Mathematics Grade 12 P2 NSC November 2012 Memo (Afrikaans)

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 12 WISKUNDE V2 NOVEMBER 2012 MEMORANDUM PUNTE: 150 Hierdie memorandum bestaan uit 29 bladsye. Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 2 DBE/November 2012 NSC – Memorandum NOTA: • Indien `n kandidaat `n vraag TWEE keer beantwoord het, merk slegs die EERSTE poging. • Indien `n kandidaat `n poging van `n vraag gekanselleer het en nie die vraag weer gedoen het nie, merk die gekanselleerde weergawe. • Volgehoue akkuraatheid is van toepassing in ALLE aspekte van die memorandum tensy anders aangedui. VRAAG 1 1.1 Ongeveer 121cm (Aanvaar 120 – 122) antwoord (1) 1.2 Soos die ouderdom toeneem sal die lengte toeneem beskrywing (1) OF Elke jaar die lengte sal toeneem met ongeveer 6,2 cm OF Reguit lyn (linieêr) met positiewe gradient OF Toename in lengte: toename in ouderdom is `n konstante OF Sterk positiewe korrelasie 1.3 169 − 88  lees van Geskatte toename in gemiddelde lengte = grafiek af 15 − 2 = 6 ,23  noemer antwoord Interval vir noemer (87 – 89 ; 167 – 170) (3) (Aanvaar enige antwoord tussen 6 – 6,4 cm) 1.4 Kinders hou op groei as hulle volwassenheid bereik. opmerking (1) OF Indien die neiging voortduur sal die seuns onmoontlike lengtes bereik OF Die neiging sal ‘n konstante waarde nader. [6] OF Mense kan nie onbeperk groei nie. Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 3 DBE/November 2012 NSC – Memorandum VRAAG 2 2.1 Gemiddelde aantal lopies  128 x= ∑ x = 128 =16 16 n 8 (2) 2.2 Standaard afwyking = 7,55 NOTA: Penalisering van 1 punt vir  7,55 nie-korrekte afronding (2) 2.3 Standaard afwyking = 9,71  9,71 Standaard afwyking vermeerder.  vermeerder (2) OF 2 en 35 is ver van die gemiddelde, naamlik 16. Die standaard 2 en 35 ver afwyking hang af van hoe ver die data punte vanaf die gemiddelde is, van gemiddelde en daarom word dit verwag dat die standaard afwyking sal toeneem vermeerder (2) 2.4 Totale aantal lopies benodig is 20 x 16 = 320  320 Totale aantal lopies aangeteken tydens die laaste vyf wedstryde = 320 – 59 – 128 = 133  133 Gemiddelde aantal lopies vir die laaste wedstryd is  26,6 133 (3) = 26,6 5 OF 128 + 59 + x = 20 16 187 + x = 320  320 ∴ x = 133  133 133 ∴ = 26,6  26,6 5 (3) OF 128 + 59 + 5 x  320 = 20 16 5 x = 133  133 ∴ x = 26,6  26,6 (3) [9] Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 4 DBE/November 2012 NSC – Memorandum VRAAG 3 3.1 Omvang (Variasiewydte) = 85 – 30 = 55  55 (1) 3.2 Skei  maks 85 Wisk  Q 3 = 70  Q 1 = 40  Mediaan = 55 (4) 3.3 Vanuit die inligting oor Wiskunde, die waarde van die derde kwartiel  75% van is 70%. leerders Dus sal 75% van die leerder se punte onder 70% wees. Verwagte aantal leerders minder as 70% is 75 3  45 leerders × 60 = × 60 = 45 leerders (2) 100 4 3.4 Nee, Joe se stelling is nie geldig nie. 50% van die leerders het tussen nie geldig 30% en 45% presteer in Skeinat. 50% van die leerders het tussen 30% nie/no en 55% presteer in Wiskunde. Daarom is die aantal leerders dieselfde  mediaan represents 50% OF of leerders Nee, Joe se stelling is nie geldig nie. Selfde aantal leerders (tussen min (2) en mediaan) [9] VRAAG 4 4.1 Modale interval(klas) is 50 ≤ x < 60 korrekte interval OF (1) 50< x ≤ 60 OF 50 tot 60 4.2 Mediaan posisie is 15 leerders (gegroepeerde data).  53 kg Geskatte gewig is omtrent 53 kg. (1) (Aanvaar 52 kg - 54 kg ) 4.3 30 – 23 = 7 leerders het meer as 60 kg versamel.   7 leerders (2) [4] Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 5 DBE/November 2012 NSC – Memorandum VRAAG 5 y A(– 3 ; 8) θ B M E(6 ; 1)  P Q R S T x D C(5 ; – 4) 5.1 Hoeklyne halveer mekaar by M:  x M =1 −3+5 8 + (−4) xM = =1 ; yM = =2 2 2  yM = 2 M(1 ; 2) (2) 5.2 1+ 4  vervanging in m BC = gradient formule 6−5 m BC = 5 5 (2) OF − 4 −1 m BC = − 4 −1 5−6  m BC = 5−6 m BC = 5 5 (2) 5.3 y − y1 = m( x − x1 ) y − 8 = m( x + 3)  vervanging (–3 ; 8) m AD = mBC = 5 Ewewydige lyne  gradiente gelyk y − 8 = 5( x + 3) y = 5 x + 23  vergelyking (3) Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 6 DBE/November 2012 NSC – Memorandum OF  gradiente gelyk m AD = m BC Ewewydige lyne m AD = 5  vervanging y = 5x + c (–3 ; 8) 8 = 5(−3) + c c = 23  vergelyking y = 5 x + 23 (3) 5.4 ABCD is `n ruit, daarom AB = BC θ = BCˆ A = ARˆ S − RSˆC  θ = BCˆ A = ARˆ S − BSˆT 8+4 NOTA: tan ARˆ S = m AC = −3−5 Indien `n leerder aanvaar 3 3 dat E die middelpunt van  tan ARˆ S = − tan ARˆ S = − BC is dan max 3/6 2 2 OF ARS = 180° − 56,3099... ˆ  123,69° AB is loodreg op BC dan ARˆ S = 123,69° max 1/6 tan BSˆT = mBC = 5  tan BSˆT = mBC = 5  78,69° BSˆT = 78,69° ARˆ S = BCˆ A + BSˆT BCˆ A =123,69° − 78,69°  θ = 45° (6) BCˆ A = 45° OF 8+4 3 3 tan ARˆ S = m AC = =−  tan ARˆ S = − −3−5 2 2 ARS = 123,69° ˆ  123,69° tan APˆ R = m = 5 AD  tan APˆ R = m AD = 5 APˆ R = 78,69°  78,69° PAˆ R = ARˆ S − APˆ R Buitehoek van `n driehoek = 123,69° − 78,69°  PAˆ R = 45° = 45°  θ = 45° θ = PAˆ R Hoeklyne van `n ruit halveer (6) = 45° teenoorstaande hoeke Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 7 DBE/November 2012 NSC – Memorandum OF 8+4 3 tan ARˆ S = m AC = =− 3  tan ARˆ S = − −3−5 2 2  123,69 ARS = 123,69° ˆ  tan APˆ R = m AD = 5 tan APˆ R = 5  78,69° APˆ R = 78,69° θ = PAˆ R Hoeklyne van `n ruit halveer teenoorstaande hoeke  θ = PAˆ R θ = ARˆ S − APˆ R θ = 123,69° − 78,69° Buite hoek van driehoek  θ = 45° θ = 45° (6) OF 3  tan ARˆ S = − 8+4 3 2 tan ARˆ S = m AC = =− −3−5 2  123,69 ARS = 123,69° ˆ  tan BSˆT = 5 tan BSˆT = 5  78,69° BSˆT = 78,69°  θ = RCˆ S θ = RCˆ S BA=BC RCˆ S + BSˆT = RCˆ S + RSˆC = ARˆ S θ = ARˆ S − BSˆT  θ = 45° = 123,69° − 78,69° (6) = 45° OF ABCD is `n ruit, daarom AB = BC ∴ ACˆ B = BAˆ C  ACˆ B = BAˆ C tan θ = tan ACˆ B  tan θ = tan ACˆ B = tan( ARˆ S − BSˆT ) tan ARˆ S − tan BSˆT =  formule 1 + tan ARˆ S . tan BSˆT  12   − 5   −   − 8   −1   vervanging =  12  5  1 +     8  1   tan θ = 1 =1  θ = 45° θ = 45° (6) Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 8 DBE/November 2012 NSC – Memorandum OF Uit 5.1, M se koordinate is (1 ; 2) Verbind ME 2 −1 1 gradient van ME mME = =− 1− 6 5 Uit 5.2 gradient van BC mBC = 5 ∴ mME × .mBC = −1  MEˆ C = 90° ∴ MEˆ C = 90°  ME = 26 ME = (1 − 6)2 + (2 − 1)2 = 26  EC = 26 EC = (5 − 6)2 + (− 4 − 1)2 = 26 ∴MEC is ‘n reghoekige driehoek.  ECˆ M = 45° ECˆ M = 45° ABCD is ‘n ruit, dus AB = BC (6) ∴ θ = BCˆ M = 45° OF AM = (− 3 − 1) + (8 − 2 ) = 2 13 2 2  AM = 2 13 Berekeninge om die koordinate van B te bepaal 8+ 4 3 m AC = =− −3−5 2 m BD × m AC = −1 2 Hoeklyne halveer reghoekig m BD = 3 2 4 2 4  y= x+ Vergelyking van BD is y = x + 3 3 3 3  y = 5 x − 29 Vergelyking van BC is y = 5 x − 29 BD en BC ontmoet in B.  B(7 ; 6) Los gelyktydig op om B(7 ; 6) te kry.  BM = 2 13 ∴ BM = (7 − 1)2 + (6 − 2)2 = 52 = 2 13 ∴ BM = AM Omdat AMˆ B = 90° BM tan θ = AM ∴ tan θ = 1  45° θ = 45° (6) [13] Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 9 DBE/November 2012 NSC – Memorandum VRAAG 6 y Q A N(3 ; 2) B K x O L P 6.1 Die radius (NL) van `n sirkel is loodreg op die raaklyn (OL) by  radius ⊥ raaklyn die kontakpunt (1) 6.2 L(3 ; 0)  (3 ; 0) (1) 6.3 Middelpunt N (3 ; 2) en r = NL = 2 r = 2 Vergelyking van die sirkel N: ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2  ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 4 4 (3) 6.4 koordinates van K. K is die x-afsnit van die raaklyn. 4 4 y = x+ 3 3 4 4 0 = x+  vervanging y = 0 in 3 3 vergelyking van 0 = 4x + 4 raaklyn 4x = − 4 x = −1 x=–1 K (−1; 0) KL = 3 – (–1) of KL = 3 + 1  KL = 4 KL = 4 (3) Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 10 DBE/November 2012 NSC – Memorandum OF 4 4 y= x+ 3 3 4 4  vervanging y = 0 in 0 = x+ vergelyking van 3 3 raaklyn 0 = 4x + 4 4x = − 4 x = −1 x=–1 K (−1; 0) KL = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 KL = (3 + 1) 2 + (0 − 0) 2 KL = 16  KL = 4 KL = 4 (3) OF 4 4 Vir AK, m = ,c= 3 3 4 4 4 3 = tan AKˆ O = 4  3 = OK 3 OK 3 OK = 1  OK = 1 ∴ KL = 4  KL = 4 (3) OF 4 4 y= x+ 3 3 4 4 0 = x+ 3 3 0 = 4x + 4 x=–1 4x = − 4 x = −1 K (−1; 0)  KN2 = NL2 + KL2 Pythagoras se stelling KN2 = NL2 + KL2 (– 1 – 3)2 + (0 – 2)2 = 4 + KL2 20 = 4 + KL2  KL = 4 16 = KL2 (3) KL = 4 Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 11 DBE/November 2012 NSC – Memorandum 6.5 m AB × m AK = −1 raaklyn ⊥ radius 4 m AK = 4  m AK = 3 3 3 ∴ m AB = − 3 4  m AB = − 4 y − y1 = m( x − x1 ) 3  vervanging van punt y − 2 = − ( x − 3) 4 (3;2) in vergelyking 3 9 8 y = − x+ +  vergelyking 4 4 4 (4) 3 17 y = − x+ 4 4 OF m AB × m AK = −1 raaklyn ⊥ radius 4  m AK = 4 3 m AK = 3 3  m AB = − 3 4 ∴ m AB = − 4 3 y =− x+c 4  vervanging van punt  3 2 =  − (3) + c (3;2) in vergelyking  4 8 9 c= + 4 4 17 c= 4 3 17  vergelyking y =− x+ 4 4 (4) Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 12 DBE/November 2012 NSC – Memorandum 6.6 Punt A is op PQ en AB. Dus 4 4 3 17 x + =− x +  vergelyking 3 3 4 4 16 x + 16 = − 9 x + 51 25 x = 35  25x = 35 7 x = 5 3  7  17 y = −  +  vervanging van x 45 4 16 y = 5  7 16  A ;  (3) 5 5  OF Punt A is op PQ en die sirkel. Dus 4 4 ( x − 3) 2 + ( x + − 2) 2 = 4  (5 x −  23)(5 x − 7) = 0 vergelyking 3 3 4 2 ( x − 3) 2 + ( x − ) 2 = 4 3 3  25 x − 70 x + 49 = 0 2 vervanging of x (5 x − 7) 2 = 0  (5x – 7)2 = 0 7 (3) x= 5 3  7  17 y = −  + 45 4  substitusie van x 16 y = 5 OF Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 13 DBE/November 2012 NSC – Memorandum Punt A lê op die sirkel en op lyn AB ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 4 - - - - - - - - - (1) 3 17 y=− x+ - - - - - - - - - (2) 4 4 3 17 Subs (2) in (1) : x 2 − 6 x + 9 + (− x+ − 2) 2 = 4  vergelyking 4 4 3 9 x 2 − 6 x + 9 + (− x + )2 = 4 4 4 25 x − 150 x + 161 = 0 2  (5 x − 23)(5 x − 7) = 0 (5 x − 23)(5 x − 7) = 0 7 x= 5 3  7  17 y = −  + vervanging van x 45 4 16 y = 5 (3) OF Gebruik rotasie: Stel θ = AKˆ N = LKˆ N Skuif die diagram met 1 eenheid regs. Dan is L/ geroteer deur 2θ die punt A/. AN 2 1 tan θ = = = KA 4 2 1 2 4 ∴ sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2( )( )= 5 5 5  waardes van sin 2θ 2 1 cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ = ( ) 2 − ( ) 2 = 3 en cos 2θ 5 5 5 3 4 12 ∴ x A′′ = xL ′ cos 2θ − y L ′ sin 2θ = 4( ) − (0)( ) = 5 5 5 vervanging in die 4 3 16 y A′′ = xL ′ sin 2θ + y L ′ cos 2θ = 4( ) − (0)( ) = rotasie-formules 5 5 5 12 16 12 16 A′( ; ) A′( ; ) 5 5  5 5 Om terug te keer na A, skuif 1 eenheid links. 7 16 ∴ A( ; ) 5 5 (3) OF Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 14 DBE/November 2012 NSC – Memorandum y A N θ K θ x M L NL 2 1 Stel NKˆ L = θ . Dan sal tan θ = = = . 1 KN 4 2 tan θ = 1 2 2 Dus: sin θ = en cos θ = 5 5 Laat AM ⊥ x − as met M op x − as ∆NAK ≡ ∆NLK AKˆ N = NKˆ L = θ ∴ AKˆ L = 2θ y A = AM = AK sin 2θ = KL sin 2θ = 4 sin 2θ  1  2  4  sin 2θ = 4 sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2   = 5  5  5  5  4  16 y A = 4  = 5 5  los op vir x en y x A = OL − NA sin MAˆ N ( = 3 − 2 sin 90° − MAˆ K ) (3) = 3 − 2 sin 2θ 8 = 3− 5 7 = 5 Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 15 DBE/November 2012 NSC – Memorandum 6.7 KA = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2  afstandformule 2  7   16  2  vervanging =  + 1 +  − 0  5   5  4 =4 (3) OF KN = 4 2 + 2 2 = 20  KN = 20 KA = KN − AN 2 2 2  KA 2 = KN 2 − AN 2 = 20 − 4 = 16 KA = 4 4 (3) OF KA = KL Raaklyne van dieselfde punt af is gelyk  KA=KL KA = 4  rede 4 (3) 6.8 AN = NL Radii is gelyk  AN = NL KA = KL  KA = KL ∴KLNA is a kite twee paar aangrensde sye is gelyk. (2) 6.9 AB = AN + NB = 2 + 2 = 4  AB = 4 AK = 4= AB  AK = AB KAˆ B = 90° raaklyn ⊥ radius  KAˆ B = 90° ∴ ∆AKB is `n reghoekige gelykbenige driehoek AKˆ B + ABˆ K = 90° 2 ABˆ K = 90° (3) ∴ ABˆ K = 45° OF Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 16 DBE/November 2012 NSC – Memorandum N is die middelpunt van AB Veronderstel B is ( x B ; y B ) 7 16 xB + yB + 5 =3 5 =2 2 2 23 4 ∴ xB = ∴ yB = 5 5  23 4  ∴ B ;  A  5 5 3 B tan β = m AB = − 4 α β β = 180° − 36,87° K β = 143,13°  143,13° 4 −0 5 1 tan α = m KB = = 23 7 +1 5 α = 8,13°  8,13° ABˆ K = α + (180° − β )  ABˆ K = α + (180° − β ) = 8,13° + 36,87° (3) = 45° OF N is die middelpunt van AB Veronderstel B is ( x B ; y B ) 7 16 xB + yB + 5 =3 5 =2 2 2 23 4 A ∴ xB = ∴ yB = 5 5 4 23 4 4 ∴B( ; ) 5 5 K 4 2 B  4 2 23 4 KB = ( + 1) 2 + ( ) 2 = 4 2 5 5 4 = 4 + ( 32 ) − 2(4)( 32 ) cos θ 2 2 2  vervanging in cos- formule 2 cos θ = 2 2  cos θ = ∴θ = 45° 2 (3) 6.10 N / (3 ; − 2)  N / (3 ; − 2) (1) [24] Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 17 DBE/November 2012 NSC – Memorandum VRAAG 7 NOTA: CA nie van toepassing in hierdie VRAAG 7.1 Rotasie om oorsprong deur 90° in `n kloksgewyse rigting.  rotasie van 90°  kloksgewyse rigting (2) OF  rotasie of 270° Rotasie om oorsprong deur 270° in `n anti-kloksgewyse  anti-kloksgewyse rigting rigting. (2) stelling OF (2) Rotasie om oorsprong deur -90°. 7.2 ( x ; y ) → ( y ; − x)  (beide) ( x ; y ) → ( y ; − x) (2) 7.3 10 y A// 9 8  een punt korrek B//  alle punte korrek en 7 driehoek geteken 6 (2) / A C// 5 4 C 3 B/ A C/ 2 1 x B -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 7.4 ( x ; y ) → (2 x ; 2 y )  (2 x ; 2 y ) (1) 7.5.1 A(−5 ; 2) → (−5 ; − 2) → D (5 ; − 2) 5 – 2 (2) 7.5.2 ( x ; y ) → ( x ; − y ) → (− x ; − y )  (x ; – y) (– x ; – y) (2) 7.5.3 Rotasie deur 180° om die oorsprong in beide rigtings.  rotasie  180° (2) OF  refleksie  oorsprong Refleksie in die oorsprong. (2) [13] Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 18 DBE/November 2012 NSC – Memorandum VRAAG 8 Geen sakrekenaar toegelaat in hierdie VRAAG 8.1.1 OT = k, PT = 8 en OP = 17 k 2 + 8 2 = 17 2  vervanging in Pythagoras k 2 = 289 − 64 k 2 = 225 k = ±15  k = 15 k >0 (2) k = 15 OF k 2 = 17 2 − 8 2  vervanging in k 2 = (17 − 8)(17 + 8) Pythagoras = 25 × 9 = 225 k = ±15  k = 15 k >0 (2) k = 15 8.1.2 15 15 cos α =  17 17 (1) 8.1.3 α + β = 180° β = 180° − α  cos(180° − α ) ∴ cos β = cos(180° − α ) or – cos α = − cos α 15 15 =−  − 17 17 OF (2) 17 8 α β  cos(180° − α ) ∴ cos β = cos(180° − α ) or – cos α = − cos α 15  − 15 17 =− 17 (2) Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 19 DBE/November 2012 NSC – Memorandum 8.1.4 sin( β − α ) = sin β cos α − cos β sin α  uitbreiding 8  8  15   15  8   sin β = =    −  −   17  17  17   17  17  8 120 120  sin α = = + 17 289 289 240 240 =  289 289 (4) OF β − α = (180° − α ) − α  vervanging β = 180° − 2α sin( β − α ) = sin(180° − 2α ) = sin2α  2sinαcosα = 2sinα .cosα  8  15  = 2    sin α = 8  17  17  17 240 240 =  289 289 (4) 8.2.1 1 − cos 2 x − sin x LK = sin 2 x − cos x 1 − (1 − 2 sin 2 x) − sin x  1 − 2 sin 2 x =  2 sin x cos x 2 sin x cos x − cos x 2 sin 2 x − sin x  of sin x(2 sin x − 1) = 2 sin x cos x − cos x of sin x(2 sin x − 1) cos x(2 sin x − 1) = cos x(2 sin x − 1) sin x  sin x cos x = (4) cos x = tan x = RK OF Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 20 DBE/November 2012 NSC – Memorandum 1 − cos 2 x − sin x LK = sin 2 x − cos x 1 − (2 cos 2 x − 1) − sin x =  2 cos 2 x − 1 2 sin x cos x − cos x  2 sin x cos x 2 − 2 cos 2 x − sin x = 2 sin x cos x − cos x 2(1 − cos 2 x) − sin x = 2 sin x cos x − cos x 2 sin 2 x − sin x = 2 sin x cos x − cos x  sin x(2 sin x − 1) sin x(2 sin x − 1) of = cos x(2 sin x − 1) cos x(2 sin x − 1) sin x sin x =  cos x cos x = tan x (4) = RK OF 1 − cos 2 x − sin x LK = sin 2 x − cos x 1 − (cos 2 x − sin 2 x) − sin x  cos 2 x − sin 2 x =  2 sin x cos x 2 sin x cos x − cos x 1 − cos 2 x + sin 2 x − sin x = 2 sin x cos x − cos x 2 sin 2 x − sin x = 2 sin x cos x − cos x sin x(2 sin x − 1)  of sin x(2 sin x − 1) = of cos x(2 sin x − 1) cos x(2 sin x − 1) sin x = sin x cos x  (4) cos x = tan x = RK Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 21 DBE/November 2012 NSC – Memorandum 8.2.2 sin 2 x − cos x = 0 2 sin x cos x − cos x = 0  2 sin x cos x cos x = 0 cos x(2 sin x − 1) = 0  en 1 cos x = 0 sin x = 2 x = 90° + 360°k of x = 270° + 360°k k ∈Z of 1 sin x = 2  vir twee korrekte x = 30° + 360°k of x = 150° + 360°k antwoorde  vir vier korrekte x = 90° of x = 270° of x = 30° of x = 150° antwoorde (4) OF sin 2 x = cos x  sin(90° − x) sin 2 x = sin(90° − x) 2 x = 90° − x + 360°k ; k ∈ Z of 2 x = 180° − (90° − x ) + 360°k  3x = 90° + 360°k 2 x = 90° + x + 360°k x = 30° + 120°.k x = 30° + 120°k x = 90° + 360°k en x = 90° + 360°.k x = 30° of x = 150° of x = 270° of x = 90°  vir twee korrekte antwoorde  vir vier korrekte antwoorde (4) [17] Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 22 DBE/November 2012 NSC – Memorandum VRAAG 9 9.1 sin 2 θ sin(180° − θ ). cos(90° + θ ) + tan 45° sin 2 θ  sinθ = (sin θ )(− sin θ ) + 1  –sinθ sin 2 θ  1 = − sin 2 θ + 1 sin 2 θ = cos 2 θ  cos²θ = tan 2 θ  tan 2 θ (5) 9.2 sin 104°(2 cos 15° − 1) 2 tan 38° sin 2 412°  sin 76° sin 76°. cos 30° cos30° = tan 38°.(sin 52°) 2 sin 38°   3 cos 38° 2 sin 38° cos 38°   NOTA:  sin52°  2  • Indien cos 30° nie getoon word =  sin 38°  (cos 38°) nie: -1 2sin38°cos38°  2  cos 38°  • Slegs antwoord: 0/8 3  3 sin 38° cos 38° 2 = sin 38° cos 38°  sin52°=cos38° = 3  3 OF (8) sin 104°(2 cos 2 15° − 1) tan 38° sin 2 412°  sin2(52°) sin 2(52°).(2 cos 2 15° − 1) sin 38° =  sin 38° .(sin 52°) cos 38° 2 cos 38°  sin52° 2 sin 52° cos 52°. cos 30° 2sin52°cos52° = cos30°  cos 52°  (sin 52°) 2    sin 52°  cos52°=sin38° = 2 cos 30° en 3 sin52°=cos38° = 2. 2 3  = 3 2  3 (8) Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 23 DBE/November 2012 NSC – Memorandum OF sin 104°(2 cos 2 15° − 1) cos30° tan 38° sin 2 412° sin 38° cos 14°. cos 30°  = cos 38°  sin 38°   sin52°  (sin 52°) 2  cos 38°   3 cos 38° cos 14°   2  3    = 2  sin 38°   (  cos 2 38 )  cos 38°  3 cos 14° = 2 sin 38° cos 38° sin76° 3 cos 14° = sin 76°  3 3 cos 14° = (8) cos 14° = 3 OF sin 104°(2 cos 2 15° − 1) tan 38° sin 2 412°  cos30° sin 104°. cos 30° sin 38° =  sin 38° .(sin 52°) cos 38° 2 cos 38°  sin52° 3 3 sin 104°.  = 2 2  cos 52°   (sin 52°) 2   sin 52°  cos52°=sin38° en 3 sin 104°. sin52°=cos38° = 2  cos 52°(sin 52°) cos520.sin520 1 3  sin 104° sin 104°. 2 = 2 1  3 sin 104° 2 (8) = 3 [13] Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 24 DBE/November 2012 NSC – Memorandum VRAAG 10 10.1 f (0) − g (0) = 0,5 − (−2) = 2,5  2,5 (1) 10.2 sin( x + 30°) = − 2 cos x  vergelyking sin x. cos 30° + cos x. sin 30° = −2 cos x  uitbreiding sin(x+30°)  3 1    2  sin x +  2  cos x = −2 cos x  vervanging van   spesiale hoeke 3 sin x + cos x = −4 cos x 3 sin x = −5 cos x  vereenvoudiging 5 tan x = − 5 3  tan x = − 3 x = 109,11° + 180°.k ; k ∈Z  x P = −70,89° x P = −70,89° en x Q = 109,11°  xQ = 109,11° (7) OF sin( x + 30°) = −2 cos x  vergelyking cos(90° − x − 30°) = −2 cos x cos(60° − x) = −2 cos x  uitbreiding van cos 60° cos x + sin 60° sin x = −2 cos x cos(60° – x) 1 cos x + 3 sin x = −2 cos x  vervanging van 2 2 spesiale hoeke cos x + 3 sin x = −4 cos x  vereenvoudiging 3 sin x = −5 cos x 5 5 tan x = −  tan x = − 3 3 x = 109,11° + 180°.k ; k ∈Z x P = −70,89° and xQ = 109,11°  x P = −70,89°  xQ = 109,11° (7) 10.3 − 70,89° ≤ x ≤ 109,11°  hoeke OF  korrekte interval [−70,89° ; 109,11°] (2) OF x P ≤ x ≤ xQ 10.4 h( x) = 2 sin( x + 60° + 30°) = 2 sin( x + 90°) = 2 cos x  refleksie h is die refleksie van g in die x-as. in die x-as of lyn y=0 OF (2) f word na links geskuif deur 60° en dan verdubbel.  refleksie ∴ h is die refleksie van g in die x-as. iIn die x-as of lyn y =0 (2) [12] Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 25 DBE/November 2012 NSC – Memorandum VRAAG 11 11.1 Area parallelogram ABCD = 2 × Area ΔABC  2area ∆ABC  1    vervanging in = 2  (3)(2 ) sin θ  area reel  2   = 6 sin θ (3) NOTA: OF Geen bewerkings dan 0/3 3 θ h 2 h  = sin θ 2  h = 2 sin θ h  b.h = sin θ 2 (3) h = 2 sin θ ∴ Area ABCD = b.h = 3.2 sin θ = 6 sin θ OF Area van parallelogram ABCD = area of ΔABC + area of ΔADC  som van areas 1 1 =  (3)(2 )sin θ +  (3)(2 )sin θ gelyke sye en 2 2 gelyke hoeke = 6 sin θ (3) OF 1 Area = (sum of // sides)× h 2 1 = (3 + 3) × 2sin θ  formule 2  h = 2 sin θ = 6 sin θ vervanging (3) 11.2 Area van parallelogram ABCD = 3 3  6 sin θ = 3 3 6 sin θ = 3 3 3 sin θ = 3  sin θ = 2 2 NOTA: θ = 60° `n Penalisasie van 1 punt indien beide  60° 60° en 120° (3) OF  6 sin θ = 3 3 6 sin 60° = 3 3 60° ∴ θ = 60° (3) 11.3 Maksimum area van parallelogram verkry as sin θ = 1, dit is waar  sin θ = 1 θ = 90°  θ = 90° (2) [8] Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 26 DBE/November 2012 NSC – Memorandum VRAAG 12 12.1 CB CD  Gebruik die sin reel = in driehoek CBD sin D sin B  CB k = CB k sin 2 x sin(90° − x) = sin 2 x sin(90° − x) k . sin 2 x CB =  k . sin 2 x sin(90° − x) sin(90° − x) k .2 sin x cos x  2sinx.cosx CB = cos x  cos x = 2k sin x (5) OF DCˆ B = 180° − (90° − x + 2 x) = 90° − x  ∴ DC = DB = k DCˆ B = DBˆ C = 90° − x D  DC = DB = k x x k k 90° − x 90° − x B F C Trek DF ⊥ BC CF  CDˆ F = x = sin x CD CF = k sin x  CF = k sin x CB = 2CF CB = 2k sin x  CB=2 CF (5) OF DCˆ B = 180° − (90° − x + 2 x) = 90° − x  ∴ DC = DB = k CB2 = CD2 +BD2 – 2.CD.BD.cos2x DCˆ B = DBˆ C = 90° − x  DC = DB = k CB 2 = k 2 + k 2 − 2k 2 cos 2 x = 2k 2 (1 − cos 2 x)  gebruik cos reel in = 2k (1 − (1 − 2 sin x)) 2 2 driehoek CDB = 2k 2 (2 sin 2 x)  faktore = 4k sin x 2 2  vereenvoudiging = (2k sin x) 2 CB = 2k sin x (5) Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 27 DBE/November 2012 NSC – Memorandum 12.2 BC BC cos x =  cos x = HC HC BC HC = BC cos x  HC = 2k sin x cos x = cos x  vervanging van BC = 2k tan x (3) OF HC BC =  HC = BC sin 90° sin(90° − x) sin(90° − x) BC HC = sin(90° − x) 2k sin x  vervanging van BC = cos x sin(90° – x) =cos x = 2k tan x (3) 12.3 HC = 2k tan x = 2(40).tan(23°) = 33,9579... waarde van HC In ∆HCD: CD 2 = HC 2 + HD 2 − 2 HC.HD. cos θ HC 2 + HD 2 − CD 2 cos θ = 2 HC.HD vervanging in cos (33,9579...) 2 + 31,82 − 40 2 formule = cos θ = 0,2613... 2(33,9579...)(31,8) cos θ = 0,2613...  74,85° ∴θ = 74,85° (4) [12] Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 28 DBE/November 2012 NSC – Memorandum VRAAG 13 13.1 Hoek waardeur minuut wyser beweeg is: 37 37 × 360°  × 360° 60 60 = 222°  222°  vervanging van 1380 P is geroteer deur 138° in `n anti-kloksgewyse rigting: in formule vir x en y a = 2 cos138° − 4 sin 138° b = 4 cos138° + 2 sin 138°  − 4,16 en  − 1,63 = − 4,16 = − 1,63 (6) OF Hoek waardeur minuut wyser beweeg is: 37 × 360° 60 = 222° P is geroteer deur 222° in `n kloksgewyse rigting: 37 a = 2 cos 222° + 4 sin 222° b = 4 cos 222° − 2 sin 222°  × 360° en 60 = − 4,16 = − 1,63  222°  vervanging van OF 2220 in formule vir x en y  − 4,16 20  − 1,63 4 (6) a α β 2 b 180°- β 20 tan α = 2 α = 63,43° α + 180° − β = 222° β = 63,43° + 180° − 222°  tan α = 2  α = 63,43° = 21,43° ∴a = − 20 cos 21,43° = −4,16  α + 180° − β = 222° b = − 20 sin 21,43° = −1,63  β = 21,43°  − 4,16  − 1,63 (6) Kopiereg Voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiksunde/V2 29 DBE/November 2012 NSC – Memorandum 13.2 Die minuut-wyser beweeg deur 360° in 60 minute.  360° 1 Die uur-wyser beweeg deur 30° in 60 minute, dus `n van die  30° 12 1 minuut-wyser. Daarom as die minuut-wyser deur 222° beweeg,  12 222°  18,5° beweeg die uur-wyser deur = 18,5° 12 (4) OF  360° 360°  30° Uur-wyser beweeg deur = 30° grade in 60 minute. 12 37 37  × 30° ∴ 37 minute: × 30° = 18,5° 60 60  18,5° (4) [10] TOTAAL : 150 Kopiereg Voorbehou