te los 0 = 4n2 – 2n – 240 0 = 2n2 – n – 120 deel deur 2 0 = (2n + 15)(n – 8) 3 faktoriseer ∴ 2n + 15 = 0 OF n–8=0 ∴ n = –7,5 OF n=8 3 (9) 46 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 3 2. T1 T2 T3 T4 T5 –1 3 9 17 27 ... 4 6 8 10 2 2 2 3 ∴T6 = 27 + (10 + 2) = 39 3 gebruik die patroon van die getalle 2a = 2 ∴a = 1 3a + b = 4 3(1) + b = 4 ∴b = 1 a + b + c = –1 1 + 1 + c = –1 ∴c = –3 Tn = n2 + n – 3 33 (4) [13] © Departement van Basiese Onderwys 2015 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse 47 Mind the Gap Wiskunde

3 Eenheid 3.4 Meetkundige rye Wanneer daar ŉ gemene verhouding (r) tussen opeenvolgende terme is, kan ons sê dit is ŉ meetkundige ry. As die eerste term (T1) a is, die gemene verhouding r is, en die algemene term Tn is, dan: T2 T3 Tn r =  __ __ ___ As die ry gegee word, T =  T =  T en 1 2 n–1 kyk of dit rekenkundig, Tn = ar n–1 meetkundig of kwadraties is. PAY SPECIAL ATTENTION NBna die ry 5; 15; 45; 135; NB Kyk 405; … 15 __ 45 135  5 = 3  __ ___ 15 = 3 en  45 = 3 en dus is die gemene verhouding 3. Daarom wenk is die ry meetkundig. Om die volgende term te kry, moet jy die HINT! voorafgaande term met die gemene verhouding vermenigvuldig. bv. 5 EG - worked examples __ __ 2 4 exams die ry 1;  3 ;  9 ; ... Gegee a) Bepaal die volgende twee terme 32 b) Watter term van die ry is gelyk aan  ___ 243 ? activity Oplossings 2 2 2 4 2 is __   3 want __   3 ÷ 1 =  __3 =  __9 ÷  __3 ACTIVITIES boy Die gemene verhouding and girl-left and right of page = ar3 = 1(__   3   ) =  __ 27 en T = 1(  3   ) =   81 2 8 3 2 __ 16 __ 4 a) T4activity OF 5 T4 = T3 × r = 2 32 b) a = 1; r = __   3 en Tn = arn–1 = ___   243 4 2 8  __ __ ____ 9   ×   3   =   27 (__   3   )ATTENTION =  __5 = (__   3   ) ∴Tn = PAY 2 2 comment 2 n−1 5 5 comment T5 = T4 × r = (1) SPECIAL 3 8 2 16 NB Step by step NB ____   27   ×   __ ____ 3    =    81   ∴(  2__3   ) = (  2__3   ) n−1 5 ∴n – 1 = 5 HINT! wenk n=6 bv. 6 EG - worked examples In ’n meetkundige ry is die vyfde term 80 en die gemene verhouding –2. exams Bepaal die eerste drie terme van die ry. T5 = 80 en r = –2 T5 = ar4 = a(–2)4 = 80 16a = 80 activity a=5 ACTIVITIES boy and girl-left and ∴T1 = 5; T2 = 5(–2)1 = –10; T3 = 5(–2)2 = 20 right of page activity comment comment Step by step 48 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 3 Aktiwiteit 3 a) Bepaal die 10de term van die ry: 3; 6; 12; . . . (2) b) Bepaal die aantal terme in die ry: 2; 4; 8; . . .; 1024 (2) c) As 5; x; 45 die eerste drie terme van ’n meetkundige ry is, bepaal die waarde van x. (2) d) Bepaal die meetkundige ry waarvan die 8ste term 9 is en die 10de term 25 is. (3) [9] Oplossings 6 12 a) a = 3; r = __   3 = __   6 = 2 Tn = arn−1 T10 = 3(2)10−1 = 3(2)9 = 3 × 512 = 1536 33 (2) 4 8 b) a = 2; r = __   2 = __   4 = 2 arn–1 = 1024 2(2)n–1 = 210 = 2n = 210 3 ∴ n = 10 3 (2) x 45 c) __   5 = __   x 3 ____ x=±√ 225 = ± 15 3 (2) d) ar7 = 9 ar9 = 25 ar9 ___ 25   ar7 =  __ 9 25 __ ∴r2 =   9 5 _ r =  3 3 9 a =   __5 7 = 9 × __ ___ () (3 )   5   3   3   7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die ry is: 9  _35   ; 9   _35   ; 9   _35   ; 9   _35   ; 9   _35   3 7 6 5 4 3 (3) [9] © Departement van Basiese Onderwys 2015 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse 49 Mind the Gap Wiskunde

3 Eenheid 3.5 Rekenkundige en Die bewys meetkundige reekse moet vir die eksamen geleer Wanneer ons die terme van ŉ ry bymekaartel, vorm ons ŉ reeks. word. Ons gebruik die simbool Sn om die som van die eerste n terme van ŉ reeks aan te toon. Dus Sn = T1 + T2 + T3 + T4 + … + Tn 3.5.1 Rekenkundige reekse n Die formule is Sn =  __2 [2a + (n − 1)d] waar Sn die som is van n terme, a is die eerste term, n is die aantal terme en d is die gemene verskil. Bewys Die algemene term van ’n rekenkundige reeks is Tn = a + (n – 1)d Dus Sn = T1 + T2 + T3 + T4 + … + Tn Sn = a + [a + d] + a + 2d + … + [a + (n – 2)d] + [a + (n – 1)d] …vergelyking 1 As ons die reeks omgekeerd skryf, kry ons: Tel eerste terme op: a + [a + (n – 1)d] Sn = [a + (n – 1)d] + [a + (n – 2)d] + [a + (n – 3)d] + … + [a + d] + a … = 2a + (n – 1)d vergelyking 2 Tel tweede terme op: Ons kan vergelyking 1 en vergelyking 2 optel. a + d + [a + (n – 2)d] = 2a + (n – 1)d Dus 2Sn = [2a + (n – 1)d] + [2a + (n – 1)d] + [2a + (n – 1)d] + … + Tel derde terme op: [2a + (n – 1)d] + [2a + (n – 1)d] a + 2d + [a + (n – 3)d] 2Sn = n [2a + (n – 1)d] n = 2a + (n – 1)d Sn = __   2[2a + (n – 1)d] Tel laaste terme op: In die finale eksamen word die formule op die inligtingsblad voorsien. [a + (n – 1)d] + a = 2a + (n – 1)d d.i. (a + l), n keer Alternatiewe bewys Of Sn = a + [a + d] + [a + 2d] + … + [l – d] + l … vergelyking 1 Omgekeerd Sn = [a + (n – 1)d] + [a + (n – 2)d] + [a + (n – 3)d] + … + [a + d] + a Sn = l + [l – d] + [l – 2d] + . . . + [a + d] + a … vergelyking 2 Tel NB vergelyking PAY SPECIAL1 en vergelyking ATTENTION NB 2 op 2Sn = [a + l] + [a + l] + . . . + [a + l] n keer 2Sn = n[a + l] n ∴Sn =   __2[a + l] HINT! wenk bv. 7 EG - worked examples 1. Bepaal die som van die eerste 20 terme van die reeks: exams 3 + 7 + 11 + 15 + … 2. Die som van die reeks 5 + 3 + 1 + . . . is –216, bepaal die aantal terme in die reeks. activity ACTIVITIES boy and girl-left and 50 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse right of page © Departement van Basiese Onderwys 2015 activity Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 3 Oplossings 1. a = 3, n = 20, d = 4 n Sn = __   2 [2a + (n – 1)d] 20 S20 = __   2 [2(3) + (19)4] S20 = 10(6 + 76) S20 = 820 Die som van die eerste 20 terme is 820 n 2. a = 5 d = –2 Sn = –216 Sn = __   2 [2a + (n – 1)d] n=? Vervang in die formule: n –216 =  __2 [2(5) + (n – 1)(–2)] n –216 = __   2 [10 + –2n + 2] n –216 = __   2 [12 – 2n] –432 = 12n – 2n2 –432 = –2n2 + 12n …. Stel vergelyking = 0 2n – 12n – 432 = 0 …. Deel deur 2 (gemeenskaplike faktor) 2 n2 – 6n – 216 = 0 …. Faktoriseer trinoom (n – 18)(n + 12) = 0 ∴ n – 18 = 0 of n + 12 = 0 n = 18 of n = –12 n>0 ∴ n = 18 ∴18 terme van die reeks is saam –216. Aktiwiteit 4 1. Bepaal die som van die reeks: 19 + 22 + 25 + . . . + 121 (3) 2. Die som van die reeks 22 + 28 + 34 + . . . is 1870. Bepaal die aantal terme. (2) 3. Gegee die rekenkundige reeks –3; 1; 5; …,393 a) Bepaal ’n formule vir die nde term van die reeks. b) Skryf die 4de, 5de, 6de en 7de terme van die reeks neer. c) Skryf die res neer wanneer elkeen van die eerste sewe terme van die reeks deur 3 gedeel word. d) Bereken die som van die terme in die rekenkundige reeks wat deelbaar is deur 3. (10) n __ 4. Die som van n terme word gegee deur Sn  =    2  (1 + n). Bepaal T5. (3) 5. 3x + 1; 2x; 3x − 7 is die eerste drie terme van ’n rekenkundige reeks. Bereken die waarde van x. (3) 6. Die eerste en tweede terme van ’n rekenkundige reeks is onderskeidelik 10 en 6. a) Bereken die 11de term van die reeks. b) Die som van die eerste n terme van hierdie reeks is –560. Bereken n. (6) [27] © Departement van Basiese Onderwys 2015 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse 51 Mind the Gap Wiskunde

3 Eenheid Oplossings 1. a = 19 en d = 3 Tn = 3n + 16 = 121 3n = 105 n = 35 3 n Sn  =  __2 (a + l) 3 35 35 S35  =  __ 2 (19 + 121) =   __ 2 (140) = 35 × 70 = 2450 3 (3) 2. a = 22 en d = 6 n Sn =  __2 [2a + (n − 1)d] __ n   2 [2 × 22 + (n − 1)6] = 1870 3 19n + 3n2 = 1870 3 n 2  + 19n − 1870 = 0 (3n + 85)(n − 22) = 0 3  ∴ n = 22 n kan nie ’n negatief wees nie want dit is die aantal terme (2) 3. a) Tn = –3 + (n − 1)4 3 4n – 7 = Tn 3 b) T4 = 5 + 4 = 9; T5 = 9 + 4 = 13; 3 T6 = 13 + 4 = 17 en T7 = 17 + 4 = 21 3 c) 0; 1; 2; 0; 1; 2; 0 33 d) Tn = –3 + 12 (n − 1) 3 393 = 12n – 15 12n = 393 + 15 = 408 3 n = 34 34 S34  =  __ 2 × (–3 + 393)  = 17 × 390 33  = 6630 (10) 5 4. S5  =  __2 ( 1 + 5 ) = 15 3 4 S4  =  __2 ( 1+ 4 ) = 10 3 T5 = 15 – 10 = 5 3 (3) 5. T2 – T1 = T3 – T2 2x – (3x + 1) = (3x – 7) – 2x 3 2x – 3x – 1 = 3x – 7 – 2x –2x + 6 = 0 3 2x = 6 x=3 3 (3) 52 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 3 6. a) Tn = a + (n – 1)d T11 = 10 + (11 – 1)(–4) 3 = –30 3 n b) Sn = __   2 [2a + (n – 1)d] n –560 =  __2 [2(10) + (n – 1)(–4)] 3 –1120 = –4n2 + 24n 4n2 – 24n – 1120 = 0 n2 – 6n – 280 = 0 3 (n – 20)(n + 14) = 0 3 n = 20 of n = –14 n = 20 alleenlik 3 want die aantal terme kan nie ’n negatiewe getal wees nie (6) [27] 3.5.2 Meetkundige reekse Die formule is a(rn− 1) a(1 − rn) _______ Sn  =    _______ r − 1   vir r > 1 of Sn  =     1 − r   vir r < 1 Waar a die eerste term r die gemene verhouding n die aantal terme Sn die som van die terme is Bewys Die algemene term van ’n meetkundige reeks is Tn = arn – 1 Dus Sn = T1 + T2 + T3 + T4 + … + Tn Sn = a + ar + ar2 + … + arn–2 + arn–1 rSn = ar + ar2 + ar3 + … + arn–1 + arn vermenigvuldig elke term met r Sn = a + ar + ar2 + … + arn–2 + arn–1 skryf die reeks weer neer met  _____________________________ rSn – Sn = –a + 0 + 0 + … + 0 + 0 + arn         gelyksoortige terme onder mekaar ∴rSn – Sn = arn – a trek elke onderste term van die boonste term af Sn en a is gemeenskaplike faktore Sn (r – 1) = a(rn – 1) a(rn –1) Dus Sn = ______   r – 1 Deel regdeur deur (r – 1) Die bewys a(1 – rn) moet vir die eksamen Ons kan ook Sn = ______   1 – r vir r < 1 gebruik. geleer word. © Departement van Basiese Onderwys 2015 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse 53 Mind the Gap Wiskunde

3 Eenheid HINT! wenk bv. 8 EG - worked examples Evalueer: exams 25 + 50 + 100 + … tot 6 terme Oplossing Ons moet eers kyk of hierdie ’n rekenkundige reeks of ’n meetkundige reeks is. activity __ 50 boy ’n gemene verhouding van 2 is want   Jy behoort te sien datACTIVITIES 100 ___ daar and girl-left and 25 = 2 2 en   50 = 2 right of page r = 2 activity ∴ Dit is ’n meetkundige reeks en a = 25, n = 6, r = 2 a(1 – rn) Sn = ______   1 – r comment comment 25(1 – 26) Step by step S6 = _______   1 – 2 26 = 64 25(1 – 64) S6 = ________   – 1 25(–63) S6 = ______   –1 = 1 575 Dus is die som van die eerste 6 terme van hierdie reeks gelyk aan 1 575. Aktiwiteit 5 1. Bepaal 3 + 6 + 12 + 24 + . . . tot 10 terme. (2) 2. As 2 + 6 + 18 + . . . = bepaal die waarde van n. (3) [5] Oplossings 6 12 1. a = 3 en r =  __3 =  __ 6 = 2 a(r − 1) n Sn =  _______ r−1 3(210− 1) 3 S10=  _______ 2−1 = 3(1024 − 1) = 3069 3 (2) 6 18 2. a = 2 en r =  __2 =  __ 6 = 3 2(3n − 1) Sn =  _______ 3 − 1 = 728 3 2(3 − 1) n _______   2 = 728 3n − 1 = 728 3n = 729 = 36 3 ∴n = 6 3 (3) [5] 54 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 3 3.5.3 Sigmanotasie Hier is nog ŉ nuttige manier om ŉ reeks voor te stel. Die som van ŉ reeks kan in sigmanotasie geskryf word. Om die aantal terme te Die simbool “sigma” is ŉ Griekse letter wat “die som van” verteenwoordig. bepaal: boonste waarde minus onderste waarde  is die simbool vir “die som van” PAY SPECIAL ATTENTION plus 1, d.i. die aantal NB NB n terme in hierdie geval is ∑ Tk beteken “die som van die terme Tk vanaf k = 1 tot k = n. (17 – 3 ) +1 = 15 k=1 n wenkander woorde, ∑ Tk = T1 + T2 + T3 + T4 + … + Tn HINT! Met k=1 bv. 9 EG - worked examples 17 k ∑ p exams = p3 + p4 + p5 + . . . + p17 k=3 Aktiwiteit 6 activity PAY SPECIAL ATTENTION 70 ACTIVITIES boy NB 1. Evalueer: ∑(2n – 4) and girl-left and right of page (3) n=4 activity m 2. Wat is die waarde van m waarvoor ∑5(3)k–1 = 65? (4) k=1 HINT! 1 1 1 3. Beskou die reeks: __  2 ; 4; __  4 ; 7; comment __  8 ; 10; . . . comment wenk a) As die patroon op dieselfde manier voortgaan, skryf die Step by step volgende TWEE terme in die reeks neer. Soek twee verskillende reekse in die patroon en skei dit. b) Bereken die som van die eerste 50 terme van die reeks. (5) bv. EG - worked examples [12] Oplossing exams 1. Die vraag vereis dat jy die som van die terme vanaf n = 4 tot n = 70 bepaal as die nde term 2n – 4 is. a = T1 = 2(4) – 4 = 4 Bepaal die eerste term a T2 = 2(5) – 4 = 6 T3 = 2(6) – 4 = 8 Dus is die reeks gelyk aan 4; 6; 8; … en hierdie is ’n rekenkundige reeks. 3 activity ACTIVITIES boy Om d te kontroleer, bereken T2 – T1 and girl-left and right of page d = T2 – T1 = 6 – 4 = 2 n = (70 – 4) + 1 = 67 3 Daar is 67 terme activity Nou kan ons hierdie waardes in die formule vervang om die som van 67 terme te bepaal. n Sn = __   2 [2a + (n – 1)d] c comment 67 S67 = __   2 [2(4) + (67 – 1)2] Step by step S67 = 33.5 [8 + 132] = 4690 70 So ∑(2n – 4) = 4690 3 (3) n=4 © Departement van Basiese Onderwys 2015 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse 55 Mind the Gap Wiskunde

3 Eenheid 2. Hierdie is ’n meetkundige reeks want 5(3)k–1 het die vorm ark–1, T1 = 5(3)1–1 = 5 ; T2 = 5(3)2–1 = 15; T3 = 5(3)3–1 = 45 a = 5; r = 3; n = m en Sm = 65 a(rn −1) Sn = ______   r − 1 3 … vervang 5(3m − 1) 65 =  _______ 3−1 3 5(3m − 1) 65 = _______   2 … vermenigvuldig regdeur met 2 130 = 5.3m – 5 … tel gelyksoortige terme op 135 = 5.3 3 m … deel regdeur deur 5 27 = 3 m … skryf 27 as ’n mag van 3 3 = 3 3 m … grondtalle is dieselfde, dus is die magte gelyk ∴ m=33 (4) 1 3. a) T1, T3 en T5 vorm ’n reeks met ’n gemene verhouding van __   2 , dus is T7 1 gelyk aan __   16 . 3 T2, T4 en T6 vorm ’n reeks met ’n gemene verskil van 3, dus is T8 gelyk aan 13. b) S50 = 25 terme van 1ste reeks + 25 terme van 2de reeks 1 1 1 S50 = ( __2 + __4 + __   8 + … tot 25 terme) + (4 + 7 + 10 + 13 + … tot 25 terme) 3 [( ) ] 1 __ 25  __   1 2 2 S50 = ________   __1   −1 25 +  __   2 − 1 2 [2(4) + 24 (3)] 3 S50 = 0,99999997 + 1 000 3 S50 ≈ 1 001,00 3 (5) [12] PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 3.5.4 Oneindige meetkundige reeks ŉ Oneindige reeks is een waarvan daar geen laaste term is nie, d.i. die reeks gaan HINT! wenksonder om te eindig. aan bv. 10 EG - worked examples 3 3 6+ 3 +  __2 +  __4 + ... exams ∞ S∞ = ∑2(3)k–1 = 2 + 6 + 18 + 54 + . . . die som vanaf term 1 tot oneindigheid k=1 van 2(3)k – 1 T1 = 2(3)0 = 2 activity T2 = 2(3)1 = 6 ACTIVITIES boy and girl-left and right of page T3 = 2(3)2 = 18 activity T4 = 2(3)3 = 54 … Die terme van hierdie reeks is almal positiewe getalle en die som sal groter en commentDit word ’n divergente reeks genoem. groter word sonder om te eindig. comment Step by step 56 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 3 HINT! wenk bv. 11 EG - worked examples Kyk na hierdie oneindige reeks: exams 1 1 1 1 S∞ = 1 +  __2 + __  4 + __  8 + __  16 + … 1 1 S2 = 1 + __  2 = 1 __2 = 1.5 1 1 3 S3 = 1 __2 + __  4 = 1 __4 = 1.75 activity ACTIVITIES boy 3 1 7 S4 = 1 __4 + __  8 = 1 __8 = 1.675 and girl-left and right of page S5 = 1 __8activity 7 1 15 + __  16 = 1 __ 16 = ….. Hierdie reeks sal konvergeer na 2. Daarom word dit ’n konvergente reeks genoem en ons kan skryf diecomment som tot oneindigheid is gelyk aan 2:S∞ = 2 comment Step by step Jy kan ’n konvergente oneindige reeks identifiseer deur na die waarde r te kyk. ’n Oneindige reeks is konvergent as –1 < r < 1, r ≠ 0 Die NB formule vir die som van NB PAY SPECIAL ATTENTION ’n konvergerende oneindige reeks is a S∞ =  ____ 1 − r waar a die eerste term en r die gemene verhouding is. HINT! Hierdie formule word in die finale eksamen op die inligtingsblad verskaf. wenk bv. 12 EG - worked examples 1 1 1 1 Kyk weer na die voorbeeld waar S∞ = 1 +  __2 +  __4 + __ 1.exams  8 + __  16 + … 1 __ a = 1 en r =  2 0<r<1 a S∞ =  ____ 1 − r 1 1 =  _____ S∞activity __ 1 = 1 ÷  2 __ 1 −  2 ACTIVITIES boy S∞ = 1 × 2 = 2 and girl-left and right of page activity 2. Vir watter waarde(s) van x sal 8x2 + 4x3 + 2x4 +… konvergent wees? Vir konvergente meetkundige reeks, –1 < r < 1 comment r = T2 ÷ T1 comment Step by step = 4x ÷ 8x 3 2 x = __  2 x ∴–1 < __  2 < 1 Vermenigvuldig regdeur met 2 –2 < x < 2…………………..x ≠ 0 © Departement van Basiese Onderwys 2015 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse 57 Mind the Gap Wiskunde

3 Eenheid Aktiwiteit 7 ∞ 1. Bereken S∞ as ∑8(4)1–p (3) p=1 2. As die reeks: 3(2x – 3)2 + 3(2x – 3)3 +3(2x – 3)4 + … gegee word, vir watter waardes van x sal die reeks konvergeer? (4) m 3. Bepaal die waarde van m as: ∑3(2)k–1 = 93 (4) k=1 ∞ 4. Vir watter waardes van x sal ∑(4x – 1)k bestaan. (3) k=1 [14] Oplossings 1. T1 = 8(4)1 – 1 = 8 = a 3 Om r te bepaal, bepaal die gemene verhouding met T1 en T2, T2 en T3. 1 T2 = 8(4)1 – 2 = 8(4)–1 = 8 × __   4 = 2 1 1 T3 = 8(4)1 – 3 = 8(4)–2 = 8 × __   16 = __   2 1 2 1  __2 1 1 1 T2 ÷ T1 = __   8 =  __4 en T3 ÷ T2 = __ __ __ __ 2 =   2 ×   2 =   4 1 Dus r = __   4 en a = 8 3 a 8 8 ∴S∞ =  ____ ____ __ 1 − r =   1 −  __1 =     3__ 3 Wanneer mens met ’n breuk deel, kan jy 4 4 met die omgekeerde vermenigvuldig 4 32 = 8 × __   3 = __   3 32 2 ∴S∞ = __   3 of 10 __   3 (3) 2. Hierdie is ’n meetkundige reeks met r = 2x – 3 3 Om te konvergeer –1 < r < 1 3 –1 < 2x – 3 < 1 Tel 3 aan albei kante by 2 < 2x < 4 Deel aan albei kante deur 2 3 1<x<2 3 x ≠  __2 3 (4) Die reeks sal konvergeer vir 1 < x < 2 3. a = 3; r = 2; Sm = 93 4. r = 4x – 1 3 Sn=  _______ a(1 − rn) 1−r 3 –1 < r < 1 3(1 − 2m  ) 1 93 = _______   1 − 2 3 –1 < 4x – 1 < 1; x ≠  __4 3 3(1 − 2m  ) 93 = _______   − 1 0 < 4x < 2 1 –93 = 3(1 – 2m) 0 < x <  __2 3 (3) –31 = 1 – 2 m 2m = 32 3 2m = 25 ∴ m=5 3 (4) [14] 58 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 3 Wat jy moet kan doen: • Bepaal die volgende paar terme in ŉ gegewe ry. • Identifiseer rekenkundige rye, kwadratiese rye en meetkundige rye. • Pas kennis van rye en reekse toe om alledaagse probleme op te los. • Bepaal die eerste verskil en die tweede gemene verskil in ŉ kwadratiese ry. • Bepaal die algemene term vir ŉ ry. • Weet hoe om die formules vir die som van rekenkundige of meetkundige reekse af te lei. • Los probleme op met hierdie somformules. • Werk met die som van oneindige meetkundige reekse wat konvergent is. Februarie/Maart 2014 Vraag 2; 3 en 4 November 2013 Vraag 2 en 3 Februarie/Maart 2013 Vraag 2 en 3 Februarie/Maart 2012 Vraag 2, 3 en 4 November 2012 Vraag 2, 3 en 4 November 2010 Vraag 2 en 3 Hou so aan! © Departement van Basiese Onderwys 2015 Eenheid 3 Getalpatrone, rye en reekse 59 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid 4 Eenheid Funksies 4.1 Wat is ’n funksie? As ŉ versameling x-waardes gegee word, kan die versameling y-waardes of antwoorde uitgewerk word wat mens kry deur die gegewe reël op elke x-waarde te gebruik. REËL Daar is dus ŉ verwantskap tussen die x-waardes en die y-waardes wat deur die reël beskryf word Die x-waardes is die insetwaardes en die y-waardes x–waardes y - waardes is die uitsetwaardes. In hierdie vloeidiagram is die reël y = 2x – 1 Dus vermenigvuldig ons elke x-waarde met 2 en trek 1 af om die ooreenstemmende y-waarde te bepaal. –1 –3 0 –1 1 2x – 1 1 2 3 3 5 x–waardes reël y–waardes definisieversameling waardeversameling Die insetwaardes of x-waardes is die elemente van die definisieversameling van hierdie versameling en die uitsetwaardes of y-waardes is die elemente van die waardeversameling van hierdie versameling. 60 EENHEID 4 FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 Ons kan hierdie waardes op die Cartesiese vlak stip. y = 2x – 1 y As ons die definisieversameling uitbrei sodat x∈핉, (3; 5) kry ons die grafiek vir y = 2x – 1. (2; 3) Kyk na die grafiek. Vir elke x-waarde op hierdie (1; 1) grafiek is daar slegs een y-waarde. As ŉ reël of ŉ 0 formule slegs een y-waarde vir elke x-waarde gee, (0; –1) dan het ons ŉ funksie. (–1; –3) ŉ Funksie is ŉ verwantskap tussen x en y, waar daar vir elke x-waarde slegs een y-waarde is. EenNBmanier om te besluit of NB ŉ grafiek ŉ funksie verteenwoordig of nie, is PAY SPECIAL ATTENTION om die vertikalelyntoets te gebruik. As enige lyn wat parallel aan die y-as getrek word, die grafiek net een keer HINT! sny, wenkdan stel daardie grafiek ŉ funksie voor. bv. 1 EG - worked examples exams Grafiek A Grafiek B Grafiek C y y y activity x ACTIVITIES boy x x and girl-left and right of page activity Grafiek A en Grafiek B is funksies. comment Grafiek C is nie ’n funksie nie want die vertikale lyn sny die grafiek twee comment Step by step keer. Dus is daar vir elke x-waarde op die grafiek twee y-waardes. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 61 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid 4.2 Funksienotasie Ons gebruik funksienotasie f(x) om aan te toon dat elke y-waarde ’n funksie van ’n x-waarde is. Ons kan ook ander letters gebruik, soos g(x), h(x), ens. Dus y = 2x – 1 kan geskryf word as f(x) = 2x – 1. Die waarde van f(x) vir enige x-waarde kan met substitusie uitgewerk word: Byvoorbeeld, by x = –3 kan ons f(–3) = 2(–3) – 1 = –7 bepaal Dus lê die punt (–3; –7) op die grafiek van f(x) = 2x – 1 Aktiwiteit 1 As h(x) = (__   2   ) bepaal die waarde van h(–4). 1 x 1. (3) 2. As die funksie g(x) = –x – 3x, bepaal g(x + h) 2 (2) 3. As f(x) = 4x + 1, bepaal die waarde van: 3.1 f(x + a) 3.2 f(x) + a 3.3 af(x) (3) 4. As g(x) = 2x , bepaal die waarde van: 2 4.1 g(–x) 4.2 –g(x)(2) [10] Oplossings 1. h(x) = (__   2   ) 1 x ∴h(–4) = (  1__2   ) 3 (2–1 )–4 –4 = 24 = 16 3 PAY SPECIAL ATTENTION Dus wanneer x = –4, y = 16 en lê die punt (–4; 16) op die grafiek van NB die NB funksie h. 3 (3) 2. g(x) = –x2 – 3x ∴g(x + h) = –(x + h)2 –3(x + h) 3 oral waar daar ’n x is, vervang dit HINT! met (x + h) wenk = –(x2 + 2xh + h2) – 3x – 3h In elke voorbeeld is daar slegs = –x2 – 2xh – h2 – 3x – 3h 3 een moontlike y-waarde vir Dit beteken dat wanneer x = x + h, is y = –x2 – 2xh – h2 – 3x – 3h (2) bv. EG - worked examples elke x-waarde, dus is f(x); h(x) en g(x) funksies. 3.1 f(x) = 4x + 1 3.2 f(x) = 4x + 1 3.3 f(x) = 4x + 1 f(x + a) = 4(x + a)+1 f(x) + a = 4x + 1 + a af(x) = a(4x + 1) exams = 4x + 4a + 1 3 3 = 4ax + a 3 (3) 4.1 g(x) = 2x2 4.2 g(x) = 2x2 g(–x) = 2(–x)2 –g(x) = –2x2 3 = 2x2 3 (2) activity [10] ACTIVITIES boy 62 EENHEID 4 FUNKSIES and girl-left and right of page © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde activity

Eenheid 4 4.3 Die basiese funksies, formules en grafieke Belangrike terme om te onthou: Definisieversameling: die versameling moontlike x-waardes Waardeversameling: die versameling moontlike y-waardes Simmetrie-as: ŉ denkbeeldige lyn wat ŉ grafiek in twee spieëlbeelde van mekaar verdeel Maksimum: die grootste moontlike y-waarde van ŉ funksie Minimum: die kleinste moontlike y-waarde van ŉ funksie Asimptoot: ŉ denkbeeldige lyn wat ŉ grafiek nader maar nooit raak nie Draaipunt: die punt waar ŉ grafiek sy maksimum- of minimumwaarde bereik en van rigting verander. 4.3.1 Die lineêre funksie (reguitlyn) Lineêre funksies het die vorm y y=x f(x) = ax + q waar a die gradiënt van ’n reguitlyngrafiek voorstel en q die y-afsnit voorstel waar x = 0. Die grafiek van y is ’n reguitlyn met a = 1 en q = 0 Definisieversameling:: x ∈ 핉 x Waardeversameling: y ∈ 핉 Let ook op die vorm van die volgende lineêre funksies y y y y x x x x a<0 a=0 a>0 a is ongedefinieerd q<0 y=q q<0 daar is geen q-waarde nie SKETS DIE LINEÊRE FUNKSIE Om die lineêre funksie te skets met die dubbele afsnitmetode: • Bepaal die x-afsnit (laat y = 0) • Bepaal die y-afsnit (laat x = 0) • Stip hierdie twee punte en trek ’n reguitlyn deur albei. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 63 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid BEPAAL DIE VERGELYKING VAN ’N LINEÊRE FUNKSIE Om die vergelyking van ’n lineêre funksie te bepaal, volg die volgende stappe: • Bepaal die gradiënt van die funksie. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB • Vervang die waarde van die gradiënt in die algemene formule vir die lineêre funksie. • Los op vir q. HINT! • wenkSkryf die vergelyking in die vorm f(x) = ax + q bv. 2 EG - worked examples 1. exams 2. y y (–1; 2) activity0 2 x ACTIVITIES boy and girl-left and x (1; –1) right of page activity comment comment Step by step Oplossings 1. 2. y2 – y1 y2 – y1 a = _____   x2– x1 a =  _____ x2– x1 –1 _____ –0 2–0 =   1 – 2 3 =  _____ –1– 0 3 3 a = 1 a = –2 ∴y = –2x + c ∴y = 1x + c 0 = 1(2) + c 0 = –2(0) + c c = –2 3 c=0 3 ∴f(x) = x – 2 ∴f(x) = x – 2x [5] 4.3.2 Die kwadratiese funksie (parabool) ’n Kwadratiese funksie is ’n parabool en kan met ’n algemene formule y = ax2 + bx + c of y = a(x + p)2 + q voorgestel word. [EIENSKAPPE VAN ’N PARABOOL] 1. Vorm a<0 a>0 64 EENHEID 4 FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 2.   –b of Die grafiek het ’n simmetrie-as by x = __ 2a 3. Die funksie het een draaipunt gegee by –   b   b     . __; f – __ ( 2a ( 2a ) ) 4. Die funksie kan óf ’n maksimum- óf ’n minimumwaarde hê, maar nooit albei nie. 5. Definisieversameling: x ∈ 핉   b   of y < f –   b Waardeversameling: y > f – __ __  ( 2a ) ( 2a ) SKETS DIE KWADRATIESE FUNKSIE Om enige kwadratiese funksie te skets, volg die volgende stappe: • Skryf die y-afsnit neer (laat x = 0) • Om die x-afsnitte te bereken, • Skryf die vergelyking in die vorm ax2 + bx + c = 0 • Faktoriseer die linkerkant van die vergelyking. • Gebruik die feit dat as (x – p)(x – q) = 0, dan x = p of x = q, om die x-afsnitte te bereken. • NBBepaal die simmetrie-as.NB PAY SPECIAL ATTENTION • Vervang die x-waarde van die simmetrie-as in die oorspronklike vergelyking van die funksie om die koördinate van die draaipunt te bereken. HINT! wenk • Stip die punte en teken die funksie vryhand. bv. 3 EG - worked examples Skets examsdie grafiek van f(x) = x – 5x – 6 2 1. y-afsnit f(0) = –6 Daarom is die koördinate van die y-afsnit (0; –6) 3 activity 2. x-afsnit ACTIVITIES boy and girl-left and x2 – 5x – 6 = 0 right of page 3 activity (x – 6)(x + 1) = 0 3 x = 6 of x = –1 3 (6; 0) en (–1; 0) comment comment 3. Simmetrie-as Step by step –b x = ___   2a 3 – (–5) = _____   2(1) 3 5 = __   2 3 4. Draaipunt (5 ) (5 ) (5 ) 2   2   = __ f __   2   –5__   2   – 6 3 1 = –12 __   4 3 ∴DP __5 (21   ;–12 __  4 ) 3 © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 65 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid 5. Sketsgrafiek y (–1; 0) 0 (6; 0) x (0; –6) (__ 4   ) 5 49   2 ; – ___ 3x-afsnitte 3y-afsnit 3vorm 3draaipunt Bepaal die vergelyking van ’n kwadratiese funksie Gegee die x-afsnit en een punt Gegee die draaipunt en een punt • Gebruik die formule: y = a(x – x1)(x – x2). • Gebruik die formule: y = a(x + p)2 + q. • Vervang die waardes van die x-afsnitte. • Vervang die koördinate van die draaipunt • Vervang die gegewe punte wat nie die (p; q). x-afsnit is nie. • Vervang die gegewe punt • Los op vir a. • Los op vir a. • Skryf die vergelyking in die vorm • Skryf die vergelyking in die vorm f(x) = ax2 + bx + c. y = a(x +p)2 + q of f (x) = ax2 + bx + c afhangende van die instruksie in die vraag. Gegee die koördinate van drie punte op die parabool • Gebruik die formule: y = ax2 + bx + c. • Een van die gegewe punte is die y-afsnit, daarom is c gegee, vervang dus sy waarde. • Vervang die koördinate van die ander twee punte in y = ax2 + bx + c. • Los die twee vergelykings gelyktydig op vir a en b. Aard van die wortels en die kwadratiese funksie Aard van wortels Kwadratiese funksie Reële wortels y y Δ>0 x of x NOTA: daar is twee x-afsnitte. 66 EENHEID 4 FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 Gelyke wortels y y Δ=0 x of x NOTA: daar is slegs een x-afsnit. Nie-reële wortels y y Δ>0 x of x NOTA: daar is geen x-afsnitte nie. Aktiwiteit 2 Die skets verteenwoordig die grafiek van die parabool gegee deur f(x) = 2 – x – x2. Punt A, B en C is die afsnitte op die asse en D is die draaipunt van die grafiek. y D B A C x f 1.1 Bepaal die koördinate van A, B en C.(4) 1.2 Bepaal die koördinate van die draaipunt D.(3) 1.3 Skryf die vergelyking van die simmetrie-asse van f(x– 5) neer. (1) 1.4 Bepaal die waardes van x waarvoor – f(x) > 0. (2) [10] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 67 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid Oplossings 1.1 B(0; 2) 2 – x – x2= 0 3 x+ x – 2 = 0 2 (x – 1)(x + 2) = 0 3 x = 1 of x = –2 3 A(–2; 0) en C(1; 0) 3 (4) –b 1.2 x = __   2a – (–1) = _____   2(–1) 3 1 = – __   2 3 ( ) 1 f –  __ ( ) ( ) 1 __ 1 __ 2 2   = 2 – –   2   – –   2   9 1 = __   4 = 2 __4 ( D– __ )1 9   2 ; __   4   3 (3) 9 1 1.3 x = __   2 of x = 4 __2 3 (1) 1.4 x < –2 3 of x > 1 3 (2) [10] Aktiwiteit 3 Die skets verteenwoordig die grafiek van die parabool gegee deur f(x) = ax2 + bx + c en die reguitlyn gedefinieer deur g(x) = mx + c Punt A, B, C en D is die afsnitte op die asse. E is die snypunt van die twee grafieke. y g C(0; 3) E D x A(–1; 0) B(3; 0) f 2.1 Skryf die koördinate van punt D neer as D die beeld van B is nadat B twee eenhede na regs getransleer is. (1) 2.2 Bepaal die vergelyking van g.(3) 2.3 Bepaal die vergelyking van die funksie f in die vorm f(x) = ax2 + bx + c. (4) 68 EENHEID 4 FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 2.4 Bepaal die koördinate van E. (4) 2.5 Skryf die waardes van x neer waarvoor f(x) ≥ g(x).(2) [14] Oplossings 2.1 D(5; 0) 3 (1) 2.2 g(x) = mx + 3 3–0 3 0 = m(5) + 3 of mg = ____   0– 5 = – __   5 3 3 m = – __5 3 3 g(x) = – __   5 x + 3 3 (3) 2.3 f(x) = a(x + 1)(x – 3) 3 3 = a(0 + 1)(0 – 3) 3 a=13 f(x) = –(x + 1)(x – 3) f(x) = –x2 + 2x + 3 3 (4) 3 2.4 – __5 x + 3 = –x2 + 2x + 3 3 13 x2 – __   5 x = 0 x (x – __ 13 )   5   = 0 3 13 x=0 of x = __   5 = 2,60 3 (13 ) g __   5   = – __ 3 13   5 __( )   5   + 3 36 = __   25 = 1,44 3 ( ∴E   13 __ 36 __ ) 3 ( __ 11 __ ) 5 ;  25   of E 2  5 ; 1  25   of E (2,60; 1,44) (4) 13 2.5 0 < x <  ___ 5 33 (2) [14] 4.3.3 Die hiperboliese funksie a Hiperbool van die vorm y = __   x of xy = a waar a ≠ 0; x ≠ 0; y ≠ 0. Eienskappe Vorm 1. a>0 a<0 y y y = –x y=x 0 x x 0 © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 69 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid 2. (i) Definisieversameling: x ∈ 핉; x ≠ 0 (i) Waardeversameling: y ∈ 핉; y ≠ 0 3. Die horisontale asimptoot van die x-as 4. Die vertikale asimptoot van die y-as 5. As a < 0, lê die grafiek in die 2de en 4de kwadrant. 6. As a > 0 , lê die grafiek in die 1ste en 3de kwadrant. 7. Die simmetrielyne is y = x en y = –x. SKETS DIE HIPERBOOL VAN DIE VORM: a y = __   x of xy = a • Die grafiek sny nie die x-as en die y-as nie (asimptote) • Gebruik die tabel en beskou beide die negatiewe en positiewe x-waardes • a bepaal twee kwadrante waar die grafiek getrek sal word. Aktiwiteit 4 1 –4 1. Skets die grafiek van y = __   x deur punte te stip. 2. Skets die grafiek van y = __   x deur die punte te Beskryf die hoofkenmerke van die grafiek. (4) stip. Beskryf die hoofkenmerke van die grafiek. (4) Oplossing a=1 Oplossing a > 0, Die grafiek lê in die 1 en 3 kwadrant ste de a = –4 a < 0, Die grafiek lê in die 2de en 4de kwadrant – 3 – 2 – 1 – _  1 0  _1 1 2 3 2 2 –4 –2 –1 0 1 2 4 – _13 – _1 – 1 2 –2 ongedefinieerd 2 1   1 _ 2  _1 3 1 2 4 ongedefinieerd –4 –2 –1 y 3 y 4 –   x y=_ 1 y = __ x   –4 2 3 – 1 2 – 1 – – – – – – – -3 -2 -1 0 1 2 3 x – –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x -1 –1 – -2 –2 – -3 –3 – –4 • Definisieversameling: x ∈ 핉; x ≠ 0 3 • Definisieversameling: x ∈ 핉; x ≠ 0 3 • Waardeversameling: y ∈ 핉; y ≠ 0 3 • Waardeversameling: y ∈ 핉; y ≠ 0 3 • Asimptote: x = 0 en y = 0 3 • Asimptote: x = 0 en y = 0 3 • Simmetrielyne y = x en y = –x 3 (4) • Simmetrielyne y = x en y = –x 3 (4) [8] 70 EENHEID 4 FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 4.3.4 Die hiperbool a a Hiperbole in die vorm y =  __ __ x + q is die translasie van die grafiek van y =   x vertikaal met q eenhede. Die horisontale asimptoot (x-as) sal ook vertikaal (op of af) met q eenhede skuif. Aktiwiteit 5 1 –4 1. Beskou die funksie y = __   x – 2 2. Beskou die funksie f(x) = __   x + 1 1.1 Bepaal: 2.1 Bepaal: a) die vergelykings van die a) die vergelykings van die asimptote asimptote b) die koördinate van die b) die koördinate van die x-afsnitte x-afsnitte 1.2 Skets die grafiek 2.2 Skets die grafiek 1.3 Skryf neer: 2.3 Skryf die definisieversameling a) die definisieversameling en en die waardeversameling neer die waardeversameling 2.4 As die grafiek van f weerspieël b) die simmetrielyne word deur die lyn wat die y = x + c and y = –x + c vergelyking y = –x + c halveer, val die nuwe (10) grafiek saam met die grafiek van f(x). Oplossings 1.1 Bepaal die waarde van c. a) Die horisontale asimptoot is (9) y = –2 aangesien die grafiek 2 eenhede afgeskuif het en die Oplossings vertikale asimptoot is x = 0 3 2.1 Die noemer kan nie gelyk wees a) Die horisontale asimptoot is aan nul nie. y = 1 3 aangesien die grafiek b) Vir x-afsnitte, laat y = 0 1 eenheid opgeskuif het en die 1 vertikale asimptoot is x = 0. 0 = __   x – 2 3 Die noemer kan nie gelyk wees 0 = 1 – 2x (vermenigvuldig met aan nul nie. KGN wat x is) b) Vir x-afsnitte, laat y = 0 2x = 1 3 –4 1 0 =  __ x + 1 3 x = __   2 3 0 = –4 + x (vermenigvuldig met 1 (   2 ; 0 ) __ KGN wat x is) x=4 3 (4; 0) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 71 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid 1.2 2.2 x –4 –2 –1 0 1 2 4 x –4 –2 –1 0 1 2 4 y – 2 _14 – 2 _12 –3 ongedefinieerd –1 – 1 _1 2 – 1 _3 4 y 2 2 5 ongedefinieerd –3 –1 0 y y 2 3 vorm   x – 2 y=_ 1 4 ✓vorm 3 vorm 3 asimptoot 1 3 asimptoot   x + 1 y = __ –4 3 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x 2 –1 1 –2 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x –3 –1 –4 –2 1.3 –3 a) Definisieversameling x ∈ 핉; x ≠ 0 3 –4 Waardeversameling: y ∈ 핉; y ≠ 2 3 b) y = x en y = –x 2.3 Definisieversameling: x ∈ 핉; y ≠ 0 3 transleer 2 eenhede af en daarom Waardeversameling: y ∈ 핉; y ≠ 1 3 y = x – 2 en y = –x – 2 3 2.4 Die asimptote is ∴c = –2 x = 0 en y = 1 Of vervang (0; 2) snypunt van die twee y = –x + c asimptote in y = x + c of y = –x + c 1 = –(0) + c En bereken diePAY SPECIAL ATTENTION waarde van c. 1=c PAY SPECIAL ATTENTION NB NB NB 3 NB lyne is y = –x + 1 en y = x + 1 [10] [9] HINT! HINT! wenk Vergelyk hierdie grafiek met die een in wenk Vergelyk hierdie grafiek met die een in aktiwiteit 4 (a) aktiwiteit 4 (b) bv. EG - worked examples bv. EG - worked examples exams exams activity activity ACTIVITIES boy ACTIVITIES boy and girl-left and and girl-left and right of page right of page 72 EENHEID 4 FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 activity activity Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 4.3.5 Hiperbool van die vorm a y = ____   x+ p + q waar a ≠ 0, x ≠ 0, y ≠ 0 1. Vorm a>0 a<0 Die stippellyne is die asimptote. 2. Definisieversameling: x ∈ 핉; x ≠ –p. NBWaardeversameling: y ∈NB 핉; y ≠ q PAY SPECIAL ATTENTION 3. Die horisontale asimptoot is y = q 4. Die vertikale asimptoot is x + p = 0 ∴x = –p HINT! 5.wenkDie simmetrielyne is y = x + c en y = x + c bv. 4 EG - worked examples 8 ____ Beskou g(x) =   x – 2 –3 met die horisontale asimptoot by y = –3 en exams 8 x – 2 ≠ 0 ∴x ≠ 2 want as x = 2 is die uitdrukking ____   x – 2 8 8 se noemer ____   2 – 2 = __   0 wat ongedefinieerd is want die noemer is nul. Dus isactivity die grafiek ongedefinieerd vir x – 2 = 0 ∴x = 2 is die vertikale asimptoot. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page 8 activity = __ Die grafiek   x skuif 2 eenhede regs en 3 eenhede af van die grafiek ____ 8 g(x) =   x – 2 – 3 SKETS DIE HIPERBOOL VAN DIE VORM comment comment a Step by step y = ____   x + p + q • Skryf die asimptote neer. • Teken die asimptote op die assestelsel as stippellyne • Gebruik a om te bepaal in watter twee kwadrante die grafiek getrek word • Bepaal die x-afsnit(te), laat y = 0 • Bepaal die y-afsnit(te), laat x = 0 • Stip die punte en teken dan die grafiek vryhand. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 73 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid Aktiwiteit 6 2 3 1. Beskou die funksie f(x) = ____   x – 3 + 1 2. Beskou die funksie f(x) = ____  x – 1 – 2 a) Skryf die vergelykings van die a) Skryf die vergelykings van die asimptote neer. (2) asimptote van f neer. (2) b) Bereken die koördinate van die afsnitte van die b) Bereken die koördinate van die grafiek van f met die asse. (3) x- en y-afsnitte van f.(4) c) Skets die grafiek van f duidelik en toon ALLE c) Skryf die definisieversameling en asimptote en afsnitte met die asse aan. (3) die waardeversameling neer. (2) d) Skryf die waardeversameling van y = –f(x) neer. d) Skets die grafiek van f duidelik en (1) toon ALLE asimptote en afsnitte e) Beskryf, in woorde, die transformasie van –3 met die asse aan. (3) f na g as g(x) =  ____ x + 1 – 2 (2) [22] Oplossing Oplossing 1. a) x = 3 en y = 1 3 3 (2) 2. a) 3 x = –1 y = –2 3 (2) 2 b) f(x) = ____   x– 3 + 1 b) y – afsnit 3 2   0 – 3 + 1 = __ y-afsnit y = ____   3 3 1 y = ___   0–1 – 2 = –5 ( 1) 0;  __3   (0; –5) 3 ____ 3 x – afsnit 3 0 =   x– 1 –2 2 x-afsnit 0 = ____   x – 3 + 1 3 2 = ____ 3   x – 1 3 2(x – 1) = 3 0 = 2 + 1(x – 3) 2x – 2 = 3 0=2+x–3 2x = 5 3 x = 1 ∴(1; 0) (4) 3 x =   5__2 (__   2 ; 0 ) c) Definisieversameling: x ∈ 핉; x ≠ 3 3 5 (3) Waardeversameling: y ∈ 핉; y ≠ 1 3 (2) c) a > 0 d) a > 0 y y (2; 1) (4; 3) 0   5__2 x 1 __ (3; 1) (1; –2)   3 0 1 x (–2; –3) (2; –1) –5 PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 3 afsnitte 3 asimptote 3 vorm (3) [11] 3 afsnitte 3 asimptote 3 vorm (3) HINT! wenk In die grafiek 1 (d) is die punte (4; 3), x = 4 gekies want dit het x-koördinate groter as x = 3 wat die vertikale asimptoot is. Die punt (2; –1) is gekies want dit het ’n x-koördinaat van x = 2 wat minder is as x = 3, die vertikale asimptoot. Hierdie punte kan ook gebruik word om te bepaal in watter kwadrante die grafiek getrek moet word. Die punte (2; 1) en (–2; –3) op grafiek 2 (iii) is op ’n bv. EG - worked examples soortgelyke manier gekies. exams 4 FUNKSIES 74 EENHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 3 d) f(x) = ____   x – 1 – 2 ( 3 – f(x) = – ____ )   x – 1 – 2 –3 – f(x) = ____   x – 1 + 2 Waardeversameling: y ∈ 핉; y ≠ 2 3 (1) –3 e) g(x) = ____   x + 1 – 2 3 g(x) = _____   –x – 1 – 2 Aangesien x negatief is, 3 is hierdie die weerspieëling van f in die y-as. 3 (2) [11] Aktiwiteit 7 a Die diagram hieronder verteenwoordig die grafiek van f(x) = ____   x + p + q. T(5; 3) is ’n punt op f. y– 4– T(5; 3) 2– 10 x – – – – – – – –4 –2 0 2 4 6 8 –2 – –4– 4.1 Bepaal die waardes van a, p en q.(4) 4.2 As die grafiek van f in die lyn met die vergelyking y = –x + c weerspieël word, val die nuwe grafiek saam met die grafiek van y = f(x). Bepaal die waarde van c.(3) [7] Oplossings 4.1 3p = 4 en q = 2 3deur die asimptote te gebruik a Vervang T(5; 3) in y = ____   x – 4 + 2 a 3 = ____   5 – 4 + 2 3 3 = a + 2 a=13 (4) 4.2 Vervang (4; 2) 3 in y = –x + c 32 = –(4) + c ∴c = 6 3 (3) [7] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 75 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid Aktiwiteit 8 a Hieronder is die grafieke van f(x) = (x + p)2 + q en g(x) = ____   x + b + c geskets. ( 1 ) A 2  __2 ; 0 is ’n punt op die grafiek van f. P is die draaipunt van f. Die asimptote van g word voorgestel deur die stippellyne. Die grafiek van g gaan deur die oorsprong. y 4– 3– g 2 g f 1– x – – – – – – – – – –3 –2 0 –1 1 2 3 4 5 6 A (__   2 ;0 ) 5 –1– –2– P –3– 5.1 Bepaal die vergelyking van g.(4) 5.2 Bepaal die koördinate van P, die draaipunt van f.(4) 5.3 Skryf die vergelyking van die asimptote van g(x – 1) neer. (2) 5.4 Skryf die vergelyking van h neer, as h die beeld van f is wat in die x-as weerspieël word. (1) [11] Oplossings 5.1 Gebruik die asimptote 3b = 1 en c = 2 3 a Vervang (0; 0) in y = ____   x – 1 + 2 a 30 = ____   0 – 1 + 2 ⇒ 0 = –a + 2 ∴a = 2 3 2 y = ____   x – 1 + 2 (4) 5.2 Simmetrie-as p = 1 3 f(x) = (x – 1)2 + q (__  2 ;0 ) 3 5 30 = (  5_2 – 1 ) + q 2 0 =  9_ + q 4 q = –  9_4 ( ) ∴P 1;– __94   3 (4) 76 EENHEID 4 FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 2 5.3 g(x) = ____   x –1 + 2 2 g(x – 1) = _______   (x– 1) – 1 + 2 vervang x met (x – 1) 2 g(x – 1) = ____   x – 2 + 2 3 x = 2 en y = 2 3 (2) 5.4 f(x) = (x – 1)2 –  _94 Weerspieëling in die x-as y verander die teken – y = (x – 1)2 –  9_ 4 [ y = – (x – 1) –  9_   4 2 ] 9 _ y = –(x – 1) +  4 3 2 (1) [11] 4.3.6 Die eksponensiaalfunksie ’n Eksponensiaalfunksie kan voorgestel word met ’n algemene formule y = abx+p + q; b > 0 Vorm en eienskappe van ŉ eksponensiaalfunksie x x y=b;b>1 y=b;0<b>1 5_ y 5_ y 4_ 4_ 3_ 3_ 2_ 2_ 1 1 x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ –3 –2 –1 0 1 x –3 –2 –1 0 1 2 • Die grafiek loop deur die punt • Die grafiek loop deur die punt (0; 1). (0; 1). • Definisieversameling: x ∈ 핉 • Definisieversameling: x ∈ 핉 • Waardeversameling: y > 0 • Waardeversameling: y > 0 maar vir y + bx + q, sal die maar vir y = bx + q, sal die waardeversameling by y > q wees. waardeversameling by y > q wees. • Die grafiek is glad, aaneenlopend • Die grafiek is glad, aaneenlopend en ’n toenemende funksie. en ’n afnemende funksie. • Asimptote is by y = 0 maar vir • Asimptote is by y = 0 maar vir y = bx + q, sal die horisontale y = bx + q, sal die horisontale asimptoot by y = q wees. asimptoot by y = q wees. NOTA: Die twee funksies is ’n weerspieëling van mekaar in die y-as. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 77 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid HINT! wenk bv. 5 EG - worked examples Gegee: exams f(x) = 2 x 1.1 Teken die grafiek van f(x) = 2x, toon ten minste drie punte op die skets aan. 1.2 Teken, op dieselfde assestelsel, die grafiek van f –1, die inverse van f. activity 1.3 Skryf die vergelyking van f –1 in die vorm y = ... ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Oplossings activity 1.1 Trek eers die tabel: x –1comment comment 0 1 f(x) Step by step 0,5 1 2 Stip dan die punte en trek die grafiek. y 4 f 3 f –1 (1,2) 2 (0,1) (–1,0.5) 1 (2,1) x (1,0) –3 –2 –1 1 2 3 4 (0,5,–1) 1.2 Die skets van f –1 word verkry deur die x- en y-koördinate van f om te ruil. 1.3 y = 2x x = 2y 3 y = log2 x 3 [2] 78 EENHEID 4 FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 HINT! wenk bv. 6 EG - worked examples Die skets verteenwoordig die grafiek gegee deur f(x) = ax. exams y activity f ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity A B x comment comment Step by step 2.1 Skryf die koördinate van die punt A neer. (1) 2.2 Hoe kan mens sê dat 0 < a < 1? (1) __ 1 2.3 Bepaal a indien B die punt 3;   27   is.(2) ( ) 2.4 Bepaal die vergelyking van die grafiek wat gekry word as f in die y-as weerspieël word. (2) 2.5 Wat is die koördinate van die snypunt van die twee grafieke? (1) [7] Oplossings 2.1 A(0; 1) 3 2.2 Want die grafiek is ’n afnemende funksie. 3 2.3 f(x) = ax __ 1   27 = a3 3 (3–1   )3 = a3 1 a = __   3 3 (1 ) x   3   2.4 f(x) = __ y = (__   3   ) word y = (__   3   ) x –x 1 1 3 ∴y = (3   ) –1 –x y = 3x 3 2.5 (0; 1) 3 [7] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 79 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid Aktiwiteit 9 Die kromme van ’n eksponensiaalfunksie word gegee deur f(x) = kx en sny 9 ( ) die y-as by A (0; 1) terwyl B 2: __4   op die kromme lê. y f B A x Bepaal 1.1 die vergelyking van die funksie f.(3) 1.2 die vergelyking van die asimptote van h as h(x) = –f(x).(2) 1.3 die waardeversameling van h.(1) 1.4 die vergelyking van die funksie g waarvan die kromme die weerspieëling is van die kromme van f in die lyn y = x.(2) Oplossings 1.1 f(x) = kx 9 __   4 = a2 3 (__   2   ) = a2 3 3 2 ∴f(x) = (__   2   ) x 3 3 a = __   2 3 (3) 1.2 y = 0 33 (2) 1.3 y ≤ 0 3 (1) 1.4 g(x) = log __ 3x 33 (2) 2 [8] 80 EENHEID 4 FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 4.4 Inverse funksies • Die inverse van ŉ funksie neem die y-waardes (waardeversameling) van PAY SPECIAL ATTENTION NBdie funksie na die NB ooreenstemmende x-waardes (definisieversameling) en omgekeerd. Daarom word die x- en y-waardes omgeruil. • Die funksie word in die lyn y = x weerspieël om die inverse te vorm. •wenkDie notasie vir die inverse van ŉ funksie is f –1. HINT! bv. 7 EG - worked examples Gegee exams f(x) = 2x + 6. 1. Bepaal f –1(x) 2. Skets die grafieke van f(x), f –1 (x) en y = x op dieselfde assestelsel. Oplossings activity 1. Om die inverse and van ’nandfunksie te bepaal, is daar twee stappe: ACTIVITIES boy girl-left right of page activity STAP 1: Ruil die x en y om y = 2x + 6 3 word x = 2y + 6 3 comment comment Skryf dan die vergelyking oor om y die onderwerp van die formule te maak. Step by step Dus, STAP 2: maak y die onderwerp van die formule x = 2y + 6 x – 6 = 2y 3 Dus y =  _12 x – 3 3 Ons kan sê die inverse funksie is f –1(x) =  1_ x –3 2 2. y 6 y=x y = 2x +6 3 Simmetrie-as –3 0 3 6 x 3 –3 y = ½x – 3 3 • Elke punt op die funksie het dieselfde koördinate as die ooreenstemmende punt op die inverse funksie, behalwe dat hulle omgeruil het. • Byvoorbeeld: (–3; 0) op die funksie word weerspieël om (0; –3) op die inverse te word. • Enige punt (a; b) op die funksie word die punt (b; a) op die inverse. • Om die vergelyking van ’n inverse funksie algebraïes te bepaal, ruil x en y om en los dan vir y op. • Om die grafiek van die inverse funksie te trek, weerspieël ons die oorspronklike grafiek in die lyn y = x, die simmetrie-as van die twee grafieke. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 81 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid HINT! wenk bv. 8 EG - worked examples 1.exams a) Skets f(x) = 2x2 b) Bepaal die inverse van f(x) c) Skets f –1(x) en y = x op dieselfde assestelsel as f(x) Oplossing activity y f(x) = 2x2 1. b) y = 2x 2 ACTIVITIES boy and girl-left and right of page x = 2y2 3 activity __ 4 y=x   x2   3 y = ± __ √ • Hierdie is nie ’n funksie nie. comment 2 __ comment _x • Kontroleer dit met ’n Step by step 3 √ y = ±   2   vertikalelyntoets. Daar is twee x y-waardes vir een x-waarde. -4 -2 2 4 • Nie alle inverses van funksies is –2 3 ook funksies nie. Party inverses van 3 funksies is relasies. • As ’n inverse nie ’n funksie is nie, kan –4 ons die definisieversameling van die funksie beperk sodat die inverse ook ’n funksie kan wees. • Om die inverse ’n funksie te maak, moet ons ’n versameling x-waardes in die funksie kies en slegs met daardie waardes werk. Ons noem dit “beperk die definisieversameling”. • ’n Een-tot-een-funksie het ’n inverse wat ’n funksie is. Byvoorbeeld: y = 3x + 4 is ’n een-tot- een-funksie. Vir elke x-waarde is daar net een en slegs een y-waarde. Die inverse van is y = 3x + 4 ’n funksie. • ’n Baie-tot-een-funksie het ’n inverse wat nie ’n funksie is nie. Ons kan egter die definisieversameling van die funksie beperk om sy inverse ’n funksie te maak. Byvoorbeeld: y = 2x2 is ’n baie-tot-een-funksie. Vir twee of meer x-waardes is daar een y-waarde. (as x = 2, dan y = 8. __   x2  , nie ’n funksie nie. As x = –2, dan y = 8). Daarom is sy inverse = ± √__ • Om te kyk vir ’n funksie, trek ’n vertikale lyn. As enige vertikale lyn die grafiek slegs op een plek sny, is die grafiek ’n funksie. As enige vertikale lyn die grafiek op meer as een plek sny, dan is die grafiek nie ’n funksie nie. • Om te kyk vir ’n een-tot-een-funksie, trek ’n horisontale lyn. As enige horisontale lyn die grafiek slegs op een plek sny, is die grafiek ’n een-tot-een-funksie. As enige horisontale lyn die grafiek op meer as een plek sny, is die grafiek ’n baie-tot-een-funksie. [5] Aktiwiteit 10 1. a) As f(x) = –3x2 , skryf die vergelyking van die inverse funksie in die vorm y = …................. (2) b) Bepaal die definisieversameling en waardeversameling van f(x) en f –1 (x)(4) c) Bepaal die snypunte van f(x) en f –1 (x)(4) 2. a) As g(x) = 3x + 2, bepaal g –1(x) (2) b) Skets g, g –1 en die lyn y = x op dieselfde assestelsel. (3) [15] 82 EENHEID 4 FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 Oplossings 1. a) Vir f(x) = – 3x2. f –1 (x): x = –3y2 3 x – __   3 = y2 ____ x √ y = ± − __   3   3 (2) b) f(x) f–1(x) Definisieversameling x∈ 핉 3 x≥0 3 Waardeversameling y≥0 3 y∈ 핉 3 (4) c) Om die snypunte te bepaal, stel ons die twee vergelykings gelyk aan mekaar. Die lyn y = x, die simmetrie-as van f(x) en f –1(x), kan ook gebruik word om die snypunte van f(x) en f –1(x) te bepaal. y = x en f(x) = − 3x2 ∴ x = −3x2 ∴ 3x2 + x = 0 3 ∴ x(3x + 1) = 0 3 1 ∴ x = 0 of x = – __   3 3 Vervang x = 0 in y = x ∴ y = 0 ∴ (0; 0) 3 Vervang x = – __ 1   3 in y = x ∴ y = – __ 1   3 ∴ – __ 1 1 (   3 ;– __ )   3   (4) 2. a) g(x) = 3x + 2 3 b) y 4 Vir g (x), x = 3y + 2 −1 g(x) = 3x + 2 3 3 x – 2 = 3y y=x x−2 2 y =  ____ 3 3 1 x 2 y = __  3 − __   3 3 3 –3 –2 –1 0 1 2 3 4x –1   x –   2__ g–1(x) = _3 3 –2 –3 (4) [15] Gegee: g (x) = – x2 waar x < 0 en y < 0 (a) Skryf die inverse van g, g–1 in die vorm h(x) = ........... (3) (b) Skets die grafieke van g, h en y = x op dieselfde assestelsel.(4) Oplossings (a) y = –x2 x = –y2 – x = y2 3 ___ ± √–x = y 3 ___ – √–x = y waar x < 0 en y < 0 ___ ∴ h(x) = –√–x 3 (3) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 83 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid (b) Y y=x X 0 h g Vir g korrekte vorm 3 en die afsnit 3 Vir h korrekte vorm 3 en die afsnit 3 (4) [7] 4.5 Die logaritmiese funksie • y = logxa is ’n logaritmiese funksie met a = log getal, x = log grondtal. PAY SPECIAL ATTENTION • NBOns lees y = logxa as “y is NBgelyk aan log a grondtal x”. • Die logaritmiese funksie word slegs gedefinieer indien a > 0, a ≠ 1 en x > 0. HINT! • wenk’n Eksponensiaalvergelyking kan as ’n logaritmiese vergelyking geskryf word en omgekeerd. bv. 9 EG - worked examples Skryf exams elkeen van die volgende eksponensiaalvergelykings as logaritmiese vergelykings: • 26 = 64 • 5³ = 125 activity Oplossings ACTIVITIES boy and girl-left and 1. 26 = 64 right of page ∴6= activity log2 64 2. 53 = 125 ∴ 3 = log5 125 PAY SPECIAL ATTENTION comment comment log NB NB Step by step NB PAY SPECIAL ATTENTION 64 = 26 NB log2 64 = 6 grondtal Die inverse van die y = ax eksponensiaalfunksie HINT! HINT! getal is x = a . y wenk wenk Om y die onderwerp van die formule, x = ay, te maak, gebruik ons die logfunksie bv. 10 EG - worked examples y = logbv. EG - worked examples ax is die inverse van y = ax. Gegee: exams f(x) = 2 x a) Bepaal f in die vorm y = …… –1 b) Skets die grafieke van f(x), f –1 (x) en y = x op dieselfde assestelsel. exams c) Skryf die definisieversameling en waardeversameling van f (x) enactivity f –1 (x) neer. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page 84 EENHEID 4 FUNKSIES activity © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde activity

Eenheid 4 Oplossings a) Die inverse van die eksponensiaalfunksie y = 2x is x = 2y wat as y = log2 x geskryf kan word. 3 b) Om die grafiek te plot, gebruik ’n tabel met waardes: Trek eers ’n tabel vir y = x –2 –1 0 1 2 3 y = 2x ¼ ½ 1 2 4 8 Maak dan ’n tabel vir y = log2 x x ¼ ½ 1 2 4 8 y = log2x –2 –1 0 1 2 3 y 5 4 3 3 y = log2x 2 3 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x –1 –2 [3] Kom ons vergelyk die twee grafieke op die Cartesiese vlak. 9 y = 2x y=x 8 7 6 5 3 3 4 3 y = log2x 2 3 1 3 –3 –2 –1 0 1 ✓2 3 4 5 6 7 8 9 –1 –2 Die grafiek van y = log2 x is ’n weerspieëling in die lyn y = x van die eksponensiaalgrafiek van y = 2x. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 85 Mind the Gap Wiskunde

4 Eenheid Aktiwiteit 11 Die grafiek van h(x) = ax is hieronder geskets. A (–1; ½ )is ’n punt op die grafiek van h. 1. Verduidelik waarom die koördinate y van Q gelyk is aan (0; 1). (2) h 2. Bereken die waarde van a. (2) 3. Skryf die vergelyking vir die inverse funksie, h–1 in die vorm y = ......... neer. (1) 4. Teken ’n sketsgrafiek van h–1. Dui die koördinate aan van twee punte wat op A(–1; ½) Q hierdie grafiek lê. (2) x 5. Lees die waardes van x waarvoor log2 x > –1 van jou grafiek af. (1) [8] Oplossings 1. h(0) = a0 = 1. 3 Enige grondtal verhef tot die mag 0 is 1. 3 (2) 2. h(x) = ax en A(–1; ½) dus a –1 = ½3 a –1 = 2 –1 so a = 23 en y = 2x (2) 3. Ruil x en y om, dus x = 2y en y = log2 x 3 (1) 4. y 4 3 h–1 2 3 1 (2; 1) 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x (1; 0) –1 –2 –3 –4 (2) 5. x > 0,5 3 (1) [8] 86 EENHEID 4 FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 4 Wat jy moet kan doen: • Verstaan die konsep van die inverse van ŉ funksie en bepaal die vergelykings van die inverses. • Die lyn y = x is die simmetrielyn van die funksie en die inverse van die funksie. • Die logaritmiese funksie en die eksponensiaalfunksie is inverse funksies van mekaar. • As die inverse nie ŉ funksie is nie, kan die definisieversameling van ŉ funksie beperk word om die inverse ŉ funksie te maak. • Identifiseer simmetrie-asse vir parabole en hiperbole. • Skets die grafieke van verskillende funksies deur hulle eienskappe te gebruik, bv. asimptote, x- en y-afsnitte en draaipunte • Bepaal die funksie se vergelyking uit ŉ grafiek • Los probleme op wat twee of meer grafieke behels. Hou so aan! © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 4 FUNKSIES 87 Mind the Gap Wiskunde

5 Eenheid 5 Eenheid Trig funksies Om seker te maak dat al 5.1 Grafieke van trigonometriese die kritieke waardes op die grafiek aangedui word, moet ons die PAY SPECIAL ATTENTION NB NB funksies korrekte x-waardes gebruik. As y = a sinbx, dan sal ____0 vir ons die intervalle vanaf  90 b 0° gee wat ons moet HINT! wenk gebruik. In ons voorbeeld is b = 1, en daarom Grafiek 1. Die sinusfunksie: y = a sinb (x + p) + q  90 _____0 1 = 90 . 0 bv. 1 EG - worked examples Daarom sal ons x-waardes van (00,900, 1800, 270o, 360o ens. gebruik.) Skets die grafiek van y = sin x vir x As ons ŉ sakrekenaar exams gebruik, sal ons 90° as • Ons kan gebruik maak van ’n tabel of ’n sakrekenaar om die kritieke punte die “stap” gebruik. van die grafiek te bepaal. • Die eindpunte van die definisieversameling moet ingesluit word, d.i. x= −360° en x = 360° activity • Alle afsnitte met die x-as en die y-as moet aangedui word sowel as alle ACTIVITIES boy and girl-left and minimum- en maksimumpunte (draaipunte) right of page activity Oplossing x –360° –270° comment –180°comment –90° 0° 90° 180° 270° 360° y Step by step 0 1 0 –1 0 1 0 –1 0 (–270°; 1) Y (90°; 1) y = sinx X –360° –270° –180° –90° 0 90° 180° 270° 360° (–90°; –1) (270°; –1) Definisieversameling: alle moontlike x-waardes op die grafiek Waardeversameling: alle moontlike y-waardes op die grafiek Amplitude: die maksimum afstand vanaf die ekwilibriumposisie Periode: aantal grade om ŉ golf of ŉ siklus te voltooi. 88 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 5 Aktiwiteit 1 Gebruik die grafiek y = sin x op die vorige bladsy om hierdie vrae te beantwoord: 1. Wat is die maksimum- en minimumwaardes van y = sin x? (2) 2. Skryf die definisieversameling en die waardeversameling van f y = sin x neer. (4) 3. Skryf die x-afsnitte van y = sin x neer. (2) 4. Wat is die amplitude van die grafiek van y = sin x? (1) 5. Wat is die periode van die grafiek van y = sin x? (1) [10] Oplossings y = sinx 1 Maksimumwaardes 13 , by x = –270° en 90° Minimumwaardes –1 3, by x = –90° en 270° (2) 2 Definisieversameling x ∈ [− 360°;360°], x ∈ ℝ33 Waardeversameling [–1; 1] y ∈ ℝ33 (4) 3 x-afsnitte –360°, –180°, 0°, 180° en 360°.33 (2) 4 Amplitude 13 (1) 5 Periode 360°3 (1) NB PAY SPECIAL ATTENTION NB [10] Om seker te maak dat al die kritieke waardes Grafiek 2. Die cosinusfunksie: op die grafiek aangedui word, moet ons die korrekte x-waardes gebruik. HINT! = a cos b(x + p) + q ywenk As y = acosbx, dan sal  ____ 900 vir ons die b intervalle vanaf 0° gee wat ons moet gebruik. In ons voorbeeld is b = 1, en daarom bv. 2 EG - worked examples ____0 = 900.  90 1 Daarom sal ons x-waardes van Skets die grafiek van y = cos x vir x ∈ [–360°;360°] exams (00,900, 1800, 270o, 360o ens. gebruik.) • Ons kan gebruik maak van ’n tabel of ’n sakrekenaar om die As ons ŉ sakrekenaar gebruik, sal kritieke punte van die grafiek te bepaal. ons 90° as die “stap” gebruik. • Die eindpunte van die definisieversameling moet ingesluit word, d.i. = –360° en x = 360° x activity • Alle afsnitte met die x-as en die y-as moet aangedui word sowel as ACTIVITIES boy and girl-left and alle minimum- en maksimumpunte (draaipunte) right of page activity x –360° –270° –180° –90° 0° 90° 180° 270° 360° y 1 0 –1 0 1 0 –1 0 1 comment comment y Step by step (–360°; 1) (360°; 1) 1 y = cosx x –360° –270° –180° –90° 0 90° 180° 270° 360° –1 (–180°; –1) (180°; –1) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES 89 Mind the Gap Wiskunde

5 Eenheid Om seker te y = cos x maak dat al die kritieke 1 Maksimumwaardes 1, by x = 0° en 360° waardes op die grafiek aangedui word, moet ons die 2 Minimumwaardes –1, by x = –180° en 180° korrekte x-waardes gebruik. 450 3 x-afsnitte –270°, –90°, 90° en 270°.   b vir As y = a tan bx, dan sal _____ ons die intervalle vanaf 0° 4 Amplitude 1 gee wat ons moet gebruik. In ons voorbeeld0 is b = 1, en 5 Periode 360° 45 daarom  _____ 1  = 45 . 0 6 Definisieversameling x ∈ [− 360°;360°], x ∈ 핉 Daarom sal ons x-waardes van (0 ,45 , 90 , 135 ens. gebruik.) PAY SPECIAL ATTENTION 0 0 0 o 7 NB NB Waardeversameling [–1; 1] y ∈ 핉 As ons ŉ sakrekenaar gebruik, sal ons 45° as die “stap” gebruik. Grafiek 3. Die tangensfunksie: HINT! ywenk = a tan b(x + p) + q bv. 3 EG - worked examples examsdie grafiek van y =  tan x vir x ∈ [− 180°;180°] Skets • Alle afsnitte met die x-as en die y-as moet aangedui word. • Die eindpunte van die definisieversameling moet ingesluit word, d.i. x = − 180° en x = 360° • activity Die vergelykings van die asimptote moet op die grafiek geskryf word. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Oplossing activity x –180° –135° –90° –45° 0° 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° comment comment ongedefinieerd ongedefinieerd ongedefinieerd Step by step y 0 1 –1 0 1 –1 0 1 –1 0 y _ 2_ y = tanx _ 1_ (225°; 1) (–135°; 1) (45°; 1) _ _ x –180° –135° –90° –45° 0 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° _ (–45°; –1) –1_ (135°; –1) (315°; –1) _ –2_ _ _ y =  tan x 1 Asimptote x = –90°, x = 90° en x = 270° 2 x-afsnitte –180°, 0°, 180° en 360°. 3 Periode 180° 4 Definisieversameling x ∈ [− 180°;360°], x ∈ 핉 5 Waardeversameling (–∞; ∞). y ∈ 핉 90 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 5 5.2 Die effek van a op die y = -1sinx …. Amplitude = 1 vorm van die grafiek: NB PAY SPECIAL ATTENTION NB y = 2sinx….Amplitude = 2 y = sinx…Amplitude = 1 verandering in amplitude HINT! y = asinbx…..Amplitude = a (Die amplitudewaarde is altyd positief, ongeag of a negatief is. wenk Byvoorbeeld: as a = -2, dan is Beskou die grafieke van y = a sin x, y = a cos x en y = a tan x die amplitude 2. Die parameter a verander bv. 4 EG - worked examples die amplitude van die grafiek. 1. Skets die volgende grafieke: exams a) op dieselfde assestelsel y = –sin x en y = 2sin x vir x ∈ [–360°; 360°], b) op dieselfde assestelsel y = –2 cos x en y = ½ cos x vir x ∈ [–360°; 360°], activity ACTIVITIES boy c) y = 2 tan x vir x ∈ [–180°; 180°], and girl-left and right of page activity Oplossings a) y comment comment Step by step 2 y = 2sinx 1 x –360° –270° –180° –90° 0 90° 180° 270° 360° –1 y = – sinx –2 y = –2 cosx ... Amplitude = 2 y =  1 __cos ... Amplitude =  1 x __ b) y 2 2 y = –2cosx y = cosx ... Amplitude = 1 2 y = acosbx ... Amplitude = a Die parameter a verander 1 die amplitude van die grafiek. 1  __ 2 x –360° –270° –180° –90° 0 90° 180° 270° 360° 1 __   2 –1 1 y = __   2 cosx –2 © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES 91 Mind the Gap Wiskunde

5 Eenheid c) y 3 (–135°; 2) 2 (45°; 2) y = 2tanx 1 x –180o –135o –90o –45o 0 45o 90o 135o 180o –1 –2 (–45°; –2) (135°; –2) –3 Gevolgtrekking Die parameter a verander die amplitude van die grafiek in y = a sin bx en y = a cos bx. Die grafiek y = atanbx het geen maksimum- of minimumwaarde nie. Die waarde verander nie die amplitude van y = atanbx nie, aangesien daar geen amplitude is nie. Die waarde van a beïnvloed die y-waarde van elke punt. Elke y-waarde word met a vermenigvuldig. 92 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 5 5.3 Die effek van q op die vorm van die grafiek: NB PAY SPECIAL ATTENTION NB vertikale skuifHINT! wenk Beskou die grafieke van y = sin x + q, y = cos x + q en y = tan x + q. bv. 5 EG - worked examples 1. Skets die volgende grafieke op dieselfde assestelsel vir die exams definisieversameling [–360°; 360°]: a) y = –sin x en y = – sin x + 1 b) y = cos x, y = cos x + 1, y = cos x – 2 c)activity y = tan x en y = tan x + 1 ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Oplossings activity a) b) y comment 2 comment 2 y Step by step y = 1 – sinx y = cosx + 1 1 1 x x –360° –270° –180° –90° 0 90° 180° 270° 360° –360° –270° –180° –90° 0 90° 180° 270° 360° –1 –1 y = cosx y = –sinx y = cosx – 2 –2 –3 c) y y = tanx + 1 y = tanx (–315o; 2) (–135o; 2) 2 (45o; 2) (225o; 2) (–180o;1) (–135o;1) 1 (45o;1) (225o;1) (–315o;1) x –360o –315o –270o –225o –180o –135o –90o –45o 45o 90o 135o 180o 225o 270o 315o 360o 0 –1 (–225o; –1) (135o;–1) (–45o;–1) (315o;–1) –2 Gevolgtrekking Die parameter q skuif die hele grafiek met q eenhede op of af. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES 93 Mind the Gap Wiskunde

5 Eenheid 5.4 Die effek van b op die vorm van die grafiek: NB PAY SPECIAL ATTENTION NB verandering in periode HINT! wenk Beskou die grafieke van y = sin bx, y = cos bx en y = tan bx. bv. 6 EG - worked examples 1.exams Teken die grafieke op aparte assestelsels: a) y = sin 2x vir x ∈ [–90°, 180°] b) y = cos 3x vir x ∈ [0°; 360°] 1 c) y = tan __ 2  x vir x ∈ [–360°; 360°] activity Oplossings ACTIVITIES boy and girl-left and right of page 1. a) Vir y = sin 2x, is die periode 360° ÷ 2 = 180°. activity y y = sin 2 x 1 comment comment 0,5 Step by step –90° –75° –60° –45° –30° –15° 0 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° x –0,5 –1 Periode = 180° b) Vir y = cos 3x, is die periode c) Vir y = tan  1_ x, is die periode 2 360° ÷ 3 = 120°. = 180° × 2 = 360° y 360°   3 = 120° Periode = ____ y = tan ½x y 4 3 1 2 y = cos (3x) 1 x –360° –270° –180° –90° 0 90° 180° 270° 360° x 0 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° –1 –2 –3 –1 –4 Periode = 360° Gevolgtrekking • Die periode van die grafiek is die aantal grade wat dit neem om een golflengte te voltooi. • Die waarde van b beïnvloed die periode van die grafiek. 3600 • Vir y = sin bx en y = cosbx, is die periode = ____   b 1800 • Vir y = tan bx, is die periode =  ____ b 94 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 5 5.5 Die effek van p op die vorm van die grafiek: PAY SPECIAL ATTENTION NB NB horisontale skuif HINT! Beskou wenk die grafieke van die vorm y = sin (x + p), y = cos (x + p) en y = tan (x + p). bv. 7 EG - worked examples 1.exams Teken die volgende grafieke op dieselfde assestelsel en vir x ∈ [–180°, 180°]: a) y = sin x en y = sin (x + 60°) b) y = cos x en y = cos (x – 45°) c)activity y = tan x en y = tan (x + 45°) ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Oplossings activity 1. a) y = sin x; y = sin (x + 60°) y comment comment skuif 60° na links Step by step 1 (30°; 1) (90°; 1) y = sinx x –180° –150°–120° –90° –60° –30° 0 30 °60° 90° 120° 150° 180° y = sin(x + 60°) –1 (–150°; –1) (–90°; –1) Y SPECIAL ATTENTION NB Die grafiek van y = sin x het 60° na links vanaf y = sin (x + 60°) geskuif. NT! b) y = cos x, y = cos (x – 45) y skuif 45° na regs (0°;1) (45°;1) 1 y = cos(x – 45°) G - worked examples x –180° –135° –90° –45° 0 45° 90° 135° 180° y = cosx –1 PAY SPECIAL ATTENTION NB NB ty Die grafiek van y = cos x het 45° na regs vanaf ACTIVITIES boy y = cos (x – 45) geskuif. and girl-left and right of page HINT! ty wenk © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES 95 Mind the Gap Wiskunde

5 Eenheid c) y = tan x en y = tan (x + 45°) y 3 2 y = tanx 1 (–135o; 1) (45o; 1) x 0 –180o –135o –90o –45o 45o 90o 135o 180o (–45o; –1) (135o; –1) –1 –2 –3 Die grafiek van y = tan x het 45° na links vanaf y = tan (x + 45°) geskuif. Die asimptote het ook 45° na links geskuif. y 2 y = tan(x + 45°) 1 (0o; 1) (–180o; 1) x 0 –180o –135o –90o –45o 45o 90o 135o 180o (–90o; –1) –1 (90o; –1) –2 96 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 5 Gevolgtrekking Vir grafieke van die vorm y = sin (x + p), y = cos (x + p) en y = tan (x + p), beïnvloed p die horisontale skuif van die grafiek. • As p > 0 (positief) is, dan skuif die grafiek p grade na links. • As p < 0 (negatief) is, dan skuif die grafiek p grade na regs. • In alle grafieke moet die x-afsnitte, y-afsnitte, maksimum- en minimumpunte op die grafiek aangedui word. As die waarde van b verander, sal die x-afsnitte, y-afsnitte, maksimum- en minimumpunte ook verander. Om te verseker dat hierdie punte altyd aangedui word, gebruik die volgende x-waardes om die grafiek te stip: Vergelyking b=1 b=2 b=3 b=½ y = sinbx Vanaf 0°, gebruik Vanaf 0°, gebruik Vanaf 0°, gebruik Vanaf 0°, gebruik of y = cosbx intervalle van 90° intervalle van 45° intervalle van 30° intervalle van 180° 900 900 900 900 Interval = ___   b Interval = ___   b Interval = ___   b Interval = ___   b 3600 3600 3600 3600 Periode =  ____ b Periode =  ____ b Periode =  ____ b Periode =  ____ b y = tanbx Vanaf 0°, gebruik Vanaf 0°, gebruik Vanaf 0°, gebruik Vanaf 0°, gebruik intervalle van 45° intervalle van 22,5° intervalle van 15° intervalle van 90° 450 450 450 450 Interval = ___   b Interval = ___   b Interval = ___   b Interval = ___   b 1800 1800 1800 1800 Periode =  ____ b Periode =  ____ b Periode =  ____ b Periode =  ____ b y = sin(x+p) Vanaf 0°, gebruik of y = cos(x+p) intervalle van (90°– p°) met p > 0 Die intervalle vir y = sin(x – 30) en y = sin(x + 30) sal dieselfde wees. Die intervalle sal wees 90 – 30 = 60. y = tan(x+p) Vanaf 0°, gebruik intervalle van (45°– p°) met p>0 Die intervalle sal y = tan(x – 30) en y = tan(x + 30) wees. Die intervalle sal wees 45 – 30 = 15. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES 97 Mind the Gap Wiskunde

5 Eenheid Aktiwiteit 2 1. Gegee f(x) = 2cos x en g(x) = sin (x + 30°) a) Skets die grafieke van f en g op dieselfde assestelsels vir x  ∈ [− 150°; 180°] Toon alle afsnitte met die asse en koördinate van die draaipunte duidelik aan. (7) Gebruik jou grafiek om die volgende vrae te beantwoord: b) Skryf die periode van f neer. (1) c) Vir watter waardes van x is f(x) = g(x)? (2) d) Vir watter waardes van x is f(x) > 0? (2) e) Vir watter waardes van x neem g(x) toe? (2) f) Bepaal een waarde vir x waarvoor f(x) − g(x) = 1,5. (1) g) As die kromme van f een eenheid afgeskuif word, skryf die nuwe vergelyking van f neer. (2) h) As die kromme van g 45° na links geskuif word, skryf die nuwe vergelyking van g neer. (2) 2. Die skets hieronder is van die grafieke van g(x) = a sin(x + p) en f(x) = b cos qx vir x ∈ [0°; 180°] y g(x) = b cosqx f(x) = asin(x + p) x 0 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o 240o 270o 300o 330o 360o a) Bepaal die numeriese waardes van a, p, b en q. (5) b) As die grafiek van g(x) twee eenhede afgeskuif word: 1) Skryf die amplitude van die nuwe grafiek neer. (1) 2) Skryf die vergelyking van die nuwe grafiek neer. (2) c) As die grafiek van f(x) 60° na links geskuif word, skryf twee moontlike vergelykings van die nuwe grafiek neer. (2) [29] 98 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 5 Oplossings 1. a) 333 vir g(x) = 2 cos x en 3333 vir f(x) = sin(x + 30°) y 2 (0o; 2) y = 2 cosx 1,5 1 (60o; 1) y = sin (x + 30°) (0o; 0,5) –150o –120o –90o –60o –30o 0 30o 60o 90o 120o 150o 180o x –0,5 –1 (–120o; –1) –1,5 –2 (7) b) periode = 360°3 (1) c) x = –120° of 60° 33 (2) d) vir f(x) >0; x ∈ (–90°; 90°) 33 (2) e) g(x) neem toe wanneer x ∈ (–120°; 60°) 33 (2) f) x = 0° 3 (1) g) Nuwe f(x) = 2cos x –133 (2) h) Oorspronklike vergelyking: g(x) = sin (x + 30°), met 45° skuif na links: g(x) = sin (x + 30° + 45°) dus g(x) = sin (x + 75°) 33 (2) 2. a) a = 2 (amplitude van f(x)) 3 f(x) = 2sin(x+p)… Vervang 60° ∴ 2 = 2sin(60° + p)3 ÷ 2 ∴ 1 = sin(60° + p) druk shift sin−1(1) = 90° ∴ 60° + p = 90° ∴ p = 30°3∴ f(x) = 2sin(x + 30°) 3   b=3 (amplitude van g(x)) Periode = 720 360° 1 1 720° =  ____ __ __ q ∴ q =   2 ∴ g(x) = 3 cos   2 x 3 (5) b) (1) Amplitude = 3 (’n skuif op of af het geen effek op die amplitude nie) 3 (1) 1 (2) g(x) = 3 cos __   2 x − 233 (2) c) f(x) = 2sin(x + 90°) = 2 cos x 33 (2) [29] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES 99 Mind the Gap Wiskunde

5 Eenheid Wat jy moet kan doen • Herken die basiese vorms van die grafieke wat met hulle vergelykings geassosieer word. • Skets funksies en wys die effek van verskillende parameters a, p en q. • Teken elke grafiek deur die kritieke punte te gebruik: afsnitte met die asse en draaipunte, waar toepaslik. • Toon enige asimptote aan en sluit enige ander punte in wat jy mag nodig kry. • Bepaal die kenmerke van grafieke insluitende • definisieversameling en waardeversameling van funksies • draaipunte • asimptote • afsnitte met asse • Bepaal die vergelyking van die grafiek. • Skets trig funksies, enige skuiwe en veranderinge in amplitude en periode. In Eenheid 10 gaan ons die oplossings op trigonometriese vergelykings bespreek. Dan sal ons vir jou wys hoe om die oplossing van 2cosx=sin(x+30) algebraïes te bepaal. In hierdie vraag kan die oplossings van die grafieke afgelees word. Hou so aan! 100 EENHEID 5 TRIG FUNKSIES © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 6 Finansies, groei en verval PAY SPECIAL ATTENTION NB 6.1 Hersiening: Enkelvoudige HINT! wenk en saamgestelde rente In alle berekeninge, rond slegs jou finale antwoord af. Finansiële terme bv. EG - worked examples • Rente is ŉ fooi wat betaal word vir die gebruik van geleende geld, of geld NBwat verdien word op spaargeld. Dit word bereken as ŉ persentasie van die PAY SPECIAL ATTENTION NB geld wat geleen of verdien word. exams • Enkelvoudige rente is die rente op ŉ aanvanklike som geld (kapitaalbedrag). Elke jaar word jy dieselfde bedrag rente gevra of ontvang jy dieselfde bedrag HINT! wenkrente. bv. 1 EG - worked examples activity ACTIVITIES boy Enkelvoudige exams rente van 6% p.j. (per jaar) op R100 beteken dat as jy R100 vir ’n and girl-left and jaar lank leen, skuld jy daardie R100 en nog ’n verdere R6. Dus skuld jy R106. right of page As jy R100 vir 2 jaar leen, skuld jy R100 + R6 + R6 = R112. activity Mikro-lener- en Huurkoopooreenkomste werk dikwels op enkelvoudige rente teen activity ’n maandelikse of jaarlikse rentekoers. ACTIVITIES boy and girl-left and Persentasietoename of -afname in bevolkings, aantal leerders, ens. kan ook met right of page comment c activity die formule vir enkelvoudige rentekoers bereken word. Step by step • Saamgestelde rente is ook rente op ’n kapitaalbedrag P. Vir elke jaar, word die vorige jaar se eindbedrag commentdie nuwe kapitaalbedrag. Dus word die rente comment op die kapitaal en die rente van die vorige jaar bereken. Step by step Saamgestelde rente van 6% p.j. (per jaar) op R100 beteken dat as jy R100 vir 2 jaar leen, skuld jy R100 + R6 = R106 in die eerste jaar. In die tweede jaar, skuld jy R106 + 6% van R106. R106 + (6% × R106) = R106 + R6,36 = R112,36 Hier is die formules vir enkelvoudige en saamgestelde rente. Enkelvoudige rente: A = P(1 + ni) waar P die kapitaalbedrag (oorspronklike som geld wat belê of geleen is) i die rentekoers n die aantal jare A die eindbedrag is © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVA L 101 Mind the Gap Wiskunde

6 Eenheid Saamgestelde rente: A = P(1 +i)n PAY SPECIAL ATTENTION NB waar NB (oorspronklike som geld wat belê of geleen is) P die kapitaalbedrag i die rentekoers n die aantal jare HINT! wenk A die eindbedrag is bv. 2 EG - worked examples As jy R300 teen 9% p.j. enkelvoudige rente leen, hoeveel sal jy ná 7 jaar exams skuld? Oplossing 9 A=? P = R300 i = 9% =  ___ = 0,09 n = 7 jaar activity 100 A = P(1 + ni) ACTIVITIES boy and girl-left and • Skryf neer wat gegee is. A = 300(1 + 7 × 0,09) = 489 right of page activity • Besluit wat jy moet bepaal. Na 7 jaar skuld jy R489 • Los daardie veranderlike op. As jy R300 teen 9% p.j. saamgestelde comment rente leen, hoeveel sal jy ná 7 jaar comment skuld? Step by step 9 A=? P = 300 i = 9% =  ___ 100 = 0,09 n = 7 jaar A = P(1 + i)n A = 300(1 + 0,09)7 A = 300(1,09)7 A = 548,411736… A ≈ R548,41 tot die naaste sent. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Watter een is die beter opsie? R548,41 – R489 = R59,41 HINT! wenk Dus is saamgestelde rente R59,41 meer as enkelvoudige rente ná 7 jaar. bv. 3 EG - worked examples 1.exams Jy belê R1 570 teen 11% p.j. maandeliks saamgestel. a) Hoeveel sal jy ná 7 jaar ontvang? b) Hoeveel rente het jy ná 7 jaar verdien? Oplossings activity Maandeliks saamgestel 1. a) A = P(1 + i) n ACTIVITIES boy and girl-left and beteken die rente word aan right of page die einde van elke maand A=? P = R1 570 n = 7 jaar × 12 maande = 84 tydperke activity 0,11 bereken. Herlei dus die jare i = 11% ÷ 12 maande = ____   12 na maande. (1 + 0,11 ) 7×12 A = 1570 ______   12   comment comment Step by step 11% per jaar maandeliks saamgestel, dus A = 3 378,959672… deel ons die rentekoers deur 12 maande. Jy sal R3 378,96 (tot die naaste sent) ná 7 jaar ontvang. b) Jy sal R3 378,96 – R1 570 = R1 808,96 rente ontvang. 102 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVAL © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 6 PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Rente per jaar as volg saamgestel: i maandeliks ➞  __ HINT! n jaar × 12 maande 12 wenk kwartaalliks ➞  _i n jaar × 4 kwartale in die jaar 4 halfjaarliks, (elke ses maande) ➞  _i n jaar × 2 2 bv. EG - worked examples Aktiwiteit 1 exams 6.1.1 Jy belê R1 700 teen ’n rentekoers van 10% kwartaalliks saamgestel. Bereken hoeveel jou belegging ná 6 jaar werd is. (3) 6.1.2 R25 000 word in ’n spaarrekening belê. Bereken die waarde van die belegging ná 5 jaar as rentekoerse die volgende is: a) 11% maandeliks saamgestel activity b) 11% halfjaarliks saamgestel ACTIVITIES boy (5) and girl-left and [8] right of page Oplossingsactivity 6.1.1 A = ? P = R1 700 n = 6 jaar × 4 = 24 i = 10% kwartaalliks saamgestel 0,10 deel dus deur 4 i =  ____ 4 3 comment comment A = P(1 +i)n ( A = 1 700 1 +  ____ ) 0,10 24Step by step 4   3 = R3 074,83 (tot die naaste sent) 3 (3) 0,11 6.1.2 a) A = R25 000 i =   ____ 12 3 n = 5 × 12 ( A = 25 000 1 +   ____ ) 0,11 5 × 12 12   3 = R43 222,89 3 0,11 b) A = R25 000 i =   ____ 2 n = 5 × 2 ( A = 25 000 1 +   ____ ) 0,11 5 × 2 2   3 = R42 703,61 3 (5) [8] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVA L 103 Mind the Gap Wiskunde

6 Eenheid 6.2 Bereken die waarde van P, i en n PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Ons kan ook die formules vir saamgestelde en enkelvoudige rente gebruik HINT! wenk om die kapitaal P, die rentekoers i en die tydperk n te bereken. bv. 4 EG - worked examples 1.exams Hoeveel moet John nou belê sodat hy ná 5 jaar teen 8% enkelvoudige rente R4 200 sal hê? Oplossing activity 1. A = R4 200 n=5 i = 8% P=? ACTIVITIES boy A = P(1 + n.i) and girl-left and right of page PAY SPECIAL ATTENTION NB4 200 = P(1 +5(0,08)) activity NB 4 200 = P(1,4) 4 200 P =  _____ 1,4 HINT! = 3 000 comment wenk∴ Johan moet R3 000 comment belê. Step by step bv. 5 (bepaal i) EG - worked examples ’nexams Bevolking neem toe van 12 000 tot 214 000 in 10 jaar. Teen watter jaarlikse (saamgestelde) koers groei die bevolking? (Gee jou antwoord korrek tot een desimale plek) Oplossing activity A = 214 000 P =ACTIVITIES 12 000 boy n = 10 i=? and girl-left and A = P(1 + i) n right of page activity 214000 = 12000(1 + i)10   214000 ______  = (1 + i)10 12000 ______ 10 √ 12000   214000 ______   = 1 + i Step by step comment comment 1,333899939… –1 = i 0,333899939... = i ∴i = 33,389..% Die bevolking groei teen ’n jaarlikse (saamgestelde) koers van 33,4% (korrek tot een desimale plek). 104 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVAL © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 6 HINT! wenk bv. 6 (bepaal n) EG - worked examples Me Gumede sit R3 500 in ’n spaarrekening wat 7,5% p.j. saamgestelde exams rente betaal. Ná ’n paar jaar is haar rekening R4 044,69 werd. Vir hoe lank het sy die geld belê? Oplossing activity A = R4 044,69 P = R3 500 ACTIVITIES boy and girl-left and n=? i = 7,5% p.a. = 0,075 right of page A = P(1 +i) n activity 4 044,69 = 3 500(1 +0,075)n 4 044,69 = 3 500(1,075)n 4044,69 comment ______ comment   3500 = (1,075) n Step by step 1,155625714 = (1,075)n n = log1,075 1,155625714 n = 2,000008543 n = 2 jaar Me Gumede het dus die geld vir 2 jaar belê. • Vervang vir A, P en i • Vereenvoudig • Deel deur 3 500 • Skryf in logaritmiese vorm • Gebruik die log-sleutels op die sakrekenaar • Rond die antwoord af tot die naaste jaar. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVA L 105 Mind the Gap Wiskunde

6 Eenheid Aktiwiteit 2 1. Marie leen ’n sekere bedrag geld van ’n bank teen ’n saamgestelde rentekoers van 15% kwartaalliks saamgestel. Ná 3 jaar skuld sy nou R7 000. Hoeveel het sy geleen? (3) 2. R1 570 word belê teen 12% p.j. saamgestelde rente. Ná hoeveel jaar sal die belegging R23 000 werd wees? (4) 3. R2 000 is in ’n fonds belê wat rente maandeliks saamgestel betaal. Ná 18 maande was die waarde van die fonds R2 860,00. Bereken die rentekoers. (4) [11] Oplossings 1. A = R7000 i =  0.15 ____ 3 4 n =3 × 4 P =? ( 7000 = P 1 +  ____ 4   3 ) 0,15 3×4 7000 = P(1,555454331) ………… Deel albei kante deur 1,555454331 P = R4500,29 3 (3) 2. A = P (1 + i)n vervang vir A, P en i 23 000 = 1 570(1 + 0,12) 33 n vereenvoudig en deel 23000 _____   1570 = (1,12)n hou die getal op jou sakrekenaar sonder om af te rond 14,6496… = (1,12)n gebruik log-wette n = log1,12 14,6496… 3 gebruik die log-sleutels op jou sakrekenaar n = 23,69 jaar n ≈ 24 jaar tot die naaste jaar 3 (4) 3. A = 2860 P = 2000 i=? n = 18 A = P (1 + i) n 2000(1 + __ 12   ) = 2860 3 i 18 (1 + __   12   ) =  ____ i 18 2860 2000 3 ____ i 1 + __   12 = 18√1,43 i  __ 12 = 0,020069541 i = 0,020069541... 3 i =0,2408344924 × 100 i = 24,08% 3 (4) [11] 106 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVAL © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 6 6.3 Enkelvoudige en saamgestelde vervalformules Verval of waardevermindering is wanneer ŉ hoeveelheid met ŉ persentasie van die huidige bedrag verval. Byvoorbeeld, jou bates (kar, masjinerie) verloor waarde deur ouderdom en gebruik. Maniere om waardevermindering te bereken. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Enkelvoudige verval of waardevermindering: A = P(1 –ni) Dit word ook reguitlyn waardevermindering genoem want dit kan met ŉ HINT! wenk reguitlyngrafiek voorgestel word. bv. 7 EG - worked examples ’n Kar van R120 0000 verminder waarde teen ’n koers van 12% exams (enkelvoudige rente) p.j. Hoeveel sal die kar ná 5 jaar werd wees? Oplossing A = P(1 – ni) A = ? P = 120 000 i = 12% = 0,12 n = 5 jaar activity A = 120 000 (1 – 5 × 0,12) ACTIVITIES boy A = 48 000 and girl-left and right of page activity Die kar sal R48 000 werd wees ná 5 jaar. PAY SPECIAL ATTENTION NB Saamgestelde NB verval of waardevermindering: A = P(1 – i)n comment comment Dit word ook waardevermindering op ŉ verminderende saldo genoem want Step by step die rente word bereken op die bedrag wat oorbly namate dit verminder. Die HINT! wenk bedrag wat oorbly is “die verminderende saldo”. bv. 8 EG - worked examples ’n Kar van R120 000 verminder teen ’n koers van 12% p.j. (op ’n exams verminderende saldo). Hoeveel sal die kar ná 5 jaar werd wees? Oplossing activity A = P (1 – i)n A = ?ACTIVITIES boyP = 120 000 i = 12% = 0,12 n = 5 jaar and girl-left and A = 120 000 (1 – 0,12) 5 page right of activity A = 63 327,83002… A = R63 327,83 (tot die naaste sent) ***Vergelyk dit met enkelvoudige comment comment waardevermindering: Die kar se waarde is R63 327,83 – R48 000 = R15 327,83 minder op Step by step enkelvoudige verval as op saamgestelde verval. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVA L 107 Mind the Gap Wiskunde

6 Eenheid Aktiwiteit 3 Die waarde van ’n stuk masjinerie verminder van R10 000 na R5 000 in 4 jaar. Wat is die koers van vermindering, korrek tot twee desimale plekke, indien dit bereken word op die: a) Reguitlynmetode (d.i. enkelvoudige waardevermindering) (3) b) Verminderende saldo (d.i. saamgestelde waardevermindering) (3) [6] Oplossings a) A = 5 000 P = 10 000 n=4 i =? Neem kennis: A is minder as P Reguitlynmetode: A = P(1 – ni) 5 000 = 10 000 (1 – 4i) 3 5000 _____   10000 = (1 − 4i) 3 0,5 – 1 = – 4i − 0,5 ____   − 4 = i 0,125 = i i =12,5% 3(3) b) Verminderende saldo: A = P (1 – i)n 5 000 = 10 000(1 – i)4 3 5000 _____   10000 = (1 − i)4 3 0,5 = (1 – i)4 ___ 4 √0,5 = 1 – i i = 1 – 0,8408… i = 0,1591035… i = 15,9%3(3) [6] 108 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVAL © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 6 6.4 Nominale en effektiewe rentekoerse 1. ŉ Nominale rentekoers is die gekwoteerde rentekoers. 2. ŉ Effektiewe rentekoers is die werklike rentekoers wat ontvang word. As jy ŉ kwotasie kry van ŉ nominale rentekoers van 8% p.j., sal die gevolglike effektiewe koers verskil afhangende of dit jaarliks, maandeliks of halfjaarliks uitgewerk word. 3. Ons gebruik die volgende formule om die effektiewe rentekoers NBvanaf die nominale rentekoers te bereken of omgekeerd: PAY SPECIAL ATTENTION NB ( 1 + ieffektiewe = 1 + _____   k   inominale k ) HINT! wenk As k die aantal kere per jaar is wat die rente bereken word. bv. 9 EG - worked examples 1. Jy leen R500 teen 8% p.j. saamgestel vir een jaar. Aan die einde van exams die jaar skuld jy 500(1+ 0,08)1 = R 540 2. Jy leen R500 teen 8% p.j. maandeliks saamgestel vir een jaar. Aan die einde van die jaar skuld jy 500 1 + ____   12   ( ) 0,08 1×12 = R541,50 activity Dus word jy effektiewelik R41,50 rente op R500 gevra. ACTIVITIES boy R41,50 100 Jou rentekoers is in werklikheid  ______ ___ and girl-left and R500 ×   1 = 8,3% . right of page activity Dus is die effektiewe rentekoers 8,3% p.j. maar die nominale rentekoers is 8% p.j. 3. Wat is die effektiewe rentekoers comment as 7,5% p.j. maandeliks bereken comment word? Step by step Oplossings ( 1 + ieffektiewe = 1 + _____   12   0,075 12 ) 1+i effektiewe =1,07763 i = 0,07763 eff ∴ ieff = 7,76% © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVA L 109 Mind the Gap Wiskunde

6 Eenheid Aktiwiteit 4 1. Khosi wil R5 000 vir 3 jaar belê. Wat is die beter belegging vir haar: as die rente 10,5% p.j. kwartaalliks saamgestel is óf 10,5% p.j. maandeliks saamgestel? (7) 2. Herlei ’n nominale rentekoers van 9% per jaar halfjaarliks saamgestel na die effektiewe jaarlikse rentekoers. (2) [9] Oplossings 1. 0,105 Eerste opsie: A=? P = R5 000 i =  ____ 4 3 n=3×4 A = P (1 + i) n ( 0,105 3×4 A = 5 000 1 +  ____   3 4 ) Gebruik ’n sakrekenaar om die hele antwoord uit te werk. A = R6823,513 0,105 Tweede opsie: A=? P = R5 000 i =  ____ 12 3 n = 3 × 12 A = P (1 + i) n ( 0,105 3×12 A = 5000 1 +  ____   3 12 ) Gebruik ’n sakrekenaar om die hele antwoord uit te werk. A = R6 841,923 ∴10,5% maandeliks saamgestel gee vir Khosi ’n beter rente op haar belegging. 3(7) ( 2. 1 + ieffektiewe = 1 + _____ ) inominale k   k   as k die aantal kere per jaar is wat die rente bereken word. ( 0,09 ) 2 1 + i = 1 +  ____ 2   3 1 + i =1,092025 … i = 0,092025 ∴9,20% is die effektiewe jaarlikse rentekoers. 3 (2) [9] 110 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVAL © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 6 6.5 Beleggings met veranderinge in tyd en rentekoers PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Berekenings van meer as een rente, deposito’s en ontrekkings word die HINT! wenk met ŉ tydlyn gedoen. beste bv. 10 EG - worked examples Thabo exams belê R1 000 in ’n bank vir 10 jaar. Die rentekoers was 6,5% kwartaalliks saamgestel vir die eerste 3 jaar. Vir die volgende 5 jaar is die rente bereken teen 7,2% maandeliks saamgestel en vir die res van die belegging was die rente teen 7,8% halfjaarliks saamgestel. Hoeveel geld sal Thabo aan die einde van die belegging hê? activity ACTIVITIES boy and girl-left and Oplossing right of page Tekenactivity eers ’n tydlyn sodat jy die vraag verstaan. Oor 10 jaar het die rentekoerse oor verskillende tydperke verskil. R1000 comment comment n = 3 jaar Step by × step 4 n = 5 jaar × 12 n = 2 jaar × 2 6.5% 7.2% 7.8% T0 i = ____   4 T1 i = ____   12 T2 i = ____   2 T3 Dit kan alles met een berekening uitgewerk word of jy kan aparte berekeninge doen. Onthou om nie jou antwoorde af te rond tot aan die einde nie sodat jy akkurate antwoorde kan hê. METODE 1 ( ) ( ) (1+ _____ 2   ) 333 0,078 2×2 0.065 3×4 0.072 5×12 A = 1000 1+ _____ _____ 4   1+  12   = R2024,643 METODE 2 ( 0,065 3×4 Tyd1: A = 1000 1 +  _____ ) 4   = R1 213,4075793 Hierdie bedrag van R1 213,407579 word P vir die volgende berekening. Tyd2: A = 1213,407579 1 +  _____ 12   ( ) 0,072 5×12 = R1 737,3429113 Hierdie bedrag van R1 735,911122 word P vir die volgende berekening. Tyd3:A = 1 737,342911 1 + _____ (   2   = R2 024,643 ) 0,078 2×2 Ná 10 jaar sal Thabo R 2 024,64 kry (tot die naaste sent) 3 NOTA: Afronding is slegs op die finale antwoord gedoen. [8] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVA L 111 Mind the Gap Wiskunde

6 Eenheid Aktiwiteit 5 Mnr. Sithole belê R50 000 in ’n rekening wat 8% p.j. rente aanbied kwartaalliks saamgestel vir die eerste 18 maande. Die belegging verander dan na 6% p.j. maandeliks saamgestel. Twee jaar ná die geld belê is, word R10 000 onttrek. Hoeveel geld sal ná 4 jaar in die rekening wees? [5] Oplossing Teken ’n tydlyn. Die totale tydperk is 4 jaar. deponeer R50 000 onttrek R10 000 jaar T0 1,5 jaar × 4 0,5 jaar × 12 2 jaar × 12 T4 8% ÷ 4 (kwartaalliks) 6% ÷ 12 (maandeliks) 6% ÷ 12 (maandeliks) METODE 1 DEPOSITO vir die tydperk van 4 jaar ( ) 0.08 1.5×4 A = 50000 1 +  ____ 4   ( ) 0.06 2.5×12 1 +  ____ 12   ( ) 0.06 2×12 − 10000 1 +  ____ 12   3333 =R54 124,66 3 OF METODE 2 18 Eerste 18 maande ( __ 12 =1,5 jaar): 0,08 P = R50 000 i = 8% kwartaalliks saamgestel = ____   4 n = 1,5 jaar × 4 ( ) 0,08 1,5×4 A = 50000 1 +  ____ 4   = R56 308,12096 33 Volgende 6 maande (0,5 jaar): 0,06 P = R56 308,12096 i = 6% ] maandeliks saamgestel = ____   12 n = 0,5 × 12 ( 0,06 ) 0,5×12 A = 56308,12096 1 +  ____ 12   = R58 018,62143 3 R10 000 onttrek, dus bly R48 018,62143 oor as die nuwe P-waarde. 3 Volgende 2 jaar 0,06 P = 48 018,62134 i = 6% maandeliks saamgestel = ____   12 n = 2 × 12 ( 0,06 2×12 A = 48018,62134 1 +  ____ ) 12   = R54 124,66 3 [5] Deposito van 50 000 met twee verskillende rentekoerse vir die hele tydperk minus die onttrekking met rente vir die oorblywende tydperk. 112 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVAL © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 6 6.6 Annuïteite Annuïteite is ŉ aantal gelyke paaiemente wat op gereelde intervalle gemaak word en onderworpe is aan ŉ rentekoers. Soorte annuïteite is: Toekomstige waarde annuïteit en Huidige waarde annuïteit. 6.6.1 Gebruik die Toekomstige waarde formule • Jy kan geld spaar deur elke maand dieselfde bedrag weg te sit om in die toekoms te gebruik. Dit kan gedoen word deur ŉ annuïteitsfonds, ŉ aftree-annuïteit, ŉ spaarrekening of ŉ delgingsfonds. Saamgestelde rente word op jou spaargeld verdien. Jy sal dus op ŉ gegewe tyd in die toekoms die totaal van al jou maandelikse paaiemente sowel as die rente wat elke maand op ŉ toenemende maandelikse saldo bereken is, ontvang. Toekomstige waarde formule Wanneer jy gelyke maandelikse paaiemente betaal om geld vir die toekoms te spaar, kan jy die toekomstige waarde formule gebruik. x[(1 + i)n− 1] F =  __________ i waar F die totaal is wat aan die einde van die tydperk geakkumuleer het, en x die maandelikse paaiement i die rentekoers per jaar n die NBaantal paaiemente/betalings NB is. PAY SPECIAL ATTENTION Hierdie formule word in die finale eksamen op die inligtingsblad gegee. NOTA: Die formule veronderstel dat paaiemente aan die einde van die eerste HINT! wenk maand begin. bv. 11 EG - worked examples Sipho exams beplan om elke maand ’n vaste bedrag van sy salaris te spaar. Hy begin aan die einde van die maand van sy eerste salaris. Die bank bied ’n rentekoers van 4,7% p.j. aan, maandeliks saamgestel. a) Bepaal die bedrag wat hy elke maand moet spaar as hy aan die einde van 4 jaar R30 000 in sy spaarrekening wil hê. activity b) Wat is die totale bedrag rente wat hy ná 4 jaar sal ontvang? ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity Oplossings a) Sipho spaar vir die toekoms, so gebruik die toekomstige waarde formule. F = R30 000 comment comment x is die maandelikse paaiement Step by step 0,047 i = 4,7% maandeliks saamgestel = _____   12 n = 4 × 12 = 48 maande [(1 + i) − 1] n F = x  _________ i [( x 1 +  _____ ______________ 30000 =     0,047 48 12   − 1 ) ] 0,047 _____   12 0,047 30000 ×  _____ _____ [( 12 = x 1 +   12   − 1 ) 0,047 48 ] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVA L 113 Mind the Gap Wiskunde

6 Eenheid 0,047 30000 ×  _____ 12 x =  _____________       [(1 +  _____ 12   ) − 1 ] 0,047 48 x = 569,30932... b) Hy moet elke maand R569,31 spaar vir 4 jaar. Hy souPAY SPECIAL R569,31 ATTENTION × 48 maande = R27 326,88 betaal het. NB NB Die totale rente wat hy dus ná 4 jaar sal kry, is R30 000 – R27 326,88 = R2 673,12 HINT! wenk 6.6.2 Delgingsfonds bv. 12 EG - worked examples ’nexams Drukkersmaatskappy koop twee drukkers teen ’n koste van R3,2 miljoen. [Gee alle antwoorde tot die naaste Rand.] a) Bereken die boekwaarde van hulle drukkers ná 5 jaar as die waardevermindering teen 16% p.j. op ’n verminderende saldo activity bereken word. ACTIVITIES boy b) Bereken die koste om die drukkers aan die einde van die 5 jaar te and girl-left and right of page vervang activityas die prys van nuwe drukkers met 8,5% p.j. toeneem. c) Hoeveel meer sal die maatskappy nodig hê as hulle die ou drukkers teen hulle boekwaarde verkoop en die geld wat hulle kry, gebruik om die nuwe toerusting aan te koop? comment comment d) Die maatskappy stel ’n fonds op om voorsiening te maak om die ou Step by step toerusting aan die einde van die 5 jaar te vervang. Hulle deponeer R240 000 aan die einde van die 1ste jaar, R370 000 aan die einde van die 2de jaar, R420 000 aan die einde van die 3de jaar en R500 000 aan die einde van die 4de jaar. Bepaal die totale bedrag wat in die fonds geakkumuleer het aan die einde van die 5 jaar as die rente betaal op geld in die fonds 11,5% p.j. jaarliks saamgestel is. e) Hoeveel geld het hulle addisioneel nodig om die vervangings- drukkers aan die einde van die vervangingstydperk te koop? Oplossings a) P = R3 200 000 i = 16% = 0,16 n=5 A = P (1 – i)n A = 3 200 000 (1 – 0,16)5 A = R1 338 278 Boekwaarde van R1 338 278 b) P = R3 200 000 i = 8,5% = 0,085 n=5 A = P (1 + i)n A = 3 200 000 (1 + 0,085)5 A = R4 811 701 Koste om drukkers te vervang c) 4 811 701 – 1 338 278 = R3 473 423 Hulle het R3 473 423 nodig 114 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVAL © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 6 d) tydlyn jaar 0 1 2 3 4 5 deposito R240 000 R370 000 R420 000 R500 000 Einde van jaar 2: P = R240 000 i = 11,5% p.a. = 0,115 n=1 A = P (1 + i)n A = 240 000 (1 + 0,115)1 = R267 600 R267 600+ R370 000 = R637 600 Einde van jaar 3: A = 637 600 (1 + 0,115)1 = R710 924 R710 924 + R420 000 = R1 130 924 Einde van jaar 4: A = R1 130 924 (1 + 0,115)1 = R1 260 980,26 R1 260 980,26 + 500 000 = R1 760 980,26 Einde van jaar 5: A = 1 760 980,26 (1 + 0,115)1 = R1 963 492,99 Ná 5 jaar sal hulle R1 963 492,99 in die fonds hê. e) R4 811 701 – R1 963 492,99 – R1 338 278 = R1 509 930,01 is steeds nodig vir die nuwe drukkers. Aktiwiteit 6: Interpreteer ’n grafiek 1. Ntsako belê R50 000 teen 14% p.j. jaarliks saamgestel. Liz spaar R50 000 teen 13,7% p.j. maandeliks saamgestel. a) Wie het aan die einde van die 20 jaar die meeste geld? b) Bereken die verskil in hulle beleggings ná 20 jaar. [6] Oplossings 1. a) Ntsako: A = 50 000(1 + 0,14)20 3 = R687 174,49 3 ( ) 0,137 20×12 Liz: A = 50000 1 +  ____ 12    = R762421,9984 = R762 422,00 33 Liz het die meeste geld. 3 b) Die verskil is R762 422,00 – R687 174,49 = R75 247,51. 3 [6] 6.6.3 Gebruik die Huidige waarde formule • Jy kan ŉ groot bedrag geld by die bank leen. Dit word ŉ lening genoem. Byvoorbeeld, daar is studentelenings vir verdere studies, voertuiglenings om ŉ kar te koop en huislenings om ŉ huis te koop. • ŉ Verband of ŉ huislening is ŉ lening wat gebruik word om ŉ huis of ander eiendom te koop. • Die bedrag wat jy moet terugbetaal is die totaal van die lening en die rente wat daarop gehef word. Jy moet ŉ gelyke bedrag elke maand terugbetaal wat ŉ maandelikse paaiement genoem word. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVA L 115 Mind the Gap Wiskunde

6 Eenheid Elke maand word die rente bereken op die bedrag wat jy nog skuld. Omdat jy elke maand dieselfde bedrag terugbetaal, verminder die bedrag wat jy skuld. Hier is ŉ formule om jou maandelikse paaiemente uit te werk. Dit word die huidige waarde formule genoem. Dit is huidig want jy ontvang die geld nou, huidiglik. Jy begin dit aan die einde van die eerste maand van die lening terugbetaal. x [ 1 − (1 + i)−n) ] P =  ____________    i waar P die huidige waarde is PAY SPECIAL ATTENTION die maandelikse paaiementNB x NB i die rentekoers p.j. n die aantal tydperke is wat die lening terugbetaal word HINT! Hierdie formule word in die finale eksamen op die inligtingsblad gegee. wenk bv. 13 EG - worked examples ’nexams Lening van R240 000 word oor 5 jaar terugbetaal met gelyke maandelikse paaiemente, en begin een maand nadat die lening toegestaan is. Neem kennis: dit is normaal om ’n lening een maand nadat dit toegestaan is te begin terugbetaal. activity a) Bereken die maandelikse terugbetalings as die rente op die lening 9% ACTIVITIES boy p.j. is, maandeliks saamgestel. and girl-left and right of page b) Die kliënt het finansiële probleme en doen slegs 17 betalings. activity Bereken die saldo van die lening aan die einde van die 17de maand. comment Oplossings comment Step by step 1. a) P= R 240 000; x is die maandelikse paaiement 0,09 Die saldo van ŉ i = 9% p.a. maandeliks = ____   12 n = 5 × 12 = 60 lening wat op ŉ bepaalde x [ 1 − ( 1 + −n i)   ] tyd tydens die ooreengekome P =  ___________ i leningstyd terugbetaal moet word, kan bereken word met die [ ( x 1 − 1 +  ____ ______________ 12     ) ] 0.09 −60 huidige waarde formule vir 240000 =     33   0.09 ____ die oorblywende aantal 12 paaiemente. 240000 ____ _____________ (0.09 )   12   x =       [ ( 0.09 −60 1 − 1 +  ____ ) ] 12     3 x = R4 982,0052… ≈ R4 982,01 (tot die naaste sent) Die maandelikse paaiement is dus R4 982, 013 0,09 b) P = Saldo op lening x = R4 982,01 i = ____   12 3 n = 60 – 17 = 43 maandelikse paaiemente wat nog betaal moet word 3 x [ 1 − (1 + i)−n  ] P = ___________   i [ ( 4982,01 1 − 1 +  ____ __________________ 12     ) ] 0,09 −43 P =     0,09 33 ____   12 P = 182 535,4693… Ná 17 maande skuld hy R 182 535,47 3 [9] 116 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVAL © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 6 Aktiwiteit 7 1. Zack neem ’n lening van R25 000 uit by die bank om ’n kar te koop. Die bank vra ’n jaarlikse rentekoers van 11% maandeliks saamgestel. Die paaiemente begin ’n maand nadat hy die geld by die bank gekry het. a) Bereken sy maandelikse paaiemente as hy die lening oor ’n tydperk van 5 jaar terugbetaal. b) Bereken die uitstaande saldo van sy lening ná twee jaar (onmiddellik nadat die 24ste paaiement gedoen is). (8) 2. Jill onderhandel ’n lening van R300 000 met ’n bank wat met maandelikse paaiemente van R5 000 en ’n finale paaiement wat minder is as R5 000 terugbetaal moet word. Die terugbetalings begin een maand nadat die lening toegestaan is. Rente is vasgestel op 18% per jaar, maandeliks saamgestel. a) Bepaal die aantal paaiemente wat nodig is om die lening af te los. b) Bereken die uitstaande saldo nadat Jill die laaste R5 000 betaal het. c) Bereken die waarde van die finale paaiement wat Jill moet doen om die lening af te los. d) Bereken die totale bedrag wat Jill aan die bank terugbetaal het. (13) [21] Oplossings 0,11 1. a) P = R25 000; i = 11% maandeliks = ____   12 3 x is die maandelikse paaiement n = 5 × 12 = 60 x [ 1 – (1 + i)–n  ] P = ___________   i [ ( x 1 – 1 + ____ ______________ ) ] 0,11 –60   12     25000 =     0,11 33 ____   12 25000 ____ (0,11 )   12   x = _____________    –60 [ ( 0,11 1 – 1 + ____ ) ]   12     x = 543,5605768 Sy maandelikse paaiement sal R543,56 wees (tot die naaste sent) 3 b) 5 jaar x 12 maande = 60 maande. Hy moet nog steeds vir 60 – 24 = 36 maande betaal. 0,11 P=? i = 11% maandeliks = ____   12 x = R543,56 n = 36 3 x [ 1 – (1 + i)   ] –n P = ___________   i [ ( 543,56 1 – 1 + ____ __________________ ) ] 0,11 –36   12     P =     0,11 33 ____   12 P = 16602,8718... Die uitstaande saldo ná twee jaar sal R16 602,97 wees (tot die naaste sent).3 (8) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVA L 117 Mind the Gap Wiskunde

6 Eenheid 0,18 2. a) P = 300 000 x = 5 000 i = ____   12 = 0,015 3 n=? x [ 1 – (1 + i)–n  ] P = ___________   i 3 5000 [ 1 – (1 + 0,015)–n  ] 300 000 = _________________    3 Aangesien n = 0,015 154,6541086, is die uitstaande tydperk om 300 000 × 0,015 = 5 000 [1 – (1,015)–n] die hele lening te dek 4500 0,6541086  ____ 5000 – 1 = – (1,015) –n – (1,015)–n= –0,1 log 0,1 – n = _______   log 1,015 3 n =154,65 ∴Aantal paaiemente = 155 3 [ 5 000 1 – (1 + ____ ____________________ 0,18 ]   12 )–0,6541086  b) Uitstaande saldo =      3333 0,18 ____   12 = R3230, 503 c) Bedrag betaal in die laaste maand = 3230,50 1 + ____ (   12   3 0,18 ) = R3278, 96 3 d) Totaal terugbetaal = (154 × 5000) + 3278,96 = R773278,96 3 (13) [21] Daar is 154 gelyke maandelikse paaiemente van R5 000 plus die laaste paaiement van minder as R5 000 118 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVAL © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 6 Aktiwiteit 8 1. ’n Boer koop ’n trekker vir R450 000. a) Hoeveel sal die trekker oor 5 jaar werd wees as sy waarde teen 9% per jaar op ’n verminderende saldo verminder? (3) b) Ná 5 jaar moet die trekker vervang word. In hierdie tyd bly inflasie konstant teen 7% per jaar. Bepaal die koste van ’n nuwe trekker ná 5 jaar. (3) c) Hy beplan om hierdie trekker teen sy boekwaarde te verkoop en die geld te gebruik om ’n nuwe trekker te koop. Bereken hoeveel geld moet hy in ’n delgingsfonds sit om oor 5 jaar ’n nuwe trekker te koop. (1) d) Bereken die waarde van die maandelikse paaiement in die delgingsfonds as die rente 8,5% p.j. maandeliks saamgestel oor die volgende 5 jaar is. (4) 2. Timothy koop meubels ter waarde van R10 000. Hy leen die geld op 1 Februarie 2010 by ’n finansiële instelling wat rente hef teen ’n koers van 9,5% p.j. maandeliks saamgestel. Timothy onderneem om maandelikse paaiemente van R450 te betaal. Die ooreenkoms van die lening stel Timothy in staat om hierdie gelyke maandelikse paaiemente vanaf 1 Augustus 2010 te begin betaal. a) Bereken die totale bedrag wat op 1 Julie 2010 aan die finansiële instelling geskuld word. (2) b) Hoeveel maande gaan dit neem om die lening terug te betaal? (6) c) Wat is die saldo van die lening onmiddellik nadat Timothy die 25ste paaiement gedoen het? (4) 3. Bereken hoeveel jaar dit sal neem vir ’n belegging om te verdriedubbel (drie keer so groot te word) as dit teen 12% per jaar halfjaarliks saamgestel belê word. (5) [28] Oplossings 1. a) Gebruik saamgestelde verval met P = R450 000, i = 0,09, n = 5 jaar. A = P (1 – i)n A = 450 000 (1 – 0,09)5 33 A = 280 814,4653 Die trekker sal oor 5 jaar R 280 814,47 werd wees. 3 (Dit is wat sy “boekwaarde” of “rommelwaarde” oor 5 jaar sal wees.) (3) b) Gebruik saamgestelde rente vir inflasie met P = R450 000, i = 0,07, n = 5 jaar. A = P(1 + i)n A = 450 000 (1 + 0,07)5 33 A = 631 148.2788 ’n Nuwe trekker sal oor 5 jaar R631 148,29 kos. 3 (3) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVA L 119 Mind the Gap Wiskunde

6 Eenheid c) Koste van ’n nuwe trekker – boekwaarde van ou trekker = R631 148,29 – R280 814,47 = R350 333,82 in ’n delgingsfonds. 3 (1) d) Gebruik die toekomstige waarde formule om vir x op te los. F = R350 333,82x is die maandelikse paaiement 0,085 i = 8,5% maandeliks saamgestel = _____   12 n = 5 × 12 = 60 maande x [ (1 + i) – 1 ] n F = __________   i x 1 + _____ 350333,82 = ______________     [( ) 0,085 60   12   – 1 333 ] 0,085 _____   12 350333,82 _____   12   (0,085 ) x = _____________     [(1 + _____ 0,085 60   12   ) – 1 ] x = 4 706,103568… Die maandelikse paaiement in die delgingsfonds oor die volgende 5 jaar moet R4 706,10 wees (afgerond tot die naaste sent) 3 (4) 2. a) A = 10000 1 + _____ (   12   3 0,095 5 ) = R10 402,15 3 (2) Vermenigvuldig 10 402,15 450 1 – 1 + _____ [ (   12     )] 0,095 –n (0,095 ) met _______   12  en deel ________________ b) 10 402,15 =     0,095 _____   12 333 dan deur 450. Skryf in log-vorm om die waarde van n (die aantal 0,183000787 = 1– _______   12   (1 + 0,095 ) –n maande waarin die lening terugbetaal moet word) ( 1 + _____ 0,095 –n )   12   = 0, 816999213 3 te bereken. ( log 1 + _____ 0,095 –n )   12   = log 0,816999213 3 –nlog 1 + _____ ( 0,095 )   12   = log 0,816999213… n = 25,63151282… n = 25,63 maande n = 26 3 (6) c) Saldo uitstaande ná 25 maande = 25,6315128204… – 25 = 0,6315128204 3 450 1 – 1 + _____ Saldo uitstaande = _____________________        [ (   12     33 ) 0,095 –0,6315128204 ] 0,095  _____ 12 = R282,36 3 (4) 120 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVAL © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 6 3. Laat x gelyk wees aan P, die belegging in rand. Dus sal die eindbedrag A drie keer soveel wees: 3x Rand. 0,12 i = 12% halfjaarliks saamgestel (twee keer ’n jaar) =  ____ 2 3 A = P (1 + i)n ( ) 0,12 n×2 3x = x1 + ____   2   33 3x  __ x = (1,06) 2n 3 = (1,06)2n gebruik logs om n te bepaal 2n = log1,06 3 3 2n = 18,85 n = 9,42708834… Dit sal meer as 9 jaar neem, so ons kan sê die antwoord is 10 jaar. 3 Dit sal 10 jaar neem vir ’n belegging om te verdriedubbel as die rente van 12% halfjaarliks saamgestel word. (5) [28] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVA L 121 Mind the Gap Wiskunde

6 Eenheid Wat jy moet kan doen: • Gebruik die enkelvoudige en saamgestelde groeiformules om probleme op te los. • Gebruik die enkelvoudige en saamgestelde vervalformules om probleme op te los. • Bereken die effek van verskillende saamgestelde tydperke op die effektiewe rentekoers wanneer die nominale rentekoers gegee is en bereken die nominale rentekoers wanneer die effektiewe rentekoers gegee is. • Gebruik die huidige waarde formule vir lenings, ens. • Gebruik die toekomstige waarde formule vir annuïteite, spaargeld, ens. • Bereken die uitstaande saldo op enige gegewe tyd. • Bereken die delgingsfonds. Hou so aan! 122 EENHEID 6 FINANSIES, GROEI EN VERVAL © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 7 Differensiaalrekene 7.1 Gemiddelde gradiënt y2− y1 Die gradiënt van ŉ reguitlyn kan bereken word met m =  ______ x2 − x1 Aktiwiteit 1 PAY SPECIAL ATTENTION NB 1. a) Bepaal die gemiddelde gradiënt van die grafiek van y = 5x2 – 4 tussen x = – 4 en x = –1 b) Is die funksie toenemend of afnemend tussen x = – 4 en x = –1?(3) HINT! 2. Bepaal die gemiddelde gradiënt van die grafiek van y = 5x2 – 4 tussen: a) x = 1 en x = 3 wenk b) x = 2 en x = 3 Gebruik die vergelyking van c) x = 2,5 en x = 3 die kromme y = 5x2 – 4 om 3. d) x = 2,99 en x = 3(8) a) Bereken die gemiddelde gradiënt van die kromme f(x) = x(x + 3) bv. die y-waardes te EG bereken. - worked examples y − y _____1 formule Gebruik die  x2 tussen x = 5 en x = 3. 2− x1 om die gradiënt te bereken. b) Wat kan jy aflei oor die funksie f tussen x = 5 en x = 3? (3) [14] exams Oplossings 1. a) By x = –4 b) Die funksie neem af tussen y = 5(–4) – 4 = 80 – 4 = 76 3 2 x = –4 en x = –1 want die gradiënt is By x = –1 negatief. 3 activity(1) ACTIVITIES y = 5(–1)2– 4 = 5 – 4 = 1 and girl-left right of pag y2− y1 _____ 76 − 1 75   x − x = ________   −4 − ( −1) = ___   −3 = − 25 3 (2) 2 1 activity 2. a) Die punte by x = 1 en x = 3 is (1; 1) b) Die punte by x = 2 en x = 3 is (2; 16) en (3; 41) 3 en (3; 41) 3 y2 − y1 41 − 1 40 ______1 y − y 41 − 16 25 ______ __ m = ______   x2 − x1 = _____   3 − 1 =  __ = 20 3 2 (2) 2− x1=   3 − 2 =   1 = 25 3 m =   x2 (2) comm c) Die punte by x = 2,5 en x = 3 is d) Die punte by x = 2,99 en x = 3 is Step by step (2,5; 27,25) en (3; 41) 3 (2,99; 40,7) en (3; 41) 3 y − y 41 − 27.25 ______1 ________ _____ 13.75 y − y 41 − 40.7 0.3 ______1 _______ ____ 2− x1=   3 − 2.5 =   0.5 = 27.5 3 (2) m =   x2 2− x1=   3 − 2.99 =   0.01 = 30 3 m =   x2 (2) 3. a) Die punte by (5; 40) en (3; 18). 3 b) Die funksie neem toe tussen x = 5 y2− y1 18 − 40 − 22 en x = 3. 3 (1) m = ______   x − x = ______   3 − 5 = ____   − 2 = 11 3 (2) 2 1 [14] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE 123 Mind the Gap Wiskunde

7 Eenheid Kan ons die gradiënt van ŉ kromme bereken? 33 30 27 B 24 21 18 raaklyn aan die kromme by B 15 12 9 D 6 3 A C 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 • Die gemiddelde gradiënt tussen twee punte op ŉ kromme is gelyk aan die gradiënt van die reguitlyn deur die punte. Die gemiddelde gradiënt van kromme AB is dus 12. • Namate die twee punte nader aan mekaar beweeg, nader die gemiddelde gradiënt die gradiënt van die kromme wat ook die gradiënt van die raaklyn aan die kromme by daardie punt is. Die gradiënt van die kromme AB by punt B is dus 30. • Onthou dat die raaklyn ŉ lyn is wat ŉ kromme by slegs een punt raak. • Die gemiddelde gradiënt vertel vir ons of die grafiek toenemend of afnemend is tussen daardie punte. • As die funksie afnemend is tussen twee punte, sal die gemiddelde gradiënt negatief wees. • As die funksie toenemend is tussen twee punte, sal die gemiddelde gradiënt positief wees. 124 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 7 7.2 Gemiddelde tempo van verandering Die gemiddelde tempo van verandering tussen twee punte op ŉ grafiek is die gemiddelde gradiënt van die lyn wat die twee punte verbind. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB As die grafiek afstand as ŉ funksie van tyd aantoon, is die gemiddelde verandering van afstand gradiënt __________________      veranderingin tyd HINT! Δ afstand is die gemiddelde spoed = _______ wenk Dit   Δ tyd bv. 1 EG - worked examples 1.exams Die gemiddelde tempo van verandering tussen A en B aangetoon in 27 − 3 24 die grafiek is _____   3 − 1 = __   2 = 12. 33 activity 30 27ACTIVITIES boy B and girl-left and 24right of page activity 21 18 15 12 comment comment 9 Step by step 6 3 A 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 2. As die afstand afgelê (in meter) gegee word deur die vergelyking s(t) = t2, waar t die tyd in sekondes is, dan is die gemiddelde spoed tussen t = 3 sekondes en t = 5 sekondes gelyk aan 52− 32 _____ _____ __ 25 − 9 16   5 − 3 =   2 =   2 = 8 m/s. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE 125 Mind the Gap Wiskunde

7 Eenheid 7.3 Die afgeleide van ’n funksie by ’n punt Die tempo van verandering van ŉ funksie by ŉ punt word ŉ afgeleide genoem. f ´(x) die tempo van verandering Die afgeleide van ŉ funksie by ŉ punt gee van f by x • die tempo van verandering van die funksie by die punt • die helling (gradiënt) van die raaklyn aan die funksie by die punt Definisie van ŉ afgeleide Die afgeleide van ’n funksie y = f (x) word gedefinieer f(x + h) − f(x) as f ´(x) = lim_____________       h➞0 h Hierdie formule word in die finale eksamen op die inligtingsblad verskaf. NOTA: Die notasie wat ons vir die afgeleide van y = f(x) gebruik is dy f ´(x) of y ´ of  ___ of Dx[f(x)]. dx Wanneer ons die afgeleide van ’n funksie bepaal, sê ons ons differensieer die funksie. 7.3.1 Die afgeleide vanaf eerste beginsels (Definisie)PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Gebruik die formule hieronder om vanaf eerste beginsels (definisie) te differensieer fHINT! (x + h) − f(x) ´(x) = lim __________ f wenk   h➞0 h bv. 2 EG - worked examples Bepaal f ´(x) vanaf eerste beginsels as f(x) = –3x2 exams Oplossing Metode 1 f(x + h) = −3(x + h)2 activity = −3(x2 + 2xh + h2 ) ACTIVITIES boy and girl-left and = −3x2 − 6xh − 3h2 om f(x + h) te kry vervang ons x met x + h en kry right of page activity –3(x + h)2 Brei die hakies uit en maak seker jy vermenigvuldig die –3 met elke term in die hakies. f(x + h) − f(x) Deur in f ´(x) = lim ___________   tecomment comment vervang, gee die definisie van die afgeleide h➞0 h Step by step − 3x2 − 6xh − 3h2 − ( − 3x2) f ´(x) = lim    ____________________       f (x) = –3x2 dus h f(x) = –3x 2 h➞0 Haal ’n gemeenskaplike faktor − 3x2− 6xh − 3h2 + 3x2 = lim __________________    van h uit sodat jy dit met die h h➞0 h in die noemer kan kanselleer Namate h nader kom aan 0, gaan 6x – 3h nader aan –6x. 126 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 7 h(− 6x − 3h) = lim  __________ h h➞0 = lim (− 6x − 3h) h➞0 = –6x Aktiwiteit 2 1. Bepaal f ´(x) vanaf eerste beginsels as f(x) = 5x2 – 4x + 2 (6) 2 2. Bepaal f ´(x) vanaf eerste beginsels as f(x) = __   x (6) [12] Oplossings 1. f(x + h) = 5(x + h)2− 4(x + h) + 2 = 5(x2 + 2xh + h2 ) − 4x − 4h + 2 = 5x2+ 10xh + 5h2 − 4x − 4h + 2 3 f(x + h) − f(x) 5x2 + 10xh + 5h2  − 4x − 4h + 2 − (5x2  − 4x + 2) f ´(x) = lim  ___________ h = lim __________________________________        3 h h➞0 h➞0 10xh + 5h  − 4h 2 = lim ____________     h 3 h➞0 h(10x + 5h − 4) = lim ____________    3 h h➞0 = lim(10x + 5h − 4) 3 h➞0 = 10x – 4 3 (6) 2 2. f(x + h) =  ____ x+h 2 f(x + h) − f(x) _____   −   x2__ f ´(x) = lim ___________ h _______ = lim  x + h h 3 3 h➞0 h➞0 2x 2(x + h)  _______ − _______   x(x + h) x(x + h) _____________ = lim    h 3 h➞0 2x − 2x − 2h __________   x(x + h) _________ = lim  h h➞0 –2h _______   x(x + h) ______ = lim  h h➞0 –2h 1 = lim _______ × __ x(x + h) h   3 h➞0 –2 = lim _______ x(x + h) 3 h➞0 –2 −2   ≃  ____ ___ x(x) =   x2 3 (6) [12] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE 127 Mind the Gap Wiskunde

7 Eenheid 7.3.2 Die differensiasiereëls Jy kan enige afgeleide vanaf eerste beginsels bepaal, maar daar is ŉ paar vinnige reëls om die afgeleide te bepaal. Tensy ŉ vraag vir jou vra om die PAY SPECIAL ATTENTION NB NB definisie te gebruik of om te “differensieer vanaf eerste beginsels” is dit makliker om die reëls gebruik. Jy moet die volgende differensiasiereëls wenk ken en kan gebruik: HINT! Reëls 1. As f(x) = b dan f ´(x) = 0 bv. 3 EG - worked examples waar b ’n konstante is. 2. As f(x) = xn dan f ´(x) = nxn–1 As h(x) = 12, dan h ´(x) = 0 exams d d d Die afgeleide van ’n konstante is altyd = 0. 3. ___   dx [ f(x) ± g(x)] = ___   dx [ f(x)] ± ___   dx [g(x)] As k(x) = x5, dan k ´(x) = 5x4 d d d As f(x) = x5 + x4, dan ___   dx f(x) = 5x4 + 4x3 4.  ___ [kf(x)] = k ___ dx [ f(x)] dx As f(x)activity = 3x5 dan ACTIVITIES boy d d  ___ ___ and girl-left and dx f(x) = 3 ×   dx f(x) (x ) = 3 × 5x = 15x 5 page right of 4 4 activity Voordat jy differensiasie gebruik, moet jy dalk die formaat van die PAY SPECIAL ATTENTION NB NB uitdrukkings vereenvoudig of verander: comment comment Step by step 1. Brei die hakies uit bv. brei (3x + 2)(x – 5) na 3x2 – 13x – 10 uit want jy het geen differensiasiereël vir ’n produk nie. HINT! wenk Jy moet dus die terme skei voordat jy kan differensieer. bv. 4 EG - worked examples Bepaal exams f ´(x) as f(x) = (3x + 2)(x – 5) Oplossing f(x) = 3x2 – 13x – 10 activity ∴f ´(x) = 6x – 13 PAY SPECIAL ATTENTIONACTIVITIES boy NB and girl-left and right of page NB 2. activity Skryf terme wat vierkantswortels, derdemagswortels of ander wortels is oor as eksponensiale sodat jy die reël f(x) = xn dan HINT! wenkf ´(x) = nxn–1 kan gebruik. comment comment Step by step bv. 5 EG - worked examples __ d __ 1 1 x  = x2  dus __   dx √x  = __ 1 __ __ √exams 2  x –     2 activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment Step by step 128 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 7 Aktiwiteit 3 3 __ a) Evalueer Dx[(x3 – 3)2] b) Bepaal f ´(x) as f(x)= √x  __ d c) Bepaal __   dx 3√x5   __ ____ d) Differensieer f(x) as f(x) = √x4   e) Bepaal f ´(x) as f(x) = √16x3   [11] Oplossings a) Dx[(x3 – 3)2] Vermenigvuldig = Dx[x – 6x + 9] 3 6 3 = 6x5 – 18x2 3 3 (3) Pas die differensiasiereëls toe __ __ 3 __ d b) √x  = x so f ´(x) =  1_3 x 3 3 c) 3√x5   = x 3 so ___   dx (3√x5  ) =  5_ x 3 3 3 5 2   13 __ 2 − __3 _ _ (2) (2) 3 __ 4 _ ____ 1 _ 3 _ d) √x4   = x 2  = x2 3 e) f(x) = √16x3   = 4(x3 )  2  = 4x 2 3 so f ´(x) = 2x1  = 2x 3 (2) So f ´(x) =  3_ .4.x 2 −1  = 6x 2 3 3 _ 1 _ (2) 2 __   _1 PAY SPECIAL ATTENTION Jy kan die antwoord as 6√x  of 6x skryf 2 NB NB [11] 1 Skryf terme wat “breuke” is waar x deel is van die noemer, __   xn oor as sodat jy die reël as f(x) = xn dan f ´(x) = nxn–1 kan gebruik. HINT! x −n wenk bv. 6 EG - worked examples ___ 3x2 exams f ´(x) as f(x) =   4x3 Bepaal Oplossing 3x2 3 f(x) = ___   4x3 = __   4 x−1 activity ACTIVITIES boy 3 3 So f ´(x) = − __ − of___ and girl-left and   4 x−2= right   4page x2 activity comment comment Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE 129 Mind the Gap Wiskunde

7 Eenheid Aktiwiteit 4 __ dy √x  1 1. Bepaal, met die differensiasiereëls: __   dx as y = ___   2 −  ___ 6x3 (3) dy 4 x 3 2. Evalueer __   dx as y = ___   √ __ __ x −   9 (3) 3. Bepaal Dx _____ [ 6x + 5 ]   3x2   (4) [10] Oplossings __ √x  1 1. y = ___   2 −  ___ 6x3 y =  1_2 x  2   −   1_6 x−3 1 _ 3 Skryf eers die terme in die vorm kxn ___ dy 3   dx =  1_ x −  2   +  __6 x−4 1 _ Gebruik die differensiasiereëls 4 ___ dy   dx =  1_ x−  2   +   1_ x−4 1 _ Vereenvoudig 4 2 dy ____  ___ =   1__ +  ___ dx 4√x  2x4 1 3 3 Verander terug na wortelvorms en positiewe eksponente (3) 4 x3 2. y = ___ __ x −   9   √__ y = 4x−  2   −   1_9 x3 3 Skryf eers die terme in die vorm kxn oor. 1 _ dy   dx = −  1_  ∙ 4 (x−  2 −1  ) − 3 ∙  1_ x2 Gebruik die differensiasiereëls ___ _1 2 9 ___ dy 1   dx = −2x−  2   −  __ 3 _ x x 3 3 Vereenvoudig (3) 2 Die vraag sal dikwels vir jou vra om die antwoord met positiewe eksponente te gee. 2 = − __    3_−  _1 x2 x2 3 [ 6x + 5 ] 3. Dx _____ [ 6x 5 ]   3x2   = Dx ___   3x2 + ___   3x2   3 = D [ 2x   +   5_ x   ] 3 x −1 −2 3 −   10 = − 2x−2 __ x−3 33 (4) 3 [10] 130 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 7 7.4 Gebruike van die afgeleide Die afgeleide het baie gebruike. Dit kan gebruik word om: • die gradiënt van die vergelyking van ŉ raaklyn te bepaal • stasionêre punte op ŉ grafiek te identifiseer • ŉ maksimum- of minimumwaarde te bepaal • tempo van verandering te beskryf • grafieke van derdegraadsfunksies te teken • (’n Derdegraadsfunksie het die vorm f(x) = ax3 + bx2 + cx + d) 7.4.1 Bepaal die vergelyking van ’n raaklyn Die helling van die raaklyn aan die grafiek by ŉ punt is gelyk aan die afgeleide van die funksie by daardie punt. Dus, om die vergelyking van die raaklyn aan f(x) by x = a te bepaal, moet ons: 1. Die afgeleide f ´(x) bepaal. 2. Die afgeleide by x = a → uitwerk, d.i. bereken f ´(a) om die gradiënt van die raaklyn te kry. 3. Bereken die y-waarde by x = a →d.i. bereken f(a). PAY SPECIAL ATTENTION 4. NBDie raaklyn is ŉ reguitlyn. NB Ons kan die vergelyking van ŉ reguitlyn bepaal met y – y1 = m(x – x1) as ons weet wat die gradiënt m aan wenkŉ punt (x1; y1) op die lyn is. HINT! bv. 7 EG - worked examples Bepaal exams die vergelyking van die raaklyn aan die funksie f(x) = x3 + 2x + 4 by die punt waar x = 1. Oplossing f ´(x) = 3 activity x2 + 2 1. Neem die afgeleide f ´(1) = 3(1) + 2 = 5 ACTIVITIES boy 2 2. Bepaal die gradiënt van die raaklyn by x = 1 and girl-left and right of page so m activity = 5 deur die afgeleide by x = 1 te evalueer. f(1) = 1 + 2 + 4 = 7 3. Bereken die y-waarde by x = 1 Raaklyn: y – 7 = 5(x – 1) 4. Gebruik y – y1 = m(x – x1) om die vergelyking comment van die raaklyn te gee comment Step by step y – 7 = 5x – 5 y = 5x + 2 Die vergelyking van die raaklyn by x = 1 is dus y = 5x + 2 © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE 131 Mind the Gap Wiskunde

7 Eenheid 7.5 Teken die grafiek van ’n derdegraadspolinoom Enige derdegraadspolinoom is ŉ funksie van die vorm f(x) = ax3 + bx2 + cx + d en ons kan dit met ŉ grafiek voorstel. Om die grafiek te teken, moet ons die eienskappe van die grafiek bepaal. • Ons kan die afgeleide gebruik om die helling van die grafiek by sekere punte te identifiseer. • NBOns moet ook weet hoe NB om vergelykings in die derdegraad op te los, PAY SPECIAL ATTENTION so ons moet die x- en y-afsnitte van die grafiek bepaal. 7.5.1 wenk Los vergelykings in die derdegraad op: HINT! ax3 + bx2 + cx + d = 0 bv. 8 EG - worked examples Werk exams deur hierdie voorbeeld: Faktoriseer en los op vir x: x3 – x2 – 5x = 3 Oplossings 1. Kry ax3 + bx2 + cx + d = 0 d.i. x3 – x2 – 5x – 3 = 0 (standaardvorm) activity ACTIVITIES boy 2. Gebruik die res en faktorstelling om een faktor teand bepaal. girl-left and right of page Gebruik probeer en tref. activity Hierdie stap kan ook op ’n sakrekenaar bereken word – sien hieronder: Die faktorstelling stel: comment comment As f(k) = 0, dan is x – k ’n faktor van f(k) Step by step Dus as f(x) = x3 – x2 – 5x – 3, wil ons ’n x-waarde bepaal wat f(x) = 0 maak. f(x) het ’n konstante waarde van –3. As hierdie uitdrukking gefaktoriseer kan word, sal ten minste een van sy faktore ’n faktor van –3 daarin gebruik. Die faktore van –3 is –3; –1; 1; 3 Deur probeer en tref, toets hierdie faktore om die waarde van x te bepaal wat f(x) = 0 gee. f(x) = x3 – x2 – 5x – 3 As x = –3, dan f(–3) = –27 – 9 + 15 – 3 = –24 ≠ 0 As x = –1, dan f(–1) = –1 –1 + 5 – 3 = 0 ∴ x –(–1) is ’n faktor van f(x) ∴ x + 1 is ’n faktor van x3 – x2 – 5x – 3. Ons gebruik x + 1 om die ander faktore te bepaal. 3. Deel x3– x2– 5x – 3 deur x + 1 om die ander faktore te bepaal. Jy kan op hierdie stadium die algebraïese metode, langdeling of sintetiese deling gebruik. Metode I: Gebruik algebra x3 – x2 – 5x – 3 = (x + 1)(x2 + px – 3) Kontroleer dit: Eerste terme gee x3, laaste terme gee –3. Ons weet nie wat die middelterme is nie, so ons het px in die tweede hakie gebruik. 132 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 7 Om die waarde van p te bereken: Die x2 term in die uitdrukking het ’n koëffisiënt van –1 x3 – x2 – 5x – 3 Dus moet die x2 deel van die gefaktoriseerde uitdrukking – x2 maak (x + 1)(x2 + px – 3) x (px) + 1(x2) = px2 + x2 ∴ px2 + x2 = – x2 px2 = – 2x2 ∴ p = –2 ∴ x3 – x2 – 5x – 3 = (x + 1)(x2 –2x – 3) Metode II: Langdeling [Deel, vermenigvuldig, trek af, bring af] x2 – 2x – 3 x+1 x3 – x2 – 5x – 3 Deel: x3 ÷ x Antwoord x2 bo x3 + x2 Vermenigvuldig: x2(x + 1) –2x2 – 5x Trek af en bring af Deel: –2x2 ÷ x Antwoord –2x bo –2x2 – 2x Vermenigvuldig: –2x(x + 1) – 3x – 3 Trek af en bring af – 3x – 3 Deel: –3x ÷ x Antwoord –3 bo Vermenigvuldig: –3(x + 1) 0 Trek af ∴ x3 – x2 – 5x – 3 = (x + 1)(x2 –2x – 3) = (x +1)(x – 3)(x +1) Metode III: Sintetiese deling Skryf die koëffisiënt van die terme in die oorspronklike vergelyking neer, x3 – x2 – 5x – 3. a) Skryf x = – 1 aan die linkerkant d) Vermenigvuldig –1 met –3 = +3 –1 1 –1 5 –3 Sit dit onder die 4de koëffisiënt (–3) Tel die 4de kolom op: –3 + 3 = 0 b) Skryf die eerste koëffisiënt (1) neer en 1ste 2de 3de 4de vermenigvuldig koëff koëff koëff koëff –1 × 1 = –1 –1 1 –1 –5 –3 Skryf dit onder die 2de koëffisiënt (–1) 1ste 2de 3de 4de 1 –1 +2 +3 koëff koëff koëff koëff –2 –3 0 –1 1 –1 –5 –3 1 –1 antwoord © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE 133 Mind the Gap Wiskunde

7 Eenheid Tel die tweede kolom op: –1 + –1 = –2 1. Jy weet jy is reg wanneer die finale som 0 is. Hierdie getalle vorm die koëffisiënte 1ste 2de 3de 4de koëff koëff koëff koëff van die antwoord van die deling: –1 1 –1 –5 –3 1ste 2de 3de 4de koëff koëff koëff koëff 1 –1 –1 1 –1 –5 –3 –2 1 –1 +2 +3 c) Vermenigvuldig –1 met –2 = +2 –2 –3 0 Sit dit onder die derde koëffisiënt (–5) 1x2 – 2x – 3 Tel die derde kolom op: –5 + 2 = –3 ∴ x3 – x2 – 5x – 3 = (x + 1)(x2 –2x – 3) 1ste 2de 3de 4de = (x +1)(x – 3)(x +1) koëff koëff koëff koëff –1 1 –1 –5 –3 1 –1 +2 –2 –3 Nou het jy die eerste faktor (x + 1) bepaal deur een van die drie metodes te gebruik. 4. Faktoriseer die antwoord verder deur die trinoom te faktoriseer. x3 – x2 – 5x – 3 = (x + 1)(x2 –2x – 3) = (x + 1)(x –3)(x + 1) 5. Bepaal die drie oplossings. As (x + 1)(x –3)(x + 1) = 0, Dan (x + 1) = 0 of (x –3) = 0 of (x + 1) = 0 x = –1 of x = 3 of x = –1 Dit is die x-afsnitte van ’n derdegraadsgrafiek met die vergelyking: f(x) = x3– x2– 5x – 3 134 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 7 7.5.2 Stasionêre punte van ’n derdegraadsfunksie • Stasionêre punte op ŉ grafiek is punte waar die gradiënt van die grafiek 0 is. Dit is by punte waar die rigting van die kromme van die grafiek verander. NB Op ŉ derdegraadsfunksie, is die stasionêre punte by ŉ lokale PAY SPECIAL ATTENTION NB maksimum- of minimumdraaipunt. Daar is ook situasies waar ŉ punt van infleksie ŉ stasionêre punt kan wees, soos aangedui in Figuur 2 van die voorbeeld hieronder. HINT! wenkNOTA: ŉ Punt van infleksie is nie altyd ŉ stasionêre punt nie. bv. 9 EG - worked examples Die draaipunte is slegs lokaal want die eindpunte van die grafieke is exams dikwels groter as die lokale maksimum of minder as die lokale minimum. Figuur 1 stasionêre punt is activity ŉ draaipunt en ŉ y ACTIVITIES boy lokale maksimum and girl-left and y eindpunt right of page activity punt van lokale maksimum infleksie draaipunt comment comment x x Step by step stasionêre punt is ŉ lokale minimum draaipunt en ŉ lokale draaipunt minimum eindpunt Figuur 2 stasionêre punt is punt van infleksie y x Die afgeleide f ´(x) gee vir ons die helling van ’n grafiek. Om die koördinate van die draaipunte van ’n funksie f(x), te bepaal, moet ons f ´(x) = 0 oplos. Om die koördinate van die punt van infleksie te bepaal, moet mens die afgeleide van die afgeleide, f ´´(x). bepaal. Dit word die tweede afgeleide genoem. Los op vir f ´´(x) = 0. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE 135 Mind the Gap Wiskunde

7 Eenheid 7.5.3 Teken die grafiek van ’n derdegraadsfunksie Om ŉ grafiek van ŉ derdegraadsfunksie te teken, volg hierdie stappe: 1. Bepaal die y-afsnit deur f(0) te bepaal. Wanneer x = 0, wat is die waarde van y? Jy moet die stappe leer om `n derdegraadse 2. Bepaal die x-afsnitte deur die x-waarde(s) polinoom te teken! te bepaal waar f(x) = 0. Faktoriseer f(x) om hierdie waardes uit te werk. Identifiseer een faktor met die faktorstelling. Die faktorstelling: As f(k) = 0, dan is x – k ŉ faktor van f(x). 3. Bepaal die stasionêre punte of draaipunt deur f ´(x) = 0 op te los. NB: Die drie stappe wat hierbo aangedui word, is baie belangrik. ŉ Sketsgrafiek moet al die bogenoemde punte met korrekte identifikasie van die vorm soos hieronder verduidelik, aantoon. 4. Identifiseer die eindgedrag, d.i. identifiseer wat met die grafiek gebeur vir baie groot positiewe en negatiewe waardes van x. • As a > 0, dan is f(x) Draaipunt positief vir baie groot waardes van x en negatief vir baie groot negatiewe waardes van x. NB• As a < 0, dan is f(x) NB PAY SPECIAL ATTENTION negatief vir baie groot waardes van x en positief 'n Positiewe 'n Negatiewe vir baie groot negatiewe HINT! derdegraadsfunksie derdegraadsfunksie wenk a>0 a<0 waardes van x. bv. 10 EG - worked examples Skets exams die grafiek van f(x) = x3 – 4x2 – 11x + 30. 1. y-afsnit: Wanneer x = 0, f(0) = 30, dus die y-afsnit is by (0; 30). 2. x-afsnitte: Toets ’n paar waardes vir x (kies faktore van 30) f(1) = 16 dus (x – 1) is nie ’n faktor nie. f(–1) = 36 dus (x + 1) is activity nie ’n faktor nie. ACTIVITIES boy f(2) = 0 dus (x – 2) ] is ’n faktor. and girl-left and right of page activityI, II of III op bl. 132-133 om voort te gaan. Hier is die sintetiese Kies Metode metode. Hierdie metode is baie vinnig sodra jy dit akkuraat kan gebruik. comment 1ste comment 2de 3de 4de Step by step koëff koëff koëff koëff 2 1 –4 –11 30 1 2 –4 –30 –2 –15 0 ∴x3 – 4x2 – 11x + 30 = (x – 2)(x2 – 2x – 15) ∴x3 – 4x2 – 11x + 30 = (x – 2)(x – 5)(x + 3) Faktoriseer die trinoom Dus, wanneer y = 0, (x – 2) = 0 of (x – 5) = 0 of (x + 3) = 0 ∴x = 2, x = 5 of x = –3. x-afsnitte is by x = 2, x = 5 of x = –3 d.i (2; 0) ; (5; 0) of (-3; 0) 136 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 7 3. Stasionêre punte of draaipunte: f ´(x) = 3x2 – 8x – 11 Wanneer f ´(x) = 0, dan 3x2 – 8x – 11 = 0 (x + 1)(3x – 11) = 0 11 x = –1 of x = __   3 y-waardes by stasionêre punte: f(–1) = –1 – 4 + 11 + 30 = 36 en (11 ) (11 ) (11 ) f __ 3   3   = __ 2   3   = 4 __ (11 )   3   − 11 __   3   + 30 ≈ − 14.81 ∴ (− 1;36) en (__   3 ; − 14.81 ) 11 4. Punt van infleksie: (–1, 36) 40 – f ´(x) = 3x2 – 8x – 11 (0, 30) f ´´(x) = 6x – 8 30 – 8 4 6x – 8 = 0 waar x = __   6 = __   3 , dus is die punt 20 – 4 van infleksie by x = __   3 10 – (1.33; 10.59) y-waarde by punt van infleksie: (4 ) f __ 4   3   = 10,59. ∴ ( __3 ; 10,59) –4 (–3, 0) –3 –2 –1 0 0 1 2 (2, 0) 3 4 5 (5, 0) 6 7 5. Eindgedrag: a > 0 is positief vir baie –10 – groot waardes van x en negatief vir baie groot negatiewe waardes van x. (3.67, –14.81) – 20 – 6. Stip die punte en die eindgedrag. Verbind die punte in ’n gladde kromme. Aktiwiteit 5 1. f(x) = − x3 − x2 + x + 10 a) Skryf die koördinate van die y-afsnit van f neer. b) Toon aan dat (2; 0) die enigste x-afsnit is. c) Bereken die koördinate van die draaipunte van f. d) Skets die grafiek van f. Toon alle afsnitte met asse en alle draaipunte aan. e) Bepaal die punt van infleksie. (17) 2. Hieronder is die grafiek van g(x) = –2x3 – 3x2 + 12x + 20 = –(2x – 5)(x + 2)2 geskets. A en T is draaipunte van g. A en B is die x-afsnitte van g. P(–3; 11) is ’n punt op die grafiek. y T P(–3; 11) A B x © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE 137 Mind the Gap Wiskunde

7 Eenheid a) Bepaal die lengte van AB. b) Bepaal die x-koördinaat van T. c) Bepaal die vergelyking van die raaklyn aan g by P(–3; 11) in die vorm y = … d) Bepaal die waarde(s) van k waarvoor –2x3 – 3x2 + 12x + 20 = k drie duidelike wortels het. e) Bepaal die x-koördinaat van die punt van infleksie. (14) [31] Oplossings 1. a) Wanneer x = 0, y = 10, daarom is (0; 10) 3 (1) b) Deur aan te neem dat (2; 0) die x-afsnit is, dan is x –2 ’n faktor van f(x) f(x) = − x3 − x2 + x + 10 = (x − 2)( − x2 − 3x − 5) 33 ∴ x − 2 = 0 of − x2 − 3x − = 0 3 x = 2 maar − x2 − 3x − 5 = 0 het geen reële oplossing nie. Derhalwe is (x – 2) die enigste x-afsnit. 33 (5) c) By die draaipunt f ´(x) = − 3x2 − 2x + 1 = 0 3 (–3x + 1)(x +1) = 0 x =  1_ of x = – 1 33 3 1 1 1 1 270 − 3 + 9 − 1 275 5 Wanneer x = __   3 , y = − __   27 − __   9 + __   3 + 10 = ____________    27 = ___   27 = 10 __ 27 Daarom is die draaipunt __   3 ; ___ (1 275 ) (1   27   = __   3 ; 10 __ 5 ) 27   3 Wanneer x = –1, y = 1 – 1 – 1 +10 = 9 Daarom is die draaipunt − (1; 9) 3 (5) d) Y 3 1__ 5   ;10 __   27 3 10 3 3 (–1; 9) 3 2 X (4) e) By die punt van infleksie f ´´(x) =  − 6x − 2 = 0 3 2 1 ∴ by x = −  __6 =  −  __3 3 (2) 2. a) Aangesien A en B die x-afsnitte van g is, is dit oplossings van –(2x – 5)(x + 2)2 = 0 3 5 d.i. x = –2 en x = __   2 Die afstand tussen –2 en __ 5 5   2 is __   2 – (–2) = 4,5 eenhede 3 (2) b) T is ’n draaipunt. g ´(x) = –6x2 –6x + 12 = 0. 3 –6(x2 + x – 2) = 0 –6(x + 2)(x – 1) = 0 Wanneer x = –2 of x = 1. 33 Dus is die x-koördinaat van T gelyk aan 1. (3) 138 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 7 c) g ´(3) = –6(–3)2 –6(–3) + 12 = –24 3 Dus is die vergelyking van die raaklyn y – 11 = –24(x + 3) 3 wat vereenvoudig na y = –24x – 61 3(3) d) Die grafiek van y = k word saam met g(x) hieronder aangetoon. Deur hierdie grafieke te gebruik, kan ons sien dat, mits die lyn bo die y-waarde van A en onder dié van T lê, die vergelyking –2x3 – 3x2 + 12x + 20 = k, drie duidelike wortels sal hê. By T, g(1) = –2 – 3 + 12 + 20 = 27. Dus vir 0 < k < 27 het die vergelyking 3 duidelike wortels. 3333(4) y T y=k P(–3; 11) A B x e) g ´´(x) = –12x – 6 6 1 –12x – 6 = 0 wanneer x = ____   −12 =  −  __2 33(2) [31] 7.5.4 Bepaal die maksimum of minimum f ´(x) = 0 wys vir ons die lokale maksimum- of minimumpunte. Ons kan dit gebruik om ŉ toegepaste probleem op te los wat vir ŉ maksimum- of minimumwaarde vra. Hierdie is hersiening van Graad 10 werk wat jy nodig het om party Graad 12 vrae oor meting, volume, maksima en minimums te beantwoord. Jy moet hierdie formules ken en dit gebruik om probleme op te los. 2-D vorms 3-D vorms 3-D vorms Regte prismas Waar die basis ŉ poligoon is en die sye by een punt ontmoet, die hoekpunt. 1 Oppervlakte en omtrek V = Oppervlakte van V =  __ 3 Oppervlakte van basis × ⊥ (Die afstand om die buitekant) basis × ⊥ hoogte hoogte & 1 =  __ 3 A × H Buite-oppervlakte = die som van Waar H die loodregte hoogte is die oppervlaktes van die plat vorms en Buite-oppervlakte = Oppervlakte van 1 basis +  __ 2 ph waar p die omtrek van die basis is en h die skuinshoogte © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE 139 Mind the Gap Wiskunde

7 Eenheid 1. Sirkel 1. Regte silinders 1.Keëls r gte hoo basis Loodregte ins h Sku hoogte r r basis Radius h Sirkelvormige basis A = πr 2 V = πr2× h 1 Buite-oppervlakte = 2πr2 + 2πrh V =  __ 3 πr × H 2 Omtrek = 2πr 1 Buite-oppervlakte = πr2 +  __ 2 (2πr × h) Omtrek = 2πr = πr + πrh 2 2. Vierkant 2. Vierkantige prisma 2. Vierkantige piramide Reghoekige aansig Sy van Hoogte h piramide a Hoogte Basis Skuinshoogte Sy van basis l b V =  1__3 a2 × H A = lengte × lengte = a2 Buite-oppervlakte = oppervlakte van Omtrek = 4a Nota: l = b = h = a vierkant + V = a × a × a = a3 4 × oppervlakte Buite-oppervlakte = 6a2 van driehoek = a2 + 4 (__   2 ⋅ a ⋅ h ) 1 = a2 + 2ah 3. Reghoek 3. Reghoekge prisma Reghoekige Die skuinshoogte loop vanaf die aansig middel van die sy van die basis tot by die hoekpunt. [ a h Ons bereken die skuinshoogte met die loodregte hoogte en die Hoogte afmetings van die basis met die b Stelling van Pythagoras. Oppervlakte: A = lengte × breedte = ab Omtrek = 2a + 2b l b V=l×b×h Buite-oppervlakte = 2lb+2lh+2bh 140 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 7 4a. Reghoekige driehoek 4. Driehoekige prisma 4. Driehoekige piramide Reghoekige aansig a c Loodregte te shoog hoogte Basis b Skuin h Oppervlakte: H 1 og te A =  __ 2 × basis × hoogte Ho Basis b 1 =  __ 2 × b × a Omtrek = a + b + c V = (__ 1 )   2 × b × h × H 1 V =  __ 3 oppervlakte van basis driehoek Buite-oppervlakte van ×H 4b. Driehoek driehoekige prisma Buite-oppervlakte = oppervlakte = 2 × oppervlakte van driehoek van basis driehoek + (som van + (som van oppervlaktes van 3 oppervlaktes van 3 driehoeke) reghoeke) a h c b Oppervlakte: 1 V =  __ 2 × basis × ⊥ hoogte 1 =  __ 2 × b × h Omtrek = a + b + c 2-D vorms 3-D vorms OMSKAKELINGS 1. Sirkel 1. Sfere 1 milliliter = 1 cm3 Radius Omtrek r 1 m3 = 1 000 liter 4 A = πr2 V =  __ 3 πr 3 Omtrek = 2πr Buite-oppervlakte = 4πr2 © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE 141 Mind the Gap Wiskunde

7 Eenheid Aktiwiteit 6 1. ’n Drinkglas, in die vorm van ’n silinder (hier aangetoon), moet 200 ml vloeistof hou wanneer dit vol is. Bepaal die waarde van r waarvoor die totale buite-oppervlakte van die glas ’n minimum is. (6) 2. ’n Reghoekige boks word op só ’n Hoogte = h manier gemaak dat die lengte (l) van die basis drie keer so lank is as die wydte. Die materiaal wat gebruik word om die bokant en onderkant r van die boks te maak, kos R100 per vierkante meter. Die materiaal wat gebruik word om die sye van die boks te maak, kos R50 per vierkante meter. Die boks moet ’n volume hê van 9 m3. Laat die wydte van die boks x meter wees. 2.1 Bepaal ’n uitdrukking vir die hoogte (h) van die boks in terme van x. (3) 2.2 Toon aan dat die koste om h die boks te maak uitgedruk kan word as 1200 C = ____   x + 600x2 (3) x 2.3 Bereken die wydte van die l boks (dit is die waarde van x) as die koste ’n minimum moet wees. (4) 3. ’n Toeris reis in ’n kar oor ’n bergagtige pas gedurende sy reis. Die hoogte bo seevlak van die kar, ná t minute, word gegee as s(t) = 5t3 − 65t2 + 200t + 100 meter. Die reis neem 8 minute. 3.1 Hoe hoog is die kar bo seevlak wanneer dit sy reis oor die bergpas begin? (2) 3.2 Bereken die kar se tempo van verandering van hoogte bo seevlak met betrekking tot tyd, 4 minute nadat die reis oor die bergpas begin het. (3) 3.3 Interpreteer jou antwoord op VRAAG 3.2 (2) 3.4 Hoeveel minute nadat die reis begin het, sal die tempo van verandering van hoogte met betrekking tot tyd ’n minimum wees? (3) Oplossings 1. Bepaal ’n vergelyking waarvoor jy wil verklein: Buite-oppervlakte van glas = oppervlakte van basis + oppervlakte van geboë oppervlak Dus S = πr2 + 2πrh 3 Omdat jy nie die afgeleide kan neem as daar twee verskillende veranderlikes in die vergelyking (r en h) is nie, moet jy ander inligting gebruik om jou te help om die vergelyking te kry waarvoor jy wil verklein in terme van slegs een veranderlike. Ons weet die glas hou 200 ml = 200 cm3. Die volume van die glas is πr2h 200 Dus πr2h = 200 dus h = ___   πr2 3 142 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 7 En dus kan ons sê S = πr2 + 2πr ___ (200 )   πr2   = πr2 + ___ 400   r 3 Nou is die enigste veranderlike r, want π is ’n konstante. Skryf S op ’n manier sodat dit maklik is om die afgeleide te bepaal: S = πr2 + 400r−1 Neem die afgeleide van die funksie wat jy wil verklein: S´ = 2πr − 400r−2 3 Stel die afgeleide gelyk aan 0: 2πr − 400r−2 = 0 2πr = 400r−2 2πr3 = 400 r≠0 r3 =  400 ___ 3 2π ___ √ 2π so r = 3   400 ___  ≈ 3.99 cm 3(6) 2.1 Volume = l × b × h 3 9 = 3x.x.h 9 = 3x2h 3 3 h = __   x2 3 (3) 2.2 C = [ 2(3xh) + 2xh ]× 50 + (2 × 3x2 )× 100 (2(3xh) + 2xh) × 50 + (2 × 3x2) × 100 3 (3 ) = 8x__   x2   × 50 + 600x2 3 1200 = ____   x 600x2 3(3) 1200 2.3 C = ____   x + 600x2 = 1200x−1 + 600x2 3 dC ___   dx = − 1200x−2 + 1200x 3 1200 0 = − ____   x2 + 1200x 3 ∴ 1200x3 = 1200 x3 = 1 x = 1 3(4) 3.1 s(t) = 5t3 − 65t2 + 200t + 100 t = 0 Daarom is dit 5(0)3 – 65(0)2+ 200(0) + 100 = 100 meter 33 (2) 3.2 s´(0) = 15t2 − 130t + 200 3 s´(4) = 15(4)2 − 130(4) + 200 3 = – 80 meter per minuut 3 (3) 3.3 Die hoogte van die kar bo seevlak neem af teen 0 meter per minuut en die kar ry afwaarts, daarom is dit ’n negatiewe koers van verandering. 33 (2) 3.4 s´(t) = 15t2 − 130t + 200 s´´(t) = 30t − 130 3 30t = 130 3 ∴t =  130 ___ 3 30    • t = 4.3 3 (3) [26] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE 143 Mind the Gap Wiskunde

7 Eenheid Wat jy moet kan doen: • Bepaal die gemiddelde gradiënt tussen twee punte op ŉ kromme • Differensieer vanaf eerste beginsels • Differensieer met gebruik van die reëls • Bepaal die vergelyking van raaklyne • Gebruik die res- en faktorstelling om faktore van vergelykings in die derdegraad te bepaal • Los vergelykings in die derdegraad op • Teken ŉ sketsgrafiek van ŉ derdegraadsfunksie met die x- en y-afsnitte, draaipunte en/of stasionêre punte • Bepaal die koördinate van die punt van infleksie • Bespreek die aard van stasionêre punte insluitend lokale minimum, lokale maksimum en punte van infleksie • Gebruik differensiasie om ŉ vergelyking te vergroot of te verklein Feb/Maart 2014 Vraag 10, 11 en 12 November 2013 Vraag 8, 9 en 10 Feb/Maart 2012 Vraag 8, 9, 10 en 11 November 2012 Vraag 8, 9 en 10 Feb/Maart 2011 Vraag 9, 10 en 11 November 2011 Vraag 8, 9, 10 en 11 Feb/Maart 2010 Vraag 10, 11 en 12 November 2010 Vraag 8, 9, en 10 Feb/Maart 2009 Vraag 11, 12 en 13 November 2009 Vraag 10, 11, en 12 Ongebruikte vraestel Vraag 9, 10, en 11 November 2008 Vraag 8, 9, en 10 Hou so aan! 144 EENHEID 7 DIFFERENSIAALREKENE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 Waarskynlikheid 8.1 Hersiening Waarskynlikheid is die studie van hoe waarskynlik dit is dat ŉ gebeurtenis sal plaasvind. Die volgende vrae is tipiese waarskynlikheidsvrae: • Wat is die kans dat dit more sal reën? • As ek ŉ Lotto-kaartjie koop, wat is die kans dat ek die Lotto sal wen? Ons kan ŉ waarskynlikheidskaal gebruik om te besluit wat die kans is dat ŉ gebeurtenis sal plaasvind. 1 1 3 0  __ __ __ 4   2   4 1 Onmoontlik Geringe kans; Redelike kans Goeie kans, Verseker; 0% onwaarskynlik baie waarskynlik; definitief maar moontlik 75% 100% 25% CIAL ATTENTION NB • Ons kan die waarskynlikheid uitwerk met die formule: aantal gunstige uitkomste Waarskynlikheid =  _________________       aantal moontlike uitkomste • Hierdie verhouding kan as ’n gewone breuk, ’n desimale breuk of ’n persentasie uitgedruk word. Dus, ’n waarskynlikheid van 5 uit 8 kan geskryf word as  _5 of as 0,625 of as 62,5%. 8 rked examples • Waarskynlikheid lê altyd tussen 0 en 1, gemeet as ’n breuk of ’n desimaal. Indien waarskynlikheid as ’n persentasie gewys word, dan lê dit tussen 0% en 100%. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 145 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid 8.2 Teoretiese waarskynlikheid en relatiewe frekwensie As jy ŉ muntstuk opskiet: • Is die moontlike uitkomste K (kop) of M (munt). • Is daar twee moontlike uitkomste. Elkeen het ŉ 50% kans om plaas te vind. • Sê ons dat daar ŉ teoretiese 1 waarskynlikheid van __ 2 is vir elke uitkoms. Die teoretiese waarskynlikheid om die uitkoms munt (M) te kry, word geskryf as P(M). 1 P(H) =  __ 2 PAY SPECIAL ATTENTION NB Relatiewe frekwensie NB Probeer hierdie eksperiment: PAY SPECIAL ATTENTION NB • Skiet ŉ NBmuntstuk 10 keer op. Het dit presies 5 uit die 10 keer op HINT! wenkmunt geland? Relatiewe frekwensie word empiriese waarskynlikheid of eksperimentele HINT! bv. 1 EG - worked examples wenk genoem. waarskynlikheid • exams Mantse skiet ’n muntstuk 10 keer op en dit land 7 keer op munt. Hoewel die teoretiese 7 Dus, vir haar eksperiment is die relatiewe frekwensie van munt __   10 . waarskynlikheid om kop te 1 • Jake skiet ’n muntstuk 100 keer op en teken die resultate op. Sy kry __   2 is, wys jou eksperiment bv. dit dikwels nie presies EG - worked examples rekord wys dat hy 55 keer kop gekry het. Dus is die relatiewe 55 ___ nie. Die resultate van jou activity van kop   100 . Daarom is die relatiewe frekwensie van frekwensie 45 ___ eksperiment gee vir jou die munt   100 . ACTIVITIES boy and girl-left and right of page relatiewe examsfrekwensie om • Jake skiet die muntstuk 1 000 keer op. Nou is dit waarskynlik dat kop te kry in daardie bepaalde activity kop en munt dieselfde aantal kere sal plaasvind. Dit is waarskynlik eksperiment. dat hy 499 tot 501 keer kop sal kry. Die relatiewe frekwensiecomment is gelyk aan of naby aan die teoretiese __1 comment waarskynlikheid van   2 . Step by step activity ACTIVITIES boy IAL ATTENTION NB and girl-left and right of page activity • ’n GEBEURTENIS is ’n voorval of ’n aktiwiteit met uitkomste of resultate. Byvoorbeeld: Om ’n ewe getal te kry is ’n gebeurtenis met gegewe uitkomste. • ’n UITKOMS is die moontlike gevolg van ’n gebeurtenis. comment comment Byvoorbeeld: Step by step ked examples Die moontlike uitkomste om ’n dobbelsteen te gooi is 1, 2, 3, 4, 5 en 6. • Die STEEKPROEFRUIMTE is die versameling van alle moontlike uitkomste. 146 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 8.3 Venn-diagramme Ons gebruik Venn-diagramme om ons te help om verskillende gebeurtenisse voor te stel. Venn-diagramme bestaan uit sirkels en ŉ reghoek. Die reghoek S verteenwoordig die steekproefruimte (al die moontlike uitkomste). Elke sirkel binne S verteenwoordig ŉ ander gebeurtenis. As die twee sirkels mekaar sny, wys die snyding watter uitkomste aan albei gebeurtenisse behoort. S (steekproefruimte) Gebeurtenis Gebeurtenis A EN Gebeurtenis A B Gebeurtenis B PAY SPECIAL ATTENTION NB NB HINT! wenk bv. 2 EG - worked examples PAY SPECIAL ATTENTION 1.exams Teken ’n Venn-diagram om die steekproefruimte aan te toon NB S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Dui die volgende gebeurtenisse in die steekproefruimte aan: Gebeurtenis A is die versameling priemgetalle. HINT! ∴A = activity {2; 3; 5; 7} wenk Gebeurtenis B is die versameling ewe getalle. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page ∴B = {2; 4; 6; 8; 10} • Albei versamelings het activity ’n 2 in, dusEGmoet A en B bv.mekaar sny. - worked examples Oplossing comment comment • Skryf 2 in die snyding. Step by step S • Skryf dan die oorblywende exams getalle in elke gebeurtenis neer. A • Kyk of daar enige getalle B 3 8 is wat nie in Gebeurtenis 2 6 A of Gebeurtenis B is nie. 5 4 • 1 en 9 is deel van die 7 10 activity maar steekproefruimte, 1 9 dit is nie in A of in B nie. ACTIVITIES boy and girl-left and Skryf dit in die reghoek, right of page maar nie in A of in B nie. activity comment c Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 147 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid HINT! wenk bv. 3 EG - worked examples Gebruik die Venn-diagram in die vorige voorbeeld om die volgende te bepaal: exams 1. P(A) 2. P(B) 3. activity P(A en B) ACTIVITIES boy and girl-left and 4. P(A of B) right of page activity Oplossings 4 1. P(A) = __  10 =  _25 comment comment 5 Step1 2. P(B) =  __ _by step 10 =  2 1 3. P(A en B) =  __ 10 8 4 4. P(A of B) = __  10 = __  5 PAY SPECIAL ATTENTION NB NB • P(A) + P(B) – P(A en B) 4 5 1 8 4 =  __ __ __ __ __ 10 +  10 –  10 =   =  5 HINT! 10 • wenk 8 4 P(A of B) =  __ __ 10 =  5 ∴P(A of B) = P(A)+P(B) – P(A en B) bv. EG - worked examples exams activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment Step by step 148 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 8.4 Onderling uitsluitende gebeurtenisse Onderling uitsluitende gebeurtenisse is gebeurtenisse wat nie op dieselfde tyd kan plaasvind nie. Daar is geen snyding tussen die gebeurtenisse nie. • Onderling: van toepassing op twee of meer mense of gebeurtenisse. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB • Uitsluit: om uit te hou, om nie ŉ persoon toe te laat nie. • Onderling uitsluitend: Albei gebeurtenisse hou die ander een uit. Daar is dus geen uitkoms wat terselfdertyd in albei gebeurtenisse HINT! wenkan plaasvind nie. bv. 4 EG - worked examples As jy ’n dobbelsteen gooi, is dit onmoontlik dat dit gelyktydig op ’n 1 en exams ’n 6 sal land. Dus P(1) en P(6) is onderling uitsluitend. Wanneer jy ’n dobbelsteen gooi, wat is die kanse om ’n 6 of ’n 1 te kry? 1 1 2 1 Dus P(1 of 6) = P(1) + P(6) = __   6 + __   6 = __   6 = __   3 1 Dus isactivity die kans om óf ’n 1 óf ’n 6 te kry __   3 of 33,3% ACTIVITIES boy and girl-left and S: Moontlike uitkomste wanneer right of page activity ŉ dobbelsteen gegooi word Gooi ’n 5 comment comment Step by step Gooi ’n 1 Gooi ’n 6 PAY SPECIAL ATTENTION NB N Gooi ’n 4 Gooi ’n 2 Gooi ’n 3 HINT! Wanneer twee gebeurtenisse onderling uitsluitend is, P(A en B) = 0 wenk As P(A en B) ∴P(A of B) = P(A) + P(B) vir onderling uitsluitende = 0 of as P(A of B) = P(A) + gebeurtenisse bv. P(B), dan is dieEGgebeurtenisse - worked examples onderling uitsluitend. Ons kan ook hierdie reël vir die aantal elemente of uitkomste in elke gebeurtenis gebruik, as die gebeurtenisse onderling uitsluitend is: exams n(A of B) = n(A) + n(B) Wanneer twee gebeurtenisse onderling uitsluitend is, dan oorvleuel hulle nie. Daarom is die snyding van A en B leeg en skryf ons A∩B = ∅ (leë versameling) en P(A∪B) = 0 activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment co © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 149 Mind the Gap Wiskunde Step by step

8 Eenheid PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 8.5 Komplementêre HINT! gebeurtenisse wenk Gebeurtenisse wat onderling uitsluitend is en uit die hele steekproefruimte • Komplement: bestaan, word komplementêre gebeurtenisse genoem. Daar is geen (s.nw) iets wat ’n snyding nie en geen elemente van die steekproefversameling is buite die bv. gebeurtenisEGvoltooi; - worked examples dit twee versamelings nie. voeg by wat ontbreek om die hele te vorm. Die moontlike gebeurtenisse wanneer jy ŉ dobbelsteen gooi is 1; 2; 3; 4; • Komplementêre: (b.nw) 5 of 6. exams 1 ’n gebeurtenis wat ander Die waarskynlikheid om ŉ 4 te gooi is __  6 . gebeurtenisse voltooi of daartoe bydra om die hele Die waarskynlikheid om nie ŉ 4 te S: Moontlike uitkomste wanneer 5 steekproefruimte te vorm gooi nie, is  __ 6 . ŉ dobbelsteen gegooi word Dus is die gebeurtenis om nie ŉ 4 Gooi ’n 5 activity te gooi nie, die komplement van die gebeurtenis om ŉ 4 te gooi. Gooi ’n 1 Gooi ’n 6 ACTIVITIES boy 1 5 Dus P(4) + P(4´ ) =  __ __ and girl-left and right of page 6 +  6 = 1 Gooi ’n 4 activity Die komplementêre reël: Gooi ’n 2 Gooi ’n 3 P(A´) + P(A) = 1 of P(A´) = 1 – P(A) P(A´) beteken die waarskynlikheid van “nie A nie”. comment comment In die voorbeeld, n(nie ŉ 4 gooi nie) + n(gooi ŉ 4) = 5 + 1 = 6 Step by step Aktiwiteit 1 1. As S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, A = {1; 3; 5; 7} en B = {2; 4; 6}, wat is die moontlikheid om ’n getal te kies wat nie in versameling A is nie? (2) 2. S = {a; b; c; d; e; f; g; h; i; j} en A = {a; e; i}, B = {b; c; d; f; g; h}, C = {b; h; j}. a) Teken ’n Venn-diagram om S te verteenwoordig. (4) b) Gee ’n beskrywing van versameling A. (1) c) Is daar enige komplementêre versamelings? Verduidelik. (2) d) Watter versamelings is onderling uitsluitend, maar nie komplementêr nie? Gee ’n rede vir jou antwoord. (2) 3. ’n DVD-winkel het 180 komedies, 250 dramas, 230 wetenskapfiksie en 120 rillers. As jy ’n DVD willekeurig kies, wat is die waarskynlikheid dat die fliek ’n komedie OF ’n riller is? (3) [14] 150 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 Oplossings 4 3 1. P(A´ ) = 1 – P(A) = 1 –  __7 = __  7 33 (2) 2. a) S A C e g j bh a d f i c B 3333(4) b) Versameling A is die versameling klinkers van a tot j; of die versameling van die eerste drie klinkers van die alfabet. 3 (1) c) Versameling A en B is nie komplementêr nie want hulle sluit nie element j in nie. Versameling A en C is ook nie komplementêr nie. Versameling B en C deel elemente b en h, dus is hulle nie onderling uitsluitend of komplementêr nie. 33 (2) d) Versameling A en B is onderling uitsluitend, maar hulle is nie komplementêr nie. Hulle deel nie enige elemente nie, maar hulle bestaan nie uit die hele steekproefruimte nie. Versameling A en D is ook onderling uitsluitend, maar nie komplementêr nie. 33 (2) 3. Geen DVD is ’n komedie sowel as ’n riller nie, so daar is geen oorvleueling in gebeurtenisse nie. Dit is onderling uitsluitend (maar nie komplementêr nie). Daar is 250 + 230 + 120 = 600 DVD’s in die steekproefruimte. Gebruik P(A of B) = P(A) + P(B). P(komedie of riller) = P(komedie) + P(riller) 180 120 300 5 = ___  780 3 + ___  780 3 = ___  780 = __  13 3 (3) [14] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 151 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid 8.6 Gebeurtenisse wat nie NB PAY SPECIAL ATTENTION NB onderling uitsluitend is nie HINT! wenk Partykeer het twee gebeurtenisse ŉ paar uitkomste wat dieselfde is. bv. 5 EG - worked examples exams S 4 8 10 1 3 activity 6 9 5 ACTIVITIES boy and girl-left and 12 7 11 right of page activity A 2 B comment comment Step by step Die steekproefruimte S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} In die steekproefruimte is gebeurtenis A die versameling veelvoude van 3 Dus Versameling A = {3; 6; 9; 12} Gebeurtenis B is die versameling onewe getalle. Dus B = {1; 3; 5; 7; 9; 11} gunstige uitkomste 4 1 P(A) = ________________      __ __    =   =   moontlike uitkomste 12 3 6 1 P(B) = __   12 = __   2 4 6 10 Dus P(A) + P(B) =  __ __ __ 12 +   12 =   12 P(A of B) is die kans om die getalle in versameling A of in versameling B te kry. Ons kan nie die 3 en die 9 vir albei versamelings tel nie. Ons kan nie die getalle in die snyding van versameling A en versameling B herhaal nie. 8 Dus P(A of B) =  __ 12 . Dus P(A) + P(B) ≠ P(A of B) Om hulle gelyk te maak, moet ons die waarskynlikheid van die snyding, P(A ∩ B) aftrek. 4 6 2 8 P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = __   12 + __   12 – __   12 = __   12 Dit is die antwoord wat ons gekry het vir P(A of B). Die OPTEL-reël vir die waarskynlikheid van ENIGE twee gebeurtenisse in ’n steekproefruimte: P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Ons kan ook hierdie reël gebruik vir die aantal elemente of uitkomste in elke versameling: n(A of B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 152 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 Aktiwiteit 2 In ’n groep van 50 leerders, studeer 35 Wiskunde en 30 studeer Geskiedenis. 12 leerders studeer nie Wiskunde of Geskiedenis nie. 1. Teken ’n Venn-diagram om hierdie inligting voor te stel. (4) 2. As ’n leerder willekeurig uit hierdie groep gekies word, wat is die waarskynlikheid dat hy Wiskunde sowel as Geskiedenis studeer? (2) [6] Oplossings 1. Gebruik W vir Wiskunde en G vir Geskiedenis S W G 8 3 x 12 3333 (4) – Teken die steekproefruimte en versamelings vir die gebeurtenisse W en G. – Ons weet nog nie hoeveel leerders (uitkomste) in die snyding van W en G is nie. Dus, laat M ∩ H = x – Ons weet dat 12 leerders nie in W of G is nie. 35 – x + x + 30 – x + 12 = 50 –x = –27 x = 27 Dus, skryf 27 in die snyding van W en G. W = 35 – 27 = 8 G = 30 – 27 = 3. 27 2. P(W en G) = __  50 33 (2) [6] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 153 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid 8.7 Opsomming van simbole en versamelings wat in waarskynlikheid gebruik word Daar is party simbole wat jy moet gebruik wanneer jy waarskynlikheid beskryf. Ons het reeds party daarvan gebruik. Om die gebruik van elke simbool te verduidelik, gaan ons hierdie versamelings weer gebruik: S = {a; b; c; d; e; f; g; h; i} en A = {a; e; i}, B = {a; b; c; d; f; g;}, waar S = steekproefruimte, A en B is twee versamelings in die steekproefruimte. P(A) (A) beteken die waarskynlikheid dat ŉ element van versameling A sal plaasvind. 3 1 P(A) =  __ __ 9 =  3 n(A) n(A) beteken die aantal elemente in versameling A. n(A) = 3 A´ A´ beteken al die elemente van die steekproefruimte wat NIE in versameling A is nie. Dit is die komplement van versameling A. A´ = {b; c; d; f; g; h} ∪ A ∪ B beteken dieselfde as A OF B Dit beteken die vereniging van die twee versamelings en verteenwoordig die totaal van al die elemente wat in versameling A of versameling B is. Geen elemente word herhaal nie. A ∪ B = {a; b; c; d; e; f; g; i} ∩ A ∩ B is dieselfde as A en B Dit beteken die snyding van versameling A en B en verteenwoordig al die elemente wat hulle deel. (Al die elemente wat gelyktydig in versameling A en B is.) Dit is waar die versamelings oorvleuel. A ∩ B = {a} P(A ∩ B) P(A ∩ B) beteken die waarskynlikheid dat ŉ element van (A ∩ B) 1 sal plaasvind. P(A ∩ B) =  __ 9 P(A ∪ B) P(A ∪ B) beteken die waarskynlikheid dat ŉ element van (A ∪ B) 8 sal plaasvind. P(A ∪ B) =  __ 9 n(A ∪ B) n(A ∪ B) beteken die aantal elemente in versameling A of versameling B n(A ∪ B) = 8 n(A ∩ B) n(A ∩ B) beteken die aantal elemente in versameling A en versameling B op dieselfde tyd (die elemente wat hulle deel). n(A ∩ B) = 1 (A ∩ B)´ (A ∩ B)´ beteken al die elemente van die steekproefruimte wat NIE in (A ∩ B), is nie, die komplement van A ∩ B. (A ∩ B)´ = {b; c; d; e; f; g; h; i} (A ∪ B)´ (A ∪ B)´ beteken al die elemente van die steekproefruimte wat NIE in (A ∪ B) is nie. (A B)´ = {h} 154 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 AB AB AB OF Die geskakeerde dele verteenwoordig: Die geskakeerde deel (A of B) of (A ∪ B) verteenwoordig: (A en B) of (A ∩ B) Jy moet ook in staat wees om met hierdie drie versamelings in waarskynlikheid te werk, deur ŉ Venn-diagram en die formules te gebruik. A B A B A B C C C Die geskakeerde dele verteenwoordig: (A of B of C) of (A ∪ B ∪ C) A B A B C C Die geskakeerde deel verteenwoordig: Die geskakeerde deel verteenwoordig: (A en B en C) of (A ∩ B ∩ C) (A en C) of (A ∩ C) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 155 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid HINT! wenk bv. 6 EG - worked examples ’nexams Opname word gedoen met ’n groep van 50 leerders om uit te vind wat die gewildste is by die skoolsnoepie. Hulle word gevra of hulle gewoonlik geroosterde toebroodjies (T), slaai (S) of burgers (B) koop. Hulle kan geen, een, twee of drie van die maaltye kies. activity Die opname se resultate word met hierdie Venn-diagram aangetoon: ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity S T 2 10 15 comment comment Step by step 1 3 5 4 B a) Hoeveel leerders het nie slaai, geroosterde toebroodjies of burgers gekoop nie? b) Bereken die waarskynlikheid dat ’n leerder wat ewekansig uit hierdie opname gekies is: i) slaai koop, maar nie geroosterde toebroodjies of burgers nie. ii) geroosterde toebroodjies en slaai koop, maar nie burgers nie. iii) slaai of burgers of albei koop, maar nie geroosterde toebroodjies nie. Oplossings a) 50 – (15 + 2 + 10 + 1 + 3 + 5 + 4) = 50 – 40 = 10 10 leerders het nie een van die items wat gelys is, gekoop nie. 10 1 2 1 10+5+4 19 b) (i) __  50 = __  5 (ii) __  50 = __  25 (iii) ______   50 = __  50 156 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 Aktiwiteit 3 ’n Skool het ’n kamp vir 103 Graad 12-leerders gehou. Die leerders is gevra watter kos hulle op die kamp wil eet. Hulle het ’n keuse gehad uit hoender (H), groente (G) en vis (V). Die volgende inligting is versamel: • 2 leerders eet nie hoender, groente of vis nie • 5 leerders eet net groente • 2 leerders eet net hoender • 21 leerders eet nie vis nie • 3 leerders eet net vis • 66 leerders eet hoender en vis • 75 leerders eet groente en vis Laat die aantal leerders wat hoender, groente en vis eet, x wees. a) Teken ’n Venn-diagram om die inligting voor te stel. (6) b) Bereken x. (3) c) Bereken die waarskynlikheid dat ’n leerder die volgende ewekansig kies: i) Eet net hoender en vis, en nie groente nie. (2) ii) Eet enige TWEE van die gegewe koskeuses: hoender, groente en vis. (2) [13] Oplossings a) Vul enige gegewe inligting in wat H G jy kan. y Ons weet nog nie waar hierdie 5 2 inligting moet kom nie: x – 21 leerders eet nie vis nie 66–x – 66 leerders eet hoender en vis 2 75–x Laat x dus die leerders wees wat 3 hoender, vis en groente eet. V Dan is 66 – x leerders wat net hoender en vis eet. Stel y in, die leerders wat nie vis eet nie, maar net hoender en groente. Dan is 2 + y + 5 + 2 = 21 ∴y = 12 333333(6) b) 2 + 12 + 5 + 66 – x + x + 3 + 75 –x + 2 = 103 33 –x + 165 = 103 –x = –62 x = 62 3 (3) 66–x ___ ____ 4 c) (i)   103 =  103 33 (2) 4+12+13 29 (ii) _______   103 = ___  103 33 (2) [13] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 157 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid 8.8 Boomdiagramme en gebeurlikheidstabelle PAY SPECIAL ATTENTION 1. NBOnafhanklike gebeurtenisse NB Twee opeenvolgende gebeurtenisse is onafhanklik indien die uitkomste van die een gebeurtenis nie die uitkoms van die ander HINT! wenkgebeurtenis beïnvloed nie. bv. 7 EG - worked examples Die waarskynlikheid dat ’n muntstuk opgeskiet word en op kop land, is exams 1 P(K) =  __2 . Wat is die waarskynlikheid dat twee muntstukke opgeskiet word en op kop land? activity Oplossing ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Daar is vier moontlike uitkomste: activity K en K; K en M; M en K; M en M. 1 Dus is K en K 1 uit 4 uitkomste en P(K en K) =  __4 . comment comment Step by step ŉ Boomdiagram is ŉ prentjie wat jou help om alle moontlike uitkomste van die gebeurtenisse te lys. Hier is die boomdiagram vir P(K en K) as jy ŉ muntstuk twee keer opskiet: 1ste opskiet 2de opskiet uitkomste 1  __ 2 K KK 1 __   2 K 1 __ KM   2 M 1 __ K 1  __   2 MK 2 M 1  __ 2 M MM Die boomdiagram wys 4 uitkomste. Elke keer wat jy die muntstuk opskiet, is die uitkoms (kop of munt) nie afhanklik van die uitkomste van die laaste opskiet nie. Hierdie twee gebeurtenisse is dus onafhanklik van mekaar. 158 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 HINT! wenk bv. 8 EG - worked examples Jyexams het ’n pak kaarte (geen “jokers” nie). Wat is die waarskynlikheid van hierdie twee gebeurtenisse? activity – Gebeurtenis A: Trek ’n ACTIVITIES boy hartkaart uit ’n pak kaarte en and girl-left and right of page sitactivity dit terug. Daar is 52 kaarte in ’n pak. Daar is 4 – Gebeurtenis B: Trek weer ’n kleure: hartkaart uit die pak kaarte. harte, skoppens, diamante en klawers A en B is onafhanklike gebeurtenisse. comment Om ŉ kaart te trek, beteken om comment Ongeag watter kaart in Gebeurtenis een uit die pak te kies Step by step A getrek word, dit word teruggesit in die pak. Die uitkoms van Gebeurtenis B is dus nie afhanklik van die uitkoms van Gebeurtenis A nie. Boomdiagram Hier is die boomdiagram vir alle moontlike uitkomste van die twee gebeurtenisse. Gebeurtenis A Gebeurtenis B Uitkomste vir hart en dan hart 13 13 ___ ___ 13 __ 1 __ 1 ___1 hart   ___ 52 52 ×   52 =  4 ×   4 =  16 hart 13 ___   52 nie ŉ ___39 hart nie   52 1 __ 13 P(A en B) =   16 nie ŉ hart  ___ 52 Vergelyk dit met: hart nie 39 nie ŉ 39   14 – __ P(A) × P(B) = – __   14 =   16 1 __  ___ 52 ___ hart nie   52 ∴ P(A en B) = P(A) × P (B) Gebeurtenisse is onafhanklik as die waarskynlikheid dat een gebeurtenis plaasvind nie beïnvloed word deur ’n ander gebeurtenis wat plaasvind nie. P(A en B) = P(A) × P(B)……..indien die gebeurtenisse onafhanklik is 2. Afhanklike gebeurtenisse Twee opeenvolgende gebeurtenisse is afhanklik as die uitkoms van die een gebeurtenis die uitkoms van die ander gebeurtenis beïnvloed. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 159 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid HINT! wenk bv. 9 EG - worked examples Wat is die waarskynlikheid van hierdie twee gebeurtenisse? exams – Gebeurtenis A: Trek ŉ hartkaart uit ŉ gewone pak kaarte en sit dit nie terug nie. – Gebeurtenis B: Trek weer ŉ hartkaart uit die res van die pak (51 activity kaarte oor). ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Oplossing activity A en B is afhanklike gebeurtenisse, want Gebeurtenis B is afhanklik van die uitkoms van Gebeurtenis A. comment comment Hier is ’n boomdiagram Step by step vir Gebeurtenis A en Gebeurtenis B. Gebeurtenis A Gebeurtenis B Uitkoms van hart dan hart 13 12 156 1 hart __   12 hart  ___ ___ _____ ___ 52 ×   51 =  2 652 ×   17 51 ___13   52 nie __   39 hart nie 51 1 __ hart __ 13   51 P(A en B) =   17 nie ŉ Vergelyk dit met: hart nie __ 39 nie __ 38   1 × __ P(A) × P(B) = __   1 =   1 __   52 hart nie   51 4 4 16 ∴ P(A en B) ≠ P(A) × P (B) Wanneer die gebeurtenisse afhanklik is. Gebeurtenisse is afhanklik as die waarskynlikheid dat een gebeurtenis plaasvind, ’n invloed het op hoe ’n ander gebeurtenis plaasvind. P(A en B) ≠ P(A) × P(B)…………. vir afhanklike gebeurtenisse 160 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 8.9 Gebeurlikheidstabelle Ons kan ook ŉ gebeurlikheidstabel gebruik om alle moontlike uitkomste van gebeurtenisse voor te stel. Kyk na dieselfde voorbeeld wat ons vir die boomdiagram op bladsy 159 gebruik het: Wat is die waarskynlikheid van hierdie twee gebeurtenisse? – Gebeurtenis A: Trek ŉ hartkaart uit ŉ pak kaarte en sit dit terug. – Gebeurtenis B: Trek weer ŉ hartkaart uit die pak kaarte. Ons kan ŉ gebeurlikheidstabel van moontlike uitkomste maak met kolomme vir die soort kaart wat getrek word en rye vir die gebeurtenisse: Getalle in elke ry hart nie hart nie Totaal word opgetel en gee die totaal aan die Gebeurtenis A 13 39 52 regterkant. Gebeurtenis B 13 NB 39 52 Getalle in elke PAY SPECIAL ATTENTION NB Totaal 26 78 104 kolom word opgetel en gee die totaal HINT! aan die onderkant wenk van die tabel. bv. 10 EG - worked examples Die haarkleur van 50 leerders is opgeteken. Die tabel hieronder stel die exams inligting voor. Meisies Seuns Totaal Swart 10 12 22 activity Bruin ACTIVITIES boy and girl-left and 8 9 17 right of page Blond activity 6 5 11 Totaal 24 26 50 Bereken die waarskynlikheidcomment dat ’n leerder wat ewekansig gekies is: comment 1) bruin hare het Step by step 2) blonde hare het 3) swart hare of bruin hare het 4) blonde hare of bruin hare of swart hare het Oplossings 17 1) 17 leerders het bruin hare uit ’n totaal van 50 ∴P (bruin hare) = __  50 11 2) 11 leerders het blonde hare uit ’n totaal van 50 ∴P (blonde hare) = __  50 3) 22+17=39 leerders het swart hare of bruin hare uit ’n totaal van 50 39 ∴ P (swart of bruin hare) = __  50 4) 22+17+11=50 leerders het swart of bruin of blonde hare uit ’n totaal van 50 50 ∴ P (swart of bruin of blonde hare) =  __ 50 = 1 © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 161 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid NB Aktiwiteit 4 1. P(A) = 0,45; P(B) = 0,3 en P(A of B) = 0,165. Is die gebeurtenisse A en B: a) onderling uitsluitend b) onafhanklik (7) 2. Wat is die waarskynlikheid om ten minste een ses te gooi uit die vier keer wat ’n dobbelsteen gegooi word? (3) 3. Wat is die waarskynlikheid om vier 6’e agter mekaar te gooi uit die vier keer wat ’n dobbelsteen gegooi word? (3) 4. As twee dobbelstene gelyk gegooi word, wat is die waarskynlikheid dat die som van die twee getalle 9 is? (3) [16] Oplossings 1. a) P(A of B) = P(A) + P (B) – P(A en B) S boy ft and Gebeurtenisse A en B is onderling uitsluitend as P(A en B) = 0 age ∴ as gebeurtenisse onderling uitsluitend is, dan P(A of B) = P(A) + P(B) P(A of B) = 0,165 P(A) + P(B) = 0,45 + 0,3 = 0,75 33 ∴ P(A of B) ≠ P(A) + P(B) 3 (3) comment Gebeurtenisse A en B is nie onderling uitsluitend nie. ment b) Gebeurtenisse A en B is onafhanklik as P(A en B) = P(A) × P(B) Om P(A en B) uit te werk, gebruik die reël vir P(A of B): P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B) vir alle gebeurtenisse A en B 0,165 = 0,45 + 0,3 – P(A en B) 33 ∴ P(A en B) = 0,75 – 0,165 = 0,585 3 But P(A) = 0,45 en P(B) = 0,3 ∴ P(A) × P(B) = 0,45 × 0,3 = 0,135 3 ∴ P(A en B) ≠ P(A) × P(B) ∴ Gebeurtenisse A en B is nie onafhanklik nie. (4) 2. Die waarskynlikheid dat jy nie ’n ses sal gooi wanneer ’n dobbelsteen 4 keer gegooi word nie, is: (5 ) 4 625  6   = ____ P(6) = __  1296 625 671 ∴ P((ten minste een 6) = 1 − ____  1296 = ____  1296 333 (3) 3. Elke keer wat die dobbelsteen gegooi word, is onafhanklik van die vorige keer. 1 1 1 1 1 P(vier 6’e in ’n ry) =  __6 × __  6 ×  __6 × __  6 = _____  1 296 333 (3) 162 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 Oplossings (vervolg) 4. Gebruik ’n tabel: Laat die kolomme dobbelsteen 1 voorstel en die rye dobbelsteen 2. Dobbelsteen 1 1 2 3 4 5 6 6 1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6 Dobbelsteen 2 5 1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5 4 1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4 3 1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3 2 1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2 1 1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1 Albei dobbelstene word 4 keer gegooi wat getalle met ’n som van 9 gee. 4 1 ∴ P(som van 9) = __  36 = __  9 333 (3) [16] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 163 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid 8.10 NB Telbeginsels PAY SPECIAL ATTENTION NB Statistiek het baie toepassings in die alledaagse lewe. Die boomdiagramme en gebeurlikheidstabelle wat tot dusver gebruik is, is nuttig as daar nie te HINT! wenkuitkomste of moontlikhede is nie. Kyk na hierdie voorbeelde. veel bv. 11 EG - worked examples 1.exams Hoeveel verskillende uitrustings bestaande uit ’n hemp en ’n broek kan gemaak word met 3 hemde (rooi, wit of blou) en 2 broeke (swart of bruin)? HEMDE: rooi; wit en blou BROEKE: activity swart en bruin ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Oplossing activity rooi swart comment wit comment bruin Step by step blou Uitkomste: rooi/swart rooi/bruin wit/swart blou wit/bruin blou/swart   _____ ∴6 verskillende uitrustings bruin (3 × 2 = 6) 2. Hoeveel verskillende maaltye kan jy kry as die spyskaart by ’n restaurant die volgende bied: Aandete Drank Nagereg Gebraaide hoender lemoensap roomys Vis en skyfies Coca-cola appeltert Hamburger koffie tee Oplossing Ons kan 3 × 4 × 2 = 24 gebruik om die aantal verskillende maaltye uit te werk. Ons het ’n doeltreffender manier nodig om te tel en op hoogte te bly met al die moontlikhede. 164 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

NB PAY SPECIAL ATTENTION NB Eenheid 8 1. Telkombinasies (telpermutasies) Permutasie HINT! wenk ŉ Manier om a) Die aantal kombinasies (permutasies) van n verskillende items elemente van ŉ groep in ŉ spesifieke bv. 12 EG - worked examples volgorde te rangskik. Op hoeveel verskillende maniere kan jy 4 boeke op ’n exams boekrak rangskik? R P Q Noem dit P, Q, R en S. S } Daar is 6 moontlike uitkomste wat met P begin: activity P Q R S ACTIVITIES boy and girl-left and right of page P Q activity S R P R S Q P R Q S comment 24 verskillende maniere om comment P S R Q Step by step 4 boeke te rangskik P S Q R Begin nou met Q (6 moontlikhede) Begin nou met R (6 moontlikhede) Begin nou met S (6 moontlikhede) In plaas daarvan om al die moontlikhede neer te skryf, kan ons die antwoord bepaal deur die faktoriaal (!)-sleutel op ’n sakrekenaar te gebruik. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Gebruik n faktoriaal (n!): Die uitroepteken ! word die faktoriaalsimbool genoem. 4! word gelees PAY SPECIAL ATTENTION as “vier faktoriaal” en beteken 4 × 3 × 2 × 1 NB NB 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 040 b) Kombinasies van uitkomste wat nie almal van mekaar verskil nie (party HINT! wenk is dieselfde) bv. 13 Beskou die woord TAN EG - worked examples Hoeveel letterrangskikkings kan met die woord TAN gemaak word? exams Oplossings Daar is drie letters. Moontlike rangskikkings is: activity TAN TNA ANT ATN NTA NAT ACTIVITIES boy and girl-left and 3!=3 right of page activity comment comment Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 165 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid HINT! wenk bv. 14 Beskou die woord PAP EG - worked examples Hoeveel letterrangskikkings kan met die woord PAP gemaak word as die herhalende exams letters as aparte letters hanteer word? Hoeveel letterrangskikkings kan met die woord PAP gemaak word as die herhalende letters as dieselfde letter hanteer word? activity Oplossings ACTIVITIES boy and girl-left and right of page 1. Daar is drie letters. Kom ons skryf die eerste P as P1 en die tweede P as P2 activity P1AP2 P1P2A AP1P2 AP2P1 P2AP1 P2P1A ∴3! = 3 × 2 × 1 = 6 comment 2. As ons die 1 en diecomment 2 weglaat van die letter P, sal ons die volgende kombinasies kry: Step by step PAP PPA APP Daarom is daar net drie moontlike letterkombinasies uit die woord PAP 3! 3 =  __ 2! . Die 3! (die teller) dui die totale aantal kombinasies aan wat met drie letters gevorm is en die 2! (die noemer) dui die aantal kere aan wat ’n letter herhaal is. Aktiwiteit 5 1. Bepaal die aantal kombinasies wat gevorm kan word uit al die letters van die woord ABRAKADABRA. (4) 2. Bepaal die aantal kombinasies wat gevorm kan word uit al die letters van die woord ABRAKADABRA. Hierdie keer moet die eerste en laaste letter ’n A wees. (4) 3. Bepaal die aantal kombinasies wat gevorm kan word uit al die letters van die woord ABRAKADABRA. Hierdie keer moet al die A’s langs mekaar wees. (4) [12] Oplossings 1. Daar is 11 letters (dus n = 11), maar party letters word herhaal. Daar is 5 A’s; 2 B’s; 2 R’e; 1 K en 1 D. 11! Die aantal kombinasies sal _______  5!2!2!1!1! 333 = 83 160 wees. 3 (4) Op ’n sakrekenaar, gebruik die maalteken tussen faktoriaalfaktore. 2. Die eerste en laaste letters is “vas”, so daar is 9 letters wat van posisie kan verander (n = 9). Daar is 3 A’s; 2 B’s; 2R’e; 1 K en 1 D. 9! Die aantal kombinasies sal _______  3!2!2!1!1! 333= 15 120 wees. 3 (4) 3. Behandel “AAAAA” as een moontlike uitkoms, dus het ons n = 7. Daar is een AAAAA; 2 B’s; 2 R’e; 1K en 1 D. 7! Die aantal kombinasies sal _______  1!2!2!1!1! 333= 1 260 wees. 3 (4) [12] 166 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Eenheid 8 C) Die aantal kombinasies van m verskillende voorwerpe n op ’n keer HINT! wenkgeneem bv. 15 EG - worked examples Daar examsis 6 mense in ’n kamer, Noem hulle A, B, C, D, E en F. Hoeveel verskillende groepe van 2 mense is moontlik? Oplossing activity Die vraag is eintlik – hoeveel kombinasies van 2 mense (A tot F) is ACTIVITIES boy moontlik? and girl-left and right of page Ons kan dit lys: activity AB AC AD AE AF (5) of BA CA DA EA FA (5) BC BD BE BF (4) of CB DB EB FB (4) comment CD CE CF (3) comment of DC EC FC (3) Step by step DE DF (2) of EC FD (2) EF (1) of FE (1) Daar is 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 30 verskillende groepe van 2 mense. Om die antwoord te bepaal sonder om al die moontlikhede uit te skryf, kan ons die formule gebruik: m! Kombinasies: mPn = _____  (m–n)! waar m = totale aantal moontlikhede n = aantal items in ’n groep 6! 6! 6×5×4×3×2×1 Dus 6P2 = _____  (6–2)! = __  4! = ___________   4×3×2×1    = 6 × 5 = 30 Gebruik die faktoriaalsleutel op die sakrekenaar, of werk dit uit soos hier gewys NB word. PAY SPECIAL ATTENTION NB D) Die aantal kombinasies van m items geneem n op ’n keer (waar die HINT! wenkitems enige hoeveelheid kere herhaal kan word) bv. 16 EG - worked examples Inexams ’n meerkeusevraagtoets is daar 5 vrae, elkeen met 4 meerkeuse- antwoorde. Hoeveel moontlike maniere is daar om die vrae te beantwoord as jy die antwoorde raai? Oplossing activity ACTIVITIES boy Aangesien jy uit 4 and antwoorde girl-left right of page and vir elke vraag kan kies, kan jy die antwoorde met 5 “bokse” van 4 oplossings voorstel: activity 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45 = 1 024 comment comment Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 167 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid HINT! wenk bv. 17 EG - worked examples Hoeveel exams driesyfergetalle kan met die syfers 0 – 9 gemaak word as die getalle herhaal mag word? Oplossing activityvan 3 getalle: 10 “bokse” ACTIVITIES boy 10 × 10 × 10 = 103 = right1 000 and girl-left and of page activity OPSOMMING Die basiese telbeginsel: comment comment Die aantal maniere om verskeie opeenvolgende besluite te neem (noem dit Step by step m1; m2 en m3, ens...) word bepaal deur die aantal keuses wat in elke besluit geneem kan word te vermenigvuldig m1 × m2 × m3 … Kombinasies • Die aantal kombinasies van m verskillende items is m! • Die aantal kombinasies van m verskillende items waarvan: m! a eenders is, b eenders is, c eenders is, is:  ________ a! × b! × c! • Die aantal kombinasies van m items n op ’n keer geneem, wanneer elkeen van die items enige aantal kere herhaal mag word, is: m × m × m × m × … tot n faktore = mn keer. • Die aantal maniere wat m items n op ’n keer gerangskik kan word, is m! m Pn =  _____ (m–n)! 168 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 Aktiwiteit 6 1. By Angelo se pizzaplek kan jy kies uit 6 verskillende soorte pasta en 28 verskillende souse. Hoeveel verskillende maaltye van 1 soort pasta en 1 soort sous kan jy eet? (2) 2. Op hoeveel verskillende maniere kan jy 7 boeke op ’n boekrak rangskik? (2) 3. Op hoeveel verskillende maniere kan 9 meisies aan een kant van ’n tafel sit? (2) 4. Op hoeveel verskillende maniere kan ’n drieletterwoord gemaak word uit die letters c; d; e; f sonder om enige letters te herhaal? (3) 5. Hoeveel moontlike keuses kan gemaak word in ’n meerkeusevasvra as daar 4 vrae met 3 antwoorde elk is? (3) 6. Hoeveel verskillende kombinasies kan gemaak word met die letters van LIMPOPO? (4) 7. Hoeveel driesyfergetalle kan met die syfers 1 – 5 gemaak word as: a) herhalings toegelaat word (2) b) herhalings nie toegelaat word nie (3) 8. ’n Kode word gemaak met die formaat XYY waar X enige letter in die alfabet is en Y enige syfer van 0 tot 9 verteenwoordig. a) Hoeveel moontlike kodes kan gevorm word as die letters en syfers herhaal word? (3) b) Hoeveel moontlike kodes kan gevorm word as die letters en syfers nie herhaal word nie? (3) [27] Oplossings 1. 6 × 28 = 168 verskillende maaltye. 33 (2) 2. 7! = 5 040 verskillende maniere waarop 7 boeke op ’n boekrak rangskik kan word. 33 (2) 3. 9! = 362 880 verskillende maniere waarop 9 meisies aan een kant van die tafel kan sit. 33 (2) 4! 4! 4. 4P3 = _____  (4–3)! = __  1! = 24 maniere wat ’n 3-letter-woord van c; d; e; f gemaak kan word sonder herhaling. 333 (3) 5. 4 “bokse” van 3 ∴ 3 × 3 × 3 × 3 = 34 = 81 moontlike keuses. 333 (3) 6. LIMPOPO m = 7; een L; een I; een M; twee P’s; twee O’s. 7! _______________ 2! × 2! 333 = 1 260 3  1! × 1! × 1! ×    (4) 7. a) 5 “bokse” van 3 = 53 = 125 driesyfergetalle (herhalings toegelaat) 33 (2) 5! 5! b) 5P3 = _____  (5–3)! =  __ 2! = 60 driesyfergetalle (herhalings nie toegelaat nie) 333 (3) 8. a) In die eerste posisie is daar 26 moontlike opsies (26 letters in die alfabet) In die tweede posisie is daar 10 moontlike opsies (syfers 0 tot 9) In die derde posisie is daar 10 moontlike opsies (syfers 0 tot 10 – die syfers mag herhaal word) ∴ 26 × 10 × 10 = 2 600 moontlike kodes 333 (3) b) In die eerste posisie is daar 26 moontlike opsies (26 letters in die alfabet) In die tweede posisie is daar 10 moontlike opsies (syfers 0 tot 9) In die derde posisie is daar 9 moontlike opsies (die syfers mag nie herhaal word nie) ∴ 26 × 10 × 9 = 2 340 moontlike kodes 333 (3) [27] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 169 Mind the Gap Wiskunde

8 Eenheid PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 8.11 Gebruik telbeginsels in wenk waarskynlikheid HINT! bv. 18 EG - worked examples 1.exams Wat is die waarskynlikheid dat ’n willekeurige rangskikking van die letters van BAFANA met ’n “A” begin en eindig? 2. In ’n laai is 20 koeverte. In 8 van die koeverte is 5 blou en 3 rooi velle papier. In elkeen van die ander 12 koeverte is 6 blou en 2 rooi velle papier. Een koevert word willekeurig gekies. ’n Vel papier word willekeurig daaruit activity gekies. Wat is die waarskynlikheid dat dit ’n rooi papier is? ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity Oplossings 1. Daar is 6 letters: een B, 3 A’s; een F en een N. 6! van BAFANA = ____________ comment Totale aantal rangskikkings comment  1! × 3! × 1!   × 1! = 120 Step by step Woord begin en eindig met A: (A _ _ _ _ A): een B; een A; een F; een N (4 letters in die middel) 4! Aantal middelrangskikkings = ____________  1! × 1! × 1!   × 1! = 24 24 1 Waarskynlikheid om met ’n A te begin en te eindig = ___   120 = __   5 = 20% 2. Gebruik ’n boomdiagram: Rooi word gekies:  8 __ ×  3 ___ =  3 _ =  24 __ 20 8 160 20 __3   __ 8   20 rooi 8 __ 5 Koevert A   8 Koeverte blou 2 24 3 __ × __ Rooi word gekies:  12  8 = ___  160 = __  20 blou __ 6 20 Koevert B   12 12 rooi 2  __ 20  __ 12 3 3 6 Waarskynlikheid dat ’n rooi papier gekies word = __  20 +  __ __ 20 =  20 = 0,30 = 30% 170 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 8 Wat jy moet kan doen: • Hersien die optelreël vir onderling uitsluitende gebeurtenisse: P(A of B) = P (A) + P (B) • Hersien die komplimentêre reël: P(A′) = 1 – P (A) • Hersien die identiteit P (A of B) = P (A) + P (B) – P(A en B) vir alle moontlike gebeurtenisse. • Identifiseer afhanklike en onafhanklike gebeurtenisse en gebruik die produkreël • Gebruik Venn-diagramme om probleme vir tot drie gebeurtenisse op te los. • Stel ŉ x vir ŉ gebeurtenis in om probleme op te los. • Gebruik boomdiagramme en gebeurlikheidstabelle vir die waarskynlikheid van opeenvolgende gebeurtenisse of gelyktydige gebeurtenisse wat nie noodwendig onafhanklik is nie. • Verstaan en gebruik telbeginsels in waarskynlikheid. NOV 2013 P3 V3, V4, V6 Feb/Maart 201 P3 V4, V5 en V6 Feb/Maart 2012 P3 V5, V6 en V7 NOV 2011 P3 V3, V5, V6 Feb/Maart 2011 P3 V3, V5, V6 NOV 2010 P3 V1, V5 Hou so aan! © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 8 WAARSKYNLIKHEID 171 Mind the Gap Wiskunde

9 Eenheid Analitiese meetkunde Analitiese meetkunde werk met die Cartesiese vlak en met algebra om punte, lyne en vorms te bepaal. 9.1 Hersiening: Analitiese Meetkunde Hierdie onderwerp word ook Koördinaatmeetkunde genoem. 1. Gradiënt van ŉ lyn Die gradiënt is die helling van ŉ reguitlyn. Dit wys y hoe steil die lyn is. Hoe steiler die gradiënt, hoe groter is die hoek wat dit vorm met die grond of die positiewe sy van die x-as. x y2 − y1 gradiënt m = _____  x2 − x1 OF verandering in y  ____________       verandering in x waar (x1; y1) en (x2; y2) twee punte op die lyn is. m < o (negatiewe gradiënt) m=o m > o (positiewe gradiënt) m is ongedefinieerd y y y y x x x x 172 EENHEID 9 Analitiese meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 9 Ewewydige lyne het gelyke gradiënte. Die produk van die gradiënte van lyne wat loodreg is, is −1. AB ∥ CD en mAB = mCD Dit beteken dat die gradiënt van een lyn die negatiewe resiprook van die gradiënt van die tweede lyn is: y C AB ⊥ PQ A mAB × mPQ = − 1 y A x Q D PAY SPECIAL ATTENTION NB B NB x P HINT! B wenk Nota: Die vergelyking moet altyd in die vorm y = mx + c wees. bv. 1 EG - worked examples Die grafieke van y = 2x + 1 en y = 2x + 5 is ewewydig want albei het 1.exams m = 2. 1 Die grafieke van y = 2x + 1 en y = − __   2 x + 5 is loodreg want 1 __ 2x −   2 = − 1 activity 2. Die afstandformule ACTIVITIES boy NBLeer die formule vir afstand: and girl-left and PAY SPECIAL ATTENTIONright of page NB ________________ activity Lengte van AB = √(x2 − x1)2 +    (y2 − y1)2  Jy kan ook die koördinate van ’n punt op die lyn met die HINT! wenk afstandformule bepaal. comment comment Step by step bv. 2 EG - worked examples 1.exams L(-5;-2) en M (-1;-6) is twee stelle koördinate op dieselfde reguitlyn. Bepaal die lengte van LM _________________ (x2 − x1)2 + LM = √    (y2 − y1)2 ___________________ LM = √(− 5 + 1)2 +    (− 2 + 6)2 activity _______ = √16 + 16 ACTIVITIES boy ___ and girl-left and right of page = √32 activity__ = 4 √2 __ 2. Die lengte van die reguitlyn PQ word gegee as 2√5 . Die koördinate van P (5;2) en Q(3;t) word gegee. Bepaal die waarde(s) van t. comment comment _________________ Step by step PQ = √(x2 − x1)2 +    (y2 − y1)2 __ _______________ 2√5 = √ (5 − 3)    2 + (2 − t)2 ___ ______________ √20 = √ 4 + (4 −    4t + t2) kwadreer albei kante 20 = 8 − 4t + t2 t2 − 4t − 12 = 0 (t − 6)(t + 2) = 0 t = 6 of t = −2 © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 9 Ana litiese meetkunde 173 Mind the Gap Wiskunde

9 Eenheid Aktiwiteit 1 1. Vir ’n lyn wat deur die twee punte A(6; 6) en B(3; 2), gaan, bereken die lengte van AB. (3) 2. As PQ = 5 eenhede; P (5; t) en Q (1; –3) bepaal die moontlike waarde(s) van t.(3) [6] Oplossings _________________ 1. Lengte AB = √(x2 − x1)2 +    (y2 − y1)2 3 _______________ = √(6 − 3)2 +    (6 − 2)2 3 ______ = √32 + 42 ___ = √25 =5 Die lengte van AB is 5 eenhede. 3 (3) __________________ 2. PQ = (xQ – xP)2 + √   (yQ − yP)2 _________________ 5 = √(1 − 5)2 +    (− 3 − t)2 ________________ = √(− 4)2 + 9    + 6t + t2 _____________ = √ 16 + 9    + 6t + t2 __________ = √t2 + 6t + 25 3 25 = t2 + 6t + 25 (kwadreer albei kante) 0 = t2 + 6t 3 0 = t (t + 6) (faktoriseer deur die GGF uit te haal) t = 0 or t = −6 3 (albei oplossings is korrek – stip die punte om te sien waarom!) (3) [6] 3. Die middelpunt van ŉ lyn A(x1;y1) B(x1;y1) 0 As jy die koördinate van die twee eindpunte van ’n lyn het, kan jy die punt bepaal wat halfpad tussen dit is. Dit word die middelpunt genoem. Die middelpunt van ’n lyn het die koördinate (x + x y + y ) _____   2 ; _____ 1 2 1 2   2   waar (x1; y1) en (x2; y2) die eindpunte van die lyn is. 174 EENHEID 9 Analitiese meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 9 HINT! wenk bv. 3 EG - worked examples Vir ’n lyn wat deur die twee punte A(6; 6) en B(3; 2), gaan, bepaal die exams koördinate van die middelpunt van AB. (x + xNBy + y ) PAY SPECIAL ATTENTION Middelpunt van AB = _____ NB   2 ; _____ 1 2 1 2   2   = (____   2   )= (4 __2 ;4 ) 6+3 6+2 1 activity HINT!   2 ; ____ wenkhet die middelpunt die koördinate 4 __; 4 Dus ACTIVITIES boy and girl-left and 2 right of page (1 ) activity bv. 4 EG - worked examples Die koördinate van die middelpunt exams comment van die lyn AB is (1;–4). Bepaal die comment koördinate van A as die koördinate van B (4;–3) is. Step by step Wanneer die middelpunt gegee is: xA + xB x as die middelpunt van AB = ______   2 en y as die middelpunt yA + yB activity ______ van AB =   2 ACTIVITIES boy xA + 4 yA and girl-left and − of3page 1 =  _____ _____ right en 2activity–4 =   2 2 = xA + 4 en –8 = yA − 3 –2 = xA en –5 = yA Koördinate van A is (–2;–5)comment comment Step by step Aktiwiteit 2 K (–1; –6) en L (5; 4) is twee koördinate op dieselfde reguitlyn. Bepaal die koördinate van die middelpunt. (2) As M (–1; 4) die middelpunt is van die lynstuk en die koördinate van A (3;6) word gegee, bepaal die koördinate van die eindpunt B. (3) [5] Oplossings 1. Middelpunt van KL =  _____ _____ 2 ;   2   (x + x y + y ) 1 2 1 2 (− 1 + 5 − 6 + 4 ) = ______   2 ;  ______ 2   3 = (2 ; –1) 3 (2) 2. Laat B die koördinate (xB; yB) hê. (3 + x 6 + y ) (–1; 4) = _____   2 ;  _____ B 2   3 B 3 + xB 6 + yB –1 = _____   2 en 4 = _____   2 (–1)(2) = 3 + xB (4)(2) = 6 + yB –2 = 3 + xB 8 = 6 + yB –5 = xB 3 2 = yB 3 ∴ die koördinate van B is (–5; 2). Ons kan koördinaatmeetkunde gebruik om die eienskappe van meetkundige vorms op die Cartesiese vlak te identifiseer. (3) [5] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 9 Ana litiese meetkunde 175 Mind the Gap Wiskunde

9 Eenheid Aktiwiteit 3 A. (–4; 7), B (4; 5), C (0; –1) en D (a; b) is die hoekpunte van parallelogram ABCD. a) Teken die parallelogram op blokkiespapier. (2) b) Bepaal die middelpunt van die diagonaal AC. (2) c) Gebruik die inligting wat jy het om die koördinate van punt D te bepaal. (3) [7] Oplossings a) A y 6 5 B 3 4 3 3 D 2 1 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –1 –2 C (2) b) A (–4; 7) en C (0; –1) (x + x y + y ) (−4 + 0 7 − 1 ) Middelpunt _____   2 ; _____ 1   2   = _____ 2 1   2 ;  ____ 2 2   = (–2; 3) 3 3 Dus is die middelpunt van AC (–2; 3) (2) c) Diagonale van parallelogram ABCD halveer mekaar ∴ middelpunt van DB is (–2; 3). Dus middelpunt (–2; 3) = ____ (4 + a 5 + b   2 )3   2 ; ____ 4+a 5+b –2 = ____   2 en 3 =  ____ 2 –4 = 4 + a en 6=5+b –8 = a 3 en 1=b3 ∴ Punt D het koördinate (–8; 1) (3) [7] 176 EENHEID 9 Analitiese meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 9 9.2 Die vergelyking van ’n lyn Jy kan die vergelyking van ŉ reguitlyn bepaal met y = m x + c, as jy weet wat die gradiënt m en die y-afsnit c is. PAY SPECIAL ATTENTION Jy NB kan ook die vergelyking vanNB ŉ reguitlyn bepaal met y − y = m (x − x ), 1 1 as jy weet wat is die gradiënt m en enige punt (x1; y1) op die lyn, of as twee punte gegee is. HINT! wenk y1 en x1 is die koördinate van ŉ spesifieke punt op die lyn. NOTA: PAY SPECIAL ATTENTION NB NB bv. 5 EG - worked examples As die gradiënt van ’n lyn –2 is en die lyn sny die y-as by 1, dan is die exams HINT! wenk vergelyking van die lyn y = –2x + 1. bv. 6 EG - worked examples activity As die gradiënt van ’n lyn –2 is en die punt (4; –1) lê op die lyn, bepaal die exams ACTIVITIES boy and girl-left and vergelyking van die lyn y − y1 = m (x − x1). right of page activity y – (–1) = –2(x – 4) Vervang (4; –1) in die vergelyking y + 1 = –2x + 8 Vereenvoudig activity comment comment y = –2x +7 Ons gee gewoonlik die antwoord in die ACTIVITIES boy Step by stepand girl-left and vorm y = mx + c. right of page activity Opsomming As jy weet comment comment Formule om te gebruik Die gradiënt en Step die y-afsnit by step y = mx + c Die gradiënt en die koördinate van ten minste y − y1 = m (x − x1) een punt op die grafiek of y = mx + c y2 − y1 Twee punte op die lyn: bereken eers die m =  _____ x2 − x1 en y = mx + c gradiënt en vervang dit dan in y = mx + c. © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 9 Ana litiese meetkunde 177 Mind the Gap Wiskunde

9 Eenheid Aktiwiteit 4 1. Bepaal die vergelyking van die reguitlyn wat deur die punte P(1; 2) en Q(3; 8) loop in die vorm y = .... (3) 2. Lyn AB is loodreg op CD, wat ’n gradiënt het van –2. Die punt (3; 4) lê op AB. Bepaal die vergelyking van lyn AB. (2) [5] Oplossings 1. Bereken eers die gradiënt van PQ: y2 − y1 8−2 ____ 6 m =  _____ __ x2 − x1 =   3 − 1 =   2 = 3 3 Gebruik dan die vorm y − y1 = m (x − x1) y − y1 = 3(x − x1) 3 Vervang P(1; 2) y − 2 = 3 (x − 1) y − 2 = 3x − 3 ∴ Die vergelyking van PQ is y = 3x − 1. 3 (3) 2. mCD = –2 en CD ⊥AB. 1 ∴ mAB = __   2 1 Dus het ons nou y = __   2 x + c Vervang (3; 4) om die waarde van c te bepaal. 1   2 (3) + c 3 4 = __ c = 4 – 1 __12 1 ∴ c = 2 __2 1 1 ∴ vergelyking van lyn AB is y = __   2 x + 2 __2 3 (2) [5] 178 EENHEID 9 Analitiese meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 9 9.3 Die inklinasie van ’n lyn In trigonometrie het jy die verhoudings tan θ, sin θ en cos θ gebruik. Om die inklinasie van ŉ lyn te bepaal, of die hoek wat dit met die x-as maak, gebruik ons tan θ. teenoorst. BC In driehoek ABC, tan θ =  ________ ___ aangr. =   AC . BC ___ verandering in y y   AC is ook  ____________ verandering in x wat die gradiënt is van AB.    B Ons skryf gradiënt van AB as mAB. Dus kan ons sê dat mAB = tan θ PAY SPECIAL ATTENTION NB θ toon die helling of NB Hoek inklinasie van die lyn AB. Ɵ A θ word die hoek van inklinasie genoem. C x wenk θ ∈ (0 ;180 ) NOTA: HINT! 0 0 bv. 7 EG - worked examples 1 __ 1 As tan θ = __ exams 2  , dan θ = 26,56505 …° (Druk: shift tan   2 op jou sakrekenaar) θ = 26,57 (afgerond tot twee desimale plekke) activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 9 Ana litiese meetkunde 179 Mind the Gap Wiskunde

9 Eenheid Aktiwiteit 5 Gee jou antwoorde korrek tot twee desimale plekke. 1. Lyn AB is loodreg op CD wat ’n gradiënt het van –4. Bepaal die inklinasie θ van AB. (2) 2. Bepaal die inklinasie van die reguitlyn wat deur die punte P (–6; 2) en Q (3; 10) gaan. (2) 3. Gegee die punte    A (–2; –1), B (5; 6) en C (7; –2), bereken die ^ grootte van A BC.(6) [10] Oplossings 1 1. mCD = –4 en mAB⊥mCD, – 4 × __   4 = –1 1 Dus mAB = __4 3 1 Dus tanθ = __   4 = 0,25 en θ = 14,04° 3. (2) 2. P (–6; 2) en Q (3; 10) y2 − y1 10 − 2 8 Dus mPQ = _____   x − x =  _______=  __3 3 2 1 3 − ( −6) 9 8 Dus tan θ = __   9 [Om θ, te bepaal, gebruik 8 ÷ 9 = shift tan op jou sakrekenaar] Hoek van inklinasie: θ = 41,63° NOTA: (rond af tot 2 desimale plekke) (2) 3. Teken eers ’n rowwe skets. Teken die driehoek op die Cartesiese vlak. Gebruik hoeke α en β mAB = tan α. y B (5; 6) 6+1 7 ∴tan α = ____   5 + 2 =  __7 = 1 3 ∴α = 45° 3 (spesiale hoeke) mBC = tan 3 − 2 − 6 −8 ∴ tanβ = ______   7 − 5 =  ___ 2 = −4 3 α β x ∴ β = −75,963°… + 180° A (–2; –1) C (7; –2) = 104,04° 3     ^ A BC = β−α (buite hoek van ∆) = 104,04°− 45° = 59,04° 3 (6) [10] 180 EENHEID 9 Analitiese meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 9 Aktiwiteit 6 1. Vir ’n lyn wat deur die punte A(6; 6) en B(3; 2) gaan: 1.1 Bereken die lengte van AB. 1.2 Bepaal die koördinate van die middelpunt van AB. 1.3 Bereken die hoek van inklinasie van die lyn. 1.4 Bepaal die vergelyking van die lyn deur A en B. 1.5 Bepaal die vergelyking van ’n lyn GH loodreg op AB deur die middelpunt van AB. (11) 2. F, G, H en I is die hoekpunte van die vierhoek wat hieronder gewys word: Watter soort vierhoek is FGHI? y 7 G (4; 6) 6 F (1; 5) 5 4 3 2 H (8; 2) 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 I (2; 0) (5) 3. ABCD is ’n vierhoek met hoekpunte A(5 ; 1), B(−3 ; 5), C(−1 ; −5) en D(9 ; −7). y B(–3; 5) A(5; 1) x O M C(–1; –5) D(9; –7) 3.1 Bereken die gradiënt van AC. (2) 3.2 Bepaal die vergelyking van AC in die vorm y = … (3) 3.3 Wys derhalwe dat die middelpunt M van BD op AC lê. (3)      ^ 3.4 Toon aan dat A MB = 90°. (2) 3.5 Bereken die oppervlakte van ∆ ABC. (5) [31] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 9 Ana litiese meetkunde 181 Mind the Gap Wiskunde

9 Eenheid Oplossings _________________ _______________ 1. 1.1 Lengte AB = √(x2 − x1)2 +    (y2 − y1)2 = √(6 − 3)2 +    (6 − 2)2 3 ______ ___ √32 + 42 = √25 = 5 eenhede 1.2 Middelpuntkoördinate: x1 + x2 3+6 1 _____   2 = ____   2 = 4 __2 3 y1 + y2 6+2 1 _____   2 =  ____ 2 = 4. Dus het die middelpunt die koördinate (4 __2 ; 4) 2−6 −4 4 1.3 tan θ = mAB = ____   3 − 6 = ___   −3 = __   3 3 ∴θ = 53,13° 3 4 1.4 mAB = __   3 en jy weet wat die koördinate van A en B is. Gebruik y – y1 = m(x – x1) 4 y – y1 = __   3 (x – x1) vervang nou óf punt A óf punt B 3 4 y – 2 = __   3 (x – 3) hier is punt B vervang vir (x1; y1) 3 4 ∴y =   34__x – 2 3 y – 2 = __   3 x – 4 1.5 AB⊥ GH ∴ mAB × mGH = –1 3 ∴ mAB =   4__3 so mGH = −  43__3 1 Die middelpunt van AB is (4 __2 ; 4) y – y1 = m(x – x1) 3 9 y – 4 = −  __4 (x − __   2 ) 3 3 27 y – 4 = −  __4 x + __   8 3 3 y = −  __4 x + 3 __8 + 4 3 3 y = −  __4 x + 7 __8 3 (11) 2. 6–5 mFG = ____   4 – 1 = __   3 3 1 mH1 =   82____ –0 2 __ 1 __ – 2 =   6 =   3 3 ∴ FG en HI is ewewydig. 0–5 –5 mF1 = ____   4 – 1 = __ mGH =   28 −   –1 = 5 3 en ____ 6 − 4 ___ − 4 =   4 = − 1 3 Dus is FI nie ewewydig aan GH nie. ∴ FGHI is ’n trapesium (een paar teenoorst. sye∥) 3 (5) 3. yC − yA vervanging 3.1 mAC =  ______ xC − xA 3 antwoord 3 −5−1 = ______   − 1 − 5 (2) −6 = ___   − 6 Slegs antwoord: volpunte =1 3.2 33 vervanging y − y1 = m(x − x1) y − 1 = 1(x − 5) y = x − 4 3 vergelyking (3) 182 EENHEID 9 Analitiese meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 9 3.3 Middelpunt van BD = _____   2 ; _____ (x + x y + y ) 2   2   1 2 1 (− 3 + 9 5 − 7 ) = ______   2 ; ____   2   = (3; − 1) 3 middelpunt (3;-1) lyn AC is y = x − 4 y=3−4 y =  −1 3 vervanging van M in die vergelyking ∴ M lê op AC. van lyn AC 3 gevolgtrekking (3) 3.4 y2 − y1 MAM =  _____ x2 − x1 3 gradiënt van AM −1−5 =  ______ 3+3 = −1 −1−1 en MMB =  ______ 3−5 3 gradiënt van BM =1 MAM × MMB = −1 MAM × MMB = −1       ^ ∴ A MB = 90°. (2) _________________ 3.5 BM = √(5 + 1)2 +    (− 3 − 3)2 3 vervang in afstandformule ___ BM = √72 _______________ ___ AC = √(5 + 1)2 +    (1 + 5)2 3 BM = √72 ___ ___ AC = √72 3 AC = √72 ___ ___ 1 Oppervlakte van ∆ABC =  __2 ( √ 72   )( √ 72   ) 3 formule vir oppervlakte van ∆ = 36 vierkante eenhede 3 antwoord (5) [31] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 9 Ana litiese meetkunde 183 Mind the Gap Wiskunde

9 Eenheid 9.4 Sirkels in analitiese meetkunde ŉ Sirkel bestaan uit ŉ versameling punte wat ewe radius ver van sy middelpunt af is. Die omtrek is die afstand rondom die hele sirkel. Die afstand vanaf die middelpunt tot by enige punt op die omtrek van die sirkel word die radius van die sirkel genoem. 9.4.1 Die vergelyking van ’n sirkel SIRKEL MET MIDDELPUNT BY DIE OORSPRONG y Ons kan die afstandformule gebruik om die P(x; y) vergelyking van ŉ sirkel met middelpunt (0; 0) r te bepaal. C(0; b) x P(x; y) enige punt op die sirkel As NB PAY SPECIAL ATTENTION NB is, met radius r, dan • _______________ r = √(x − 0)2 +    (y − 0)2  r2 = x2 + y2 HINT! wenk bv. 8 EG - worked examples Bepaal exams die vergelyking van ’n sirkel met middelpunt 0 en die punt P(5; 2) op sy omtrek. x2 + y2 = r2 Hierdie is die algemene vergelyking. Ons het net die waarde vir r2 nodig. activity (5)2 + (2)2 = r2 By die punt (5; 2) ACTIVITIES boy r = 25 + 4 = 29 and girl-left and 2 right of page activity ∴ x2 + y2 = 29 SIRKELS WAARVAN DIE MIDDELPUNT comment NIE BY DIE OORSPRONG IS NIE comment As ons die middelpunt van die sirkel na enige Step by step y punt op die Cartesiese vlak C(a; b) skuif, P(x; y) r dan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ______________ C(a; b) en r = √(x − a)2 +    (y − b)2  x Nota: Hersien die voltooiing van die vierkant in Eenheid 2 184 EENHEID 9 Analitiese meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 9 HINT! wenk bv. 9 EG - worked examples Die vergelyking van die sirkel is (x + 1)2 + (y – 3)2 = 16. exams Bepaal die koördinate van die middel en die lengte van die radius. Die vergelyking is reeds in die vorm (x – a)2 + (y – b)2 = r2, met a = –1, b = 3 en r2 = 16 activity ___ Dus is die middelpunt (–1; 3) en die radius is √16 = 4. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Onthou dat die radius net ’n positiewe getal kan wees want dit is ’n lengte. activity Aktiwiteit 7comment comment Step by step 1. Bepaal die koördinate van die middelpunt en die lengte van die radius as ’n sirkel die vergelyking x2– 2x + y2+ 10y = –14 het. (3) 2. Bepaal die vergelyking van ’n sirkel met middelpunt C(–1; –2) en wat deur die punt B(1; –6) gaan. (3) [6] Oplossings 1. Om die vergelyking in die vorm (x – a)2 + (y – b)2 = r2, te kry, moet ons getalle bytel om die vierkant te voltooi deur x2 met –2x en y2 met 10y te gebruik. (x2– 2x) + (y2+ 10y) = –14 (x2– 2x + 1) + (y2+ 10y + 25) = –14 + 1 + 25 3 (x – 1)2 + (y + 5)2= 12 3 ___ ____ __ Dus is die middelpunt die punt (1; –5) en die radius is √12 = √22.3 = 2√3 3 (3) 2. Bepaal eers die waarde van r2: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 r2 = (x + 1)2 + (y + 2)2 3 Vervang B(1; –6) r2 = (1+ 1)2 + (–6 + 2)2 3 r2 = (2)2 + (–4)2 r2 = 4 + 16 =20 ∴20 = (x + 1)2 + (y + 2)2 3 (3) [6] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 9 Ana litiese meetkunde 185 Mind the Gap Wiskunde

9 Eenheid 9.4.2 Die vergelyking van ’n raaklyn aan die sirkel ŉ Raaklyn is ŉ reguitlyn wat ŉ sirkel slegs by A een punt sny. Dus is ADB ŉ raaklyn, maar AP is nie ŉ D raaklyn nie. ŉ Raaklyn aan ŉ sirkel by enige punt op die omtrek is loodreg op die radius by daardie punt. Dus AB ⊥ CD. P B PAY SPECIAL ATTENTION OnsNBkan al die formules watNBons uit analitiese meetkunde ken, gebruik om probleme op te los met ŉ raaklyn aan ŉ sirkel (afstand, middelpunt, gradiënt, hoek van inklinasie, die vergelyking van ŉ lyn aan die vergelyking HINT! van wenkŉ sirkel). bv. 10 EG - worked examples Bepaal exams die vergelyking van die raaklyn APB wat ’n sirkel met middelpunt C met vergelyking (x – 3)2 + (y + 1)2 = 20 by P(5; 3) raak. Oplossing activity Teken ’n skets om jou te help. A Middelpunt van sirkel isandC(3; –1) dus die ACTIVITIES boy and girl-left gradiënt van die radius CP (mCP) right of page activity 3 − ( −1) is  _______ 5 − 3 = 2. P (5; 3) radius ⊥ raaklyn, dus mAPB × mCP = –1 en C comment comment dus Step by step mAPB = – __  12 B Vergelyking van raaklyn: y – y1 = m(x – x1) y – 3= –   1__2 (x – 5) P is ’n punt op die raaklyn y – 3= –   1__2 x + 2  1__2 y = – __  12 x + 5 __12 186 EENHEID 9 Analitiese meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 9 Aktiwiteit 8 1. ABCD is ’n vierhoek met hoekpunte A(–3; 0), B(–1; –3), C(2; –1) en D(0; 2). y D(0; 2) A(–3; 0) θ x 0 C(2; –1) B(–1; –3) 1.1 Bepaal die koördinate van M, die middelpunt van AC. (2) 1.2 Toon aan dat AC en BD mekaar halveer. (3) ^ 1.3 Bewys dat A |DC = 90°. (4) 1.4 Toon aan dat ABCD ’n vierkant is. (4) 1.5 Bepaal die grootte van θ, die hoek van inklinasie van DC, korrek tot EEN desimale plek. (3) 1.6 Lê C binne of buite die sirkel met middelpunt (0; 0) en radius 2? Staaf jou antwoord. (2) [18] Oplossings 2−3 −1+0 ____ ______ 1 1 1.1 Middelpunt M van AC:   2 ;   2 = ( −  __2 ; −  __2 ) 33 (2) 1.2 Middelpunt M van BD: (− 1 + 0 − 3 + 2 ) ______   2 ; ______ 1 1   2   = ( −  __2 ; −  __2 ) 33 ∴ Die middelpunt van AC en die middelpunt van BD is dieselfde punt, so hulle halveer mekaar. 3 (3) 2−0 2 −3 1.3 mAD= _______   0 − ( − 3) = __   3 3 en mDC=   −21 − 2 ___ ______ − 0 =   2 3 2 −3 PAY SPECIAL ATTENTION mADNB × mDC = __   3 ×  ___ 2 = –1 3 NB ∴AD ⊥ DC      ^ ∴A DC = 90° 3 (4) 1.4 HINT! Daar is verskeie maniere om te bewys dat ABCD ’n vierkant is: wenk • Bewys dat diagonale gelyk is en mekaar teen 90° halveer • Bewys dat ABCD ’n reghoek is en ’n paar aangrensende sye gelyk is. bv. EG - worked examples • Bewys dat al vier sye gelyk is en dat een binnehoek 90°is. Hier is een moontlike antwoord: Die diagonale AC en BD halveer mekaar (bewys in 1.2) exams      ^ A DC = 90° (bewys in 1.3) 3 AD2 = (2 – 0)2 + (0 – (–3))2 = 4 + 9 = 13 3 activity © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 9 Ana litiese meetkunde 187 Mind the Gap Wiskunde ACTIVITIES boy and girl-left and right of page

9 Eenheid ___ AD = √13 CD2 = (– 1 – 2)2 + (2 – 0)2 = 9 + 4 = 13 3 ___ CD = √13 Dus aangrensende sye is ewe lank 3 ∴ ABCD is ’n vierkant. (4) −1−2 3 1.5 tan θ = mDC =  ______ __ 2 − 0 = −   2 3 θ = –56,3099324... + 180° 3 θ = 123,7° 3 (3) 1.6 OC2 = (2 – 0)2 + (– 1 – 0)2 OC2 = 4 + 1 = 5 3 __ OC = √5 Dit is langer as die radius van 2 van die gegewe sirkel, dus lê C buite die sirkel. 3 (2) [18] 2. O is die middelpunt van die sirkel in die figuur hieronder. P(x; y) en Q(12; 5) is twee punte op die sirkel. POQ is ’n reguitlyn. Die punt R(t; –1) lê op die raaklyn aan die sirkel by Q. y Q(12; 5) x 0 R(t; –1) P(x; y) 2.1 Bepaal die vergelyking van die sirkel.(3) 2.2 Bepaal die vergelyking van die reguitlyn deur P en Q.(2) 2.3 Bepaal x en y, die koördinate van P.(4) 12 2.4 Toon aan dat die gradiënt van QR gelyk is aan – __ 5 .(2) 2.5 Bepaal die vergelyking van die raaklyn QR in die vorm y = … (3) 2.6 Bereken die waarde van t.(2) 2.7 Bepaal ’n vergelyking van die sirkel met middelpunt Q(12; 5) wat deur die oorsprong gaan. (3) [19] 188 EENHEID 9 Analitiese meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 9 Oplossings Die middelpunt is by die oorsprong x2 + y2 = r2. 2.1 OQ2 = (5)2 + (12)2 = 25 + 144 = 169 33 Dus is die vergelyking van die sirkel x2 + y2 = 169 3 (3) 0–5 5 2.2 mPQ = mOQ = _____   0 – 12 =  __ 12 3 PQ het y-afsnit van 0. 3 (2) 5 y = __   12 x 2.3 Volgens simmetrie is P die punt (–12; –5). 33 OF 5 Vervang y = __   12 x in x2 + y2 = 169 ( ) 5 __ 2 x2 +   12 x = 169 25 x2 +   144 ___ 2 x = 169 144x2 + 25x2 = 169 × 144 169x2 = 24 336 x2 = 144 x = 12 of x = –12 x = –12 volgens die gegewe diagram 3 5   12 x = ___ 5 y = __   × (–12) = –5 3 12 (4) Dus P is die punt (–12; –5). 2.4 raaklyn ⊥ radius dus QR ⊥ PQ 3 mPQ =   00−− _____ 5 __ 5 12 =   12 − 12 ∴mQR =  ____ 5 3 (2) –12 2.5 y = ___   5 x + c 3 y – y1 =   –12 OF 5 (x – x1) 3 ___ Vervang Q(12; 5) in die vergelyking om c te bepaal: –12 –12   5 (12) + c 3 5 = ___ y – 5 = ___   5 (x – 12) 3 144 –12 144   5 = c 5 + ___ y = ___   5 x + ___   5 + 5 169 169 c = ___   5 3 y = –  12 __ 5 x +   5 3 ___ –12 169 y = ___   5 x + ___   5 (3) −12 169 2.6 R(t; –1) lê op die lyn met vergelyking y = ____   5 x + ___   5 −12 169   5 t + ___ ∴ –1 = ____   5 3 –5 = –12t + 169 12t = 174 t = 14,5 3 (2) 2.7 OQ2 = (x – 12)2 + (y – 5)2 3 3 Q(12; 5) is die middelpunt van die sirkel Vervang (0; 0) in die vergelyking: OQ2 = (0 – 12)2 + (0 – 5)2 OQ2 = 144 + 25 = 169 3 ∴ (x – 12)2 + (y – 5)2 = 169 (3) [19] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 9 Ana litiese meetkunde 189 Mind the Gap Wiskunde

9 Eenheid Wat jy moet kan doen: Van Graad 10 en 11: • Bepaal die afstand tussen enige twee punte op die Cartesiese vlak met die afstandformule: _________________ • (x2 − x1 )2  Afstand = √    + (y2 − y1 )2  • Bepaal die middelpunt tussen twee punte op ŉ lyn met die formule (x  + x y  + y ) _____   2 ;  _____ 1 2 1 2   . 2 y2 − y1 • Bepaal die gradiënt van die lyn met m =  _____ x2 − x1 • Bepaal die vergelyking van ŉ lyn gegewe: • Die gradiënt en die y-afsnit met y = mx + c • Die gradiënt en die koördinate van ten minste een punt op die grafiek • Jy kan y – y1 = m(x – x1) gebruik • Twee punte op die lyn: bereken eers die gradiënt, vervang dan een van die punte in y = mx + c. • Bepaal die inklinasie θ van ŉ lyn, waar m = tan θ. • Bepaal ander hoeke met meetkunde. Van Graad 12: • Bepaal die vergelyking van ŉ sirkel met radius r en middelpunt (a; b). • Bepaal die vergelyking van ŉ raaklyn aan ŉ sirkelmiddelpunt (a; b) • Ken die eienskappe van driehoeke (gelykbenig, gelyksydig, ongelykbenig, reghoekige driehoek); vierkant, reghoek, trapesium, rombus en parallelogram. Hou so aan! 190 EENHEID 9 Analitiese meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 Trigonometrie 10.1 Hersiening: Trig verhoudings Trigonometrie is die studie van die verwantskap tussen die sye en hoeke van driehoeke. Die woord trigonometrie beteken “meting van driehoeke”. Die trigonometrie verhoudings Gebruik θ as die verwysingshoek in ∆ABO A • Die sy teenoor die 90° is die skuinssy, daarom is AO die teenoorstaande skuinssy. skuinssy • Die sy teenoor θ is die teenoorstaande sy, daarom is AB die teenoorstaande sy. • Die sy aangrensend aan θ word die aangrensende sy θ genoem, daarom is OB die aangrensende sy. O B aangrensend Ons werk met die verhouding van die sye van die driehoek: teenoorstaande • Die verhouding ____________     skuinssny skuinssy word die sinus θ (afgekort na sin θ) genoem. aangrensende • Die verhouding ___________ skuinssy word kosinus θ (afgekort na cos θ) genoem.   skuinssny teenoorstaande • Die verhouding ____________     skuinssy skuinssny word tangens θ (afgekort na tan θ) genoem. aangrensend: die sy aangrensend teenoorstaande Daarom sin θ =  ____________   skuinssny = AB/AO skuinssy teenoorstaande: skuinssy: die sy teenoorstaande: aan die hoek θ die sy teenoor θ teenoor die regte die sy teenoor θ hoek θ aangrensende cos θ =  ___________ skuinssy = OB/AO skuinssny θ skuinssy: die sy teenoorstaande tan θ =  ____________ aangrensend: die teenoor die regte   skuinssny skuinssy AB/OB sy aangrensend hoek aan die hoek θ © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 191 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid Ons kan dieselfde driehoek in standaardposisie op die Cartesiese vlak plaas, met ŉ hoekpunt by die oorsprong en een sy op die x-as as volg: y • Op die Cartesiese vlak, is A die punt (x; y). A(x; y)     ^ • Die hoek A OB of θ is positief (ons roteer antikloksgewys) r • Die lengte van OB is x-eenhede en die lengte van AB is y-eenhede. • Ons kan die lengte van AO met die Stelling van Pythagoras bepaal. θ In ∆ABO, AO2 = AB2 + OB2 0 B (x; 0) x PAY SPECIAL ATTENTION NB AO2 = x2 + y2 NB r2 = x 2 + y 2 HINT! wenk NOTA: Kyk na die sirkelmiddelpunt O. AO is ook ’n radius van ECIAL ATTENTION hierdie sirkel. NB bv. EG - worked examples Nou kan ons die trigonometriese verhoudings in Die Stelling van Pythagoras terme van x, y en r benoem. y In enige reghoekige driehoek y is die kwadraat van die Die verhouding _ r word sin θ genoem. • exams A(x; y) skuinssy gelyk aan die som x van die kwadrate van die • Die verhouding  _r word cos θ genoem. r ander twee sye. y θ • Die verhouding _ x word tan θ genoem. 0 B (x; 0) x orked examples activity PAY SPECIAL ATTENTION NB ACTIVITIES boy NB Leer hierdie verhoudings and girl-left and PAY SPECIAL ATTENTION NB right of page NB y teenoorstaande y cos θ =  _xr = ________ aangrensend sin θ =  _r = __________ activity     skuinssy tan θ =  _x = __________  teenoorstaande skuinssny skuinssy skuinssny aangrensend HINT! wenk HINT! y wenk Onthou die afkorting STSCASTTA:comment comment A(x; y) ACTIVITIES boy r S T S bv. and girl-left and EG - worked examples right of page C A SStep by step TTA θ sin θ = _ T cos θ =  A EG - worked __ tan θ =  __TI bv. S examples S A B (x; 0) x exams exams comment comment Step by step activity ACTIVITIES boy activity and girl-left and right of page ACTIVITIES boy activity and girl-left and right of page activity comment comment Step by step comment comment 192 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Step by step Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 Aktiwiteit 1 1. ∆MNP is ’n reghoekige driehoek. Skryf die trig verhouding neer vir: a) sin α b) sin β N (4) c) tan β d) cos α (3) 2. As MP = 13 en NP = 5, bereken cos β. α β P M [7] Oplossings MN NP 1. a) sin α = ____   MP 3 (1) b) sin β = ___   MP 3 (1) NP NP c) tan β = ____   MN 3 (1) d) cos α =  ___ MP 3 (1) (4) 2. MP = 13 en NP = 5, dus kan ons MP bepaal. MP2 = MN2 + NP2 ……….Pythagoras 3 13 = MN + 5 2 2 2 169 = MN2 + 25 MN2 = 169 – 25 MN2 = 144 3 ∴MN = 12 MN 12 cos β = ____   MP = __   13 3 (3) [7] A PAY SPECIAL ATTENTION O B NB NB –45° NB PAY SPECIAL ATTENTION Hoeke wat antikloksgewys Hoeke wat kloksgewys 45° vanaf die x-as gemeet word, A vanaf die x-as gemeet O HINT! B HINT! is positief. word, is negatief. wenk ∴hoekwenk is negatief bv. EG - worked examples bv. EG - worked examples exams exams activity activity ACTIVITIES boy ACTIVITIES bo and girl-left and and girl-left an right of page right of page activity activity © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 193 Mind the Gap Wiskunde comment comment commen

10 Eenheid 10.2 Trig verhoudings in al die kwadrante van die Cartesiese vlak PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Die Cartesiese vlak het vier kwadrante (kwarte). Ons noem dit 1, 2, 3 en 4 beginnende by die kwadrant met positiewe x- en y-waardes. Ons kan trig verhoudings vir enige hoekgrootte in die Cartesiese vlak bereken. HINT! 90° 90° wenk y CAST 2 1 2 S A 1 sin θ +waarde Alle verhoudings Alle ander verhoudings +waarde Vir trig verhoudings watexamples bv. EG - worked positief is in die 4 kwadrante. 180° –waarde 0° 180° 0° x 360° x tan θ +waarde cos θ +waarde exams Alle ander verhoudings 3 –waarde Alle ander verhoudings –waarde 4 3 T C 4 270° 270° • In die eerste kwadrant is x, y en r positief. Daarom is al die trig funksies positief. • In die tweede kwadrant is y en r positief, daarom is sin θ positief. In activity die tweede kwadrant is x negatief, daarom is cos θ en tan θ negatief. ACTIVITIES•boy In die derde kwadrant is x en y negatief en daarom is tan θ positief. and girl-left and right of page In die derde kwadrant is r positief en daarom is cos θ en sin θ negatief. activity • In die vierde kwadrant is x en r positief en daarom is cos θ positief. In die vierde kwadrant is y negatief en daarom is sin θ en tan θ negatief. comment comment Step by step 194 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 Aktiwiteit 2 1. As sin θ negatief is en cos θ positief is, watter stelling is waar? A. 0° < θ < 90° B. 90° < θ < 180° C. 180° < θ < 270° D. 270° < θ < 360° (1) 2. As tan θ < 0 en cos θ < 0, watter stelling is waar? A. 0° < θ < 90° B. 90° < θ < 180° C. 180° < θ < 270° D. 270° < θ < 360° (1) 3. Sal die volgende trig verhoudings positief of negatief wees? a) sin 315° b) cos (–215°) c) tan 215° d) cos 390° (4) [6] Oplossings 1. Sin θ is negatief in die 3de en 4de kwadrante; cos θ is positief in die 1ste en 4de kwadrante. Dus is θ in die 4de kwadrant. D. 270° < θ < 360° 3 (1) 2. tan θ < 0 in die 2de en 4de kwadrante; cos θ < 0 in die 2de en 3de kwadrante. Dus is θ in die 2de kwadrant. B. 90° < θ < 180° 3 (1) 3. a) sin 315° is in die 4de kwadrant en is dus negatief. 3 (1) b) cos (–215°) is in die 2de kwadrant en is dus negatief. 3 (1) c) tan 215° is in die 3de kwadrant en is dus positief. 3 (1) d) cos 390° is dieselfde as cos 30° in die 1ste kwadrant, dus is dit positief. 3 (1) [6] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 195 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid 10.3 Los driehoeke op met PAY SPECIAL ATTENTION NB NB trig HINT! Vir party trigonometrie probleme is dit nuttig om ŉ diagram te teken wat wenk die betrokke hoek en die x, y en r waardes aantoon. bv. 1 EG - worked examples __ As tan θ = –√3 en 180° < θ < 360°, bepaal, met ’n diagram, die waarde exams van: a) sin θ b) 3 cos θ activity Oplossings __ y ACTIVITIES boy –√3 and girl-left and a) tan θ = _  x = ___   1 . right of page activity 180° < θ < 360° en tan θ is negatief in die 4de kwadrant Met Pythagoras, r2 = x2 + y2 __ r2 = (1)2 + (–√3 )2 comment r2 = 1 + 3 = 4 comment Step by step r=23 __ θ y –√3 ∴ sin θ = _  r = ___   2 3(4) b) 3 cos θ __ x 1 3 (1; –√3 ) 33 = 3( _r ) = 3( __2 ) 3 = __   2 = 1,5 3 (2) [6 ] Aktiwiteit 3 p As cos β = ___   __ waar p < 0 en β ∈ [180°; 360°], bepaal, met ’n diagram, ’n √5 uitdrukking in terme van p vir: a) tan β b) 2 cos2β – 1 [6] Oplossings p x __   √__ = _  r ; a) cos β = ___ dus x = p en r = √5 p 5 Met Pythagoras, y2 = r2 – x2 β __ ∴ y2 = (√5   )2 – p2 __ = 5 – p2 √5  33 _____ ∴ y = ± √5 – p2 . _____ ∴ y = –√5 – p2 3 aangesien β in die 3de kwadrant is, y is negatief. _____ –√5 – p2   p 3 (4) ∴ tan β = ______ p ( 5 ) 2 b) 2 cos2β – 1 = 2 ___   √__   – 1 3 2p2 = ___   5 – 1 3 (2) [6] 196 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 10.4 Gebruik ’n sakrekenaar om trig verhoudings te bepaal PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Die wetenskaplike sakrekenaar bereken trigonometriese verhoudings as HINT! wenk desimale breuke. bv. 2 EG - worked examples 1. sin 58° = 0,8480480962…. [Druk: sin 58 =] exams 2. cos 222° = –0,7431448255… [Druk: cos 222 =] 3. Bereken (korrek tot 2 desimale plekke): cos 238° tan 132° = 0,5885349 … ≈ 0,59 (tot 2 desimale plekke) activity [Druk: cos 238 × tan 132 =] sin _______2 327 ACTIVITIES boy 4.   5+tan 37 = 0,05155 … ≈ 0,052 [NOTA: sin2 327° = (sin 327°)2] and girl-left and right of page activity 1 5. sin 30° =  __2 comment comment Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 197 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid 10.5 Die trig verhoudings van spesiale hoeke 1. Spesiale trig verhoudings met die eenheidsirkel Beskou ŉ sirkel op die Cartesiese vlak met ŉ radius van een eenheid. Ons kan die trig verhoudings vir 0° (of 360°), 90°, 180° en 270° met die eenheidsirkel bepaal. Benoem die (x; y) koördinate op elke as. Benoem die hoeke op elke as. y (0; 1) 90° (–1; 0) r=1 (1; 0) 180° 360° 270° (0; –1) Uit die eenheidsirkel: • By 0 of 360°: x = 1, y = 0 en r = 1 • By 90°: x = 0, y = 1 en r = 1 • By 180°: x = –1, y = 0 en r = 1 • By 27°: x = 0, y = –1 en r = 1 0 1 sin 0° = __  1 = 0 sin 90° =  __ 1 = 1 1 0 cos 0° =  __ 1 = 1 cos 90° =  __ 1 = 0 0 1 tan 0° =  __ 1 = 0 tan 90° =  __ 0 is ongedefinieerd 0 –1 sin 180° =  __ 1 = 0 sin 270° =  ___ 1 = –1 –1 0 cos 180° =  ___ 1 = –1 cos 270° =  __ 1 = 0 0 −1 tan 180° =  ___ –1 = 0 tan 270° =  ___ 0 is ongedefinieerd ECIAL ATTENTION NB Opsomming θ 0° 90° 180° 270° 360° sin θ 0 1 0 –1 0 cos θ 1 0 –1 0 1 tan θ 0 ongedefinieerd 0 ongedefinieerd 0 orked examples 198 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 2. Spesiale trig verhoudings met ŉ gelyksydige driehoek Ons gebruik ŉ gelyksydige driehoek met sye van 2 eenhede om die trig verhoudings vir die spesiale hoeke 30° en 60° te bepaal. Die loodregte halveerder van een sy skep twee driehoeke. Die hoeke van ŉ gelyksydige driehoek P P is gelyk, so hoek P, Q en 30° R is elkeen 60°. 30° 30° P is gehalveer, dus   ^ QPS 2 2 2 _ ^ ➡ √3 =  RPS= 30°. Met Pythagoras, Q 60° 60° R Q 60° S S 1 PR2 = PS2 + RS2 2 22 = PS2 + 12 PS2 = 4 –__1 = 3 ∴ PS = √3  Nou kan ons ∆PQS gebruik om die trig verhoudings van 30° en 60° te bepaal. PAY SPECIAL ATTENTION NB __ NB √ sin 60° =  ___ 3  sin 30° = _ 1 2 2 __ √ cos 30° =  ___ 3  cos 60° =  _1 2 2 HINT! __ __ √ 3  wenk 1__ tan 30° =  ___ tan 60° =  ___ = √3  √3  1 3. Spesiale trig verhoudings EG - worked examples met ŉ reghoekige gelykbenige bv. driehoek Gebruik ŉ reghoekige gelykbenige driehoek A met sye van een eenheid om die trig exams verhoudings vir 45°te bepaal. Die hoeke 45° teenoor die gelyke sye is gelyk, so hulle is __ 1 elkeen 45° (som van die hoeke in ŉ ∆). √2 Met Pythagoras, 45° AC2 = AB2 + BC2 B C activity AC2 = 12 + 12 1 ACTIVITIES boy AC2 = 1 +__1 = 2 and girl-left and right of page ∴ AC = √2  __ activity Die skuinssy sal √2 eenhede wees. SPECIAL ATTENTION NB __ comment__ comment √2  1__ =  ___ √2  1__ =  ___ sin 45° =  ___ cos Step45° =  ___ by step tan 45° =  _1 = 1 √2  2 √2  2 1 ! worked examples © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 199 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid Opsomming van spesiale hoeke y Jy moet die spesiale hoeke memoriseer (0; 1) 90° want jy gaan dit dikwels gebruik. Jy sal eksamenvrae gevra word waar jy nie ’n sakrekenaar mag gebruik nie, en moet wys hoe jy die spesiale hoeke gebruik het. (–1; 0) r=1 (1; 0) As jy net hierdie drie diagramme kan 180° 360° x onthou, kan jy al die spesiale hoeke uitwerk. 270° (0; –1) P A 30° 45° 2 _ 1 __ √3 √2 60° 45° Q S B C 1 1 As jy sukkel om die diagramme te onthou, kan jy hierdie opsomming van die spesiale hoeke leer: θ 30° 45° 60° __ __ sin θ 1 √2  √3   __ 2 ___   2  ___ 2 __ __ cos θ √3  ___ √2  1   2  ___ 2 __   2 __ tan θ √3  __ ___   3 1 √3  Jy kan ook ’n wetenskaplike sakrekenaar gebruik om hierdie spesiale hoekverhoudings te bepaal. 200 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 10.6 Gebruik reduksieformules Kyk na die hoeke hier. As θ < 90°, is dit in die eerste kwadrant, daarom is θ ŉ skerp hoek. Kwadrant I Kwadrant II Daarom y y • hoek (180° – θ) in kwadrant II • hoek (180° + θ) in kwadrant III r • hoek (360° – θ) in kwadrant IV r y y 180 – θ Jy kan uitwerk watter trig verhoudings θ θ positief en watter negatief sal wees, x x x x volgens die kwadrante waarin hulle lê. Kwadrant III Kwadrant IV y y 360 – θ 180 + θ x x θ x θ x y y r r a) Reduksieformules y III Kwadrant II: 180° – θ Kwadrant III: 180°+ θ Kwadrant IV: 360° – θ S A sin(180° – θ) = sin θ sin(180° + θ)= –sin θ sin(360° – θ) = –sin θ sin all cos(180° – θ) = –cos θ cos(180° + θ) = –cos θ cos(360° – θ) = cos θ x PAY SPECIAL ATTENTION NB T C N tan(180° – θ) = –tan θ tan(180° + θ) = tan θ tan(360° – θ) = –tan θ tan cos III IV b) Hoeke groter as 360° HINT! Ons kan 360° (of veelvoude van 360°) optel of aftrek en sal altyd ŉ hoek in die eerste omwenteling kry. Byvoorbeeld, 390° kan geskryf wenk word as (30° + 360°), dus het 390° dieselfde eindbeen as 30°. Wanneer jy deel, moet jy c) Negatiewe hoeke: partykeer afrond tot die • (–θ) lê in die vierde kwadrant en is dieselfde as 360° – θ. bv. EG - worked examples naaste getalle wat makliker is om mee te deel. sin(–θ) = –sin θ cos(–θ) = cos θ tan(–θ) = –tan θ • (θ–180) lê in die derde kwadrant exams sin(θ –180) = –sin θ cos(θ–180) = –cos θ tan(θ–180) = tan θ • (–θ–180) lê in die tweede kwadrant sin(–θ –180) = sin θ cos(–θ–180) = –cos θ tan(–θ–180) = –tan θ • (θ–360) lê in die eerste kwadrant activity ACTIVITIES boy sin(θ– 360) = sin θ cos(θ–360) = –cos θ tan(θ–360) = –tan θ and girl-left and right of page activity comment co © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 201 Mind the Gap Wiskunde Step by step

10 Eenheid HINT! wenk bv. 3 EG - worked examples sin (360˚+ θ) = sin θ exams cos (360˚+ θ) = cos θ tan (360˚+ θ) = tan θ Aktiwiteit 4 activity Sonder om ’n sakrekenaar te gebruik, bepaal die waarde van: ACTIVITIES boy and girl-left and 1. cos 150° 2. sin (–45°) 3. tan 480° right of page activity [7] Oplossings comment comment 1. cos 150° Step by step herskryf as (180 – ?) = cos(180° – 30°) kwadrant II, cos θ negatief = –cos __ 30° 3 spesiale verhoudings √3 = –  ___ 2 3 (2) 2. sin(–45°) sin(–θ) = –sin θ; kwadrant IV, sin θ negatief = –sin 45° 3 spesiale verhoudings 1__ = –  ___ √ 3 (2) 2 3. tan 480° skryf as ’n hoek in die eerste rotasie van 360° = tan (480° – 360°) = tan 120° 3 kwadrant II, herskryf as (180 – ?) = tan (180° – 60°) tan θ negatief = –tan __ 60° 3 spesiale verhoudings = –√3 3 (3) [7] d) Ko-funksies     ^ In hierdie reghoekige driehoek, is die sye a, b en c en  B = θ. A = 90° en hoeke van ŉ driehoek is supplementêr     ^ ∴ C= (90° – θ). Kyk na die sinus en kosinus verhoudings vir die driehoek b b sin θ =  __a en cos (90° – θ) =  __a 90° – θ ∴ cos (90° – θ) = sin θ c c cos θ =  __a en sin (90° – θ) =  __a a b ∴ sin (90° – θ) = cos θ Trig verhoudings van hoeke wat saam 90° is, θ word ko-funksies genoem. c 202 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 PAY SPECIAL ATTENTION NB NB sin (90˚– θ) = cos θ (kwadrant I) sin (90˚+ θ) = cos θ HINT! (sin θ positief in kwadrant II) wenk sin (θ – 90˚) = sin[–(90° – θ)] (gemeenskaplike faktor van –1) = –sin(90° – θ) (sin θ negatief in kwadrant IV) = –cos θEG - worked examples bv. cos (90˚– θ) = sin θ (kwadrant I) cos (90˚+ θ) = –sin θ (cos θ negatief in kwadrant II) cos (θ – 90˚) = cos[–(90° – θ)] (gemeenskaplike faktor van –1) exams = +cos(90° – θ) (cos θ positief in kwadrant IV) = +sin θ Aktiwiteit activity 5 ACTIVITIES boy Skryf die trig verhoudings as dieand trig verhoudings van hulle ko-funksies: girl-left and right of page 1. sin 50° 2. cos 70° 3. sin 100° 4. cos 140° activity [4] Oplossings 1. sin 50° = sin(90° – 40°) = cos 40° 3 comment comment 2. cos 70° = cos(90° – 20°)Step=bysin step 20° 3 3. sin 100° = sin(90° + 10) = cos 10° 3 4. cos 140° = cos(90° + 50°) = –sin 50° 3 [4] Opsomming Enige hoek (stomp- of inspringende hoek) kan gereduseer word na ŉ skerphoek deur die volgende te gebruik: • Herlei negatiewe hoeke na positiewe hoeke • Reduseer hoeke groter as 360° • Gebruik reduksieformules • Gebruik ko-funksies © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 203 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid Aktiwiteit 6 Vereenvoudig sonder om ’n sakrekenaar te gebruik: sin(180° + x). cos 330°.tan 150° _______________________ 1.        (4) sin x cos 750°.tan 315°.cos(–θ) 2.  _________________________         cos(360°– θ).sin 300°.sin(180°– θ) (8) tan 480°.sin 300°.cos 14°.sin(–135°) 3.  __________________________        sin104°.cos 225° (9) cos 260°.cos 170° 4.  __________________       sin10°.sin 190°.cos 350° (7) [28] Oplossings sin(180° + x).cos 330°. tan 150° 1. _______________________        sin x reduksieformules in teller 3 3 3 (–sin x)(+ cos 30°)(–tan 30°) = _____________________       sin x (gebruik hakies om verhoudings te skei) __ __ √3 √3 + sin x. ___   2 3. ___   3 _____________ =    sin x spesiale hoeke __ __ √3 √3 = ___   2 .___   3 3 1 = __   6 = __   2 (4) cos 750°.tan 315°. cos(–θ) 2. __________________________         cos(360°– θ). sin 300°. sin(180° – θ) gebruik reduksieformules cos30° 3. (–tan 45°) 3. cosθ 3 = _______________________   cosθ        3. (–sin60°) 3. sinθ 3 gebruik spesiale hoeke __ √3 ___   2 .(–1)cos θ ____________ =      __ 3 cosθ.– ___ ( √3   2   sinθ ) –1 1 = ____   –sinθ = ____   sinθ 3 (8) tan 480°. sin 300°. cos 14°. sin(–135°) cos 260°. cos 170° 3. ___________________________        sin 104°. cos 225° 4. ___________________       sin10°. sin 190°. cos 350° tan 120°.(–sin 60) 3. cos 14°. sin 225° –cos 80°3. (–cos 10°) = ____________________________         =     sin76° 3. (–cos 45°) 3 _____________________    sin10°. (–sin 10°)3.cos 10°3 __ __ (–√3 ) (–√2 ) __ cos(180° + 80°). cos(180° – 10°) (–√3 ). ___   2   . sin 76. ___   2   = ____________________________         sin(180° + 10°). cos(360° – 10°) = ___________________        __ 33 sin10°. ( ) –√ ___ sin76°.   2   2 (–tan60°)3.(–sin 60°). sin 76°3. (–sin 45°)3 –sin 10° 3. (–cos 10°) = ________________________________           sin76°. (–cos 45°) ___________________ =        sin10°. (–sin 10°). cos 10° __ __ (–√3 ) (–√2 ) __ (–√3 ). ___   2   . sin 76. ___   2   –1 = ___________________        __ 33 = _____   sin10° 3 (7) √ – ___ sin76°.   2   2 ( ) 3 = __   2 3 (9) [28] 204 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 10.7 Trigonometriese identiteite sin θ sin2θ =1 – cos2θ 1. tan θ =  ____ cos θ ; (cos θ ≠ θ) 2. sin2θ + cos2θ = 1 (die kwosiëntidentiteit) (die kwadraatidentiteit) cos2θ = 1 – sin2θ CIAL ATTENTION NB BEWYS VAN IDENTITEITE Bewys van die identiteite is ontleedbaar waar die RK ontbind word tot sy x, y en r waardes. sin ____ θ Bewys :   cos θ y = _ r ÷ _ xr y rked examples =  _r ×  _xr y = _  x = tan θ Bewys : sin2θ + cos2θ y 2 = (_  r   ) + (_  xr   ) 2 y2   2 +   x__2 Gebruik KGN r2 2 = __ r r x2 + y2 _____ =   2 x2 + y2 = r2 (Pythagoras) r __r 2 =   2 =1 r ACTIVITIES boy and girl-left and Ons kan die identiteite en die reduksieformules gebruik om ons te help om trig right of page uitdrukkings te vereenvoudig. comment comment Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 205 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid Aktiwiteit 7 Vereenvoudig die volgende uitdrukkings. cos (180°–x) sin (x –90°) – 1 __________________________ 1.         tan2(540° + x) sin (90° + x) cos (– x) (8) 2. [sin(–θ) + cos(360° + θ)][cos(θ – 90°) + cos(180°+θ)](3) 3. cos2θ (1 + tan2θ)(3) 1 – cos2θ 4.  _______ 1– sin2θ (3) [17] Oplossings cos (180° – x) sin (x–90°) – 1 1. __________________________   tan2        (540° + x) sin (90° + x) cos (–x) – gebruik reduksieformules en ko-funksies (–cos x)3 (–cos x) 3 –1 = ___________________________   tan2        (540° – 360° + x) cos x3. cos x3 – vermenigvuldig teller en noemer reduksie van hoek > 360° cos2x–1 =  _______________    tan2(180° + x). cos2x – gebruik trig identiteitformaat vir cos2x – 1 reduksieformule –(1 – cos2x)   tan2x3.cos2x = __________ – gebruik trig identitieite vir 1 – cos2x en vir tan x –sin2x3 =  _________ sin2x cos2 x – vereenvoudig   2 3.  1 ____ ____ cos x –sin2x =  _____ sin2x = –1 3 (8) 2. [sin(–θ) + cos(360° + θ)][cos(θ – 90°) + cos(180°+θ)] – reduseer na hoek < 90° =[–sin θ + cos θ][cos (–(90° – θ))+ (–cos θ)] – vereenvoudig; gebruik ko-funksies =(–sin θ + cos θ)(sin θ – cos θ) – vermenigvuldig met EBBL = –sin2 θ + sin θ cos θ + cos θ sin θ – cos2 θ 33 = –(sin2θ + cos2θ) + 2 sin θ cos θ – gebruik trig identiteit = –1 + 2 sin θ cos θ – gebruik dubbelhoek identiteit = –1 + sin2θ 3 (3) 3. cos2 θ (1 + tan2 θ) – vermenigvuldig die hakie = cos θ + cos θ.tan θ 3 2 2 2 – gebruik trig identiteit vir tan θ cos θ sin θ 2 2 = cos2θ + ____   1 .____   cos2θ – vereenvoudig = cos2θ + sin2θ 3 = 1 3 – gebruik trig identiteit sin2θ + cos2θ = 1 (3) 1 – cos2θ 4. _______   1– sin2θ – gebruik trig identiteit sin2θ + cos2θ = 1 3 sin2θ = ____   cos2θ 3 – gebruik trig identiteit vir tan θ = tan²θ 3 (3) [17] 206 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 PAY SPECIAL ATTENTION NB N 10.8 Meer trig identiteite Jy moet in staat kan wees om al die inligting oor trig verhoudings en HINT! maniere om dit te vereenvoudig te gebruik om ingewikkelder trig identiteite op te los. wenk Wenke om trig identiteite op te los: Aktiwiteit 8 • Kies óf die linkerkant bv. EG - worked examples óf die regterkant en vereenvoudig dit om soos Bewys die volgende identiteite: die ander kant te lyk. 1 1. sin x ∙tan x + cos x = ____   cos x (4) exams • As albei kante moeilik lyk, kan jy probeer om albei 2. ( sin x ) (sin x + tan x) _______   1 + cos x   = sin x. tan x (7) kante te vereenvoudig tot ____ 1 cos x jy by ’n punt kom waar 3.   cos x = _______   1 + sin x + tan x (6) albei kante dieselfde is. ____ 1 tan x • Dit is gewoonlik nuttig om 4.   tan x + tan x = ____   sin2x tanactivity (5) θ θ as  sin ____ te skryf. [22] cosθ sin θ • Soms moet jy  ____ cos θ na ACTIVITIES boy and girl-left and right of page tan θ vereenvoudig. Oplossings jy sin2x of cos2x met • Asactivity 1. LK: sin x. tan x + cos x sin x +1 of –1 het, gebruik die = sin x . ____   cos x + cos x 3 + cos x kwadraatidentiteite sin2 x cos x (sin2θ + cos2θ = 1). cos x +   1 =  ____ ____ • Bepaal ’n gemeenskaplike com sin2 x + cos2 x 3 comment 1 cos x 3   =   cos x 3 = RK (4) =  ____________ ____ noemer wanneer jy Step by step breuke optel of aftrek. 1 ∴ sin x. tan x + cos x = ____   cos x (4) • Faktoriseer indien nodig – spesifiseer 2. LK: (sin x + tan x) _______ ( sin x )   1+ cos x   RK: sin x. tan x met voorbeelde, d.i. gemeenskaplike faktor, sin x sin x sin x = (sin x + ____   cos x 3 )(_______   1+ cos x ) = sin x. ____   cos x 3 DOPS, trinoom, som/ verskil van twee sin x cos x + sin x 3 _______ sin x sin2 x cos x 3    )( 1 + cos x   ) = (_______________ cos x 3 =  ____   derdemagte sin x (cos x + 1) 3 = (______________cos x      )(  1 + cos x   ) sin x _______   sin2 x cos x 3 (7) =  ____ ∴ LK = RK (7) cos x 1 + sin x + tan x 3. RK:  _______ cos x sin x 1 + sin x +   cos x 3 =  _______ ____ cos2 x + sin x (1 + sin x) 3 =  ___________________    cos x (1 + sin    x) 3 cos2 x + sin x + sin2 x 3 =  _________________    cos    x (1 + sin x) trig identiteit: cos²x + sin²x = 1 1 + sin x 3 =  ____________    cos x (1 + sin x) 1 cos x 3 = LHS =  ____ 1 cos x   cos x = _______ ∴ ____   1 + sin x + tan x (6) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 207 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid 1 tan x   tan x + tan x = ____ 4. ____   sin2 x 1 tan x tan x + tan x LK:  ____   sin2 x RK: ____ 1 sin x sin x 1 =  ____x +   cos x 3 cos x 3.   sin2 x ____ =  ____ ____ sin ____   cos x cos x sin x 1   sin x 3+ ____ = ____   cos x sin x.cos x =  ________ cos2 x + sin2 x 3 =  ____________ x3 sin x.cos    1 sin x.cos x =  ________ ∴ LK = RK (5) [22] 208 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 10.9 Los trigonometriese vergelykings op Om ŉ trig vergelyking op te los waar die hoek onbekend is, moet jy al die moontlike waardes van die hoek bepaal. 1 Byvoorbeeld, as sin θ =  __ 2 , weet ons dat θ gelyk kan wees aan 30°. Daar is egter ander waardes vir θ in die ander kwadrante. Kyk na die grafiek vir 1 sin θ =  __ 2 , θ ∈ [–360°; 720°]. Daar is ses waardes vir θ tussen –360° en 720°. y y = sin x 1 y = 0,5 0,5 –360° –270° –180° –90° 90° 180° 270° 360° 450° 540° 630° 720° x –0,5 –1 As 30° ons verwysingshoek in kwadrant I is: 1 In kwadrant II: sin (180° – 30°) = sin 30° =  __ 2 Dus θ is 150° In kwadrant III en IV, is die sinusverhouding negatief, so daar is geen oplossing vir θ nie. Die hoek kan groter wees as 360°. 1 In kwadrant I: sin (360° + 30°) = sin 30° =  __2 Dus θ is 390° In kwadrant II: sin (540° – 30°) = sin ((540° – 360°) – 30°) 1 = sin (180° – 30°) = sin 30 =  __ 2 Dus θ is 510° Jy kan ook uitwerk dat θ = –210° of θ = –330° Jy hoef nie ŉ grafiek te teken om hierdie vergelykings op te los nie. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB ’n Metode om die algemene oplossing van trig vergelykings te bepaal: 1. Isoleer die trig funksie aan een kant van die vergelyking. 2. Bepaal die verwysingshoek: HINT! druk die positiewe getal vir die hoek in die sakrekenaar en druk die trig sleutel en die inverse sleutel: wenk shift sin / shift cos /shift tan. Gebruik spesiale hoeke indien die vraag jou nie toelaat om ’n sakrekenaar te gebruik nie. 3. Vir sin x en cos x,EG - plaas diexamples verwysingshoek in die twee moontlike kwadrante waar dit positief of negatief is (volgens die bv. worked vraag). Die periode van die sinus- en kosinusgrafieke is 360°, tel dus k 360° by elke oplossing. Skryf altyd k ∈핑. 4. Vir tan x, sit die verwysingshoek in een korrekte kwadrant waar dit positief of negatief is (volgens die vraag). Die periode die tangrafiek is 180°, tel dus k 180° by. Skryf altyd k ∈핑. exams van 5. As x vir ’n gegewe interval opgelos moet word: a) Bepaal die algemene oplossing b) Vervang k met –1; 0; 1; 2, ens. om die oplossings in die korrekte interval te bepaal. activity © Departement van Basiese Onderwys 2015 ACTIVITIES boy EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 209 and girl-left and Mind the Gap Wiskunde right of page

10 Eenheid HINT! wenk bv. 4 EG - worked examples Los op vir x: sin x = 0,7 [Op jou sakrekenaar, druk: sin–1 0,7 =] 1.exams Die sakrekenaar se antwoord is 44,42……° Ons noem dit die verwysingshoek, aangesien dit nie die enigste oplossing vir die vergelyking is nie. sin x is positief, so hoek x moet in kwadrant I of kwadrant II in die activity eerste omwenteling wees. ACTIVITIES boy In kwadrant I: x = 44,42……. ° and girl-left and right of page EN activity In kwadrant II: x = 180° – 44,42….° = 135,57…….. ° Die periode van die singrafiek is 360°, dus die ander punte van die snyding vind 360° na regs of links van hierdie oplossings plaas. comment comment Ons tel k omwentelings by die twee hoeke in die eerste omwenteling. Step by step k is ’n heelgetal (…–1; 0; 1; …). Ons noem hierdie die algemene oplossings van die vergelyking. Ons kan dus sê dat die oplossing vir sin x = 0,7 is x = 44,42° + k360° of x = 135,57° + k360°; k ∈핑. (Korrek tot twee desimale plekke) 2. Los op vir x: sin x = –0,7 Plaas hierdie keer die verwysingshoek in kwadrant III en IV (sin x is negatief) x = 180°+ 44,42…..°+ k360° of x = 360°– 44,42…..°+ k360° k ∈핑 x = 224,42° + k360° of x = 315,57° + k360; k ∈핑 (Korrek tot twee desimale plekke) 3. Los op vir x: cos x = –0,7 Verwysingshoek = 134,427….° cos x is negatief in kwadrant II en III. x = 360° – 134,43° = 225,57° x = 134,43° + k360° of x = 225,57° + k360°; k ∈핑 (Korrek tot twee desimale plekke) 4. Los op vir x: cos x = 0,7 Verwysingshoek = 45,57……° Plaas hierdie keer die verwysingshoek in kwadrant I en IV waar cos x positief is: x = 45,57….° + k360° of x = 360° – 45,57……° + k360° PAY SPECIAL ATTENTION x = 45,57° + k360° of x = 314,43° + k360°; k ∈핑. NB NB (Korrek tot twee desimale plekke) 5. Los op vir x: tan x = 0,7 tan x is positief in kwadrant I en III. HINT! Verwysingshoek = 34,99° (korrek tot twee desimale plekke) wenk x = 34,99….° of 180° + 34,99……° = 214,99…….° Die periode van die tangrafiek is nou 180°, so die ander snypunte Jy hoef nie die oplossing vir vind 180° na regs of links van die oplossings plaas. bv. 215° te skryf EG nie.- worked Hierdie examples x = 34,99° + k180°; k ∈핑 oplossing is alreeds daar (Korrek tot twee desimale plekke) want 34,99° + (1)180° = 215° 6. Los op vir x: tan x = –0,7 exams tan x is negatief in kwadrant II en IV. Die verwysingshoek is –34,99…...° 180° – 34,99…….° = 145,01…..° x = 145,01° + k180°; k ∈핑. activity 210 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 ACTIVITIES boy Mind the Gap Wiskunde and girl-left and

Eenheid 10 Aktiwiteit 9 1. As cos 20° = p, bepaal die volgende verhoudings in terme van p: a) cos 380° b) sin 110° c) sin 200° (6) 2. Bepaal die algemene oplossing vir x in die volgende vergelykings: a) 5 sin x = cos __ 320° (korrek tot twee desimale plekke) b) 3 tan x + √3 = 0 (sonder ’n sakrekenaar) tan x–1 c)  ______ 2 = –3 (korrek tot een desimale plek) (10) 3. Bepaal x vir x ∈[–180°; 180°] as 2 + cos (2x – 10°) = 2,537 (6) [22] Oplossings p   1 dus x = p en r = 1 1. cos 20° = __ Met Pythagoras, y2 = r2 – x2 y2 = 12– p2 = 1– p2 _____ y = √ 1 – p2   eerste kwadrant, dus y is positief a) cos 380° = cos (360° + 20°) = cos 20° 3 = p 3 (2) b) sin 110° reduksieformule = sin (180° – 70°) = sin 70° 3 ko-funksie = sin (90° – 20°) = cos 20° 3 = p 3 (3) c) sin 200° = sin (180° + 20°) = –sin20° 3 _____ –√1 –p2   _____   1 = –√1 – p2   (1) = ______ (6) Sakrekenaarsleutels: 2. a) 5 sin x = cos 320° 3 cos 320 = 5 sin x = 0,766044 ÷5= sin x = 0,15320... 3 SHIFT sin ANS = Verw. hoek = 8,81° x = 8,81° + k360° OF x = 180° – 8,81° + k360° 3 x = 171,19° + k360° 3 k ∈핑 (4) __ b) 3 tan x + 3 = 0 √ __ 3 tan x = –__ √3 __ –√3 √3 tan x = ___   3 3 [spesiale hoek: tan 30° tan 30° = ___   3 ] Verw. Hoek = 30° x = 180° – 30° + k180° 3 x = 150° + k180° 3 k ∈핑 (3) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 211 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid tan x–1 c) ______   2 = –3 vermenigvuldig albei kante met 2 tan x – 1 = –6 tan x = –5 3 verwysingshoek is 78,69…° ∴x = 180° –78,69…° + k180° 3 x = 101,31° + k180°; k ∈핑 3 (3) (10) 3. 2 + cos (2x – 10°) = 2,537 cos (2x – 10°) = 0,537 Verw. hoek = 57,52…..° 2x – 10° = 57,52…..° + k360° of 2x – 10° = 360° – 57,52° + k360° [los vergelykings op] 2x = 67,52….° + k360° of 2x = 312,48…° + k360° 3 [deel albei terme aan albei kante deur 2] x = 33,76° + k180° of x = 156,24° + k180° 3 k ∈핑 x ∈ [–180°; 180°] Dus vir k = –1: x = 33,76° –180° = –146,24° of x = 156,24° – 180° = –23,76° 3 Vir k = 0: x = 33,76° of x = 156,24° 3 (Vir k = 1, sal x > 180° wees, so dit is te groot) Oplossing: x ∈ {–146,24°; –28,76°; 33,76°; 156,24°} 33 (6) [22] 212 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 10.10 Nog oplossing van trig vergelykings met identiteite SPECIAL ATTENTION NB NB • PAY SPECIAL ATTENTION a sin θ NB= b cos θ: enkele sin en cos funksie met dieselfde hoek 1) Deel deur die kosfunksie 2) Verander HINT!  cosθ θ na tan θ sin ____ ! wenk bv. 5 EG - worked examples PAY SPECIAL ATTENTION worked examples Los op vir x (gee algemene oplossing) en rond jou antwoord af tot 2 NB exams desimale plekke. • a sin θ = b cos β: enkele 1. 3 sin x = 4 cos x sin- en cosfunksie met 2. 4 cos2 x + 4 sinx cos x + 1 = 0 HINT! die verskillende hoeke activity [6] wenk 1. Gebruik ko-funksies ACTIVITIES boy and girl-left and right of page om dieselfde funksie Oplossings activity te kry, d.i verander 1. 3 sin x = 4 cos x Deel albei kante deur cos x om tan x aan LK te kry bv. die sinfunksie na ’n EG - worked examples y 3 sin x ______ 4 cos x cosfunksie of die cos x =   cos x 3  _____ Trig identiteit vir tan x cosfunksie na ’n ACTIVITIES boy comment 3 tan x = 4 Step by step comment and girl-left and sinfunksie. right of page 3 exams tan x = __   4 3 2. As sinθ = sinβ, stel y Verw. hoek = 53,13° ons die hoeke gelyk, dan is θ = β en θ = x = 53,13° + k180° k ∈핑 3 (3) 180° – β. As cosθ = cosβ stel x + 4sinx cos x + 1 = 0 2. 4 cos2comment gebruik 1 = sin2x + cos2x ons die hoeke gelyk activity comment Step by step 4 cos2 x + 4sinx cos x + (sin2x + cos2x) 3 = 0 dan is θ = β en 5 cos2 x + 4sinx cos x + sin2x = 0 θ = 360° – β ACTIVITIES b and girl-left a right of page (5 cos x + sinx)(cos x + sinx) = 0 5 cos x + sinx = 0 of cos x + sinx = 0 activity 5 cos x –sin x cos x –sin x cos x =   cos x  ______ cos x =   cos x _____ of  ____ _____ 5 = –tan x ∴ tanx = –5 1 = –tan x ∴ tanx = –1 Verw. hoek = 78,69° Verw. hoek = –45° comme x = 180° – 78,69° + k180° of ∴ x = 180°–45° + k180° Step by step ∴ x = 101,3° + k180° 3 ∴ x = 135° + k180° 3 k ∈핑 (3) [6] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 213 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid HINT! wenk bv. 6 EG - worked examples Los op vir x (gee algemene oplossing) en rond jou antwoord af tot twee desimale plekke. exams sin (x + 20°) = cos 3x [7] Oplossing sin (xactivity + 20°) = cos 3x Gebruik ko-funksies sin (x + 20°) = sin (90° – 3x) 3 ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Kies een hoek om die verwysingshoek te wees activity= (90° – 3x) Verw. hoek PAY SPECIAL ATTENTION x NB + 20° = 90° – 3x + k360° 3NB of x + 20° = 180° – ( 90° – 3x) + k360 3 4x = 70° + k360° 3 x + 20° = 180° – 90° + 3x + k360° comment x = 17,5° + k90° 3 –2x = 70° + k360° 3 comment HINT! wenk Step by step x = –35° – k180° 3 k ∈핑 [7] bv. 7 EG - worked examples PAY SPECIAL ATTENTION NB NB sin2 A − sinA cosA = 0 1.exams Trigonometriese 2. cos2A − 2 cosA − 3 = 0 vergelykings wat na kwadratiese vergelykings lei 3. cos2x + 3 sinx = − 3 [16] HINT! activity wenk Oplossings ACTIVITIES boy 1. sin2A − sinA cosAright=of page and girl-left and 0 sinA (sinA − cosA) = 0......3.......faktoriseer deur middel van ’n EG activity GGF bv. - worked examples ∴ sinA = 0 of sinA − cosA = 0 3 ∴ sinA = 0 of sinA = cosA comment ∴ A = 0° + Step n A=1 3 comment 360°by step 3 of tan exams ∴ A = 45° + 180°n.......n ∈핑 3 (5) 2. cos2A − 2 cosA − 3 = 0 (cosA + 1) (cosA − 3) = 0 3 ∴ cosA + 1 = 03 of cosA − 3 = 0 ∴ cosA = − 1 3 of cosA = 3 3 activity ∴ A = − 180° + 360°n .....n ∈핑 ACTIVITIES boy and girl-left and right of page as cosA = 3....geen oplossing nie 3 (5) activity 3. cos²x + 3 sin x = –3 gebruik cos²x = 1 – sin²x om ’n kwadratiese vergelyking in sin x te maak 1 – sin²x + 3 sin x + 3 = 0 –sin²x + 3 sin x + 4 = 0 comment comment sin²x – 3 sin x – 4 = 0 3 Step by step (sin x – 4) (sin x + 1) = 0 3 sin x – 4 = 0 of sin x + 1 = 0 sin x = 4 3 sin x = –1 3 Geen oplossing nie 3 Verw. hoek = –90° (–1 ≤ sin x ≤ 1) x = – 90° + k360° of x = 360° – 90°+ k360° x = 270° + k360° 3 (6) [16] 214 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 10.11 Saamgestelde en dubbelhoek identiteite sin (20° + 30°) ≠ sin 20° + sin 30° Wanneer twee hoeke opgetel of afgetrek word om ŉ nuwe hoek te vorm, dan word ŉ saamgestelde of ŉ dubbelhoek gevorm. Skets 1 Skets 2 Skets 3 A D F E P S β β α a a a B C G H T R     ^ Skets 1: Die saamgestelde hoek A BC is gelyk aan die som van α en β Bv. 75° = 45° + 30°     ^ Skets 2: Die saamgestelde hoek E GH is gelyk aan die verskil tussen α en β NOTA: Bv. 15° = 60° – 45° of 15° = 45° – 30°     ^ sin (α + β) ≠ sinα + sinβ en Skets 3: Die dubbelhoek P TR is gelyk aan die som van α en α cos (α – β) ≠ cosα – cosβ bv. 45° = 22,5° + 22,5° Deur dieselfde metodes te gebruik as wat ons gebruik het om die reduksieformules vas te stel, kan ons ook die saamgestelde hoek identiteite vasstel. Gegee enige hoeke a en β, kan ons die waardes van die sinus en kosinus verhoudings van die hoeke a + β, a – β en 2a bepaal. CIAL ATTENTION NB sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β In die finale eksamen word hierdie cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β formules op die inligtingsblad verskaf. rked examples sin 2α = 2sin α cos α Jy moet hierdie formules leer want cos 2α = cos2 α – sin2 α jy gaan dit dikwels gebruik. = 2cos2 α – 1 = 1 – 2 sin2 α ACTIVITIES boy and girl-left and right of© Departement van Basiese Onderwys 2015 page EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 215 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid Aanvaar: cos(α – β) = cosα.cosβ + sinα.sinβ, En lei die ander saamgestelde hoekidentiteite af. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Hierdie word in die eksamen gevra, leer dit goed. Bewys: cos(α + β) = cos[α – (–β)] = cosα.cos(–β) + sinα.sin(–β) HINT! = cosα.cosβ + sinα.(–sinβ) wenk = cosα.cosβ – sinα.sinβ Bewys: sin(α + β) = cos[90°EG– -(α + β)] = cos[90° – α – β] = cos[(90° – α) – β] bv. worked examples = cos(90° – α). cos(β) + sin(90° – α). sin(β) = sinα.cosβ + cosα.sinβ Bewys:exams sin(α – β) = cos[90° – (α – β)] = cos[90° – α + β] = cos[(90° + β) – α] = cos(90° + β). cosα + sin(90° + β). sinα = –sinβ.cosα + cosβ.sinα = sinα.cosβ – cosα.sinβ activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment Step by step 216 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 HINT! wenk bv. 8 EG - worked examples Vereenvoudig exams sonder die gebruik van ’n sakrekenaar: 1. cos70° cos10° + cos20° cos80° 2. 2 sin15° cos 15° 3. sin 15° [10] activity ACTIVITIES boy Oplossings and girl-left and right of page activity 1. cos70° cos10° + cos20° cos80° = cos70° cos10° + sin70° sin10° = cos(70° – 10°) 3comment comment = cos60° 3 Step by step =   _1 3 (3) 2 2. 2 sin15° cos15° = sin 2(15°) 3 = sin 30° 3 =   1_ 3 (3) 2 3. sin 15° = sin (45° – 30°) n = sin 45°.__ cos 30° – cos 45°. sin 30° n 1 √3 1 1 = ___   √__ × ___   2 – ___   √__ × __   2 33 2 2 __ √ 3 1 = ___   √ _ – ___   √ _ 2 2 2 2 __ __ √ 3 –1 √ 2__ = ____   √__ 3 ×  ___ 2 2 √2 __ __ √2 (√3 –1) = _______   4 3 (4) [10] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 217 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid Aktiwiteit 10 MOENIE ’n sakrekenaar gebruik om hierdie vraag te beantwoord nie. Toon ALLE berekeninge. Bewys __ __ dat: √2 (√3 –1) 1. cos 75° = _______   4 (5) 2. Bewys dat cos(90° – 2x).tan(180° + x) + sin2(360° – x) = 3sin2x (7) 3. Bewys dat (tan x – 1)(sin 2x – 2cos x) = 2(1 – 2sin x cos x)(7) 2 [19] Oplossings 1. LK = cos 75° = cos(45° + 30°) 3 = cos45°.cos30° __ __ __ – sin45°.sin30° 3 √2 √3 √2 1 = ___   2 .___   2 – ___   2 .__   2 33 __ __ __ 2 .√ √ 3 √ 2 = _____   4 – ___   4 __ __ √2 (√3 –1 = _______   4 3 = RK (5) 2. LK = cos(90° – 2x).tan(180° + x) + sin2(360° – x) ko-funksies en reduksies = sin2 x3. tan x3 + sin x3 2 dubbelhoek vir sin 2x trig identiteit vir tan x sin x = 2sin x.cos x3. ____   cos x 3+ sin x 2 vereenvoudig = 2 sin x + sin x3 2 2 = 3 sin2x3 = RK (7) 3. Daar is verskeie maniere om dit te bewys. Hier is een oplossing. LK = (tan x – 1)(sin 2x – 2cos2x) sin x = (____   cos x 3 – 1 )(2sin x. cos x3 – 2cos2x) dubbelhoekidentiteit vir sin 2x = 2sin2 x – 2sin x. cos x – 2sin x. cos x + 2cos2x33 vermenigvuldig = 2 sin2 x – 4 sin x cos x + 2 cos2 x3 = 2(sin2 x – 2sin x. cos x + cos2x)3 trig identiteit sin2 x + cos2 x = 1 = 2(1 – 2sin x. cos x)3 = RK (7) [19] 218 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 Aktiwiteit 11 Bepaal die algemene oplossing vir x in die volgende: a) sin 2x. cos 10° – cos 2x. sin 10° = cos 3x (8) b) cos2 x = 3 sin 2x (11) c) 2sinx = sin(x + 30°) (5) [24] Oplossings a) sin 2x. cos 10° – cos 2x. sin 10° = cos 3x gebruik saamgestelde hoekidentiteit ∴ sin (2x – 10°)3 = cos 3x gebruik ko-funksies ∴ sin (2x – 10°) = sin (90° – 3x)3 ∴ 2x – 10° = 90°–3x + k360°3of 2x–10° = 180°–(90°–3x) + k360°3 k ∈핑 ∴ 5x = 100° + k360°3 2x – 10° = 90° + 3x + k360° ∴ x = 20° + k72°3 –x = 100 + k360°3 x = –100 – k360 3 k ∈핑 (8) b) cos2 x = 3 sin 2x gebruik dubbelhoeke vir sin 2x cos2 x = 3(2 sin x.cos x)3 maak LK = 0 cos2 x – 3(2 sin x.cos x) = 0 vermenigvuldig cos2 x – 6 sin x.cos x = 03 gemeenskaplike faktor cos x (cos x – 6 sin x)3 = 0 ∴ cos x = 03 of cos x – 6 sin x = 03 cos x 6 sin x cos x = 0 of ____   cos x = _____   cos x cos x = 0 of 1 = 6 tan x 1 cos x = 0 of tan x = __   6 3 Verwysingshoek = 90° of verwysingshoek = 9,46° ∴ x = 90° + k360°3 of x = 360°–90° + k360° of x = 9,46° + k180° 3k ∈핑 x = 270° + k360°3 of x = 180° + 9,46° + k360°3k ∈핑 = 189,46° + k360° 3 k ∈핑 (11) c) 2 sin x = sin (x + 30° ) 2 sin x = sin x. cos30° + cosx.sin30°3 __ √3 1 2 sin x = sin x. ___ 2 + cos x.  2 3 __ vermenigvuldig met 2 __ 4 sin x = √3 sin x + cos x deel deur cos x __ 4 tan x = √3 tan x + 1 __ 4 tan x − √ 3 tan x = 13 1 tan x = _____ √ _ 3 4 − 3 x = 23,79° + k180°; k ∈핑 3 (5) [24] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 219 Mind the Gap Wiskunde

10 Eenheid 10.12 Bepaal x waarvoor NB die identiteit PAY SPECIAL ATTENTION NB HINT! ongedefinieerd is wenk bv. 9 EG - worked examples CIAL ATTENTION NB Vir watter waardes van x is hierdie identiteit ongedefinieerd? exams 1 ____ tan x   tan x + tan x = ____   sin2 x enige getal • _______   is 0 [4] ongedefinieerd As die noemer van activity ’n identiteit dus = 0, Oplossing ACTIVITIES boy and girl-left and dan is die identiteit 1 tan xright of page tan x activity  ____ + tan x = _____   sin2 x is ongedefinieerd as tan x = 0 of sin²x = 0 of as tan x rked examples ongedefinieerd. ongedefinieerd is • y = tanx is ongedefinieerd vir sekere waardes van [deling deur 0 is ongedefinieerd] as tan x = 0 as sin²x = 0 tan x is ongedefinieerd comment x. As ’n tanfunksie dus in OF comment OF x = 0° + k180°3 sin x = 0 33 x = 90° + k180° 3 (4) Step by step ’n identiteit is, dan is die OF identiteit ongedefinieerd x = 0° + k360° OF x = 180° + k360° waar die tanfunksie ongedefinieerd is. Dus is die identiteit ongedefinieerd vir x = 0° + k360° of x = 180° + k360° of x = 90° + k180° Al hierdie oplossings is dieselfde as x = 0° + k90° vir k ∈핑. [4] ACTIVITIES boy and girl-left and right of page comment comment Step by step 220 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 10 Wat jy moet kan doen: • Vereenvoudig uitdrukkings, sonder ŉ sakrekenaar, deur gebruik te maak van ŉ skets. • Gebruik reduksieformules en/of ko-funksies • Gebruik spesiale hoeke • Lei die trig identiteit af en gebruik dit: (Kwosiënt, kwadraat, saamgestelde en dubbelhoek identiteite). • Bepaal vir watter waardes ŉ identiteit ongedefinieerd is • Bepaal die algemene oplossing van trigonometriese vergelykings • Los trigonometriese vergelykings met ŉ gegewe interval op • Gebruik identiteite om identiteite te bewys en vergelykings op te los. Feb/Maart 2014 V8 & V9.1 & 9.2 Nov 2013 V10 & V11 Feb/Maart 2013 V8 & V9 Nov 2012 V8 & V9 Feb/Maart 2012 V11 & V12 Nov 2011 V9.1 & 9.2 & V12 Feb/Maart 2011 V10 Hou so aan! © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 10 TRIGONOMETRIE 221 Mind the Gap Wiskunde

11 Eenheid Trigonometrie: Sinus, kosinus en oppervlaktereëls Ons gebruik hierdie reëls om die lengtes van sye, groottes van hoeke en die oppervlakte van enige soort driehoek te bepaal. Om ŉ “driehoek op te los”, beteken jy moet die onbekende sye en hoeke bereken. 11.1 Reghoekige driehoeke Jy kan die trig verhoudings gebruik om hoeke en lengtes van ŉ reghoekige driehoek te bepaal. Aktiwiteit 1 A     ^ In driehoek    ABC,  B = 37° en ^ AC = 16 cm.  C= 90°. Bereken die lengte van AB en BC (korrek tot een desimale plek) (3) 16 cm [3] 37° B C Oplossing Om die lengte van AB te bereken, gebruik 37° as die verwysingshoek, dan is AC = 16 cm die teenoorstaande sy en AB die skuinssy. Gebruik die sinusverhouding teenoorst 16 sin 37° = ________ ___ skuins =   AB AB sin 37° = 16 16 AB = _____   sin37° = 26,6 cm 3 Om die lengte van BC te bereken, kan jy die volgende gebruik aangr cos 37° = _____   skuins = BC/26.6 26,6 cos 37° = BC 3 BC = 21,2 cm (tot een desimale plek) 3 Jy kan ook die Stelling van Pythagoras gebruik: AB2 = AC2 + BC2 [3] 222 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Unit 11 Aktiwiteit 2 In driehoek PQR, PQ = 12,3 m en P PR = 13 m. Bereken die grootte van Q. (2) (aangr) (teenoorst) 12,3 m 13 m θ Q R (skuinssy) [2] Oplossing Gebruik PQ en PR. teenoorst 13   skuins = ____ tan θ = _______   12.3 3 ( 13 ) θ = tan–1 ____   12.3   = 46,58° 3 [2] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS 223 Mind the Gap Wiskunde

11 Eenheid 11.2 Oppervlaktereël Oppervlakte van reghoekige driehoek: 1 Oppervlakte D =  __ 2 basis x loodregte hoogte 1 Oppervlakte D =  __ 2 bh loodregte loodregte hoogte hoogte basis basis Bewys van Oppervlaktereël [LEER VIR EKSAMENDOELEINDES]     ^     ^ As  A’n skerphoek is As  A’n stomphoek is B B c a h h 180°–A A b C A D C D b 1 2 bh……………(1) Oppervlakte van ∆ABC =  __ 1 h 2 bh……………(1) Oppervlakte van ∆ABC =  __  c ∴ h = c sin A Maar sin A = __ h Maar sin (180° – A) =  __c ∴ h = c sin A Vervang in (1) in 1 Vervang in (1) in 2 bc sin A Oppervlakte van ∆ABC =  __ 1 Net so kan dit aangetoon word dat 2 bc sin A Oppervlakte van ∆ABC =  __ 1 2 ab sin C Oppervlakte van ∆ABC =  __ Net so kan dit aangetoon word dat 1 1 2 ab sin C Oppervlakte van ∆ABC =  __ 2 ac sin B =  __ 1 2 ac sin B =  __ 224 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 11 ECIAL ATTENTION NB As die basis of hoogte onbekend is, kan jy trig verhoudings gebruik om dit uit te werk. As die loodregte hoogte nie gegee is en nie uitgewerk kan word nie, dan het ons ’n ander oppervlakteformule nodig. Daar is ’n formule wat werk om die oppervlakte van enige driehoek te bepaal, selfs al weet ons nie wat die loodregte hoogte is nie. Die oppervlakte van enige ∆ABC is die helfte van die produk van twee sye en sinus van die ingeslote hoek. A orked examples b c C B a As jy dus kies om hoek A te gebruik, dan is Oppervlakte ∆ABC = _  1 bc sin A 2 As jy kies om hoek B te gebruik, dan is Oppervlakte ∆ABC = _  1 ac sin B 2 As jy kies om hoek C te gebruik dan is ACTIVITIES boy Oppervlakte ∆ABC = _  1 ab sin C and girl-left and PAY SPECIAL ATTENTION 2 NB Leer een vorm van die formule –NB right of page jy kan die ander daarvandaan uitwerk. Om die oppervlakte van enige driehoek te bepaal, moet jy weet wat die lengtes van twee sye HINT! en die grootte van die hoek tussen die twee sye is. wenk step bv. comment 1comment EG - worked examples Bereken exams die oppervlakte van ∆MNK met m = 3,5 cm;      ^ n = 4,8 cm en  K= 112°. M Kies die weergawe van die formule wat sy m en sy n en hoek K gebruik, want dit activity is die bekende waardes. ACTIVITIES boy k and girl-left and 1 n = 4,8 Oppervlakte ∆ MNK =  __2 mn sin K right of page activity 1 = __   2 (3,5)(4,8) sin 112° K N = 8,4 sin 112° m = 3,5 comment comment = 7,788 cm2 (korrek tot drie desimale plekke) Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS 225 Mind the Gap Wiskunde

11 Eenheid 11.3 Sinusreël As jy genoeg inligting oor die sye en hoeke van enige driehoek het, kan jy die sinusreël gebruik om die ander sye en hoeke te bepaal. Sinusreël A Die verhouding van die sinus van c die hoek gedeel deur die sy teenoor b daardie hoek is dieselfde vir al drie B pare sye en hoeke. C a Dus … In enige driehoek ABC: sin A sin B sin C   a =  ____ ____ ____ b =   c Ons kan ook die verhoudings met die sye in die noemer gebruik: a b ____ ____ c  ____ sin A =   sin B =   sin C Die formule sal op die inligtingsblad verskaf word Bewys van Sinusreël [LEER VIR EKSAMENDOELEINDES]     ^     ^ As  A’n skerphoek is As  A’n stomphoek is B B c a a c A b C A b C Gebruik die Oppervlaktereël vir ΔABC: 1 1 1 2 bc sin A =  2 ab sin C =  2 ac sin B  __ __ __ 1 sin A sin C sin B  2 abc te deel, gee ____ Deur elkeen deur __   a =  ____ c =   b ____ PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Om die sinusreël te gebruik, moet jy weet wat ten minste een sy en sy ooreenstemmende teenoorstaande hoek en nog ’n sy of hoek is. HINT! hint A b c B C a e.g. EG - worked examples Die sinusreël kan gebruik word om baie probleme op te los as die korrekte inligting oor die driehoek gegee is. exams 226 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 11 Aktiwiteit 3      ^ Los    op vir ∆XYZ waarin z = 7,3 m,  X= 43° X ^ en  Y = 96°. Gee jou oplossings korrek tot 43° drie desimale plekke. (4) y z Z 96° x Y [4] Oplossing Die hoek teenoor die bekende sy is nie gegee nie, maar jy kan dit uitwerk.     ^  Z= 180° – (43° + 96°) (som van hoeke Gebruik weer die sinusreël om van ∆) x te bepaal:     x 7,3 ^  Z= 41° 3   sin 43° = ______ ______   sin 41° y 7,3 sin 43° Om y te bepaal: ______ 7,3   sin 96° = ______   sin 41° 3 x = ________   sin 41° 7,3 sin 96° y = ________   sin 41° x = 7,589 m 3 y = 11,066 m 3 [4] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS 227 Mind the Gap Wiskunde

11 Eenheid 11.4 Kosinusreël Jy kan die kosinusreël toepas as die waardes van die volgende gegee word: • Twee sye en die ingeslote hoek OF • Drie sye van ŉ driehoek Kosinusreël: In enige driehoek ABC: As jy kies om hoek A te gebruik, dan A a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b c As jy kies om hoek B te gebruik, dan B b2 = a2 + c2 – 2ac cos B C a As jy kies om hoek C te gebruik, dan c2 = a2 + b2 – 2ab cos C Bewys van die kosinusreël [LEER VIR DIE EKSAMEN]     ^     ^ As  A’n skerphoek is As  A’n stomphoek is B B h h c a 180°–A A D C b D A C b In Δ BDC: a2 = BD2 + CD2 (Stelling van Pythagoras) In Δ BDC: a2 = BD2 + CD2 (Stelling van Pythagoras) = BD2 + (b – AD)2 = BD2 + (b + AD)2 = BD2 + b2 – 2bAD + AD2 = BD2 + b2 +2bAD + AD2 Maar BD + AD2 = c2 2 (Stelling van Pythagoras) Maar BD2 + AD2 = c2 (Stelling van Pythagoras) Dus a = b + c + 2bAD …………………..(1) 2 2 2 Dus a  = b + c − 2bAD ……………………..(1) 2 2 2 In ΔABD:. AD AD In Δ ABD: cosA = ___   c ∴ AD = c cos A ………..(2) cos(180°- A) =  ___ c ∴ AD = − c cosA……….(2) Vervang (2) in (1) in Vervang (2) in (1) in ∴ a = b  + c − 2bc cosA 2 2 2 ∴ a2 = b2 + c2 − 2bc cosA Net so kan dit aangetoon word dat: Net so kan dit aangetoon word dat: b = a + c − 2ac cos B en 2 2 2 b2 = a2 + c2 − 2ac cosB en c = a  + b  − 2ab cos C 2 2 2 c2 = a2 + b2 − 2ab cosC 228 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 11 HINT! wenk bv. 2 EG - worked examples      P ^ Los op vir ∆PQR as q = 462 mm, p = 378 mm en  R= 87°. 1.exams Q Gebruik die kosinusreël 462 (twee sye en die ingeslote hoek is gegee, so jy kan die sy 378 teenoor die gegewe hoek bepaal) 87° = p2 + q2 – 2pq cos R activity PQ2 R ACTIVITIES boy PQ2 = (378)2 + (462)2 – 2(378)(462).cos 87° and girl-left and right of page PQ 2 = 338 048,5159 activity PQ = 581,42 mm [neem die vierkantswortel] Gebruik die sinusreël: comment 378 ____ 581,42 comment   sin P = _____   sin 87°Step by step sin P ____ _____ sin 87°     ^   378 =   581,42 (dit is makliker om  Pin die teller te hê) 378 × sin 87° sin P = __________   581,42 sin P = 0,649     ^  P= sin–1(0,649) = 40,48°      ^ ∴  Q= 180° – (87° + 40,48°) = 52,52° [som van die hoeke van ∆] 2. Bepaal die grootste hoek in ΔABC as a = 7 cm; b = 9 cm en c = 15 cm. Drie sye is vir jou gegee, gebruik die kosinusreël ^ Die grootste hoek sal C wees (teenoor die langste sy). c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C herrangskik die formule om cos C op sy eie te kry 2 ab cos C = a2 + b2 – c2 a2 + b 2 − c 2 cos C = ________   2ab 72 + 92 − 152 cos C =  _________ 2(7)(9) cos C = –0,753968… cos θ is negatief in kwadrant II,     ^ dus is  C’n stomphoek. Verwysingshoek is 41,06°     ^  C= 180° – 41,064…° = 138,94° (korrek tot twee desimale plekke) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS 229 Mind the Gap Wiskunde

11 Eenheid 11.5 Probleme in twee en drie dimensies Aktiwiteit 4 1. PQRS is’n trapesium met PQ // SR, PQ = PS, SR = 10 cm,      ^ QR = 7 cm,  R= 63°. Bereken: P Q a) SQ (2) b) PS 7 cm (6) c) oppervlakte van vierhoek PQRS. 63° S R IAL ATTENTION (korrek tot twee 10 cm NB desimale plekke) (5) [13] Wanneer driehoeke opgelos word, begin Oplossings met die driehoek met a) In ∆ QSR, weet jy wat twee sye en die ingeslote hoek is, so gebruik die die meeste inligting (d.i. kosinusreël. driehoek met drie sye of SQ² = 7² + 10² – 2(7)(10)cos 63° 3 twee sye en `n hoek of twee hoeke en `n sy wat SQ² = 85,44… bepaal die vierkantswortel ked examples gegee is) SQ = 9,24 cm 3 (2) b) In Δ PQS, weet jy dat PQ = PS en jy het uitgewerk dat SQ = 9,24 cm. Dink eers oor die vraag     ^ As jy  Pkan bepaal, dan kan jy die sinusreël gebruik om PS te bepaal.     ^      ^     ^ Om  Pte bepaal, moet jy eers P QS of P SQ bepaal.      ^     ^ P QS = P SQ (verwisselende hoeke, PQ // SR)     ^ Nou kan jy ’n waarde vir Q SR uitwerk. ^      ^ In ∆QSR, is drie sye en  Rbekend.     ^ Dit is dus die maklikste om die sinusreël te gebruik om Q SR te bepaal.     ^ ACTIVITIES boy sin Q SR ______ sin 63° and girl-left and   7 =   _____ 9,24 3 right of page     ^ 7 sin 63° sin Q SR = ______   9,24 = 0,675004     ^ ∴ Q SR = 42,45° 3      ^     ^ P QS= Q SR = 42,45° (verwisselende hoeke, PQ // SR)      ^     ^ P QS= P SQ = 42,45° (basishoeke van gelykbenige ∆) ep comment comment     ^ ∴  P= (180° – (42,45° + 42,45°) 3 = 95,1° 3 (som van hoeke in ∆)     ^ Nou kan ons PS bepaal deur die sinusreël en  Pte gebruik. _______PS 9,24 In ∆PQS   sin 42,45° =  ______ sin 95,1 3 9,24 sin 42,45° PS =  ___________ sin 95,1 PS = 6,26 cm 3 (6) 230 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 11 c) Om die oppervlakte van PQRS te bepaal, bepaal die oppervlakte van die twee driehoeke en tel dit bymekaar.     ^ Om die oppervlakte van ∆PQS te bepaal, gebruik  P= 95,1° en PS = PQ = 6,26 cm. 1   2 qs sin P 3 Oppervlakte ∆PQS = __ 1 Oppervlakte ∆PQS = __   2 (6,26)(6,26)sin95,1° Oppervlakte ∆PQS = 19,52 m² 3      ^ Om die oppervlakte van ∆RQS te bepaal, gebruik  R= 63°, QR = 7 cm en SR = 10 cm. 1 Oppervlakte ∆RQS =  __2 (7)(10)sin63 3 Oppervlakte ∆RQS = 31,19 m² 3 ∴Oppervlakte PQRS = 19,52 + 31,19 = 50,71 m² 3 (5) [13] Aktiwiteit 5 In die diagram hier langsaan,     AC = 7 cm, A ^ DC = 3 cm, AB = AD, D CA = 60°,      ^     ^ β D AB = β en A BD = θ. ___ √37 sin β Toon aan dat BD =  _______ sin θ 7cm θ 60° B D 3cm C [3] Oplossing AD2   = AC2+ CD2− 2AC.CD cos 60°= (7)2+ (3)2– 2 × 7 × 3 × 0,5 3 AD2 =58 – 21 AD2 = 37 ___ AD = √37 P Pas die sinusreël toe: AD sin β ___ BD AD  ____ sin β =  ____ _______ sin θ ⇒ BD =   sin θ maar AD = 37 3 √ ___ √37 sin β ∴BD =  _______ sin θ 3 [3] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS 231 Mind the Gap Wiskunde

11 Eenheid Aktiwiteit 6 C 1. In die diagram hier langsaan, is ABC ’n reghoekige driehoek. x x     ^     ^ KC is die halveerder van A CB. AC = r eenhede en B CK = x r 1.1 Skryf AB neer in terme van x(2)      ^ 1.2 Gee die grootte van A KC in terme van x(2) AK 2 1.3 As dit gegee word dat  ___ =  __3 , bereken die K A AB B waarde van x(7) H 2. A, B en L is punte op dieselfde horisontale vlak, HL is ’n vertikale pool met lengte 3 meter,     ^ AL = 5,2 m, die hoek A LB = 113° en die hoogtehoek van 3m H na B is 40°. 2.1 Bereken die lengte van LB (3) 40° 2.2 Bereken gevolglik die lengte van AB. (3) L 113° B 2.3 Bepaal die oppervlakte van ∆ABL. (3) 5,2 A 3. Die hoogtehoek vanaf ’n punt C op die grond, by die middelpunt van die doelpaal, na die hoogste punt A van die boog, direk bokant die middelpunt van die Moses Madhiba sokkerstadion is 64,75°. Die sokkerveld is 100 meter lank en 64 meter wyd soos bepaal deur FIFA vir wêreldbekerstadions. Verder is AC ⊥ PC. In die figuur hieronder is PQ = 100 meter en PC = 32 meter 3.1 Bepaal AC (2)      ^ 3.2 Bereken P AC(2) A 3.3 ’n Kamera word by D, 40 m direk onder punt A geplaas, bereken die afstand vanaf D na C. (4) 40 m D [28] P Q 64.75° C M 232 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 11 Oplossings AB 1.1 sin 2x = ___   r ∴ AB = r sin 2x 33 (2)      ^ 1.2 A KC = 90° + x [buitehoek van ∆CBK] 33 (2) AK r r sin x sin x =   sin(90° + x) ∴ AK =   cos x 33 _________ _____ 1.3  ____ r sin x AK   cos x _____ r sin x 1 2   AB =   r sin 2x =   r   ___ ______ _____________ _____ __ =   =   33 cos x.2 cos x sin x 2cos2x 3 3 ∴ cos2x =  __4 3 __ √3 cos x =  ___ 2 3 Gevolglik x =  3003 (7) 3 2.1 In ∆HLB, tan 40° = ___   LB 3 , [∆HLB is reghoekig, gebruik dus n trig verhouding] 3 LB = _____   tan 400 3 LB = 3,5752… ≈ 3,58 meter 3 (3) 2.2 In ∆ABL, , , [∆ABL is nie n reghoekige driehoek nie. Jy het twee sye en n ingeslote hoek, gebruik dus die kosinusreël.] AB2 = AL2 + BL2 – 2(AL)(BL).cos L 3 AB2 = (5,2)2 + (3,58)2 – 2(5,2)(3,58).cos 113° 3 AB2 = 54,40410… m2 AB = 7,38 m 3 (3) 1     ^ 2.3 Oppervlakte ∆ABL = __   2 AL × BL × sin A LB 3 1 = __   2 (5,2) × (3,58) × sin 113° 3 = 8,56805… 3 ≈ 8,57 m2 (3) CM CM 50m 3.1 cos 64,750° = ____   AC ∴ AC =  _______ =  _______= 117,21 33 (2) cos 64,750 0,426569      ^ PC 3.2 tanP AC =  ___ AC      ^ P AC = tan−1 ___32   AC ( )   3 = 15,27 3 0 (2) 3.3 DC2= AC2+ AD2− 2AC.ADcos(900− 64,750) 3 DC2 = (117,21)2+ (40)2− 2(117,21).40cos(25,250) 3 = 6857,289 3 DC = 82,81 m 3 (4) [28] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS 233 Mind the Gap Wiskunde

11 Eenheid Wat jy moet kan doen: sin θ • Lei die trig identiteite af en gebruik dit: tan θ =  ____ cos θ en sin2θ + cos2θ = 1. • Lei reduksieformules af en gebruik dit om uitdrukkings te vereenvoudig. • Bepaal vir watter waardes van ŉ veranderlike ŉ identiteit geldig is. • Lei die sinus-, kosinus- en oppervlaktereëls af en gebruik dit. • Pas die sinus-, kosinus- en oppervlaktereëls toe om driehoeke in 2D- en 3D-probleme op te los. • Gebruik die saamgestelde hoek en dubbelhoekidentiteite waar nodig om berekeninge te bewys en te doen. November 2013 Vraag 13 Feb/Maart 2013 Vraag 11 Feb/Maart 2012 Vraag 12 November 2012 Vraag 12 November 2011 Vraag 11 November 2010 Vraag 11 Hou so aan! 234 EENHEID 11 TRIGONOMETRIE: SINUS, KOSINUS EN OPPERVLAKTEREËLS © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 12 Euklidiese Meetkunde 12.1 Hersiening: Eweredigheid en oppervlakte van driehoeke 1. Verhouding en eweredigheid Verhouding vergelyk twee mates van dieselfde soort deur dieselfde eenhede te gebruik. Byvoorbeeld As Lyn A 2 eenhede lank is en Lyn B 6 eenhede lank is, dan is die verhouding van Lyn A : Lyn B gelyk aan 2 : 6. Dit is dieselfde verhouding as 1 : 3. Lyn C is 1 eenheid lank en Lyn D is 3 eenhede lank. Dus Lyn C : Lyn D is 1 : 3. Dus is C en D eweredig aan A en B. A C B D A C Die twee verhoudings is dus gelyk en ons kan sê dat __  B =  __ D Ons sê dat A, B, C en D eweredig is. Hierdie eweredigheid kan op baie maniere geskryf word: A C A B B D C D As  __ __ B =   D , dan 1. __  C =  __ D 2.  __ __ A =   C 3.  __ __ A =   B © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 12 Euklidiese MeetkundeY 235 Mind the Gap Wiskunde

12 Eenheid Verhouding en eweredigheid van oppervlaktes en sye van driehoeke 1. As twee of meer driehoeke ’n gemeenskaplike hoekpunt (A) het, en tussen dieselfde ewewydige lyne lê, het hulle ook ’n gemeenskaplike loodregte hoogte. B C D E 2. Die oppervlaktes van driehoeke met gelyke hoogtes D is eweredig aan hulle basisse. Onthou: oppervlakte ∆ = ½ basis x loodregte hoogte ∆ADB, ∆DBC en ∆ADC het almal dieselfde ⊥ hoogte DE. A B E C Dus is Oppervlakte ∆ADB : Oppervlakte ∆DBC : Oppervlakte ∆ADC (½ AB × DE) : (½ BC × DE) : (½ AC × DE) AB : BC : AC 3. As twee of meer driehoeke CD tussen ewewydige lyne lê, het hulle dieselfde hoogte. h 4. Driehoeke op dieselfde basis (of gelyke basisse en tussen AB ewewydige lyne) het dieselfde oppervlakte. Oppervlakte ∆ABC = ½(AB)h Oppervlakte ∆ADB = ½(AB)h Oppervlakte ∆ABC = Oppervlakte ∆ADB 236 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 12 12.2 Eweredigheidstellings Stelling 7 (Leer die bewys vir die eksamen) Eweredigheidstelling As ’n lyn ewewydig aan een sy van ’n driehoek getrek word, verdeel dit die ander twee sye eweredig. (Eweredigheidstelling, DE ∣∣ BC) A Gegee: Driehoek ABC met D op AB en E op AC, DE ∣∣ BC AD = __ Om te bewys:  __   AE h k DB EC Bewys: Konstruksie: Trek hoogte h en k in ∆ADE D E Verbind DC en BE   ½.AD.h = __ Oppervlakte van ∆ADE ________________   = _____      AD (dieselfde hoogte h) Oppervlakte van of ∆BDE ½.DB.h DB =   ½.AE.k =  __ Oppervlakte van ∆ ADE _____ _______________ AE (dieselfde hoogte k) en     B C Oppervlakte van ∆ CED ½.EC.k EC maar Oppervlakte ∆ADE = Oppervlakte ∆CED (dieselfde basis DE; dieselfde hoogte; DE ∣∣ BC) Oppervlakte van ∆ ADE Oppervlakte van ∆ ADE ∴  ________________    = _______________        Oppervlakte van of ∆ BDE Oppervlakte van ∆ CED AD = __ ∴  __   AE DB EC Oplossing van probleme deur eweredigheid te gebruik Aktiwiteit 1 1. Bepaal die waarde van x, in die diagram hier langsaan, as PQ ∣∣ BC. (4) Oplossing AP AQ   PB = ___ ___   QC 3 (PQ ∣∣ BC, eweredigheidstelling) 3 5 4 ∴ __   3 = __  x 3 ∴ 5x = (3)(4) 12 ∴ x = __   5 = 2,4 cm 3 [4] 2. In ∆ABC, AB ∣∣ FD; AF ∣∣ DE NOTA: en FE : EC = 3 : 4. A 3 : 4 beteken nie dat FE = 3 Bepaal EC : BF en EC = 4 nie. D Vir enige a, kan ons sê dat FE = 3a en EC = 4a Vir elke 3 van a in FE, is daar 4 van a in EC. B F E C (7) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde 237 Mind the Gap Wiskunde

12 Eenheid Oplossing Werk met twee verskillende driehoeke: ∆ACF en ∆ABC A A D D B F E C B F E C In ∆ACF: ___AD FE   DC = ___   EC 3 (AF ∣∣ DE, eweredigheid, afsnitstelling) 3 In ∆ABC: AD ___ ___ BF   DC =   FC (AB ∣∣ FD, eweredigheid, afsnitstelling) 3 FE BF AD ∴ ___   EC = ___   FC (albei = ___   DC ) 3 ___FE 3a BF BF   EC = __   4a en ___   FC = ___   7a 3a BF ∴ __   4a = ___   7a 3 ∴ BF = 3(__   4   )=   7a 21a ___ 43 EC 21a ∴ ___ BF = 4a ÷ ___   4 4a 4 = __   1 × ___   21a 16 = __   21 3 ∴ EC : BF = 16 : 21 [7] 238 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 12 3. Bepaal die waarde van x as PQ ∣∣ BC. (4) Oplossing A ___AP AQ   PB =  ___ (eweredigheidstelling, PQ ∣∣ BC ) 3 QC 3 5 4   3 =   x 3 __ __ 5cm 4cm 5x = (3) (4) x =   12 __ 5 = 2,4cm 3 P Q 3cm x [4] B C 4. In die diagram, RF ∣∣ KG , ED ∣∣ KH, H RH = 3 eenhede, RK = 9 eenhede, HF = 2 eenhede. GE: EK = 1:3 3 2 R F Bereken (met redes) die lengtes van GE : EK = 1 : 3 9 D 4.1 FG 4.2 FD (8) K G 3m E 1m Oplossings 4.1 In ∆HKG FG 9 ___   2 =  __3 3 S (lyn ∣∣ een sy van ’n ∆) 3 R of (RF ∣∣ KG) FG = 6 eenhede 3 S (3) GD GE 1 4.2  ___ ___ __ GH =   GK =   4 3 S (lyn ∣∣ een sy van ’n ∆) 3 R of (ED ∣∣ KH) 1 GD =  __4 .GH 1 GD =  __4 . (8) 3 S GD = 2 3 S ∴ FD = 6 − 2 = 4 eenhede 3 R OF In ∆HKG, HK ∣∣ DE GD EG ___ ___ __ 1   DH =   EK =   3 3 S (lyn ∣∣ een sy van ’n ∆) 3 R Of (eweredigheidstelling, HK//DE ) 6 − FD 1  ______ __ 2 + FD =   3 3 S 18 − 3FD = 2 + FD 3 ∴ FD = 4 eenhede 3 (5) [8] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde 239 Mind the Gap Wiskunde

12 Eenheid PAY SPECIAL ATTENTION 12.3 Gelykvormige veelhoeke NB NB Gelykvormige veelhoeke het dieselfde vorm maar nie noodwendig HINT! wenk dieselfde grootte nie. bv. 1 EG - worked examples Elke vierkant is gelyksoortig aan elke ander vierkant. exams activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity Veelhoeke (met dieselfde comment aantal sye) is gelykvormig as comment • Al die pare ooreenkomstige Step by step hoeke gelyk is (Hulle is gelykhoekig) en • Al die pare ooreenkomstige sye eweredig is. Albei hierdie voorwaardes moetNBterselfdertyd geldig wees. NB PAY SPECIAL ATTENTION ||| is die simbool wat ons gebruik om te sê een veelhoek “is gelykvormig aan” ’n ander veelhoek. HINT! wenk bv. 2 EG - worked examples P Q exams A B T Ooreenkomstige sye is sye E in dieselfde posisie (met betrekking tot die hoeke) in activity elke veelhoek. ACTIVITIES boy S R D E and girl-left and right of page activity Beskou pentagoon ABCDE en pentagoon PQRST      ^     ^ ^             ^ ^           ^ ^     ^     ^     ^  A=  P;  B=  Q;  C=  R;  D=  S;  E=  T comment comment EN Step by step AB BC DC ED EA  ___ ___ ___ ___ ___ PQ =   QR =   SR =   TS =   TP ∴ABCDE ||| PQRST (gelykhoekige en ooreenstemmende sye is eweredig) Driehoeke is spesiale veelhoeke: gelykhoekige ∆e ➝ • As twee driehoeke gelykhoekig is, dan sal hulle sye altyd eweredig gelykvormige ∆e wees, dus is die driehoeke gelykvormig. ooreenstemmende sye in • As die sye van twee driehoeke eweredig is, dan sal die driehoeke ∆e is eweredig ➝ ∆e is gelykhoekig wees, dus is die driehoeke gelykvormig. gelykvormig 240 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 12 Stelling 9 (Leer die bewys vir die eksamen) As twee driehoeke gelykhoekig is, dan is die ooreenstemmende sye eweredig en daarom is die driehoeke gelykvormig.     ^     ^     ^     ^     ^ Gegee: ∆ ABC en ∆ DEF met A  =  D; B = E ; = F   DE = __ Om te bewys: __   EF = __   DF AB BC AC D Bewys: Op AB merk AP = DE en op AC merk AQ = DF af Trek PQ In ∆ APQ en ∆ DEF AP = DE (Konstruksie)     ^     ^ A  =  D (gegee) AQ = DF (konstruksie) ∴ ∆ APQ ≡ ∆ DEF (SHS) E F     ^     ^ ∴ P 1 = E      ^     ^     ^     ^ ∴ P 1 = B  (E = B ) A ∴ PQ ∣∣ BC (Ooreenstemmende ∠ e gelyk)   AQ (PQ ∣∣ BC in ∆ ABC )   AP = __ ∴ __ AB AC Maar AP = DE en AQ = DF P 1 Q DE = __ ∴  __   DF AB AC 2 Net so kan ons bewys dat B C DE = __  __   EF AB BC   DE = __ ∴ __   EF = __   DF AB BC AC Maar die driehoeke is gelykhoekig ∴ ∆ ABC ||| ∆ DEF NOTA: As twee driehoeke twee ooreenkomstige hoeke het wat gelyk is, dan sal die derde hoeke gelyk wees aan mekaar (som van die hoeke van ’n driehoek = 180°) en die driehoeke is daarom gelykvormig en hulle sye sal eweredig wees. Die verkorte rede wat jy kan gebruik is (derde hoek) 40° 40° 80° 80° As twee hoeke dieselfde is, dan is die derde hoek van albei driehoeke 180° – (40° + 80°) (som van hoeke in ∆) = 60° © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde 241 Mind the Gap Wiskunde

12 Eenheid Stelling 10 (Leer die bewys vir die eksamen) As twee driehoeke se sye eweredig is, dan sal die ooreenstemmende hoeke gelyk wees en die driehoeke sal gelykvormig wees. Gegee:  DE = __ ∆ ABC en ∆ DEF met __   EF = __   DF A AB BC AC     ^     ^ ^         ^ ^     ^     A  =  D; B = E  ;  C= F  Om te bewys:     ^     ^     ^     ^ Bewys: Trek ∆ PEF so dat PE F = B en EF P =  C ∴ ∆PEF ||| ∆ABC (gelykhoekige ∆e) PE = __ ♦ ∴  __   EF = __   PF B C AB BC AC DE = __ Maar  __   EF = __   DF (Gegee) D AB BC AC ∴ PE = ED en PF = DF En EF is gemeenskaplik ∴ DEF ≡ ∆ PEF (SSS) 1             E 1 ^ ^ ^ F ∴ F 1 = F 2 =  C 2 2 ♦     ^     ^     ^ en E 1= E 2 = B      ^     ^ ^         ^     ^     ^ d.i. A  =  D; B = E 1 ;  C= F 1 Maar die ooreenstemmende sye van die driehoeke is eweredig P ∴ ∆ ABC ||| ∆DEF Stelling 11 (Leer vir die eksamen) Die Stelling van Pythagoras (bewys met gelykvormige driehoeke) In enige reghoekige driehoek is die kwadraat van die skuinssy gelyk aan die som van die kwadrate van die ander twee sye.     ^ Gegee: ∆ABC met A = 90° Om te bewys: BC2 = AB2 + AC2 Bewys: Trek AD ⊥ BC A In ∆ABD en ∆CBA     ^ B is gemeenskaplik     ^     ^ A DB = CA B = 90° (gegee)     ^     ^ B A D = B CA (3de ∠ van ∆) ∴ ∆ABD ||| ∆CBA (HHH) ∴   AB   BD __ = __ (ABD ||| CBA) BC AB ∴ AB2 = BC × BD B C D Net so ∆ACD ||| ∆CBA en AC2 = DC × CB ∴ AB2 + AC2 = BC × BD + DC × CB AB2 + AC2 = BC (BD + DC) AB2 + AC2 = BC × BC AB2 + AC2 = BC2 242 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 12 Aktiwiteit 2 1. C      ^ Diameter AME van sirkel met middelpunt M halveer F AB. MD is loodreg op die koord AB. A D 4 B 2 1 3 ED verleng ontmoet die sirkel by C en CB word 1 2 verbind. 1 2 a) Bewys ∆AEF ||| ∆AMD (5) M b) Bepaal gevolglik die numeriese waarde van 2 AF  ___ AD . (5) 1 E c) Bewys ∆CDB ||| ∆ADE (4) d) Bewys AD2 = CD. DE (3) F [17] Oplossing Oplossing AE EF AF a) b) ____   AM = ____   MD =  ___ AD (||| ∆e) 3 C AM = ME (radiusse) 3 ∴ AE = 2AM 3 A D 4 B 2AM AF 1 2 1 3 2 ∴ _____   AM = ___   AD 3 AF 1 ∴ ___   AD = 2 3 (5) 2 M 2 1 E F     ^  F= 90° (∠ in halfsirkel) 3      ^  D1 = 90° (gegee MD ⊥ AB) 3     ^      ^ ∴  F=  D1 In ∆AEF en ∆AMD     ^      ^  F=  D1 3 (bewys)      ^      ^      ^  A1 =  A2 (AM halveer F AB) 3     ^       ^ ∴  E1 =  M1 (derde ∠ van ∆) ∴ ∆AEF ∣∣∣ ∆AMD (HHH) of ∠∠∠ 3 (5) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde 243 Mind the Gap Wiskunde

12 Eenheid Oplossing Oplossing c) d) C C A D 4 D 4 2 1 3 B A B 1 2 1 3 2 1 2 1 1 2 2 M M 2 2 1 E 1 E F F ___CD DB In ∆CDB en ∆ADE   AD = ___   DE (III ∆e)     ^      ^  C=  A2 3 (∠e in dieselfde segment) 3 ∴ CD. DE = AD. DB 3     ^     ^ Maar AD = DB (MD ⊥ AB, M is die  B=  E2 (∠e in dieselfde segment) 3 middelpunt) 3      ^      ^      ^  D4 =  D1 +  D2 (teenoorst ∠) ∴ CD. DE = AD 3 ∴ ∆CDB ||| ∆ADE (HHH) 3 (4) ∴ AD2 = CD. DE (3) [17] 244 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 12 2. A CD is ’n raaklyn aan sirkel ABDEF by D. Koord AB word verleng na C. Koord BE sny koord AD in H en koord FD in G. F AC ∣∣ FD en FE = AB.           B 1 ^ ^ a) Bewys dat  D4 =  D2 (3) 3 2 3 H b) Bewys dat ∆BHD ||| ∆FED (5) G 2 1 AB FD 1 23 1 c) Gevolglik ___   BH = ___   BD (3) 3 2 1 2 [11] 4 E C D Oplossings      ^      ^ a)  A=  D4 (raaklyn-koord stelling) 3      ^      ^  D2 =  A (verw ∠e CA ∣∣ DF) 3      ^      ^  D4 =  D2 3 (3) A A F F B 1 B 1 3 2 3 2 3 H 3 H G G 2 1 2 1 1 23 1 1 23 1 3 2 1 2 3 2 1 2 4 E 4 E C C D D b) In ∆BHD en ∆FED     ^     ^  B2 =  F (∠e in dieselfde segment) 3      ^      ^  D3 =  D1 3 (gelyke koorde) 3      ^     ^  H2 =  E2 (derde ∠ van Δ) 3 ∴ ∆BHD ||| ∆FED ∠∠∠ 3 A (5) F FE FD c)  ___ ___ BH =   BD 3 (||| ∆e) B 1 Maar FE = AB 3 (gegee) 3 2 3 H AB FD G ∴ ___   BH = ___   BD 3 2 1 1 23 1 (3) 3 2 1 2 4 E C D [11] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde 245 Mind the Gap Wiskunde

12 Eenheid 3. In die diagram is ∆ABC sodanig dat F op AB is en G op AC is. CB word verleng en ontmoet GF verleng by E. DGFE is ’n reguitlyn. BFA ∣∣ CD. AB = 20, BC = 10, EF = 8, EB = 5 en FB = 6. E F1 2 A 3 2 1 B 3 G12 2 1 D C EF 3.1 Bepaal die numeriese waarde van ___  ED (3) 3.2 Bereken die lengte van ED (2) 3.3 Voltooi, sonder om die redes te gee: ∆EFB ∣∣∣ ∆ …. (1) 3.4 Gevolglik, bereken die lengte van DC (3) AF ___ FG 3.5 Bewys dat:  ___ CD =   DG (4) [13] Oplossings BFA ∣∣ CD. AB = 20, BC = 10, EF = 8, EB = 5 en FB = 6 3.1 3.5 In ∆AFG en ∆CDG FB ll CD (Gegee)      ^     ^  A=  C1 (verw ∠e. AF ∣∣ DC) 3 S/R EF EB  ___ ___ ED =   EC 3 S (lyn ∣∣ een sy van A) 3 R      ^      ^  G3 =  G1 (regoorstaande ∠e) 3 S/R EF 5 1  ___ __ __ ED =   15 =   3 3 S (3)     ^      ^  F3 =  D (verw ∠e. AF ∣∣ DC) ∆AFG III ∆CDG (∠∠∠) 3 R AF ___ FG  ___ CD =   DG (∆AFG ∣∣∣ ∆CDG) 3 R (4) EF 1 3.2  ___ __ ED =   3 uit 3.1 en EF = 8 8 1 ∴ ___   ED = __   3 3 ED = 24 3 S (2) 3.3 ∆EFB ∣∣∣ ∆EDC 3 (1) DC ED ___ 3.4   FB = ___   EF (∆EFB ∣∣∣ ∆EDC) 3 R DC 24  ___ __ 6 =   8 3 S DC = 18 3 S (3) [13] 246 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 12 4. In die diagram is PQCB ’n sikliese vierhoek. Koord BP en CQ word verleng om by A te ontmoet sodat AQ = BC. B P 1 2 A 2 1 Q C 4.1 Bewys dat: ΔAPQ ∣∣∣ ΔACB (4) 4.2 Bewys gevolglik dat: AQ² = AB.PQ (3) [7] Oplossings 4.1 Bewys: In ΔAPQ en ΔACB      ^      ^  A=  A (gemeenskaplik) 3 S/R     ^     ^  P2 =  C3 S (buite ∠ van ’n sikliese vierhoek ) 3 R     ^     ^  P2 =  B (som ∠e van ∆) of (buite ∠ van sikliese vierhoek) ∆APQ ∣∣∣ ∆ACB ( ∠.∠.∠) 3 R (4) 4.2 ___AQ PQ   AB = ___   BC 3 S (∆APQ ∣∣∣ ∆ACB) 3 S AQ ___ PQ  ___AB =   AQ 3 S ( AQ = BC ) AQ2 = AB.PQ (3) [7] Hou so aan! © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 12 Euklidiese Meetkunde 247 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid Statistiek Datahantering is die studie van statistiek, of data. Ons versamel, organiseer, ontleed en interpreteer data. Die data kan inligting verskaf aan studente, navorsers, adverteerders en besighede. Dit verskaf aan ons ŉ begrip van maatskaplike kwessies en menslike tendense. Dan kan ons ingeligte besluite neem wanneer ons vir die toekoms beplan of ŉ nuwe advertensie maak, of maatskaplike kwessies takel. Ons versamel data gewoonlik van ŉ redelike klein groep (wat die steekproef genoem word). Die steekproef moet groot genoeg wees en dit moet ewekansig uit die populasie gekies word. Dit is om seker te maak dat dit ŉ regverdige verteenwoordiging is van die tendense in die groter groep mense (wat die populasie genoem word). PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Populasie HINT! wenk Steekproef: Etlike data watEGewekansig uit die populasie gekies bv. word. - worked examples exams activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment Step by step 248 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 13.1 Staafgrafieke en frekwensietabelle PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Data kan voorgestel word met ŉ frekwensietabel of met ŉ staafgrafiek. Elke staaf verteenwoordig ŉ groep data en die stawe kan met mekaar vergelyk word. Die een as van die staafgrafieke moet benoem word en die HINT! wenk as moet genommer word. ander bv. 1 EG - worked examples Inexams ’n Geografieklas het 23 leerders ’n toets uit 10 geskryf. Hier is ’n lys van hulle punte: 4; 1; 2; 2; 6; 9; 6; 10; 6; 8; 9; 6; 7; 7; 8; 4; 6; 6; 5; 7; 9; 10; 6. Ons kan ’n frekwensietabel gebruik om hierdie data op te teken. activity Frekwensietabel ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity Telmerke Punt uit Aantal leerders wat hierdie punt gekry het 10 uit (frekwensie) 1 / 1 comment comment 2 // Step by step 2 3 0 4 // 2 5 / 1 6 //// // 7 7 /// 3 8 // 2 9 /// 3 10 // 2 Ons kan ook ’n staafgrafiek maak om hierdie data aan te toon. Gebruik die punte van 1 tot 10 op die horisontale as. Gebruik die aantal leerders wat daardie punt gekry het op die vertikale as. Die aantal leerders is die frekwensie. Geografiepunte uit 10 uit 8 7 6 5 Aantal leerders 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Punt uit 10 uit © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 249 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid 13.2 Mate van sentrale neiging 13.2.1 Ongegroepeerde data Mate van sentrale neiging is verskillende maatstawwe wat gebruik word om die “middel” of “gemiddelde” van ŉ stel data te bepaal. Die drie soorte “middel” van ŉ stel data wat ons gebruik, word die gemiddelde, die mediaan en die modus genoem. Dit is goed om te begin deur die stel data in toenemende volgorde te rangskik voordat ons met die vrae begin. 1. Gemiddelde Die gemiddelde van die data is die gemiddeld wanneer jy al die waardes optel en dit deur die aantal waardes deel. Ons gebruik die     – simbool ( x ) vir die gemiddelde PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Gemiddelde ( x) = ___ ∑fx     –   n HINT! In die eksamen sal hierdie formule op die inligtingsblad gegee word. wenk bv. 2 EG - worked examples In ’n Wiskundeklas het 23 leerders ’n toets uit 25 geskryf. Hier is ’n lys van exams hulle punte: 14; 10; 23; 21; 11; 19; 13; 11; 20; 21; 9; 11; 17; 17; 18; 14; 19; 11; 24; 21; 9; 16; 6. activity Bereken die gemiddelde van hierdie data. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Oplossing activity    som van die waardes in stel Gemiddelde ( x) = ____________________ –      aantal waardes in stel = 14 + 10 + 23 + 21 + 11 + 19 + 13 + 11 + 20 + 21 + 9 + 11 + 17 + 17 + 18 + 14 + 19 + 11 + 24 + 21 + 9 + 16 + 6 __________________________________________________________________________________ comment              3 comment 23 Step by step = 15,4347… 3 (2) 250 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Eenheid 13 2. Mediaan HINT! wenk Die mediaan is die middelste getal in ŉ geordende stel data. bv. 3 EG - worked examples In ’n Wiskundeklas het 23 leerders ’n toets uit 25 geskryf. Hier is ’n lys van hulle punte: exams 14; 10; 23; 21; 11; 19; 13; 13; 20; 21; 9; 13; 17; 17; 18; 14; 19; 13; 24; 21; 9; 16; 6. Bereken die mediaan van hierdie data. activity Oplossing ACTIVITIES boy • Rangskik eers die data and girl-left and right of page in volgorde van die laagste tot die hoogste. 6; activity 9; 9; 10; 11; 13; 13; 13; 13; 14; 14; 16; 17; 17; 18; 19; 19; 20; 21; 21; 21; 23; 24. Daar is 23 getalle, so die middelste getal is die 12de getal uit 23 getalle. Dus is 16 die mediaan, die getal in die middel van die data. comment comment • Wanneer daar ’n ewe aantal waardes in die stel data is, lê die mediaan halfpad tussen die middelste Step by step twee waardes. • Ons kan hierdie twee waardes optel en deur 2 deel. Byvoorbeeld, wat as nog ’n leerder die toets geskryf het en haar punt was 7? Ons kan dit by die geordende stel data voeg. 6; 7; 9; 9; 10; 11; 13; 13; 13; 13; 14; 14; 16; 17; 17; 18; 19; 19; 20; 21; 21; 21; 23; 24. Nou is daar 24 getalle en die middelste twee getalle is die 12de en 13de getalle. Die middelste twee getalle is 14 en 16. Tel 14 en 16 bymekaar om 30 te kry en deel dit deur 2 om ’n mediaan van 15 te kry. 14+16 PAY SPECIAL ATTENTION NB_____   2 = 15 NB 3. Modus Die modus is die getal of waarde wat die meeste in die stel data HINT! wenkvoorkom. bv. 4 EG - worked examples Inexams ŉ Wiskundeklas het 23 leerders ŉ toets uit 25 geskryf. Hier is ŉ lys van hulle punte: 14; 10; 23; 21; 11; 19; 13; 13; 20; 21; 9; 13; 17; 17; 18; 14; 19; 13; 24; 21; 9; 16; 6. Bepaalactivity die modus van hierdie data. ACTIVITIES boy and girl-left and right of page Oplossing activity Die modus van die punte van die toets is 133 (13 kom 4 keer voor). (1) Opsomming comment comment Step by step ) = ___ –     ∑fx gemiddelde ( x   n mediaan: middelste telling van ’n geordende stel data modus: die telling wat die meeste voorkom © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 251 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid Aktiwiteit 1 Die tabel hieronder verteenwoordig Wiskundetoetspunte en die frekwensie vir elke punt. Punte (x) Frekwensie (f) 13 5 17 6 20 4 25 10 (a) Bepaal die mediaan (2) (b) Bepaal die gemiddelde (2) [4] Oplossings (a) ∑ f = 25 3 d.i. daar is 25 punte. Om die mediaan te bepaal, word die posisie van die mediaan bepaal deur die frekwensies op te tel tot by die posisie van die mediaan. Die mediaan lê in posisie 13, gevolglik is die mediaan = 20 3 (2) 5(13) + 6(17) + 4(20) + (10)23 477 (b) gemiddelde = ______________________     ___   =   25 = 19,08 25 33 (2) [4] 252 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Eenheid 13 HINT! 13.2.2 wenk Gegroepeerde data bv. 5 EG - worked examples Vyftig exams kopers is gevra watter persentasie van hulle inkomste hulle aan kruideniersware spandeer. Ses het gesê tussen 10% en 19%, alles ingesluit. Die volledige stel response word in die tabel hieronder gegee. activity PERSENTASIEACTIVITIES boy and girl-left and FREKWENSIE (f) right of page 10 < x < 19 6 activity 20 < x < 29 14 30 < x < 39 16 comment comment 40 < x <Step49by step 11 1. Bepaal middelpunte 50 < x < 59 3 van elke interval. Aangesien ons nie die presiese waardes in gegroepeerde data het (a) Bereken die gemiddelde persentasie van gesinsinkomste nie, gebruik ons hierdie wat aan kruideniersware spandeer word. benaderings. (b) In watter interval lê die mediaan? 2. Tel al die frekwensies bymekaar om die aantal items (c) Bepaal die modus persentasie van inkomste wat aan in ŉ stel data te kry. kruideniersware spandeer word. 3. Bepaal die totaal van alles. Oplossings (a) PERSENTASIE Middelpunt Frekwensie Totaal (fx) Interval f 10 < x < 19 14,5 6 14,5 × 6 = 87 20 < x < 29 24,5 14 24,5 × 14 = 343 30 < x < 39 34,5 16 34,5 × 16 = 552 PAY SPECIAL ATTENTION NB N 40 < x < 49 44,5 11 44,5 × 11 = 489,5 50 < x < 59 54,5 3 54,5 × 3 = 163,5 Som n=50 ∑(fx) = 1635 3 HINT! ∑fx wenk Gemiddelde = ___   50 = 32,7 3 (2) Daar is 50 tellings. Die (b) 30 < x < 39 3 (mediaan is in posisie 25,5 van die data. Wanneer ons mediaan lê tussen posisie 25 die frekwensies hierbo bymekaar tel, dan lê posisie 25,5 in die interval bv. en 26. EG - worked examples 30 < x < 39) (1) 6+14=20 (c) 30 < x < 39 3 (die interval met die hoogste frekwensie) (1) 20+16=36 exams activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page © Departement van Basiese Onderwys 2015 activity EENHEID 13 STATISTIEK 253 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid 13.3 Mate van verspreiding (of uitbreiding) Die mate van verspreiding gee vir ons inligting oor hoe verspreid die data rondom die mediaan is. Die mate van sentrale neiging gee vir ons inligting oor die sentrale punt van die data, maar ons moet steeds weet of die data op een plek gekonsentreerd is, en of dit egalig verspreid is. Ons kyk eerstens na hierdie mate van verspreiding: variasiewydte en interkwartielvariasiewydte. 1. Variasiewydte Die variasiewydte is die verskil tussen die hoogste waarde (of maksimum) en die laagste NB NB waarde (of minimum) in ŉ stel data. PAY SPECIAL ATTENTION Variasiewydte = grootste waarde in die stel data – kleinste waarde in HINT! wenk die stel data bv. 6 EG - worked examples Bepaal die variasiewydte van die Wiskundetoetspunte: exams 6; 9; 9; 10; 11; 13; 13; 13; 13; 14; 14; 16; 17; 17; 18; 19; 19; 20; 21; 21; 21; 23; 24. activity Oplossing ACTIVITIES boy and girl-left and right of page 24 – 6 = 18. Dus is die variasiewydte van die punte 18. activity 2. Die interkwartielvariasiewydte • Die interkwartielvariasiewydte hang af van die mediaan. Rangskik comment comment dus eers die data en bepaal die mediaan. Step by step • Die data word in vier dele verdeel (kwarte, wat ons kwartiele noem). Die mediaan (Q2) verdeel eerstens die data in twee halwes. • Die onderste kwartiel (Q1) verdeel die data onder die mediaan (Q2) in twee gelyke stelle data. • Die boonste kwartiel (Q3) verdeel die data bokant die mediaan in twee gelyke stelle data. • Die verskil tussen die onderste en boonste kwartiel (Q3 – Q1) word die interkwartielvariasiewydte genoem. Dit sê vir ons hoe die middelste helfte van die data rondom die mediaan versprei is. onderste kwartiel mediaan boonste kwartiel Q1 Q2 Q3 data data data data interkwartielvariasiewydte 254 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

HINT! wenk Eenheid 13 bv. 7 EG - worked examples Ons kan ook die ff formules gebruik Bepaal die interkwartielvariasiewydte van die Wiskundetoetspunte: om die posisie van Q1, Q2 exams en Q3 te bepaal. 6; 9; 9; 10; 11; 13; 13; 13; 13; 14; 14; 16; 17; 17; 18; 19; 19; Posisie van Q2 20; 21; 21; 21; 23; 24. (n+1) (23 + 1) = ______   4 = __________   2 = 12 activity Q2 is die waarde in posisie 12 Oplossing wat 16 is. ACTIVITIES boy • Ons weet reeds dat and die mediaan 16 is. Posisie van Q1 girl-left and right of page • Die onderste helfte van die data het 11 tellings, dus is Q1 die activity (n + 1) (23 + 1) 6de data-item. ∴ Q1 = 13 = ________   4 = __________   = 6 4 • Die boonste helfte van die stel data het 11 tellings, dus is Q3 die Q1 is die waarde in posisie 6 6de telling van die boonste helfte van die stel data. ∴ Q3 = 20 wat 13 is. comment comment Step by step Posisie van Q3 onderste kwartiel mediaan boonste kwartiel 3(n + 1) _________ 3(23 + 1) Q1 Q2 Q3   4 = ___________     4 = 18 Q3 is die waarde in posisie 18 wat 6; 9; 9; 10; 11; 13; 13; 13; 13; 14; 14; 16; 17; 17; 18; 19; 19; 20; 21; 21; 21; 23; 24 20 is. interkwartielvariasiewydte = Q3 – Q1 = 20 – 13 = 7 [8] CIAL ATTENTION NB Die mediaan is nie ingesluit in die onderste helfte en boonste helfte van die data wanneer Q1 en Q3 bereken word nie. Aktiwiteit 2 rked examples As die toetspunte in ’n ander klas deur die data hieronder voorgestel word, bepaal die interkwartielvariasiewydte van die toetspunte: 6; 7; 9; 9; 10; 11; 13; 13; 13; 13; 14; 14; 16; 17; 17; 18; 19; 19; 20; 21; 21; 21; 23; 24. [8] Oplossing Ons weet reeds dat die middelste twee getalle 14 en 16 is. • Die stel data het ’n ewe aantal punte, dus sal die mediaan tussen 14 en 16 lê. (3). Gebruik die onderste waarde 14 in die onderste helfte en die boonste waarde 16 in die boonste helfte. (3) 11 + 13 • ACTIVITIES boy Onderste helfte: 12 getalle, gebruik dus die 6de en 7de getalle om die onderste kwartiel te bepaal ______   2 = 12 (3) and girl-left and right of page 19 + 20 • Boonste helfte: 12 getalle, gebruik dus die 6de en 7de getalle om die boonste kwartiel te bepaal. ______   2 = 19,5 (3) onderste kwartiel mediaan boonste kwartiel Q1 3 Q2 3 Q3 3 comment comment 6; 7; 9; 9; 10; 11;13; 13; 13; 13; 14; 14; 16; 17; 17; 18; 19; 19; 20; 21; 21; 21; 23; 24 Step by step interkwartielvariasiewydte = 19,5 – 12 = 7,5 3 [8] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 255 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid 13.4 Vyfgetalopsomming en mond-en- snordiagramme 1. Vyfgetalopsomming Die vyfgetalopsomming is ŉ “opsommende” beskrywing van ŉ stel data. Dit bestaan uit hierdie vyf getalle: – die minimumwaarde PAY SPECIAL ATTENTION NB– die onderste kwartiel NB – die mediaan – die boonste kwartiel HINT! wenk– die maksimumwaarde bv. 8 EG - worked examples Wat is die vyfgetalopsomming vir die stel data wat ons tot dusver gebruik exams het? 6; 9; 9; 10; 11; 13; 13; 13; 13; 14; 14; 16; 17; 17; 18; 19; 19; 20; 21; 21; 21; 23; 24. activity – die minimumwaarde: 6 ACTIVITIES boy – die onderste kwartiel: and girl-left and right of page 13 – die mediaan: activity 16 – die boonste kwartiel: 20 – die maksimumwaarde: 24 comment comment 2. Mond-en-snordiagram Step by step Ons kan die vyfgetalopsomming op ŉ mond-en-snordiagram voorstel. Die mond verteenwoordig die middelste helfte van die data (die interkwartielvariasiewydte) Die lyn in die mond toon die mediaan aan. Die “snorre” toon die minimum- en maksimumwaardes aan. onderste boonste maksimumwaarde minimumwaarde kwartiel mediaan kwartiel 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 256 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 Kwartiele verdeel data in vier gelyke stelle data. Die langer mond-en-snor beteken dat die onderste 50% van die tellings meer verspreid is as die boonste 50%. Skeefgetrek na regs (positief skeefgetrek) beteken dat die boonste helfte van die data meer verspreid is as die onderste helfte. Skeefgetrekte data ŉ Mond-en-snordiagram kan wys of ŉ stel data simmetries, positief skeefgetrek of negatief skeefgetrek is. Hierdie mond-en-snordiagram is nie simmetries nie want die snorre is nie almal ewe lank nie en die mediaan is nie in die middel van die mond nie. Die snor aan die linkerkant is ŉ bietjie langer as die snor aan die regterkant, wat wys dat die data aan die PAY SPECIAL ATTENTION NB linkerkant van die mond meerNBverspreid is. Die mond is ook langer aan die regterkant van die mediaan as aan die linkerkant van die mediaan. Ons sê dat die data negatief skeefgetrek is. (of skeefgetrek na links). HINT! 3.wenkIdentifisering van uitskieters bv. 9 EG - worked examples Bepaal exams of die minimum in Voorbeeld 8 ’n uitskieter is of nie. Oplossing Interkwartielvariasiewydte = Q3 – Q1 activity = 20 – 13 ACTIVITIES boy and girl-left and right of page =7 Q1 – 1,5 × IQR = 13 – 1,5 × 7 activity PAY SPECIAL ATTENTION NB = 2,5 NB 6 > 2,5 ∴ 6 is nie ’n uitskieter nie comment comment Step by step HINT! wenk Om uitskieters te bepaal: • Bepaal die interkwartielvariasiewydte bv. EG - worked examples • Bepaal Q1 – 1,5 × IQR • As die minimum < as die waarde van Q1 – 1,5 × IQR, dan is dit ’n uitskieter. • Bepaal Q3 – 1,5 × IQR exams • As die maksimum > Q3 – 1,5 × IQR, dan is dit ’n uitskieter. activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 257 Mind the Gap WiskundeStep by step

13 Eenheid Aktiwiteit 3 1. Hierdie is die punte van tien leerders in ’n Wetenskaptoets: 90; 85; 10; 75; 70; 60; 78; 80; 82; 80; 55; 84 a) Teken ’n mond-en-snordiagram vir die gegewe data. (5) b) Bepaal die interkwartielvariasiewydte. (2) c) Sê of die data skeefgetrek is of nie. (1) d) Sê of 10 ’n uitskieter is of nie. (2) [10] Oplossings a) Skryf eers al die tellings in toenemende volgorde neer. 10; 55; 60; 70; 75; 78; 80; 80; 82; 84; 85; 90 Werk die vyfgetalopsomming uit Minimumwaarde: 10 Maksimumwaarde: 90 78+80 Mediaan: 12 getalle, gebruik dus die 6de en 7de getalle _____   2 = 79 Onderste kwartiel: Gebruik die eerste 6 getalle. Die 3de en 4de getalle is 60 en 70. Boonste kwartiel: Gebruik die laaste 6 getalle. Die 3de en 4de getalle is 82 en 84. 653 793 833 10; 55; 60; 70; 75; 78; 80; 80; 82; 84; 85; 90 60 + 70 ______ 78 + 80 ______ 82 + 84 ______   2   2   2 10 65 79 83 90 3 snorre 3 mond 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 (5) b) Interkwartielvariasiewydte = boonste kwartiel – onderste kwartiel 3 = 83 – 65 = 183 (2) c) Die data is skeefgetrek na links (negatief skeefgetrek) 3 (1) Die snor aan die linkerkant is langer, d.i. die lengte aan die linkerkant van die mond is langer as die lengte aan die regterkant. d) Interkwartielvariasiewydte (IQR) = Q3 – Q1 = 83 – 65 = 18 Q1 – 1,5 × IQR = 65 – 1,5 × 18 = 38 338 10 < 38 3 gevolgtrekking ∴ 10 is ’n uitskieter (2) [10] 258 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 Aktiwiteit 4 Die vyfgetalopsomming van die lengtes van bome drie maande nadat dit geplant is, is (23 ; 42 ; 50 ; 53 ; 75). Hierdie inligting word in die mond-en- snordiagram hieronder voorgestel. 23 42 53 20 30 40 50 60 70 80 a) Bepaal die interkwartielvariasiewydte. (2) b) Watter persentasie van die bome het ’n lengte van meer as 53 cm? (2) c) Tussen watter kwartiele het die lengtes van die bome die kleinste variasie? Verduidelik? (2) [6] Oplossings a) Interkwartielvariasiewydte = 53 – 42 3 = 11 3 (2) b) 25% 33 (2) c) Tussen Q2 (50) en Q3 (53) 3 Die afstand tussen hierdie twee kwartiele is die kleinste. 3 (2) [6] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 259 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid 13.5 Histogramme en frekwensieveelhoeke • Histogramme en frekwensieveelhoeke is grafieke wat gebruik word om gegroepeerde en kontinue data voor te stel. Hulle toon die frekwensie en die verspreiding van die data aan. • Kontinue data is data wat nie net in telgetalle gemeet word nie. Byvoorbeeld, lengte, massa, volume of tyd word in kontinue hoeveelhede gemeet. • Die horisontale as van ŉ histogram en ŉ frekwensieveelhoek het ŉ kontinue skaal. • Die vertikale as toon die frekwensie, of aantal kere wat die data gelys is. PAY SPECIAL ATTENTION 1. NBGegroepeerde data NB In plaas daarvan om elke stukkie data apart op te teken, kan ons die data groepeer om dit makliker te maak om te lees. Gegroepeerde HINT! wenkdata kan op ŉ histogram of ŉ frekwensieveelhoek voorgestel word. bv. 10 EG - worked examples ’n Winkelier wil die massa van elke pakkie hoenderporsies wat hy verkoop, exams opteken. Hy groepeer die massas in intervalle van 0,2 kg. Hy maak ’n frekwensietabel. activity Massa van hoender in kg Aantal ACTIVITIES boy Hierdie 8 pakkies het enige massa and girl-left and 0,8 < massa van hoender ≤ 1,0 right of page0 tussen ’n bietjie meer as 1,2 kg activity en 1,4 kg 1,0 < massa van hoender ≤ 1,2 3 Dus 1,2 < massa van hoender < 1,2 < massa van hoender ≤ 1,4 8 1,4 1,4 < massa van hoender ≤ 1,6 comment 6 comment Step by step 1,6 < massa van hoender ≤ 1,8 2 1,8 < massa van hoender ≤ 2,0 1 2,0 < massa van hoender ≤ 2,2 0 260 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 2. Histogramme PAY SPECIAL ATTENTION Uit die frekwensietabel teken hy ŉ histogram. NB Histogram van massa van hoenderporsies ’n Histogram is ’n grafiese 8 voorstelling van data met stawe van HINT! verskillende lengtes. Dit is soortgelyk aan ’nwenk 7 staafgrafiek maar daar is Gebruik vertikale 6 geen spasies tussen die stawe van 5 ’n histogram nie. as vir frekwensie Aantal pakkies x-koördinaat: gebruik boonste bv. limiet EG - worked examples 4 van die interval 3 hoenderporsies y-koördinaat: frekwensie 2 1 exams 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 Massa van hoender in kg Gebruik horisontale as vir massa. Gebruik intervalle van 0,2 kg activity ACTIVI 3. Frekwensieveelhoeke and gir right o Ons kan ook ŉ frekwensieveelhoek met hierdie data maak. ŉ Frekwensieveelhoek gebruik lyne om die middelpunte van elke activity interval te verbind. Die veelhoek moet op die horisontale as begin en eindig. Ons kan dus ŉ interval by die begin en die einde van die data byvoeg wat albei ŉ frekwensie van 0 het. co Frekwensieveelhoek van massa van hoenderporsies Step by step 8 PAY SPECIAL ATTENTION Aantal pakkies hoenderporsies 7 NB NB Gebruik vertikale 6 Let op na die veelhoek se 5 as vir frekwensie vorm. Hierdie een het 6 sye, 4 HINT! insluitend die x-as. 3 wenk 2 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 bv.1 1,2 EG - worked examples 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 Massa van hoender in kg Gebruik horisontale as vir massa exams Gebruik intervalle van 0,2 kg activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 261 Mind the Gap Wiskunde comment comment

13 Eenheid Die frekwensieveelhoek kan ook geteken word met die middelpunte van die stawe van die histogram, soos hieronder gewys word. 10 9 8 7 6 Frekwensie 5 4 3 2 1 0 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 Massa van hoender (kg) PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Frekwensieveelhoeke is nuttig wanneer die verspreiding van twee of meer stelle data op dieselfde assestelsel vergelyk word. HINT! wenk Om ’n frekwensieveelhoek te stip: • Stip die middelpunte van elke interval • Verbind die middelpunte met reguitlyne bv. • Voeg ’n interval by die begin en einde van die data by, albei met ’n EG - worked examples frekwensie van 0. • Frekwensieveelhoeke is ’n geslote figuur, daarom moet dit by die x-as begin en eindig. exams activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment Step by step 262 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 13.6 Kumulatiewe frekwensietabelle en grafieke (ogiewe) 1. Kumulatiewe frekwensietabelle PAY SPECIAL ATTENTION • NBKumulatiewe frekwensietabelle NB gee vir ons ŉ lopende totaal van die frekwensie. Ons tel dus die heeltyd by die frekwensie van die eerste interval tot by die laaste interval. HINT! •wenkOns kan hierdie resultate in ŉ kumulatiewe frekwensietabel aantoon. bv. 11 EG - worked examples In ’n Engelsklas het 30 leerders ’n toets uit 20 geskryf. Hier is ’n lys van exams hulle punte. PAY SPECIAL ATTENTION 14; 10; 11; 19; 15; 11; 13; 11; 9; 11; 12; 17; 10; 14; 13; 17; 7; 14; 17; 13; 13; NB N 9; 12; 16; 6; 9; 11; 11; 13; 20. activity Punt uit Telling ACTIVITIES boy and girl-left and Frekwensie Kumulatiewe 20 right of page (aantal leerders) frekwensie HINT! 6 activity / 1 1 wenk Tel heeltyd by die frekwensie van die 7 / 1 1+1=2 vorige ry. 8 comment 0 2+0=2 Byvoorbeeld, bv. comment EG - worked examples 9 Step by step /// 3 2+3=5 7 + 6 = 13 10 // 2 5+2=7 11 //// / 6 13 exams 12 // 2 15 13 //// 5 20 14 /// 3 23 15 / 1 24 activity 16 / 1 25 PAY SPECIAL ATTENTIONACTIVITIES boy NB and girl-left and N 17 /// 3 28 right of page 18 0 28 activity 19 / 1 29 HINT! 20 / 1 30 wenk Die laaste getal is dieselfde as co Met hierdie stel data, sal dit beter wees om die data te groepeer. comment die totale aantal leerders Step by step bv. EG - worked examples exams © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEIDactivity 13 STATISTIEK 263 Mind the Gap Wiskunde ACTIVITIES boy and girl-left and

13 Eenheid Ons kan intervalle van 5 gebruik om ŉ kumulatiewe frekwensietabel vir gegroepeerde data te maak. Klasinterval Frekwensie Kumulatiewe frekwensie 1<x<5 0 0 5 < x < 10 7 7 10 < x < 15 17 24 15 < x < 20 6 30 2. Kumulatiewe frekwensiegrafiek (ogief) • Ons kan die kumulatiewe resultate van ŉ kumulatiewe frekwensietabel met ŉ kumulatiewe frekwensiegrafiek of ogief voorstel. • Hierdie grafiek begin altyd op die x-as en vorm gewoonlik ŉ PAY SPECIAL ATTENTION NB NB S-vormige kromme en eindig met die kumulatiewe frekwensie (y-waarde). • Die eindpunt van elke interval word teenoor die kumulatiewe HINT! wenk frekwensie gestip. bv. 12 EG - worked examples Stel die data in die kumulatiewe frekwensietabel van gegroepeerde data exams met ’n kumulatiewe frekwensiegrafiek voor. • Op die x-as moet die punte 5; 10; 15; en 20 wees om die einde van elke interval te merk • activity Die y-as stel die kumulatiewe frekwensie van 0 tot 30 voor. ACTIVITIES boy and girl-left and • Om die punte te stip, gebruik ons die einde van elke klasinterval right of page opactivity die x-as en die kumulatiewe frekwensie op die y-as. Jy moet dus hierdie punte stip: (5; 0); (10; 7); (15; 24); (20; 30) PAY SPECIAL ATTENTION • Verbind die punte. comment NB NB comment Step by step 35 HINT! 30 wenk Kumulatiewe frekwensie 25 Om ’n ogief te stip: • x-koördinaat – gebruik 20 bv.boonste limiet van elke EG - worked examples interval. 15 • y-koördinaat – kumulatiewe frekwensie exams 10 • As die frekwensie van die 5 eerste interval nie 0 is nie, sluit dan die interval 0 voor die gegewe een in en 0 5 10 15 20 25 maak sy frekwensie 0. Punte activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page 264 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 activity Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 Aktiwiteit 5 , n Roomysverkoper het boek gehou van sy verkope vir Oktober en November 2012. Die daaglikse verkope in rand word in die histogram hieronder aangetoon. 24 21 Frekwensie (aantal dae) 18 15 12 9 6 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Daaglikse verkope (rand) 1.1 Trek ’n kumulatiewe frekwensietabel vir die verkope in Oktober en November. (2) 1.2 Teken ’n ogief vir die verkope in Oktober en November. (3) 1.3 Gebruik jou ogief om die mediaanwaarde van die daaglikse verkope te bepaal. Verduidelik hoe jy jou antwoord gekry het. (1) 1.4 Skat die interval van die boonste 25% van die daaglikse verkope. (2) [8] Oplossings 1.1 Kumulatiewe frekwensietabel Daaglikse verkope (in Frekwensie Kumulatiewe rand) frekwensie 60 ≤ rand < 70 5 5 70 ≤ rand < 80 11 16 80 ≤ rand < 90 22 38 3 1ste drie korrek 90 ≤ rand < 100 13 51 100 ≤ rand < 110 7 58 110 ≤ rand < 120 3 61 3 laaste drie korrek (2) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 265 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid 1.2 70 60 Kumulatiewe frekwensie 3 1ste drie punte wat korrek 50 gestip is 40 3 laaste drie punte wat korrek gestip is 30 3 beginnende by 0 20 PAY SPECIAL ATTENTION NB NB 10 0 0 20 40 60 80 100 120 140 HINT! Punte wenk Ons kan die mediaan, die 1.3 Daar is 61 datapunte, die mediaan is dus die 31ste datapunt. variasiewydte en die Ons kan die datapunt van die grafiek by 31 aflees. Dit gee ’n interkwartielvariasiewydte bv. EG - worked examples vanaf ’n kumulatiewe randwaarde van R87. 3 (1) frekwensiegrafiek bepaal. 1.4 Die boonste 25% lê bokant 75% van 61 = 45,75. 3 Ons kan nie die mediaan Lees vanaf die y-as oor die grafiek en af tot by die x-as. exams vanaf ’n kumulatiewe Die boonste 25% van die verkope lê in die interval: frekwensiegrafiek bepaal nie. 96 ≤ verkope < 120 3 (2) [8] activity ACTIVITIES boy and girl-left and right of page activity comment comment Step by step 266 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 13.7 Variansie en standaardafwyking Soms is die gemiddelde ŉ nuttiger mate van sentrale neiging as die mediaan. Die mate van verspreiding rondom die gemiddelde word die variansie en die standaardafwyking genoem. 1. Standaardafwyking Die standaardafwyking is die vierkantswortel van (die som van die gekwadreerde verskille tussen elke telling en die gemiddelde gedeel deur die aantal tellings). Die formule vir standaardafwyking is: _______    √ ∑ (x –  x) –2    σ =  _______ n   waar x elke individuele waarde is,  x – is die gemiddelde en n is die aantal waardes. Die simbool sigma ∑ beteken “die som van”. Hierdie formule sal op die datablad gegee word. Maak seker dat jy die formule behoorlik kan gebruik. 1.1 Bereken die standaardafwyking met die formule: _______    ∑(x – –x )2 σ = _______   n √   1. Bepaal die gemiddelde van al die getalle in die stel data.    2. Bepaal elke waarde van x –  x – . Met ander woorde, werk uit met hoeveel elkeen van hierdie waardes van die gemiddelde verskil (of daarvan afwyk).    3. Kwadreer elke afwyking. Bepaal elke waarde van (x –  x –2 )    4. Tel al die antwoorde bymekaar. Met ander woorde, bepaal ∑ (x –  x –2 ). 5. Deel hierdie som deur die aantal waardes, n.    ∑ (x –  x _______. bepaal.NB –2 PAY SPECIAL ATTENTION NB Jy het nou   1 ) 6. n Hierdie waarde word die variansie genoem. _______    √ ∑(x –  x) –2   n   7. Bepaal die vierkantswortel van die variansie om die standaardafwyking te kry ______ HINT! Deur hierdie stappe te volg, het jy die standaardafwyking met die formule bepaal. wenk bv. 13 Bepaal die variansie en standaardafwyking EG - worked examples Hierdie exams is die punte van ’n Wiskundetoets vir ’n Graad 11 klas van 20 leerders. 52 44 62 66 60 57 95 78 71 62 100 69 62 72 73 55 32 83 78 80 activity 1. Bereken die gemiddelde vir die klas. ACTIVITIES boy and girl-left and (2) right of page 2. Voltooi die tabel hieronder en gebruik dit om die standaard- activity afwyking van die punte te bereken. (3) 3. Watter persentasie van die leerders het binne een standaard- afwyking van die gemiddeld comment presteer? comment (2) Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 267 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid PAY SPECIAL ATTENTION Oplossings NB     –  x= 52+44+62+66+60+57+95+78+71+62+100+69+62+72+73+55+32+83+78+80 1. ____________________________________________________________            = 67,55 3 20 2. HINT!         (x –  x) (x –  x)2 Punt verkry – – wenk (%)     52 52 – 67,55 (–15,55)2 Die kwadraat van (x –  x– ) = –15,55 = 241,8 hanteer die effek van die bv. negatiewe tekens. EG - worked examples 44 –23,55 554,6 Op die einde bepaal ons die 62 –5,55 30,8 vierkantswortel van die hele 66 –1,55 2,4 exams om die effek van die antwoord vierkantswortel “om te keer”. 60 –7,55 57,0 57 –10,55 111,3 95 27,45 753,5 78 10,45 109,2 activity 71 3,45 11,9 ACTIVITIES boy and girl-left and 62 –5,55 30,8 right of page 100 32,45 1053,0 activity 69 1,45 2,1 62 –5,55 30,8 72 4,45 19,8 comment c 73 5,45 29,7 Step by step 55 –12,55 157,5 32 –35,55 1263,8 83 15,45 238,7 78 10,45 109,2 80 12,45 155,0    ∑ (x – –x )2 4 962,9 ______ √ 4 962,9 σ =  ______ 20 = 15, 7526... = 15,75 333 Antwoord (korrek tot twee desimale plekke) PAY SPECIAL ATTENTION NB N 3. Een standaardafwyking vanaf die gemiddeld lê tussen       ( x – – σ;  x – + σ) = (67,55 – 15,75; 67,55 + 15,75) Ons kan sê hierdie is ’n = (51,8; 83,3) 3 verteenwoordigende stel data HINT! 16 tellings lê in die interval (51,8; 83,3) want meer as 66,6% lê binne wenk een standaardafwyking vanaf die 16 uit 20 van die punte lê binne een standaardafwyking van die 16 gemiddelde. gemiddelde, __  20 × 100 = 80% 3 Antwoord: 80% van die leerders se punte lê binne een standaardafwyking vanaf die gemiddelde. bv. EG - worked examples exams 268 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 1.2 Stappe om die standaardafwyking met ŉ wetenskaplike sakrekenaar te bereken: Gebruik ŉ Casio fx–82 ES PLUS sakrekenaar: druk Mode dan STAT dan 1 – VAR – tik al die data een vir een in en druk = na elkeen – druk die oranje AC knoppie – druk shift STAT dan VAR    – om die gemiddelde te bereken, druk 2: – x. – sodra al hierdie stappe voltooi is, druk AC shift STAT dan VAR – druk nou 3: σ om die standaardafwyking te bereken. As jy die sakrekenaarstappe verstaan en dit behoorlik gebruik, sal jy dieselfde antwoord van 15,75 kry wat ons vantevore bepaal het. Oefen hierdie stappe sodat jy eksamenvoorbeelde met ŉ sakrekenaar kan doen. CIAL ATTENTION NB • Die interkwartielvariasiewydte meet ’n verspreiding rondom die mediaan, dit het dus te doen met die posisies van data en nie hulle werklike waardes nie. • Die standaardafwyking meet ’n verspreiding rondom die gemiddelde, en gebruik die werklike waardes van die data en nie net hulle posisies nie. ked examples ACTIVITIES boy and girl-left and right of page comment comment Step by step © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 269 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid Aktiwiteit 6 Die data hieronder toon die energievlakke, in kilokalorieë per 100 g, van 10 verskillende versnaperinge aan. 440 520 480 560 615 550 620 680 545 490 (a) Bereken die gemiddelde energievlak van hierdie versnaperinge. (2) (b) Bereken die standaardafwyking. (2) (c) Die energievlakke, in kilokalorieë per 100 g, van 10 verskillende ontbytgrane het ’n gemiddelde van 545,7 kilokalorieë en ’n standaardafwyking van 28 kilokalorieë. Watter van die twee soorte kos toon ’n groter variasie in energievlakke? Tot watter gevolgtrekking kom jy? (2) [6] Oplossings 5500 (a) Gemiddelde = ____   10 = 550 kilokalorieë 33 (2) (b) σ = 69,03 kilokalorieë 33 (2) (c) Versnaperinge het ’n groter variasie. 3 Die standaardafwyking vir versnaperinge is 69,03 kilokalorieë terwyl die standaardafwyking van ontbytgrane 28 kilokalorieë is. Die energievlakke van ontbytgrane is nader verspreid aan die gemiddelde as dié van die versnaperinge. 3 (2) [6] 2. Die normale verspreidingskromme Die data kan op ŉ grafiek gestip word wat die standaardafwykings aantoon. As die data simmetries rondom die gemiddelde verspreid is, vorm die waardes ŉ normale verspreidingskromme: gemiddelde Frekwensie    –             x – 2σ –x  – σ –x  –x  + σ –x  + 2σ 270 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 13.8 Tweeveranderlike data en strooiingsdiagramme (strooiingsgrafieke) • ŉ Strooiingsdiagram is ŉ grafiek wat die x- en y-asse gebruik om tweeveranderlike data voor te stel. • Tweeveranderlike data beteken dat elke punt op die grafiek twee veranderlikes voorstel wat onafhanklik is van mekaar. • In ŉ strooiingsdiagram stip ons ŉ punt vir elke paar koördinate en kyk na die algehele patroon of tendens in die data. • Die punte in die data word vergelyk om te kyk of daar ŉ korrelasie van een of ander aard of patroon (of tendens) in die data is. • Wanneer ŉ punt nie by die tendens van die ander punte pas nie, word dit ŉ uitskieter genoem. • Dit is maklik om uitskieters op ŉ strooiingsdiagram of mond-en- snordiagram te identifiseer. PAY SPECIAL ATTENTION NB NB • Ons kan soms die tendens in die data met ŉ lyn of kromme van beste passing voorstel. Die lyn of kromme kan voorgestel word deur ŉ vergelyking wat lineêr, kwadraties, eksponensiaal, hiperbolies, ens. HINT! wenkis. bv. 14 EG - worked examples ’n Wetenskaponderwyser vergelyk die punte vir die halfjaareksamen met exams die punte vir finale eksamens wat 11 leerders behaal het. Halfjaarpunte 80 68 94 72 74 83 56 68 65 75 88 Finaleactivity punte 72 71 96 77 82 72 58 83 78 80 92 ACTIVITIES boy and girl-left and 1. Teken ’n strooiingsdiagram van hierdie data. right of page (3) 2. activitydie kromme van beste passing. Beskryf (2) 3. Gebruik die strooiingsdiagram om die finale punt van ’n leerder te skat wat ’n halfjaarpunt van 75% gekry het. (1) comment comment Step by step [6] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 271 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid Oplossings 1. 110 105 100 95 90 85 Finale eksamen 80 75 70 65 60 55 50 45 40 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Halfjaareksamenpunte 333 alle punte korrek gestip 2. Die “kromme” of lyn van beste passing is ’n reguitlyn. 3 Daar moet ongeveer vyf kolletjies bo die lyn en vyf kolletjies onder die lyn wees. 3 3. ’n Lyn vanf 75 op die x-as na die tendenslyn neem ons na ongeveer 78 op die y-as. Ons kan dus voorspel dat ’n leerder met ’n halfjaarpunt van 75% kan verwag om ongeveer 78% in die finale eksamen te kry. 3 [6] 272 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 Aktiwiteit 7 Die buitetemperatuur (in °C) in die middel van die dag word gemeet. Dit word vergelyk met die aantal eenhede elektrisiteit wat gebruik word om ’n huis elke dag te verhit. Temp in °C 7 11 9 2 4 7 0 10 5 3 Eenhede elektrisiteit gebruik 32 20 27 37 32 28 41 23 33 36 (a) Teken ’n strooiingsdiagram om hierdie data voor te stel. (3) (b) Trek ’n lyn van beste passing. (1) (c) Gebruik die lyn van beste passing om die middagtemperatuur te voorspel wanneer 30 eenhede elektrisiteit gebruik word. (1) [5] Oplossings (a) Grafiek 333 (3) (b) Lyn van beste passing 3 (1) 45 40 35 Eenhede elektrisiteit 30 25 20 15 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Middagtemperatuur in °C (c) As die middagtemperatuur 6,25°C is, word daar waarskynlik ongeveer 30 eenhede 3 elektrisiteit in die huis gebruik. (1) [5] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 273 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid 13.9 Die lineêre regressielyn (of die kleinste- kwadrate-regressielyn) Die lyn van beste passing vir ŉ stel tweeveranderlike numeriese data is die lineêre regressielyn. Tot dusver het ons hierdie tendenslyn op ŉ strooiingsdiagram gesien. Nou gebruik ons ŉ wetenskaplike sakrekenaar om die vergelyking van hierdie lyn te bepaal. Ons ken die vergelyking van ŉ reguitlyn: y = mx + c Statistiek (soos gebruik op die CASIO x-82ES PLUS sakrekenaar) gebruik y = A + Bx, waar B die gradiënt is en A die afsnit op die y-as van die reguitlyn van beste passing. Die gradiënt is dus B in plaas van m en die y-afsnit is A in plaas van c. Die Regressiekoëffisiënt ‘‘r’’ Hierdie is ŉ statistiese getal wat die sterkte van die korrelasie (verwantskap) tussen twee stelle data meet. • Hierdie getal word met ŉ sakrekenaar bereken uit twee stelle data. • r lê altyd tussen –1 en +1. • Hoe nader r aan –1 is, hoe sterkter is die negatiewe korrelasie. • Hoe nader r aan +1 is, hoe sterkter is die positiewe korrelasie. • As r = 0, is daar geen korrelasie tussen die twee stelle data nie. Die getallelyn toon die r-waardes en die sterkte van die korrelasie tussen tweeveranderlike data aan. –1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 sterk medium swak swak medium sterk negatiewe negatiewe negatiewe positiewe positiewe positiewe korrelasie korrelasie korrelasie korrelasie korrelasie korrelasie perfekte geen lineêre perfekte negatiewe korrelasie positiewe korrelasie nie korrelasie PAY SPECIAL ATTENTION NB NB Ons bestudeer net die r-waarde van tweeveranderlike data wanneer die lyn van beste passing ’n reguitlyn HINT! is. wenk bv. EG - worked examples 274 EENHEID 13 STATISTIEK exams © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 ŉ Negatiewe korrelasie beteken dat as x toeneem, neem y af. Hoe nader die punte rondom die lyn saamgetros is, hoe sterkter is die korrelasie. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ŉ Sterk negatiewe ŉ Swakker negatiewe ŉ Sterk positiewe ŉ Swakker positiewe korrelasie korrelasie korrelasie korrelasie ŉ Positiewe korrelasie beteken dat as x toeneem neem y ook toe. ŉ Korrelasie van nul beteken dat daar geen verwantskap tussen x en y is nie. x x PAY SPECIAL ATTENTION x x NB NB x x x HINT! wenk bv. 15 EG - worked examples ’nexams Dieselenjin draai teen ’n tempo van x revolusies per minuut. Die ooreenstemmende perdekrag van die enjin word gemeet deur y in die tabel hieronder: x (revolusies per minuut) 400 500 600 700 750 activity y (perdekrag) ACTIVITIES boy and girl-left and 580 1 030 1 420 1 880 2 100 right of page 1. activity Bepaal die vergelyking van die kleinste-kwadrate-regressielyn: y = A + B x (korrek tot twee desimale plekke). 2. Bepaal die regressiekoëffisiënt r. Bespreek die korrelasie tussen comment x en y. comment Step by step 3. Gebruik hierdie regressielyn om die kraguitset te skat wanneer die enjin teen 800 revolusies per minuut loop. 4. Ongeveer hoe vinnig loop die enjin wanneer dit ’n uitset van 1 200 perdekrag het? © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 275 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid Oplossings 1. Gebruik ’n sakrekenaar 2. Hou al die inligting in die sakrekenaar van 1. – Mode 2: STAT – Druk AC – 2: A + B x – SHIFT STAT – Druk die x-waardes eerste in: – 5:REG – 400 =; 500 =; 600 =; 700 =; 750 = – Dan 3: r = 0,9996821357 – Gebruik pyltjies om regs na die y-kolom te Daar is ’n sterk positiewe korrelasie tussen x en y gaan en op om langs 400 te begin. (r is baie naby aan +1) – Druk y-waardes in: – 580 =; 1030 =; 1420 =; 1880 =; 2100= 3. Vervang x = 800 in die vergelyking van die lyn – Druk (oranje) AC knoppie van beste passing: – Druk SHIFT STAT (by 1) y = –1 145,8 + 4,32(800) – Druk 5: Reg y = 2 310,2 – Druk 1:A = en kry –1145,792683 800 revolusies sal 2 310,2 uitset van Dit is die y-afsnit van die regressielyn perdekrag gee. – Druk die oranje AC knoppie – Druk SHIFT STAT 4. Laat y = 1 200 Onthou om die – Druk 5:Reg 1 200 = –1 145,8 + 4,32 x – Druk nou 2:B = en kry 4,318292683 1 200 + 1 145,8 = 4,32 x MODE weer Dit is die gradiënt van die regressielyn 2 345,8 = 4,32 x na 1:COMP Antwoord: 2 345,8 te verander Die kleinste-kwadrate-regressielyn:   4,32 = x ______ wanneer normale y = –1 145,8 + 4,32 x (korrek tot twee desimale plekke) berekeninge 543,0092593 = x gedoen word Daar is ongeveer 543 revolusies per minuut vir ’n uitset van 1 200 perdekrag. Die strooiingsdiagram en die lyn van beste passing wys die tendens in die verwantskap tussen die revolusies en die perdekrag. 2250 2000 1750 1500 Perdekrag 1250 1000 750 500 250 0 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 Revolusies per minuut 276 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 Aktiwiteit 8 1. Pick ’n Pay wil ’n opname doen van hoe lank in sekondes (y) dit ’n teller neem om items (x) by die kasregister te skandeer. Die tabel toon die resultate van 9 kopers. Kopers A B C D E F G H I x (aantal items) 5 8 12 15 15 17 20 21 25 y (tyd in sekondes) 3 11 9 6 15 13 25 15 13 a) Gebruik jou sakrekenaar om die vergelyking van die lyn van beste passing (die regressielyn of die kleinste-kwadrate- regressielyn) korrek tot twee desimale plekke te bepaal. (3) b) Bereken die waarde van r, die korrelasiekoëffisiënt vir die data. Wat kan jy sê oor die korrelasie tussen x en y?(3) c) Hoe lank sal dit die teller neem om 21 items by die kasregister te skandeer? (2) d) Hoeveel items kan ’n teller in 21,28 sekondes skandeer? (2) 2. ’n Restaurant wil weet wat die verwantskap is tussen die aantal klante en die aantal hoenderpasteie wat bestel word. Aantal klante (x) 5 10 15 20 25 30 35 40 Aantal hoenderpasteie (y) 3 5 10 10 15 20 20 24 a) Bepaal die vergelyking van die regressielyn korrek tot twee desimale plekke. (3) b) Bepaal die waarde van r, die korrelasiekoëffisiënt. Beskryf die soort en sterkte van die korrelasie tussen die aantal mense en die aantal hoenderpasteie wat bestel word. (3) c) Bepaal hoeveel hoenderpasteie 100 mense sal bestel. (2) d) As hulle net 12 hoenderpasteie oor het, hoeveel mense kan hulle bedien? (2) [20] © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 277 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid Oplossings 1. a) A = 2,68 3 B = 0,62 3 y = 2,68 + 0,62x 3 (3) b) r = 0,62847…. = 0,63 33 Dit is ’n swak positiewe korrelasie 3 (3) c) y = 2,68 + 0,62(21) 3 = 15,7 (ongeveer 16 sekondes) 3 (2) d) 21,28 = 2,68 + 0,62 x 3 21,28 – 2,68 = 0,62 x 18,6 0,62 = x  ____ 30 = x 30 items kan in 21,28 sekondes geskandeer word. 3 (2) 2. a) A = –0,39285… 3 B = 0,61190 3 y = –0,4 + 0,6 x 3 (3) b) r = 0,9866… 33 Dit is ’n baie sterk positiewe korrelasie 3 (r is naby aan +1) (3) c) y = –0,4 + 0,6 x y = –0,4 + 0,6(100) 3 y = 59,6 Ongeveer 60 hoenderpasteie is deur 100 mense bestel. 3 (2) d) 12 = –0,4 + 0,6 x 3 12 + 0,4 = 0,6 x 12,4   0,6 = x ____ 20,6… = x Ongeveer 21 mense kan 12 pasteie bestel. 3 (2) [20] 278 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 Aktiwiteit 8 (vervolg) 3. ’n Platemaatskappy ondersoek die verwantskap tussen die aantal kere wat ’n CD oor ’n nasionale radiostasie gespeel word en die nasionale verkope van dieselfde CD in die volgende week. Die data hieronder is uit ’n ewekansige steekproef van CD’s versamel. Die verkoopsyfers is afgerond tot die naaste 50. Aantal kere wat 47 34 40 34 33 50 28 53 25 45 CD gespeel is Weeklikse 3 950 2 500 3 700 2 800 2 900 3 750 2 300 4 400 2 200 3 400 verkope van die CD a) Identifiseer die onafhanklike veranderlike. (1) b) Teken ’n strooiingsdiagram van hierdie data. (3) c) Bepaal die vergelyking van die kleinste-kwadrate-regressielyn. (3) d) Bepaal die korrelasiekoëffisiënt. (2) e) Voorspel, korrek tot die naaste 50, die weeklikse verkope vir ’n CD wat die radiostasie die vorige week 45 keer gespeel het. (2) f) Lewer kommentaar oor die sterkte van die verwantskap tussen die veranderlikes.(1) [12] Oplossings 3. a) die aantal kere wat die CD gespeel is 3 (1) b) Spreidingsdiagram wat die aantal kere wat ’n CD gespeel is vs die CD verkope in die volgende week aantoon 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 10 20 30 40 50 60 333 (3) c) a = 264,326 3 d) r = 0,95 3 3 (2) b = 75,21 3 y = 264,33 + 75,21x 3 (3) © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 279 Mind the Gap Wiskunde

13 Eenheid e) y = 264,33 + 75,21x(45) 3 (vervanging) ≈ 3 648,78 ≈ 3 648 ≈ 3 650 (tot die naaste 50) 3 (2) f) Daar is ’n baie sterk positiewe verwantskap tussen die aantal kere wat ’n CD gespeel is en die verkope van daardie CD in die volgende week. 3 (1) [12] 280 EENHEID 13 STATISTIEK © Departement van Basiese Onderwys 2015 Mind the Gap Wiskunde

Eenheid 13 Wat jy moet kan doen: 1. Bepaal die gemiddelde, mediaan en modus in gegroepeerde of ongegroepeerde data 2. Teken en ontleed die volgende metodes om data voor te stel: • mond-en-snordiagram • histogramme • frekwensieveelhoeke • kumulatiewe frekwensiekrommes (ogiewe) 3. Bereken die variansie en die standaardafwyking van ŉ stel ongegroepeerde data. 4. Lewer kommentaar oor of ŉ stel data simmetriese of skeefgetrek is, deur die voorstelling van die data te ontleed. 5. Identifiseer uitskieters in ŉ stel data deur na die mond-en- snordiagram of strooiingsdiagram te kyk. 6. Bepaal die vergelyking van die lyn van beste passing van tweeveranderlike data met ŉ sakrekenaar (Hierdie lyn kan ook die kleinste-kwadrate-regressielyn genoem word) 7. Bepaal die regressiekorrelasiekoëffisiënt “r” 8. Gebruik die lyn van beste passing om gevolgtrekkings te maak. Wel gedaan! © Departement van Basiese Onderwys 2015 EENHEID 13 STATISTIEK 281 Mind the Gap Wiskunde

Mind the Gap Wiskunde-studiegids Graad 12 Wiskunde Die Mind the Gap studiegids help jou om die sprong te maak en hard te Graad Wiskunde studeer om die Graad 12-eksamen suksesvol af te lê. Hierdie publikasie is nie te koop nie. © Kopiereg Departement van Basiese Onderwys www.education.gov.za Studiegids 12 Die publikasie het ‘n Creative Commons Attribution NonCommercial Shareallike lisensie. Inbelsentrum 0800 202 833 Departement: Departement: Basiese Onderwys Basiese Onderwys REPUBLIEK VAN SUID-AFRIKA REPUBLIEK VAN SUID-AFRIKA

MTG Mathematics Afr

Study this subject

Recommended for this subject

Mathematics Functions and Finance

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape Mock 2025 Addendum (Afr)

Mathematics Grade 12 Paper 2 Eastern Cape Mock 2025 Memo

Mathematics Grade 12 Paper 2 Gauteng Mock 2025 Question Paper

Mathematics Grade 12 P2 Limpopo Mock 2025 Question Paper (Afr)

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape Prelim 2024 Memo (Afrikaans)

Mathematics Grade 12 P2 Eastern Cape Prelim 2024 QP (Afr)

Mathematics Grade 12 Paper 1 Gauteng June 2024 Memo (Afrikaans)

Mathematics Grade 12 P1 Gauteng June 2024 Question Paper (Afr)

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape June 2023 QP (Afr)

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape June 2023 QP (Afr)

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape June 2022 Memo (Afrikaans)

More from Grade 12 Mathematics

Mathematics Grade 12 P1 Free State Prelim 2024 Question Paper

Mathematics Grade 12 P2 Free State Prelim 2024 Question Paper

Mathematics Grade 12 KZN March Test 2024 Paper & Memo

Mathematics Grade 12 Paper 1 KZN Pre June 2024 Question Paper

Mathematics Grade 12 Paper 2 KZN Prelim 2024 Question Paper

Mathematics Grade 12 Paper 2 Limpopo June 2024 Memo

Study this subject

Recommended for this subject

Mathematics Functions and Finance

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape Mock 2025 Addendum (Afr)

Mathematics Grade 12 Paper 2 Eastern Cape Mock 2025 Memo

Mathematics Grade 12 Paper 2 Gauteng Mock 2025 Question Paper

Mathematics Grade 12 P2 Limpopo Mock 2025 Question Paper (Afr)

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape Prelim 2024 Memo (Afrikaans)

Related documents

Mathematics Grade 12 P2 Eastern Cape Prelim 2024 QP (Afr)

Mathematics Grade 12 Paper 1 Gauteng June 2024 Memo (Afrikaans)

Mathematics Grade 12 P1 Gauteng June 2024 Question Paper (Afr)

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape June 2023 QP (Afr)

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape June 2023 QP (Afr)

Mathematics Grade 12 P1 Eastern Cape June 2022 Memo (Afrikaans)

More from Grade 12 Mathematics

Mathematics Grade 12 P1 Free State Prelim 2024 Question Paper

Mathematics Grade 12 P2 Free State Prelim 2024 Question Paper

Mathematics Grade 12 KZN March Test 2024 Paper & Memo

Mathematics Grade 12 Paper 1 KZN Pre June 2024 Question Paper

Mathematics Grade 12 Paper 2 KZN Prelim 2024 Question Paper

Mathematics Grade 12 Paper 2 Limpopo June 2024 Memo