Mathematics Grade 12 P1 NSC November 2012 Memo (Afrikaans)

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 12 WISKUNDE V1 NOVEMBER 2012 MEMORANDUM PUNTE: 150 Hierdie memorandum bestaan uit 30 bladsye. Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 2 DBE/November 2012 NSS – Memorandum LET WEL: • As 'n kandidaat 'n vraag TWEE keer beantwoord het, merk SLEGS die EERSTE poging. • As 'n kandidaat 'n antwoord deurgehaal het en nie oordoen nie, merk die deurgehaalde antwoord. • Deurlopende akkuraatheid(werk met die fout) moet DEURGAANS in die memorandum toegepas word. VRAAG 1 1.1.1 (2 x − 1)(x + 4) = 0 1  antwoord x= of −4  antwoord 2 (2) 1.1.2 3x 2 − x = 5 Let wel: Indien 3x − x − 5 = 0 2 kandidaat verkeerde formule gebruik,  standaardvorm − b ± b 2 − 4ac x= maks 1/4 2a − (− 1) ± (− 1)2 − 4(3)(− 5) vervang in korrekte formule = 2(3) Let wel: indien kandidaat deur verkeerde 1 ± 61 vervangtitusie nie-reële oplossing kry maks = 6 2/4 = 1,47 of − 1,14 antwoord (4) OF Let wel: indien deel deur 3 kandidaat nie korrek afgerond het nie, 3x 2 − x = 5 penaliseer met  1 61 1 x2 − x = 5 1 punt x −  = ± 3 3  6 36 2  1 5 1 x −  = +  6 3 36 antwoord Let wel: indien (4)  1 61 x −  = ± kandidaat slegs  6 36 antwoord gee, 4/4 1 61 punte x= ± 6 36 = 1,47 of − 1,14 OF Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 3 DBE/November 2012 NSS – Memorandum 3x 2 − x = 5 3x 2 − x − 5 = 0  standaardvorm x 5 x2 − − = 0 3 3 − b ± b 2 − 4ac x= vervang in korrekte formule 2a − (− 13 ) ± (− 13 )2 − 4(1)(− 53 ) = 2(1) 1 ± 61 = 3 9 6 antwoord = 1,47 or − 1,14 (4) 1.1.3 x2 + 7x − 8 < 0  faktore (x + 8)(x − 1) < 0 + 0 − 0 +  – 8; 1 of –8 1 –8 1 OF x –8 1 x+8 – 0 + + +  antwoord x–1 – – – 0 + (4) (x + 8)( x – 1) + 0 – 0 + Die oplossing is dus: − 8 < x < 1 OF x ∈ (−8 ; 1) OF x -8 1 OF x2 + 7x − 8 < 0 (x + 8)(x − 1) < 0  faktore ∴ x + 8 < 0 en x − 1 > 0 of x + 8 > 0 en x − 1 < 0  – 8; 1 x < −8 en x > 1 x > −8 en x < 1 Geen oplossing nie Die oplossing is dus: − 8 < x < 1 OF x ∈ (−8 ; 1) OF x  antwoord -8 1 (4) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 4 DBE/November 2012 NSS – Memorandum Let wel: In hierdie alternatief, gee maks 3/4 punte aangesien daar geen gevolgtrekking is nie.  faktore x2 + 7x − 8 < 0  – 8; 1 (x + 8)(x − 1) < 0 grafiek met aangeduide antwoord –8 1 Let wel: Indien die kandidaat ‘n korrekte grafiese antwoord gee bv x maar dan verkeerde afleiding maak, gee maks 3/4 punte -8 1 Indien die kandidaat 1 < x < −8 OF x ∈ (1; − 8) OF x 1 –8 as antwoord gee, maksimum 2/4 punte Indien die kandidaat − 8 ≤ x ≤ 1 OF x ∈ [− 8 ; 1] OF x –8 1 as antwoord gee, maksimum 3/4 punte Indien die kandidaat x < 1 of x < – 8 as finale antwoord gee, maksimum 2/4 punte. Indien die kandidaat slegs x < – 8 x < 1 antwoord (laat die “en” uit), gee maksimum 3/4 punte 1.2.1 4 y − x = 4 en xy = 8 x = 4y − 4  x = 4y − 4 Let wel: Indien kandidaat deur (4 y − 4) y = 8 verkeerde bewerkings beide  vervanging ( y − 1) y = 2 vergelykings LINEÊR maak y2 − y − 2 = 0 maks 2/6 punte ( y + 1)( y − 2) = 0  faktore y = −1 of y = 2  y-waardes x = −8 of x = 4  x-waardes (x ; y) = (– 8 ; – 1) or (4 ; 2) (6) Let wel: Indien x en y per abuis omgeruil word: maksimum 4/6 punte OF Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 5 DBE/November 2012 NSS – Memorandum 4 y − x = 4 en xy = 8  x = 4y − 4 x = 4y − 4  vervanging (4 y − 4) y = 8 ( y − 1) y = 2  y-waardes Deur inspeksie y = −1 of y = 2  x-waardes x = −8 of x = 4 (6) (x ; y) = (– 8 ; – 1) or (4 ; 2) OF 4 y − x = 4 en xy = 8  x = 4y − 4 x = 4y − 4  vervanging ( 4 y − 4) y = 8 ( y − 1) y = 2 y2 − y − 2 = 0 − (− 1) ± (− 1)2 − 4(1)(− 2)  vervang in korrekte y= 2(1) formule y = −1 of y = 2  y-waardes x = −8 of x = 4  x-waardes (x ; y) = (– 8 ; – 1) or (4 ; 2) (6) OF 4 y − x = 4 en xy = 8 x x  y= +1 y= +1 4 4 x   vervanging x  + 1 = 8 4  x2 + x −8 = 0 4 x 2 + 4 x − 32 = 0  faktore ( x + 8)( x − 4) = 0  x-waardes  y-waardes x = −8 of x=4 (6) y = −1 of y = 2 (x ; y) = (– 8 ; – 1) or (4 ; 2) OF Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 6 DBE/November 2012 NSS – Memorandum 4 y − x = 4 en xy = 8 x  y= +1 x 4 y= +1 4  vervanging x  x + 1 = 8 4  x2 + x −8 = 0 4 vervang in korrekte formule x 2 + 4 x − 32 = 0 − 4 ± 4 2 − 4(1)(− 32 ) x=  x-waardes 2(1)  y-waardes x = −8 of x = 4 (6) y = −1 of y = 2 (x ; y) = (– 8 ; – 1) or (4 ; 2) OF xy = 8 en 4 y − x = 4  x= 8 8 y x= y 8  vervanging 4y − = 4 y 4y2 − 4y − 8 = 0 y2 − y − 2 = 0  faktore ( y − 2)( y + 1) = 0 y = −1 of y=2  y-waardes  x-waardes x = −8 of x = 4 (6) (x ; y) = (– 8 ; – 1) or (4 ; 2) OF xy = 8 en 4 y − x = 4 8 8  x= x= y y  vervanging 8 4y − = 4 y 4y2 − 4y − 8 = 0 y2 − y − 2 = 0 − (− 1) ± (− 1)2 − 4(1)(− 2) y= 2(1) vervang in korrekte formule y = −1 of y = 2  y-waardes x = −8 of x = 4  x-waardes (x ; y) = (– 8 ; – 1) or (4 ; 2) (6) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 7 DBE/November 2012 NSS – Memorandum OF xy = 8 en 4 y − x = 4 8  y= 8 x y= x  vervanging 8 4  − x = 4  x 0 = x 2 + 4 x − 32  faktore 0 = ( x + 8)(x − 4 )  x-waardes x = −8 of x = 4  y-waardes y = −1 of y = 2 (6) (x ; y) = (– 8 ; – 1) or (4 ; 2) OF xy = 8 en 4 y − x = 4 8 y= 8  y= x x 8  vervanging 4  − x = 4  x 0 = x 2 + 4 x − 32 − 4 ± 4 2 − 4(1)(− 32 )  vervang in korrekte x= 2(1) formule x = −8 of x = 4 y = −1 of y = 2  x-waardes (x ; y) = (– 8 ; – 1) or (4 ; 2)  y-waardes (6) OF Deur inspeksie en probeer en tref. Vervanging van die lineêre uitdrukking in die hiperbool lei tot ‘n kwadraties vergelyking, daarom sal daar ‘n maksimum van  stel van die argument 2 (x; y ) oplossings wees vir die kwadratiese vergelyking ∴ soek 2 pare. Die pare kan faktore van 8 wees. x y xy 4y − x 4 = 4y − x  wys van die 1 8 8 31 Onwaar probeer en tref metode –1 –8 8 – 31 Onwaar 2 4 8 14 Onwaar –2 –4 8 – 14 Onwaar 4 2 8 4 Waar –4 –2 8 –4 Onwaar 8 1 8 –4 Onwaar –8 –1 8 4 Waar Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 8 DBE/November 2012 NSS – Memorandum Dus is die oplossing x = 4 en y = 2  x = 4 en y = 2 of x = −8 en y = −1  x = −8 en y = −1 (6) 1.2.2 4x − y = 4  vir die omruil van x en y OF (2) y = 4x − 4 OF y+4 x= 4 OF y x = +1 4 OF 4x − y − 4 = 0 1.3.1 2p + 5 = 0  2 p + 5 = 0 or Let wel: Indien kandidaat slegs die −2± 0 2p + 5 = 0 2 p + 5 = 0 of antwoord gee, 2/2 punte. 2 p = −5 7 5  antwoord p=− 2 (2) 1.3.2 2p +5 < 0 5  antwoord p<− (1) 2 [21] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 9 DBE/November 2012 NSS – Memorandum VRAAG 2 2.1 T2 − T1 = T3 − T2 2 x − (3 x + 1) = (3 x − 7 ) − 2 x  T2 − T1 = T3 − T2 Let wel: Indien kandidaat 2 x − 3x − 1 = 3x − 7 − 2 x of 2 x − (3x + 1) = (3x − 7 ) − 2 x slegs die antwoord gee, 2/2 − x −1 = x − 7 punte. − 2 x = −6 x=3  antwoord (2) OF T1 + T3 T1 + T3 T2 =  T2 = of 2 2 (3x + 1) + (3x − 7 ) 2x = (3x + 1) + (3x − 7 ) 2x = 2 2 4x = 6x − 6  antwoord 6 = 2x (2) x=3 OF T3 − T1 = 2(T2 − T1 ) T3 − T1 = 2(T2 − T1 ) of (3x − 7 ) − (3x + 1) = 2[2 x − (3x + 1)] (3x − 7 ) − (3x + 1) = 2[2 x − (3x + 1) ] − 8 = 2(− x − 1) 2x = 6  antwoord (2) x=3 2.2.1 Tn = a + (n − 1) d T11 = 10 + (11 − 1)(− 4) Let wel: Indien kandidaat d = – 4 slegs die antwoord gee, 2/2 antwoord = −30 (2) punte. OR uitbreiding van reeks 10; 6; 2; – 2; – 6; – 10; – 14; – 18; – 22; – 26; – 30...... antwoord (2) ∴T11 = −30 Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 10 DBE/November 2012 NSS – Memorandum 2.2.2  korrekte formule Sn = n [2a + (n − 1)d ] Let wel: Indien 2 die kandidaat die vervanging van a en d − 560 = [2(10 ) + (n − 1)(− 4 )] n verkeerde waarde 2 vir d (van 2.2.1) vervang S n = −560 − 1120 = −4n 2 + 24n gebruik, merk DA maar gee maks 4n 2 − 24n − 1120 = 0 5/6 punte (die  4n 2 − 24n − 1120 = 0 of n 2 − 6n − 280 = 0 maks punt kan – 4n 2 + 24n + 1120 = 0 of (n − 20)(n + 14) = 0 slegs gegee word n 2 − 6n − 280 = 0 as die kandidaat, n = 20 of − 14 indien van faktore ∴ n = 20 alleenlik toepassing, geen  kies slegs n = 20 oplossing aandui (6) Let wel: Indien kandidaat in verkeerde formule vervang, gee 0/6 punte Let wel: Indien kandidaat slegs die antwoord gee, 1/6 punte OF Sn = n [2a + (n − 1)d ]  korrekte formule 2 vervanging van a en d − 560 = [2(10 ) + (n − 1)(− 4 )] n 2 vervang S n = −560 − 1120 = −4n 2 + 24n 4n 2 − 24n − 1120 = 0 n 2 − 6n − 280 = 0  n 2 − 6n − 280 = 0 − (− 6 ) ± (− 6)2 − 4(1)(− 280) vervang in korrekte formule n= 2(1) n = 20 of − 14 ∴ n = 20 alleenlik  kies slegs n = 20 (6) OF n [2a + (n − 1)d ] Sn =  korrekte formule 2 − 560 = [2(10 ) + (n − 1)(− 4 )] n vervanging van a en d 2 20n 4n 2 4n vervang S n = −560 − 560 = − + 2 2 2 2n − 12n − 560 = 0 2  2n 2 − 12n − 560 = 0 of n 2 − 6n − 280 = 0 n 2 − 6n − 280 = 0 (n − 20)(n + 14) = 0 faktore n = 20 of − 14  kies slegs n = 20 ∴ n = 20 only (6) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 11 DBE/November 2012 NSS – Memorandum OF  S11 = −110 S11 = −110 n 12 13 14 15 16 17 18 19 20  reeks uitgebrei en T n –34 –38 –42 –46 –50 –54 –58 –62 –66 som bepaal Sn –144 –182 –224 –270 –320 –374 –432 –494 –560  antwoord ∴n = 20 (6 [10] VRAAG 3 3.1.1 Tn = ar n −1  a = 27 en n −1 Let wel: Die finale antwoord kan 1 1 ook gegee word as 34 − n of r= = 27  3 3 1 n−4    vervang in 3 korrekte formule (2) 3.1.2 −1 < r < 1 of |r| < 1  antwoord (1) Let wel: As kandidaat aflei dat reeks OF nie konvergeer: 0/1 punte 1  antwoord Die konstante verhouding (r) is wat tussen –1 en 1 lê. 3 (1) OF 1  antwoord −1 < <1 (1) 3 3.1.3 a S∞ = Let wel: Indien r > 1 of r < – 1 1− r vervang word, 0/2 punte 27 =  vervanging 1 270 1− Let wel: Indien r = 0,3 antwoord is 3 7  antwoord 81 dan 2/2 punte, of (2) = of 40,5 2 2700 r = 0,33 antwoord is dan 2/2 punte. 67 3.2 Laat V die volume van die eerste tenk wees. V  V V V 2 ; ; ....... 2 4 8 Let wel: Indien die kandidaat ‘n spesifieke waarde(in plaas van ‘n veranderlike) vir die volume aandui, en sy/haar argument wat volg is korrek, 4/4 punte.  vervanging in korrekte formule Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 12 DBE/November 2012 NSS – Memorandum V  1  19 1 −    2   2    antwoord S19 = 1 1− 2 524287 Let wel: Indien die kandidaat slegs  gevolgtrekking = V ‘Ja’ geantwoord het, met geen (4) 524288 = 0,9999980927 V verduideliking: 1/4 punte. <V Ja, die water sal die eerste tenk vul sonder om oor te loop. V  OF 2  vervanging in Laat V die volume van die eerste tenk wees. korrekte formule V V V ; ; ....... 2 4 8 V  1  19  waarneming dat 1 −    2   2     1 19  S19 = 1 −    < 1 1− 1   2   2   1 19   gevolgtrekking = V 1 −    (4)   2   < V ⋅1 =V Ja, die water sal die eerste tenk vul sonder om oor te loop. OF Laat V die volume van die eerste tenk wees. V V V V V S = 2  ; ; ....... ∞ 1 2 2 4 8 1− 2 =V  vervanging in Omdat die eerste tenk die water van 'n oneindige hoeveelheid tenke korrekte formule kan hou sonder om te mors, is dit duidelik: Ja, die eerste tenk sal die water van die ander 19 tenke kan hou  gevolgtrekking sonder om oor te loop. (4) OF Ja, indien die tenke een vir een leeggemaak word, beginnende by die Ja( kan deur die tweede tenk, sal elke tenk slegs helfte van die oorblywende spasie argument vul, so die eerste tenk sal die water van die ander 19 tenke kan hou. veronderstel word)  argument (4) 3.3.1 Tn = −2(n − 5) 2 + 18 Let wel: Volgorde van die terme  – 14 Term 1 = – 14 is nie belangrik. Term 2 = 0 0 Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 13 DBE/November 2012 NSS – Memorandum Term 3 = 10  10 (3) 3.3.2 Term 5 OF n = 5 OF T5  antwoord Let wel: Indien ‘n kandidaat 18 (1) as antwoord gee: 1/1 punte 3.3.3 Tweede verskil = 2a  vervang – 2 in 2a Tweede verskil = 2(– 2) Let wel: Indien ‘n kandidaat  antwoord Tweede verskil = – 4 slegs antwoord gee: 2/2 punte (2) OF -14 0 10 14 10  eerste verskil  tweede verskil –4 Let wel: Indien ‘n kandidaat (2) Tweede verskil = – 4 slegs antwoord gee: 2/6 punte 3.3.4 − 2(n − 5) 2 + 18 < −110  Tn < −110 − 2(n − 5) 2 + 128 < 0 − 2n 2 + 20n − 50 + 128 < 0 standaardvorm − 2n + 20n + 78 < 0 2 faktore n 2 − 10n − 39 > 0 (n − 13)(n + 3) > 0  kritieke waardes + 0 − 0 + -3 13 –3 13 ongelykhede n<–3 of n > 13 Let wel: Indien ‘n  n > 13 n ≥ 14 ; n ∈ Ν OF n > 13 ; n ∈ Ν kandidaat verkeerde (aanvaar: n ≥ 14 ) gevolgtrekking maak: OF maks 4/6 punte (6) − 2(n − 5) 2 + 18 < −110  Tn < −110 2(n − 5) 2 > 128 Let wel: Indien ‘n kandidaat  2(n − 5) 2 > 128 ‘n gelyk aan teken gebruik  8 en – 8 (n − 5) 2 > 64 tot by die kritieke waardes , n−5 >8 n - 5 < −8 OF n − 5 > 8 en dan die metode van  n − 5 < −8 n > 13 ; n ∈ Ν ongelykheid toepas:  n > 13 maks 6/6 punte. (aanvaar: n ≥ 14 ) n ≥ 14 ; n ∈ Ν (6) OF Let wel: Indien ‘n kandidaat ‘n gelyk aan teken het tot by die kritieke waardes , maar dan verkeerdelik antwoord: maks 3/6 punte. Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 14 DBE/November 2012 NSS – Memorandum − 2(n − 5) 2 + 18 < −110  Tn < −110 − 2(n − 5) 2 + 128 < 0  (n − 5) 2 − 64 > 0 (n − 5) 2 − 64 > 0 [(n − 5) − 8][(n − 5) + 8] > 0 faktore (n − 13)(n + 3) > 0 kritieke waardes + 0 − 0 + -3 13 –3 13  ongelykhede   n > 13 n < –3 of n > 13 (aanvaar: n ≥ 14 ) n ≥ 14 ; n ∈ Ν (6) n ≥ 14 ; n ∈ Ν OF n > 13 ; n ∈ Ν OF Tn = −2(n − 5) + 18 2 Tn = −2n 2 + 20n − 32 − 2n 2 + 20n − 32 < −110  Tn < −110 − 2n 2 + 20n − 78 < 0 standardvorm n 2 − 10n − 39 > 0 faktore (n − 13)(n + 3) > 0 + 0 − 0 +  kritieke waardes -3 13 –3 13  ongelykheid n<–3 of n > 13  n > 13 (aanvaar: n ≥ 14 ) n ≥ 14 ; n ∈ Ν OF n > 13 ; n ∈ Ν (6) OF  uitbreiding –14 ; 0 ; 10 ; 16 ; 18 ; 16 ; 10 ; 0 ; –14 ; –32 ; –54 ; –80 ; –110  gevolgtrekking n ≥ 14 ; n ∈ Ν (6) [21] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 15 DBE/November 2012 NSS – Memorandum VRAAG 4 4.1.1 y = 3.2 0 − 6 Let wel: As x = 0 veronderstel is, y = 3−6 en y = – 3 word gegee, gee 1/1 punte.  antwoord y = −3 (0 ; − 3) (1) Let wel: As x = 0 nie gegee word nie, en y = – 3 word gegee, gee 0/1 punte. 4.1.2 0 = 3.2 x − 6 Let wel: Indien kandidaat vrae 4.1.1 y = 0 3.2 = 6 x en 4.1.2 omruil: 0 /2 punte. 2 x = 21  x-waarde x =1 (1 ; 0) Let wel: Indien kandidaat sê dat (2) 3.2 x = 6x, sal die antwoord steeds x = 1 wees: gee slegs 1 /2 punte. y 4.1.3 3 2 1 (1 ; 0) x -2 -1 0 1 2 afsnitte -1 -2 f  asimptoot  vorm -3 (0 ; -3) -4 (3) -5 y = -6 -6 -7 4.1.4 y > −6 OF (−6 ; ∞)  antwoord (1) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 16 DBE/November 2012 NSS – Memorandum y 4.2 f R g S(−2 ; 0) T(6 ; 0) x 0 4.2.1 y = −2 x + d 0 = (−2)(6) + d vervanging  antwoord d = 12 (2) Let wel: Indien OF kandidaat slegs antwoord gee: y − y1 = m(x − x1 ) 2/2 punte y − 0 = −2(x − 6 ) vervanging y = −2 x + 12  antwoord (2) ∴d = 12 OF −d Siende m = −2 en m = 6 −d vervanging −2= 6  antwoord d = 12 (2) 4.2.2 y = a ( x − 6)( x + 2)  y = a ( x − 6)( x + 2) Let wel: Indien  vervang R(0 ; 12) 12 = a (0 − 6)(0 + 2) kandidaat slegs  a-waarde a = −1 antwoord gee: y = −( x 2 − 4 x − 12) 0/4 punte = − x 2 + 4 x + 12  y = − x 2 + 4 x + 12 (4) OF y = ax 2 + bx + 12  y = ax 2 + bx + 12 0 = a(− 2 ) + b(− 2 ) + 12 0 = 4a − 2b + 12 2 dus vervang S(− 2; 0 ) en 0 = a(6 ) + b(6 ) + 12 0 = 36a + 6b + 12 2 dus T(6; 0 ) 0 = 24b − 96 b=4  b-waarde Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 17 DBE/November 2012 NSS – Memorandum 0 = 4a − 2(4) + 12 a = −1  y = − x 2 + 4 x + 12 y = − x 2 + 4 x + 12 (4) OF y = a(x − 2) + q 2  y = a(x − 2) + q 2 0 = a(− 2 − 2) + q of 0 = a(6 − 2 ) + q 0 = 16a + q 2 2 dus  vervang R(0 ; 12) 12 = a(0 − 2 ) + q 12 = 4a + q 2 dus en S(– 2 ; 0) 12 = −12a (of T(6 ; 0) ) a = −1  a-waarde q = 16 y = −( x − 2 ) + 16 2 ( = − x 2 − 4 x + 4 + 16)  y = − x 2 + 4 x + 12 = − x 2 + 4 x + 12 (4) OF y = a(x − 6 )(x + 2 )  y = a ( x − 6)( x + 2) ( = a x − 4 x − 12 2 )  uitbreiding  a-waarde = −(x − 4 x − 12 ) 2 = − x 2 + 4 x + 12  y = − x 2 + 4 x + 12 (4) 4.2.3 dy =0 dx − 2x + 4 = 0 x-waarde x=2 y = −(2) 2 + 4(2) + 12 = 16  y-waarde DP van f is (2 ; 16) (2) OF b x=− 2a 4 =− 2(− 1)  x-waarde =2 y = −(2) 2 + 4(2) + 12 = 16  y-waarde DP van f is (2 ; 16) (2) OF Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 18 DBE/November 2012 NSS – Memorandum f ( x) = −( x − 2) 2 + 16  x-waarde DP van f is (2 ; 16)  y-waarde OF (2) −2+6 x= 2  x-waarde =2 y = −(2) 2 + 4(2) + 12  y-waarde = 16 (2) DP van f is (2 ; 16) 4.2.4 k < 16 of (− ∞;16 )  antwoord Let wel: Indien kandidaat se y -koördinaat (2) van die draaipunt in 4.2.3 q is, aanvaar k < q OF (− ∞; q ) 4.2.5 Maksimum waarde van h( x) = 3 f ( x ) −12  vervang 16 vind plaas by maksimum waarde van f (x) vir f(x) Maksimum waarde = 316−12 Let wel: Slegs antwoord 3/3 punte = 81  34 of 81 (3) OF Maksimum waarde van h( x) = 3 f ( x ) −12 vind plaas by maksimum waarde van f (x)  vervang 16 h(2) = 3 f ( 2 ) −12 vir f(x) = 316−12 = 34 of 81  34 of 81 (3) OF f ( x ) − 12 = − x 2 + 4 x = x(4 − x )  vervang f(2) = 4 wat 'n maksimum waarde het waar f (2 ) = 4  34 of 81 ∴ Maksimum waarde van h( x ) is 34 of 81 (3) [20] VRAAG 5 5.1 0 ≤ x ≤ 3 OF [0 ; 3] 0 ≤ x Let wel: Indien kandidaat 0 < x < 3 as x≤3 antwoord gee: 1/2 punte (2) 5.2 f -1 : x = − 27 y  ruil x- en y- waardes om x 2 = 27 y x2  y= 27 Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 19 DBE/November 2012 NSS – Memorandum x2  x ≤ 0 of y= x ≤ 0 OF (− ∞; 0 ) (− ∞; 0) 27 (3) y 5.3 Let wel: Merk DA van 5.2 EN let wel dat 5.3 ook geskets f −1 kan word deur refleksie om die lyn y = x. P(−9 ; 3)  vorm 0 x  eindig by oorsprong  enige ander punt op die grafiek. (3) 5.4 Refleksie om die x-as  antwoord (1) OF  antwoord ( x ; y) → ( x ; − y) ; x ≥ 0 (1) [9] VRAAG 6 a f ( x) = +1 LET WEL: x–5 x−5 Indien kandidaat slegs grafiek +1 a 0= +1 geteken het, gee maksimum  vervanging (2) − 5 2/4 punte. a  beide asimptote korrek −1 = en/of snypunt van asimptote −3 (5;1) aangedui. a=3 (2 ; 0)  korrekte vorm van die grafiek 3 f ( x) = +1 a=3 x−5 LET WEL: (4) OF x−2 f (x ) = as ‘n alternatiewe x−5 (x − 5)( y − 1) = k vereenvoudigde vorm.  ( x − 5) (2 − 5)(0 − 1) = k  ( y − 1) k =3  vervanging (x − 5)( y − 1) = 3 van (2; 0) 3  k =3 y= +1 (4) x−5 [4] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 20 DBE/November 2012 NSS – Memorandum VRAAG 7 7.1.1 A = P(1 − i) n Identifiseer i, n en P = 120 000(1 − 0,09) 5  vervang in = R 74 883,86 korrekte Let wel: Let wel: formule Verkeerde Verkeerde afronding  antwoord formule(in 7.1.1 in Vraag 7.1: (3) of 7.1.2): Identifiseer 7.1.2 A = P(1 + i) n maks 1/3 punte Geen penalisering i, n en P = 120 000(1 + 0,07) 5  vervang in = R168 306,21 korrekte formule  antwoord (3) 7.1.3 Delgingsfonds benodig: R 90 000 Let wel:  F v = R90 000 Let wel: As n = 60, is x[(1 + i ) − 1] n i= 0,85 = 17 Fv = As n = 60, en die antwoord i kandidaat het Fv R1 208,99: 12 2400 in annuiteitsformule  0,085  61  uitgewerk vir ‘n 4/5 punte x 1 +  − 1 ekstra maand, is  n = 61  12   90 000 = die antwoord  vervang in 0,085 R1 200,48: Maks 3/5 punte korrekte 12 Let wel: formule x = R 1 184,68 Verkeerde  antwoord formule : maks (5) 2/5 punte OF Die geval waar geld belê word aan die begin van elke maand, maar in die laaste maand word ‘n addisionele bedrag belê: [ x(1 + i )(1 + i ) − 1 Fv = n ] + x i= 0,085 = 17 i 12 2400 = x  [  (1 + i )(1 + i )n − 1 ] + 1  in annuïteitsformule  n = 60 en  i  addisionele x bygetel   60    1 + 0,085  1 + 0,085  − 1   R 90 000  12   12    90 000 = x  + 1  0,085   vervang in  12  korrekte formule    0,085  90 000   12  x =  antwoord 0,085     0,085  60  0,085  (5) 1 +  1 +  − 1 +    12   12    12  = R1184, 68 Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 21 DBE/November 2012 NSS – Memorandum 0,085 17 OF i= = 12 2400 Huidige waarde (P v ) van delgingsfonds benodig: in annuïteitsformule 61  0,085   n = 61 90 000 = Pv 1 +   12  Pv = R 58 513,03  Pv = R 58 513,03 Deur die P v formule te gebruik: x[1 − (1 + i ) − n ] Pv =  vervang in i korrekte formule   0,085  − 61  x 1 − 1 +     12    antwoord 58 513,03 = 0,085 (5) 12 x = R 1 184,68 7.2 x[1 − (1 + i ) − n ] Pv = LET WEL:  x = 18 000 i Verkeerde formule : 0,105   0,105  − n  maks 3/6 punte i= in 18 000 1 − 1 +   12   12   annuteitsformule 900 000 = As Fv formule gebruik 0,105 word,’n moontlike een punt  vervang in 12 elk vir i, x en gebruik van korrekte  0,105  logs gegee. formule 900 000  −n  12   0,105  1− = 1 +  As enige ander verkeerde 18 000  12  formule gebruik word, 0/6  vereenvoudiging 9 punte. − n = log  0,105   +  16  1 12   gebruik van n = 66,04 maande logs Sy sal haar huidige leefstyl vir net meer as 66 maande kan handhaaf deur van haar pensioengeld gebruik te maak.  antwoord in OF maande LET WEL: (6) Vroeë afronding in vraag 7.2 (antwoord dan 58 maande): penaliseer met 1 Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 22 DBE/November 2012 NSS – Memorandum x[1 − (1 + i ) − n ] Pv =  x = 18 000 i 0,105   0,105  − n  i= in 18 000 1 − 1 +   12   12   annuïteitsformule 900 000 =  vervang in 0,105 korrekte 12 formule  0,105  900 000  −n  12   0,105  1− = 1 +  18 000  12   vereenvoudiging  0,105  9  gebruik van − n log1 +  = log  12  16 logs n = 66,04 maande Sy sal haar huidige leefstyl vir net meer as 66 maande kan handhaaf deur van haar pensioengeld gebruik te maak.  antwoord in maande (6) OF A = Fv x[(1 + i ) n − 1] P (1 + i ) n = i  x = 18 000  0,105  n  0,105 i= in 18 000 1 +  − 1 12 0,105 n  12   annuïteitsformule 900 000(1 + ) = 12 0,105  vervang in 12 korrekte n formule 0,105 0,105 n  0,105  × 900 000(1 + ) = 180001 +  − 18000 12 12  12  n  0,105  0,105 0,105 n 18000 = 180001 +  − × 900 000(1 + )  12  12 12 0,105 n 0,105  vereenvoudiging 18000 = (1 + ) [18000 − × 900 000] 12 12 0,105 0,105 n 18000 ÷ [18000 − × 900 000] = (1 + ) 12 12 16 0,105 n = (1 + ) 9 12  gebruik van 9 logs n = log  0,105   1+  16  12  n = 66,04 maande  antwoord in maande Sy sal haar huidige leefstyl vir net meer as 66 maande kan handhaaf deur van (6) haar pensioengeld gebruik te maak. [17] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 23 DBE/November 2012 NSS – Memorandum VRAAG 8 8.1 f ( x) = 2 x 2 − 5  vervanging van f ( x + h) = 2( x + h) 2 − 5 (x + h) = 2 x 2 + 4 xh + 2h 2 − 5 Let wel: f ( x + h) − f ( x) = 4 xh + 2h 2 Notasiefout:  vereenvoudiging Penaliseer met na 4 xh + 2h 2 4 xh + 2h 2 f ′( x) = lim 1 punt h →0 h h ( 4 x + 2h)  formule = lim h →0 h = lim(4 x + 2h)  lim(4 x + 2h) h →0 h →0 = 4x Let wel: Indien kandidaat differensiasie  antwoord OF reëls gebruik: (5) f (x + h ) − f (x ) 0/5 punte f ′( x ) = lim h →0 h = lim [ ] ( 2(x + h ) − 5 − 2 x 2 − 5 2 )  formule h →0 h = lim [( ) ] 2 x + 2 xh + h 2 − 5 − 2 x 2 + 5 2  vervanging van (x + h) h →0 h [2 x + 4 xh + 2h 2 − 5] − 2 x 2 + 5 2  vereenvoudiging = lim h →0 h 4 xh + 2h 2 = lim h →0 h  lim(4 x + 2h) h(4 x + 2h ) h →0 = lim h →0 h = lim(4 x + 2h )  antwoord h →0 (5) = 4x 8.2 dy 1  − 4 x −5 = − 4 x −5 + 6 x 2 − LET WEL: LET WEL: dx 5 Notasiefout: Kandidaat hoef NIE  6x 2 −4 1 Penaliseer antwoord met positiewe 1 = 5 + 6x 2 −  − x 5 met 1 punt eksponent te skryf nie 5 (3) x +x−2 2 8.3.1 g ( x) = x −1 ( x + 2)( x − 1)  vereenvoudiging = x −1 = x + 2 (x ≠ 1)  antwoord g ′( x) = 1 ; x ≠ 1 (2) 8.3.2 Die funksie is ongedefinieerd by x = 1. OF Deling deur nul is ongedefinieerd  antwoord OF (1) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 24 DBE/November 2012 NSS – Memorandum Die deler mag nie nul wees nie OF In die definisie van die afgeleide i.e. g (1 + h ) − g (1) g ′(1) = lim , maar g(1) bestaan nie [11] h →0 h VRAAG 9 9.1.1 f ( x) = − x 3 − x 2 + 16 x + 16 f ′( x) = −3 x 2 − 2 x + 16  f ′( x) = −3 x 2 − 2 x + 16 LET WEL:  f ′(x ) = 0 0 = −3x − 2 x + 16 2 As nie f ′(x ) = 0 of 3x 2 + 2 x − 16 = 0 0 = −3 x 2 − 2 x + 16 spesifiek neergeskryf is  faktore (3 x + 8)( x − 2) = 0 nie: Maks 3/4 8 x = − of x = 2  x waardes 3 OF (4) f ( x) = − x 3 − x 2 + 16 x + 16 f ′( x) = −3x 2 − 2 x + 16 0 = −3x 2 − 2 x + 16  f ′( x) = −3 x 2 − 2 x + 16  f ′(x ) = 0 0 = 3x 2 + 2 x − 16 − 2 ± 2 2 − 4(3)(− 16 ) x= 2(3)  vervang in formule 8 x=− of x = 2  x waardes 3 (4) 9.1.2 f ′′( x) = 0  f ′′( x) = −6 x − 2 − 6x − 2 = 0 LET WEL:  − 6x − 2 = 0 Slegs antwoord:  antwoord 1 x=− 2/3 punte (3) 3 OF − 83 + 2 −8 +2  x = x= 3 2 2 x=− 1  antwoord 3 (3) OF f ′( x) = −3 x 2 − 2 x + 16 − (−2)  x = − (−2) 2(− 3) x= 2(− 3)  antwoord 1 x=− (3) 3 Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 25 DBE/November 2012 NSS – Memorandum OF f ( x) = − x 3 − x 2 + 16 x + 16 − (1) − (1) x=  x = 3(− 1) 3(− 1) 1 x=−  antwoord 3 (3) 9.2.1 g ( x ) = −2 x − 9 x + 5 2 g (−1) = −2(−1) 2 − 9(−1) + 5  g( – 1) = 12 = 12 g ′( x) = −4 x − 9  g ′( x) = −4 x − 9 m raaklyn = −4(−1) − 9 = −5 Let wel:  mraaklyn = −5 y = −5 x + c DA vir antwoord, SLEGS as 12 = −5(− 1) + c kandidaat gewys het waar die  antwoord g(– 1) waarde vandaan kom. c=7 (4) y = −5 x + 7 OF g ( x ) = −2 x 2 − 9 x + 5 g (−1) = −2(−1) 2 − 9(−1) + 5 = 12  g( – 1) = 12 g ′( x ) = −4 x − 9  g ′( x) = −4 x − 9 m raaklyn = −4(−1) − 9 = −5  mraaklyn = −5 y − 12 = −5( x + 1) y = −5 x + 7  antwoord (4) y 9.2.2 Let wel: Indien kandidaat slegs die antwoord gee, skets 3/3 punte. 7 Let wel: Indien kandidaat x die antwoord y = −5 x + c in 9.2.1 het, gee dan 3/3 punte vir 7 q>c. korrekte ongelykheid (3) q>7 OF Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 26 DBE/November 2012 NSS – Memorandum y = −5 x + q and y = −2 x 2 − 9 x + 5  metode − 5 x + q = −2 x 2 − 9 x + 5 7 q = −2(x + 1) + 7 2 korrekte ongelykheid ∴q > 7 (3) OF y = −5 x + q en y = −2 x 2 − 9 x + 5  metode − 5 x + q = −2 x 2 − 9 x + 5 2x 2 + 4x + q − 5 = 0 7 − 4 ± 16 − 4(2)(q − 5) korrekte ongelykheid x= 2(2) (3) − 4 ± 56 − 8q x= 4 56 − 8q < 0 q>7 OF Omdat g(- 1) = 12 en by x = −1, is die vergelyking van die  metode raaklyn y = −5 x + 7 , sal y = −5 x + q nie g sny nie as 7 12 < −5 x + q korrekte ongelykheid 12 − 5 < q (3) 7<q 9.3 h ′( x) = 12 x 2 + 5  h ′( x) = 12 x 2 + 5 Vir alle waardes van x: x2 ≥ 0 12 x 2 ≥ 0 12 x 2 + 5 ≥ 5 12 x 2 + 5 > 0 duidelike argument Vir alle waardes van x: h ′( x) > 0 dat h ′( x) > 0 Alle raaklyne aan die grafiek van h sal 'n positiewe gradiënt hê. Dit sal daarom nooit moontlik wees om 'n raaklyn met 'n  gevolgtrekking negatiewe gradiënt aan h te trek nie. (3) OF h ′( x) = 12 x 2 + 5  h ′( x) = 12 x 2 + 5 Veronderstel h′( x ) < 0 en probeer x oplos : 12 x 2 + 5 < 0 x2 < − 5 duidelike argument 12 dat h ′( x) < 0 2 maar x is altyd positief nie moontlik nie ∴ geen oplossing vir x Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 27 DBE/November 2012 NSS – Memorandum ∴ h′( x) ≥ 0 for all x ∈ R i.e. daar is geen raaklyne met negatiewe gradiënt  gevolgtrekking OF (3) h ′( x) = 12 x 2 + 5 y  h ′( x) = 12 x 2 + 5 h' duidelike argument 5 dat h ′( x) > 0 deur van skets gebruik te maak x Dit is duidelik dat h ′( x) > 0 vir alle x ∈ R ,  gevolgtrekking Dit sal daarom nooit moontlik wees om 'n raaklyn met 'n negatiewe gradiënt aan h te trek nie. (3) [17] VRAAG 10 10.1 s (t ) = 2t 2 − 18t + 45 Let wel:  s ′(t ) s′(t ) = 4t − 18 Geen penalisering vir uitlaat van eenhede s ′(0 ) = 4(0 ) − 18 in vraag 10  vervang t = 0 = −18 m / s Let wel: Geen penalisering indien kandidaat 18 m/s s ′(t ) formula na -18m/s in finale antwoord neerskryf nie.  antwoord (3) Let wel: Indien kandidaat slegs die antwoord gee, 0/3 punte. 10.2 s′′(t ) = 4 m/s2  antwoord (1) 10.3 4t − 18 = 0 4t = 18  s ' (t ) = 0 9 t = sekondes of 4,5 sekondes 2  antwoord (2) OF Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 28 DBE/November 2012 NSS – Memorandum  s(t ) = 2 t − 9  + 9 2 2  9 s (t ) = 2 t −  + 9  2 2  2 2 9 t = sekondes of 4,5 sekondes  antwoord 2 (2) OF s (t ) = 2t 2 − 18t + 45 − 18 − 18 t=−  t=− 2(2 ) 2(2 ) 9 t = sekondes of 4,5 sekondes  answer 2 (2) [6] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 29 DBE/November 2012 NSS – Memorandum VRAAG 11 y 40 35 30 Basiese Sakrekenaars 25 20 15 A 10 B 5 P GANGBARE GEBIED D C x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Wetenskaplike Sakrekenaars 11.1 Nee, want (15 ; 5) lê buite die gangbare gebied.  antwoord OF (met motivering) Nee, want volgens die beperkings, moet die x-waarde (getal (1) wetenskaplike sakrekenaars) ten minste 20 wees. 11.2 x ≥ 20  x ≥ 20 x ≥ 20 x ≥ 20 y x x ≥ 20  x + 2 y ≤ 50 1 + ≤1  x + y ≤ 40 x + 2 y ≤ 50 y ≤ − x + 25 25 50 25 x + 50 y ≤ 1250 OF 2 OF OF  y≥0 x + y ≤ 40 y x 40 x + 40 y ≤ 1600 y ≤ − x + 40 + ≤1 y≥0 40 40 y≥0 y≥0 y≥0 (6) Let wel: Indien alle ongelykhede omgeruil is: Maks 2/6 punte 11.3.1 A  antwoord (1) 11.3.2 Alle punte op die winsfunksie gee dieselfde wins, Vervolgens bestaan daar nie so 'n punt nie   Geen punt bestaan nie OF (2) Indien so 'n (x ; y) bestaan, Q = 3x + y en 1   Geen punt y = − x + 15 bestaan nie 3 so 45 = 3 y + x = Q (2) Q = 4 500 Vervolgens bestaan daar nie so 'n punt nie. Kopiereg voorbehou

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V1 30 DBE/November 2012 NSS – Memorandum 11.3.3 Q = ax + by a Q y=− x+ a Q b b y=− x+ Let wel: b b a a 1 Indien kandidaat met werk in plaas van a −1 ≤ − ≤ − b  −1 ≤ − b 2 a b – : maks 3/4 a 1 a ≤ ≤1 b  ≤1 2 b b a Die maksimum waarde van is 1.  antwoord b (4) [14] TOTAAL: 150 Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief