Mathematics Grade 11 P2 National Exemplar November 2013 Memo

Downloaded from hlayiso.com NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 WISKUNDE P2 MODEL 2013 MEMORANDUM PUNTE: 150 Hierdie memorandum bestaan uit 13 bladsye. Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 2 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum NOTA: • Indien ‘n kandidaat ‘n vraag TWEE keer beantwoord het, sien slegs die EERSTE poging na. • Indien ‘n kandidaat ‘n poging om ‘n vraag te beantwoord gekanselleer het en die vraag nie weer gedoen het nie, sien die gekanselleerde poging na. • Konstante akkuraatheid is van toepassing in ALLE aspekte van die merk memorandum. • Aanvaarding van antwoorde/waardes om ‘n probleem op te los, is ONAANVAARBAAR. VRAAG 1 1.1 n 408 ∑x 408i  19 Gemiddelde = i =1 = = 21,47 antwoord n 19 (2) 1.2 Standaardafwyking = 7,81 antwoord (2) 1.3 Limiete vir een standaardafwyking is ( x − 1σ ; x + 1σ ) = (21,47 – 7,81; 21,47 + 7,81) = (13,66 ; 29,28)  interval ∴ 13 persone lê binne een standaardafwyking vanaf die gemiddelde 13 persone (2) 1.4 5 12 13 15 18 18 18 19 20 21  Q 1 = 18 21 22 23 23 26 29 33 35 37  Q 3 = 26 IKW = 26 – 18 IKW = 8 =8 (3) 1.5 mond snorre 4 5 8 12 16 18 20 21 24 26 28 32 36 37 40 (3) 1.6 Daar is ‘n merkbare verskil tussen die laagste waarde (5) en die volgende laagste waarde (12), terwyl die verskil tussen alle ander rede waardes op die meeste 3 is. 5 ‘n uitskieter (2) ∴ 5 is ‘n uitskieter [14] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 3 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum VRAAG 2 2.1 Kumulatiewe Klas Frekwensie frekwensie 0≤m<2 7 7 eerste drie 2≤m<4 15 22 kumulatiewe 4≤m<6 26 48 frekwensies korrek 6≤m<8 29 77 res korrek 8 ≤ m < 10 36 113 (totaal = 160) (2) 10 ≤ m < 12 31 144 12 ≤ m < 14 14 158 14 ≤ m < 16 2 160 2.2 160 150 geanker by 0 140 plot kumulatiewe 130 frekwensie teen 120 die boonste limietwaardes 110 gladde grafiek- kurwe 100 (3) 90 Kumulatiewe Frekwensie 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Getal SMS-boodskappe Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 4 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum 2.3 Die mediaan vir die data is ongeveer 8 boodskappe. Mediaan (1) 2.4 Ongeveer 130 leerders het 11 of minder boodskappe gestuur. Dus 30 leerders het 30 leerders meer as 11 boodskappe gestuur. antwoord 30 × 100% = 18,75% 160 (2) 2.5 Skeef na links of negatief skeef antwoord (1) [9] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 5 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum VRAAG 3 y D 45° 18,43° A(1 ; 6) C(12 ; 3) E θ x B(3 ; 0) 3.1  3 + 12 0 + 3  substitusie in E ;  middelpunt-  2 2   1 1 formule = 7 ;1  antwoord  2 2 (2) 3.2 3−0 substitusie in m BC = gradiëntformule 12 − 3 1 = 3 antwoord (2) 3.3 tan θ = m BC = 1  tan θ = m BC 3 1 antwoord θ = tan −1   = 18,43° 3 (2) 3.4 1 1 m AD = m BC = AD||BC, gradiënte gelyk m AD = 3 3 6−0 m = −3 m = = −3 AB AB 1− 3 1 ∴ m AD × m AB = × −3 = −1 m × m AB = −1 AD 3 (3) ∴AD ⊥ AB 3.5 inklinasie van nuwe lyn = 45° + 18,43° = 63,43° 18,43° ∴ tan 63,43° = 2 = m 63,43° lyn m = 2 ∴ y − 6 = 2( x − 1)  subst van (1 ; 6) y = 2x + 4 vergelyking (5) [14] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 6 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum VRAAG 4 4.1 mQP = mOS = 6 QP||OS, gelyke gradiënte  mQP = 6 y − 17 = 6( x + 3) subst (–3 ; 17) in y = 6 x + 35 formule vergelyking (3) 4.2 6 x + 35 = − x stel vergelyking 7 x = −35 op OF x = – 5 x = −5 y = −(− 5) = 5 y = 6(– 5) + 35 = 5 y=5 ∴ Q(–5 ; 5) koördinate van Q (4) 4.3 OQ = (−5 − 0) + (5 − 0) 2 2 2 substitusie in = 50 afstandsformule OQ = 50 = 5 2 eenhede 5 2 (2) 4.4 mOS = 6 80,54° ∴inklinasie van OS is tan −1 (4) = 80,54° mOQ = −1 ∴inklinasie van QO is 180° - tan −1 (1) = 135° 135° α = 135° − 80,54...° = 54,46° 54,46° (3) 4.5 QS = OS + OQ − 2OS .OQ. cos α 2 2 2 korrekte gebruik = 148 + 50 − 2( 148 )( 50 . cos 54,46° van cos-reël QS = 9,90 eenhede substitusie in formule 9,90 (3) [15] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 7 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum VRAAG 5 5.1.1 5 5 cos α = − − 13 13 (1) 5.1.2 (− 5) + b = 13 2 2 2 b 2 = 169 − 25 = 144 b = 12 b = 12 tan (180° − α) – tan α = − tan α 12 = −( − )  12 5 5 12 = (3) 5 5.2.1 sin(θ − 360°) sin(90° − θ ) tan(−θ ) cos(90° + θ ) sin θ cos θ (− tan θ ) reduksies = − sin θ sin θ tan θ =  sin θ  cos θ = − cos θ  −   cos θ   sin θ = sin θ (5) 5.2.2 Van 5.2.1: sin θ = 0,5 sin θ = 0,5 Verwysings∠ = 30° 30° ∴θ = 30° ofθ = 150° 150° (3) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 8 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum 5.3.1 8 4 LK = − sin A 1 + cos A 2 8 4  sin2A=1– cos2A = − 1 − cos A 1 + cos A 2 8 4 = − (1 − cos A)(1 + cos A) 1 + cos A faktorisering 8 − 4(1 − cos A) = (1 − cos A)(1 + cos A) optelling 8 − 4 + 4 cos A vereenvoudiging = (1 − cos A)(1 + cos A) 4(1 + cos A) faktorisering = (1 − cos A)(1 + cos A) 4 = = RK 1 − cos A (5) 5.3.2 Identiteit is ongedefinieer as sin A = 0 . Dit is as sin A = 0 of cosA 2 elke waarde = ±1 ∴A = 0° of A = 180° of A = 360°. (3) 5.4 8 cos 2 x − 2 cos x − 1 = 0 (4 cos+ 1)(2 cos x − 1) = 0  faktorisering 1 1  waardes van cos x = − of cos x = 4 2 cos x  104,48° of ∴ x = 104,48° + k .360°; k ∈ Z of x = 60° + k .360°; k ∈ Z 255,52°  60° of 300° x = 255,52° + k .360°; k ∈ Z x = 300° + k .360°; k ∈ Z  + 360°.k kε Z (6) [26] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 9 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum VRAAG 6 6.1 p = – 45° waarde van p q=–1 waarde van q (2) 6.2 B(157,5° ; – 0,38) waarde van x waarde van y (2) 6.3 f(x) <g(x) as  − 180° ≤ x < −22,5° − 180° ≤ x < −22,5° of 157,5° < x ≤ 180°  157,5° < x ≤ 180° (2) 6.4.1 h(x) = cos (x – 45° + 30°)  + 30° = cos (x – 15°) eenvoudigste vorm (2) 6.4.2 x = –135° – 30° = –165°  –165° (1) [9] VRAAG 7 7.1 Trek BD ⊥ AC B In ∆ABD: BD konstruksie sin A = ∴ BD = c. sin A c c a  sin A maak BD die In ∆CBD: onderwerp BD sin C = ∴ BD = a. sin C A D C  sin C a ∴c . sin A = a. sin C  c . sin A = a. sin C sin A sin C ∴ = a c (5) 7.2.1 sin R sin P = r p sin R sin 132° = substitusie in 27,2 73,2 korrekte formule 27,2 × sin 132° sin R = maak sin R die 73,2 onderwerp = 0,276... Rˆ = 16,03° 16,03° (3) Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 10 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum 7.2.2 Q̂ = 180° − 132° − 16,03° = 31,97°  Q̂ = 31,97° 1 oppervlakte van PQR = pr. sin Q substitusie in 2 1 korrekte formule = (73,2)(27,2). sin 31,97° 2 = 527,10 cm 2  527,1 (3) 7.3.1 PSˆQ = 180° − (a + b)  PSˆQ = 180° − (a + b) In ∆PSQ: SQ PQ = sin P sin PSˆQ SQ = h  sin[180° − (a + b)] sin a sin[180° − (a + b)] = sin (a + b) SQ h = sin a sin( a + b) h sin a maak SQ die SQ = sin( a + b) onderwerp (3) 7.3.2 SQˆ R = 90° − b  SQˆ R = 90° − b In ∆RSQ: RS = sin SQˆ R gebruik sin- SQ verhouding korrek RS = SQ.sin(90° − b) h sin a  sin(90° − b) = = . cos b sin( a + b) cos b (3) h sin a. cos b = sin( a + b) [17] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 11 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum VRAAG8 Volume van hemisfeer 1 4  substitusie in =  π r3 korrekte formule 2 3  2 = π (3) 3 3 = 18π cm 3 18 π Volume van keëlvormige gat 1 = π r 2h 3 1 8 substitusie in = π (1,5) 2 ( ) 3 9 korrekte formule 2 2 = π cm 3  π 3 3 1 17 π volume van metal A 26 1 ∴ = 3 =  17 π volume van metal B 2 1 3 π 3 Verhouding van volume van metaal A : Volume van metaal B verhouding 26 : 1 = 26 : 1 (6) [6] VRAAG9 9.1 …halveer die koord. antwoord (1) 9.2.1 OE = 10 cm … O middelpunt van DE  OE = 10 OC = OE – CE = 10 – 2  OC = 8 = 8 cm (2) 9.2.2 In ∆COQ: QC2 = OQ2 – OC2 … Stelling van Pythagoras Gebruik stelling = (10)2 – (8)2 van Pythagoras = 36 QC = 6 cm  QC = 6 ∴PQ = 2QC … loodlyn vanaf middelpunt van sirkel  PQ = 12 (S) na koord, halveer koord rede PQ = 12 cm (4) [7] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 12 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum VRAAG 10 10.1 D O A E B Konstruksie: Verleng DO na E. konstruksie Bewys: In ∆OBD: OBˆ D = ODˆ B …OD = OB = r  OBˆ D = ODˆ B EOˆ B = 2 × ODˆ B …buitehoek van driehoek  EOˆ B = 2 × ODˆ B (S/R) In ∆AOD: OAˆ D = ODˆ A …OA = OD = r EOˆ A = 2 × ODˆ A …buitehoek van driehoek  EOˆ A = 2 × ODˆ A AOˆ B = EOˆ B + EOˆ A (S/R)  = 2 × ODˆ B + 2 × ODˆ A AOˆ B = EOˆ B + EOˆ A = 2(ODˆ B + ODˆ A) = 2 ADˆ B (5) 10.2.1(a) M̂ = 76° … middelpunts∠ = 2(omtreks∠)  76° rede (2) 10.2.1(b) Tˆ2 = 38° …buite∠ van koordevierhoek KTAB  38° rede (2) 10.2.1(c) Ĉ = 38° … buite∠ van koordevierhoek of ∠ ine  38° dieselfde segment rede (2) 10.2.1(d) CAˆ N = Cˆ = 38° …NA = NC  CAˆ N = 38° (S/R) Kˆ = 38° …buite∠ van koordevierhoek CATK  Kˆ 4 = 38° 4 (2) 10.2.2 ∴ Kˆ 4 = Tˆ2 stelling ∴NK = NT e …basis∠ gelyk rede (2) 10.2.3 N̂ = 180° − (38° + 38°)  N̂ = 104° (S/R) …∠evan ∆KNT = 104° Nˆ + KMˆ A = 104° + 76° = 180°  Nˆ + KMˆ A = 180° ∴ AMKN is ‘n koordevierhoek …teenoorstaande ∠e = 180° rede (3) [18] Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief

Downloaded from hlayiso.com Wiskunde/V2 13 DBE/2013 NSS – Graad 11 Model – Memorandum VRAAG 11 11.1 ..... gelyk aan die hoek onderspan deur dieselfde koord in die teenoorstaande (alternatiewe) teenoorstaande segment segment (1) 11.2.1 Aˆ1 = Cˆ 2 = x …raaklyn-koord-stelling  Aˆ1 = Cˆ 2 = x Cˆ = Gˆ = x 2 2 …raaklyn-koord-stelling rede ∴ Aˆ1 = Gˆ 2 = x  Cˆ 2 = Gˆ 2 = x ∴ BCG  EA …verwissellende ∠e = rede gevolgtrekking met rede (5) 11.2.2 Eˆ1 = Cˆ 3 = y …verwissellende ∠ ; BG EA e  Eˆ1 = C3 = y (S/R) ˆ Fˆ = Cˆ = y 1 3 …buite∠ van koordevierhoekCDFG ∴ Eˆ1 = Fˆ1 = y  Fˆ1 = Cˆ 3 = y (S) ∴ EA is a tangent …omgekeerde raaklyn-koord-stelling rede  Eˆ1 = Fˆ1 = y rede (5) 11.2.3 Bˆ = CAˆ E …raaklyn-koord stelling  CAE = B ˆ ˆ Cˆ = CAˆ E …verwissellende∠e; BG EA rede 1  Cˆ 1 = CAˆ E (S/R) Cˆ 1 = Bˆ rede ∴ AB = AC …basis∠e = (4) [15] TOTAAL: 150 Kopiereg voorbehou